İLERİ
GERİ
GERİ
Sayfa:2
GERİ
Tanım: Bir x0 A = [a,b] alalım. f : A R ye veya f : A -{x0} R ye bir Fonksiyon olsun Terimleri A - {x0} Cümlesine ait ve x0’a yakınsayan her ( xn) dizisi için (f(xn)) fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f fonksiyonunun x0 noktasındaki limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxx0 f (x) L
Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x0 noktasında fonksiyon tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir.
1
2
x y
Yandaki şekilde x=2 için fonksiyon tanımsız olmasına rağmen aynı noktada
fonksiyonun limiti var ve 1’dir.
İLERİ
Örnek:
?
3
15
2
lim
2 3
x
x
x
xÇözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay ve paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x 3, x-3 0
olduğundan pay ve paydayı x-3 ile bölelim.
8
5
3
)
5
(
lim
3
)
5
)(
3
(
lim
3
15
2
lim
3 3 2 3
x
x
x
x
x
x
x
x x x bulunur. Sonuç:Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda değildir.
GERİ
1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle (yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxc f (x)
x y
.
L ) (x f x c.
2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu
limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxc f (x)
x y L ) (x f c x
Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
GERİ
Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır.
1. Parçalı sürekli fonksiyonlar 2. Mutlak değer fonksiyonlar 3. İşaret fonksiyonlar
4. Tam değer fonksiyomlar
bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlardan sağdan ve soldan limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit alınır.
GERİ
ÖRNEK1:
R
R
f
:
xx xx iseisex
f
3 42,, 33 2)
(
3- 3 3+Yukardaki fonksiyonun tanımından da görüldüğü gibi 3’ün
sağında ve solunda fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik noktada limiti bulalım:
in
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x x x x x x x)'
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
5
4
3
.
3
)
4
3
(
lim
)
(
lim
11
2
3
)
2
(
lim
)
(
lim
3 3 3 3 3 2 2 3 3
olduğundan
limiti mevcut değildir.
İLERİ
ÖRNEK2:
3
,
0
3
,
1
2
)
(
x
x
x
x
f
R
R
f
:
Fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında limitleri nedir?
ÇÖZÜM:
NOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna ve limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz.
7
1
4
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
5
1
3
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
4 4 4 3 3 3
x
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x x x x x x GERİ GERİÖRNEK1:
x
x
x
x
f
R
R
f
1
1
)
(
1
:
Fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitini bulunuz.ÇÖZÜM:
X - 1 + 1 x + 1-x -(1 - x)2
1
1
)
1
(
lim
)
(
lim
0
1
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1 1 1 1
x
x
f
x
x
f
x x x x İLERİ İLERİÖRNEK2:
ÇÖZÜM:
4
)
(
,
:
R
R
f
x
x
2
f
Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve soldan limiti
bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in limiti var mıdır?
X - -2 2 + x2 - 4 + - +
-x2+4 x2-4
Yani x = 2 noktasında f(x)’in limiti vardır ve sıfırdır.
.
0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
4
2
)
4
(
lim
)
(
lim
0
4
2
)
4
(
lim
)
(
lim
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x x x x x x x GERİ GERİÖRNEK1:
)
3
(
)
(
,
:
R
R
f
x
Sgn
x
f
Fonksiyonunun x = 3 noktasında limitini araştıralım. X - 3 + x - 3 - + -1 11
)
1
(
lim
)
3
sgn(
lim
)
(
lim
1
)
1
(
lim
)
3
sgn(
lim
)
(
lim
3 3 3 3 3 3
x x x x x xx
x
f
x
x
f
NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki fonksiyonlar işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama yaptığı için sağdan ve soldan limitleri farklıdır. Dolayısıyle bu noktada limitleri yoktur.
ÇÖZÜM:
İLERİ
ÖRNEK2:
3
3
sgn
)
(
3
:
x
x
x
f
R
R
f
Fonksiyonunun x = -3 noktasında sağdan limitini bulunuz?X - -3 + x + 3 - + ÇÖZÜM:
1
1
lim
3
3
sgn
lim
)
(
lim
3 3
3
x x xx
x
x
f
ÖRNEK3:
ÇÖZÜM:)
(sgn
lim
0x
x
x
x
Limitini hesaplayınız lim (sgn ) 0
0 1 1 ) 1 ( 1 ) (sgn lim 0 0 x x x x x x x x ‘dır. GERİ GERİ
Tam değer fonksiynu x R için x’den küçük olan en büyük tam sayıya tamdeğer x denir ve sembolüyle gösterilir.
Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken oldığundan sağdan yaklaşırken aynı değer alınır.
Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır.
NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır.
Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur.
x
x x
x 1ÖRNEK1:
2
2
lim
1
3
lim
..
1
,
1
3
lim
..
99
,
1
3
3
lim
?
3
3
lim
2 2 2 2 2
x x x x xx
İLERİ İLERİÖRNEK2:
2
lim
(
)
?
)
2
sgn(
4
)
(
x
x
2
x
x
x
2f
x
f
xÇÖZÜM:
Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım. X -2 2 x2 - 4 + - + 2x + +
-1
2
5
2
)
5
(
lim
)
0
1
4
(
lim
)
(
lim
2 2 2 2 2
x
x
x
x
x
f
x x dir. GERİ GERİLİMİT TEOREMLERİ:
f
:
A
R
,
g
:
A
R
Tanımlı iki fonksiyon ve q x g P x f x a a x ( ) ,lim ( ) lim olsun.1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir. dir. b)Sabit terim limitin dışına alınabilir.
i) ii) iii)
2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir.
c c a x lim n n a x n a x tx t x ta R t lim ( ) lim n n a x n n a x x a ,lim (x ) a lim n n a x n a x f (x) (lim f (x)) p lim q p x g x f x g x f g f x x a x a x a a
x ( ) lim ( ) ( ) lim ( )lim ( ) lim ( )
İLERİ
ÖRNEKLER:
1
5
3
.
2
5
lim
lim
2
)
5
2
(
lim
x3x
x3x
x3
14
2
.
7
lim
7
7
lim
x2x
x2x
1
1
3
.
3
3
1
lim
lim
3
lim
)
1
3
(
lim
x3x
2
x
x3x
2
x3x
x3
2
3
1
3
1
2
1
2
)
1
(
lim
)
1
(
lim
1
1
lim
2 2 2
x
x
x
x
x x x4
16
2
20
)
20
(
lim
20
lim
x2
x
2
x2
x
2
2
GERİ GERİa
x
a
x
x aa
x
sin
sin
;
lim
cos
cos
lim
)
0
(sin
;
cot
cot
lim
)
0
(cos
;
tan
tan
lim
a
ana
anx
a
a
x
a x a x1
sin
lim
sin
lim
0
0
x
x
x
x
x xq
p
qx
px
q
p
qx
Px
x x
sin
sin
lim
;
sin
lim
0 0 1. 2. Sonuç:1
tan
lim
tan
lim
0
0
x
x
x
x
x x 3. Sonuç:q
p
qx
px
q
p
qx
p
x x
sin
tan
lim
;
tan
lim
0 0 İLERİ İLERİÖRNEKLER:
3
1
.
3
3
3
sin
lim
3
3
sin
lim
0
0
x
x
x
x
x x1
sin
lim
sin
lim
sin
lim
2 0 2 0 2 2 0
x
x
x
x
x
x
x x x6
3
.
2
2
cos
3
lim
2
sin
lim
2
cos
3
.
2
sin
lim
2
cos
.
2
sin
3
lim
0 0 0 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x2
1
1
cos
lim
sin
lim
cos
.
sin
lim
cos
.
sin
lim
0 0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x GERİ GERİ)
2
(
)
2
)(
2
(
lim
0
0
2
4
lim
2 2 2
x
x
x
x
x
x x
lim
x2(
x
2
)
2
2
4
4
2
.
2
).
1
1
(
2
)
1
(
lim
)
1
(
)
1
)(
1
(
2
lim
0
0
1
)
1
(
2
lim
1 1 1
x
x
x
x
x
x
x x x2
2
3
2
9
6
27
3
3
9
3
.
3
3
)
3
)(
3
(
)
9
3
)(
3
(
lim
3
3
lim
0
0
9
27
lim
2 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x 1) 2) 3) GERİ GERİBu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz
şeklindeki bir limitte
i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a1/b1 dir. Başka bir deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır. ÖRNEK:
ii) p<q ise yani paydanın derecesi payın derecesinden büyük ise limit sıfır dır.
ÖRNEK:
iii) p>q ise yani payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit dur. ÖRNEK:
....
....
lim
1 2 1 1 2 1
q q p p xx
b
x
b
x
a
x
a
2 3 5 2 3 2 lim 2 2 x x x x 0 1 3 lim , 0 2 1 3 lim 3 2 x x x x x x x x
veya
3 1 2 3 ) ( ) ( 3 3 lim x x x x İLERİ İLERİÖRNEK:
4
3
2
5
6
3
2
lim
4
3
2
5
6
3
2
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x4
3
2
5
6
3
2
lim
23
6
2
0
3
0
0
6
0
2
GERİBu tür belirsizliklerin giderilmesi için eşitliğinden yararlanacağız. a b b a b a b a b a b a ( )( ) 2 2
ÖRNEK:
2
2
2
3
lim
xx
2
x
x
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
lim
2 2 2 2 2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2 2 2 23
2
2
2
)
3
2
(
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x İLERİ İLERİ2
3
2
2
2
3
2
lim
x
x
x
x
x
x
Devamı:
23
2
2
2
3
2
lim
x
x
x
x
x
x2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
0
2
0
2
GERİ GERİ)
x
(
p
xlim
İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi belirlenir.
i) p(x)’in derecesi çift ise ii) p(x)’in derecesi tek ise
( ) limx p x
(
)
lim
xp
x
lim
xp
(
x
)
n n x n n n x(
a
x
x
....
a
a
)
lim
a
x
lim
1 1 0dir yani sadece en büyük üslü terinim limitini almak yeterlidir. ÖRNEK:
(
3
52
3 24
)
lim
3
5lim
xx
x
x
xx
.
3
4
1
2
3
lim
5 2 3 5x
x
x
x
x GERİ GERİf ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre: 1) olmak üzere .f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir.
2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir.
3) olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir.
4) fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir.
R
0
)
(
a
g
n nf
f
f
fog
,
,
,
Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada süreklidir.
i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olması
ii) limiti olmalı iii) olmalıdır.limxa f (x) f (a) L
L x f a x lim ( ) İLERİ İLERİ
0
,
1
0
,
0
,
1
)
(
:
3x
x
x
a
x
x
x
f
R
R
f
ÖRNEK: fonksiyonu Şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonu x = 0noktasında sürekli olması için a ne olmalıdır. ÇÖZÜM:
1
)
(
lim
)
0
(
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1
)
1
(
lim
)
(
lim
0
),
(
0 0 0 3 0 0
x
f
a
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x x x x x noktasında tanımlıdır. i) ii) eşitliğinde a = 1 dir. GERİ GERİSORULAR:
SORULAR:
?
3
5
lim
1
x
x?
2
10
7
lim
2 2
x
x
x
x?
5
2
3
2
lim
2
x
x
x?
1
1
lim
1
x
x
x 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. a)2 b)5 c)6 d)8 e)10 a)2 b)5 c)6 d)8 e)10 a)-5 b)-3 c)-2 d)3 e)7 a)-5 b)-3 c)-2 d)3 e)7 a)-3 b)-1 c)0 d)1/2 e)3 a)-3 b)-1 c)0 d)1/2 e)3 a)2 b)1 c)1/2 d)-1 e)-2 a)2 b)1 c)1/2 d)-1 e)-2 İLERİ İLERİ5. 5. 6. 6. 7. 7. ? ) ( lim ) ( lim 1 , 3 1 1 , 0 1 , 3 ) ( , : 1 1 f x f x x x x x x f R R f x x
lim
(
)
lim
(
)
?
3
1
,
1
2
1
,
0
1
2
,
3
)
(
,
3
,
2
:
1
1
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
R
f
x x?
)
(
lim
0
,
1
0
,
0
0
,
1
2
)
(
,
:
0 2
f
x
x
x
x
x
x
x
f
R
R
f
x a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1 a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1 a)3 b)2 c)-1 d)0 e)-2 a)3 b)2 c)-1 d)0 e)-2 a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1 İLE
Rİ
İLER
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
)
(
2x
x
x
x
x
x
x
f
8.8. İse ifadesinin değeri nedir?İse ifadesinin değeri nedir?
lim
x1a)3 b)2 c)1 d)0 e) a)3 b)2 c)1 d)0 e)
?
3
2
2
lim
0
x
x
x
x
x)
(
)
(
lim
...
)
(
2
0
h
x
f
h
x
f
x
x
x
f
h 9. 9. 10. 10.İfadesinin eşiti nedir?
İfadesinin eşiti nedir?
a)2 b)x-1 c)2x-n d)-2x+1 e)2x-1
a)2 b)x-1 c)2x-n d)-2x+1 e)2x-1
a)0 b)3 c)3/5 d)-2 e)-3
a)0 b)3 c)3/5 d)-2 e)-3 İLE
Rİ
2
)
3
?
sgn(
2
4
lim
2 2 2
x
x
x
x
x
x
x
2
?
lim
x3x
x
3
11. 11. 12. 12. a)0 b)3 c)9 d)18 e)27 a)0 b)3 c)9 d)18 e)27 a)23/3 b)45/3 c)27/16 d)1/3 e)16 a)23/3 b)45/3 c)27/16 d)1/3 e)16 13. 13.
2
2
?
lim
2 2 3 0
x
x
x
x
x a)-4 b)-2 c)-1 d)0 e)2 a)-4 b)-2 c)-1 d)0 e)2 İLERİ İLERİ?
)
2
sin(
2
sin
lim
2
x
x
x 14. 14. a)2 b)1 c)0 d)-1/2 e)-2 a)2 b)1 c)0 d)-1/2 e)-2 15. 15.
sin(
2
)
?
1
sin
lim
1
x
x
xa)0 b)-1 c)sin1 d)-sin1 e)
a)0 b)-1 c)sin1 d)-sin1 e)
16. 16.
?
1
1
lim
1
x
xa)-1/2 b)0 c) d) e)limit yok
a)-1/2 b)0 c) d) e)limit yok
İLERİ
17. 17.
?
7
2
4
3
lim
x
x
x a) b)3/2 c)3/7 d)-2 e)-3a) b)3/2 c)3/7 d)-2 e)-3
18. 18.?
4
3
2
lim
3 2
x
x
x
x
x a)2 b)1 c)0 d)-1 e) a)2 b)1 c)0 d)-1 e)
GERİ GERİ8
3
5
)
1
(
3
5
3
5
lim
1
x
x
Cevap:D Cevap:D Geri Geri0
0
2
2
10
2
.
7
2
.
2
2
10
7
lim
2 2
x
x
x
xBelirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım.
Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım.
3
5
2
)
5
(
lim
)
2
(
)
5
)(
2
(
lim
2
2
x
x
x
x
x x Cevap:B Cevap:B Geri Geri0
0
5
2
.
2
3
2
2
5
2
3
2
lim
2
x
x
xŞeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından ifadenin pay ve paydasını ile çarparak bu belirsizlikten kurtaralım.
Şeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından ifadenin pay ve paydasını ile çarparak bu belirsizlikten kurtaralım.
3
2
x
5
) 2 ( 2 ) 5 2 3 )( 2 ( lim ) 5 2 ( 9 ) 5 2 3 )( 2 ( lim 5 2 3 )( 5 2 3 ( ) 5 2 3 )( 2 ( lim 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x3
2
5
2
.
2
3
2
5
2
3
lim
2
xx
Cevap:A0
0
1
1
lim
1
x
x
x)
1
(
)
1
)(
1
(
lim
1
1
lim
1 1
x
x
x
x
x
x x2
)
1
1
(
)
1
(
lim
1
xx
Belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım.
Belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım.
Cevap: E
Cevap: E
Geri
sağ
sol
1
f(x)=x/3 f(x)=x/3 f(x)=1/3 f(x)=1/33
1
3
1
lim
)
(
lim
x1f
x
x1
3
1
3
lim
)
(
lim
1
1
x
x
f
x x3
2
3
1
3
1
lim
)
(
lim
x1f
x
x1
Cevap:D Cevap:D Geri Geri
1
-2 3 -2 3 3-x 2x-1 3-x 2x-1 331
2
1
)
(
lim
)
(
lim
2
1
3
)
3
(
lim
)
(
lim
1
1
1
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
1 1 1 1 1 1
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x x x x x x Cevap:C Cevap:C Geri Geri 0 - + - + 0 0 1 2 ) (x x f x2 1
1
1
0
.
2
)
1
2
(
lim
)
(
lim
1
1
0
)
1
(
lim
)
(
lim
0 0 2 2 0 0
x
x
f
x
x
f
x x x xX = 0 noktasında sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan
X = 0 noktasında sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan
1
)
(
lim
x
0
f
x
Cevap:A Cevap:A Geri Geri
1
--
+
+
1 1 ) ( 2 x x x f 1 1 1 x2
1
1
)
1
(
)
1
)(
1
(
lim
)
(
lim
2
1
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1 1 1 1
x
x
x
x
f
x
x
f
x x x x2
)
(
lim
x1f
x
X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan
X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan
Cevap:B
Cevap:B
Geri
)
(
)
(
)
(
,
)
(
2 2h
x
h
x
h
x
f
x
x
x
f
h x x h x h x h x f h x f h h ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 2 2 0 0 lim 2 lim 2 lim 0( 2 1)
2 0 2 2 2 0 h h x h xh h h x x h x h xh x h h h
.
'
1
2
1
2
0
x
x
dir
Cevap:D Cevap:D Geri Geri3
)
3
(
lim
3
lim
3
2
2
lim
3
2
2
lim
0 0 0 0
x x x xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Cevap:E Cevap:E Geri Geri
3
3
(
.
'
27
3
)
3
3
.
2
(
)
3
2
(
lim
)
2
(
lim
3
3
3
3
3
3
x
iken
x
dir
x
x
x
x
x
Olduğuna dikkat ediniz.
Olduğuna dikkat ediniz.
Cevap:E
Cevap:E
Geri
2’nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat ediniz. Cevap:A
2’nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat ediniz. Cevap:A
2 2 23
)
2
sgn(
2
4
lim
x
x
x
x
x
x
x
2 2 21
3
1
2
4
lim
x
x
x
x
x
23
21
1
)
2
(
)
2
)(
2
(
lim
x
x
x
x
x
x
2 21
3
1
2
lim
x
x
x
x3
23
4
.
3
1
2
1
)
2
2
(
Geri Geri
0
2
.
0
2
1
.
2
2
.
)
1
(
2
2
lim
.
lim
2
2
3
2
2
0
3
0
x
x
x
x
h
h
Cevap:B Cevap:BSıfırın sol tarafında dir. Buna göre
Sıfırın sol tarafında dir. Buna görex x
Geri
)
2
sin(
)
2
(
.
2
2
sin
lim
0
0
)
2
sin(
2
lim
2 2x
x
x
x
x
x
Sin
x xdir
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x'
1
1
.
1
)
2
sin(
2
lim
.
2
2
sin
lim
2
sin(
2
lim
.
2
2
sin
lim
2 2 2 2
)
1
sin
lim
sin
(lim
0
0
x
x
x
x
x x Cevap:B Cevap:B Geri Geri
Sin
x
Bunagöre
x
Sin
iken
x
dir
Sin
Sin
x
iken
x
x
x
x1
)
1
(
0
)
1
(
1
1
.
'
1
)
1
(
1
1
1
)
1
sin(
1
sin
lim
1
1
1
1
)
1
(
1
lim
1Sin
Sin
x
Sin
x
Sin
x
Cevap:C Cevap:C Geri Geri1 1 -1 -1 y y x x 1 1 ) ( x x f ( ) ,lim ( ) limx 1 f x x 1 f x fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur.
fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre
olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur.
Cevap:E
Cevap:E
Geri
n
Yol
II
x
x
x
x
x
x
x x:
.
2
2
4
7
2
4
3
7
2
4
3
lim
7
2
4
3
lim
İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir
İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir
Cevap:D