BÖLÜM 9 FONKSİYON YAKLAŞIMI Belli Noktada Değerleri Bilinen Fonksiyonlar İçin Yaklaşım

BÖLÜM 9

FONKSİYON YAKLAŞIMI

Belli Noktada Değerleri Bilinen Fonksiyonlar İçin Yaklaşım

X , ( ,x x1 2,...,xn)değerlerini alan ve Y, ( ,y y1 2,...,yn) değerlerini alan iki rastgele değişken olsun.

Bu iki değişken arasındaki ilişki,doğrusal regresyon çözümlemesi ile incelenebilir.

X rastgele değişkeni bağımsız değişken, Y rastgele değişkeni bağımlı değişkenİ göstersin.

n

tane. 1 1 2 2

( ,x y ), ( ,x y )..., ( ,x y_{n n})ile gösterilen verilerin koordinat düzlemi üzerinde serpilme diyagramı çizilebilir. * * * * * * * * * * *

X ile Yarasındaki gerçek bağıntı, 0 1

Y 







X  



Kitle için regresyon modeli doğru denklemi ile ifade edilir.

Y

: Bağımlı değişken X : Bağımsız değişken

0



: Regresyon doğrusunun

y

eksenini kestiği nokta 1



: Regresyon katsayısı (Aynı zamanda doğrunun eğimi)



: Hata terimi (Bağımlı değişkenin gerçek değeri ile gözlenen değeri arasındaki farkı gösterir.) 0



ve



1 bilinmeyen regresyon katsayılarıdır.

Kitleden n birimlik örneklem için doğrusal regresyon denklemi:

0 1 , 1, 2,3,...,

i i i

y a a x e i n

biçiminde tanımlanır. Bilinen bir

x

j değeri için

y

j değeri tahmin edilir.Tahmini doğrusal regresyon

denklemi 0 1 ˆ_{j j}, 1, 2,3,..., y a a x j n biçimindedir. 0

a : regresyon doğrusunun yeksenini kestiği noktayı gösterir. Aynı zamanda



0’ın tahminidir. 1

j

e : j. Gözlemin hata terimidir. Gözlenen değer ile tahmini değer arasındaki farktır.

ˆ

j j j

e  y y dir. Hata terimleri ortalaması sıfır varyansı



2 olan normal dağılıma sahiptir. 2 (0, ) e N



 

 

2 1 2

0

varsayımlar:

,

,...,

'ler bağımsız

j j n

E e

Var e

e e

e









_









 

2 1 0 1 1 1 2 0 n j _n j j j j j e y a a x x a         





2 0 1 1 1 1 n n n j j j j j j j x y a x a x     







(2) (1) Eşitliği 1 n j j x 





ile (2) eşitliği

n

ile çarpılıp taraf taraf toplanırsa 2 0 1 1 1 1 1 n n n n j j j j j j j j

x

y

na

x

a

x

   







 

_{ }

_





 





2 0 1 1 1 1 n n n j j j j j j j n x y na x na x     







2 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n j j j j j j j j j j j

n

x y

x

y

na

x

a

x

    









_{ }

_







 





Elde edilir. Buradan

1 ₀ 1 2 1 1 1 1 n n j j j j n n n j j j j j j j n x y a a x x x y           _{ }    _{ }   _{ }          











Şeklinde de hesaplanabilir. 2 0 1 2 ( ) _{i i} ... _{m i}m q x a a x a x  a x olsun.









2





2 0 1 2 0 1

...

,...,

min

n m i i i m i m i

y

a

a x

a x

a x

S a

a









 







yapılacak









0 0 0

,...,

0

,...,

0

m m m

S a

a

a

S a

a

a













0 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1 ... ... n n n n m i p i i i i i i n n n n m m m m i i p i i i i i i i a a x a x y a x a x a x x y                 

















Şeklinde

m

. Dereceden bir polinom yardımıyla temsil edilebilir. Bu durumda

1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 n n n m i i i i i i n n n n m i i i i i i i i i m n n n n m m m m i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y                       _{ }    _{ }    _{  }   _{ }    _{ }                   























Lineer sistemi elde edilir. Bu sistem çözülerek a a a0, ,1 2,...,amparametreleri bulunur.









2





2 0 1 2 0 1 2 1

, ,

min

n i i i i

y

a

a x

a x

S a a a















yapılacak 2 1 1 1 0 2 3 1 1 1 1 1 2 2 3 4 2 1 1 1 1 n n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i i n n n n i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y                     _{ }    _{  }   _{ }    _{  }              























ÖRNEK:

i x 0 0,2 0,4 0,6 0,8

 

i

f x

0,9 1,9 2,8 3,3 4,2

f fonksiyonuna

q x

 



a

0



a x

1 şeklinde bir fonksiyon ile EKK yöntemine göre yaklaşımda

bulununuz.

 

0 1 0 n i i i

q x

a x

a

a x







 

 

 

5 5 1 0 1 5 5 5 2 1 1 1 1

5

2

13.1

2

1.2

6.84

i i i i i i i i i i i

n

x

f x

a

a

x

x

x f x

    



_

_





_







_{ }









_{ }

_







_

_



_{ }



_





























0 1 5a 2a 13.1 0 1 2a 1.2a 6.84 0 1 1.02 4 a a  

 

1.02 4

q x





x

p L

Yaklaşımı

: f I  R R ( ) ( ) f x  y x sürekli olsun.

 









2 0 1

...

m m I

S





y x



a



a x



a x

dx

İntegralini minimum yapacağız. Burada

0 1 0 ( ) ... m m k m k k q x a a x a x a x     



Şeklinde polinomdur.

 

2 0 m k k k I

S

y x

a x

dx









_



_











 



2

 

0 0 2 m m k k k k k k I I I y x dx a x y x dx a x dx       _{  }  











Şeklinde yazılır.

S

’nin minimum olması için gerekli koşul

0 0 S a  _  , 1 0 S a  _  ,…, m 0 S a  _ 

Olmalıdır. Böylece

m 

1

bilinmeyenli

m 

1

tane denklem oluşur.

 

0 , 0,1, 2,..., m j k j k k I I a x  dx x y x dx j m   

 



Şeklinde normal denklemler elde edilir.

Çözülerek a a0, ,...,1 am katsayıları bulunur. ( ) 0 1 ...

m m

q x a a x a x polinomunda yerine konularak istenen polinom elde edilir.

ÖRNEK:

i

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8

 

i

f x

0,9 1,9 2,8 3,3 4,2

f fonksiyonuna



 

x



a

0



a x

1 şeklinde bir fonksiyon ile EKK yöntemine göre yaklaşımda

bulununuz.

 

0 1 0 n i i i

x

a x

a

a x









 

 

 

5 5 1 0 1 5 5 5 2 1 1 1 1

5

2

13.1

2

1.2

6.84

i i i i i i i i i i i

n

x

f x

a

a

x

x

x f x

    



_

_





_







_{ }









_{ }

_







_

_



_{ }



_





























0 1 5a 2a 13.1 0 1 2a 1.2a 6.84 0 1 1.02 4 a a  

 

x

1.02 4

x







ÖRNEK:

 

: 0,1

f



R

 

x

x



f x



e

biçiminde tanımlanan fonksiyona

q x

 

 

a

0

a x a x

1



2 2 2. Dereceden polinom

denklemine

L

2 yaklaşımında bulununuz.

Örnek:

i

x -3 0 2 4

 

i

f x

3 1 1 3

f fonksiyonuna

q x

 



a

0



a x a x

1



2 2 şeklinde bir fonksiyon ile EKK yöntemine göre yaklaşımda

Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)