Tanım: Bir x0 A = [a,b] alalım. f : A R ye veya f : A -{x0} R ye bir Fonksiyon
olsun Terimleri A - {x0} Cümlesine ait ve x0’a yakınsayan her ( xn) dizisi için (f(xn)) fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f fonksiyonunun x0 noktasındaki limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxx0 f (x) L Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım
cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x0 noktasında fonksiyon tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir.
1
2 y
Yandaki şekilde x=2
için fonksiyon tanımsız
olmasına rağmen aynı
Örnek:
?
3
15
2
lim
2 3
x
x
x
xÇözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay ve paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x 3, x-3 0
olduğundan pay ve paydayı x-3 ile bölelim.
8
5
3
)
5
(
lim
3
)
5
)(
3
(
lim
3
15
2
lim
3 3 2 3
x
x
x
x
x
x
x
x x x bulunur. Sonuç:Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada
limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda
1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle (yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxc f (x)
x y
.
L ) (x f x c.
2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu
limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxc f (x)
x y L ) (x f c x
Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan
aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır.
1. Parçalı sürekli fonksiyonlar
2. Mutlak değer fonksiyonlar
3. İşaret fonksiyonlar
4. Tam değer fonksiyomlar
ÖRNEK 1:
R
R
f
:
xx xx iseisex
f
3 42,, 33 2)
(
3 - 3 3+Yukardaki fonksiyonun tanımından da
görüldüğü gibi 3’ün sağında ve solunda
fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik
noktada limiti bulalım:
in
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
x
)'
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
5
4
3
.
3
)
4
3
(
lim
)
(
lim
11
2
3
)
2
(
lim
)
(
lim
3
3
3
3
2
2
3
3
olduğundan
limiti mevcut değildir.
ÖRNEK2:
3
,0
3
,1
2
)
(
x
x
x
x
f
R
R
f
:
7
1
4
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
5
1
3
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
4 4 4 3 3 3
x
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x x x x x xNOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna
ÖRNEK1:
x
x
x
x
f
R
R
f
1
1
)
(
1
:
ÇÖZÜM:
X - 1 + 1 x + 1-x -(1 - x)2
1
1
)
1
(
lim
)
(
lim
0
1
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1 1 1 1
x
x
f
x
x
f
x x x xÖRNEK2:
4
)
(
,
:
R
R
f
x
x
2
f
Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve
soldan limiti bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in
limiti var mıdır?
ÇÖZÜM:
X - -2 2 + x2 - 4 + - + -x2+4 x2-4.
0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
4
2
)
4
(
lim
)
(
lim
0
4
2
)
4
(
lim
)
(
lim
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x x x x x x xÖRNEK1:
)
3
(
)
(
,
:
R
R
f
x
Sgn
x
f
Fonksiyonunun x = 3 noktasında
limitini araştıralım.
X - 3 + x - 3 - +ÇÖZÜM:
1
)
1
(
lim
)
3
sgn(
lim
)
(
lim
1
)
1
(
lim
)
3
sgn(
lim
)
(
lim
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki
fonksiyonlar işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama
yaptığı için sağdan ve soldan limitleri farklıdır.
ÖRNEK2:
)
(sgn
lim
0
x
x
x
x
Limitini hesaplayınız
0
)
(sgn
lim
0
1
1
)
1
(
1
)
(sgn
lim
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
‘dır.ÇÖZÜM:
Tam değer fonksiynu x R için x’den küçük olan en büyük tam sayıya tamdeğer x denir ve sembolüyle gösterilir.
Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken oldığundan sağdan yaklaşırken aynı değer alınır.
Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır.
NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır.
Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur.
x
ÖRNEK1:
2
2
lim
1
3
lim
..
1,
1
3
lim
..
99
,1
3
3
lim
?
3
3
lim
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
ÖRNEK2:
2
lim
(
)
?
)
2
sgn(
4
)
(
x
x
2
x
x
x
2f
x
f
xÇÖZÜM:
Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım.
X -2 2 x2 - 4 + - + 2x + +
-)
0
1
4
(
lim
)
(
lim
f
x
x2x
2
x
LİMİT TEOREMLERİ:
f
:
A
R
,
g
:
A
R
Tanımlı iki fonksiyon ve q x g P x f x a a x ( ) ,lim ( ) lim olsun.1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir. dir. b)Sabit terim limitin dışına alınabilir.
i) ii) iii)
2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir.
c c a x lim n n a x n a x tx t x ta R t lim ( ) lim n n a x n n a x x a ,lim (x ) a lim n n a x n a x f (x) (lim f (x)) p lim
ÖRNEKLER:
1
5
3
.
2
5
lim
lim
2
)
5
2
(
lim
x3x
x3x
x3
14
2
.
7
lim
7
7
lim
x2x
x2x
1
1
3
.
3
3
1
lim
lim
3
lim
)
1
3
(
lim
x3x
2
x
x3x
2
x3x
x3
2
3
3
1
2
)
1
(
lim
1
lim
x
x2x
a
x
a
x
x
a
a
x
sin
sin
;
lim
cos
cos
lim
)
0
(sin
;
cot
cot
lim
)
0
(cos
;
tan
tan
lim
a
ana
anx
a
a
x
a
x
a
x
1
sin
lim
sin
lim
0
0
x
x
x
x
x
x
1
.2.
Sonuç:
q
p
qx
px
q
p
qx
Px
x x
sin
sin
lim
;
sin
lim
0 03.
1
tan
lim
tan
lim
0
0
x
x
x
x
x xSonuç:
p
px
p
p
tan
tan
ÖRNEKLER:
3
1
.
3
3
3
sin
lim
3
3
sin
lim
0
0
x
x
x
x
x x1
sin
lim
sin
lim
sin
lim
2 0 2 0 2 2 0
x
x
x
x
x
x
x x x6
3
.
2
2
cos
3
lim
2
sin
lim
2
cos
3
.
2
sin
lim
2
cos
.
2
sin
3
lim
0 0 0 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x)
2
(
)
2
)(
2
(
lim
0
0
2
4
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
4
2
2
)
2
(
lim
2
x
x
)
1
(
)
1
)(
1
(
2
lim
0
0
1
)
1
(
2
lim
1 1
x
x
x
x
x
x x1)
2)
2
2
3
2
9
6
27
3
3
9
3
.
3
3
)
3
)(
3
(
)
9
3
)(
3
(
lim
3
3
lim
0
0
9
27
lim
2
2
3
2
2
3
3
3
2
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)
Bu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz şeklindeki bir limitte
i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a1/b1 dir. Başka bir deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır. ÖRNEK:
ii) p<q ise yani paydanın derecesi payın derecesinden büyük ise limit sıfır dır.
....
....
lim
1 2 1 1 2 1
q q p p xx
b
x
b
x
a
x
a
2 3 5 2 3 2 lim 2 2 x x x x 0 1 3 lim , 0 2 1 3 lim 3 2 x x x x x x x x
veya
ÖRNEK:
4
3
2
5
6
3
2
lim
4
3
2
5
6
3
2
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x4
3
2
5
6
3
2
lim
26
2
0
0
6
0
2
Bu tür belirsizliklerin giderilmesi için eşitliğinden yararlanacağız. a b b a b a b a b a b a ( )( ) 2 2
ÖRNEK:
2
2
2
3
lim
xx
2
x
x
2
2
2
2
3
2
2
2
3
lim
2 2 2 2
x
x
x
x
x
x
2
3
2
2
2
3
2
lim
x
x
x
x
x
x
23
2
2
2
3
2
lim
x
x
x
x
x
x2
2
2
0
2
2 2 2 2 23
2
2
2
)
3
2
(
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x) (
x p
xlim
İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi
belirlenir.
i) p(x)’in derecesi çift ise ii) p(x)’in derecesi tek ise
(
)
lim
xp
x
(
)
lim
xp
x
lim
xp
(
x
)
n n x n n n x(
a
x
x
....
a
a
)
lim
a
x
lim
1 1 0dir yani sadece en büyük
ÖRNEK:
(
3
5
2
3
2
4
)
lim
3
5
lim
x
x
x
x
x
x
.
3
4
1
2
3
lim
5
2
3
5
x
x
x
x
x
Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada süreklidir.
i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olması
ii) limiti olmalı iii) olmalıdır.limxa f (x) f (a) L
L x f a x lim ( )
f ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre: 1) olmak üzere .f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir.
2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir.
3) olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir.
4) fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir.
R
0
)
(
a
g
n nf
f
f
fog
,
,
,
0
,
1
0
,
0
,
1
)
(
:
3x
x
x
a
x
x
x
f
R
R
f
ÖRNEK:
fonksiyonu Şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonu x = 0
noktasında sürekli olması için a ne olmalıdır.
ÇÖZÜM:
1
)
(
lim
)
0
(
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1
)
1
(
lim
)
(
lim
0
),
(
0
0
0
3
0
0
x
f
a
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
noktasında tanımlıdır. i) ii) eşitliğinde a = 1 dir.SORULAR:
SORULAR:
?
3
5
lim
1
x
x
?
3
5
lim
1
x
x
8
3
5
)
1
(
3
5
3
5
lim
1
x
x
?
2
10
7
lim
2
2
x
x
x
x
?
2
10
7
lim
2
2
x
x
x
x
0
0
2
2
10
2
.
7
2
.
2
2
10
7
lim
2 2
x
x
x
x3
5
2
)
5
(
lim
)
5
)(
2
(
lim
x
x
x
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
)
(
2x
x
x
x
x
x
x
f
1lim
xİse ifadesinin değeri nedir?
1
--
+
+
1 1 ) ( 2 x x x f 1 1 1 x2
1
1
)
1
(
)
1
)(
1
(
lim
)
(
lim
2
1
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1 1 1 1
x
x
x
x
f
x
x
f
x x x x
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
)
(
2x
x
x
x
x
x
x
f
1lim
xİse ifadesinin değeri nedir?
?
7
2
4
3
lim
x
x
x
?
7
2
4
3
lim
x
x
x
n
Yol
II
x
x
x
x
x
x
x x:
.
2
2
4
7
2
4
3
7
2
4
3
lim
7
2
4
3
lim
İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak
?
3
2
2
lim
0
x
x
x
x
x3
)
3
(
lim
3
lim
3
2
2
lim
3
2
2
lim
0 0 0 0
x x x xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
?
3
2
2
lim
0
x
x
x
x
x
sin(
2
)
?
1
sin
lim
1
x
x
x
Sin
x
Bunagöre
x
Sin
iken
x
dir
Sin
Sin
x
iken
x
x
x
x1
)
1
(
0
)
1
(
1
1
.
'
1
)
1
(
1
1
1
)
1
sin(
1
sin
lim
1
sin(
2
)
?
1
sin
lim
1
x
x
x
2
)
3
?
sgn(
2
4
lim
2 2 2
x
x
x
x
x
x
x
2 2 21
3
1
2
4
lim
x
x
x
x
x
2 21
3
1
)
2
(
)
2
)(
2
(
lim
x
x
x
x
x
x
2
1
3
2lim
x
x
(
2
2
)
1
3
.
4
23
2
)
3
?
sgn(
2
4
lim
2 2 2
x
x
x
x
x
x
x?
1
1
lim
1
x
x1 1 -1 -1 y y x x
1
1
)
(
x
x
f
(
)
,
lim
(
)
lim
x 1f
x
x 1f
x
fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur.fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur.
?
1
1
lim
1
x
x
lim
(
)
lim
(
)
?
3
1,
1
2
1
,
0
1
2
,
3
)
(
,
3
,
2
:
1
1
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
R
f
x x
1
-2 3 -2 3 3-x 2x-1 3-x 2x-1 331
2
1
)
(
lim
)
(
lim
2
1
3
)
3
(
lim
)
(
lim
1
1
1
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
1 1 1 1
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x x x x
lim
(
)
lim
(
)
?
3
1,
1
2
1
,
0
1
2
,
3
)
(
,
3
,
2
:
1
1
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
R
f
x x?
)
2
sin(
2
sin
lim
2
x
x
x
)
2
sin(
)
2
(
.
2
2
sin
lim
0
0
)
2
sin(
2
lim
2 2x
x
x
x
x
x
Sin
x xdir
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x'
1
1
.
1
)
2
sin(
2
lim
.
2
2
sin
lim
2
sin(
2
lim
.
2
2
sin
lim
2 2 2 2
?
)
2
sin(
2
sin
lim
2
x
x
x
?
)
(
lim
0
,
1
0
,
0
0
,
1
2
)
(
,
:
0 2
f
x
x
x
x
x
x
x
f
R
R
f
x 0 - + - + 0 0 1 2 ) (x x f x2 1
1
1
0
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
1
1
0
)
1
(
lim
)
(
lim
0 0 2 2 0 0
x
x
f
x
x
f
x x x x?
)
(
lim
0
,
1
0
,
0
0
,
1
2
)
(
,
:
0 2
f
x
x
x
x
x
x
x
f
R
R
f
x
2
?
3
3
(
.
'
27
3
)
3
3
.
2
(
)
3
2
(
lim
)
2
(
lim
3 3 3 3 3 3
x
iken
x
dir
x
x
x
x xOlduğuna dikkat ediniz.
Olduğuna dikkat ediniz.
2
?
?
4
3
2
lim
3
2
x
x
x
x
x
?
4
3
2
lim
3
2
x
x
x
x
x
1
0
0
1
4
1
3
2
1
4
1
3
2
1
lim
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
?
)
(
lim
)
(
lim
1
,
3
1
1
,
0
1
,
3
)
(
,
:
1
1
f
x
f
x
x
x
x
x
x
f
R
R
f
x x3
1
3
1
lim
)
(
lim
x
1
f
x
x
1
3
1
3
lim
)
(
lim
1
1
x
x
f
x
x
2
1
1
?
)
(
lim
)
(
lim
1
,
3
1
1
,
0
1
,
3
)
(
,
:
1
1
f
x
f
x
x
x
x
x
x
f
R
R
f
x x)
(
)
(
lim
...
)
(
2
0
h
x
f
h
x
f
x
x
x
)
(
)
(
lim
...
)
(
2
0
h
x
f
h
x
f
x
x
x
f
h İfadesinin eşiti İfadesinin eşiti nedir?nedir?)
(
)
(
)
(
,
)
(
2 2h
x
h
x
h
x
f
x
x
x
f
h x x h x h x h x f h x f h h ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 2 2 0 0 lim 2 lim 2 lim 0( 2 1)
2 0 2 2 2 0 h x h h xh h h x x h x h xh x h h h
