Tanım:
f(x) , f(x)>0
If(x)I= 0 , f(x)=0
-f(x) , f(x)<0
f: R { -1,0,1 }
= 1 , g(x)>0
F(x)= sgn(g(x)) = 0 , g(x)=0
= -1 , g(x)<0
Biçiminde tanımlanan f(x) fonksiyonuna g(x9 in işaret
fonksiyonu denir ve sgn(g(x)) şeklinde gösterilir.
x € R olsun, x’den küçük olan en büyük tamsayıya tamdeğer x
denir.
Diziler yardımıyla limit
Epsilon tekniği ile
limit
Sağdan ve Soldan limit
Mutlak değer fonksiyonunda limit
İşaret (sgn) fonksiyonunda limit
Tamdeğer fonksiyonunun limiti
Limit f(x)’sağdan incelersek elde ettiğimiz değer ile,soldan
incelediğimizde elde edeceğimiz değer eşit olmalı ki limit olsun
1 2
Limit olması için sağ ve sol limitler eşit olmalıdır.
Limit varsa tektir.
Tanım:A R Olmak üzere,f:A R fonksiyonu verilmiş olsun.
Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisinin f
fonk-siyonuna göre görüntü dizisi denir.
)
(
x
n.
),...)
(
),...,
(
),
(
),
(
(
))
(
(
))
(
(
,
,...)
,...
,
,
(
)
(
3 2 1 3 2 1dir
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
görüntüsü
x
f
dizisiiçin
x
x
x
x
x
x
n n n n n
Tanım:A R,f:A R bir fonksiyon a R,L R,
olmak üzere önermesine uyan a bağlı
varsa x, a ya yakınsarken f nin limiti L dir, denir ve
biçminde yazılır.
R < < f x L a x ( )
R
L
x
f
a x(
)
lim
Yani x ler a ayısına yaklaşırken , x lerin ordinatları olan f(/x) ler
L reelsayısına yaklaşıyora,”x ler a ya yakınsarken f(x)ler L ye
yakınsar.” denir.
(
)
lim
f
x
aBİR NOKTADA SÜREKLİLİK
BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
SÜREKLİLİĞİ
SÜREKLİLİĞİ
EKSTREMUM DEĞERİ
EKSTREMUM DEĞERİ
Tanım:
Tanım: , olmak üzere ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda, ise, f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir, denir.
Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için: 1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.
2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.
3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.
Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir.
R
A
a
A
f
:
A
R
f(a)
f(x)
lim
xa
Tanım:
Tanım: , olmak üzere fonksiyonunda:
1. ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan süreklidir, denir.
2. ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir, denir.
R
A
a
A
f
:
A
R
f(a)
f(x)
lim
xa-
f(a)
f(x)
lim
xa
1. f(x) = sinx için; olduğundan, sinx fonksiyonu
R’de süreklidir. Yandaki grafiğin hiçbir noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir.
2. f(x) = cosx için; olduğundan, cosx fonksiyonu
R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz.
R
x
-1 0 y x 2 2 1 f(x) = sinx y x 1 2 2 0 f(x) =cosxa
sin
)
a
(
f
x
sin
lim
)
x
(
f
lim
xa
xa
sinx
2
x
cos
cosx
-1
sinx
f(x)
Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız.
x : x 2k ,k Z
Ç Ç Ç Ç 0 Ç -2 sinx 0 sinx 2 Z k , 2k x : x Ç 1 cosx 0 cosx 1 2 1 2 1 f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir.
olduğundan
kümesinde fonksiyon süreksizdir.
O halde kümesinde
fonksiyon süreksizdir.
x
:
x
2k
,
k
Z
fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır.
•Teoreme göre olacak biçimde m ve M sayıları
vardır. F fonksiyonunun aralığında aldığı en küçük
(minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M değerlerine, fonksiyonun aralığında ekstremum değerleri denir.
