• Sonuç bulunamadı

FONKSİYONLARIN LİMİTİ 05  

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "FONKSİYONLARIN LİMİTİ 05  "

Copied!
51
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

İLE

(2)

GERİ

GERİ

Sayfa:2

(3)

GERİ

(4)

Tanım: Bir x0 A = [a,b] alalım. f : A  R ye veya f : A -{x0}  R ye bir Fonksiyon olsun Terimleri A - {x0} Cümlesine ait ve x0’a yakınsayan her ( xn) dizisi için (f(xn)) fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L  R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f fonksiyonunun x0 noktasındaki limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxx0 f (x)  L

Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x0 noktasında fonksiyon tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir.

1

2

x y

Yandaki şekilde x=2 için fonksiyon tanımsız olmasına rağmen aynı noktada

fonksiyonun limiti var ve 1’dir.

İLE

(5)

Örnek:

?

3

15

2

lim

2 3

x

x

x

x

Çözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay ve paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x 3, x-3 0

olduğundan pay ve paydayı x-3 ile bölelim.

8

5

3

)

5

(

lim

3

)

5

)(

3

(

lim

3

15

2

lim

3 3 2 3

  

x

x

x

x

x

x

x

x x x bulunur. Sonuç:

Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda değildir.

GERİ

(6)

1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle (yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxc f (x)

x y

.

L ) (xf x c

.

2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu

limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti denir ve şeklinde gösterilir.limxcf (x)

x y L ) (xf c x

Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.

GERİ

(7)

Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır.

1. Parçalı sürekli fonksiyonlar 2. Mutlak değer fonksiyonlar 3. İşaret fonksiyonlar

4. Tam değer fonksiyomlar

bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlardan sağdan ve soldan limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit alınır.

GERİ

(8)

ÖRNEK1:

R

R

f

:

xx xx iseise

x

f

3 42,, 33 2

)

(

3- 3 3+

Yukardaki fonksiyonun tanımından da görüldüğü gibi 3’ün

sağında ve solunda fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik noktada limiti bulalım:

in

x

f

x

f

x

f

x

x

f

x

x

f

x x x x x x x

)'

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

5

4

3

.

3

)

4

3

(

lim

)

(

lim

11

2

3

)

2

(

lim

)

(

lim

3 3 3 3 3 2 2 3 3             

olduğundan

limiti mevcut değildir.

İLE

(9)

ÖRNEK2:

3

,

0

3

,

1

2

)

(

x

x

x

x

f

R

R

f

:

Fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında limitleri nedir?

ÇÖZÜM:

NOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna ve limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz.

7

1

4

.

2

)

1

2

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

5

1

3

.

2

)

1

2

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

4 4 4 3 3 3

         

x

x

f

x

f

x

x

f

x

f

x x x x x x GERİ GERİ

(10)

ÖRNEK1:

 

x

x

x

x

f

R

R

f

1

1

)

(

1

:

Fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitini bulunuz.

ÇÖZÜM:

X - 1 + 1 x + 1-x -(1 - x)

2

1

1

)

1

(

lim

)

(

lim

0

1

1

)

1

(

lim

)

(

lim

1 1 1 1

       

x

x

f

x

x

f

x x x x İLE İLE

(11)

ÖRNEK2:

ÇÖZÜM:

4

)

(

,

:

R

R

f

x

x

2

f

Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve soldan limiti

bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in limiti var mıdır?

X - -2 2 + x2 - 4 + - +

-x2+4 x2-4

Yani x = 2 noktasında f(x)’in limiti vardır ve sıfırdır.

.

0

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

4

2

)

4

(

lim

)

(

lim

0

4

2

)

4

(

lim

)

(

lim

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

            

x

f

x

f

x

f

x

x

f

x

x

f

x x x x x x x GERİ GERİ

(12)

ÖRNEK1:

)

3

(

)

(

,

:

R

R

f

x

Sgn

x

f

Fonksiyonunun x = 3 noktasında limitini araştıralım. X - 3 + x - 3 - + -1 1

1

)

1

(

lim

)

3

sgn(

lim

)

(

lim

1

)

1

(

lim

)

3

sgn(

lim

)

(

lim

3 3 3 3 3 3

            x x x x x x

x

x

f

x

x

f

NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki fonksiyonlar işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama yaptığı için sağdan ve soldan limitleri farklıdır. Dolayısıyle bu noktada limitleri yoktur.

ÇÖZÜM:

İLE

(13)

ÖRNEK2:

 





3

3

sgn

)

(

3

:

x

x

x

f

R

R

f

Fonksiyonunun x = -3 noktasında sağdan limitini bulunuz?

X - -3 + x + 3 - + ÇÖZÜM:

1

1

lim

3

3

sgn

lim

)

(

lim

3 3



3



     x x x

x

x

x

f

ÖRNEK3:

ÇÖZÜM:

)

(sgn

lim

0

x

x

x

x

Limitini hesaplayınız lim (sgn ) 0

0 1 1 ) 1 ( 1 ) (sgn lim 0 0                x x x x x x x x ‘dır. GERİ GERİ

(14)

Tam değer fonksiynu  x  R için x’den küçük olan en büyük tam sayıya tamdeğer x denir ve sembolüyle gösterilir.

Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken oldığundan sağdan yaklaşırken aynı değer alınır.

Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır.

NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır.

Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur.

 

x

 

 

xx

 

x 1

ÖRNEK1:

 

2

2

lim

1

3

lim

..

1

,

1

3

lim

..

99

,

1

3

3

lim

?

3

3

lim

2 2 2 2 2

          x x x x x

x

İLE İLE

(15)

ÖRNEK2:

2

lim

(

)

?

)

2

sgn(

4

)

(

x

x

2

x

x

x

2

f

x

f

x

ÇÖZÜM:

Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım. X -2 2 x2 - 4 + - + 2x + +

-1

2

5

2

)

5

(

lim

)

0

1

4

(

lim

)

(

lim

2 2 2 2 2

   

x

x

x

x

x

f

x x dir. GERİ GERİ

(16)

LİMİT TEOREMLERİ:

f

:

A

R

,

g

:

A

R

Tanımlı iki fonksiyon ve q x g P x f x a a x ( )  ,lim  ( )  lim olsun.

1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir. dir. b)Sabit terim limitin dışına alınabilir.

i) ii) iii)

2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir.

c c a x  lim n n a x n a x tx t x ta R t  lim ( )  lim n n a x n n a xxa ,lim  (x )  a lim n n a x n a xf (x)  (lim  f (x))  p lim q p x g x f x g x f g f x x a x a x a a

x (  )  lim  ( )  ( )  lim  ( )lim  ( )   lim ( )

İLE

(17)

ÖRNEKLER:

1

5

3

.

2

5

lim

lim

2

)

5

2

(

lim

x3

x

x3

x

x3

14

2

.

7

lim

7

7

lim

x2

x

x2

x

1

1

3

.

3

3

1

lim

lim

3

lim

)

1

3

(

lim

x3

x

2

x

x3

x

2

x3

x

x3

2

3

1

3

1

2

1

2

)

1

(

lim

)

1

(

lim

1

1

lim

2 2 2

  

x

x

x

x

x x x

4

16

2

20

)

20

(

lim

20

lim

x2

x

2

x2

x

2

2

GERİ GERİ

(18)

a

x

a

x

x a

a

x

sin

sin

;

lim

cos

cos

lim

)

0

(sin

;

cot

cot

lim

)

0

(cos

;

tan

tan

lim

 

a

ana

anx

a

a

x

a x a x

1

sin

lim

sin

lim

0

0

x

x

x

x

x x

q

p

qx

px

q

p

qx

Px

x x

sin

sin

lim

;

sin

lim

0 0 1. 2. Sonuç:

1

tan

lim

tan

lim

0

0

x

x

x

x

x x 3. Sonuç:

q

p

qx

px

q

p

qx

p

x x

sin

tan

lim

;

tan

lim

0 0 İLE İLE

(19)

ÖRNEKLER:

3

1

.

3

3

3

sin

lim

3

3

sin

lim

0

0

x

x

x

x

x x

1

sin

lim

sin

lim

sin

lim

2 0 2 0 2 2 0

x

x

x

x

x

x

x x x

6

3

.

2

2

cos

3

lim

2

sin

lim

2

cos

3

.

2

sin

lim

2

cos

.

2

sin

3

lim

0 0 0 0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x

2

1

1

cos

lim

sin

lim

cos

.

sin

lim

cos

.

sin

lim

0 0

0

0

   

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x GERİ GERİ

(20)

)

2

(

)

2

)(

2

(

lim

0

0

2

4

lim

2 2 2

 

x

x

x

x

x

x x

lim

x2

(

x

2

)

2

2

4

4

2

.

2

).

1

1

(

2

)

1

(

lim

)

1

(

)

1

)(

1

(

2

lim

0

0

1

)

1

(

2

lim

1 1 1

  

x

x

x

x

x

x

x x x

2

2

3

2

9

6

27

3

3

9

3

.

3

3

)

3

)(

3

(

)

9

3

)(

3

(

lim

3

3

lim

0

0

9

27

lim

2 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3

  

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x 1) 2) 3) GERİ GERİ

(21)

Bu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz

şeklindeki bir limitte

i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a1/b1 dir. Başka bir deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır. ÖRNEK:

ii) p<q ise yani paydanın derecesi payın derecesinden büyük ise limit sıfır dır.

ÖRNEK:

iii) p>q ise yani payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit dur. ÖRNEK:

....

....

lim

1 2 1 1 2 1

    q q p p x

x

b

x

b

x

a

x

a

2 3 5 2 3 2 lim 2 2       x x x x 0 1 3 lim , 0 2 1 3 lim 3 2           x x x x x x x x

 veya

           3 1 2 3 ) ( ) ( 3 3 lim x x x x İLE İLE

(22)

ÖRNEK:

4

3

2

5

6

3

2

lim

4

3

2

5

6

3

2

lim

2 2

   

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x





 

x

x

x

x

x

x

x

4

3

2

5

6

3

2

lim

2

3

6

2

0

3

0

0

6

0

2

GERİ

(23)

Bu tür belirsizliklerin giderilmesi için eşitliğinden yararlanacağız. a b b a b a b a b a b a         ( )( ) 2 2

ÖRNEK:

2

2

2

3

lim

x

x

2

x

x

2



3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

2

2

lim

2 2 2 2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

2 2 2 2 2

3

2

2

2

)

3

2

(

2

2

lim

x

x

x

x

x

x

x

x İLE İLE

(24)

2

3

2

2

2

3

2

lim

x

x

x

x

x

x

Devamı:





 

2

3

2

2

2

3

2

lim

x

x

x

x

x

x

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

0

2

0

2

GERİ GERİ

(25)

)

x

(

p

  x

lim

İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi belirlenir.

i) p(x)’in derecesi çift ise ii) p(x)’in derecesi tek ise

    ( ) limx p x



 

(

)

lim

x

p

x

lim

x

p

(

x

)



n n x n n n x

(

a

x

x

....

a

a

)

lim



a

x

lim

1 1 0

dir yani sadece en büyük üslü terinim limitini almak yeterlidir. ÖRNEK:



  

(

3

5

2

3 2

4

)

lim

3

5

lim

x

x

x

x

x

x





 

.

3

4

1

2

3

lim

5 2 3 5

x

x

x

x

x GERİ GERİ

(26)

f ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre: 1) olmak üzere .f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir.

2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir.

3) olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir.

4) fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir.

R

0

)

(

a

g

n n

f

f

f

fog

,

,

,

Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada süreklidir.

i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olması

ii) limiti olmalı iii) olmalıdır.limxa f (x)  f (a)  L

L x f a x   lim ( ) İLE İLE

(27)

0

,

1

0

,

0

,

1

)

(

:

3

x

x

x

a

x

x

x

f

R

R

f

ÖRNEK: fonksiyonu Şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonu x = 0

noktasında sürekli olması için a ne olmalıdır. ÇÖZÜM:

1

)

(

lim

)

0

(

1

)

1

(

lim

)

(

lim

1

)

1

(

lim

)

(

lim

0

),

(

0 0 0 3 0 0

        

x

f

a

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x x x x x noktasında tanımlıdır. i) ii) eşitliğinde a = 1 dir. GERİ GERİ

(28)

SORULAR:

SORULAR:

?

3

5

lim

1

 

 

x

x

?

2

10

7

lim

2 2





x

x

x

x

?

5

2

3

2

lim

2

x

x

x

?

1

1

lim

1

x

x

x 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. a)2 b)5 c)6 d)8 e)10 a)2 b)5 c)6 d)8 e)10 a)-5 b)-3 c)-2 d)3 e)7 a)-5 b)-3 c)-2 d)3 e)7 a)-3 b)-1 c)0 d)1/2 e)3 a)-3 b)-1 c)0 d)1/2 e)3 a)2 b)1 c)1/2 d)-1 e)-2 a)2 b)1 c)1/2 d)-1 e)-2 İLE İLE

(29)

5. 5. 6. 6. 7. 7. ? ) ( lim ) ( lim 1 , 3 1 1 , 0 1 , 3 ) ( , :  11              f x f x x x x x x f R R f x x

lim

(

)

lim

(

)

?

3

1

,

1

2

1

,

0

1

2

,

3

)

(

,

3

,

2

:

1

1

f

x

f

x

x

x

x

x

x

x

f

R

f

x x

?

)

(

lim

0

,

1

0

,

0

0

,

1

2

)

(

,

:

0 2

f

x

x

x

x

x

x

x

f

R

R

f

x a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1 a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1 a)3 b)2 c)-1 d)0 e)-2 a)3 b)2 c)-1 d)0 e)-2 a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1

a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1 İLE

İLER

(30)

1

,

1

1

,

1

1

,

1

1

)

(

2

x

x

x

x

x

x

x

f

8.

8. İse ifadesinin değeri nedir?İse ifadesinin değeri nedir?

lim

x1

a)3 b)2 c)1 d)0 e) a)3 b)2 c)1 d)0 e)

?

3

2

2

lim

0

 

x

x

x

x

x

)

(

)

(

lim

...

)

(

2

0

h

x

f

h

x

f

x

x

x

f

h 9. 9. 10. 10.

İfadesinin eşiti nedir?

İfadesinin eşiti nedir?

a)2 b)x-1 c)2x-n d)-2x+1 e)2x-1

a)2 b)x-1 c)2x-n d)-2x+1 e)2x-1

a)0 b)3 c)3/5 d)-2 e)-3

a)0 b)3 c)3/5 d)-2 e)-3 İLE

(31)

 

2

)

3

?

sgn(

2

4

lim

2 2 2

 

x

x

x

x

x

x

x

 

2

?

lim

x3

x

x

3

11. 11. 12. 12. a)0 b)3 c)9 d)18 e)27 a)0 b)3 c)9 d)18 e)27 a)23/3 b)45/3 c)27/16 d)1/3 e)16 a)23/3 b)45/3 c)27/16 d)1/3 e)16 13. 13.

2

2

?

lim

2 2 3 0

 

x

x

x

x

x a)-4 b)-2 c)-1 d)0 e)2 a)-4 b)-2 c)-1 d)0 e)2 İLE İLE

(32)

?

)

2

sin(

2

sin

lim

2

 

x

x

x 14. 14. a)2 b)1 c)0 d)-1/2 e)-2 a)2 b)1 c)0 d)-1/2 e)-2 15. 15.

sin(

2

)

?

1

sin

lim

1

 

x

x

x

a)0 b)-1 c)sin1 d)-sin1 e)

a)0 b)-1 c)sin1 d)-sin1 e)

16. 16.

?

1

1

lim

1

x

x

a)-1/2 b)0 c) d) e)limit yok

a)-1/2 b)0 c) d) e)limit yok

İLE

(33)

17. 17.

?

7

2

4

3

lim

 

x

x

x a) b)3/2 c)3/7 d)-2 e)-3a) b)3/2 c)3/7 d)-2 e)-3

18. 18.

?

4

3

2

lim

3 2

 

x

x

x

x

x a)2 b)1 c)0 d)-1 e) a)2 b)1 c)0 d)-1 e)

GERİ GERİ

(34)

8

3

5

)

1

(

3

5

3

5

lim

1

 

x

x

Cevap:D Cevap:D Geri Geri

(35)

0

0

2

2

10

2

.

7

2

.

2

2

10

7

lim

2 2

x

x

x

x

Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım.

Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım.

3

5

2

)

5

(

lim

)

2

(

)

5

)(

2

(

lim

2

2

 

x

x

x

x

x x Cevap:B Cevap:B Geri Geri

(36)

0

0

5

2

.

2

3

2

2

5

2

3

2

lim

2

x

x

x

Şeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından ifadenin pay ve paydasını ile çarparak bu belirsizlikten kurtaralım.

Şeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından ifadenin pay ve paydasını ile çarparak bu belirsizlikten kurtaralım.

3

2

x

5

) 2 ( 2 ) 5 2 3 )( 2 ( lim ) 5 2 ( 9 ) 5 2 3 )( 2 ( lim 5 2 3 )( 5 2 3 ( ) 5 2 3 )( 2 ( lim 2 2 2                        x x x x x x x x x x x x x

3

2

5

2

.

2

3

2

5

2

3

lim

2

x

x

Cevap:A

(37)

0

0

1

1

lim

1

x

x

x

)

1

(

)

1

)(

1

(

lim

1

1

lim

1 1

 

x

x

x

x

x

x x

2

)

1

1

(

)

1

(

lim

1

x

x

Belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım.

Belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım.

Cevap: E

Cevap: E

Geri

(38)

sağ

sol

1

f(x)=x/3 f(x)=x/3 f(x)=1/3 f(x)=1/3

3

1

3

1

lim

)

(

lim

x1

f

x

x1

3

1

3

lim

)

(

lim

1

1

x

x

f

x x

3

2

3

1

3

1

lim

)

(

lim

x1

f

x

x1

Cevap:D Cevap:D Geri Geri

(39)

1

-2 3 -2 3 3-x 2x-1 3-x 2x-1 33

1

2

1

)

(

lim

)

(

lim

2

1

3

)

3

(

lim

)

(

lim

1

1

1

.

2

)

1

2

(

lim

)

(

lim

1 1 1 1 1 1

           

x

f

x

f

x

x

f

x

x

f

x x x x x x Cevap:C Cevap:C Geri Geri

(40)

  0 - + - + 0 0 1 2 ) (x  xf x2 1

1

1

0

.

2

)

1

2

(

lim

)

(

lim

1

1

0

)

1

(

lim

)

(

lim

0 0 2 2 0 0

       

x

x

f

x

x

f

x x x x

X = 0 noktasında sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan

X = 0 noktasında sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan

1

)

(

lim

x

0

f

x

Cevap:A Cevap:A Geri Geri

(41)

1

--

+

+

1 1 ) ( 2    x x x f 1 1 1  x

2

1

1

)

1

(

)

1

)(

1

(

lim

)

(

lim

2

1

1

)

1

(

lim

)

(

lim

1 1 1 1

       

x

x

x

x

f

x

x

f

x x x x

2

)

(

lim

x1

f

x

X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan

X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan

Cevap:B

Cevap:B

Geri

(42)

)

(

)

(

)

(

,

)

(

2 2

h

x

h

x

h

x

f

x

x

x

f

  

       h x x h x h x h x f h x f h h ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 2 2 0 0                   

 lim 2 lim 2 lim 0( 2 1)

2 0 2 2 2 0 h h x h xh h h x x h x h xh x h h h

.

'

1

2

1

2

0

x

x

dir

Cevap:D Cevap:D Geri Geri

(43)

3

)

3

(

lim

3

lim

3

2

2

lim

3

2

2

lim

0 0 0 0

        x x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Cevap:E Cevap:E Geri Geri

(44)

 

 

3

3

(

.

'

27

3

)

3

3

.

2

(

)

3

2

(

lim

)

2

(

lim

3

3

3

3

3

3

 

x

iken

x

dir

x

x

x

x

x

Olduğuna dikkat ediniz.

Olduğuna dikkat ediniz.

Cevap:E

Cevap:E

Geri

(45)

2’nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat ediniz. Cevap:A

2’nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat ediniz. Cevap:A

 

 

  2 2 2

3

)

2

sgn(

2

4

lim

x

x

x

x

x

x

x





 2 2 2

1

3

1

2

4

lim

x

x

x

x

x

2

3

2

1

1

)

2

(

)

2

)(

2

(

lim

x

x

x

x

x

x





  2 2

1

3

1

2

lim

x

x

x

x

3

23

4

.

3

1

2

1

)

2

2

(

Geri Geri

(46)

0

2

.

0

2

1

.

2

2

.

)

1

(

2

2

lim

.

lim

2

2

3

2

2

0

3

0

 

x

x

x

x

h

h

Cevap:B Cevap:B

Sıfırın sol tarafında dir. Buna göre

Sıfırın sol tarafında dir. Buna görex  x

Geri

(47)

   

)

2

sin(

)

2

(

.

2

2

sin

lim

0

0

)

2

sin(

2

lim

2 2

x

x

x

x

x

x

Sin

x x

dir

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x

'

1

1

.

1

)

2

sin(

2

lim

.

2

2

sin

lim

2

sin(

2

lim

.

2

2

sin

lim

2 2 2 2





       

)

1

sin

lim

sin

(lim

0

0

x

x

x

x

x x Cevap:B Cevap:B Geri Geri

(48)

Sin

x

Bunagöre

x

Sin

iken

x

dir

Sin

Sin

x

iken

x

x

x

x

1

)

1

(

0

)

1

(

1

1

.

'

1

)

1

(

1

1

1

)

1

sin(

1

sin

lim

1

   

1

1

1

)

1

(

1

lim

1

Sin

Sin

x

Sin

x

Sin

x

  Cevap:C Cevap:C Geri Geri

(49)

1 1 -1 -1 y y x x 1 1 ) (   x x f        ( ) ,lim ( ) limx 1 f x x 1 f x fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur.

fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre

olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur.

Cevap:E

Cevap:E

Geri

(50)

 

 

   

n

Yol

II

x

x

x

x

x

x

x x

:

.

2

2

4

7

2

4

3

7

2

4

3

lim

7

2

4

3

lim

İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir

İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir

Cevap:D

(51)

.

'

0

1

0

0

0

0

1

4

1

3

2

1

4

1

3

2

1

lim

2

2

2

2

dir

x

x

x

x

x

x

x

x

Cevap: C Cevap: C Geri Geri

Referanslar

Benzer Belgeler

745 yılında Kutluk Bilge Kül Kağan tarafından kurulan Türk Devleti 6.. Kök Türklerin yeniden doğuşunu

Burada x= c için fonksiyonun tanımsız olması limitin var olmasına engel değildir..

Takip eden türev kurallarının hepsi türevin limit tanımı

L’ Hospital kuralında, belirsizliği ortadan kaldırmak için, yapılan işlemin: Payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir.. Ancak bu, o noktada türevin olması için

LİMİT KONU NOTLARI Soldan

İşte burada olduğu gibi, x herhangi bir sayıya sol- dan veya sağdan yaklaşırken y’nin yaklaştığı sayı aynı reel sayıysa, fonksiyonun o noktada limiti var- dır