Verilerin Analizi

Nitel araştırmada elde edilen verilerin analizi için iki genel yöntem önerilebilir. Bunlardan ilki betimsel, ikincisi ise içerik analizidir. “Betimsel analiz, derinlemesine analiz gerektirmeyen verilerin işlenmesinde kullanılmıştır. İçerik analizi elde edilen verilerin daha yakından incelenmesini ve bu verileri açıklayan kavram ve temalara ulaşılmasını gerektirir (Yıldırım&Şimşek,2008).”

Nitel araştırmaların güçlü yanı araştırmacıya derinlemesine bilgi sağlaması iken bu bilgilerin-verilerin araştırmacı tarafından nasıl analiz edildiği ve ne tür sonuçlara ulaşıldığı önemli bir sorunlardandır.

Araştırmamızda elde edilen veriler aşağıda belirtilen dört aşamada analiz edilmiştir:

Şekil 37: Nitel Veri Analiz Aşamaları VERİLERİN KODLANMASI

KATEGORİLERİN BULUNMASI

KODLARIN VE KATEGORİLERİN DÜZENLENMESİ

Bu çalışmada ele alınacak konu öğrencilerin zihinlerinin içindeki temsil sistemlerine odaklanmayı gerektirdiği için verilerin analizinde her bir öğrencinin süreci ayrı bir olgu olarak ele alınacaktır. Fenomenolojik araştırma desenine de uygun olarak öğrencilerin katı cisimler ile ilgili sahip oldukları kavram imajına ait verilerin analizinde içerik analizi kullanılmıştır.

Analiz sürecinde fenomonolojik metot kullanıldığı için görüşmelerin ardından katı cisimlerin nasıl kavrandığı, kavram imajının nasıl olduğuna dair öğrencilerin cevapları deşifre edilmiş; verilerin detaylı bir biçimde incelemesinden sonra da literatürde yer alan teorilerle de ilişki kurularak kategoriler oluşturulmuştur. İsimlendirme ve kategorilerin oluşturulmasında alan uzmanı eğitimci (2 geometri öğretmeni ve 2 eğitim uzmanı) ve araştırmacılardan fikirleri alınmış, kategorilerin cevapları karşılaması ve birbirinden net olarak ayırt edilebilir olmasına dikkat edilmiştir. Tablolar halinde verilen kategoriler ve kategorilerin oluşmasını sağlayan öğrenci cevapları katı cisimler konusunun 5 alt başlığı dikkate alınarak sunulmuştur. Bu başlıklar aslında genel olarak okul geometri derslerinde katı cisimlerin sınıflandırmasını içerir. Prizmalar, piramitler, koni, silindir ve küre belli başlı geometrik katı cisimlerdir.

Oluşturulan kategoriler ve öğrencilerin cevapları tablolar halinde sunulmuş daha sonra görüşmeden kategorileri açıklayan diyaloglar verilerek bunlar yorumlanmıştır. Nitel araştırmalarda sonuçlar nicel olarak pek sunulmasa da kategorilerdeki öğrenci sayıları genel anlayış üzerinde bir fikir sahibi olmamızı sağlayabilir.

Yıldırım ve Şimşek’in (2008) de belirttiği gibi “Nitel araştırmada farklı ortamlara ve gruplara uygulanabilen, önceden belirlenmiş kesin kurallar ve standart yaklaşımlar olmadığı için her araştırma problemi özel bir araştırma deseni ve analiz yaklaşımı gerektirir.” Esasen nitel araştırmada kullanılan yöntemlerin çeşitliliği ile araştırmanın geçerliği doğru orantılıdır.

4. BULGULAR VE YORUMLAR

Bu bölümde toplanan verilerin analizi, analiz sonucu ortaya çıkan bulgular ve bulgulara ilişkin yorumlar birlikte yer alacaktır. Farklı sınıf seviyelerindeki öğrencilerin katı cisimlerle ilgili sahip oldukları kavram imajına ait bulgular ve yorumlar 2 başlık altında verilecektir. Bunun yanında öğrencilerin katı cisimler ile ilgili sahip oldukları kavram imajının prizma, piramit, koni, silindir ve küre ile ilgili kavram imajı adlı alt başlıklarla sunulması ve yorumların bunlar üzerinden yapılması kararlaştırılmıştır. Oluşturulan başlıklar aşağıdaki gibidir:

1. Öğrencilerin katı cisimler ile ilgili sahip oldukları kavram imajı, 1.1.Prizma kavram imajı

1.2.Piramit kavram imajı 1.3.Koni kavram imajı 1.4.Silindir kavram imajı 1.5.Küre kavram imajı

2. Katı cisim modellerinin sesli düşünme metodu ile isimlendirilmesi, öğrenci cevapları

Araştırma konumuz öğrencilerin katı cisimler ile ilgili sahip oldukları kavram imajı olduğu için analiz yapılırken öğrencilerin sınıfları bazında ayrı ayrı tablolar düzenlenmemiş; tablolar kavramlara göre oluşturulmuştur.

Yorumlar, elde edilen verilerin analizi sonucu ortaya çıkan bulgular temel alınarak yapılmıştır. Bunu yanında görüşme sırasında elde edilen gözlem notları ve yazılı dokümanlar araştırmamızın bir diğer veri kaynağı olduğu için tabloların yorumlanmasında bunlar kullanılmıştır. Araştırmadaki bulguların yorumlanmasında, öğrencilerin görüşmeler esnasında yapmış oldukları sözlü anlatımlarını destekleyen, çizimleri de sunulmuştur.

1. Öğrencilerin Katı Cisimler İle İlgili Sahip Oldukları Kavram İmajı

Öğrencilerin geometride katı cisim denince yaşantılarını da dikkate alarak ilk önce neyi canlandırdıklarını öğrenmek amaçlı sorulan “Geometride ‘katı cisim’

kavramından ne anlıyorsunuz? Açıklayabilir misin?” sorusuna verdikleri cevaplar Tablo 5’de analiz edilmiştir.

Tablo 5: Öğrencilerin Geometride ‘katı cisim’ kavramından ne anlıyorsunuz? Açıklayabilir misin? Sorusuna verdikleri cevapların analizi

Kategoriler Öğrenci Cevapları

Geometrik modeller  Silindir, küre işte… Aslında biliyorum ama şimdi aklıma pek gelmedi.(Emrah9)

 Prizma var. Piramit, prizma, küre, karton kutu olabilir mi mesela? Pek bir şey gelmedi aklıma ama.(Mehmet12)

 Çevremizdeki her şey, geometride küp, prizma, piramit, silindir…(Uğur9)

Günlük hayattan eşyalar ve geometrik modeller

 Aslında bu konulara çok ağırlık vermedim. Günlük yaşamdan örnekler, klasik örnekler mesela ilaç kutusu, piramitler, prizmalar…(Didem12)

 Katı cisim… Kare prizma… Hımm günlük yaşamdan kibrit kutusu, tahta, sonra kitap…(Meryem9)

“maddenin katı hali”  _{Zaten birçok şey katı cisim… Oturduğumuz sıra, tahta,} kitaplar kalemler…(Gonca12)

Tablo 5’e öğrencilerin göre katı cisim kavramına verdikleri cevaplar 3 kategoriye ayrılmıştır.öğrenciler genel olrak katı cisim denilinde geometrik modeller vermeyi seçmişlerdir. İlginç olabilecek bir durumda genel olarak 9. Sınıfların geometrik model vermeyi tercih etmesi 12. Sınıfların ise günlük hayattan eşya yada geometrik cisimleri örnek olarak seçmesidir.

Öğrencilerin çoğu katı cisimler için kullandıkları temsilleri, geometrik modelleri kavram için örnek olarak söylemişlerdir. Bunun sebebi geometrik kavramların modelleri ile yakın ilişkisi olabilir.

Öğrencilerden katı cisimleri örneklendirmeleri istendiğinde yakın çevresinden, öncelikle etrafındaki cisimlerden başladıkları görülmüştür. Öğrencilerin günlük hayat için verdikleri örnekleri de geçmiş yaşantıları, öğrenim deneyimleri etkili olduğu gibi; birçok faktörün de etkisi olabilir.

1.1.Prizma kavram imajı

Prizma katı cisimler arasından öğrencilerin ilk karşılaştıkları ve tanıdıkları cisimdir. İlköğretimden itibaren eğitim değişik kademlerinde önce cismi tanıtmak daha sonrada ölçüsel bilgilere yer verilerek prizma kavramı öğrencilere sunulmaktadır. Geometrideki katı cisimler denince öğrencilerin genel anlamda ilk örnekleri prizmalardan olmaktadır.

“Prizma kavramından ne anlıyorsunuz? Tanımlayınız. Prizma çeşitleri ile ilgili neler biliyorsunuz?” sorusuna verilen cevaplar Tablo 6’da analiz edilmiş; kategorilere ayrılmıştır.

Tablo 6: Öğrencilerin prizma kavramına ait soruya verdiği cevapların analizi Cevapların kategorisi Öğrencilerin ifadeleri

Geometriksel / formal tanım

 Şimdi şu çokgen(Eliyle dörtgen çiziyor.) etrafında bir doğruyu, şöyle (Önündeki kağıda çizdiği çokgenlerden birinin kenarları üzerinde kalemini dik tutarak çeviriyor.) çevirirsek prizmatik yüzey olur. Bir de üstü var. Alt taban, üst taban…(Gonca12)

Cismi özelliklerini söyleme / tasvir

 Geometrik olarak mesela belirli bir hacmi olan, yüksekliği olan alt ve üst tabanı –dikdörtgen prizma mesela- dikdörtgen olan, yanal alanları

olan şekiller… (Didem12)

 Prizma, taban alanı kadar beli bir şeyin üst üste konulması bence.Prizma çeşitleri taban şekline göre kare prizma, üçgen prizma… (Gonca12)

Geometrik modelleme / çizerek gösterme

 Prizma çeşitleri kare prizma, dikdörtgen görünce prizma derim. (Mehmet12)

Somut olarak örneklendirme

 Prizma şöyle dedim ya ilaç kutusu gibi. Dikdörtgen prizma, küp de prizma galiba, çizebilirim de. (Didem12)

 Prizma kibrit kutusu şeklinde… Prizma çeşitleri dikdörtgen prizma, kare prizma, üçgen…(Meryem9)

 Aslında prizmanın ne olduğunu biliyorum ama çeşitleri üçgen prizma, kare prizma, dikdörtgenler prizması falan…(Uğur9)

Tablo 6’ya göre prizma kavramıyla ilgili soruya verilen cevaplar 4 ayrı kategoriye ayrılmıştır. Öğrencilerin bir çoğu prizmayı somut olarak örneklendirmişler sadece bir öğrenci formal tanımı yakın bir cevap vermiştir.

Prizma modelleri çizerken gözlenen öğrenciler şekilleri oluştururken alt ve üst tabanı öncelikle ve mümkün olduğunca eş çizmeye çalışmakta bu da taban eşitliğinin aslında kavram için bir ayırt edici özellik olarak algılandığını göstermektedir.

Kavram oluşturma süreçlerinden bahseden Vinner’a(1991) göre doğru yapılandırılmış bir kavram sezgi yoluyla tanıma ulaşma yada tanımın içselleştirilmesi ile oluşturulabilir. Bir kavram imajının oluşum süreci farklı olabilir. Gonca12 formal tanım olarak düşünülebilecek ifadesinin sezgisel yollarla elde edindiği düşünülebilir. Öğrenci tanımı verirken önce hayal etmekte daha sonra doğru ifadeleri seçmeye çalışmaktadır.

Mehmet12 geometrik cisimlerin modellerini çizmeye yönelmektedir. Bir geometrik kavramda kavramın geometrik modellerinin yeterli ve uygun çizimi kavramın tam olarak anlaşıldığını göstermez.

Geometrik modellerin kavram imajı üzerindeki etkisi inkâr edilemeyeceği gibi bir kavram için yeterli kabul edilmemektedir. Mehmet12 ve Didem12’den kavrama ait geometrik modeller çizmesi istenmiştir. İlk olarak öğrenciler dikdörtgenler prizması çizmektedir. Geometride bazı kavramlar için prototip modeller olabileceğinden ve kavram imajının bu modellerle şekillendiğinden bahseden Mariotti’e (1993) göre dikdörtgenler prizması prizma için bir prototip olabilir.

Araştırmanın bir kısmında öğrencilerde “prizma” ile “piramit” kelimesinin karıştırıldığı görülmüştür. Bu karışıklığın ses benzerliğinden veya eğitim sürecinden kaynaklandığı düşünülmektedir.

Görüşmede öğrencilerin prizma çeşitleri ile ilgili ne düşündüklerini anlamak için küp kavramı sorulmuştur. Küp imajı burada tanımın yerini almaktadır, hiçbir öğrenci küpü çizmekte veya örneklendirmekte zorlanmamıştır. Vinner’a (1991) göre uygulamaya yönelik bir modelde öğrenci, kavram imajına başvurur ve sonuca ulaşır. Özellikle günlük hayattaki problemlerde bu süreç işe yarar, kavram tanımına başvurmak gerekmez. Küp kavramı ile ilgili öğrencilerin tanımlamaları aşağıdaki gibidir.

 Küp, altı tane yüzeyi de eş karelerden oluşmuş şekil. (Meryem9)

 Küp sekiz tane ayrıttan oluşan, altı tane özdeş kareden oluşan katı cisim.(Emreh9)

 Küp kenar uzunlukları eşit olan dörtgenin meydana getirdiği şey, katı cisim.(Didem12)

 Her yüzeyi kare olan, altı yüzü var. 3 boyutlu cisim.(Mehmet12)  6 yüzeyi olan her şey, her yüzeyi kare prizma. (Gonca12)

Öğrencilerin birçoğu tanımakta zorlanmadıkları küpü bir prizma olarak algılamamaktadır. Bunun yanında öğrencilerden prizma çeşitleri istendiğinde hiçbiri küpü prizma çeşidi olarak ifade etmemiştir.

Vinner (1991) kavram imajlarının her zaman kavram tanımı ile oluştulamayacağını vurgulamıştır. Vinner’ın çalışmasındaki teğet kavramının algılanışı da buna bir örnektir.

Didem12 ile küpün bir prizma olup olmadığı konusundaki aşağıdaki konuşma öğrencilerin tereddütünü göstermektedir.

G: Prizma çeşitleri nelerdir?

 Dikdörtgen prizma var işte, küp de bir prizma sanırım. G:Küp bir prizma mı?

 Prizma mı, bilmiyorum, değil mi? G:Başka?

 Başka… Prizma çeşitleri başka ne var hatırlamıyorum. Meryem9 küpün bir prizma olabileceğini düşünmektedir. G: Küp şu çizdiğin modellerden birine benzer mi?

 Evet, şuna…(Kare prizmayı gösterir.) G: Küp bir prizmadır diyebilir miyiz?

 Evet, prizmadır. Özellikleri sağlar”

Özelliklerini söylemekte ve özellikle küple ilgili bazı geometrik problemleri çözmekte zorlanmayan öğrenciler ‘katı cisimler içinde kolay”ı olarak nitelendirdikleri küp kavramını ilkönce prizmalar içinde düşünememiştir. Görüşmenin ilerleyen safhalarında küpünde bir prizma olabileceği sezilmiştir.

Öğrenciler prizma çeşitlerinden bahsederken prototip model diyebileceğimiz dikdörtgenler prizmasından başlamış bunu genellikle üçgen prizma ve kare prizma şeklinde devam ettirmiştir. Pek az öğrenci örnekleri arttırma ihtiyacı hissetmiştir. Görüşme sırasında Emrah9 ‘dan farklı prizmalar çizmesi istenmiştir.

Şekil 38: Emrah9’un Prizma Modelleri

Prizma kavramı sorulduğunda genelde öğrenciler bunu karşılarına çıkabilecek soru tipleri ile anlatmak istemektedir. Bu da kavramın oluşumun sorularla iç içe olduğunun göstergesi olarak kabul edilebilir. Burada öğrencilerin kavram oluştururken kavramlarla ilgili daha çok ölçüsel niteliklere; hacim ve alan konusuna dikkat ettiklerinin göstergesidir.

Öğrencilerin prizmaların hacim ile ilgili bilgilerini nasıl yapılandırdıklarını öğrenmeden önce hacim kavramı ile ilgili sorular sorulmuş ve hacim kavram imajı sorgulanmıştır. Burada öğrencilerin çoğu hacmi fiziksel olarak cismin kapladığı yer olarak tanımlamışlardır.

 Hacmi bir cismin kapladığı yer fiziksel olarak, o şekilde tanımlayabilirim. (Uğur9)

 Hacim bir cismin uzayda kapladığı alan.(Meryem9)  Cisimlerin boşlukta kapladığı yer.(Emrah9)

 Hacim kapladığı alan, cismin kapladığı alan.(Didem12)

 Hacim bir cismin içindeki boşluk, hatta bir cismin uzayda kapladığı 3 boyutlu alan.(Mehmet12)

Bunun yanında hacmi tanımlamak için cisimlerin hacim formüllerini verme eğilimi görülmektedir. Hacim konusundaki yanılgılar geometrik cisimlerin hacim algısını da olumsuz etkileyecektir.

Öğrencilerin “Prizmaların hacmini nasıl hesaplıyorsunuz?” sorusuna verdikleri cevaplar Tablo 7’de kategorilere ayrılmıştır.

Tablo 7: Öğrencilerin prizmaların hacmi ile ilgili soruya verdikleri cevapların analizi Cevapların kategorisi Öğrencilerin ifadeleri

Örneklendirme  Hacim hesaplarken hepsinin ayrı ayrı formülü var. Mesela dikdörtgenler prizması; şuna a, şuna b, şuna c dersek (Daha önce yaptığı çizimi kullanıyor.) bunu üçünün çarpımıydı sanırım. (Uğur9)

Genelleştirme  Prizmaların hacmi üç kenarının, üç farklı kenarının ayrıtının çarpımıdır… Dikdörtgenler prizması için taban alanı çarpı yükseklik… (Meryem9)

 _{Taban alanı çarpı yükseklikten hacmi hesaplayabiliriz.} (Didem12)

 Tabanla yükseklik çarpılır.(Gonca12)

 Prizmaların hacmi taban alanı çarpı yükseklik bölü üç… (Mehmet12)

Diğerleri  Sorularda yaparım genelde.(Emrah9)

Tablo 7 incelendiğinde hacim hesapları için öğrenci cevaplarının 3 kategoriye ayrıldığı görülür. Öğrenciler hacmi genel olarak taban alanı ve yükseklikle ilişkili görmekte ve her prizma çeşidi için bunun genelleştirilebileceğini düşünmektedir.

Görüşme yönteminin seçilmesinin sebeplerinden biriside konuyu derinlemesine incelemek için araştırmacıya verdiği fırsattır. Araştırma sırasında bazı öğrencilere, hacim kavramını ve bunun katı cisimlerde ne kadar içselleştirildiğini, yapılandırıldığını

öğrenmek amaçlı ‘Katı cisimlerin içi dolumudur, boş ise hacimleri var mıdır? Siz ne düşünüyorsunuz?’ sorusu yöneltilmiş ve aşağıdaki cevaplar alınmıştır.

 Dolu, içi boşsa vardır, kapalı, hapsediyor havayı. Boş, şu derse cisimler var ya hoca getirmişti eskiden. (Gonca12)

 İçi boşsa da cismin hacmi vardır içinde hapsettiği boşluğun hacmi. (Mehmet12, Emrah9)

 Bu cisimlerin içi dolu.(Didem12)

 Bunlar (katı cisimler) içi boş (derse hocamızın getirdikleri boş) ama dolu olsa da hacmi değişmez. (Meryem9)

 Biz genel olarak hacim hesaplarken cismin çevresine bakıyoruz, içinin boş ya da dolu olması çok önemli değil. (Uğur9)

Hacim kavramı ile öğrencilerin kavram imajı araştırılırken merak edilen bir diğer noktada bir yüzey algısı ile hacim algısının ilişkisidir. Öğrencilerin kavram imajlarını anlamak için bir defter sayfasının hacminin olup olmadığı sorulmuştur. Mehmet12 defter sayfasının prizma gibi düşünebileceğini vurgulayarak hacminin var olduğunu ama çok küçük olduğunu düşündüğünü ifade etmiştir. Bura kavram tanımı kavram imajının şekillenmesinde etkili olmuştur. Öğrenci kavramı tanımlarken cisimsel özelliklere vurgu yapıp eş tabanlardan bahsettiği; hatta tabanın genelde dikdörtgen olduğunu düşündüğü için imaj ile kavram tanımı arasında olumlu bir aktarım gözlemlenmiştir.

Öğrencilerin “Prizmaların alanını nasıl hesaplıyorsunuz?” sorusuna verdikleri cevaplar Tablo 8’de kategorilere ayrılmıştır.

Tablo 8: Öğrencilerin prizmaların alanı ile ilgili soruya verdikleri cevapların analizi Cevapların

kategorisi

Öğrencilerin ifadeleri

Formülle  Dikdörtgenler prizmasında direkt prizma şekline girmeden dikdörtgen çizip axb olarak hesaplarım. Prizma çizmeye gerek yok yüzey alanını bulurken.(Uğur9)

 Prizmalarda her bir dikdörtgeni, tabanı ve yanları bulurum. Aslında her bir yüzeyden iki tane var birini bulup (Önündeki

şekilde gösterir.) ikiyle çarparım şunları. Altıgen prizmada altıgenlerin alanlarını bulurum, 2 ile çarparım sonra yanal alanı bulurum. Dikdörtgeni 6 ile çarparım. (Meryem9)

 Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı çizeyim mi? (Klasik bir dikdörtgenler prizması çizer kâğıda, boyutlarına isim verir.) Şu a,b,c formülü yüzey alanı, 2(ab+ac+bc) böyle bulurum.(Gonca12)

Yüzeyi düzlemsel düşünerek/şekli açarak

 Yüzey alanı hesaplamak için formül bilmeye gerek yok. Mesela dikdörtgenler prizmada bunların dikdörtgen alanlarını bulurum işte. (Emrah9)

 Prizmaların mesela bir dikdörtgen prizmada dikdörtgenin kendi alan formülü ile önce tabanları hesaplarız sonra o ayrıtların uzunlukları ile de yanal alanı bulur onları toplarız(Didem12)

Diğer  Yüzey alanı mı? Bir tane yüzey alanını bulurum, çarparım. Gerçi o şey, küpte işe yarar da diğerlerinde de verdikleri üç ayrıttan bulurum. Açamama gerek yok, üç tane yüzey alanı var farklı, yan yüzey alt yüzey diğer yan yüzey… Bunları bulsam, iki ile çarpsam bulurum yani. (Mehmet12)

Tablo 8’e göre öğrencilerin bir çoğu alan hesabı için bir formül öğrenmekte ve alan hesabını bu formül yardımıyla yapmaktadır

Öğrencilerin çoğu ilk olarak hesaplamalar istendiğinde konu ile ilgili formülleri hatırlamaya çalıştıklarını ifade etmişlerdir. Bunun yanında özellikle prizmaların yüzeylerinin dikdörtgen olması yüzey hesabı açısında bazı kolaylıklar sağlamaktadır. Eğer öğrencinin kavram imajı cisim özelliklerini içermiyorsa hacim ve alan hesabında zorlandığı görülmektedir.

Yüzeyi dikdörtgen olarak düşünen bir öğrenciden altıgen prizmanın açık şeklini çizmesi istenmiştir. Öğrenci yan yüzeyleri çizmekte zorlanmamış ama şeklin

tabanını nereye çizmesi gerektiği konusunda tereddüde düşmüştür. Öğrenci bu tutumunun sebebi kavram tanımı yerine kavram imajını ön plana çıkardığı ve öncelikle cismi yan yüzeyleri ile tanıdığı için olabilir.

Şekil 39: Didem12’nin Çizdiği Altıgen Prizmanın Açık Şekli

Öğrencilerin kavramlar arasında ilişkiyi nasıl algıladıkları ve genelleme yapıp yapmadıklarını görmeye yönelik olan “Ayrıt kavramından ne anlıyorsunuz? Bir prizmanın ayrıtlarının sayısı ile yüzey sayısı arasında bir ilişki olup olmadığı hakkında ne düşünüyorsunuz?” sorusuna verdikleri cevaplar Tablo 9’da kategorilere ayrılmıştır. Tablo 9: Öğrencilerin Prizmalarda Ayrıt Kavramı İle İlgili Soruya Verdikleri Cevapların Analizi Cevapların kategorisi Öğrencilerin ifadeleri Çizilen şekil üzerinde gösterme

 Ayrıt şu kenarları değil mi? Ayrıt sayısını bulurken çizmem gerekir. Dikdörtgenleri birleştirerek prizmayı oluşturduğun için kenarlar azalır, ayrıt ile yüzey arasında bir ilişki vardır.(Uğur9)

 Ayrıt mesela şu üçgenin bir kenarı bir ayrıt (Önündeki üçgen piramidi gösteriyor.) şu şekilde mesela kare piramit ise tam olarak cümle kuramıyorum da gösterebilirim yani küplerin şurası bir ayrıt.(Emrah9)

 Ayrıt şunların(Kağıttaki çizimleri gösteriyor.) her bir kenarı. Kenar aslında herhangi bir ilişki formülleştirememe gerek yok sayarım zaten. (Gonca12)  Ayrıt şunlar mı? (Çizdiği şekillerin kenarlarını gösterir.)

Yani mesela bir prizmanın bir köşesinden diğer köşesine çizilen yüksekliği olabilir.(Eliyle de anlatmaya çalışır.) Prizmalarda ayrıt sayısı ile yüzey sayısı arasında…. Mesela üç tane yanal olarak yan ayrıtı vardır, üç tane de yan yüzeyi ama genel olarak bir ilişki yok. (Didem12) Formal tanım  Ayrıt: kenar, yani iki yüzeyin kesiştiği yer. (Meryem9) Diğer  Bir ilişki var da formülü şimdi akılıma gelmiyor. Küpün

altı yanal alanı, 12 kenarı var. Prizmalarda iki katıdır galiba.(Mehmet12)

Tablo 9’ göre öğrenciler genel olarak ayrıtı şekil/model üzerinde gösterme eğilimindedir. Bir kavrama ait imaj tanımla şekilleneceği gibi şekillerde imajı oluşturabilir.

Cisimlerde ayrıt kavramı incelenirken öğrencilere dolaylı sorular sorulmuştur. Bir kavramın nasıl anlaşıldığını anlamanın yollarından biriside cismin tanımı istemek yerine örneklendirmesini istemektir. Bunun için cisimlerin ayrıt sayıları yüzey sayıları ile ilgili sorular sorulmuştur. Buna yönelik ayrı bir çalışma yapan Mariotti’nin sonuçları ile öğrenci cevapları tutarlıdır. Öğrenciler prizmaların ayrıt sayılarının bulmak için farklı sayma stratejileri geliştirmiştir.

Ayrıt kavramını formal tanımını veren Meryem9’a silindir ve koninin ayrıtının olup olmadığı sorulduğunda tereddüt ettiği görülmüştür. Burada formal tanımı öğrendiği için yeni bir durum karşısında öğrenci yorumlamakta zorlanmıştır.

G: Ayrıt kavramından ne anlıyorsunuz? - Ayrıt, kenar.

G: Yani?

- Yani iki yüzeyin çarpıştığı, G: Kesiştiği mi demek istiyorsun?

- Evet.

G: Peki silindir ya da konide ayrıt var mı?

- (Daha önce çizdiği şekiller e bakar.) Yok,var, yok, bilmiyorum.

Bir öğrencinin silindir ve koninin ayrıtı ile ilgi şüpheye düşmesinin temel sebebi bu cisimde ana doğruyu görememesi, düzlemde modellenen bu cisimlerin ana doğrularını ayrıt olarak algılaması olabilir. Geometriksel modelleri düzlemde çizen ve kavramı tek bir şekille özdeşleştiren öğrenciler bütün tanımlamaları o şekil üzerinden yapmaya çalışmaktadır. Öğrenciye silindir ve koninin ayrıtı sorulduğunda çizdiği modelde ana doğrular üzerinde yoğunlaşmaktadır. Bir kavram ile ilgili tanımın bilinmesi kavramı tanımak için teknik problemleri çözmek için her zaman yeterli olmayabilir.

Öğrenci ayrıt sayıları ile ilgili sorulara verdikleri cevaplarda piramitlerde ayrıt