g(x)| dx metri˘gi ve R de mutlak de˘ger metri˘gine g¨ore) her noktada s¨ureksizdir

ψ_c : C([a, b]; R) → R, ψc(f ) = f (c) fonksiyonun her noktada s¨ureksiz olu¸su:

X = C([a, b]; R) = {f |f : [a, b] → R, f s¨urekli} ve c ∈ [a, b] (Se¸cilmi¸s) herhangi bir nokta olmak

¨ uzere:

ψ_c : C([a, b]; R) → R, ψc(f ) = f (c)

¸seklinde tanımlı fonksiyon (X ¨uzerinde dX(f, g) = Rb

a |f (x) − g(x)| dx metri˘gi ve R de mutlak de˘ger metri˘gine g¨ore) her noktada s¨ureksizdir. (X ¨uzerinde supremum metri˘gi kullanıldı˘gında ise d¨uzg¨un s¨ureklidir.)

Bir ¸cift ε, δ > 0 sayıları verilsin, ¨once dX(h, 0) < δ ve h(c) = ε olacak ¸sekilde (ε ve δ ya ba˘glı) bir h = h_ε,δ ∈ X varoldu˘gunu g¨osterece˘giz.

h(x) =











0 x ≤ c − _2ε^δ

2ε²

δ (x − c) + ε c −_2ε^δ ≤ x ≤ c ε − ^2ε_δ²(x − c) c ≤ x ≤ c +_2ε^δ

0 c + _2ε^δ ≤ x

olsun. ∀x ∈ R i¸cin h(x) ≥ 0 dır ve h(c) = ε dir. h nin grafi˘gi ile x ekseni arasındaki b¨olge, tabanı ^δ_ε, y¨uksekli˘gi ε olan bir ikizkenar ¨u¸cgendir. Bu ¨u¸cgenin alanı ^δ₂ dir. Buradan

d_X(h, 0) = Z b

a

|h(x) − 0| dx = Z b

a

h(x) dx ≤

Z c+_2ε^δ c−_2ε^δ

h(x) dx = δ 2 < δ (bu e¸sitsizlik her c ∈ R i¸cin do˘grudur) elde edilir.

S¸imdi herhangi bir f₀ ∈ X alalım, ψ_c nin f₀ da s¨ureksiz oldu˘gunu g¨osterelim.

Herhangi bir ¸cift ε, δ > 0 sayıları i¸cin f = f₀ + h_ε,δ fonksiyonu i¸cin (yukarıda g¨osterildi˘gi gibi) dX(f, f0) = Rb

a h(x) dx = dX(h, 0) < δ olur. Ama dY(ψc(f ), ψc(f0)) = |f (c) − f0(c)| = |h(c)| = ε ≮ ε dir. Bu da (ε > 0 ne olursa olsun) istenen ¨ozellikte bir δ > 0 sayısının var olmadı˘gı anlamına gelir.

ψ_c her noktada s¨ureksizdir.

(h nin ¨ozelliklerine bakarak, ¨once, ψc nin 0 da s¨ureksiz oldu˘gunu g¨osterdi˘gimizi farkedebilirsiniz.)

1