Ünite08 Limit ve Süreklilik

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ

LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI

Analiz

Cilt 2

Analiz

Yazar:

Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Editör:

Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ Y A Y I N L A R I N O : 6 0 0

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir.

"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır.

İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt

veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz.

Copyright

©

1999 by Anadolu University All rights reserved

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic,

photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University.

Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• fonksiyonların limiti kavramını öğrenecek,

• limitler

hakkındaki teoremleri görecek,

• basit limitlerin hesaplanması tekniğini öğrenecek,

• fonksiyonların sürekliliği kavramı ile tanışacaksınız.

İçindekiler

• Giriş

205

• Fonksiyon Limitinin Tanımı

205

• Limit Özellikleri

211

• Süreklilik

216

• Değerlendirme Soruları 219

Çalışma Önerileri

• Limit ve Süreklilik Kavramlarını iyi öğreniniz

• Çok sayıda fonksiyon örneği alıp limitlerini bulmaya çalışınız

ÜNİTE

8

Limit ve Süreklilik

Yazar

• Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz

• Çok sayıda fonksiyon örneği alıp onun sürekli olup

1. Giriş

Geçen ünitede dizilerin limitleri ile tanışmıştık. Bu ünitede fonksiyonların limiti kavramını ele alacağız. Fonksiyonların limiti kavramı türev, integral gibi kavram-ların temelini oluşturur. Ünite sonunda sürekli fonksiyonlar konusuna kısaca de-ğineceğiz.

2. Fonksiyon Limitinin Tanımı

A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR , y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer x değişkeni-nin değerleri sabit bir a gerçel sayısına istenildiği kadar yakın ise o zaman bu yak-laşma sembolik olarak x → a gibi gösterilir ve "x değişkeni a ya yaklaşıyor" şeklinde okunur. y = f(x) fonksiyonunun limitinin varlığı, x değişkeni a ya yaklaş-tığı zaman f(x) fonksiyon değerlerinin bir gerçel sayıya yaklaşıp yaklaşmamasına bağlıdır. Örneğin, f(x) = x2 _{-2 fonksiyonunu ele alalım ve x → 3 olduğunu}

varsayalım. x 3 e yakın değerler aldığı zaman f(x) in aldığı değerleri gösteren aşa-ğıdaki tabloyu ele alalım:

Tablodan görüldüğü gibi x değişkeni 3 e ister 3 den küçük değerlerle, isterse 3 den büyük değerlerle yaklaşsın f(x) = x2 _{- 2 nin değerleri 7 ye yaklaşmaktadır. İşte}

bu durumda x → 3 iken f(x) in limiti 7 dir diyecek ve sembolik olarak

şeklinde göstereceğiz.

A kümesi ve a sayısı verilsin. Eğer merkezi a noktasında olan her (a - δ , a + δ) açık aralığında b ≠ a , b ∈ A koşullarını sağlayan en az bir b sayısı bulunabili-yorsa, o zaman a noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Bir kümenin yığıl-ma noktası o kümenin eleyığıl-manı olabilir de, olyığıl-mayabilir de. Örneğin, a = 0 noktası A = (0,1) açık aralığının yığılma noktasıdır. Her bir gerçel sayı Q rasyonel sayılar kü-mesinin yığılma noktasıdır.

f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a sayısı A kümesinin yığılma noktası olsun. Eğer her

ε

> 0 için bir δ >0 sayısı bulunabiliyor ve 0 < | x - a | < δ eşitsizliğini sağlayan tüm x ∈ A değerleri için | f(x) - L | <

ε

eşitsizliği sağlanıyorsa, o za-man x →→→→ a iken f(x) in limiti L dir (veya f fonksiyonunun a noktasındaki li-miti L dir) denir ve sembolik olarak

(x2 _{- 2) = 7}

lim

x → 3

x 2,9 3,1 2,99 3,01 2,999 3,001 . . .

şeklinde gösterilir.

Dizi limitinde olduğu gibi bu tanım da şöyle yorumlanabilir. Her

ε

> 0 için öy-le δ > 0 vardır ki tanım kümesine ait olan ve (a - δ , a + δ) aralığına düşen a dan farklı tüm x ler için f(x) değerleri (L -

ε

, L +

ε

) aralığına düşer.

Örneğin, çünkü her

ε

> 0 için öyle δ > 0 vardır ki (2 - δ , 2 + δ) aralığındaki tüm x ler için x3 _{ün değerleri (8 -}

_ε

_{, 8 +}

_ε

_{) aralığına düşer (}

_ε

veril-diğinde δ nın

ε

a bağlı nasıl seçileceğini tartışmıyoruz).

Tanımdan görüldüğü gibi sabitin limiti kendisidir:

Dizilerin limiti ile fonksiyonların limiti arasında sıkı bir ilişki vardır.

olması için gerek ve yeter koşul, her xn ∈∈∈∈ A, (n ∈∈∈∈ N) ve (xn)

→→→

→ a koşulunu sağlayan (xn) dizileri için (f(xn)) →→→→ L olmasıdır. Yani,

olması için gerek ve yeter koşul, tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve a ya L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 206 f(x) = L veya x → a iken f(x) → L lim x → a c = c lim x → a . f(x) = L lim x → a f(x) = L lim x → a Şekil 8.1 Şekil 8.2 x3 _{= 8 dir,} lim x → 2

yakınsayan her (xn) dizisine karşılık, fonksiyon değerlerinden oluşan (f(xn))

di-zisinin L sayısına yakınsamasıdır.

Örnek:

f: IR → IR, f(x) = x2 _{- 2 olmak üzere olduğunu gösterelim.}

Çözüm:

xn ∈ IR için (n ∈ IN) f(xn) = xn2 - 2 dir. Her (xn) → 3 için (xn2 ) → 9 olduğundan

(f (xn)) = (xn2 - 2) → 9 - 2 = 7 dir. Dolayısıyla

Örnek:

f: IR → IR , f(x) =

parçalı tanımlı fonksiyonun x → 1 için limitinin olmadığını gösterelim.

Çözüm:

n ∈ IN için alalım. Bu durumda (xn) → 1 olduğu açıktır.

olduğundan

Buna karşılık, n ∈ IN için alırsak (x

'

n) → 1 dir. Her n ∈ IN için x

'

n > 1

olduğundan f(x) = 7 lim x → 3 (x2 _{- 2) = 7 dir.} lim x → 3 2x + 4 , x ≤ 1 ise 5x - 1 , x > 1 ise xn = 1 - 1 n < 1 f( xn) = 2 1 - 1 n + 4 = 6 - 2n ve f (xn) lim n → ∞ = n → ∞lim 6 - 2n = 6 dır. 6 4 -2 • 1 1 - 1 n 1 + 1n y x x_n

'

= 1 + 1 n f( x_n

'

) = 5 x_n

'

- 1 = 5 1 + 1 n - 1 = 4 + 5n ve f( x_n

'

) = lim n → ∞ n → ∞lim 4 + 5n = 4 dür. Şekil 8.3 xn = 1 - 1 n

Burada tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve 1 e yakınsayan farklı iki diziye karşı gelen fonksiyon dizileri aynı sayıya yakınsamamaktadır. Bu nedenle fonksi-yonun x = 1 noktasında limiti yoktur. Bu durum grafikten de açıkça görülmekte-dir. Grafikten gördüğümüz gibi, x değişkeni 1 e 1 den büyük değerlerle yaklaşır-ken fonksiyon değerleri 4 e yaklaşmakta, x değişyaklaşır-keni 1 e 1 den küçük değerlerle yaklaşırken ise fonksiyon değerleri 6 ya yaklaşmaktadır. x → 1 için fonksiyon değerleri aynı sayıya yaklaşmadığından fonksiyonun limiti yoktur.

limitlerini araştırınız.

Cevaplar 1) Yoktur 2) 0 olmalıydı.

Örnek:

Eğer x değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan küçük kalıyorsa, o zaman "x değişkeni a ya soldan yaklaşıyor" denir ve bu yaklaşma sembolik olarak x →→→→ a- gibi gösterilir.

Eğer x değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan büyük kalıyorsa, o za-man "x değişkeni a ya sağdan yaklaşıyor" denir ve sembolik olarak x →→→→ a+

gibi gösterilir.

x → a- iken f(x) in limiti varsa, bu limite f(x) in a noktasında soldan limiti denir ve

bu limit gibi gösterilir.

x → a+ iken f(x) in limiti varsa, bu limite f(x) in a noktasında sağdan limiti denir ve

bu limit gibi gösterilir.

L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 208 x lim x → 4 = 2 , lnxx → 1lim = 0 , x 2 3 lim x → 8 = 4 , e x lim x → 0 = 1 , x 5 lim x → 32 = 2 , (cosx)x → πlim = -1 , sinx lim x → π 2 = 1 , cotxlim x → π 4 = 1 , tanx lim x → π 2 - yoktur. f(x) lim x → a -f(x) lim x → a+

?

1) x → 0lim x 2) x - 1 3x + 5 lim x → 1

limitinin mevcut olması için, a noktasında sağdan ve soldan limitler mevcut ve birbirine eşit olmalıdır. Yani

dir.

Örnek:

soldan ve sağdan limitleri hesaplayalım.

Çözüm:

x → 0

-

olması x < 0 , x → 0+ _{ise x > 0 demektir. x < 0 için |x| = -x , x >}

0 için ise

|x| = x olduğundan

bulunur. Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığından (-1 ≠ 1) , yoktur.

Örnek:

parçalı tanımlı fonksiyonu için limitlerini bulalım.

Çözüm:

x < 1 için f(x) = -2x + 3 , x > 1 için f(x) = x2 _olduğundan

dir. Soldan ve sağdan limitler eşit olduğundan limiti var ve 1 dir. f(x) lim x → a f(x) lim x → a+ = lim f(x) x → a- = L ⇔ x → alim f(x) = L x x lim x → 0 ve x x lim x → 0+ x x lim x → 0 = -x x lim x → 0 = lim -1 x → 0 = -1 x x lim x → 0+ = x → 0lim+ xx = x → 0lim+ 1 = 1 x x lim x → 0 limiti f(x) = x 2 _{, x ≥ 1 ise,} -2x + 3 , x < 1 ise f(x) lim x → 1 , lim f(x) x → 1+ f(x) lim x → 1 f(x) lim x → 1 = lim (-2x + 3) x → 1 = (-2) . 1 + 3 = 1 , f(x) lim x → 1+ = x 2 lim x → 1+ = 1

fonksiyonunun x = -1 noktasında soldan ve sağdan limitlerini hesaplayınız.

Cevaplarınız 3 ve 1 olmalıdır.

a → - ∞ ve a → ∞ durumlarında da limit tanımlanabilir. Eğer her

ε

> 0 için bir ∆ > 0 bulunabiliyor ve x < -∆ eşitsizliğini sağlayan tüm x ler için |f(x) - L| <

ε

oluyorsa, o zaman "x →→→→ - ∞ iken f(x) in limiti L dir" denir ve gibi yazılır.

Eğer her

ε

> 0 için bir ∆ > 0 bulunabiliyor ve x > ∆ eşitsizliğini sağlayan tüm x ler için |f(x) - L| <

ε

oluyorsa o zaman "x →→→→ ∞ iken f(x) in limiti L dir" denir ve

gibi yazılır.

Tanımlardan görüldüğü gibi olması için x in

aldığı değerler negatif yönde gittikçe çok küçüldüğünde (veya pozitif yönde çok büyüdüğünde) f(x) in aldığı değerler bir L ye istenildiği kadar yakın olmalıdır.

Örnek:

1) Çünkü x büyük değerler aldığında ifadesi 0 a

iste-nildiği kadar yakın değerler alır. Aynı sebepten (c-sabittir) olur.

2)

3)

limitlerinin değerleri nedir?

Cevaplarınız 2, 0 ve 5 olmalıdır. L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 210

?

f(x) = x 2 _{- 2x , x ≤ -1 ise,} x + 2 , x > -1 ise

?

f(x) lim x → - ∞ = L f(x) lim x → ∞ = L f(x) lim x → - ∞ = L (veya x → ∞lim f(x) = L) 1 x lim x → ∞ = 0 dır. 1 x 1 x lim x → - ∞ = 0 dır. Ayrıca, 2x + 3 x lim

x → ∞ limitini bulmak için 2x + 3 ifadesini x e bölelim:

2x + 3

x = 2 + 3x , buradan x → ∞lim 2x + 3x = x → ∞lim 2 + 3x = 2 + 0 = 2 bulunur.

1 x - 1 lim

x → - ∞ = 0 dır. Çünkü x → - ∞ iken 1_{x - 1} ifadesi negatif değerler

ala-rak sıfıra istenildiği kadar yakın değerler alır. (Burada, x → -∞ için kes-rin payı sabit kalırken paydası mutlak değerce sınırsız büyümektedir).

x + 2 lim x → - 4 , 100 x lim x → - ∞ , x → ∞lim 5x + 3_{x - 2} c x lim x → ∞ = 0

3. Limit Özellikleri

Şimdi limitlerin hesaplanmasında faydalı olan aşağıdaki teoremleri vereceğiz.

1) Eğer limiti varsa bu limit tekdir.

2) f(x) ve g(x) fonksiyonları verilsin. Eğer x in a ya yakın tüm değerlerinde

eşitsizliği sağlanır.

3) f1(x), f2(x), ..., fn(x) fonksiyonları verilsin ve

c bir sabit olmak üzere olduğundan, son eşitliğin bir sonucu olarak, sabitin her zaman limit işaretinden dışarı çıkarılabileceğini söyle-mek mümkündür:

4) Eğer pay ve paydanın limiti varsa ve paydanın limiti sıfırdan farklı ise o zaman kesrin limiti, limitler oranına eşittir: olmak üzere,

dir.

5) f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonları verilsin. Eğer x in a ya yakın tüm değerleri için h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) dir. f x lim x → a f x ≤ g x ise ve lim f x

x → a , x → alim g x limitleri varsa o zaman

lim f x

x → a ≤ x → alim g x

fn x

lim

x → a limitleri mevcut olsun. Bu durumda

_{x → a}lim f1 x ± f2x ± ... ± fn x ve _{x → a}lim f1 x . f2 x ... fn x

limitleri de vard ı r ve f1 x ± f2 x ± ... ± fn x

lim

x → a = x → alim f1x ± x → alim f2x ± ... ± x → alim fn x

f1 x . f2 x ... fnx

lim

x → a = x → alim f1x . x → alim f2 x ...x → alim fn x

dir. c = c lim x → a c f x lim x → a = c x → alim f x . lim x → ag x ≠ 0 lim x → a f x g x = lim x → af x lim x → ag x

eşitsizli ği sağlanı yorsa ve lim

x → ah x = limx → ag x = L lim x → af x = limx → ah x = limx → ag x = L f1x lim x → a , x → alim f2 x , ....,

ise o zaman lim

Bu teoremlerin ispatı limitin tanımından yararlanarak yapılabilir. Örneğin, 1). yi is-patlamak için x → a iken f(x) in L1 ve L2 limitlerinin var olduğunu

varsaya-lım. O zaman tanıma göre her

ε

> 0 için öyle δ1 > 0 vardır ki 0 < |x - a|< δ1 iken

dir ve aynı zamanda öyle δ2 > 0 vardır ki 0 < |x - a| < δ2 iken

olur. Eğer δ1 ve δ2 sayılarından küçük olanına δ dersek o zaman

0 < |x - a|< δ eşitsizliğini sağlayan her bir x için aynı zamanda|x - a|< δ1 ve|x

-a|< δ2 eşitsizlikleri de sağlanmış olur. Buna göre mutlak değerin de özelliklerini

kullanırsak,

yazabiliriz.

ε

keyfi olduğundan |L1 - L2| = 0 veya

L1 - L2 = 0 , L1 = L2 olmalıdır. Dolayısıyla varlığı halinde limit tekdir.

Not: Yukarıdaki teoremler a → - ∞ ve a → ∞ için de doğrudur. Örnek: 1) 2) 3) 4) 5) L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 212 f x - L1 <

ε

2 f x - L2 <

ε

2 L1 - L2 = L1 - f x + f x - L2 ≤ L1 - f x + f x - L2 ≤ f x - L1 + f x - L2 <

ε

2 +

ε

2 =

ε,

x2 _{+ 3x -1} lim x → 2 = x 2 lim x → 2 + x → 2lim 3x-x → 2lim 1 = 4 + 3 lim x x → 2 - 1 = 4 + 3 . 2 - 1 = 9 x x + 1 lim x → 4 = x lim x → 4 x + 1 lim x → 4 = 2 5 lim x → π 2

sinx . 1 + cosx = lim

x → π 2 sinx . lim x → π 2 1 + cosx = 1 . 1 + 0 = 1 lim

x → ∞ 2x + 4_{3x + 1} limitini hesaplamak için pay ve paydayı x ile bölelim:

2x + 4 3x + 1 = 2 + 4 x 3 + 1 x buna göre , lim x → ∞ 2x + 4_{3x + 1} = limx → ∞ 2 + 4 x 3 + 1 x = x → ∞lim 2 + 4x lim x → ∞ 3 + 1_x = 2 + limx → ∞ 4x 3 + lim x → ∞ 1_x = 2 + 0 3 + 0 = 23 bulunur. lim x → - ∞ 3x 2 _{+ 2x + 1}

x2 _{+ 4} limitini hesaplamak için pay ve paydayı x 2 _ile

bölelim:

x → a veya x → ± ∞ için f(x) değerleri pozitif yönde sınırsız büyüyorsa fonksi-yonunun limiti ∞ dur denir. Benzer şekilde x → a veya x → ± ∞ için f(x) de-ğerleri negatif yönde sınırsız küçülüyorsa, bu durumda fonksiyonun limiti - ∞ dur denir. Örneğin

Yukarıdaki 4). ve 5). örneğimizde, sırasıyla x →→→→ ∞ veya x →→→→ - ∞ için kesirlerin pay ve paydaların limiti ∞ olduğu halde kesirlerin limitleri sırasıyla 2/3 ve 3 tür. Bu örneklerde olduğu gibi x →→→→ ± ∞ (veya x →→→→ a için) bir kesrin pay ve paydası ∞ olduğunda

kes-rin limitinin varlığı veya varsa değeri kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda sonsuz bölü sonsuz belirsizliği vardır diyor ve sembolik olarak ∞∞ /∞∞∞ ∞∞∞ şeklinde gösteriyoruz. ∞∞ /∞∞∞ ∞∞∞

belirsizliği limit yok demek değildir. Sadece limitin varlığının ve varsa değerinin kesre bağlı olduğunu ifade eder.

6) 7) 3x2 + 2x + 1 x2 _{+ 4} = 3 + 2 x + 1_x2 1 + 4 x2 . lim

x → - ∞ 2_x = 2 limx → - ∞ 1_x = 2 . 0 = 0, limx → - ∞ 1_x2 = 0, limx → - ∞ 4_x2 = 0 olduğunda

lim x → - ∞ 3x 2 _{+ 2x + 1} x2 _{+ 4} = lim x → - ∞3 + limx → - ∞ 2_x + limx → - ∞ 1_x2 lim x → - ∞1 + limx → - ∞ 4_x2 = 3 + 0 + 0 1 + 0 = 3 bulunur.

!

lim x → 0+ 1x = ∞ , lim x → 0- 1x = -∞ , lim x → ∞ x 2 _{- 4x = ∞} dur. lim x → 0 x 2 _{+ x} 3x2 + 4x

limitini bulmak için pay ve paydada x in yaklaştığı değer olan sıfırı yazarsak pay ve payda sıfır olur. Ancak bu durum limitin ol-madığı anlamına gelmez. Limiti bulmak için kesri sadeleştirmek gerekir. Bunun için x2 + x 3x2 + 4x = x x + 1 x 3x + 4 = x + 13x + 4 yazabiliriz. Buradan lim x → 0 x 2 _{+ x} 3x2 + 4x = lim x → 0 x + 1_{3x + 4} = lim x → 0 x + 1 lim x → 0 3x + 4 = 1 4 elde edilir. lim

x → 1 x - 1_{x - 1} limitini bulalım. x → 1 için hem pay hem de payda 0

6). ve 7). örneklerde, sırasıyla x →→→→ 0 , x →→→→ 1 için pay ve payda 0 a yaklaştığı halde kesirlerin limitleri 1/4 ve 2 olmaktadır. Bu örneklerden görüldüğü gibi x →→→→ a

( veya x →→→→ ± ∞) için pay ve payda 0 a yaklaşırsa kesrin limiti kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda da belirsizliği vardır diyoruz. Bu belirsizlik de limitin olmadığı anlamına gelmemekte, sadece limitin varlığının ve değerinin kesre bağlı ol-duğunu ifade etmektedir.

Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.

Şimdi, x bir açının radya cinsinden ölçümünü göstermek üzere,

olduğunu ispatlayalım. Bunun için merkezi koordinat sisteminin başlangıç nokta-sında olan birim çemberi ele alalım (Şekil 8.4). BOA açısı x, A noktanokta-sında çemberin teğeti ile OB nin uzantısının kesiştiği nokta C olsun. Şekilden görüldüğü gibi L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 214 x - 1 x - 1 = x - 1 x + 1 x - 1 = x + 1

olur. Aynı sonuç, pay ve payda, paydanın eşleniği ile genişletilerek de bu-lunabilir: x - 1 x - 1 = x - 1x - 1 . x + 1x + 1 = x - 1 x + 1 x - 1 = x + 1. Buna göre, lim x → 1 x - 1_{x - 1} = limx → 1 x + 1 = 2 bulunur.

?

lim x → - ∞ 4x 2 _{- x} 3x2 + 4x , lim x → 8 x 2 3 + e - x8 , lim x → -3 x 2 _{- 9} x + 3 , x → πππlimπ 4

sinx - cos2_{x , lim}

x → ∞2x 2 _{- x + 1} x Cevaplarınız 4/3, 4 + e-1, -6, 2 - 1 2 ve "∞ " olmalıdır. lim x → 0 sinx x Limitinin Hesaplanması x 0 B • C A • • • K (1,0) x y Şekil 8.4 lim x → 0 sinx x = 1 0 0

AOB üçgen alanı < AOB daire kesmesinin alanı < AOC üçgen alanı , BK = sinx, OA = 1, AC = OA . tanx = tanx olduğundan

Buradan

elde edilir. x dar açı olduğundan sinx > 0 olur ve son eşitsizlikte tarafları sinx e bö-lersek

olur. Eğer x → 0 ise o zaman cosx → 1 olur ve limitler haklarındaki 5) . teoremden

olduğu sonucu elde edilir.

a ≠ 0 olmak üzere, olduğunu gösteriniz. Örnek:

AOB üçgen alanı = 1 2 sinx , AOC üçgen alanı = 1

2 tanx ,

?

AOB daire kesmesinin alanı = x . (daire alanı)

2π =

x . π . 12

2π = x2 olur

1

2 sinx < 12 x < 12 tanx veya sinx < x < sinxcosx

1 < x

sinx < 1cosx veya 1 > sinx x > cosx sinx x lim x → 0 = 1 1) tanx x lim x → 0 = sinx cosx x lim

x → 0 = x → 0lim sinxx cosx = x → 0lim sinxx . 1cosx

₌ sinx x lim x → 0 . x → 0lim 1cosx = 1 . 1 = 1 2) sin2x x lim

x → 0 = x → 0lim 2 . sin2x_2x = 2 x → 0lim sin2x_2x = 2 . 1 = 2

3) x sinx lim x → 0 = 1_sinx x lim x → 0 = 1 sinx x lim x → 0 = 1 1 = 1 4) sinax sinbx lim

x → 0 = x → 0lim sinax/ax_sinbx/bx . ax_bx = a_b .

sinax ax sinbx bx lim x → 0 = a_b . sinax ax lim x → 0 sinbx bx lim x → 0 lim x → 0 sinax ax = 1

limitlerini hesaplayınız.

Cevaplarınız her ikisi içinde 0 olmalıydı.

4. Süreklilik

A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a ∈ A olsun. Eğer limiti varsa ve bu limit f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki değeri olan f(a) ya eşitse, yani

ise y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli dir denir. Aksi halde y = f(x) fonk-siyonuna x = a noktasında süreksiz veya sürekli olmayan fonksiyon denir. Böy-lece fonksiyonun x = a da süreksiz olması için ya limiti mevcut olma-malı ya da limit mevcut olsa da f(a) ya eşit olmaolma-malıdır.

Not: A kümesi [a,b] kapalı aralığı ise o zaman a ve b noktalarında sağdan ve

sol-dan süreklilikten sözedilebilir. Yani, fonksiyonun a noktasında sürekli olması

Eğer y = f(x) fonksiyonu her bir a ∈ A noktasında sürekli ise o zaman bu fonk-siyona A kümesi üzerinde veya A da süreklidir denir.

Önceki ünitelerden bildiğimiz polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonlar, üs-tel ve logaritmik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar tanım kümeleri üze-rinde sürekli fonksiyonlardır.

Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı yine süreklidir. Sürekli fonksi-yonların oranı ise paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir.

L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 216

= a b . 11 = ab

(a ve b sabit gerçel sayılardır ve a ≠ 0, b ≠ 0 dır).

x cotx lim x → 0 , sin3xx , sin 2_x x lim x → 0 lim x → 0 Cevaplarınız 1, 3 ve 0 olmalıdır. x sin1 x lim x → 0 , x → ∞lim sinxx f(x) lim x → a f x = f a lim x → a f(x) lim x → a f x = f a lim x → a+ ,

b noktasında sürekli olması ise f x = f b lim x → b anlamlarını taşımaktadır.

?

?

!

limitlerini hesaplayınız.

Örnek:

fonksiyonunun x = 0 da sürekli olduğunu gösterelim.

Çözüm:

Not: Fonksiyonun x = a noktasında sürekli olması, geometrik olarak onun

grafiği-nin o noktada kesiksiz olmasını gösterir. Yukarıdaki fonksiyonun ve x = 0 nokta-sında süreksiz olan

fonksiyonlarının grafiklerine dikkat ediniz.

3. ünitede öğrendiğimiz f(x) = |x| (mutlak değer) fonksiyonu IR de süreklidir. f(x) =[x] (tam değer) fonksiyonu ise her bir x = 0, ±1, ±2,...tam sayı noktalarda

f x = x

2 _{+ 1 , x ≥ 0 ise,}

-x + 1 , x < 0 ise

f 0 = 02 + 1 = 1 olduğundan lim f x

x → 0 limitinin var olduğunu ve bu limitin

f 0 = 1 e eşit olduğunu göstermeliyiz. Bunun için sağdan ve soldan limitleri hesaplayalım. f x lim x → 0+ = x 2 _{+ 1} lim x → 0+ = 0 2 _{+ 1 = 1 , lim f x} x → 0- = x → 0-lim -x + 1 = 0 + 1 = 1 ,

sağdan limit soldan limite eşit olduğundan lim f x

x → 0 limiti var ve 1 e eşittir.

f x lim

x → 0 = 1 = f 0 olduğundan fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir.

g x = x + 1 , x > 0 ise x2 _{, x ≤ 0 ise} g x lim x → 0+ = x + 1 = 1 , _{x → 0}lim-g x = x 2 _{= 0} lim x → 0 -lim x → 0+ olduğundan x → 0lim g x

limiti yoktur ve buna göre g(x) fonksiyonu x = 0 da süreksizdir).

süreksizdir, çünkü tam sayı noktalarda soldan limit sağdan limite eşit değildir. İşaret fonksiyonu olan f(x) = sgn x fonksiyonu ise x = 0 noktasında süreksizdir. Bu fonksiyonların grafikleri 3. ünitede verilmişti. Bu grafikleri inceleyerek süreksiz-likleri görmeye çalışınız.

Not: Sürekliliğin tanımında a sayısını f(x) fonksiyonunun tanım kümesinin bir

elemanı olarak almıştık. Bu nedenle, genel olarak bir fonksiyon bir noktada tanımlı değilse, fonksiyonun bu noktada sürekliliği veya süreksizliğinden söz edilmez. Ancak aşağıdaki gibi özel noktalarda fonksiyonun süreksizliği kavramı yaygın olarak kullanılmaktadır.

Eğer a sayısı bir f fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığıl-ma noktası ise ve limiti yoksa, a nın tanım kümesinde olmamasına rağmen f(x) fonksiyonu a noktasında süreksizdir denilir. Örneğin, x = 0 noktası

fonksiyonunun tanım kümesinden olmamasına rağmen, limiti bu-lunmadığından bu fonksiyon x = 0 da süreksizdir denilir. Aynı sebepten f(x) = tanx fonksiyonu için de noktasında süreksizdir denilir.

Eğer limiti varsa ve a sayısı tanım kümesine dahil olmayıp bu kü-menin bir yığılma noktası ise veya fonksiyon a yığılma noktasında tanımlı fakat f(a) ≠ ise o zaman f(x) fonksiyonu a noktasında kaldırılabilir süreksizliğe sahiptir denir. Örneğin,

fonksiyonu x = 0 noktasında süreksizdir, çünkü x = 0 noktası tanım kümesine dahil

değildir.Ancak ve x = 0 noktası fonksiyonun tanım kümesinin

yı-ğılma noktası olduğundan f fonksiyonunun bu noktadaki süreksizliği kaldırılabi-lir süreksizliktir. Çünkü f(x) ile sadece x = 0 da farklılık gösteren

fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.

1) mutlak değer fonkisyonunun sürekliliğini tanımdan yararla-narak gösteriniz.

2) tam değer fonkisyonunun tam sayı noktalarda süreksizliğini gösteriniz. L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 218 1 x lim x → 0 f x lim x → a f x = 1 x x = π 2

?

f x lim x → a f x = -x , x < 0 ise, x , x > 0 ise g x = -x , x < 0 ise, 0 , x = 0 ise, x , x > 0 ise, = x f x lim x → a f x lim x → 0 = 0 f x = |x| f x [x]

Değerlendirme Soruları

1. A. -10 B. 0 C. 2 D. 10 E. Yoktur 2. A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3 3. A. 0 B. 1/2 C. 1 D. 2 E. ∞ 4. A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 E. Yoktur 5. A. - ∞ B. 0 C. 2 D. ∞ E. 1 10 lim x → 2 = ? x2 _{- 4x + 1} lim x → 3 = ? x - 1 x2 _{+ 1} lim x → 1 = ? x2 - 3x + 2 x - 2 lim x → 2 = ? x2 - 3x + 2 x - 2 lim x → ∞ = ?

6. 7. A. - 1 B. 0 C. 1 D. 5 E. Yoktur 8. A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 E. Yoktur 9. 10. 11. A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 E. 1 L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 220 x -5 x - 5 lim x → 1 = ? A. -1 B. - 4 5 C. 0 D. 4 5 E. Yoktur x -5 x - 5 lim x → 5 = ? x - 2 x - 2 lim x → 2+ = ? x2 _{+ 4 - x}2 _{+ 1} lim x → ∞ = ? A. - ∞ B. 0 C. 1 2 D. ∞ E. 1 x2 _{+ 4 - x} lim x → ∞ = ? A. - ∞ B. 0 C. 1 2 D. 2 E. ∞ 1 + h 3 _{- 3 1 + h}2 _{+ 2} h lim h → 0 = ?

12. A. - ∞ B. -1 C. 0 D. 1 E. ∞ 13. 14. A. ∞ B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 15. A. - ∞ B. -1 C. 0 D. 1 E. ∞ 16. A. - ∞ B. -10 C. - e D. 0 E. ∞ sinx x2 lim x → ∞ = ? sinx 2 + cosx lim x → π 2 = ? A. 0 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 E. 3 2 tan3x x lim x → 0 = ? lnx x lim

x → ∞ = ? (y.g.: x > e için 1 < lnx < x dir)

lnx x lim

17. A. - ∞ B. -1 C. 0 D. 1 E. ∞ 18. 19.

parçalı tanımlı fonksiyonun x = 1 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 E. -3 20.

parçalı tanımlı fonksiyonun x = 0 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. D 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. E 8. B 9. B 10. B 11. A 12. C 13. C 14. B 15. C 16. A 17. C 18. A 19. E 20. C L İ M İ T V E S Ü R E K L İ L İ K 222 xe - x lim x → ∞ = ? (y . g. : x > 0 için e x _{> x}2₎ A. 0 B. 1 C. 1 2 D. 1 e E. ∞ f x = 2x - a, x ≤ 1 ise x + 4, x > 1 ise f x = a sinx x , x ≤ 0 ise x - a + 1, x > 0 is A. - 1 2 B. 0 C. 1 2 D. 1 E. 3 2 10 - x lim x → ∞ = ?