4.2 S* ve Q*'in Tipik Örnekleri
4.2.1 J < 0 Durumu
Buksmda,
J
veD
'ninbazde§erleriiçinS
∗
ve
Q
∗
'daortayaçkantipikdavran³larn
in eleyip yorumlamaya çal³a a§z. Burada göre e§imiz
S
∗
ve
Q
∗
e§rilerinin yorum-
larn daha sonraki ksmlardakullana a§z.
J = −1.5
veD = −1.1
de§erleriiçin elde edilenS
∗
ve
Q
∗
e§risi ekil4.2'de görülmektedir.
ekil4.2:
J = −1, 5 eV
veD = −1, 1 eV
de§eri içinelde edilenS
∗
ve
Q
∗
e§rileri
ekil4.2'degörülü§ü gibi
S
∗
e§risinde A,B veColmaküzereüç ksmgözükmektedir.
ekil4.2'de yatay ekseni
kBT
olarakaldkve bu nedenle görülen üç ksmCBA srala- masndadr. E§eryatayekseniβ = 1/kBT
olarakçizmi³olsaydke§ritersdöne ektirve sralamaABC ³eklinde ola aktr. E§riye ABC sralamasnda bakt§mzda,β = 0
'danβ = 1/kBTCurie
de§erine kadar olan aralkta sfr de§erinde kararl olanS
∗
e§risi, tam
β = 1/kBTCurie
de§erinde dallanmaya u§ramaktadr. Yani,S
∗
'nin de§eri tek de§er
olankökkararsznoktaolup,bununaltndaveüstündebulunandi§erikikökkararldr.
Kararszolanbusabitnoktakararlolansabitnoktalara(dalkoluüzerindekinoktalara)
do§ru çekilmektedir.
Literatürde isimlendirilmi³ çatal (pit hfork) dallanmasna benzedi§i gözükmektedir.
Pit hfork dallanmasnda, dallanma e§rilerinin parabolik oldu§unu biliyoruz. Periyot
çiftlenmesine u§rayan
S
∗
e§risi
T = TU
s akl§nda tekrar tek de§er almaktadr. Bu noktadan sonra, periyot çiftlenmesine u§rayanS
∗
e§risi artk kararl olmamakta
ve kararl olan tek bir e§riye dönü³mektedir. Bu olayn benzeri lojistik denklemde
de gözükmektedir. Orada, sonsuz periyot katlanmasnn oldu§u kaotik bölgeden, d³
parametrenin
3, 84 < r < 3, 855
oldu§ubölgede periyot3 pen eresine geçerken sonsuz dallamabölgesindekie§rilerkararl olan3 tane e§ri biçimindegözükmektedir.imdi
Q
∗
e§risini ekil 4.2'de in eleyelim. ABC sralamasna bakt§mzda s akl§n
[+∞, TCurie]
aral§ndaQ
∗
e§risi
0, 6
de§eri ivarndakararldr. S aklkTCurie
de§erine do§ru giderkenQ
∗
e§risi
0, 6
de§erinden azalmaktadr.T = TCurie
de§erindeQ
∗
e§risi dallanmaya u§ramaktadr. Dallanmann bu türünin, literatürde isimlendirilmi³
dallanma türü olan transkritik dallanmasna benzedi§i gözükmektedir. Transkritik
dallanmasnda,dallanmae§rilerininlineeroldu§unubiliyoruz. An ak,buradae§rininB
ksmndanC ksmnayakla³tkça lineerliktensapt§görülmektedir. S akl§n,
TU
de- §erindetranskritikdallanmayau§rayanQ
∗
e§risinintekrarkararszoldu§ugözlenmekte
vekararlolanbirba³kadurumuatlamaktadr. Cbölgesinde
Q
∗
e§risininsfr ivarnda
kararloldu§ugörülmektedir. An ak,
Q
∗
de§erlerininCbölgesinden Bbölgesinedo§ru
ekil 4.2'de ki
S
∗
ve
Q
∗
e§rilerinin yukarda anlatlan matematiksel açklamalarnn
ziksel kar³lklarn bulmaya ve anlamaya çal³alm. A, B ve C bölgeleri bir faz
durumuna kar³lk gelmektedir. Böyle olun a A-B ve B-C noktalar (arayüzleride)
faz geçi³lerine kar³lk gelmektedir. Görüle e§i gibi aslnda dallanma noktalar faz
geçi³ noktalarn vermektedir. Dipol momentin bulunmad§
S
∗
= 0
ve kuadropol
momentin
Q
∗
= 0, 6
ivarnda bulundu§u A bölgesi düzenin olmad§ paramanyetik
fazgöstermektedir. Bbölgesinde hem
S
∗
hemde
Q
∗
sfrdanfarkldr. Bubölge,dipol
momentin olmas nedeniyle düzenli bir davran³ gösteren ferromanyetik faza kar³lk
gelmektedir.
Daha ön e yaplan bir çokçal³mada, (2.27) denklemleriNewton-Raphson yöntemiyle
çözülmü³,
S
∗
ve
Q
∗
gra klerinin hiç birinde C bölgesinden bahsedilmemi³tir. Bu
bölgede birgariplikolabile e§inden ku³kulanarak,bu bölgeserbest enerji yüzeylerinin
kontur haritalar çizilerek bu haritalardan kararl veya yar-kararl noktalar bulun-
mayaçal³lm³tr. Bu haritalar yardmyla bu bölgenin taranmas uzun hesaplamalar
gerektirmektedir. Özellikle
β
,J
veD
kare prizmann tüm bölgesi dü³ünüldü§ünde ne kadar zahmetli ola a§ açktr. Bu nedenle bu bölgede snrlJ
veD
de§erleri için hesaplamalaryaplmaktaveburadaneldeedilenfazdiyagramlardadü³üks aklklardabilgieksiklikleriolu³maktadr. Bizimkulland§mzyöntemde,kontur haritasnagerek
duymadan C bölgesi elde edilmektedir.
A bölgesinden B bölgesinegeçerken hem
S
∗
hem de
Q
∗
'nin de§erinde sürekli bir geçi³
görülmektedir. Literatürde AfazndanB faznageçi³ ikin idere eden fazgeçi³i olarak
yorumlanmaktadr. C bölgesinde düzen parametrelerinin her ikisi de in elendi§inde,
hem
S
∗
= 0
olurken hem de
Q
∗
→ 0
olmaktadr. Bu nedenle C faz "tamamen düzensiz"birfazakar³lkgelmektedir. An aks aklksfragiderkenbufazntamamenbozulmasn sa§lamaktadr. Bu durum, dü³ük s aklklarda termodinamik çal³mak-
tan ziyade dinamik hesaplamalar yapmakla anla³lablir. C bölgesinde genel olarak
bilinenlere aykr bir ba³ka nokta da C fazndan B fazna geçi³te ortaya çkmaktadr.
Görüle e§igibiBfazndanCfaznageçi³,sçramalolmasnedeniylebirin imertebeden
birfaz geçi³idir. E§er C fazyeni bir manyetik düzenlenme durumunu gösteriyorsa, B
faz ferromanyetik faz olmas nedeniyle B fazndan C fazna geçi³in genellikle ikin i
mertebeden faz geçi³i olmas gerekir. An ak, ekil 4.2'den görüldü§ü gibi B-C faz
geçi³ininbirin idere edenolmas genelolarakbilinenlerebirtezatlk olu³turmaktadr.
Ayr a literatürde B-A faz geçi³inde (3.3) ile verilen türevin sfra e³it oldu§u içinbu
bölgede kök bulunamamaktadr. Bu durumda, faz geçi³inin oldu§u kritik s aklk du-
yarlolarakhesaplanamamaktadr. Bunedenle bufazgeçi³ibölgesindekis akl§daha
hassas hesaplamak için Hessian determinant kullanlmaktadr. Hessian determinan-
tnn de§erinin pozitiften negatife geçti§i yer kritik s akl§ vermektedir. Dolaysyla
bubölgeiçindeyenidenkökhesaplanmakzorunda kalnmaktadr. Ayr a, literatürdeki
hesaplamalardaCbölgesibulunmad§içinburadakigeçi³leriin elemekiçindeHessian
determinant kullanlmaktadr. Halbuki bizim yapt§mzhesaplamalarda hem C böl-
gesi için hem de B-A geçi³iiçin kritik s aklklarbulmada, hesaplamalarmzyannda
ba³ka birhesaplamayadaha gerek duyulmamaktadr. ekil4.3'de elde etti§imiz
S
∗
ve
Q∗
e§rileri görülmekte ve siyah renkteki e§riler
S
∗
'yi ve krmzrenkteki e§riler
Q
∗
'yi
temsil etmektedir. ekil 4.3(a)'da tüm s aklk bölgesinde
S
∗
= 0
olmaktadr, an ak
Q∗
de§eri s aklk arttkça sfrdan ba³layarak hzla artmakta ve daha sonra da
0, 6
de§erine ula³p sabit de§erde kalmaktadr. Bu durumda,S
∗
e§risine bakaraksistemin
( b )
( a )
( c )
( d )
( e )
( f )
ekil 4.3: (a)J = −1, 5 eV
,D = −1, 4 eV
b)J = −1, 5 eV
,D = −1, 388 eV
, ( )J = −3 eV
,D = −1, 6 eV
, d)J = −1, 5 eV
,D = −0, 2 eV
, e)J = −2, 3 eV
,D = −0, 8 eV
vef)J = −3 eV
,D = 2, 9 eV
içinS
∗
veQ
∗
e§rileriAn ak
Q
'nunikifarkldavran³sergilemesisisteminCfazndanAfaznageçti§inivebu geçi³lesüreklioldu§unusöyleyebiliriz. ekil4.3(b)'de d³parametrelerJ = −1, 5 eV
veD = −1, 388 eV
de§erliçok özelbirdurumakar³lkgelmektedir. Bu özel durumdaTU
veTC
s aklklarnnbirbirlerineyakla³arake³itlendi§is aklkde§erinigöstermektedir. Bu gra kte A ile C fazarasnda B faznnda ortayaçkmaya ba³lad§görülmektedir.Bu kritik noktada
kBT = 0, 9715 eV
de§erini almaktadr. ekil 4.3( )'de B ve C faz vardr. S aklkaral§nnüst snrnda,S
∗(T )
sfrayakla³mad§içindaha yo§undur.
ekil4.3(d)'deAveBfazlarvardr. An akCfazbulunmamaktadr. ekil4.3(e)'deA
ve C fazbulunmamakta,sade e B faz vardr. Yani sistemtümüyleferromanyetik faz
durumundadr. Verilen
kBT
aral§ndaTU
geçi³ s akl§ bulunmaz,TC
geçi³ s akl§ vardr.kBT ≈ 3, 25
gibiçokyüksek s aklklaradadüzenparametresi sfragitmemek- tedir. Bu, yo§un bir ferromanyetik faz durumu oldu§unu göstermektedir. E§er,kBT
de§erinidaha büyükde§erlere götürseydikS
∗
e§risisfr oldu§ubir