EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ
ANABİLİM DALI
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI
FARKLI SINIF SEVİYELERİNDEKİ ÖĞRENCİLERİN
KATI CİSİMLER (PRİZMA, PİRAMİT, KONİ, SİLİNDİR, KÜRE)
İLE İLGİLİ SAHİP OLDUKLARI KAVRAM İMAJI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Hazırlayan SELMA AVGÖREN
Ankara Haziran, 2011
T.C.
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ
ANABİLİM DALI
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI
FARKLI SINIF SEVİYELERİNDEKİ ÖĞRENCİLERİN
KATI CİSİMLER (PRİZMA, PİRAMİT, KONİ, SİLİNDİR, KÜRE)
İLE İLGİLİ SAHİP OLDUKLARI KAVRAM İMAJI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SELMA AVGÖREN
Danışman Doç. Dr. Ayşe UYAR Yrd. Doç. Dr. Fatih GÜRSUL
Ankara Haziran, 2011
Selma Avgören’in “FARKLI SINIF SEVİYELERİNDEKİ ÖĞRENCİLERİN KATI CİSİMLER (PRİZMA, PİRAMİT, KONİ, SİLİNDİR, KÜRE) İLE İLGİLİ SAHİP OLDUKLARI KAVRAM İMAJI” başlıklı tezi 22. 06. 2011 tarihinde, jürimiz tarafından
ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ ANABİLİM DALI
MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİMDALI’nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.
Adı Soyadı İmza
Üye (Tez Danışmanı) :... ... Üye : ... ...
ÖZET(ABSTRACT)
Farklı Sınıf Seviyelerindeki Öğrencilerin Katı Cisimler (Prizma, Piramit, Koni, Silindir, Küre) İle İlgili Sahip Oldukları Kavram İmajı
(Yüksek Lisans Tezi)
Selma AVGÖREN GAZİ ÜNİVERSİTESİ
EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Haziran 2011( 153 sayfa)
Bu araştırmanın amacı; farklı sınıf seviyelerindeki ortaöğretim öğrencilerinin katı cisimler ( prizma, piramit, silindir, koni, küre) ile ilgili sahip oldukları kavram imajını belirlemektir.
Araştırma nitel araştırma türlerinden olan bir fenomenoloji çalışmasıdır. Çalışma grubu 2010-2011 eğitim öğretim döneminde İstanbul’un bir Anadolu lisesinde okuyan 9. ve 12. sınıftan seçilen 3’er öğrenci olmak üzere toplamda 6 kişiden oluşmaktadır. Araştırmaya katılan öğrenciler sınıflardan; bir iyi, bir orta, bir zayıf düzeyde olmak üzere geometri başarı testi yardımıyla seçilmiştir.
Veriler yarı yapılandırılmış görüşmeler, bu görüşmeler sırasında elde edilen dokümanlar( karalama kağıtları) ve gözlemler sonucunda elde edilmiştir. Ayrıca görüşmelerde öğrencilerden daha önceden hazırlanan geometrik cisim modellerini sesli düşünme metodu ile isimlendirmeleri istenmiş, bu da bir diğer veri kaynağını oluşturmuştur.
Verilerin analizi için nitel araştırmalarda sıkça kullanılan içerik analizi kullanılmıştır. Öğrencilerden elde edilen veriler fenomenografik yöntemle kategorilere ayrılarak yorumlanmıştır. Elde edilen veriler literatür ışığında kavram imajı ve kavram tanımları esas alınarak analiz edilmiştir.
Verilerden elde edilen bulgular arasında aşağıdakileri sıralayabiliriz;
1. Öğrenciler bazı katı cisimler ilgili prototip modeller oluşturmaktadır. Bu modeller somut olabileceği gibi geometrik bir çizim de olabilmektedir.
2. Öğrencilerin katı cisimler ile ilgili sahip oldukları kavram imajları geometrik cisim modelleri ve sınıf içi geometrik çizimler ile özdeşleşmiştir.
3. Öğrenciler katı cisim çeşitleri ile ilgili her hangi bir alan ve hacim problemi ile karşılaştıklarında ilk önce formülleri hatırlamaya çalışmaktadır.
Araştırmanın son bölümünde, bu konuda çalışan araştırmacılara, matematik ve geometri program geliştiricilerine ve eğitimcilere yönelik önerilere yer verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Geometri Öğretimi, Katı Cisimler, Prizma, Piramit, Koni, Silindir, Küre, Kavram, Kavram İmajı.
Different Grade Levels Students Concept İmage Related With Solids Objects
( Prism, Pyramid, Cone,Cylinder, Sphere )
( M. Sc. Thesis )
Selma AVGÖREN
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE EDUCATION June 2011( 153 page )
The aim of the study is to determine concept image at different grade levels students’ with solids objects ( prism, pyramid, cone,cylinder, sphere ).
The study ,which is qualitative, is a fenomenology study. The participants of the study are 6 people in total, 3 students from each 9th and 12th grades at an Anatolian High School in İstanbul. The participants are chosen with the help of an achievement test among the students who attended the study and one of the participant was successful, one of them was avarage and one of them was unsuccessful.
The data are gathered through semi-structured interviews and the documents which were used and written (such as notes) during these interviews and observations. Besides, in the interviews the participants are claimed to name the geometrical object models which are prepared beforehand through thinking aloud method and this makes up another data source.
For the analysis of the data, content analysis, which are used in qualitative studies frequently, are applied. The data gathered from students are interpreted through fenomenographic method. The collected data are analyzed based on the concept image and the concept descriptions through the light of the literature.
1. Some of the students construct prototype models about the solid objects. These models can be concrete or a geometrical drawing.
2. The concept imege of the students related with the solids objects were identified with the their geometric drawings and geometrical object models which were used during the lessons.
3. When the participants were faced to on area problems or volume problems related with solid object, the first thing they did was to tried to remeber the relation or formulas which then could use.
In the last part of the thesis, some suggestions are given to the researchers who are studying on the mathematics education field and curriculum developmenters mathematic and geometry programmes and trainers.
Keywords: Teaching Geometry, Solid Objects, Prism, Pyramid, Cone, Cylinder, Sphere, Concept, Concept İmage
ÖNSÖZ
Gazi Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü’ nün yüksek lisans programının gereği olarak hazırlanan ve bu alanda yapılan çalışmalara katkı sağlamasını umduğum Yüksek Lisans tezimde bana yardımcı olan, bilgi ve tecrübesini paylaşan ve her zaman desteğini hissettiğim danışmanım Doç. Dr. Ayşe UYAR ve Yrd. Doç. Dr. Fatih GÜRSUL’ a; araştırmama içtenlikle ve özenle katkıda bulunan Öğr. Gör. Handan ÇOLAK’ a teşekkür ediyorum.
Tüm yüksek lisans ve lisans eğitimim boyunca görüşlerini benden esirgemeyen ve destek olan hocalarım Prof. Dr. Ziya ARGÜN’ e, Prof. Dr. Ahmet ARIKAN’ a ve Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU’ ya en derin saygılarımla teşekkür ediyorum.
Araştırmamın yazım aşamasında bana sabreden, daima yanımda olan dostlarıma, düzeltmelerde, redaksiyonda yardım eden Emrah ALTIKULAÇ, Meryem DEMİR ve tüm mesai arkadaşlarıma; çalışmama katkı sağlayan matematik öğretmenlerine ve eğitimin merkezi olan sevgili öğrencilere teşekkür ediyorum.
Son olarak; eğitim hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olduklarını hissettiren sevgili anneme, babama ve kardeşlerime; yüksek lisansa başlamamda bana önayak olup ufkumu genişleten ve her şeyden vazgeçtiğimde bir yerden tekrar başlamamı sağlayan Matematik Öğretmeni Eşref ALTIKAT ve ailesine ne kadar teşekkür etsem azdır.
İÇİNDEKİLER ÖZET………...iii ABSTRACT……….…...v ÖNSÖZ………...vii İÇİNDEKİLER………... viii TABLOLAR CETVELİ……….x ŞEKİLLER CETVELİ………..xi 1. GİRİŞ……….………...1 1.1. Problem Durumu………1
1.1.1 Bu Araştırma Niçin Yapıldı?...1
1.1.2. Problem Cümlesi……….4 1.1.3 Alt Problemler………..………4 1.2. Araştırmanın Amacı………...………5 1.3. Araştırmanın Önemi………...5 1.4. Araştırmanın Sınırlılıkları ……….6 1.5. Araştırmanın Varsayımları…..………...7 1.6. Tanımlar/Terimler/Kısaltmalar………...7 2. KAVRAMSAL ÇERÇEVE………..10 2.1. Geometri Nedir? ………..……10
2.1.1. Neden Geometri Öğreniyoruz?...15
2.2. Yapılandırmacı Yaklaşım……….20
2.3. Kavram Ve Kavram İmajı Nedir?...21
2.3.1.Kavram Nedir?...21
2.3.1.1. Kavram Türleri………22
2.3.2. Kavram İmajı Nedir?...24
2.4. Katı Cisimler……….31
2.4.1. Prizmalar………31
2.4.2. Piramitler………...34
2.4.3. Silindirik Yüzey Ve Dik Silidir……….36
2.4.4. Koni………...37
2.4.5. Küre……...………39
2.4.6. Platonik Cisimler………...42
2.5. İlgili Araştırmalar ………44
3. YÖNTEM ……… 51
3.1. Araştırmanın Modeli………51
3.2. Çalışma Grubu ……..………..53
3.3. Veri Toplama Yöntemi ve Araçları………...56
3.3.1. Araştırmanın Geçerlilik Ve Güvenirliliği………..60
3.4. Verilerin Analizi………...62 4. BULGULAR VE YORUM………..64 5. SONUÇ VE ÖNERİLER………...113 5.1. Sonuç………..112 5.2. Öneriler………...116 KAYNAKÇA………118 EKLER……….124
TABLOLAR CETVELİ
Tablo1: MEB Geometri Programının Kazanımları Tablo 2: Öğrenci İsimleri ve Görüşme Süreleri
Tablo 3: 12. Sınıf Başarı Testindeki Soruların Frekansları Tablo 4: 9. Sınıf Başarı Testindeki Soruların Frekansları
Tablo5: Öğrencilerin Geometride ‘katı cisim’ kavramından ne anlıyorsunuz? Açıklayabilir misin? Sorusuna verdikleri cevapların analizi
Tablo 6: Öğrencilerin Prizma Kavramına Ait Soruya Verdiği Cevapların Analizi
Tablo 7: Öğrencilerin Prizmaların Hacmi İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Tablo 8: Öğrencilerin Prizmaların Alanı İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Tablo 9: Öğrencilerin Prizmalarda Ayrıt Kavramı İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi
Tablo 10: Öğrencilerin Piramit Kavramına Ait Soruya Verdiği Cevapların Analizi Tablo 11: Öğrencilerin Piramitlerin Hacmi İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi
Tablo 12: Öğrencilerin Piramitlerin Alanı İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi
Tablo 13: Öğrencilerin Koni Kavramına Ait Soruya Verdiği Cevapların Analizi
Tablo 14: Öğrencilerin Koninin Hacmi İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Tablo 15: Öğrencilerin Koninin Alanı İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Tablo 16: Öğrencilerin Silindir Kavramına Ait Soruya Verdiği Cevapların Analizi Tablo 17: Öğrencilerin Silindirin Hacmi İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Tablo 18: Öğrencilerin Silindirin Alanı İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Tablo 19: Öğrencilerin Küre Kavramına Ait Soruya Verdiği Cevapların Analizi Tablo 20: Öğrencilerin Kürenin Hacmi İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Tablo 21: Öğrencilerin Küre Yüzeyinin Alanı İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi
Tablo 22: Katı Cisimler İçin 1. Tip Modellere Verilen Öğrenci Cevapları
Tablo 23: Katı Cisimlerin Öteleme Ya Da Dönme Hareketi Altındaki Görüntülerine Verilen Öğrenci Cevapları
Tablo 24: Katı Cisimler İçin 2. Tip Modellere Verilen Öğrenci Cevapları Tablo 25: Üst Düzey Modellere Verilen Öğrenci Cevapları
ŞEKİLLER CETVELİ
Şekil 1: Matematik Eğitiminin Bağlı Olduğu Faktörler Şekil 2: Geometri Öğrenme
Şekil 3: Geometrik Muhakeme İlkeleri 1 Şekil 4: Geometrik Muhakeme İlkeleri 2 Şekil 5: Geometrik Muhakeme İlkeleri 3 Şekil 6: Geometrik Muhakeme İlkeleri 4 Şekil 7: Geometrik Muhakeme İlkeleri 5 Şekil 8: Kavram Oluşum Süreci (a) Şekil 9: Kavram Oluşum Süreci (b)
Şekil 10: Tanım İle İmaj Arasındaki Olması Beklenen Bağlantı Şekil 11: Tamamen Formal Öğretim
Şekil 12: Sezgisel Düşünce İle Öğretim Şekil 13: Sezgisel Yaklaşım
Şekil 14: Uygun Olmayan Kavram İmajının, İmaj Şekillenmesine Etkisi Şekil 15: Prizmatik Yüzey
Şekil 16: Dik Prizma Şekil 17: Üçgen Dik Prizmanın Elemanları Şekil 18: Dik ve Eğik Prizmalar
Şekil 19: Küp
Şekil 20: Piramidal Yüzeyler Şekil 21: Bir Piramidin Elemanları Şekil 22: Üçgen Piramit
Şekil 23: Düzgün Dörtyüzlü Şekil 24: Silindir Ve Elemanları Şekil 25: Konisel Yüzey
Şekil 26: Koni Elemanları Şekil 27: Kesik Koni Şekil 28: Küre
Şekil 29: Küre Kuşağı Şekil 30: Küre Tabakası Şekil 31: Küre Kapağı Şekil 32: Küre Dilimi
Şekil 33: Küre Kesmesi
Şekil 34: Dik Dairesel Silindir (Dönel Silindir) Şekil 35: Dik Dairesel Koni (Dönel Koni) Şekil 36: Nitel Araştırma Desenleri Şekil 37: Nitel Veri Analiz Aşamaları Şekil 38: Emrah9’un Prizma Modelleri
Şekil 39: Didem12’nin Çizdiği Altıgen Prizmanın Açık Şekli
Şekil 40: Araştırmaya Katılan Öğrencilerden Bazılarının Piramit Kavramı İle İlgili Çizimleri
Şekil 41: Emrah9’ Ait Üç Farklı Piramit Modeli Şekil 42: Bazı Öğrencilere Ait Piramit Modelleri Şekil 43: Mehmet12’nin Koni Kavramına Ait Çizimi Şekil 44: Gonca12’nin Koni Yüzeyi İçin Çizdiği Şekil Şekil 45: Mehmet12’nin Çizdiği Prizma Modeli
“Bazı insanlar her şeyi olduğu gibi görür ve 'neden' diye sorarlar. Bense her şeyi asla olmadığı biçimde hayal eder ve
'neden olmasın' diye sorarım..." Bernard Shaw
1. GİRİŞ
Bu bölümde problem durumu, problem cümlesi, araştırmanın amacı, araştırmanın önemi, sınırlılıklar, varsayımlar ve araştırmada kullanılacak tanımlar yer almaktadır.
1.1.Problem Durumu
1.1.1. Bu Araştırma Niçin Yapıldı?
Matematik herkesin en azından zorunlu temel eğitime başlandığında karşılaştığı, sevdiği ya da nefret ettiği belki de korktuğu bir ders, bir bilim dalıdır. Matematiği sevmek, anlamak ve öğrenmek her şeyden önce onu doğru tanımakla başlar. İnsanların matematikten hoşlanmamalarının nedeni, matematiğe doğru bakış açısının onlardan gizlenmiş olmasıdır (Pesen, 2002). Matematik geleceğin bilimidir. Düşünmeyi öğreten bilimlerin başında matematik ve geometri gelir (Kart, 1999).
Hare’e (1999) göre bir kişinin matematiğe bakışı, o kişinin matematiği nasıl öğrendiği ile ilgilidir. Okul matematiğinde öğrencilerin kavramları öğrenmeleri ve özellikle geometri alanında bunların uygulamalarını yapabilmeleri beklenir. Matematik eğitimini etkileyen farklı etkenler vardır. Dursun ve Dede (2004) öğrencilerin, matematiği anlayabilme becerilerinin bağlı olduğu faktörleri en genel formda Şekil 1’deki gibi göstermiştir.
Şekil 1: Matematik Eğitiminin Bağlı Olduğu Faktörler
Yukarıdaki şekle göre öğrenci, öğretmen ve matematik arasındaki ilişki üçgensel bir etkileşim halindedir. Öğrencilerin matematiği anlama düzeyleri hakkında bu etkileşim bir fikir verebilir (Dursun& Dede, 2004). Matematik ve geometri eğitiminde kavram öğretimleri önemli bir yer tutmaktadır. Buna bağlı olarak kavram öğretimini ve kavram yanılgılarını inceleyen bazı araştırmalar vardır.
Geometri eğitimine farklı bir süreçten bakan Van Hiele başarıyı ve geometrik anlamayı öğrencilerin geometrik düşünme düzeylerine bağlamaktadır (Akt.Usiskin, 1982).
Tall (1993: 17), matematikte öğrenme güçlüklerini araştırmak için uygulanan değişik çalışmaların var olduğunu söylemiş ve tespit edilen bu güçlüklerden bazılarını genel olarak: (1) temel kavramların yetersiz bir şekilde kavranması,(2) sözel problemleri matematiksel olarak formülize etmedeki yetersizlik ve (3) cebirsel, geometrik ve trigonometrik becerilerdeki eksiklik seklinde sınıflamıştır.
Geometrik ve trigonometrik becerilerdeki eksiklikler eğitim programındaki amaçların öğrencilere kazandırılamamasının yanı sıra kavramların yanlış öğrenilmesi ve kavram yanılgılarından kaynaklanmaktadır.
NCTM ( National Council of Teachers of Mathematics ) 12. standardına göre 5-8. sınıfların matematik müfredatında öğrencilerin:
• Geometrik şekilleri ayırt edebilmesi, tanımlayabilmesi ve sınıflandırabilmesi,
• Görsel algılarını geliştirebilmeleri için özel bir ilgi ile, geometrik şekilleri gözlemleyebilmesi ve tanımlayabilmesi,
• Geometrik şekillerin dönüşümünü keşfedebilmesi,
• Geometrik modeller kullanarak problemleri tanımlayabilmeleri ve çözebilmeleri,
• Geometrik özellikleri ve ilişkileri anlayabilmeleri, uygulayabilmeleri,
• Fiziksel dünyayı tanımlama anlamında, geometrinin bir değerlendirmesini geliştirebilmeleri için geometri konusu bir, iki ve üç boyutlu değişkenleri içeren durumları içine almalıdır.
Eğitimi bir süreç olarak aldığımızda NCTM 7. standardına göre 9-12. sınıfların matematik müfredatında öğrencilerin:
• Üç boyutlu cisimleri anlayabilmeleri ve çizebilmeleri,
• Benzerlik ve eşlik durumuna göre şekilleri ayırt edebilmeleri, bu ilişkileri uygulayabilmeleri,
• Verilen bir örnekteki şekillerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri bulabilmeleri,
• Geometrik modeller ile problem durumlarını tanımlayabilmeleri ve şekillerin özelliklerini uygulayabilmeleri için geometri konusu, iki ve üç boyutlu geometrinin devam eden bir çalışması olmalıdır.
1999’da TIMSS-R (Üçüncü Uluslar Arası Matematik ve Fen Çalışması Tekrarı) matematik ve geometri başarısına yönelik bir çalışma yapmış ve bu çalışmaya Türkiye de dâhil olmak üzere 38 ülke katılmıştır. Bu ülkeler arasında geometri konularındaki genel başarı sıralamasında Türkiye 34. olmuştur. Bunun üzerine Türkiye’de örgün eğitim öğrenciyi merkeze alan yeni bir yapılanmaya yönelmiştir. Bunla birlikte varlığını hissettiğimiz bazı eksiklikler, ülkemizde geometri eğitimi ve geometrik kavramlar üzerine yapılan çalışmaların arttırılması ile aşılabilir.
Geometri insanlık tarihiyle gelişen bir dal olmasına karşı öğrenme güçlükleri ve kavram yanılgılarıyla sık sık karşılaşıyoruz. Temel olarak kavramların öğretimi farklı metotlarla olduğu için algılanması ve ifadesi de farklı olabilmektedir. Katı cisimler ile ilgili bazı öğrenci ifadeleri aşağıdaki gibidir:
• Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir.
• Tabanı daire olan prizmalara silindir denir.
• Düzlemde kapalı bir bölge ve t noktası alındığında kapalı bölgenin tüm noktalarını t noktası ile birleştirdiğimizde oluşan cisme piramit denir.
• Tabanı daire biçiminde olan piramide koni denir.
• Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı cisme küre denir.
1.1.2. Problem cümlesi
Ortaöğretim öğrencilerinin katı cisimler ile ilgili sahip oldukları kavram imajları nasıldır?
1.1.3. Alt problemler
Çalışmanın problemine yanıt verebilmek için aşağıdaki alt problemler incelenmiştir:
1. Ortaöğretim öğrencilerinin prizma ile ilgili sahip oldukları kavram imajı nasıldır?
2. Ortaöğretim öğrencilerinin piramit ile ilgili sahip oldukları kavram imajı nasıldır?
3. Ortaöğretim öğrencilerinin silindir ile ilgili sahip oldukları kavram imajı nasıldır?
4. Ortaöğretim öğrencilerinin koni ile ilgili sahip oldukları kavram imajı nasıldır?
5. Ortaöğretim öğrencilerinin küre ile ilgili sahip oldukları kavram imajı nasıldır?
1. 2. Araştırmanın Amacı
Araştırmada amaç, farklı sınıf seviyesinde bulunan öğrencilerin sahip oldukları prizma, piramit, silindir, koni ve küre ile ilgili kavram imajını ortaya çıkarmak ve bu kavramlar arasındaki ilişkiyi öğrencilerin nasıl algıladığını anlamaya çalışmaktır. Bunun yanında katı cisimler hakkındaki kavram yanılgıları da tespit edilecektir. Bu amaca yönelmek için öğrencilerde bulunan katı cisimlerin kavram imajları ele alınacaktır.
Bir anlamda öğrencilerin zihinlerindeki katı cisimlerin kavram imajına bakarak onların geometrik kavramlar hakkındaki anlamalarını ve geometriye bakış açılarını keşfedebiliriz.
1.3. Araştırmanın Önemi
Geometri çevrenin algılanmasında, zihinsel süreçlerin gelişiminde önemli disiplinlerden biridir. Katı cisimler konusu kişinin çevresini algılamaya başladığı andan itibaren gördüğü, hissettiği nesnelerin geometrik boyutlarını inceler. Bu konu eğitimde küçük sınıflardan itibaren anlatılmaya, öğrenciye katı cisimler ve onların hacimleri hissettirilmeye çalışıldığı halde bazı aksaklıklar yaşanmaktadır. Her seviyedeki sınıfta ve yaşadığımız dünyada katı cisim yüzeyleriyle iç içe olmamıza rağmen cisimlerin modellenmesi çok sınırlı tutulmakta ve bunun sonucunda katı cisimler gerektiği gibi anlaşılamadığı gözlemlenmektedir. Tabi bu konuda eğitimdeki birçok değişkenin etkisi vardır.
Yeni eğitim programı uygulamasıyla dolayısıyla yapısalcı yaklaşımın etkisiyle kavrama düzeyinin ve bilginin yapılandırılmasının önemi anlaşılmıştır. İlişkisel anlama; matematikteki yapıları (kavramları ve bunların öğelerini) anlama, bunun kolaylıklarından yararlanma, matematikteki işlemlerin tekniklerini anlama ve sembollerle ifade etme, metotlar, semboller ve kavramlar arasındaki bağıntılar ya da ilişkileri kurma olarak açıklanabilir. Örneğin doğru tanımsız kavramdır ancak noktalardan oluşur. O halde doğru kavramı nokta kavramı ile ilişkilidir. Yani doğru kavramı, bir noktalar ilişkisidir. Benzer şekilde, doğru parçası ve ışın kavramının da doğru ve noktalar ilişkisi olduğunu söyleyebiliriz (Küçük, 2009).
Ders kitapları incelendiğinde katı cisimlerin yüzey alanları ve bunların hacimlerinin anlatımı, öğretimi farklı şekillerde olmuştur. Daha çok öğrencilere katı cisimler için tek çeşit modellemeler verilmiş, bunlar üzerinden bazı hesaplamalar yaptırıldığı görülmüştür.
Bu çalışmada farklı öğretim düzeyinde bulunan öğrencilerin sahip olduğu katı cisim kavram imajı incelenecek; bunlar hakkında literatür ışığında yorumlar getirilecektir.
Bu çalışma, öğrencilerin katı cisimler ile ilgili kavram imajları incelenirken bu kavramları anlamakta temelde karşılaştıkları zorlukların tespit edilmesi de farklı bir önem arz etmektedir. Ayrıca tespit edilen kavram yanılgıları da geometri eğitim programının düzenlenmesine ve sınıf içi etkinliklere yardımcı olacaktır. Tüm bunların yanında bu çalışma öğretmen adaylarının yetiştirilmesinde ve ortaöğretim kurumlarında okutulan eğitim programları için de yardımcı nitelik taşıyabilir. Hem öğretmen adayları hem de okullarda bulunan öğretmenler bu çalışmanın sonucundan faydalanabilirler.
Eğitimde son zamanlarda giderek artan kavram imajı çalışmaları bir kavramın öğrencilerce nasıl yapılandırıldığının anlaşılmasını sağlayacak dolayısıyla eğitime ışık tutacaktır. Katı cisimlerin kavram imajı çalışmasının da buna katkı sağlayacağı umulmaktadır.
1. 4. Araştırmanın Sınırlılıkları
Araştırma sonucunda elde edilen bulgulara yönelik genellemelerde aşağıdaki sınırlılıklar dikkate alınmalıdır:
• Çalışma, veri toplamak için kullanılan görüşme metodu ve sesli düşünme tekniği ile sınırlandırılmıştır.
• Çalışmanın katılımcıları 2010-2011 eğitim öğretim yılında İstanbul’daki bir Anadolu lisesinde okuyan 9. ve 12. sınıfa kayıtlı 6 öğrenci ile sınırlıdır.
1.5. Araştırmanın Varsayımları
• Araştırmada kullanılan ölçme araçlarını öğrencilerin tüm ciddiyet ve samimiyetle cevaplayacakları varsayılmıştır.
1.6. Tanımlar /Terimler/ Kısaltmalar MEB: Milli Eğitim Bakanlığı
TTKB: Talim Terbiye Kurulu Başkanlığı
NCTM: National Council Of Teachers Of Mathematics ( Matematik Öğretmenlerinin Ulusal Konseyi )
TIMSS: Trends In International Mathematics And Science Study ( Uluslararası Matematik ve Fen Çalışmalarında Eğilimler )
Prizmatik yüzey:
Uzayda düzlemsel bir çokgen ve çokgen düzlemine paralel olmayan bir l doğrusu alındığında l doğrusuna paralel olarak çokgenin çevresi üzerinde hareket eden k doğrusunun oluşturduğu yüzeye prizmatik yüzey, k doğrusuna da prizmatik yüzeyin ana doğrusu denir (MEB Geometri 3, 2009).
Piramidal yüzey:
Bir çokgensel bölgenin içinde bulunduğu düzlemin dışındaki sabit bir t noktası ile çokgensel bölgenin kenarları üzerindeki noktalardan geçen doğruların oluşturduğu yüzeye, piramidal yüzey denir(MEB Geometri 3, 2009).
Silindirik yüzey:
Uzayda düzlemsel bir eğri ile bu eğri düzlemine paralel olmayan bir d doğrusu alındığında eğri üzerindeki her noktadan d doğrusuna paralel olarak çizilen doğruların oluşturduğu yüzeye silindirik yüzey denir (MEB Geometri 3, 2009).
Koni Yüzeyi
Uzayda sabit bir T noktası ile düzlemsel kapalı bir c eğrisi alındığında T noktası ile c eğrisinin her noktasından geçen doğruların oluşturduğu yüzeye koni yüzeyi (katı cisim yüzeyi) denir (MEB Geometri 3, 2009). Bu kavram, genel Türkçe sözlükte durağan bir noktadan geçen ve kapalı bir eğriye dayanarak hareket eden bir doğrunun çizdiği yüzey olarak tanımlanır.
Küre:
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine küre yüzeyi (MEB Geometri 3, 2009) ; küre ile sınırlanan cisme de top denir.
Kavram:
Bir nesnenin veya düşüncenin zihindeki soyut ve genel tasarımı, mefhum, fehva, konsept, nosyon…
Katı cisim:
Okul matematiğinde geometri dersleri kapsamında anlatılan 3 boyutlu cisimlerin genel adı. Çalışmamızda katı cisimler başlığı altında prizma, piramit, koni, küre ve silindir incelenmiştir.
Kavram karmaşası:
Anlaşılmazlık, anlam yetersizliği… Düzey:
Bir nesnenin, bir kimsenin başka nesnelere veya kimselere göre olan değer ve yücelik derecesi, seviye.
Öğrenim düzeyi:
Herhangi bir meslek, sanat veya iş için gerekli bilgi, beceri ve alışkanlıkların elde edilmesi amacıyla başarılan öğrenim aşaması.
Okul geometrisi:
2. KAVRAMSAL ÇERÇEVE
Öklit geometrinin kurucusu olarak kabul edilir aynı zamanda ders veren bir bilgedir. Verdiği derslerin ünü yayılınca zamanın kralı merak eder ve kral Öklit’in geometri dersini dinlemeye gider. Dersten sonra Öklit’e: “Hocam bir şeyi anlayamadım, bunu kolay bir yolu yok mudur?” diye sorar ve Öklit şu muhteşem cevabı verir: “Geometriye giden kral yolu yoktur!” (Anonim)
2.1. Geometri Nedir?
Usa vurma bilimi olarak tanımlanan matematiğin alt disiplinlerinden biri olan geometri, bazılarına göre şekillerle oynama sanatıdır. Geometri, soru çözmenin ve ezberletilen formülleri uygulamanın çok daha ötesinde bir şeydir. “Çocuklar nesneleri kıyaslamaya ve sınıflamaya çok erken yaşlarda başlar ve bu sınıflamayı nesneleri tanımlamadan tanımak için yaparlar” (Mitcelmore, 2000). “Geometri, şekillerin hem kendilerini hem de hareketlerini inceler.”(Aydoğdu, 2008). Geometrik şekiller incelenirken konumun değişmesi ile şeklin değişmezliği arasında ilişki kurulabilmeli ve bu yorumlanabilmelidir.
Geometrik düşünme düzeyleri:
Geometri soyut kavramlar ve ilişkiler üzerine inşa edildiği (Toptaş, 2010) için geometrik soyut kavramların anlamlarının öğrenilmesi, insanın gelişimi ve düşünme düzeyiyle doğrudan ilişkilidir. Geometri, öğrenmeyi ve soyut düşünmeyi beş aşamada inceleyen Van Hiele’ın kuramına göre her matematiksel işlem ya da kavramda olduğu gibi geometrik anlama da belli evrelerden geçer. Van Hiele’e göre geometrik
düşüncenin beş düzeyi vardır (Usiskin, 1982):
0. Düzey: Görsel Düzey (Visualization)
• Öğrenci bu düzeyde verilen şeklin görüntüsü ile ilgilenir. Şeklin geometrik özellikleri bu düzeyde fark edilemez.
• Öğrenci bu düzeyde şekilleri bir bütün olarak algılar.
• Öğrenci şekilleri görünüşleri itibari ile belirler, isimlendirir, karşılaştırır.
• Bu düzeydeki bir çocuk için kare karedir, bu geometrik şekli kare yapan herhangi bir özel neden yoktur.
• Bu seviyede geometrik şekil ve benzerleri ile deneyim kazandıkça şekiller hakkındaki yargıları da değişir.
1. Düzey: Analiz Düzeyi(Analysis)
• Bu düzeydeki öğrenci, şeklin özelliklerini ayırt eder. Fakat özellikler kendi başına birbirinden bağımsız algılanır. Öğrenci bu düzeyde bir geometrik şeklin özelliklerini sayabilir fakat bu özellikleri birbirleri ile ilişkilendiremez.
• Bu seviyede öğrenci şekle ait özellikleri ve kuralları katlama, ölçme gibi etkinliklerle keşfedebilir ve bunlar deneysel yollarla kanıtlanabilir.
2. Düzey: Mantıksal Çıkarım Öncesi Düzeyi(Informal Deduction) • Bu düzeyde öğrenci özelliklerin birbiri ile ilgili ilişkilerini görmeye başlar.
Tanımlar, aksiyomlar öğrenci için anlamlıdır ancak mantıksal çıkarımlar henüz anlaşılamamıştır. Öğrenciler şekilleri ve bunların özelliklerini ilişkilendirebilir. • Bu düzeyde, şekiller arasındaki ilişkilerin kurulmasında formal olmayan akıl
yürütmeye başvurabilirler. Bu düzeydeki öğrenciler bir ispatı izleyebilir fakat kendileri ispat yapamazlar.
3. Düzey: Mantıksal Çıkarım Düzeyi(Deduction)
• Bu düzeyde öğrenci ilişkiler arasındaki sıralamayı yapabilir. Geometrik ispatları yaparken teorem, aksiyom ve tanımları kullanabilir. Gerek ve yeter şartları tespit edebilir, ispatta veya sonuç çıkarmada kullanabilir.
• Daha önce kanıtlanmış teoremlerden ve aksiyomlardan yararlanarak tümdengelimle başka teoremleri ispatlar.
• Bu düzeydeki bir çocuk için şekillerin özellikleri şekil ve cisimden bağımsız bir obje haline gelir.
• Bu dönem lise yıllarına gelir.
4. Düzey: En Üst Düzey
• Bu düzeydeki birey Euclid geometrisinin aksiyomlarını, teoremlerini, tanımlarını Euclid-dışı geometrilerde yorumlayabilir ve uygulamalarını yapabilir.
• Farklı aksiyomatik sistemlerin farklılıklarını ve aralarındaki ilişkileri fark edebilir. Bu sistemleri çalışacak birer alan olarak görebilir.
Geometrik kavramların kazandırılmasında çocuğun zihinsel gelişmişlik düzeyi çok önemlidir. Aksi halde ezberleme eğilimi belirir (Altun, 1998). Bu doğrultuda oluşturulan geometri programlarında geometrik düşünme düzeyleri geliştirilmeye çalışılmış “geometri etkinliklerinde edinilen bilgilerin sırasıyla; görsel, analitik, tümevarımlı ve çıkarsamalı olarak hiyerarşik bir düzen içinde türetilmelerinin gerektiğine dikkat edilmiştir. Zaman zaman öğrencinin tümevarımlı düşünmesinin sonucuna sezgi, keşif veya tahmin (conjecture) adı verilmiştir.”(Aydoğdu,2008). Bunun yanında geometri öğrenme birçok zihinsel becerinin aynı anda gerçekleşmesini gerektirir: şekilsel öğrenme, şekillerin görselleştirilmesi, zihinsel muhakeme önemli becerilerdendir.
Geometrik öğrenmeyi aşağıdaki şekilde şemalandırabiliriz (Duval, 1998, Akt. Jones,1998 ):
Visualisation
(görselleştirme, hayal etme)
Construction Reasoning
(yapılandırma) (muhakeme) Şekil 2: Geometri Öğrenme
Buna göre geometrik muhakeme geometrik kavram ve şekilleri hayal etme ve görselleştirme ile karşılıklı şekillenen bir süreçken, yapılandırılmış bir kavram için tekrar bir muhakeme yapılmaz
Handscomb (2005) geometrik kavramların nasıl oluştuğu sorusunun cevabını ve kavramsallaştırmanın özeliklerini beş prensiple açıklamıştır. Handscomb (2005) çalışmasında geometri öğrenmenin görüntüyü, şekli ve figürleri esas aldığını belirterek geometrik muhakeme becerisini aşağıdaki gibi sınıflandırmıştır.
• İlke 1: Eğer C ve D, I şekline ait bir kavramsallaştırma ise C ve D’ye ait tüm özelliklerin birleşimi I’nın da bir özelliğidir.
Şekil 3: Geometrik Muhakeme İlkeleri 1
• İlke 2: Eğer C, I şeklinin bir kavramsallaştırmasıysa ve D C’nin içinde bir özellik ise o zaman D, I’nın da bir kavramsallaştırmasıdır.
Şekil 4: Geometrik Muhakeme İlkeleri 2
• İlke 3: Eğer C, I şeklinin bir kavramasallaştırması ise ve D’nin özellikleri C’nin özelliklerinde türetilebiliyorsa D aynı zamanda I’ya ait bir kavramsallaştırmadır.
Şekil 5: Geometrik Muhakeme İlkeleri 3
• İlke 4: Eğer J şekline ait özellikler I şeklinin özelliklerini içeriyor ve C, I’ya ait bir kavramsallaştırma ise C aynı zamanda J’nin de bir kavramsallaştırılmasıdır.
Şekil 6: Geometrik Muhakeme İlkeleri 4
• İlke 5: Eğer J şekline ait özellikler I şeklinin özelliklerini içeriyor ve C, J’ye ait bir kavramsallaştırma ise D de I’nın bir kavramsallaştırılmasıdır.
Şekil 7: Geometrik Muhakeme İlkeleri 5
Bu prensipler geometrik kavramların nasıl oluştuğu ve genelleştirildiği hakkında fikir edinmemizi sağlar.
2.1.1 Neden Geometri Öğreniyoruz?
“…evren her an gözlemlerimize açıktır ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz, bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.”
Galileo
Geometrik muhakeme önemli zihinsel faaliyetleri ve alışkanlıkları geliştirmede oldukça önemlidir (Mariotti, 1998 ). Bu sebeple eğitimimizde geometri önemli bir yer kaplar. Çevremizde karşılaştığımız ve sık sık kullandığımız eşya ve varlıkların çoğu geometrik şekil ve cisimlerden oluşmaktadır (Altun, 2004; Akt. Toptaş, 2010). Ayrıca insan işini ya da mesleğini yürütürken geometrik şekil ve cisimler de kullanır. Bu varlıklardan en etkili şekilde yararlanmak bunları tanımaya, eşyanın şekli ile görevi arasındaki ilişkiyi kavramaya dayanır (Toptaş, 2010).
Çok eski çağlardan beri var olan geometri İbn Haldun(1332-1406)’a göre zekâyı aydınlatır ve aklı doğru yola sokar. Onun bütün kanıtları açık ve düzenlidir. Çok iyi düzenlendiğinden geometrik mantık yürütmeye hata girmesi neredeyse imkânsızdır. Bu nedenle sürekli geometriye başvuran bir aklın hataya düşmesi çok nadirdir. İbn Haldun tarafından Eflatun’un kapısında aşağıdaki sözlerin yazılı olduğu nakledilir: "Geometrici olmayan evimize giremez."
9. Sınıf ve 12. sınıf öğretim programında 5. bölümde yer verilen katı cisimler alan ve hacimleri konusunun kazanımları aşağıdaki tablodaki gibidir.
2007-2008 yılı itibari ile yürütülen eğitim-öğretim programına göre katı cisimler konusunun öğretiminde 11 temel amaç vardır:
Amaçlar Kazanımlar
Amaç-1: Prizmayı,
özelliklerini ve çeşitlerini kavrayabilme.
1. Prizmayı tanımlama.
2. Prizmanın tabanlarını tanımlama. 3. Prizmanın taban ayrıtlarını tanımlama. 4. Prizmanın yan yüzlerini tanımlama. 5. Prizmanın yan ayrıtlarını tanımlama. 6. Prizmanın yüksekliğini tanımlama. 7.Dik prizmayı tanımlama.
8.Düzgün prizmayı tanımlama. 9.Paralel yüzü tanımlama.
10.Dikdörtgenler prizmasına tanımlama. 11. Küpü tanımlama.
12. Tabanlarına göre prizmaları adlandırma.
13. Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni ile bir köşeden çıkan ayrıtlar arasındaki bağıntıyı söyleme ve gösterme.
Amaç-2: Prizmaların alan ve hacimlerini kavrayabilme.
1. Dik prizmanın yanal alanını veren bağıntıyı söyleme ve gösterme.
2. Prizmanın toplam alanını veren bağıntıyı söyleme ve gösterme.
3. Dik prizmanın hacmini veren bağıntıyı söyleme ve gösterme.
ve hacimleri ile ilgili uygulama yapabilme.
taban kenarları ile yüksekliği verildiğinde yanal alanını bulma.
2. Yüksekliği ile tabanının kenarları verilen bir dik prizmanın yanal alanını bulma.
3. Yanal alanı ile tabanının çevresi verilen bir dik prizmanın yüksekliğini bulma.
4. Tabanının bir kenarı ile yüksekliği verilen eşkenar üçgen dik prizmanın toplam alanını ve hacmini bulma.
5. Cisim köşegeninin uzunluğu verilen bir küpün toplam alanını ve hacmini bulma.
Amaç-4: Piramitleri, alan ve hacimlerini kavrayabilme.
1. Piramidi tanımlama.
2. Piramidin tepe noktasını, tabanını; yan ayrıtlarını, yüksekliğini, yan yüz yüksekliğini tanımlama.
3. Düzgün piramidi tanımlama. 4. Düzgün dörtyüzlüyü tanımlama.
5.Bir dik piramidin hacmini veren bağıntıyı söyleme ve gösterme.
6.Düzgün piramidin yanal alanını veren bağıntıyı söyleme ve gösterme.
Amaç-5: Piramitlerin alan ve hacimleri ile ilgili uygulama yapabilme.
1.Tabanının bir kenarı ile yüksekliği verilen düzgün kare dik piramidin yanal alanını, toplam alanını ve hacmini bulma.
Amaç-6: Dairesel silindiri, alan ve hacmini kavrayabilme.
1. Silindiri tanımlama.
3.dik dairesel silindirin yüksekliğini tanımlama.
4.Dik dairesel silindirin yanal alanını veren bağıntıyı gösterme.
5.Dik dairesel silindirin hacmini veren bağıntıyı söyleme ve yazma.
Amaç-7: Dairesel silindirin alan ve hacmi ile ilgili uygulama yapabilme.
1. İç ve dış çapları ile yüksekliği verilen dik dairesel silindir biçimindeki bir borunun dolgu kısmının hacmini hesaplama.
2. İç ve dış çaplan ile yüksekliği verilen dik dairesel silindir biçimindeki bir borunun dolgu kısmının toplam alanını hesaplama.
3. Yanal alanı ile yüksekliği verilen dik dairesel silindirin hacmini ve toplam alanını bulma.
4.Bir dikdörtgenin kenarları etrafında döndürülmesi ile oluşan silindirin hacimleri ve alanları arasındaki ilişkiyi bulma.
Amaç-8: Dairesel koniyi, alanını ve hacmini kavrayabilme.
1. Koniyi tanımlama.
2. Dik dairesel koniyi tanımlama.
3. Dik dairesel koninin yüksekliğini tanımlama.
4.Dik dairesel koninin ana doğrusunu tanımlama.
5.Dik dairesel koninin hacmini veren bağıntıyı yazma.
6. Dik dairesel koninin yanal alanını veren bağıntıyı söyleme ve gösterme.
7. Dik dairesel koninin toplam alanını veren bağıntıyı söyleme ve gösterme.
Amaç-9: Dik dairesel koninin alanı ve hacmi ile ilgili uygulama yapabilme.
1. Yanal yüksekliği ile tabanının çapı verilen dik dairesel koninin toplam alanını ve hacmini bulma.
2. Verilen bir dik yamuğun dik kenarı etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini ve toplam alanını bulma.
3. Verilen bir yamuğun paralel kenarları etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacimlerini ve toplam alanlarını hesaplama.
Amaç-10: Küreyi, alanını ve hacmini kavrayabilme.
1.Küreyi tanımlama.
2.Kürenin bir büyük çemberini tanımlama. 3.Kürenin alanını veren bağıntıyı söyleme ve yazma.
4.Kürenin hacmini veren bağıntıyı söyleme ve yazma.
Amaç-11: Kürenin alanı ve hacmi ile ilgili uygulama yapabilme.
1. Hacmi alanına sayısal olarak eşit olan kürenin çapını bulma.
2. Verilen bir dik dairesel silindire içten teğet olan bir küre ile silindirin hacimleri ve alanları arasındaki bağıntıyı gösterme.
3. Yarıçapları verilen iki kürenin alanlarının ve hacimlerinin oranlarını bulma. Tablo1: MEB 2008 geometri programının kazanımları
İnsanoğlunun bir yüzey parçasını doğru olarak bölme gereksinimi, cisim ve biçimleri ölçme, sayı ile anlatma bilgisi olan geometriyi doğurmuştur. Bu nedenle bu dersin insanların günlük yaşamıyla ilgili önemli bir yeri vardır (Binbaşıoğlu, 1981). Doğadaki her varlığın geometrik bir şekil olarak incelenebilmesi, diğer bilim dalları için araç ya da kaynak teşkil eden geometrinin matematik dışında mühendislik içinde de kullanılması bu disiplini daha da önemli kılar. ‘Ayrıca geometri dünyamızı ve kendi hayatımızı anlamamıza yardımcı olur’ (Aksu &Tığlı, 2007).
2.2.Yapılandırmacı Yaklaşım
Yapılandırmacı yaklaşım öğrenciyi ve öğrenmeyi merkeze alan bir yaklaşımdır. Yapılandırmacı yaklaşımda öğrenme, öğrenenin dış dünyadan duyu organları yardımıyla algıladığı nesne, olay ya da kavram ile ilgili zihninde kendi gerçeğini (bilgilerini) yapılandırması ya da önceki deneyimleri doğrultusunda yorumlaması sürecidir. Buna göre öğrenme, bilgilerin ve kavramların uygun bir bağlamda yönlendirilmesi ve yapılandırılması ile oluşur.
Yapılandırmacılık, öğrenmenin nasıl gerçekleştiği üzerine yoğunlaşan bir kuramdır. Buna göre bilgi, dış dünya ile kurulan etkileşiminin öğrenen kişi tarafından (birey) yapılandırılmasıyla oluşur. Ishii (2003)’ye göre yapılandırmacı öğrenmenin ana öğretisi, insanların dünya görüşlerini kendi bilgileriyle kendilerinin yapılandırıyor olmalarıdır (Akt. Gürsul,2008).
Yapılandırmacılıkta bütün çaba, öğrenmeyi kalıcı kılmak ve üst düzey bilişsel becerilerin oluşmasına katkı sağlamaktır (Gürsul, 2008). Bireylerin nasıl öğrendikleri tüm açıklığı ile keşfedilirse ancak o zaman üst düzey becerilere katkı sağlanacağı düşünülmektedir. Bu noktada kavram imajı çalışmaları yapısalcı yaklaşımda ayrı bir öneme sahiptir.
2.3. Kavram Ve Kavram İmajı Nedir?
2.3.1. Kavran Nedir?
Kavramı sözlük anlamıyla bir nesne, özellikle o nesnenin nitelikleri konusunda edindiğimiz genel düşünce olarak tanımlayabiliriz. Bir olay, nesne, bir nitelik ya da nicelik üzerinde oluşan zihinsel imgeye kavram denilebildiği gibi kavramı bir ‘şey’in, nesnenin, soyut düşüncenin kazandığı anlam, bizim çevremizi anlamlandırma şeklimiz olarak da ifade edebiliriz ( Yazın Terimleri Sözlüğü/ TDK, 1974).
Klasik mantıkta yargı ile çıkarımın sonradan üzerinde kurulacağı en yalın, en temel öğe (Güncel Türkçe Sözlük )olarak tanımlansa da gerçekte kavram düşüncenin bir başlangıç noktası olmayıp düşüncenin kendisini topladığı, yoğunlaştığı bir noktadır; düşüncenin bir bütüne, bir bireşime, bir birliğe dönüşmüş biçimidir.
Şimşek (2006)’a göre kavram; benzeri özellikleri paylaşan nesne, görüş ve olaylara verilen ortak isimdir. Başka bir deyişle paylaştıkları ortak özellikleri nedeniyle aynı küme, sınıf ya da kategori içinde yer alan örnekler bir kavram oluşturur.
Kavramlar, sözcüklere gerçek anlamlarını vermek ve bunlar aracılığıyla düşünmek, olayların ve süreçlerin özünü kavrayıp temel yanlarına ve özelliklerine ilişkin genellemeler elde etmek olanağını sağlayan nesnel çevrenin insan düşüncesindeki yansıma biçimidir (Toplumbilim Terimleri/TDK 1975).
Yaşamımız, bilinen ve henüz bilinmeyen birçok bilgilerden oluşmaktadır. Bilinen bilgiler insanlar tarafından kendilerine göre sınıflandırılmıştır. Ancak henüz bilinmeyen yeni bilgiler, üretilerek her geçen gün hayatımıza girmektedir. Bu bilgiler de tıpkı diğer bilgiler gibi sınıflandırılmaktadır. Kavramlar da tüm bu bilgilerin temelini oluşturmaktadır. Ayas, Köse ve Taş’a(2003; Akt. Ağca, 2006) göre kavramlar somut eşya, olaylar veya varlıklar değil onları belirli gruplar altında topladığımızda ulaştığımız soyut düşünce birimleridir. Kavramlar gerçek dünyada değil düşüncelerimizde vardır. Gerçek dünyada ancak örnekleri bulunabilir. Kavramlar nesneler ile olayların zihinde nasıl temsil edildiğini gösterir.
Merrill (1983, Akt. Atasayar 2008)’ e göre kavramlar, insan düşüncesinin yapı taşlarıdır. Nesne ve/veya olayların gözlenebilen özelliklerinin toplamından oluşurlar. Kavramlar ortak özellileri paylaşan ve aynı isimle tanımlanan semboller, olaylar ve nesneler grubudur. Gruplama ve/veya sınıflama benzerlik ve farklılıklara göre yapılır. Doğanay, (2003) insan zihni benzerlikleri ve farklılıkları ayırt etme konusunda deneyiminden bahseder, ona göre gruplama yapma ve bu gruplara isim verme doğal bir süreç olmayıp deneyimlerle ilgilidir( Atasayar, 2008).
Kavramlar hayatı anlarken olayları, fikirleri, insanları gruplamamız için bize yardımcı olur. Kavram insan zihninde anlamlanan, farklı obje ve olguların değişebilen ortak özelliklerini temsil eden bir bilgi formu/yapısıdır bir sözcükle ifade edilir (Ülgen, 2004, Akt. Ağca, 2006). Böylece kavramlar insanlar arası etkileşimi sağlamada ve sorunların çözümünde temel oluşturan önemli araçlardandır.
2.3.1.1. Kavram Türleri
Literatürde var olan kavram tanımlarının yanında kavramlar süreç içinde değişik sınıflandırmalara tabi tutulmuştur. Şimşek (2006) tarafından önerilen sınıflandırmaya göre kavramlar:
1. Soyut kavramlar – somut kavramlar,
2. Nesnesel kavramlar – ilişkisel kavramlar,
3. Üst kavramlar – alt kavramlar – bağlantılı kavramlar,
4. Kendiliğinden kavramlar – kendiliğinden olmayan kavramlar, 5. Günlük kavramlar – bilimsel kavramlar
Olmak üzere beş ayrı şekilde gruplandırılabilir.
1. Soyut kavramlar – somut kavramlar: Gözlemlenebilen ya da fiziksel olarak beş duyu organları yoluyla algılanabilen özellikleri nedeniyle aynı sınıf içerisinde yer alan kavramlar somut kavramlardır. Doğrudan gözlemlenemeyen ya da fiziksel olarak
beş duyu organı yoluyla algılanamayan daha çok düşünsel ya da tanımsal nitelik gösteren kavramlar soyut kavramlardır
2. Nesnesel kavramlar – ilişkisel kavramlar: Eysenck ve Keane (Akt. Atasayar, 2008) tarafından yapılan bu sınıflandırmaya göre nesnesel kavramlar insanların kendi çevrelerinde bulabilecekleri fiziksel varlıkları ya da nesneleri sınıflamak için kullanılan kavramlardır. İlişkisel kavramlar ise nesnesel kavramlar arasındaki ilişkileri belirtmek üzere kullanılan ve çoğunlukla sözel bilgilerden oluşan önermelerdir.
3. Üst kavramlar – alt kavramlar – bağlantılı kavramlar: Şimşek (2006)’e göre kavramlar arasında aşamalı bir yapı vardır. Kavramların yapılandırılmasında en tepede yer alan ve diğer kavramları kapsayan kavramlara üst kavramlar denir. Onların bir alt düzeyini, küçük bir bölümünü ya da özel bir parçasını oluşturan kavramlar ise alt kavramlar olarak tanımlanmaktadır. Geometride katı cisim bir üst kavram iken prizma, piramit birer alt kavramdır.
Aynı aşamalı yapı içinde yer almayan ama gösterdiği koşutluk nedeniyle belirli bir kavramla bir biçimde ilişkili olan kavramlara bağlantılı kavramlar denilir. Bağlantılı kavramlar imajların oluşmasında etkilidir.
4. Kendiliğinden kavramlar – kendiliğinden olmayan kavramlar: Piaget (1964)’ ye göre, kavramların oluşumunu ikili bir sınıflama ile açıklanır. Kendiliğinden kavramlar, çocuğun düşünme özelliklerini doğrudan yansıtır. Kendiliğinden olmayan kavramlar ise, çocuğun genelde yetişkinlerin istediği doğrultuda sergilediği düşünme biçimini gösterir.
5. Günlük kavramlar – bilimsel kavramlar: kavramların oluşumunu doğal ve eğitsel çevre ile birlikte düşünen Vygotsky (1994, Akt. Atasay, 2008), iki tür kavramdan söz etmektedir: günlük ve bilimsel kavramlar. Günlük kavramlar, çocukların okul dışındaki etkileşimi ile ortaya çıkan ve günlük yaşam bağlamında gelişen kavramlardır. Bilimsel kavramlar ise, belirli bir bilim dalıyla ilgili olarak okulda öğrenilen kavramlardır.
Fidan’a (1985) göre kavramların özellikleri aşağıdaki gibidir (Akt. Çağlayan,2006):
• Kavramlar, somuttan soyuta derecelenebilirler.
• Kavramlar, basitten karmaşığa doğru bir sıralama gösterirler. • Bazı kavramlar birbiriyle ilişkili birçok kavramı içerir.
• Kavramların temel özellikleri tanımlama veya fonksiyonel yönlerden olabilir.
• Kavramların kritik ve kritik olmayan özellikleri vardır. • Kavramlar, dikey ve yatay organizasyon içerisindedirler.
• Kavramlar kişiden kişiye değişen ve değişmeyen olmak üzere iki türlü anlam taşırlar.
• Kavramlar sürekli gelişen ve yeni anlamlar kazanan sınıflamalardır. Kavram gelişimi bireyin gelişimi ile iç içedir.
• Kavramlar hangi yolla kazanılırsa kazanılsın, onlara yalnız kişinin kendi yaşantıları anlam kazandırır.
• İnsanlar, kavramların önemli bir kısmı sembolik şekillerle zihinlerine yerleştirirler ve hatırlarlar.
İnsanoğlu eğer çevresinde gördüğü her şeyi farklı bir nesne olarak farklı bir adla öğrenseydi, muhtemelen bugünkünden daha unutkan olurduk. Kavramlar, bizi ayrıntılardan kurtararak çevremizdeki olay ve nesneleri daha kolay tanımamıza ve anlamamıza yardım ederler. Bilgilerin sistematik olarak örgütlenmesini sağlar ve sürekli olarak benzerlikler kurup bilgi sistemimizi genişletmemizi sağlarlar. Bu nedenlerden kavramlar, öğrenmenin vazgeçilmez elemanlarıdır (Ağca, 2006).
Öğrenme sürecinde çok önemli bir katkı da bireyin yaşamı boyunca edinmiş olduğu tecrübeler yani var olan bilgileridir. Bu bilgiler her bireyde farklıdır. Yeni kavramlar var olan bilgilerle çelişmeden ilişkilendirilebiliyorsa özümsenir, çelişiyorsa özümsenmez, bunun sonucunda bilimsel gerçeklere aykırı kavramlar gelişebilir. Bu yanlış kavramlar bilim adamlarınca kavram yanılgısı olarak isimlendirilir (Ağca, 2006).
2.3.2. Kavram İmajı Nedir?
Tecrübenin insan yaşantısındaki yeri ve önemi değişik açılardan hemen hemen her bilim dalında incelenmiştir. Ağca (2006)’ ya göre insanlar, kendi yaşantılarından
yararlanarak kavramlar oluşturmaktadır. İnsanlar yaşantıları sonucu kavramları oluşturmakta, kavramlar arası ilişkileri kurarak bir üst düzey kavramı oluşturarak düşüncenin zirvesine çıkmaktadır. Kavramlar bilgilerin yapı taşlarını oluştururken aynı zamanda kavramsal ilişkiler de bilimsel ilkeleri oluşturur. İnsanların zihnindeki öğrenme ve yeniden yapılandırma süreci her yaşta devam eder (YÖK / dünya bankası, (1997); Akt. Ağca, 2006).
Eğitimde yeniden yapılanma çalışmaları ve davranışçı yaklaşımın yerini yavaş yavaş yapısalcı yaklaşıma bırakmasıyla birlikte öğrencilerin matematiği nasıl öğrendikleri, kavramları nasıl yapılandırdıkları giderek daha fazla önem kazanmıştır. Bu noktada yapısalcılıkla birlikte başlayan matematik eğitiminde kavramların algılanışı ile ilgili çalışmalar ilk olarak Tall ve Vinner tarafından başlatılmıştır (Gülkılık, 2008). Formal eğitimde önceleri matematik sonuç odaklı öğretilirken yapısalcı yaklaşımla birlikte süreç de önem kazanmış ve eğitimin değerlendirmesinde ‘sürecin nasıl oluştuğu’ na dikkat edilir olmuştur.
Yapısalcı yaklaşımla eğitimin merkezine alınan öğrencinin nasıl düşündüğünün bilinmesi eğitimin kalitesini arttıracaktır. Gülkılık’a (2008) göre Tall ve Vinner tarafından 1981 yılında ortaya atılan kavram tanımı ve kavram imajı yapısı öğrencilerin matematiksel düşünmelerini analiz etmek için etkili bir yapıdır. Kavram tanımı ve kavram imajı yapısı öğrencilerin matematiksel kavramlara ait düşüncelerini ve bunları nasıl yapılandırdıklarını ya da yapılandıramadıklarını ortaya çıkarmaktadır. Geometrik kavramlar (Vinner&Hershkowitz, 1980) ondalıklarla ilgili sözlü ve diğer zorluklar (Tall, 1977), fonksiyon fikri (Vinner, 1983), limit ve süreklilik (Tall&Vinner, 1981), serilerin yakınsaklığı (Robert, 1982), fonksiyonların limitleri (Ervynck, 1983), eğim (Vinner, 1983; Tall, 1987), sonsuzluk hissi (Fischbein, 1979), diferansiyelin anlamı (Artigue, 1986) vb... çalışmalar kavram tanımı ve kavram imajı yaklaşımını baz alarak yapılan çalışmalardan bazılarıdır (Akt. Gülkılık, 2008).
Geometriksel mantığı kavramlar ve şekiller arsındaki diyalektik sürecin yorumlanması olarak açıklayan, çalışmalarında bu zihinsel süreci araştıran Mariotti (1998)’e göre:
Geometriksel mantık, şekilsel ve kavramsal olmak üzere iki alan arasındaki etkileşim ile belirlenir. Bu işlemin doğruluğu ya da etkililiği bu iki alan
arasındaki uyuma bağlıdır. Yapılan hatalar ise bu uyum içerisindeki ufak yanılgılar olarak adlandırılır. Örneğin öğrenciler bu yanılgının farkına vardıklarında bu iki alan arasında bir anlaşmazlık ortaya çıkar.
Kavram tanımı ve kavram imajı çalışmasının ilk olarak yine bazı geometrik kavramları analiz etmek amacıyla Vinner ve Hershkowitz tarafından 80’li yılların başında ortaya konması bizim çalışmamız açısından da önemlidir. Tall ve Vinner 1981 yılında “limit ve süreklilik özel referansı ile kavram imajı ve kavram tanımı” adıyla yaptıkları çalışmayla daha sonraki çalışmalara ışık tutmuşlar, kaynak olmuşlardır. Vinner ve Herskowitz tarafından (1980) da tanıtılmış olan “kavram imajı” ve “kavram tanımı” terimleri, bireyin kavramsal yapısında oynadığı rolün altını çizmek için daha sonra Tall ve Vinner (1981) tarafından şu şekilde tanımlanmıştır:
“…biz kavram imajı tanımını kavramla birlikte anılan tüm bilişsel yapı olarak tanımlayacağız. Bu yapı tüm zihinsel resimleri, çağrışım yapan özellikleri ve yöntemleri içerir. Kavram imajı geliştikçe bu imajın her zaman tutarlı olması gerekmez. Belirli bir zamanda aktif olan kavram imajına uyandırılmış (Evoked) kavram imajı diyeceğiz. Farklı zamanlarda çelişkili görünen imajlar uyandırılabilir. Sadece çelişkili görüntüler kendiliğinden uyandırıldığında anlaşmazlık ve karışıklığın herhangi gerçek bir hissi olabilir. Diğer taraftan kavram tanımı bu kavramı özelleştirmek için kullanılan kelimeler bütünüdür.” (Tall & Vinner, 1981, çeviren: Gülkılık, 2008)
Kavram imajını detaylı bir şekilde incelemek için bazı özelleştirmeler de yapılmıştır:
“… biz, kavram imajı veya kavram tanımının başka bir parçasıyla çelişen bir parçasını potansiyel çelişki faktörü olarak adlandırabiliriz. Bu faktörler, bilişsel çatışmaya yol açan durularda kesinlikle uyandırılmamalıdır, fakat bunlar böyle uyandırılmışsa, ilgili faktörler bilişsel çatışma faktörü olarak adlandırılacaktır. Onlar sadece kendiliğinden uyandırıldıklarında bilişsel çatışma faktörü haline gelirler. Kesin durumlarda, tedirginliğin belirsiz hissi ile kendi kendini sadece
açıkça belli eden çelişki ile bilişsel çatışma faktörleri bilinçsizce uyandırılabilir.” (Tall & Vinner, 1981, çeviren: Gülkılık 2008)
Tall ve Vinner’a (1981) göre kavram imajı formal tanımla çatışmaya başladığı anda ciddi sorunlar ortaya çıkar. Böyle bir çatışma formal tanımın öğrenilmesini engelleyeceği gibi bu tür potansiyel bir çatışma öğrencilerin formal tanıma gereksiz bakmasına neden olacaktır. Yine Tall ve Vinner (1981), öğrencilerin yeni bir ortamda eski bir kavramla ya da bu kavramla ilintili bir problemle karşılaştığında kavram tanımını geri plana iterek kavram imajını kullanmaya eğilimli olduğunu söylemektedir.
Vinner (1983) bir fonksiyonun kavram imajını çalışırken şu çıkarımlarda bulunmuştur (Akt. Gülkılık,2008):
1.Kavramları ele almak için, birinin kavram tanımına değil de bir kavram imajına ihtiyacı vardır.
2.Kavram tanımları (kavram bir tanım yardımıyla tanıtıldığında) pasif kalabilir, hatta unutulabilir. Düşüncede hemen her zaman kavram imajı uyandırılacaktır.
Vinner (1991)’ a göre, eğer bir fikir diyagramlar halinde sunulmak isteniyorsa bilişsel yapıda iki ‘hücre’ye başvurulur. Birinci ‘hücre’ kavram tanımı, ikinci ‘hücre’ de kavram imajı hücresidir. İlk hücre hatta bazen ikisi de boş olabilir. Zihindeki bu iki hücre arasında belli bir ilişki olmasına rağmen bu ilişki bağımsız olarak şekillendirilmiştir.
Vinner(1991), kavram oluşum süresince kavram tanımı ile kavram imajı arasındaki etkileşimi aşağıdaki şekille açıklamıştır.
Şekil 8: Kavram Oluşum Süreci (a)
Yukarıdaki şekilde uzun süreçli bir kavram oluşum süreci gösterilmiştir. Eğitim sürecinde bazı öğretmenler öğrencilere bu süreci tek yönlü yaşatmaktadır. Şekil-8’de
gösterildiği gibi öğretmenler, kavram imajının kavram tanımından şekillendiğini ve tamamen onun tarafından kontrol edildiğini düşünmektedirler (Vinner, 1991).
Şekil 9: Kavram Oluşum Süreci (b)
Kavram imajı kavram tanımından şekilleniyorsa kavram istenilen şekilde yapılandırılmış olacaktır. Vinner ve Dreyfus (1989; Akt. Gülkılık, 2008), kavram imajının genellikle kavram tanımı tarafından değil de tipik örneklerle oluştuğuna işaret eder. Bu yüzden kavramın örnekleri olarak düşünülen matematiksel objelerle oluşturulan kavram imajı ile kavram tanımı tarafından tanımlanan matematiksel objeler tarafından oluşturulan kavram imajı doğal olarak aynı değildir. Özellikle geometride imajlar ve şekiller kavramların önüne geçebilir hatta yerini alabilir (Mariotti, 1993). Bunun yanında geometrik kavramların sunuşunda kavramlar ile ilgili örnekler kavram imajının yerini alabilir. Ayrıca problem çözerken geometrik bir kavram ve imajı arasında karşılaştırılabilir tek yönlü bir ilişkinin olduğunu düşünen öğretmenlere karşın Vinner (1991), problem çözme sürecinde kavram tanımının öğrenciler tarafından baz alınmadığını söyleyenler de vardır. Tanım ile imaj arasında olması gereken bağlantı Şekil 10’daki gibidir.
Şekil 10: Tanım ile İmaj Arasındaki Olması Beklenen Bağlantı
Kavram tanımı Kavram imajı
ÇIKTI/CEVAP
GİRDİ/BİLİŞSEL İŞ
Kavram İmajı Kavram Tanımı
Şekil 10 ve Şekil 11’de öğrenciye bilişsel bir görev verildiğinde ortaya çıkan süreçler gösterilmektedir. Aşağıda uygulamada daha çok kullanılabilecek bir model verilmiştir (Vinner, 1991):
Şekil 11: Tamamen Formal Öğretim
Şekil 11’de görüldüğü gibi eğer formal bir eğitim öğretim durumu varsa öğrenciler problem çözerken kavram tanımını esas alırlar.
Şekil 12: Sezgisel Düşünce ile Öğretim ÇIKTI/CEVAP GİRDİ/BİLİŞSEL İŞ Kavram İmajı Kavram Tanımı ÇIKTI/CEVAP GİRDİ/BİLİŞSEL İŞ Kavram İmajı Kavram Tanımı
Şekil 12’de görüldüğü gibi öğrenciler sezgisel düşünceleri ile problem çözerken önce kavram imajına daha sonra da kavram tanımına başvurarak işlem yapmaktadırlar.
Şekil 13’de probleme sezgisel yolla yaklaşan öğrencinin geçtiği süreçleri açıklayan bir şema verilmiştir.
Şekil 13: Sezgisel Yaklaşım
“…burada kavram tanımı hücresine problem çözme sürecinde hiç başvurulmamıştır. Günlük yaşamdaki düşünce alışkanlıklarımız, formal tanıma başvurmaya ihtiyaç duyduğumuzu fark etmeden idareyi ele almıştır. Kavram imajına başvurmak genelde işe yarar, bu da insanların kavram tanımına başvurmalarını gerekli kılmaz. Belirli bilişsel işlerde kavram imajı ile bağlantı kurarız fakat farklı durumlarda aynı imajın tekrar canlanabileceğini söylemiyoruz. Analizciler, bilişsel sistemin sadece bir kısmını anlatmaktadırlar ki bu kısım, bir bilişsel iş üzerinde çalışırken aktif hale geçmektedir. Şu da açıktır ki teknik içerikli durumlarda kavram imajı kendi başına yeterli olmayabilir.” (Vinner, 1991, çeviren: Gülkılık,2008)
ÇIKTI/CEVAP
GİRDİ/BİLİŞSEL İŞ
Kavram İmajı Kavram Tanımı
Şekil 14: Uygun Olmayan Kavram İmajının, İmaj Şekillenmesine Etkisi Şekil 14’te kavram imajı şekillenirken kavram tanımı ile uygun olmayan kavram imajının aynı oranda etkin olduğu görülür. Kavramla ilgili yeni bir durum ortaya çıktığında kavram tanımına başvurulmadan uygun olmayan imajı esas alınır ve yeni kavram imajı oluşturulur.
Vinner (1991)’e göre kavram öğrenme kavram imajını biçimlendirme anlamına gelmektedir. Kavram tanımı, birey tarafından kavramın anlaşılmasını garantilemez. Bireyin kavramı anlamış olması, onun kavram imajına sahip olduğu anlamına gelir (Gülkılık, 2008).
2.4. Katı cisimler 2.4.1. Prizmalar
Düzlemsel bir çokgen ile bu çokgenin bulunduğu düzlemde olmayan bir l doğrusu verilmiş olsun. Çokgenin noktalarından geçen ve l' ye paralel olan doğrular bir yüzey oluşturur. Bu yüzeye prizmatik yüzey, l doğrusuna da bu yüzeyin ana doğrusu denir.
Var olan Kavram Kavram Tanımı Uygun Olmayan Kavram İmajı
Yeni Kavram
Kavram Tanımı
Şekil 15: Prizmatik Yüzey
Prizmatik yüzeyin belirlediği uzay parçasına prizmatik bölge, paralel iki düzlemin prizmatik bölgeden ayırdığı kapalı parçaya prizma, prizmatik yüzeyin bu iki düzlem arasında kalan parçasına prizmanın yanal yüzeyi ya da yan yüzeyi denir.
Şekil 16: Dik Prizma Şekil 17: Üçgen Dik Prizmanın Elemanları Prizmanın altını ve üstünü oluşturan (eş) çokgensel bölgelere prizmanın ta-banları, bu çokgenlerin kenarlarına prizmanın taban ayrıtları, tabanların karşılıklı köşe noktalarını birleştiren doğru parçalarına yanal ayrıtlar denir. İki kenarı taban ayrıtı iki kenarı da yanal ayrıt olan paralelkenarsal bölgeler yanal yüzler, iki taban arasındaki en kısa uzaklık da prizmanın yüksekliği olarak tanımlanır. http://mathworld.wolfram.com/topics/SolidGeometry.html
Prizmada bir yan yüzün tabanlarla ortak olan karşılıklı kenarları eş ve paraleldir. Prizmanın yanal ayrıtları taban düzlemine dik ise bu paralelkenarlar dikdörtgen olur. Böyle prizmalara dik prizmalar denir. Dik olmayan prizmalar da eğik prizmalardır.
Prizmalar, tabanlarındaki çokgenlerle adlandırılır: üçgen prizma, dörtgen prizma gibi… Yukarıdaki şekilde gördüğünüz prizmalar; üçgen (eğik) prizma, altıgen eğik) prizma ve en sağdaki ise altıgen dik prizmadır.
Şekil 18: Dik ve Eğik Prizmalar
Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaya düzgün prizma, bu düzgün çokgen kare ise buna kare dik prizma denir.
Tabanı paralelkenar olan prizmaya da paralelyüz adı verilir. Eğer paralelyüz dik prizma ise buna dik paralelyüz denir
Bütün yüzleri dikdörtgen olan prizmaya dikdörtgenler prizması, bütün ayrıtları birbirine eşit olan dikdörtgenler prizmasına da küp denir.
Uçları prizmanın iki köşesi olan doğru parçası, bu prizmanın yüzeylerinden herhangi birinde değilse buna prizmanın cisim köşegeni denir.
2.4.2. Piramitler
Şekil 20: Piramidal Yüzeyler
Bir çokgen ile bu çokgenin düzleminde olmayan sabit bir T noktası verilmiş olsun. T’den ve çokgenin bir noktasından geçen doğruların birleşimi olan yüzeye piramidal yüzey denir (üstte bulunan soldaki şekil). Piramidal yüzeyin uzaydan ayırdığı bölgeye de piramidal bölge adı verilir (üstte bulunan sağdaki şekil).
Bir çokgen ile T noktası piramidal bölge belirlemiş olsun. Piramidal bölgenin çokgen düzlemine paralel olan bir düzlemle T noktası arasında kalan kapalı parçasına piramit, piramidal yüzeyin bu düzemle T arasındaki parçasına da piramit yüzeyi ya da piramidin yanal yüzeyi denir. T noktasına piramidin tepe noktası, çokgensel bölgeye de piramidin tabanı adı verilir.
Yukarıdaki tanıma göre bir ucu piramidin tepe noktası diğer ucu tabanın bir noktası olan doğru parçası o piramidin alt kümesidir. Diğer bir deyişle bu doğru parçalarının birleşimi piramidi oluşturur.
Piramidin tepe noktasını tabanın köşeleri ile birleştiren doğru parçalarına yanal ayrıtlar, tepe noktanın taban düzlemine uzaklığına piramidin yüksekliği denir.
Piramitler de prizmalar gibi tabanındaki çokgenle adlandırılır: üçgen piramit, dörtgen piramit gibi… Tepe noktadan taban ayrıtlarına inilen dikmeler yan yüzlerin yükseklikleridir. Üstte bulunan şekilde [TK] yan yüzlerden birinin yüksekliğidir.
Şekil 22: Üçgen Piramit
Bir piramidin yüksekliği [TG]’dir. Bir piramitte tepe noktası ile tabanın ağırlık merkezinden geçen doğru taban düzlemine dik ise bu piramide dik piramit denir.
Tanım 1: Düzgün Piramit
Tabanı düzgün çokgensel bölge olan dik piramide düzgün piramit denir. Bir dik piramidin tabanı düzgün çokgen ise piramide düzgün dik piramit denir. www.interaktifmatematik.com
Şekil 23: Düzgün Dörtyüzlü 2.4.3. Silindirik Yüzey ve Dik Dairesel Silindir
Düzlemsel olan kapalı bir c eğrisi ile bu düzlemi kesen bir d doğrusu alındığında c eğrisinin bir noktasından geçen ve d’ ye paralel olan doğruların oluşturduğu şekle (yüzeye) silindirik yüzey, c eğrisine bu yüzeyin dayanak eğrisi, yüzeyi oluşturan her doğruya yüzeyin ana doğrusu denir.
Bir silindirik yüzeyin, uzaydan ayırdığı bölgeye silindirik bölge adı verilir. Bu bölgenin ana doğruya paralel olmayan her düzlemle ara kesiti (c eğrisi gibi) kapalı bir eğridir. Birbirlerine paralel olan ama d doğrusuna paralel olmayan iki düzlemin bir silindirik bölgeyle ara kesit tabanları bu silindirik yüzeyin söz konusu iki düzlem arasında kalan parçası da yanal yüzeyi olan cisme silindir denir. Bir ana doğrunun silindirin yanal yüzeyinde kalan parçasına silindirin elemanı, tabanlar arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği, ana doğruları dayanak eğrisinin bulunduğu düzleme, dik olan silindire dik silindir denir. Tabanları daire olan silindire dairesel silindir, ana doğrusu tabana dik olan dairesel silindire de dik dairesel silindir adı verilir. Dik olmayan dairesel silindire eğik dairesel silindir denir.
Dik dairesel silindirin alt ve üst tabanlarının merkezlerinden geçen doğruya silindirin ekseni adı verilir (MEB Geometri 3, 2009)
