Blume-capel modelinede makroskopik durum denklemlerinin zaman serisi yöntemiyle çözülmesi

MAKROSKOPK DURUM DENKLEMLERNN

ZAMAN SERS YÖNTEMYLE ÇÖZÜLMES

Asaf Tolga ÜLGEN

Yüksek Lisans Tezi

Fizik Anabilim Dal

Doç. Dr. Na i SÜNEL

2010

GAZOSMANPA“A ÜNVERSTES

FENBLMLER ENSTTÜSÜ

FZKANABLM DALI

YÜKSEK LSANS TEZ

BLUME-CAPEL MODELNDE MAKROSKOPK DURUM

DENKLEMLERNN ZAMAN SERS

YÖNTEMYLE ÇÖZÜLMES

Asaf Tolga ÜLGEN

TOKAT

2009

çal³ma20/01/2010tarihinde a³a§dabelirtilenjüri tarafndanOybirli§i/Oyçoklu§u

ileFizikAnabilim Dal'nda Yüksek Lisans Tezi olarakkabul edilmi³tir.

Ba³kan: Prof. Dr. BahtiyarMEHMETO‡LU mza:

Üye: Doç. Dr. Na i SÜNEL mza:

Üye: Doç. Dr. RzaErdem mza:

Yukardaki sonu u onaylarm

(mza)

Prof. Dr. Metin YILDIRIM

Enstitü Müdürü

Tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu tezin yazlmasnda bilimsel ahlâk

kurallarna uyuldu§unu, ba³kalarnn eserlerinden yararlanlmas durumunda bilimsel

normlarauygunolarakatftabulunuldu§unu,tezin içerdi§iyenilikve sonuçlarnba³ka

bir yerden alnmad§n, kullanlan verilerde herhangi birtahrifat yaplmad§n, tezin

herhangibirksmnnbuüniversiteveyaba³kabirüniversitedekiba³kabirtezçal³mas

olaraksunulmad§nbeyanederim.

mza

Yüksek Lisans Tezi

BLUME-CAPEL MODELNDE MAKROSKOPK DURUM

DENKLEMLERNN ZAMAN SERS YÖNTEMYLE ÇÖZÜLMES

Asaf Tolga ÜLGEN

Gaziosmanpa³aÜniversitesi

Fen BilimleriEnstitüsü

FizikAnabilim Dal

Dan³man: Doç. Dr. Na iSÜNEL

Tek boyutlu spin-örgü modelindekimakroskopikdurum denklemlerikullanlarak ön e

sistemindüzenparametrelerieldeedilmi³tir. Dahasonraverilend³parametrede§erleri

(

β = 100 − 15000K

,

J = ±3 eV

ve

D = ±3 eV

) için zamanserisi yöntemi kullanlarak elde edilen non-lineer, kublajl ve öz-uyumlu denklemler çözülmü³tür. Bu çal³mada,

faz graklerini ve faz diyagramn elde etmek için literatürün aksine farkl i³lemlere

gerek duymadan sade e zaman serisi yöntemiyle olas tüm durumlar tek bir grakte

in elenmi³tir. Bugüne kadar yaplm³ olan hesaplamalarn baz eksik taraar fark

edilmi³ ve hesaplamada kullanlan algoritmann yetersizli§i giderilmi³tir. Elde edilen

faz graklerinde dallanmalar gözlenmi³ ve bu dallanmalar; e§er-dü§üm, transkritik,

Pit hfork ve süperkritikolmak üzere dört dallanmatürüne girmektedir. Faz geçi³leri,

sistemin bir durumdan bir ba³ka duruma geçti§i s aklk

T

kritik

de§eri, dallanmann meydana geldi§i noktaya ve ayn zamanda iterasyon saysnnda maksimum oldu§u

de§ere kar³lk gelmektedir. Sistemde, birin i ve ikin i dere eden meydana gelen faz

geçi³leri grakler yardmyla gösterilmi³tir ve ikin i dere eden faz geçi³ diyagramlar

çizilmi³tir.

2010, 109 Sayfa

AnahtarKelimeler: IsingModeli,Blume-CapelModeli,ZamanSerisi,FazGeçi³leri,

Master Thesis

CALCULATION OF MACROSCOPIC STATE EQUATIONS IN

BLUME-CAPEL MODEL BY USING TIME-SERIES METHODS

Asaf Tolga ÜLGEN

Gaziosmanpa³aUniversity

Graduate S hoolof National and Applied S ien es

Physi s Department

Supervisor: Asso . Prof. Dr. Na i SÜNEL

Initially, the order parameters of system have been obtained by using ma ros opi

state equations in one dimensional spin-latti e model. After for given external

pa-rameters (

β = 100 − 15000K

,

J = ±3 eV

and

D = ±3 eV

), non-linear, oupling and self- onsistedequationsobtained by usingtimeseries methodhave been al ulated. In

this study,toobtainphase graphi sand phasediagramswehaveused onlytime-series

method dierent from the literature al ulations and all possible states have given in

one graphi . Insu ien y of the al ulations uptill now have been realized and

algo-rithm be ame better. Four kinds of bifur ations have shown in the phase-graphi s.

T

critical

value, phase transitions orresponds to bifur ation point and also maximum value of iteration number. The rst and se ond degree of phase-transitions in system

havebeenshowningraphi sandalsose onddegreetransitionsofphasediagramshave

been drawn.

2010, 109 Pages

Keywords: IsingModel, Blume-CapelModel, Time Series, Phase Transitions,

Bu çal³makonusunu veren, çal³malarmnön esinde oldu§ukadar çal³malarm

süre-sin ede konularhakkndaki derindü³ün elerini, yaknilgive yardmlarnesirgemeyen

dan³man ho am Sayn Doç. Dr. Na i SÜNEL'e sonsuz te³ekkürlerimisunarm.

Ayr a tez çal³mam srasnda her konuda yardm  olan Ar³. Gör. Erhan ESER'e,

Ar³. Gör. brahim ǝNAR'a ve doktora ö§ren isi Ebru ÇOPURO‡LU'na, bu süre

içerisinde maddi manevi deste§ini esirgemeyen arkada³m Canan EROL'a ve Aileme

TE“EKKÜR iii

ÇNDEKLER iv

“EKLLER LSTES vi

1 GR“ 1

2 GENEL BLGLER 6

2.1 Manyetik Düzen ve Özellikleri . . . 6

2.2 Örgü-Spin Modelive IsingModeli . . . 9

2.3 Bir Boyutlu IsingModel . . . 13

2.4 Blume-Capel(BC) Modelinin TermodinamikNi eliklerinin Elde Edilmesi 14 2.5 ZamanSerisi Yöntemi . . . 20

2.6 Lyapunov ÜstellerininHesab . . . 30

2.7 Dallanma Teorisi . . . 32

3 MAKROSKOBK DURUM DENKLEMLERNN ÇÖZÜMÜ 36 3.1 Newton-Raphson Yöntemi . . . 36

3.2 Grak Yöntemi . . . 37

3.3 ZamanSerisi Yöntemiyle Sabit Nokta Hesab . . . 40

3.4 Dallanma Noktalarnda

S

'nin KararllkSnandrmas . . . 42

4 HESAPLAMALAR 51 4.1 TakipEdilen YolHaritas . . . 51

4.2 S*ve Q*'inTipik Örnekleri . . . 53

4.2.1

J < 0

Durumu . . . 53

4.2.2

J > 0

Durumu . . . 58

4.3 Sabit

J

ve De§i³ken

D

De§erlerinde Düzen ParametrelerininS aklkla De§i³imi . . . 63

4.4 De§i³ken

J

De§erlerinde Düzen ParametrelerininS aklklaDe§i³imi. . 74

4.5 FazDiyagramlar . . . 83

5 SONUÇ ve TARTI“MALAR 87 KAYNAKLAR 89 A LOJSTKDENKLEMÇNMATHEMATICAveFORTRAN KOD-LARI 92 A.1 f(x)-ZamanSerisi Hesab . . . 92

A.2 ç çe

f

(n)

_(x)

ve

f

′(n)

_(x)

FonksiyonlarnnHesab . . . 93

A.4 Lyapunov ÜsteliHesab . . . 96

B MATHEMATICA ve FORTRAN KODLARIYLA S ve Q HESABI 98

B.1 Grak Yöntemi . . . 98

2.1 a)

Ni

'ninyüzey merkezliörgüsünün Ferromanyetikdüzeni,b)

MnO

'nun kubik örgüsünün Antiferromanyetik düzeni, ) yonlarn lineer bir

zin- irde ki Ferrimanyetikdüzeni . . . 7

2.2 (a)Özels aklktakendili§indenmeydanagelenmknatslanma(b)

Ni

'nin

T

0

= 631K

'daki mknatslanmas. . . 8 2.3 a)Lineer Örgü Modeli, b) periyodiksnr ko³ullarnauyanlineer örgü . 10

2.4 Zamana kar³

f (x)

de§i³imi. (a)

r = 2

için 1-döngü, (b)

r = 3, 2

için 2-döngü, ( )

r = 4

içinkaos durumu. . . 21 2.5 y=x ve

f (x)

'in

y

'yegöre çizilmi³ olan gra§inkesim noktalarnda sabit

noktalar

x

∗

olarak gösterilmi³tir . . . 23

2.6

1 < r < 3

aral§yla belirlenmi³ kontrol parametresinin zamana kar³

f (x)

de§i³imi . . . 23 2.7

1 < r < 4

aral§yla belirlenmi³ kontrol parametresinin

f

′

_(x)

'ne kar³

x

gra§i.

x

∗

_{= 0, 5}

de§erindeyken fonksiyonun türevi sfr olmakta ve

x

∗

_{= 0, 5}

süper kararl bir noktadr . . . 25

2.8

y = x

ve

y = f (f (x))

grakleri. (a) Kontrol parametresi

r = 3

de§eri içinsabit noktay veriyor. Dallanmannoldu§u

r

de§eridir. (b) Kontrol parametresi

r = 3, 2

de§eri için sabit noktay veriyor. ki tane kararl, birtane kararsz sabit noktaya sahiptir . . . 27

2.9

r

'yekar³

x

∗

gra§i.

r = 3

'demeydanagelendalanmaygösteriyorvebu dallanmanoktasndansonrakararlolanikisabitnoktalarkalnçizgiyle,

2.10 Zamana kar³

f (x)

de§i³imi. (a)

r = 2, 94

,

2, 96

,

2, 98

ve

r = 3

için 1-döngü ile dallanma de§eri ,(b)

r = 3

ve

r = 3, 02, 3, 04, 3, 06

için dallanmade§eriile 2-döngüçizimleri . . . 29

2.11 a)

x

∗

'n

r

ile de§i³im ³emas;

r

1

,

r

2

,

r

3

,

· · ·

,

r

n

, dallanma ve

x = 0, 5

süperkararl noktay veren

R

1

,

R

2

,

R

3

,

. . .

,

R

n

de§erleri. Süperkararl noktann daln di§er koluna olan mesafeleri

d

1

,

d

2

,

d

3

,

· · ·

,

d

n

dir. b) “ematik Feigenbaum gra§inin hesaplanan sonuçlar. ) Feigenbaum

gra§iiçin Lyapunov üstellerininald§ de§erler . . . 30

2.12

x

01

= 0, 010

ve

x

02

= 0, 015

ba³langç de§erleri için iterasyon saysna kar³lk

f (x)

de§i³imi. (a) Normalbölgede

(r = 2, 6)

, (b)kaotikbölgede

(r = 4)

. . . 32 2.13

r

'nin fonksiyonuolarak

x

denge noktasnn gösterimi;a)semer-sü§üm,

b) trans-kritik ve ) çatal (pit hfork) dallanmalarnn çe³itli

görünüm-leri. Düzçizgilerkararlsabitnoktalar,kesikliçizgilerkararsznoktalar

göstermektedir. . . 34

3.1

k

B

T = 0, 25 eV

ve

D = 2, 2 eV

de§erleri için

g(s)

ve

f (S)

de§i³imi: a)

J = +2, 1 eV

b)

J = −2, 1 eV

, ), d) ve e) Ayn

k

B

T

,

D

ve

J

için Mathemati a'dan elde edilengrakler . . . 39

3.2

k

B

T = 0, 5 eV

ve

D = 2, 2 eV

de§erleriiçin

g(s)

,

f (S)

ve

f

2

_(S)

de§i³imi:

a)

J = +2, 1 eV

b)

J = −2.1 eV

alnm³tr . . . 41 3.3

k

B

T = 0, 25 eV

ve

D = 2, 2 eV

de§erleriiçin

S

dizisinin gösterimi.

Ba³-langç de§erlerisrasyla

S(1) = +0, 5

,

S(1) = 0

ve

S(1) = −0, 5

olarak alnm³tr. . . 43

3.4

k

B

T = 0, 5 eV

ve

D = 2, 2 eV

de§erleri için zaman dizisi gösterimi; sol taraftakisütuniçin

J = +2, 1 eV

de§erindeveba³langçde§erleri

S(1) =

+0, 001

ve

S(1) = −0, 001

alnm³tr. Sol tarafta ise

J = −2, 1 eV

için ayn ba³lançde§erlerialnm³tr . . . 48

4.1 Sistemind³parametrelerinin eksenler halindegösterimi . . . 52

4.2

J = −1, 5 eV

ve

D = −1, 1 eV

de§eriiçinelde edilen

S

∗

ve

Q

∗

e§rileri . 53 4.3 (a)

J = −1, 5 eV

,

D = −1, 4 eV

b)

J = −1, 5 eV

,

D = −1, 388 eV

, ( )

J = −3 eV

,

D = −1, 6 eV

, d)

J = −1, 5 eV

,

D = −0, 2 eV

, e)

J = −2, 3 eV

,

D = −0, 8 eV

ve f)

J = −3 eV

,

D = 2, 9 eV

için

S

∗

ve

Q

∗

e§rileri . . . 57

4.4

J = 1, 5 eV

ve

D = −1, 1 eV

de§eriiçin elde edilen

S

∗

ve

Q

∗

e§rileri . . 59 4.5 (a)

J = 1, 5 eV

,

D = −1, 4 eV

b)

J = 1, 5 eV

,

D = −1, 388 eV

, ( )

J = 1, 5 eV

,

D = −0, 2 eV

, d)

J = 2, 3 eV

,

D = −0, 8 eV

, e)

J = 3 eV

,

D = −1, 6 eV

ve f)

J = 3 eV

,

D = 2, 9 eV

için

S

∗

ve

Q

∗

e§rileri. . . 62 4.6 a)

J = −1, 8 eV

,

D = −1, 8 eV

ve b)

J = 1, 8 eV D = −1, 8 eV

de§erleri için

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 64 4.7 a)

J = −1, 8 eV

,

D = −1, 6 eV

ve b)

J = 1, 8 eV D = −1, 6 eV

de§erleri için

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 65 4.8 a)

J = −1, 8 eV

,

D = −1, 4 eV

ve b)

J = 1, 8 eV D = −1, 4 eV

de§erleri için

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 66 4.9 a)

J = −1, 8 eV

,

D = −1 eV

veb)

J = 1, 8 eV D = −1 eV

de§erleriiçin

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 67 4.10 a)

J = −1, 8 eV

,

D = −0, 6 eV

ve b)

J = 1, 8 eV D = −0, 6 eV

de§erleri için

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 68 4.11 a)

J = −1, 8 eV

,

D = −0, 3 eV

ve b)

J = 1, 8 eV D = −0, 3 eV

de§erleri için

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

4.12 a)

J = −1, 8 eV

,

D = 0, 1 eV

veb)

J = 1, 8 eV D = 0, 1 eV

de§erleriiçin

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 70 4.13 a)

J = −1, 8 eV

,

D = 0, 9 eV

veb)

J = 1, 8 eV D = 0, 9 eV

de§erleriiçin

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 71 4.14 a)

J = −1, 8 eV

,

D = 1, 7 eV

veb)

J = 1, 8 eV D = 1, 7 eV

de§erleriiçin

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 72 4.15 a)

J = −1, 8 eV

,

D = 2, 5 eV

veb)

J = 1, 8 eV D = 2, 5 eV

de§erleriiçin

Q

∗

,

S

∗

ve

N

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . 73 4.16

J = −0, 2 eV

ve

J = 0, 2 eV

de§erlerindeelde edilen

S

∗

ve

Q

∗

e§rileri . 75 4.17

J = −0, 5 eV

ve

J = 0, 5 eV Q

∗

ve

S

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . 76 4.18

J = −0, 9 eV

ve

J = 0, 9 eV Q

∗

ve

S

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . 77 4.19

J = −1, 4 eV

ve

J = 1, 4 eV Q

∗

ve

S

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . 78 4.20

J = −1, 8 eV

ve

J = 1, 8 eV Q

∗

ve

S

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . 79 4.21

J = −2, 1 eV

ve

J = 2, 1 eV Q

∗

ve

S

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . 80 4.22

J = −2, 5 eV

ve

J = 2, 5 eV Q

∗

ve

S

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . 81 4.23

J = −3 eV

ve

J = 3 eV Q

∗

ve

S

∗

de§erlerinin

k

B

T

ilede§i³imleri . . . . 82 4.24 (a)

J

'ninnegatif,(b)

J

'ninpozitif,( )

J

'ninpozitif,(d)

J

'ninnegatif,(e)

J

'nin

pozitifve (f)

J

'nin pozitifde§er aral§ içinkontur haritalar. . . 84 4.25 (a)

J

'nin negatif ve (b)

J

'nin pozitifde§er aral§ içinfaz diyagram . . 85 4.26

J

'nin hem negatif hem de pozitifde§er aral§ içinfaz diyagram . . . . 86

Geçmi³tengünümüzebilimveteknolojidekigeli³meler,makrodüzeydekiçal³malardan

mikrodüzeydeki çal³malarado§ru olmu³tur. Çokparça klve çokserbestlikdere eli

mikrosistemlerle pek çok güçlü§ü de beraberinde getirmi³tir. Bu karma³k sistemlerle

çal³lrken bir çok matematiksel güçlükle kar³la³lr. statistik zik, davran³ birkaç

makroskopikni eli§inde§i³imi insindentanmlanabilençokserbestlikdere eli

sistem-leri in elemektedir. Ayr a sözü edilen bu güçlükleri a³mak ama yla matematiksel

açdan analitik yakla³mlarn yannda mümkün oldu§u kadar bilgisayarlardan da

fay-dalanlmaktadr. Günümüzde matematikseltekniklerinyanndabilgisayarprogramlar

vesimülasyonlar,birçokalandayo§unolarakkullanlmaktadr(Chung,2004). Fizi§in

çokparça klsistemlerleu§ra³anbirkoluolan istatistikmekanikte de,bu yakla³mve

metotlardan yararlanlmaktadr. Bu matematiksel teknik ve simülasyonlar, istatistik

mekani§inyaygn çal³ma alanlarndanbiri olan faz geçi³leri konusunda da önemlibir

yere sahiptir(Sethna, 2007).

statistik mekanik formalizminin uyguland§ çe³itli ziksel olaylar, ba³l a iki snfa

ayrlabilir. Birin isinde, sistemin elemanlarnn etkile³medikleri dü³ünülmesi

sonu- unda, sistemin bile³enlerinin enerji seviyeleri bilinmektedir. Böyle e sistemin

termo-dinamik fonksiyonlar, do§rudan elde edilmektedir. Gazlarn ve katlarn özgül slar,

kimyasal tepkimeler ve denge sabitleri, ideal Bose gaznn yo§unla³mas, siyah isim

³masnn spektral da§lm, metallerin temel elektron teorisi, paramanyetizma gibi

olaylar bu türden olaylardr. Birin i snfa giren olaylarn en önemli özelli§i,

Bose-Einsteinyo§unla³mashariçtutulursa, ilgilisistemlerintermodinamikfonksiyonlarnn

taya çkar. Bunun kar³l§nda sistemde çe³itli türden faz geçi³leri görülür. Bu snfa

girenolaylarndikkatede§erörnekleri;gazlarnyo§unla³mas,katlarnerimesi,fazlarn

bir arada bulunmas ile ilgili olaylar (özellikle kritik nokta ivarnda), kar³mlar ve

çözeltilerin davran³, ferromanyetizma ve antiferromanyetizmaolaylar, ala³mlardaki

düzen-düzensizlik geçi³leri,normalhaldensüperiletken malzemeye geçi³olarak

srala-nabilir(Pathria1996).

Fizikselkooperatifolaylarndengelidavran³nin elemekiçinbirçokönemli metotlar

geli³tirilmi³tir. Bu metodlarnbazlar a³a§daverilmi³tir.

•

Kapalform yakla³m metotlar

•

Renormalizasyongrup teorisi

•

Monte-Carlometodu

•

Transfer matris metodu

•

Etkinalan teorisi

•

Seriyeaçma metodu

Var olan modeller veya yeni modeller geli³tirilerek kooperatif olaylarn termodinamik

davran³lar in elenir. Bu kullanlanmodellerden biriside Blume-Capelmodelidir.

Model, ilk olarak Blume ve Capel tarafndan birbirinden ba§msz olarak geli³tirildi.

Blume (1966); UO

2

'de gözlenen birin i dere e faz dönü³ümünü açklabilmek için bu

modeligeli³tirdi. Capel (1966); moleküleralan yakla³mylasade e

S

düzen paramet-resinin s akl§a ba§mll§nin elemi³, bu esnada meydana gelen kararl ve kararsz

danin elenmi³veüçlükritiknoktaüzerinde kapsaml adurmu³lardr. Ayr amodelde

magnetik alann var olmas ile olmamas durumunda meydana gelen ikin i ve birin i

dere e faz dönü³ümlerini elde ederek kar³la³trmasn yapm³lardr. Burkhart (1976);

modelirenormalizasyongrup metoduyla in elemi³ve faz diyagramlarnelde etmi³tir.

Ayn zamanda ortalama alan ve Monte-Carlo metoduyla elde edilen faz

diyagram-laryla kar³la³trma yapm³tr. Jain ve Landau (1980); FCC örgü için Monte-Carlo

tekni§i ilemodeliin eleyerek fazdiyagramlarnve üçlü kritikdavran³larn detayl a

in elemi³lerdir. Ayr a, faz diyagramlarn di§er bulunan metotlarla özellikle

renor-malizasyongrup ve moleküler alan yakla³mmetodu ile kar³la³trma yaparak düzen

parametrelerinin s akl§a göre davran³larn in elemi³lerdir. Tamura ve Kaneyoshi

(1981); modeli etkinalan teorisi ile in eleyerek ikin idere eden faz dönü³ümünü elde

etmi³lerdir. HuveKleban(1982);modelirenormalizasyongrupmetoduylain eleyerek,

modelde meydana gelen faz diyagramlarn gözleyip di§er metotlarla elde edilen faz

diyagramlar ile kar³la³trma yapm³lardr. Kimel, Bla k, Carter ve Wang (1986);

iki boyutta antiferromanyetik durum için modeliMonte-Carlo metoduyla in eleyerek

antiferromanyetik Blume-Capel model için birin i ve ikin i dere eden faz

dönü³üm-lerini elde etmi³ler ve ortalama alan teorisiyle elde edilen sonuçlarla kar³la³trma

yapm³lardr. Kaneyoshi (1987); modeli etkin alan teorisiyle in eleyerek ikin i dere e

faz dönü³ümü ve paramanyetik alnganlk davran³n gözleyerek, moleküler alan

yak-la³mylaelde edilen çözümlerle kar³la³trmayapm³tr. Kaneyoshi ve Jas ur (1993);

model için paramanyetik alnganl§n s akl§a göre davran³n gözleyerek birin i ve

ikin idere efazdönü³ümlerinieldeetmi³lerdir. KaneyoshiveBenyossef(1993);modeli

etkin alan teorisini kullanarak düzen parametrelerinin s akl§a göre davran³larn

in elemi³, faz diyagramn ve paramegnetik alnganlk davran³n elde etmi³lerdir.

için bulunmayan düzenli faz elde etmi³lerdir. Her iki durumda da

T = 0

'da s- aklk yükseldi§inde farkl fazlarn ayrld§ bir faz noktasn üçlü kritik nokta elde

etmi³lerdir. Buzano ve Pelizzola (1995); modeli kümesel de§i³im metodunun çift

yakla³myla in elemi³ler ve düzen parametrelerinin s akl§a göre davran³ ve faz

diyagramlargözlenmi³tir.

Model üzerinde yaplan bu kadar çok çal³masna ra§men ferromanyetik ve

antifer-romanyetik Blume-Capel modeli için

S

ve

Q

düzen parametrelerinin s akl§a göre davran³lar ve özellikle sistemde kararl çözümlerin yansra meydana gelen kararsz,

süperkararlve nötral kararl çözümler tam anlamyla yaplmam³tr. Literatürde yeni

olansüperkararlvenötralkararlköktanmlarn,düzenparametrelerinçözümlerinden

elde etti§imiz kök de§erleri için yeniden isimlendirip snandra a§z. Bu dört çe³it

köklerin bulunmasnda zaman serisi yöntemi ve grak yöntemi kullana a§z. Kararl

köklerle birlikte çizilens akl§n

S

ve

Q

'ya göre de§i³imlerinde dallanmalaroldu§unu göstere e§iz. Bu dallanmalarn meydana geldi§i yerde, yani kritik s aklk de§erinde,

faz geçi³i ve iterasyon saysnnmaksimum oldu§unugrakler yardmyla anlata a§z.

Budallanmalarnhangiçe³itdallanmaoldu§unugösterip,detayl aanaliziniyapa a§z.

Sistemin,

β = 100 − 15000K

,

J = ±3 eV

ve

D = ±3 eV

d³parametre de§eraral§için faz diyagramlarngöstere e§iz.

Bölüm2'de tekboyutlu spin-örgü modeliyle elde edilen makroskobik denklemleri

kul-lanlarakdüzenparametrelerinineldeedilmesivedüzenparametresininkökde§erlerini

hesaplaya ak olan yöntemin daha kolay anla³lmas için lojistik denklem konusu ve

köklerin snandrlmas anlatld. Lojistik denklem, zaman serisi yöntemin en basit

durumvedallanmaanalizininLyapunovüsteliylenaslbelirlendi§ivedallanmaçe³itleri

anlatld.

Bölüm 3'de makroskobik durum denklemlerinin çözüm yöntemleri, zaman serisi ve

grak yöntemiyle yaplan hesaplamalar,düzen parametresi

S

∗

'nkök de§erlerine göre

snandrlmasve serilerin özellikleri anlatld. Bölüm 4'de

J

ve

D

kontrol paramet-relerininözel de§erleriiçindüzenparametrelerinins akl§a göre de§i³imi,

S

∗

ve

Q

∗

'n

s aklkla birlikte de§i³en dallanma,faz geçi³i, iterasyon grakleri ve faz diyagramlar

2.1 Manyetik Düzen ve Özellikleri

Fiziksel bir sistemin makroskobik durumuna faz durumu, yada ksa a faz denir. Bu

nedenle bir makroskobik sistemin karakteristik özellikleri bir ba³ka makroskobik

sis-teminkindenfarkl olabilir. Makroskobiksistemde, d³parametrelerin sonsuzküçükve

sürekli de§i³mesi kar³snda bir faz durumundan bir ba³ka faz durumuna geçi³ine faz

geçi³idenir. Fazgeçi³i ivarndakibirsisteminnedeniaçklanamayantuhafdavran³lar

göstermesine kritikolaylar denir. Manyetik düzene sahipmaddeler üç gruba ayrlr.

Ferromanyetikler: Bir kristal örgüde manyetik momentleri birbirlerine göre paralel

sralanm³maddelerdir. “ekil 2.1(a)'da NikelFerromanyetikdüzeni görülmektedir.

Antiferromanyetikler: Kom³u manyetik momentleri birbirlerine göre paraleldir

an- ak zt yönele ek ³ekilde sralanm³ maddelerdir. “ekil 2.1(b)'de antiferromanyetik

MnO

örgüsü görülmektedir. Bir sistemdeki paralel olmayan iki ferromanyetik alt örgüyü herbirini di§eriiçerisinde birarayagetirerekayrabiliriz.

(Antiferromanyetik-ler, oksijen ve kromhariç sade e geçi³ elemetleriolmayanbile³enleri kapsar)

Ferrimanyetikler: kiveya daha fazla e³it ve paralel olmayanveya herbiri di§eri ile

biraçylasralanm³ olan manyetik düzenlialtörgünün kümesidir (“ekil2.1( )).

Kendili§inden manyetik sralama olay, belli bir

T

0

s akl§nn altnda gözlenir. Bir madde,

T

0

üstünde manyetik düzensizdir veya bir paramanyetik durum içerisindedir. Böyle e

T

0

s akl§ndabirsisteminnitelikselde§i³imiortayaçkmaktavebirmanyetik düzen durumundanparamanyetik durumageçmektedir.

“ekil2.1: a)

Ni

'ninyüzeymerkezliörgüsününFerromanyetikdüzeni,b)

MnO

'nunkubik örgüsünün Antiferromanyetik düzeni, ) yonlarn lineer bir zin irde ki Ferrimanyetik

düzeni

Kendili§indenolu³an

M

mknatslanmas,örgüdemanyetikmomentler üzerinden orta-lamas alnarak,

M

=

1

N

N

X

i=1

µ

_i

(2.1)

³eklinde tanmlanr. Burada,

µ

i

i.

iyonun ortalama manyetik (dipol) momentidir ve

N

örgüdeki manyetik iyon saysdr. Görüldü§ü gibi

T

0

'n altnda

M

≡ 0

, hal-buki

T

0

altnda

|M| > 0

olmalyd. Böyle e, bu geçi³ için bir sürekli de§i³en d³ parametre s akl§ ve s akl§n (

T

0

noktasndaki keskin bir kvrlma) bir fonksiyonu olarakkendili§inden mknatslanmave davran³lar birgariplik olan faz geçi³ s akl§

belirler. Bu ferromanyetikler için genelde Curie noktas olarak adlandrlr. Ayn

zamanda

T = T

0

s akl§ndabirferromanyetikli§indi§er karakterisli§idebu garipli§in sonu udur. Örne§in, bu gariplik “ekil 2.2(b)'de özel bir s aklkta bir atlama veya

ayrlma olarak gösterilmi³tir. Böyle e faz geçi³leri ve bu noktalar; kendili§inden

mknatslanmave özel s aklk durumlarndatermodinamikni eliklerin davran³ndan

“ekil 2.2: (a) Özel s aklkta kendili§inden meydana gelen mknatslanma (b)

Ni

'nin

T

0

= 631K

'dakimknatslanmas

Baz faz geçi³lerindegizli saç§a çkmaz ve özha imde sçramalbir de§i³im

gözlen-mez. Fazgeçi³inden ön e ki ve sonraki durumlar1 ve 2indisi ile gösterirsek;

∆Q = Q

2

− Q

1

= 0

ve

∆V = V

2

− V

1

= 0

(2.2)

olur. Burada,

Q

sy ve

V

ise ha mi göstermektedir. Bu durumda s s§as, sl genle³me ve parametre de§i³ir. Böylesi geçi³lere örnek olarak, paramanyetik

ferro-manyetik, paraelektrik ferroelektrik, normal süper iletken, ikili ala³mlarda düzenli

düzensiz faz geçi³leri gösterilebilir. Bu tür faz geçi³leri ikin i mertebeden faz geçi³leri

olarak adlandrlr. S akl§n artmasyla malzemenin daha yüksek simetriye sahip

kristalgeometresindendahadü³üksimetriyesahipkristalgeometrisinegeçti§igözlenir.

Bugeçi³eyapsalsimetride§i³imidenirvelineerolmayandavran³larin eleyenLandau

teorisiyle in elenir.

Bir sistemin makroskobik özelliklerinden birisi veya birkaç tanesi düzen parametresi

olarak alnr. Faz geçi³leri, bu düzen parametrelerindeki de§i³imle açklanr. D³

tadr. E§er düzen parametresindeki de§i³im sçramal oluyorsa bu faz geçi³ine birin i

mertebeden faz geçi³i denir. Düzen parametresindeki de§i³im sürekli oluyorsa bu faz

geçi³inede ikin imertebeden faz geçi³i denir.

2.2 Örgü-Spin Modeli ve Ising Modeli

Çoksaydaparça ktanolu³mu³birsisteminserbestlikdere esibüyükolurvedolaysyla

bilinmeyen says vebunlara kar³lk gelen denklem says artar. Böyle e denklemlerin

çözülmesi ve sistem hakknda bilgi edinilmesi güçle³ir. Bu güçlü§ü yenmenin bir

yolu, birtakmyakla³mlar yoluyla basit modeller olu³turmakvebu modellerden elde

edilen sonuçlarn ziksel sistem ile uyumunu sa§lamaktr. Fiziksel sistem hakkndaki

bilgilerimiz deneysel ölçümlerle sa§lanmaktadr. Model ile ziksel sistem arasnda

uyum sa§lanmamas durumunda, modeldenhesaplanan sonuçlarn deneylerle uyumlu

ola ak biçimdedaha gerçekçi yakla³mlar kullanabilir.

Buamaçlaçok saydaserbestlikdere esinesahip spinetkile³melerin oldu§uzikselbir

sistem içinörgü-spin modelini olu³turulur. Ön e birörgü modelikurarak spin sistemi

için ziksel sonuçlar elde edilir. Sonra, bu örgü kaldrn a yine ayn sonuçlar elde

edebilirse modelin do§rulu§u snanm³ olur. Böyle e ziksel sistemin kat durumuna

kar³lkgelenmodel, örgü-spinmodeliilekurulmu³olur. Örgü-spinmodelinde,örgüyü

ortadan kaldrd§mzdaise ziksel sistemin ak³kan durumuna kar³lkgelir. Böyle e,

kulland§mz örgü-spin modeli, çözülmesi zor bir ziksel sistemin anla³lmasnda bir

araç görevini yerine getirmi³ olur.

Basit olmas için “ekil 2.3'de görüldü§ü gibi tek boyutlu bir örgü göz önüne alalm.

örgü noktasnn indisini,

e

x

x-eksenindeki birim vektörünü göstermektedir. Bazlarbir atom ola a§gibi, büyük birmolekülde olabilir.

Modelde herbir örgü noktasnda bir baz vardr. Örne§in; demir, nikel ve kobalt gibi

tek atomluveya DyVO

4

gibibir molekül olabilir. Maddedeki manyetik faz geçi³lerini,

düzenli-düzensiz geçi³leri, normal-süperiletken geçi³ler ve bunun gibi olaylar kontrol

eden spinlerin varl§dr. Spine sahip bazlarla ilgilene e§iz ve spinin de§eri baza göre

de§i³ebilir.

H

manyetik alann varl§nda, tüm spinler manyetik alana paralel olur. Spin yönelimi manyetik alan ile ayn yönlü olursa spin-yukar, manyetik alan ile ters

yönlü olursa spin-a³a§ denir. En küçük spin de§eri

s = 1/2

için, spin yukar (

s

↑

) ve spin a³a§ (

s

↓

) olmak üzere sade e iki durum vardr. Bu basit durum için sistemin tüm termodinamik ni elikleri analitik olarak hesaplanabilmektedir. E§er örgü-spin

modelinde toplam spini

s = 1

olan bir baz dikkate alrsak, her bir örgü noktasndaki spin de§erleri,

s

↑

= +1

(spin yukar),

s

0

= 0

(spinsiz) ve

s

↓

= −1

(spin a³a§) olmak üzere üç görünümü vardr.

Her bir spin durumunu, uzay geren ve

ξ

i

ile göstere e§imiz bir baz vektörü olarak alalm. Spinin bu eksen üzerindeki izdü³ümüne de

s

i

de§eri ile gösterilim. Bu baz vektörlerinden olu³an uzaya spinoruzaydenir. Bunagöre, örgü-spin modelindebazn

spin de§eri

s = 1/2

ise serbestlik dere esi iki olup, iki boyutlu spinor uzay olu³turur. Bu uzay geren eksenler

ξ

1

ve

ξ

2

ile gösterilebilir. Benzer olarak bazn spin de§eri

s = 1

iseserbestlikdere esi üçolup, üçboyutlu spinoruzay olu³turur. Bu uzaygeren eksenler

ξ

1

,

ξ

2

ve

ξ

3

ilegösterilir.

kin i mertebeden faz geçi³lerinin mikroskobik modelinin yaplmasnda, özellikle de

moleküller arasnda güçlü etkile³im söz konusu oldu§u zaman, çok büyük zorlukla

kar³la³lr. Budurumda moleküleralanmetodukullanlr. Buyöntemde,moleküllerin

birbirleriarasndaetkile³imiyerine,tekbirmolekülüdi§erbütünmoleküllertarafndan

olu³turulanortalamaalanetkile³imiin elenir. Buyakla³mferromanyetikmalzemelere

ilkolarakWeiss tarafndanuygulanm³tr. ButürmalzemelerdeCuries aklklarndan

(T

C

) daha dü³ük s aklklarda (örne§in; demir, nikel ve kobalt) kal  (kendili§inden)

mknatslanma ortaya çkar. Wiess (1907); tarafndan yaplan bu ferromanyetizma

tanmnda,herhangi bir

µ

i

dipolmomentvektörünesisteminkalan di§ertüm

µ

j

dipol

moment vektörleri tarafndan etki yapld§ kabul edilmi³tir. Yani,

µ

i

dipol moment

vektörünün davran³, geriye kalan tüm dipol moment vektörlerinin olu³turdu§u

or-talama bir alanda olu³maktadr. Bu ortalama alanda

µ

i

dipol momentinin enerjisini

veren

D

orant sabitinekristal alanetkile³me sabiti denir.

Kuantummekanikselbiryakla³mlabakld§nda,buetkile³mederolalandipolmoment

vektörü

µ

H

ex

= −

N

X

i,j

J

ij

s

i

· s

j

(2.3)

ileverilir. BuHamiltonoperatörüilkolarakHeisenberg tarafndanverilmi³tir.

Heisen-berg veya de§i³-doku³ (ex hange) Hamiltonoperatörü olarakbilinir. Burada

s

i

ve

s

j

,

i

. ve

j

. moleküllerinspin operatörleridir. Bu operatör,

s

i

= s

(x)

i

+ s

(y)

i

+ s

(z)

i

(2.4)

biçimindeüç bile³ene sahiptir. De§i³-toku³ Hamilton operatörünün bu ³ekilde hesab

çok zordur. Sisteme uygulanan d³ manyetik alan

z

do§rultusunda seçersek, bu du-rumda sistemin

s

i

spin operatörlerinin do§rultularda

z

do§rultusuna paralel ola ak ³ekilde yönelirler. Bu nedenle

s

i

= s

(z)

i

'dir. Tüm spinler üzerinde

z

indisi bulundu§u içinbuindisigöstermeyegerekkalmaz. Böyle espinoperatörünü

s

(z)

i

biçimdegösterme

yerine skaler olarak

s

(z)

i

ya da

s

i

ile gösterilir. Bu yakla³m yapld§nda Hamilton operatörü

H

H = −

N

X

i,j

J

ij

s

i

s

j

(2.5)

³eklindeyazlr. Bunedenlebiryakla³myapld§ndaHamiltonoperatörüIsing

Hamil-ton operatörüne dönü³mektedir.

“ekil 2.3'de görülen örgü geometrisinde sade e en yakn iki kom³u etkile³mesini göz

önünealna aktr. Bunu,toplamada

i

ve

j

serbest indisyerine<

ij

>biçimindetoplam alarak gösterirsek ve bu durumda

J

ij

terimi de sabit ola a§ndan

J

olarak toplamn d³na çkarrsak, IsingHamilton operatörü,

H = −J

N

X

<ij>

s

i

s

j

(2.6)

olarakyazlr.

Çizgisel bir zin irden olu³an örgü-spin modelinde Ising Hamilton operatörünü

hesap-layalm. Busistemde, her birörgü-spin noktasn

s

n

ilegösterelim. Burada,

N

toplam örgü nokta saysngöstermek üzere

N = 1, 2, · · · , n

olur. E§er periyodiksnr ³artlar kullanla ak olunursa

s

N+1

= s

N

olur. Her örgü noktasnda spin-yukar (

s

↑

) yada spin-a³a§(

s

↓

) olabilenspinleri yerle³tirelim. Enyaknkom³u etkile³mesinigöz önüne alalm. Bu durumda birboyutlu Isingmodeli

H = −J

N

X

i=1

s

i

s

i+1

(2.7)

ileverilir. Bu sistemebir

H

manyetik alan uygulanrsa

H = −J

N

X

<ij>

s

i

s

j

− H

N

X

i

s

i

(2.8)

olur. Denklem(2.6)'dakiHamiltonoperatöründe,tümspin-yukarolandurumlar

spin-a³a§ ve tüm spin-a³a§olan durumlar daspin-yukarbiçimindeyerde§i³tirmealtnda

H

de§i³mez kald§ görülür. Yani, model Hamilton operatörü simetriktir. Uygulanan bud³manyetikalanHamiltonoperatörününsimetrisinikrarvespinlermanyetikalan

do§rultusunda yönelmeye ba³lar. Sistemin belirli bir spin durumunda bulunabilme

olasl§

P = exp[−βs

i

] ,

(β =

1

k

B

T

)

ile verilir. Burada,

P

olasl§,

s

i

ise

s

i↑

ya da

s

i↓

durumunda bulunan spin de§erini,

k

B

Boltzmannsabitinive

T

s akl§göstermektedir. Örgüde, birnoktanne³bölü³üm fonksiyonu

Z

1

=

d

X

ξ

i

exp[−βs

i

]

(2.9)

ile verilir. Burada, toplama tüm olas

ξ

i

spinor uzay

s

i↑

ve

s

i↓

üzerinden alnr. Tüm örgüde

N

tane baz vardr ve toplam e³bölü³üm fonksiyonu

Z = Z

N

1

olur.

M =

1

N

∂

∂β

F

(2.10)

ileverilir. Burada

F

Helmholtzserbest enerjisidir. Ayr aörgünoktasba³naspinlerin d³alana olan tepkisine alnganlkdenir ve

χ =

∂M

∂β

(2.11)

biçimindeverilir. Mknatslanmabüyüdükçe sisteminsimetrisibozulur. Spinler belirli

bir yönde dizilmeye ba³larlar. Bu durumdaki sisteme düzenli fazdadr denir. Belirli

birs aklktad³ manyetik alan sfra giderken mknatslanma sfragitmiyorsa, bu

ol-guyakendili§indensimetrikrlmasveyakendili§indenmknatslanmadenir. Örne§in,

Ising modelinde s aklk belli bir

T

C

kritik s aklk altnda kald§nda kendili§inden mknatslanmaortayaçkar.

T

C

'denbüyüks aklkde§erinde mknatslanmasfrolur. Mknatslanmann sfr oldu§u ve spin simetrinin sa§land§ bu faza da düzensiz faz

denir.

2.4 Blume-Capel (BC) Modelinin Termodinamik Ni eliklerinin

Elde Edilmesi

Model, ilk defa Blume ve Capel tarafndan birbirinden ba§msz olarak geli³tirildi.

Blume,UO

2

'de gözlenen birin idere e faz dönü³ümünüaçklayabilmek içinbu modeli

geli³tirdi. Capel moleküler alan yakla³myla sade e

S

düzen parametresinin s ak-l§a ba§mll§n in elemi³, bu esnada meydana gelen kararl ve kararsz çözümleri

gözlemi³ve fazdiyagramlarneldeetmi³tir. Manyetik alannolmad§ve Isingmodeli

yardmyla olu³turulan Blume-Capel(BC) modelindeHamilton operatörü;

H

BC

= H

J

+ H

D

= J

N

X

<ij>

s

i

s

j

+ D

N

X

i

q

i

(2.12)

³eklinde verilir. Burada,

J

dipol-dipol etkile³im sabiti ve

D

moleküler kristal alan sabitinigöstermektedir. Modelde

J ≥ 0

alnmasdurumunda,ferromanyetikBCmodeli ve

J < 0

alnmasdurumuna iseantiferromanyetikBC modeliolarak adlandrlr.

BC modeli, Bragg-Williams yöntemi, Bethe yöntemi, Monte Carlo yöntemi, kümesel

de§i³imyöntemi gibiçe³itli yöntemler kullanlrak benzer sistemlerin ziksel

davran³-larnn termodinamik özellikleri in elenmi³tir. Ekiz (1997) ve Yalçn (1997); kümesel

de§i³im metodunu kullanarak birin i ve ikin i mertebeden faz dönü³üm s aklklarn

in elemi³lerdirve birin i mertebeden faz dönü³ümü esnasnda meydana gelen kararsz

dönü³ümlerin bir ksmn Newton-Raphson metoduyla elde ederken bir ksmn elde

edememi³lerdir. Çözümlerin bulunamad§ bu noktalar elde edebilmek için sistemin

serbest enerjidüzeylerinin e³yükseltiharitalarçizilerek,bu haritalardanfazdönü³üm

s akl§nakar³lkgelen noktalarelde edilir.

Kümeselde§i³immetodu ilk olarakKiku hi(1951); ve daha sonra arkada³lar

tarafn-dan geli³tirilmi³tir. Bu metot donma, manyetik düzenlilik, faz dönü³ümeleri,

düzenli-düzensiz geçi³ler gibi birçok ortak ziksel olayn in elenmesinde iyi sonuç vermi³tir.

Kümeselde§i³immetodu, uzuneri³imli düzenparametresine dayanan Bragg-Williams

(1953); ile ksa eri³imli düzen parametresine dayanan Bethe motodunun geli³tirilmi³

biçimidir. Verilen örgü-spin modelindetemelkümesel büyüklük olarakbirnokta

seçil-di§inden metot en dü³ük dere eli kümesel de§i³im metodu olarak adlandrlr. Temel

kümesel büyüklük olarak en yakn kom³u çiftlerseçildi§inde Bragg-Willamsve Bethe

yakla³mlaryla ayn sonuçlar verir. Temel kümesel büyüklük üçgen veya kare a§

seçilirse metot yüksek dere eli kümesel de§i³im metodu olarak adlandrlr. Bu

du-rumda a§rlk faktörünü bulmak çok zordur, an ak hesaplamalar daha hassas olarak

üç durum, her bir spin durumlarnn kesirsel de§erleri

η

1

,

η

2

,

η

3

olur ve durum de§i³kenleriolarakadlandrlr.

η

1

,spinortalamakesirselde§erinin

+1

olmaihtimalini,

η

2

,sfr olmaihtimalinive

η

3

ise

−1

olmaihtimalinigöstermektedir. Tüm olaslklarn toplambire e³it ola a§kuralndanbu durumde§i³kenleri

3

X

i=1

η

3

= 1

(2.13)

³eklinde yazlr. Modelin ikidüzen parametresi ise;

• S

ortalama mknatslanmas örgü-spin geometrisinde spinlerin bir tarafa yönel-melerinindi§er tarafayönelenlerinden fazlal§ngösterir ve çift kutup momenti

diye adlandrlr.

• Q

,dört kutup momentiolup mknatslanmannkaresinin ortalamas<

S

2

>,

Q ≡< S

2

>

³eklinde ifadeedilir.

Sistemin sahip oldu§u uzun menzil düzen parametreleri

S

ve

Q

, durum de§i³kenleri insinden;

S ≡< S >=

P

3

i=1

s

i

η

i

P

3

i=1

η

i

= η

1

− η

3

(2.14)

Q ≡< S

2

>=

P

3

i=1

s

2

i

η

i

P

3

i=1

η

i

= η

1

+ η

3

(2.15)

³eklinde elde edilir. (2.13), (2.14) ve (2.15) denklemleri kullanlarak, spin ortalama

kesirsel de§eri de verilen durum de§i³kenleridüzen parametreleri insinden,

η

1

=

1

2

(S + Q),

η

2

= (1 − Q),

η

3

=

1

2

(Q − S)

³eklinde yazlr.

modeline uygulanarak sistemin dengeli davran³n belirleyen lineer olmayan ebirsel

denklem sistemi elde edile ektir. Bu metot ile yaplan hesaplamalarnsras a³a§daki

gibidir. Ön e verilen tek boyutlu geometri modelindetemel kümesel büyüklük olarak

bir nokta seçtik. Daha sonra zayf etkile³en sistemin kümesi tanmlanr, sonra

kü-menintoplugörünümkoordinatlar(düzenparametresi)sisteminde§i³kenleri insinden

bulunur ve en sonunda da entropi ve serbest enerji gibi ni elikler düzen parametresi

insindenyazldktansonradengedurumundakisistemindi§ertermodinamiközellikleri

hesaplanr. Bunun içinön e küme diyeadlandrlanzayfetkile³imsistemlertoplulu§u

belirlene ek, durum de§i³kenler tanmlana ak ve kümenin kongürasyonu bu durum

de§i³kenleri insinden ifade edile ektir. Yani, a§rlk faktörü olarak adlandrlan

W

buluna aktr. Son olarakta serbest enerji ifadesi elde edilip, durum de§i³kenlere göre

minimizeedilerek düzenparametreleri elde edile ektir.

W

a§rlkfaktörübu durumde§i³kenleri insinden,

W =

N!

Π

3

i=1

(Nη

i

)!

(2.16)

³eklinde yazlr. Burada

N

, örgü nokta saysdr. Sistemin iç enerjisi (2.12), (2.14) ve (2.15) denklemsisteminden

E = N(−JS

2

+ DQ) = N(−J(η

1

− η

3

)

2

+ D(η

1

+ η

3

))

(2.17)

³eklinde elde edilir. Entropiningenel tanm,

S = k

B

ln W

(2.18)

³eklinde verildi§inden, (2.16) ve (2.18) ifadelerinikullanarak sistemin entropisi,

S = −kN

3

X

i=1

³eklindedir. Serbest enerji ifadesi

F = E − T S

olarak verildi§inden, (2.17) ve (2.19) denklemlerini kullanaraksistemin molekül ba³naserbest enerji ifadesi,

f = −

_N

F

=



JS

2

_{− DQ − T k}

B

3

X

i=1

η

i

ln η

i

+ λ(1 −

3

X

i=1

η

i

)



(2.20)

olarak bulunur. Burada

λ

normalizasyon sabiti veya Lagrange çarpan olarak alnr. Denge durumdaki serbest enerji minimum ola a§ndan, serbest enerjinin

η

i

durum de§i³kenlere göre türev alnp sfrae³itlenir.

∂f

∂η

i

= 0

(i = 1, 2, 3)

(2.21)

³eklinde ifade edilir. (2.13), (2.20) ve (2.21) denklemlerinden faydalanarak durum

de§i³kenleri

η

i

=

e

i

Z

(2.22)

olarakbulunur. Burada

e

i

= exp



−

_N

1

∂E

_∂η

i



;

_{Z =}

3

X

i=1

e

i

(2.23)

Z

e³bölü³ümfonksiyonudur. (2.20)denklemini(2.23)'dekullanarak

e

1

,

e

2

,

e

3

de§erleri,

e

1

= exp(β(2JS − D)),

e

2

= 1,

e

3

= exp(β((−2JS − D))

(2.24)

olarak bulunur. Denge noktasnda elde edilen her bir durum de§i³keni, kanonik

kü-menin birelemandr. Kanonik küme elemanlarnn toplame³ bölü³ümfonksiyonunu

olu³turur. Böyle e, e³bölü³ümfonksiyonu

Z = η

1

+ η

2

+ η

3

veya denklem (2.24)'den

η

i

de§erlerini yerine yazp, düzenleme yaparsak

Z = 1 + e

βD



₂

e

β2JS

+ e

−β2JS

2



olarakbulunur. E³bölü³ümfonksiyonu ve

η

i

'iyerine yaza ak olursak,

η

1

=

η

₁

(d)

Z

,

η

2

=

η

(d)

₂

Z

,

η

3

=

η

₃

(d)

Z

(2.26)

elde edilir.

Bu ba§ntlar(2.14) ve (2.15)denklemlerinde yerine yazlrsa düzenparametreleri

S =

2 sinh(β2JS)

e

−βD

_{+ 2 cosh(β2JS)}

,

Q =

2 cosh(β2JS)

e

−βD

_{+ 2 cosh(β2JS)}

(2.27)

olur. Görüldü§ügibibu denklemlerözuyumluve

Q

denklemikublajldr. Sistemind³ parametreleri

β

,

J

ve

D

olup, serbest de§i³kenlerimiz

S

ve

Q

'dur;

S = S(β, J, D; S) ,

Q = Q(β, J, D; S) .

(2.28)

S

ve

Q

de§erlerinin birlikte hesaplanmas geleneksel olarak Newton-Raphson meto-duylaeldeedilir. An ak,kökbulurken kullana a§mzyöntemNewton-Raphson

yönte-mindentamamenfarkldr.

β

,

J

ve

D

sabitde§erleriverilerek,keybir

S

ve

Q

ba³langç de§eriiçin(2.27)denklemiiterasyonlaçözüle ektir. Heriterasyonda

S

ve

Q

de§eribelli birde§ere kadar arta ak ve bu belirlide§erden sonra istenilenkadar iterasyonyaplsa

bilebude§er de§i³miye ektir. (2.27)denklemlerininiterasyonusonu unda de§i³meyen

S

ve

Q

de§erleriartk

S

∗

ve

Q

∗

ilegösterilir.

S

∗

ve

Q

∗

de§erleri(2.27)denkleminkökleri

olup, Newton-Raphson yöntemiyle elde edilenköklere e³ittir. Bu köklerin iterasyonun

ba³nda verilen key

S

ve

Q

ba³langç de§erlerinden ba§mszdr.

S

ve

Q

ba³langç de§erleri farkl verilse dahi iterasyon sonu unda ayn

S

∗

ve

Q

∗

de§erleri elde edilir.

Ayr ae§er lineerolmayan(2.27)denkleminin verilen

β

,

J

ve

D

parametrelerine ba§l olarakbirdenfazlaköküvarsa, iterasyonsonu unda osilasyonyapan

S

∗

ve

Q

∗

de§erleri

elde edilir. Yani iki kök varsa

S

∗

ve

Q

∗

de§erleri iterasyon boyun a iki ayr de§er

arasnda de§i³ir. E§er daha fazla kök varsa

S

∗

ve

Q

∗

de§erleri herbir iterasyonda bir

kök vermek üzere bu kökler arasnda srasyla de§i³ir. Böyle e osilasyon kök saysyla

Zaman de§i³keniyle ili³kili bir de§i³ken hakknda, elde edilen gözlem de§erlerinin

za-mana göre sralanmas olarak gösteren serilere, zaman serisi denir. Zaman serilerini

konu alan pek çok çal³mada, serilerin gözlem de§erlerinin e³it aralkl zaman

nok-talarnda elde edilmi³ oldu§u görülmektedir. Zaman serisi çözümlemelerinde zaman

de§i³kenini

t = 1, 2, . . . , n

ile ifade edilmektedir. Bu ³ekilde tanmlanmasyla kesikli zaman serisi olarakta bilinir. Zaman serisi yönteminin daha kolay anla³lmas için

lojistik denklemiörnek vererek açklayalm.

Lojistik Denklem

Zamann,

j = 1, 2, . . .

gibi kesikli aralklarla ölçüldü§ü, tek

x

de§i³kenli bir sistem alalm. Her bir zamanaral§nda, bu de§i³kenin

x

j+1

yeni de§eribir ön eki

x

j

fonksi-yonu ile belirlenir;

x

j+1

= f (x

j

)

(2.29)

Örnekte,

f (x)

fonksiyonununbasitli§inera§men,

f (f (. . . (f (x)) . . .))

fonksiyonubelirsiz biriterasyona girdi§izaman, ziksel ve matematiksel kaosu bulunduran çok karma³k

zengin biryap üretilir. Böylesi tekboyutlu

x

j+1

= f (x

j

)

ifadesinin örne§i

f (x) = rx(1 − x)

(2.30)

gibi olur ve buna lojistik denklem denir. Burada

r

kontrol parametresi yada d³ parametre denir ve

1 < r < 4

aral§nda tanmldr. Sabit noktalarn tanm aral§ ise

0 < x < 1

'dir.

r

'nin farklseçimlerindene oldu§unugöstermekiçinbirbilgisayarile saysal hesaplamalaryapa a§z. Denklemin uzun terimlidavran³, sönümlü harmonik

osilatörde oldu§u gibi ba³langç ³artlar (d³ parametre) bir atraktör üzerine gelirse

2.4(a)'degörüldü§ügibi

r

'ninküçükde§erleriiçindenklembelirlibirde§eregidervebu denkleme1-döngüdenir.

r = 3, 2

de§erindelojistikdenklemikide§eralr(“ekil2.4(b)). Bude§erler

j

'ninard³kde§erleriiçinalternasyonyapar. Budurumada2-döngüdenir.

m

-döngülü bir durumda,

m

büyüklü§ündeki bir sayda atraktör dizisi vardr. “ekil 2.4( )'den görüle e§i gibi

r = 4

'de kaos vardr ve ard³k denklem de§erleri arasnda rastgele bir ili³ki vardr. Ba³langç ³artlarndaki çok küçük bir farkla eksponansiyel

olarak büyüdü§ü bulunmu³tur. Bu denklemin önemi, kaotik davran³n ve dallanma

konusunun evrensel türdeki en basit örne§i olmasdr. “ekil 2.4'ün graklerini elde

etmek içinhazrlanm³ olan program, Ek-A1'de Program-1olarak verilmi³tir.

“ekil2.4: Zamanakar³

f (x)

de§i³imi. (a)

r = 2

için1-döngü,(b)

r = 3, 2

için2-döngü, ( )

r = 4

içinkaos durumu

Sabit Noktalar

terasyondaneldeedilen

x

de§erlerinintanmuzayndaolu³turdu§u³ekleyörüngedenir. Bu yörünge üzerinde baz noktalar di§erlerinden farkldr. Bu farkl noktalar bulmak

için, ilk olarak1-döngüdurumuna odaklanalmve

x

∗

_{= f (x}

∗

₎

E§er yukarda verilen e³itlik sa§lanm³sa yani tanm uzayndan alnan bir

x

de§eri denklemegirdiolarakverildiktensonrayinekendisinee³itoluyorsa bu

x

de§erine sabit nokta denir ve

x

∗

ile gösterilir.

x

∗

_{= f (x}

∗

_{) = rx}

∗

(1 − x

∗

₎

_(2.31)

sa§layan sabit bir noktay bulalm. Önemsiz olan

x

∗

_{= 0}

noktasn hariç tutarsak,

(2.30) denkleminin çözümü;

x

∗

= 1 −

1

r

(2.32)

olur. 1-Döngü

Sabit noktalar

r

kontrol parametresine göre de§i³irler. Sabit noktalar geometrik bir yöntem kullanlarakbasitçebulunabilirler.

y = f (x)

gra§içizilir. Bu e§riyeek olarak bir

y = x

do§rusu çizilir. “ekil 2.5'de görüldü§ü üzere çizilen

y = x

do§rusunun

y = f (x)

e§rilerini kesti§i yerlerde sabit noktalarmz vardr. Bu sabit noktalar farkl kontrol parametre de§erlerine kar³lk farkl de§erler alr. “ekil 2.5'in graklerini elde

etmek içinhazrlanm³ olan program, Ek-A2'de verilmi³tir.

“ekil 2.6'de kontrolparametresi

r = 1, 5

,

2

,

3

,

. . .

³eklinde ala a§ de§erler verilmi³tir ve

r = 1, 5

için

x

∗

_{= 0, 34}

,

r = 2

için

x

∗

_{= 0, 5}

de§erlerine sahiptir.

x

j

'nin de§erleri 1-döngüdurumuiçinbirkaçiterasyondansonra belirlibirnoktadakalmasdurumuna

atraktör denir. Yani bu de§erler sabit noktaya çekildi§inden dolay böylesi sabit

noktalar bir atraktör (çeki i)'nin varl§n gösterir. Atraktör sayesinde sabit nokta

de§erine olu³an

x

j

daha sonra ala a§ sabit noktalar (

x

∞

) için fark sfr ola aktr. Yani,

|x

j

− x

∞

| = 0

oldu§unuanlayabiliyoruz. “ekil2.6'ningraklerinielde etmek için hazrlanm³ olan Mathemati a ve Fortran programlar, Ek-A3'de detayl bir ³ekilde

“ekil 2.5: y=x ve

f (x)

'in

y

'ye göre çizilmi³ olan gra§in kesim noktalarnda sabit noktalar

x

∗

olarakgösterilmi³tir

“ekil 2.6:

1 < r < 3

aral§yla belirlenmi³ kontrol parametresinin zamana kar³

f (x)

de§i³imi

Bu³ekildebuldu§umuzsabitnoktalarnkararlveyakararszolmas

|f

′

_(x

∗

_)|

'ineba§ldr.

“imdi (

x

j

,

x

j+1

,

x

j+2

,

. . .

dizisi olan) yörüngenin sabit bir noktaya yaknsamas için ³artn

|f

′

_(x

∗

_{)| < 1}

oldu§unu ispatlayalm.

x

∗

sabit noktas ivarndabir nokta alalm;

x

1

= x

∗

+ δx ,

(δx ≪ 1)

(2.33)

x = x

∗

ivarnda

x

2

= f (x

1

)

birin i iterasyonu olan Taylor serisine açarsak,

x

2

= x

∗

+ f

′

(x

∗

)δ(x) + Oδ(x

2

)

(2.34)

bulunur. kin iiterasyonolan

x

3

= f (f (x

1

))

için,Taylorserisinihesaplamakiçinzin ir kuraln kullanalm.

f (f (x))

'in

x

'e göre türevi,

f

′

_{(f (x))f}

′

_(x)

olur. Bu sabit nokta için

f

′

_(x

∗

₎

2

olur. Ayn ³ekilde,

x

3

için;

x

3

= x

∗

+ f

′

(x

∗

)

2

δ(x) + Oδ(x

2

)

(2.35)

elde ederiz.

x

j

'nin genel durumu için,

x

j

= x

∗

+ f

′

[x

∗

]

j−1

δ(x) + Oδ(x

2

)

(2.36)

elde ederiz.

Bunun anlam

j → ∞

oldu§unda sade e ve sade e

|f

′

_(x

∗

_{)| < 1}

oldu§unda

x

j

de§eri

x

∗

'ayaknsar.

• |f

′

_(x

∗

_{)| < 1}

ise

x

∗

noktas kararldr.

• |f

′

_(x

∗

)| > 1

ise

x

∗

kararsz bir noktadr ve

x

∗

'dan küçük bir sapma sonu unda

• f

′

_{(x) = 0}

ise ultrahzl yaknsakl§n oldu§u özel bir durumdur. Bu durumda

bu noktann süper kararl oldu§u söylenir. “ekil 2.5'deki kontrol parametre

de§erlerine kar³lk buldu§umuz sabit noktalarn türev gra§inde in eleyelim.

“ekil2.7'degösterilmi³olantürev gra§indegörüle e§i üzere

x

∗

_{= 0, 5}

de§erinde

türevi sfrdrve bu sabit nokta süper kararldr.

• f

′

_(x

∗

_{) = 1}

ise nötral kararldr.

“ekil 2.7:

1 < r < 4

aral§yla belirlenmi³ kontrol parametresinin

f

′

_(x)

'ne kar³

x

gra§i.

x

∗

_{= 0, 5}

de§erindeyken fonksiyonun türevi sfr olmakta ve

x

∗

_{= 0, 5}

süper

kararl birnoktadr

2-Döngü

f (x)

denklemi iki nokta arasnda alternasyon yapyorsa, denklemin

f (f (x))

ikin i iterasyonuikitanesabitnoktayasahipolur. E§er

f (x)

için2-döngününikinoktasndan birisiyle ba³larsak,

f (f (x))

uyguland§nda ayn noktaya geri geliriz. Çünkü

f (x)

'in

sabit noktas, yine

f (f (x))

'insabit noktasdr.

f (x)

'intekrar için

f (f (x)) ≡ f

(2)

(x) = rx(1 − x)(1 − rx(1 − x))

(2.37)

notasyonunu kullanalm.

f

(2)

_(x)

'in sabit noktasn bulmak için

y = x

ve

y = f

(2)

_(x)

gra§iniçizmeliyiz. 2-döngü içinsabit nokta da

x = x

∗

'dr. Sabit noktas

x = f

(2)

_(x)

denkleminisa§larvebunun kararll§

|f

′(2)

_(x)|

'nde§erine ba§ldr.

r = 2

için

f

(2)

'nin

sade ebirtanekararlnoktasvardrve

x

∗

_{= 1/2}

'dedir.

r

arttkça

f

(2)

_(x)

'in³ekli,sabit

nokta says ve yeri de§i³ir.

Örne§in

r = 3

oldu§unda üç tane özde³ sabit nokta

|f

′(2)

_(x

∗

)| = 1

oldu§u için nötral kararll§a sahiptir ve “ekil 2.8(a)'da görülmektedir.

r

'nin bu de§eri dallanma veya periyot katlanmasnn yer ald§ de§erdir. Bu nokta,

f

(2)

(x) = x;

f

′(2)

(x) = 1

(2.38)

³artkullanlarak,dallanmanoktasnanalitikolarakbulabiliriz. Buikidenklemçözülür

ise

r = 3

de§eri içinsabit nokta de§erini

x

∗

_{= 2/3}

buluruz.

Tekperiyodasahipkararlnoktanndallanmanoktalarnoldu§uyerlerde,

f

(2m)

gra§inin

e§iminin mutlak de§eri

1

olmak zorundadr. Bu Lyapunov eksponansiyelinin dalan-mannoldu§unoktadasfr

(ln1 = 0)

ola a§ngösterir. E§er

r

'yekar³sabitnoktalarn gra§i çizile ek olursa, e§ri

r = 3

'den geçerken, üç kökten birisi olan kararsz nokta ortadan kaybolur. “ekil 2.9'da kararsz bu noktalar kesikli çizgilerle gösterilirken,

kararl noktalar koyu çizgilerle gösterilmi³tir.

r = 3

de§eri dallanmann oldu§u veya periyot katlanmasnn oldu§uyeri vermektedir.

r = 3

de§erinin özel olmas nedeniyle

r = 3

ivarndetaylbir³ekildein eleye ekolursak,

f (x)

-zamangrakleri“ekil2.10'da görülmektedir. Burada, zamandan kastedilen iterasyon saysdr.

r

'nin

2, 94

,

2, 96

ve

2, 98

de§erleri için iterasyon says 500'e geldi§inde

f (x)

de§eri osilasyon yaparak sabit

x

∗

“ekil 2.8:

y = x

ve

y = f (f (x))

grakleri. (a) Kontrol parametresi

r = 3

de§eri için sabit noktay veriyor. Dallanmann oldu§u

r

de§eridir. (b) Kontrol parametresi

r = 3, 2

de§eriiçinsabitnoktayveriyor. kitanekararl,birtanekararszsabitnoktaya sahiptir

artk iterasyon saysndan ba§msz olarak, “ekil 2.8(b)'de

r

'nin artan de§eriyle artan 2periyotlu birosilasyongörülmektedir.

Bu iki kararl nokta arasnda kararsz belirli bir nokta vardr. Bu üç noktay da

f

(2)

_{(x) = x}

çözülerekbulunabilir. Zin irkural uygulanrsa,

f

′(2)

(x

∗

1

) = f

′(2)

(x

∗

2

) = f

′

(x

∗

)f

′

(x

∗

)

(2.39)

olur.

f

(2)

'nin türevi herbir kararl noktada ayndr. Kontrol parametresini daha fazla

artrrsak

r ≡ R

1

= 3, 2360679 . . .

“ekil 2.8(b)'deki gibi bir ba³ka özel de§eri buluruz. Buldu§umuz ba³ka özel de§erler iki kararl ve sabit noktalar için

f

′(2m)

_(x

∗

i

) = 0

'dr. E§er süperkararl belirli bir noktaya sahipsek, türevlerinden bir tanesi sfr olmak

zorundadr. Süperkararl bu iki kararl nokta

0, 5

ve

0, 80902

olarakbulunur. 2-döngü durumundalojistikdenklemikisabitnoktayasahiptir.

r

arttkça

m−

döngüperiyotlar

“ekil 2.9:

r

'ye kar³

x

∗

gra§i.

r = 3

'de meydana gelen dalanmay gösteriyor ve bu dallanmanoktasndan sonra kararl olan iki sabit noktalar kalnçizgiyle, kararsz olan

sabit nokta ise kesikli çizgiyle gösterilmi³tir

8

,

16

,

32

,

64

,

. . .

olur.

r = r

∞

= 3, 5699456 . . .

de§erindeyörüngesonsuzperyodasahip olur, yani kaotik bir yörünge olur.

r

1

,

r

2

,

r

3

,

. . .

dallanmann oldu§u noktalardr, böyle e periyot katlanmann oldu§u bir dizi vardr. Yukarda söyledi§imiz gibi ayn

periyoda sahip bir

r

bölgesi için süper kararl noktalar (süperdöngü) bulunur; bir süperdöngü noktalar

2

,

4

,

. . .

,

2

n

,

. . .

periyotlu yörüngeler içinsrasyla bu

r

de§erleri

[R

1

, R

2

, R

3

, . . . , R

n

, . . .]

dizisi olarakgösterilir. “ekil 2.11(a)'dagösterildi§igibiard³k süperkararlaralklarn oranlarve süperdöngüde dallanmannard³k büyüklüklerinin

oranlar ço§u ziksel sistemde evrensel bir davran³ gösterdi§i Mit hell Feigenbaum

“ekil2.10: Zamanakar³

f (x)

de§i³imi. (a)

r = 2, 94

,

2, 96

,

2, 98

ve

r = 3

için1-döngü iledallanma de§eri ,(b)

r = 3

ve

r = 3, 02, 3, 04, 3, 06

içindallanmade§eri ile2-döngü çizimleri

Feigenbaum Gra§i

Lojistik denklemde

r

kontrol parametresine kar³

x

çizimlerine Feigenbaum grakleri denir. Tüm kontrol parametre de§erlerinin ald§

x

de§erleri için “ekil 2.11(b)'de bu grak görülmektedir. Lojistik denklemin dallanma graklerinin çizimlerinde

r

'yi

2, 8

ve

4

aral§nda de§i³tirdik. Kaotik davran³n ba³lad§ noktaya Feigenbaum noktas denir ve

r = 3, 5699456...

de§erine sahiptir.

2, 8 ≤ r ≤ 4

de§erleri aras çizilmi³ olan bu grakte;

r = 3

de§eri için dallanmalarn,

r = 3, 5

de§erine kadar olu³an dal kollarnn kararl noktalarla iki nokta ile devam etti§ini ve bu noktada tekrar her

iki kolun dalland§n ve artk dört sabit kararl noktaya sahip oldu§u gösterilmi³tir.

Kaotikbölgeyekadardallanmalarnoldu§unu,kaotikbölgedesabitnoktalarngra§in

tamamn doldurdu§u, kaotik bölge içinde beyaz pen ereler olarak gösterilen normal

bölgelerin varl§ve kaotik durumda da dallanmalarn oldu§u gösterilmi³tir. Bu

“ekil 2.11: a)

x

∗

'n

r

ile de§i³im ³emas;

r

1

,

r

2

,

r

3

,

· · ·

,

r

n

, dallanma ve

x = 0, 5

süperkararl noktay veren

R

1

,

R

2

,

R

3

,

. . .

,

R

n

de§erleri. Süperkararl noktann daln di§er koluna olan mesafeleri

d

1

,

d

2

,

d

3

,

· · ·

,

d

n

dir. b) “ematik Feigenbaum gra§inin hesaplanan sonuçlar. ) Feigenbaum gra§i içinLyapunov üstellerinin ald§ de§erler

2.6 Lyapunov Üstellerinin Hesab

Kaosanaliziyöntemlerindenbirisidir. Lyapunovüstleriylebirsisteminlineerliközelli§i

ve kaos durumunun analiziyaplabilmektedir. Burada, lojistikdenklem içinLyapunov

üstellerininnaslhesaplana a§açklana aktr. Kaotikbölgederastgeleleli§inveya

nor-maldurumsabit nokta içinyakla³m oran Lyapunov üsteliyleili³kilidir. Herhangibir

sisteminlineerolmayanbölgesinde

t = 0

zamanndaikiyörüngearasndakimesafenin

s

0

oldu§unudü³ünelim. Bu ikiyörüngenin

t

zamansonrakiyörüngesiüzerindeki noktalar

s(t) ∼ s

0

e

λt

(2.40)

olarakyazlr. E§er

s(t)

'yi zamandizisi olarak alrsakbu ifade,

s(n) ∼ s

0

e

jλ

(2.41)

biçimindeyazlr. Burada,

j

iterasyonsays veya zaman dizisininindisini göstermek-tedir. Denklem (2.40)'da

λ

eksponansiyeli boyutsuzdur ve Lyapunov üsteli olarak adlandrlr. Feigenbaum gra§inde normalvekaotikbölge için srasyla

|x

j

− x

∞

| = e

−jλ

|x

j

− x

∞

| = e

jλ

yazlr. Normalbölge vekaotikbölgeiçin

λ

'nn

r

ilede§i³iminingra§i“ekil2.11( )'de görülmektedir. “ekil2.12(a)'danormalbölgeiçerisindekalan

r = 2, 6

de§eriveikifarkl

x

01

= 0, 010

ve

x

02

= 0, 015

ba³langçde§erleri için

f (x)

zaman dizisi görülmektedir. Görüle e§i gibi

j → ∞

olurken

|x

j

− x

∞

| → 0

olmaktadr. “ekil 2.12(b)'de ise kaotik bölge içerisinde kalan

r = 4

de§eri ve iki farkl

x

01

= 0, 010

ve

x

02

= 0, 015

ba³langç de§erleri için

f (x)

zaman dizisi görülmektedir. “ekilden görüle e§i gibi, iki farkl ba³langç de§eriyle ba³layan dizinin 10. teriminde aralarndaki fark

0, 716

olmaktadr. “ekil 2.11( )'den

r < r

∞

olan normal aralkta

λ

'nn negatif oldu§unu, dallanmanoktalarnda sfraçkt§nve kaotikbölgede

λ

'nn pozitifoldu§u görülmek-tedir. Lojistik denklem için Lyapunov üstellerinihesaplayan Mathemati a ve Fortran

kodlar Ek-A 4'de verilmi³tir. Verilen programlara dikkat edilirse iki ba³langç kök

de§erini key belirleyerek, istenilen iterasyon saysnda lojistik denklem için köklerin

aralarndakimesafe alnarak algoritma olu³turulmu³tur. Kökler arasndaki mesafenin

mutlakde§erialnmas³artylaLyapunovhesabgeneltoplamniterasyonsaysnaoran