T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SOFT DİTOPOLOJİK- FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR VE TIPTA
UYGULAMALAR
Tuğba Han DİZMAN
DOKTORA TEZİ Matematik Anabilim Dalı
Mayıs-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır
TEZ BİLDİRİMİ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.
İmza
Öğrencinin Adı SOYADI Tuğba Han DİZMAN Tarih:23.05.2014
iv
ÖZET DOKTORA TEZİ
SOFT DİTOPOLOJİK- FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR VE TIPTA UYGULAMALAR
Tuğba Han DİZMAN
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Şaziye Yüksel 2014, 60Sayfa
Jüri
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Cemil YILDIZ
Doç. Dr. Kemal AYDIN Doç. Dr. Ayşe Dilek MADEN Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
Bu tezde belirsizliğe farklı bir yaklaşım olarak Molodtsov (1999) tarafından geliştirilmiş soft kümeler ile topolojik yapılar ve soft ilefuzzy kümelerin bir araya getirilmesiyle oluşturulmuş melez bir model olan fuzzy soft kümeler ile fuzzy topolojik kavramlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca soft kümeleri kullanarak prostat kanserini teşhis etmek için bir uzman sistem tasarlanmıştır.
Tezin ikinci bölümünde verilen soft ditopolojik uzaylar birbirinden bağımsız olarak tanımladığımız soft açıklarla ilgili özelliklerin bulunduğu soft topolojik uzaylar ve soft kapalılarla ilgili özelliklerin bulunduğu soft kotopolojik uzaylardan elde edilmiştir.Soft topoloji ve soft kotopolojilerde sırasıyla 𝜏𝜏-soft süreklilik, 𝜏𝜏-soft ayırma aksiyomları, 𝜅𝜅-soft süreklilik ve 𝜅𝜅-soft ayırma aksiyomları verilmiştir. Bu kavramlar soft ditopolojik uzaylarda da incelenmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde fuzzy soft topolojik uzaylar incelenmiş, bu uzaylarda komşuluk, Q-komşuluk, alt uzay, fuzzy soft iç ve kapanış noktaları gibi kavramlar verilmiş vequasi ayırma aksiyomları çalışılmıştır.
Tezin dördüncübölümünde son yıllarda erkeklerde sıkça görülen prostat kanserinin teşhisi için soft kümelerden faydalanarak elde ettiğimiz vesoft uzman sistemler olarak adlandırdığımız birtahmin sistemitasarlanmıştır. Tasarladığımız bu sistem,hastanın prostat spesifik antijen (PSA), yaş ve prostat hacmi (PV) verilerinikullanarak prostat kanseri olma riskiyüzdesini hesaplayan bir programdır. Hesaplanan buyüzde ile uzman doktora hasta hakkında bir fikir vermek amaçlanmıştır. Bu yolla maliyeti yüksek olan ve hastada bazı fiziksel zararlara neden olabilen biyopsi işlemini gereksiz yere uygulamak engellenebilir.Tasarladığımız sistemin prostat kanseri teşhisi için kullanılması önerilir.
Anahtar Kelimeler:.Fuzzy soft quasi ayırma aksiyomları, fuzzy soft topolojik uzaylar, prostat
v
ABSTRACT Ph.D THESIS
SOFT DITOPOLOGICAL- FUZZY SOFT TOPOLOGICAL SPACES AND THE APPLICATIONS IN MEDICINE
Tuğba Han DİZMAN
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCEOF SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY INMATHEMATICS
Advisor: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
2014,60 Pages Jury
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Cemil YILDIZ
Doç. Dr. Kemal AYDIN Doç. Dr. Ayşe Dilek MADEN Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
In this thesis, both the relation between soft set, defined byMolodtsov as a new method for vagueness, and its corresponding topological structures and the relation between fuzzy soft sets, a combination of fuzzy and soft sets, and its corresponding fuzzy topological structures are investigated. Moreoverby using soft sets an expert system to diagnose the prostate cancer is devised.
In the second section, soft ditopology is defined as a synthesis of soft topology which is used to describe soft openness-type properties of a space and the soft cotopology which deals with its soft closedness-type properties. 𝜏𝜏-soft continuity, 𝜏𝜏-soft seperation axioms and 𝜅𝜅-soft continuity, 𝜅𝜅-soft seperation axioms are investigated in soft topological and soft cotopological spaces, respectively.These concepts are also studied in soft ditopological spaces.
In the third section fuzzy soft topological spaces are given and the concepts as neihgborhood, Q-neighborhood, relative fuzzy soft topology, fuzzy soft interior and closure points are defined and the quasi seperation axioms are investigated.
In the fourth section a prediction system, called soft expert system, is designed to diagnose the prostate cancer which is the second most common cause of cancer death among men. In our system the percantage of prostate cancer risk is obtained by using the data of prostate specific antigen, age and prostate volume. We aim to help to the doctor to decide whether the biopsy is necessary for a patient. It is known that biopsy has high cost and sometimes can lead some complications for patients. For this reason it is important to reduce the number of biopsy operations. Since our system prevents unnecessary biopsy operations, it is suggested to use soft expert system to diagnose the prostate cancer.
Keywords:Fuzzy soft quasi seperation axioms, fuzzy soft topological spaces,prostate cancer,
vi
ÖNSÖZ
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde soft küme ve fuzzy soft küme teoride yapılmış ve çalışmamız boyunca kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde birbirinden bağımsız olan soft topoloji ve soft kotopoloji kavramları tanıtılmış ve bu kavramlardan faydalanarak oluşturulmuş soft ditopolojik uzaylar tanımlanmış ve özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde fuzzy soft topolojik uzaylar geliştirilmiş ve fuzzy soft quasi ayırma aksiyomları çalışılmıştır. Dördüncü bölümde soft kümeler kullanılarak prostat kanseri teşhisinde kullanılması önerilen bir program tasarlanmıştır. Beşinci bölümde ise bu çalışmanın sonuçlarına yer verilmiştir.
Tez konumun seçilmesi ve yürütülmesi sürecinde özveri ve sabırla yol gösteren, bilgi ve deneyimleriyle yolumu aydınlatan ve akademik hayatıma başladığım günden beri desteğini her zaman hissettiğim danışman hocam Sayın Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL’esonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Hayatımda ve çalışmalarımda en büyük destekçilerim olan değerli annem ve babam Nuran-Fahrettin ŞİMŞEKLER’e ve eşim Gürcan DİZMAN’a minnet ve teşekkürlerimi sunarım.
Tuğba Han DİZMAN KONYA-2014
vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii SİMGELER VE KISALTMALAR ... ix 1. GİRİŞ ... 1 1.1. Temel Kavramlar ... 2
1.1.1. Fuzzy Kümeler ve Soft Kümeler ... 2
1.1.2. Fuzzy Soft Kümeler ... 6
2. SOFT DİTOPOLOJİK UZAYLAR ... 9
2.1. Temel Kavramlar ... 10
2.2.Soft Açıklar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Topolojik Uzaylar... 12
2.2.2. 𝝉𝝉-soft Sürekli ve Soft Açık Fonksiyonlar ... 14
2.2.2.𝝉𝝉-ayırma Aksiyomları ... 16
2.3.Soft Kapalılar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Kotopolojik Uzaylar ... 19
2.3.2. 𝜿𝜿-soft Sürekli ve Soft Kapalı Fonksiyonlar ... 22
2.3.3. 𝜿𝜿-soft Ayırma Aksiyomları ... 26
2.4. Soft Ditopolojik Uzaylar ... 29
3.FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ... 32
3.1. Fuzzy Soft Topolojik Uzayın Temel Kavramları ... 32
3.2. Fuzzy Soft Quasi Ayırma Aksiyomları ... 40
4. SOFT KÜMELERİN PROSTAT KANSERİ TEŞHİSİNDE BİR UYGULAMASI ... 47
4.1. Soft Uzman Sistemleri ... 48
4.2. Sonuç ... 55 5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 57
viii
5.1 Sonuçlar ... 57 5.2 Öneriler ... 58
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler
⊆ :Alt küme
∪ :Birleşim
0𝑈𝑈𝐸𝐸~ :Boş fuzzy soft küme
Φ𝐴𝐴 :Boş soft küme
∈ : Eleman
∉ :Eleman değil
∃ : En az bir
∀ :Her
𝐼𝐼𝑋𝑋 :Fuzzy kümeler ailesi 𝑥𝑥𝛼𝛼, 𝑦𝑦𝜇𝜇 :Fuzzy noktalar 𝑓𝑓𝐴𝐴 :Fuzzy soft küme 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 :Fuzzy soft nokta 𝜏𝜏𝑓𝑓, 𝜏𝜏𝑓𝑓∗ :Fuzzy soft topolojiler
∧ : İnfimum ∩ :Kesişim 𝜏𝜏 :Soft topoloji 𝜅𝜅 :Soft kotopoloji 𝛿𝛿 :Soft ditopoloji 𝐹𝐹𝐴𝐴 :Soft küme 𝑥𝑥𝐴𝐴 :Soft nokta ∨ :Supremum
1𝑈𝑈𝐸𝐸~ :Tam fuzzy soft küme 𝑈𝑈𝐸𝐸~ :Tam soft küme
𝒫𝒫(𝑈𝑈)(2𝑈𝑈) :U kümesinin kuvvet kümesi I :[0,1] kapalı aralığı
1. GİRİŞ
George Cantor tarafından verilen “küme teori” matematiksel düşüncenin gelişmesinde büyük rol oynamıştır. Bir küme elemanlarıyla belirlenir ve bir eleman kümeye aittir ya da değildir. Örneğin doğal sayılar kümesini göz önüne alalım. Bu kümede hiçbir belirsizlik yoktur ve elemanları bellidir. Şimdi bölümümüzdeki zeki öğrencilerin kümesini bulmaya çalışalım. Kolayca anlaşılacağı gibi “zeki olma” kavramı kesin bir kavram değildir, belirsizdir ve klasik kümeler yardımıyla böyle bir kümeyi oluşturamayız. Olasılık teori, interval matematik, fuzzy küme teori gibi teoriler belirsiz durumlar için geliştirilmiş teorilerden bazılarıdır. 1965 yılında Zadeh tarafından tanımlanan fuzzy küme teori mühendislik, tıp,bilgisayar bilimleri gibi pek çok alana uygulanmış ve araştırmacıların ilgisini çekmeyi başarmıştır. Fuzzy kümeler üyelik fonksiyonları yardımıyla belirlenir. Bir eleman bir fuzzy kümeye üyelik derecesiyle aittir ve bu derece [0,1] kapalı aralığında bir değerdir. Bu düşünceyle klasik kümelerdeki nesnellik yerini belirsiz durumlar için geçerli olan öznelliğe bırakmıştır.
1999 yılında Molodtsov belirsiz durumlar için “soft küme teori” adını verdiği yeni bir teori geliştirdi ve “Soft Set Theory- First Results” isimli makalesinde soft küme teorinin fuzzy küme teoriden daha iyi bir yöntem olduğunu gösterdi.Molodtsov makalesinde fuzzy kümelerde tanımlanan üyelik fonksiyonunun her durum için nasıl belirleneceği sorusunun bu teori için bir zorluk olduğunu belirtti ve bu durumun nedenini parametreleme işleminin olmayışına bağladı. Bu zorluktan kurtulmak için de soft kümeleri bir evren ile bir parametre kümesinden faydalanarak tanımladı ve soft kümeler evrenin parametrelenmiş alt kümeleri olarak verildi. Molodtsov soft kümelerin Perron integrasyonu, oyun teori, olasılık teori, ölçü teori, düz fonksiyonlar gibi alanlara uygulamalarını verdi. Soft küme teori kısa zamanda hızla gelişti. Maji ve arkadaşları (2002) soft kümeleri karar verme problemlerinde kullandı. Pei ve Miao (2005) soft kümeler ile bilgi sistemleri arasındaki ilişkileri gösteren bir çalışma yaptı. Chen (2005) soft kümelerde parametre azaltmayla ilgili bir metot verdi ve bu metodu rough kümelerdeki özellikleriazaltmayla karşılaştırdı. Aktaş ve Çağman (2007) soft kümelerle fuzzy ve rough kümeler arasındaki ilişkiyi gösterdi ve soft kümeleri cebirsel yapılara uyguladı. Jun ve Park (2008) soft kümelerin BCK/BCI cebirlere uygulanmasını gösteren bir çalışma yaptı. Feng ve arkadaşları (2008) soft yarı halkalar üzerine çalışmalar başlattı. Kong ve arkadaşları (2008) en iyi seçimi yapma problemi için soft kümeleri kullandı ve soft kümelerde normal parametre azaltma için bir algoritma verdi. Ma ve
arkadaşları (2011) soft kümelerde parametre azaltma için yeni bir algoritma verdi ve bu algoritmanın Kong ve arkadaşları (2008) tarafından verilen algoritmadan daha kullanışlı olduğunu gösterdi. Feng ve arkadaşları (2010) soft kümeleri fuzzy ve rough kümelerle bir araya getirdi ve rough fuzzy, rough soft, soft rough, soft rough fuzzy olarak adlandırılan yeni melez kümeleri tanımladı. Shabir ve Naz (2011) soft topolojik uzayları tanımladı ve sonrasında pek çok yazar soft topolojik uzayları geliştirdi(Ali ve ark.(2009), Çağman ve ark.(2011), Ahmad ve Hussain (2012), Zorlutuna ve ark. ( 2012 )).
Maji ve arkadaşları (2001) fuzzy ve soft kümeleribir araya getirerek fuzzy soft kümeleri tanımladı. Roy ve Maji (2007), fuzzy soft kümelerin uygulamalarına yönelik çalışmalar yaptı. Ahmad ve Kharal (2009) fuzzy soft kümelerde birleşim, kesişim gibi kuralları tanımladı ve fuzzy soft kümelerin De-Morgan ilişkilerini inceledi. Kharal ve Ahmad (2009)fuzzy soft kümelerin sınıfları arasındaki dönüşümleri tanımladı.Tanay ve Kandemir (2011) fuzzy soft topolojik uzayları ve bu uzaylardaki temel kavramları tanımladı. Roy ve Samanta (2011) fuzzy soft topolojik uzayları sabit parametre kümeli fuzzy soft kümeler üzerinde tanımladı, fuzzy soft topolojiler için taban ve alt taban kavramlarını verdi.
1.1. Temel Kavramlar
Bu bölümde çalışmamız boyunca kullanacağımız tanımlar, teoremler ve lemmalar verilmiştir.
1.1.1. Fuzzy Kümeler ve Soft Kümeler
Bu kesimde belirsizliğe iki farklı yaklaşım olan fuzzy küme teori ve soft küme teorinin tez boyunca kullanılacak olan kavramları verilmiştir.
1.1.1.1.Tanım(Zadeh, 1965).𝑈𝑈 ≠ ∅olmak üzere 𝑈𝑈 kümesi üzerinde bir fuzzy kümesi, 𝜇𝜇𝐴𝐴: 𝑈𝑈 → 𝐼𝐼 = [0,1] üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen
𝐴𝐴 = {�𝑢𝑢, 𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑢𝑢)�: 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈} ikililerin oluşturduğu kümedir.
1.1.1.2. Tanım(Zadeh, 1965).Boş fuzzy kümeher 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 için 𝜇𝜇∅(𝑢𝑢) = 0
üyelik fonksiyonuyla karakterize edilir ve 0𝑈𝑈simgesi ile gösterilir: 0𝑈𝑈 = {(𝑢𝑢, 0): 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈}.
1.1.1.3.Tanım(Zadeh, 1965).Tam fuzzy kümeher 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 için 𝜇𝜇𝑈𝑈(𝑢𝑢) = 1
üyelik fonksiyonuyla karakterize edilir ve 1𝑈𝑈simgesi ile gösterilir: 1𝑈𝑈 = {(𝑢𝑢, 1): 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈}.
1.1.1.4.Tanım(Zadeh, 1965).𝐴𝐴ve𝐵𝐵, 𝑈𝑈kümesiüzerinde iki fuzzy küme olsun.
𝑖𝑖) Her 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 için 𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑢𝑢) ≤ 𝜇𝜇𝐵𝐵(𝑢𝑢) ise 𝐴𝐴fuzzy kümesine𝐵𝐵fuzzy kümesininalt
kümesidenir ve 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 simgesiyle gösterilir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴ve𝐵𝐵kümelerininbirleşimi𝐶𝐶fuzzy kümesidir,𝐴𝐴 ∨ 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶simgesiyle gösterilir ve
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈için𝜇𝜇𝐶𝐶(𝑢𝑢) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥{𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑢𝑢), 𝜇𝜇𝐵𝐵(𝑢𝑢)} üyelik fonksiyonuyla tanımlanır.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴ve𝐵𝐵kümelerininkesişimi𝐷𝐷fuzzy kümesidir, 𝐴𝐴 ∧ 𝐵𝐵 = 𝐷𝐷simgesiylegösterilir ve
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈için𝜇𝜇𝐷𝐷(𝑢𝑢) = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚{𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑢𝑢), 𝜇𝜇𝐵𝐵(𝑢𝑢)} üyelik fonksiyonuyla tanımlanır.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴fuzzy kümesinin tümleyeni𝐴𝐴𝑐𝑐simgesi ile gösterilir ve ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈için𝜇𝜇𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑢𝑢) = 1 − 𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑢𝑢)
üyelik fonksiyonuyla tanımlanır.
1.1.1.5. Tanım(Zadeh, 1965).Bir 𝐴𝐴fuzzy kümesinin α-seviye kümesi,
𝐹𝐹(𝛼𝛼) = {𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈: 𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑢𝑢) ≥ 𝛼𝛼}, 𝛼𝛼 ∈ [0,1] şeklinde tanımlanır.
1.1.1.1. Uyarı(Aktaş ve Çağman, 2007).Fuzzy küme ile klasik küme
arasındaki ilişki 𝛼𝛼-seviye fonksiyonu yardımıyla kurulabilir. 𝐴𝐴fuzzy kümesi, 𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑢𝑢) = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑠𝑠{𝛼𝛼: 𝑢𝑢 ∈ 𝐹𝐹(𝛼𝛼) }
formülünden𝛼𝛼-seviye kümelerinin herhangi bir ailesi yardımıyla elde edilebilir.
1.1.1.6. Tanım (Molodtsov, 1999).𝑈𝑈evren kümesi,𝐸𝐸 parametre kümesi ve
𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸olsun. 𝐹𝐹: 𝐴𝐴 → 𝒫𝒫(𝑈𝑈)bir dönüşüm ise𝐹𝐹𝐴𝐴(yada (𝐹𝐹, 𝐴𝐴))ikilisineU evreni üzerindesoft kümedenir. Başka bir deyişle soft küme 𝑈𝑈evren kümesinin altkümelerinin parametrelenmiş bir ailesidir.
Tez boyunca aksi belirtilmediği sürece 𝐹𝐹𝐴𝐴, U evreni üzerinde bir soft küme olarak düşünülecektir.
1.1.1.1.Örnek.Bay 𝑋𝑋 ve Bayan 𝑌𝑌 evlilik törenleri için bir salon kiralamayı
planlamaktalar. 𝐹𝐹𝐸𝐸soft kümesi “salonun olanaklarını” göstersin.
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, 𝑢𝑢3, 𝑢𝑢4, 𝑢𝑢5, 𝑢𝑢6}kiralanabilecek salonları ve 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3, 𝑒𝑒4, 𝑒𝑒5} parametre kümesi ve 𝐹𝐹(𝑒𝑒1) = {𝑢𝑢2, 𝑢𝑢4} 𝐹𝐹(𝑒𝑒2) = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢3, 𝑢𝑢4} 𝐹𝐹(𝑒𝑒3) = ∅ 𝐹𝐹(𝑒𝑒4) = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢3, 𝑢𝑢5} 𝐹𝐹(𝑒𝑒5) = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢6} olsun. O halde 𝐹𝐹𝐸𝐸 (𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 (𝐹𝐹, 𝐸𝐸))soft kümesi:
𝐹𝐹𝐸𝐸 = �𝑒𝑒1= {𝑢𝑢2, 𝑢𝑢4}, 𝑒𝑒2 = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢3, 𝑢𝑢4}, 𝑒𝑒3 = ∅, 𝑒𝑒4 = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢3, 𝑢𝑢5}, 𝑒𝑒5 = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢6}� dir. U e1 e2 e3 e4 e5 u1 0 1 0 1 1 u2 1 0 0 0 0 u3 0 1 0 1 0 u4 1 1 0 0 0 u5 0 0 0 1 0 u6 0 0 0 0 1
Tablo1.1.1.1.𝐹𝐹𝐸𝐸 soft kümesinin tablosal gösterimi
1.1.1.7. Tanım(Maji ve ark, 2003).𝑈𝑈evreni üzerinde 𝐹𝐹𝐴𝐴 ve 𝐺𝐺𝐵𝐵iki soft küme olsun. 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵veher 𝑚𝑚 ∈ 𝐴𝐴için𝐹𝐹(𝑚𝑚) ⊆ 𝐺𝐺(𝑚𝑚)ise𝐹𝐹𝐴𝐴soft kümesi 𝐺𝐺𝐵𝐵soft kümesinin
altkümesi olarak adlandırılır.
1.1.1.8.Tanım(Maji ve ark, 2003).Her 𝑚𝑚 ∈ 𝐴𝐴 için 𝐹𝐹(𝑚𝑚) = ∅ ise 𝐹𝐹𝐴𝐴soft kümesi
boş soft küme olarak adlandırılır ve ΦAsimgesi ile gösterilir.
1.1.1.9. Tanım(Maji ve ark, 2003).Her 𝑚𝑚 ∈ 𝐴𝐴 için 𝐹𝐹(𝑚𝑚) = 𝑈𝑈 ise 𝐹𝐹𝐴𝐴soft kümesi
tam soft küme olarak adlandırılır ve 𝑈𝑈𝐴𝐴~simgesi ile gösterilir.
1.1.1.2.Uyarı.İki soft küme için “𝑉𝑉𝐸𝐸”, “𝑉𝑉𝐸𝐸 𝑌𝑌𝐴𝐴” işlemleri Molodtsov’un
makalesindetavsiye ettiği doğrultuda Maji ve arkadaşları tarafından 2003 yılında aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
1.1.1.10. Tanım(Maji ve ark, 2003).U evreni üzerinde𝐹𝐹𝐴𝐴 ve 𝐺𝐺𝐵𝐵 iki soft küme olsun. "𝑭𝑭𝑨𝑨𝑽𝑽𝑽𝑽𝑮𝑮𝑩𝑩"soft kümesi
∀(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵, 𝐻𝐻(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = 𝐹𝐹(𝑚𝑚) ∩ 𝐺𝐺(𝑏𝑏)
olmak üzere 𝐹𝐹𝐴𝐴⋀𝐺𝐺𝐵𝐵 = 𝐻𝐻𝐴𝐴×𝐵𝐵 şeklinde tanımlanır ve 𝐹𝐹𝐴𝐴⋀𝐺𝐺𝐵𝐵simgesi ile gösterilir.
1.1.1.11.Tanım(Maji ve ark, 2003).𝐹𝐹𝐴𝐴ve𝐺𝐺𝐵𝐵U evreni üzerinde iki soft küme
olsun. "𝑭𝑭𝑨𝑨𝑽𝑽𝑽𝑽 𝒀𝒀𝑨𝑨𝑮𝑮𝑩𝑩"soft kümesi
∀(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵, 𝑂𝑂(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = 𝐹𝐹(𝑚𝑚) ∪ 𝐺𝐺(𝑏𝑏)
olmak üzere 𝐹𝐹𝐴𝐴∨ 𝐺𝐺𝐵𝐵 = (𝑂𝑂𝐴𝐴×𝐵𝐵) şeklinde tanımlanır ve 𝐹𝐹𝐴𝐴∨ 𝐺𝐺𝐵𝐵simgesi ile gösterilir.
1.1.1.12.Tanım(Maji ve ark, 2003).𝐴𝐴𝑖𝑖 ⊂ 𝐸𝐸ve𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖: 𝐴𝐴𝑖𝑖 → 𝒫𝒫(𝑈𝑈)bir soft küme
olmak üzere {𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖: 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} soft kümeler ailesinin kesişimi
𝐺𝐺𝐶𝐶 = ⋂ 𝐹𝐹~𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝐶𝐶 = ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐴𝐴𝑖𝑖, 𝐺𝐺: 𝐶𝐶 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)veℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚𝐺𝐺𝐶𝐶(𝑒𝑒) = ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖(𝑒𝑒) olacak şekilde bir soft kümedir.
1.1.1.13.Tanım(Maji ve ark, 2003).𝐴𝐴𝑖𝑖 ⊂ 𝐸𝐸ve𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖: 𝐴𝐴𝑖𝑖 → 𝒫𝒫(𝑈𝑈)bir soft küme
olmak üzere {𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖: 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} soft kümeler ailesinin birleşimi
𝐺𝐺𝐶𝐶 = ⋃ 𝐹𝐹~𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝐶𝐶 = ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐴𝐴𝑖𝑖, 𝐺𝐺: 𝐶𝐶 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)veℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚𝐺𝐺𝐶𝐶(𝑒𝑒) = ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖(𝑒𝑒) olacak şekilde bir soft kümedir.
1.1.1.14. Tanım(Zahiri, 2013).𝑈𝑈birevren kümesive 𝐹𝐹: 𝑈𝑈 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)dönüşümü
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐹𝐹(𝑢𝑢) = {𝑢𝑢}
şeklinde tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Buradan𝐹𝐹𝑈𝑈 soft kümesine U kümesinden üretilmiş basit soft küme denir.
1.1.1.3.Uyarı.1.1.1.14.Tanımgereği her kümeden bir soft küme elde
edilebileceği açıktır.
1.1.1.1.Teorem(Aktaş ve Çağman, 2007).Her fuzzy kümeden bir soft küme
elde edilebilir.
1.1.1.15. Tanım(Ma ve ark., 2011). 𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, … , 𝑢𝑢|𝑈𝑈|} boş kümeden farklı,
sonlu sayıda nesnelerin kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑚𝑚1, 𝑚𝑚2, … , 𝑚𝑚|𝐴𝐴|} boş kümeden farklı sonlu özelliklerin kümesi,𝑉𝑉𝑚𝑚 kümesi 𝑚𝑚 özelliğinin değer kümesi olmak üzere 𝑉𝑉 = ⋃𝑚𝑚∈𝐴𝐴𝑉𝑉𝑚𝑚, her (𝑢𝑢, 𝑚𝑚) ∈ 𝑈𝑈 × 𝐴𝐴ve𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑚𝑚) ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚için 𝑓𝑓: 𝑈𝑈 × 𝐴𝐴 → 𝑉𝑉 bir bilgi fonksiyonu olsun.O halde 𝑆𝑆 = (𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝑉𝑉, 𝑓𝑓) dörtlüsü bir bilgi sistemi olarak adlandırılır. Bilgi sistemleri bilgi tabloları şeklinde de gösterilebilir (Bkz. Tablo 1.1.1.2). Bir 𝑆𝑆 = (𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝑉𝑉, 𝑓𝑓) bilgi
sisteminde her 𝑚𝑚 ∈ 𝐴𝐴 için 𝑉𝑉𝑚𝑚 = {0,1} ise 𝑆𝑆dörtlüsü𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚-değerli bilgi sistemi olarak adlandırılır. U 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2 ⋯ 𝑚𝑚k ⋯ 𝑚𝑚|A| 𝑢𝑢1 𝑓𝑓(𝑢𝑢1, 𝑚𝑚1) 𝑓𝑓(𝑢𝑢1, 𝑚𝑚2) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢1, 𝑚𝑚𝑘𝑘) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢1, 𝑚𝑚|𝐴𝐴|) 𝑢𝑢2 𝑓𝑓(𝑢𝑢2, 𝑚𝑚1) 𝑓𝑓(𝑢𝑢2, 𝑚𝑚2) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢2, 𝑚𝑚𝑘𝑘) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢2, 𝑚𝑚|𝐴𝐴|) 𝑢𝑢3 𝑓𝑓(𝑢𝑢3, 𝑚𝑚1) 𝑓𝑓(𝑢𝑢3, 𝑚𝑚2) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢3, 𝑚𝑚𝑘𝑘) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢3, 𝑚𝑚|𝐴𝐴|) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑢𝑢|U| 𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈|, 𝑚𝑚1) 𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈|, 𝑚𝑚2) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈|, 𝑚𝑚𝑘𝑘) ⋯ 𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈|, 𝑚𝑚|𝐴𝐴|) Tablo1.1.1.2.Bilgi sistemi
1.1.1.2. Teorem(Ma ve ark, 2011).U evreninde 𝐹𝐹𝐸𝐸soft kümesi 𝑆𝑆 =
(𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝑉𝑉[0,1], 𝑓𝑓) biçiminde bir 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚-değerli bilgi sistemidir.
1.1.1.4.Uyarı.𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚-değerli bir bilgi sisteminin bir soft küme olarak
gösterilebileceği açıktır. 1.1.1.1.Örnekte verilmiş olan 𝐹𝐹𝐸𝐸soft kümesi 1.1.1.2. Tabloda olduğu gibi bir 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 tablosu olarak gösterilebilir.
1.1.2.FuzzySoft Kümeler
Bu kesimde fuzzy küme ve soft kümeden yararlanılarak Maji ve arkadaşları (2001) tarafından tanımlanmış fuzzysoft küme teorinin tez boyunca kullanılacak genel kavramları verilmiştir.
1.1.2.1. Tanım(Maji ve ark, 2001). 𝐼𝐼𝑈𝑈ya daℱ(𝑈𝑈)simgesiU kümesinin tüm fuzzy alt kümelerinin ailesini göstersin.𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸olmak üzere𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → ℱ(𝑈𝑈)bir dönüşüm ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 ikilisinefuzzysoft kümedenir.
Çalışmamız boyunca U evreni üzerinde E parametresine bağlı fuzzysoft kümeler ailesini 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)simgesi ile göstereceğiz.
1.1.2.1.Uyarı.Roy ve Samanta (2011) çalışmalarında fuzzysoft küme
kavramınıaşağıda gösterildiği gibi düzenlediler:
1.1.2.2. Tanım (Roy ve Samanta, 2011).𝑓𝑓: 𝐸𝐸 → ℱ(𝑈𝑈)dönüşümüeğer her
𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 − 𝐴𝐴için𝑓𝑓𝐴𝐴(𝑒𝑒) = 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒𝐴𝐴 = 0𝑈𝑈ve her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için𝑓𝑓𝐴𝐴(𝑒𝑒) = 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒𝐴𝐴 ≠ 0𝑈𝑈şeklinde tanımlı ise𝑓𝑓𝐴𝐴ikilisineU evreni üzerinde fuzzysoft küme denir.
1.1.2.3. Tanım(Roy ve Samanta, 2011).𝑓𝑓𝐴𝐴fuzzy soft kümesinintümleyeni𝑓𝑓𝐴𝐴𝑐𝑐simgesi ile gösterilir ve
𝑓𝑓𝐴𝐴𝑐𝑐: 𝐸𝐸 → ℱ(𝑈𝑈), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜇𝜇𝑓𝑓𝐴𝐴𝑐𝑐
𝑒𝑒 = 1 − 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑒𝑒𝐴𝐴 şeklinde tanımlanır.
1.1.2.4. Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun.
𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 𝑖𝑖𝑒𝑒 ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑓𝑓𝐴𝐴(𝑒𝑒) ≤ 𝑔𝑔𝐵𝐵(𝑒𝑒)
ise𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝑔𝑔𝐵𝐵fuzzy soft kümesininalt kümesi denir ve 𝑓𝑓𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐵𝐵simgesi ile gösterilir.
𝑔𝑔𝐵𝐵fuzzy soft kümesi𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin alt kümesi ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝑔𝑔𝐵𝐵 fuzzy soft kümesinin süper kümesidenir.
1.1.2.5. Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Bu iki fuzzysoft
kümeninbirleşimi
𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 𝑖𝑖𝑒𝑒 ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚ℎ𝐶𝐶 = � 𝑔𝑔𝐶𝐶(𝑒𝑒), 𝑒𝑒 ∈ 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑒𝑒), 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑒𝑒) ∨ 𝑔𝑔𝐶𝐶(𝑒𝑒), 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 şeklinde bir ℎ𝐶𝐶fuzzysoft kümesidir vebu işlem 𝑓𝑓𝐴𝐴⊔ 𝑔𝑔𝐵𝐵 = ℎ𝐶𝐶 ile gösterilir.
1.1.2.6.Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Bu iki fuzzysoft
kümenin kesişimi𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ve ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 için,ℎ𝐶𝐶(𝑒𝑒) = 𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑒𝑒) ∧ 𝑔𝑔𝐶𝐶(𝑒𝑒) şeklinde bir ℎ𝐶𝐶fuzzysoft kümesidir ve bu işlem 𝑓𝑓𝐴𝐴⊓ 𝑔𝑔𝐵𝐵 = ℎ𝐶𝐶 ile gösterilir.
1.1.2.7. Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için
𝑓𝑓𝐴𝐴(𝑒𝑒) = 0ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝑨𝑨parametre kümesine göreboşfuzzy soft
küme denir ve 0𝑈𝑈~𝐴𝐴simgesi ile gösterilir. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için 𝑓𝑓𝐸𝐸(𝑒𝑒) = 0 ise 𝑓𝑓𝐴𝐴boş fuzzy softküme olarak adlandırılır ve 0𝑈𝑈~𝐸𝐸 simgesi ile gösterilir.
1.1.2.8.Tanım (Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için
𝑓𝑓𝐴𝐴(𝑒𝑒) = 1 ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝑨𝑨parametre kümesine göretamfuzzysoft
küme denir ve 1𝑈𝑈~𝐴𝐴simgesi ile gösterilir. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için𝑓𝑓𝐸𝐸(𝑒𝑒) = 1ise 𝑓𝑓𝐴𝐴tam fuzzysoft küme olarak adlandırılır ve 1𝑈𝑈~𝐸𝐸simgesi ile gösterilir.
1.1.2.2. Uyarı.(0𝑈𝑈~𝐸𝐸)𝑐𝑐 = 1𝑈𝑈~𝐸𝐸, (1𝑈𝑈~𝐸𝐸)𝑐𝑐 = 0𝑈𝑈~𝐸𝐸olduğuboş fuzzysoft küme ve tam
1.1.2.9. Tanım(Kharal ve Ahmad 2009).𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)ve𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) sırasıyla U ve V
üzerindeki tüm fuzzysoft kümelerin ailesini göstersin. 𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉ve𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃 iki fonksiyon olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) → 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)fuzzysoft dönüşümolarak adlandırılır,
𝑖𝑖) 𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. 𝑓𝑓𝐴𝐴fuzzy soft kümesinin𝜑𝜑𝜓𝜓fuzzysoft dönüşümü altındaki
görüntüsü𝑉𝑉evreniüzerinde bir fuzzysoft kümedir ve
∀𝑘𝑘 ∈ 𝜓𝜓(𝑒𝑒), ∀𝑖𝑖 ∈ 𝑉𝑉 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑓𝑓𝐴𝐴)(𝑘𝑘)(𝑖𝑖) = � 𝑉𝑉𝜑𝜑(𝑢𝑢)=𝑖𝑖𝑉𝑉𝜓𝜓(𝑒𝑒)=𝑘𝑘𝜇𝜇𝑓𝑓𝐴𝐴
𝑒𝑒 (𝑢𝑢), 𝑢𝑢 𝜖𝜖 𝜑𝜑−1(𝑖𝑖) 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 0𝑈𝑈, diğer durumlarda şeklinde tanımlanır.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)olsun. 𝑔𝑔𝐵𝐵 fuzzy soft kümesinin𝜑𝜑𝜓𝜓fuzzysoftdönüşümü altındakitersgörüntüsüUüzerinde bir fuzzysoft kümedir ve
∀𝑒𝑒 ∈ 𝜓𝜓−1(𝑃𝑃), ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝑔𝑔𝐵𝐵)(𝑒𝑒)(𝑢𝑢) = 𝜇𝜇 𝑔𝑔𝐵𝐵
𝜓𝜓(𝑒𝑒)(𝜑𝜑(𝑢𝑢)) şeklinde tanımlanır.
Eğer 𝜑𝜑 ve 𝜓𝜓 bire-bir ise 𝜑𝜑𝜓𝜓fuzzysoft dönüşümü bire-bir,𝜑𝜑 ve 𝜓𝜓 örtense 𝜑𝜑𝜓𝜓fuzzysoft dönüşümü örten olarak adlandırılır.
2. SOFT DİTOPOLOJİK UZAYLAR
𝐷𝐷𝑖𝑖𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖kavramı ilk olarak Brown ve Diker (1998) tarafından tanımlanmış ve sonrasında bu konuda pek çok araştırma yapılmıştır. 𝐷𝐷𝑖𝑖𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖kavramı, Kelly tarafından 1962 yılında tanımlanan 𝑏𝑏𝑖𝑖𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖 kavramıyla ilişkilidir. Bitopolojilerden farklı olarak ditopolojilerde bir küme üzerinde iki farklı yapı vardır, bunlardan biri kümelerin açıklarla ilgili özelliklerini tanımlarken, diğeri kapalılarla ilgili özellikleri tanımlar. Bu yapılar arasında bir bağ olmasına gerek yoktur ancak topolojilerde bu yapılar birbiriyle ilişkilidir. Soft kümeler tümleme işlemi için uygun olmadıklarından soft küme uygulamalarını 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖𝑦𝑦𝑒𝑒 uygulamak topolojiye uygulamaktan daha elverişlidir.
Çalışmamızın bu kesiminde soft küme ile ilgili yapılmış çalışmalardan soft küme kavramında verilen 𝐸𝐸 ve 𝐴𝐴 parametre kümelerinin yorumlanması açısından ayrılmaktayız. 𝐸𝐸kümesini potansiyel parametre kümesi ve 𝐴𝐴kümesini asıl parametre kümesi olarak düşünebiliriz. Soft kümeyle ilgili çalışmalarda yazarlar, bir parametre 𝐴𝐴 kümesine ait değilse görüntüsünü boş küme olarak ve ya 𝐸𝐸 ile 𝐴𝐴 kümesini aynı (çakışık) olarak kabul etmişlerdir. Biz ise çalışmamızda 𝐴𝐴 kümesine ait olmayan parametrelerin görüntüsünü tanımlanmamış olarak kabul edeceğiz yani bu parametrelerin görüntüsünü göz önüne almayacağız. Bu durum soft kümelerle ilgili işlemlerde temel bir farklılık yaratmaktadır.
Bu bölümde ilk olarak bölüm boyunca kullanacağımız teorem, tanım ve önermeleri vereceğiz. Sonra soft açıklar üzerine kurulmuş soft topolojiyi tanımlayacağız. Soft topolojide vereceğimiz pek çok kavram ve sonuç daha önce çeşitli yazarlar tarafından yapılmış olan çalışmalardaki sonuçlara benzer olduğundan ispatlar kısaca geçilmiştir. Belirtmeliyiz ki, burada tümleyen işlemini kapalıları elde etmek için kullanamıyoruz, çünkü kabul ettiğimiz soft küme modeliyle bu mümkün değildir. Daha sonra soft kapalı kümelerden yararlanarak 𝑠𝑠𝐵𝐵𝑓𝑓𝐷𝐷 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖𝐵𝐵𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖 kuracağız. 𝑆𝑆𝐵𝐵𝑓𝑓𝐷𝐷 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖𝐵𝐵𝑒𝑒𝑒𝑒𝑑𝑑𝑒𝑒yaptığımız tüm işlemlerde soft kapalı kümelerden faydalanacağız ve soft açıkları kullanmayacağız. Son olarakta önceki iki bölümde tanımladığımız ve birbirinden bağımsız olan 𝑠𝑠𝐵𝐵𝑓𝑓𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖 ve 𝑠𝑠𝐵𝐵𝑓𝑓𝐷𝐷 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖 kavramlarından yararlanarak 𝑠𝑠𝐵𝐵𝑓𝑓𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐷𝐷𝐵𝐵𝑠𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝑖𝑖𝐵𝐵𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖 tanımlayacağız ve bu uzaydaki bazı özellikleri çalışacağız.
2.1.Temel Kavramlar
2.1.1.Tanım.U evren kümesi, Epotansiyel parametre kümesi ve 𝑨𝑨 ⊂ 𝑽𝑽asıl
parametre kümesi olsun. 𝑭𝑭: 𝑨𝑨 ⟶ 𝓟𝓟(𝑼𝑼)bir dönüşüm olmak üzere (𝑭𝑭, 𝑨𝑨) ikilisinesoft
küme denir ve kısaca 𝑭𝑭𝑨𝑨 simgesiyle gösterilir Burada 𝒆𝒆 ∈ 𝑨𝑨 ise 𝑭𝑭𝑨𝑨(𝒆𝒆) ⊆ 𝑼𝑼olur ancak
𝒆𝒆 ∉ 𝑨𝑨 durumu göz önüne alınmayacaktır.
2.1.1.Uyarı. Bu bölüm boyunca soft küme 2.1.1.Tanım anlamında
düşünülecektir.
2.1.2.Tanım. 𝐹𝐹𝐴𝐴soft kümesinin tümleyeni𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐: 𝐴𝐴 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)dönüşümüdür ve ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑒𝑒) = 𝑈𝑈 − 𝐹𝐹𝐴𝐴(𝑒𝑒)
olur.
2.1.2.Uyarı.Soft kümelerin birleşimi, kesişimi, alt küme işlemleri, 𝑈𝑈𝐸𝐸~tam soft küme veΦ𝐸𝐸boş soft kümeI. bölümde verildiği gibidir.
2.1.1.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖: 𝐴𝐴𝑖𝑖 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)soft kümelerin bir ailesi olsun. Bu durumda soft
kümelerde De-Morgan tipindeki ilişkiler aşağıdaki gibi sağlanır: 𝑖𝑖) (⋂~ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖) 𝑐𝑐 ⊆~ ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼~(𝐹𝐹 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖)𝑐𝑐. 𝑖𝑖𝑖𝑖) (⋃~ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖) 𝑐𝑐 ⊇~⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼~(𝐹𝐹 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖)𝑐𝑐.
2.1.2.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) Φ𝐸𝐸∩~𝐹𝐹𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 ,Φ𝐸𝐸∪~𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 .
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑈𝑈𝐸𝐸~∩~𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝑈𝑈𝐸𝐸~∪~𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐸𝐸~.
2.1.3.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆~𝑈𝑈𝐸𝐸~olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~𝐺𝐺𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~𝐺𝐺𝐵𝐵 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~𝐺𝐺𝐵𝐵 = 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ır.
2.1.4.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵, 𝐻𝐻𝐶𝐶, 𝑆𝑆𝐷𝐷 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~olsun. Aşağıdakiler sağlanır:
𝑖𝑖)𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵olmak üzere 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~𝐺𝐺𝐵𝐵 = Φ𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵𝑐𝑐 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴∪~𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐴𝐴∩~𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐 = Φ𝐴𝐴 𝑒𝑒ş𝑖𝑖𝐷𝐷𝐵𝐵𝑖𝑖𝑘𝑘𝐵𝐵𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑚𝑚ğ𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚ı𝑒𝑒.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝐺𝐺𝐵𝐵𝑐𝑐 ⊆~ 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆~𝐻𝐻𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐻𝐻𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑢𝑢𝑒𝑒.
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐻𝐻𝐶𝐶 ⊆~ 𝑆𝑆𝐷𝐷 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~𝐻𝐻𝐶𝐶 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵∩~𝑆𝑆𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑢𝑢𝑒𝑒.
2.1.3.Uyarı. Kharal ve Ahmad (2011) “Mappings on Soft Classes” isimli
çalışmalarında soft kümelerin aileleri arasında dönüşümü tanımlamıştır. Bizde bu tanıma benzer olarak soft kümeler arasındaki dönüşümü aşağıdaki gibi düzenledik:
2.1.3.Tanım.𝑈𝑈, 𝑉𝑉iki evren kümesi 𝐸𝐸, 𝑃𝑃 iki potansiyel parametre kümesi,
𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ve 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃), sırasıyla (𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ve (𝑉𝑉, 𝑃𝑃) üzerinde tanımlı soft kümelerin aileleri olsun. 𝜑𝜑: 𝑈𝑈 ⟶ 𝑉𝑉ve𝜓𝜓: 𝐸𝐸 ⟶ 𝑃𝑃 iki fonksiyon olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)fonksiyonu altında,
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) soft kümesinin görüntüsü,
𝜑𝜑𝜓𝜓((𝐹𝐹𝐴𝐴)(𝑒𝑒)) = 𝜑𝜑(⋃𝑒𝑒∈𝜓𝜓−1(𝑠𝑠)𝐹𝐹(𝑒𝑒)), ∀𝑠𝑠 ∈ 𝜓𝜓(𝐴𝐴), 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)soft kümesinin ters görüntüsü,
𝜑𝜑𝜓𝜓−1((𝐺𝐺𝐵𝐵)(𝑠𝑠)) = 𝜑𝜑−1(𝐺𝐺𝐵𝐵(𝜓𝜓(𝑒𝑒))), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝜓𝜓−1(𝐵𝐵) olaraktanımlanmıştır.
𝜑𝜑ve𝜓𝜓 dönüşümleri bire-bir ise 𝜑𝜑𝜓𝜓dönüşümüne bire-bir,𝜑𝜑 ve 𝜓𝜓 dönüşümleri örtense 𝜑𝜑𝜓𝜓dönüşümüne örten adı verilir.
2.1.4.Uyarı. Sıradaki üç teorem Kharal ve Ahmad (2011) tarafından “Mappings
on Soft Classes” isimli çalışmalarında verilmiştir. Biz bu teoremleri parametre kümesinde değişiklik yaparak tanımladığımız soft kümeler için yeniden düzenledik.
2.1.5.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓: 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)bir fonksiyon, 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ve 𝐹𝐹𝑖𝑖
𝐴𝐴𝑖𝑖, 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)’de soft kümelerin bir ailesi olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓(Φ𝐴𝐴) = ΦΨ(𝐴𝐴), 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑈𝑈𝐸𝐸~) ⊆~𝑉𝑉𝑃𝑃~. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓�⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼∼𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖� = ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼∼𝜑𝜑𝜓𝜓�𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖�.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓�⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼∼𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖� ⊆~ ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼∼𝜑𝜑𝜓𝜓�𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖�. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~𝐺𝐺𝐵𝐵ise𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴) ⊆~ 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐺𝐺𝐵𝐵).
2.1.6.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓: 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)bir fonksiyon, 𝐻𝐻𝐶𝐶, 𝑆𝑆𝐷𝐷 ∈ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) ve 𝐻𝐻𝑖𝑖
𝐶𝐶𝑖𝑖, 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)’de soft kümelerin bir ailesi olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(Φ𝑃𝑃) = Φ𝐸𝐸, 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(V𝑃𝑃~) = U𝐸𝐸~. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓−1�⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼∼𝐻𝐻𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓−1�⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼∼𝐻𝐻𝑖𝑖
𝐶𝐶𝑖𝑖� = ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼∼𝜑𝜑𝜓𝜓−1�𝐻𝐻𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖�.
2.1.7.Teorem. 𝜑𝜑𝜓𝜓: 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)bir fonksiyon ve 𝐻𝐻𝐶𝐶 ∈ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) olsun.
Aşağıdaki özellikler sağlanır: 𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝜑𝜑𝜓𝜓−1(F𝐴𝐴)) ⊆~ 𝐹𝐹𝐴𝐴. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(F𝐴𝐴𝑐𝑐)=(𝜑𝜑𝜓𝜓−1(F𝐴𝐴))𝑐𝑐. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝜑𝜑𝜓𝜓−1( 𝜑𝜑𝜓𝜓(F𝐴𝐴)).
2.2.Soft Açıklar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Topolojik Uzaylar
2.2.1. Soft Topoloji
Bu kesimdeÇağman ve ark.(2011),Zorlutuna ve ark. (2011), Kharal ve Ahmad (2011),Aygünoğlu ve Aygün (2011), Shabir ve Naz(2013) tarafından soft topolojide verilmiş bazı kavramları, sonuçları ve yapıları hatırlatacağız. Ancak bu çalışmalarda elde edilen sonuçlardan 𝐸𝐸potansiyelve𝐴𝐴 asıl parametre kümelerinin yorumlanışı bakımındanayrılmaktayız. Bunun yanısıra bu kesimde sadece açıklarla ilgili özellikleri kullanırken kapalılarla ilgili özellikleri kullanmaktan kaçınacağız.
2.2.1.1.Tanım.𝑈𝑈evren kümesi ve 𝐸𝐸potansiyel parametre kümesi olsun. 𝑈𝑈𝐸𝐸~tam soft kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olan 𝜏𝜏, aşağıdaki özellikleri sağlarsa soft
topoloji olarak adlandırılır:
𝑖𝑖) Φ𝐴𝐴, 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ∈ 𝜏𝜏,
𝑖𝑖𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼~𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏, 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐴𝐴∩~𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏.
𝜏𝜏ailesinin her elemanına soft açık küme ve (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏) ikilisine soft topolojik uzaydenir.
2.2.1.2.Tanım.𝑈𝑈𝐸𝐸~üzerinde tanımlı 𝜏𝜏1 ve 𝜏𝜏2 soft topolojileri verilmiş olsun. Her 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏2 için 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏1 oluyorsa 𝜏𝜏2 soft topolojisine 𝜏𝜏1 soft topolojisinden daha kaba denir.
2.2.1.1.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1)ve(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏2) iki soft topolojik uzaysa (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1∩ 𝜏𝜏2)uzayı
da soft topolojik uzaydır.
𝑖𝑖𝑖𝑖) Her 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 için (𝐹𝐹𝐴𝐴)𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1∩ 𝜏𝜏2 olsun. Buradan
(𝐹𝐹𝐴𝐴)𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1 , (𝐹𝐹𝐴𝐴)𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏2 𝑖𝑖𝑒𝑒 ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼~(𝐹𝐹𝐴𝐴)𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1, ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼~(𝐹𝐹𝐴𝐴)𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏2 dir. Böylece ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼~(𝐹𝐹𝐴𝐴)𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1∩ 𝜏𝜏2 olur.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1∩ 𝜏𝜏2olsun. Buradan
𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1, 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏2 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1, , 𝐹𝐹𝐴𝐴∩~𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏2 dir. Böylece 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1∩ 𝜏𝜏2 olur.
2.2.1.2.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ise her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için
(𝑈𝑈(𝑒𝑒), 𝜏𝜏(𝑒𝑒))uzayı da bir topolojik uzaydır.
2.2.1.1. Uyarı. 2.2.1.1. Teorem ve 2.2.1.2. Teoremlerin ispatı Shabir ve Naz
(2011) tarafından yapılmış çalışmadaki ispatlara benzer olarak yapılmıştır.
2.2.1.3.Tanım.𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ⊆ 𝐸𝐸 ve 𝐹𝐹𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için 𝑥𝑥𝐴𝐴(𝑒𝑒) = 𝑥𝑥 şeklinde tanımlanan 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft kümesine soft nokta denir.
Eğer her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için 𝑥𝑥 ∈ 𝐹𝐹𝐵𝐵(𝑒𝑒) ise 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktası 𝐹𝐹𝐵𝐵 soft kümesinin bir
elemanıdır denir ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~𝐹𝐹𝐵𝐵 şeklinde gösterilir.
2.2.1.4.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay, 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ve 𝐹𝐹𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐺𝐺𝐶𝐶 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐵𝐵olacak şekilde bir 𝐺𝐺𝐶𝐶 soft açığı varsa 𝐹𝐹𝐵𝐵 soft kümesine 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının 𝝉𝝉-soft komşuluğu denir. 𝑥𝑥𝐴𝐴soft noktasının bütün 𝜏𝜏-soft komşuluklarının ailesini𝒩𝒩(𝑥𝑥𝐴𝐴) ile göstereceğiz.
2.2.1.2.Uyarı. 𝑈𝑈𝐸𝐸~soft kümesinin her 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının 𝜏𝜏-soft komşuluğu olduğu ve 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝒩𝒩(𝑥𝑥𝐴𝐴),𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆∼𝐻𝐻𝐶𝐶 ise 𝐻𝐻𝐶𝐶 ∈ 𝒩𝒩(𝑥𝑥𝐴𝐴)olduğu kolaylıkla görülebilir.
2.2.1.5.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐻𝐻𝐶𝐶 ⊆∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵olacak şekilde 𝐻𝐻𝐶𝐶 soft açığı varsa 𝐺𝐺𝐵𝐵 soft kümesine 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin 𝝉𝝉-soft komşuluğu denir. 𝐹𝐹𝐴𝐴soft kümesinin bütün 𝜏𝜏-soft komşuluklarının ailesini𝒩𝒩(𝐹𝐹𝐴𝐴) simgesi ile göstereceğiz.
2.2.1.6.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴soft kümesinin soft içi𝐹𝐹𝐴𝐴° simgesi ile gösterilir ve
𝐹𝐹𝐴𝐴°= ⋃~𝑖𝑖∈𝐼𝐼{𝐺𝐺𝐵𝐵𝑖𝑖 ⊆∼𝑈𝑈𝐸𝐸~: 𝐺𝐺𝐵𝐵𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐺𝐺𝐵𝐵𝑖𝑖 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴} şeklinde tanımlanır.
2.2.1.3.Uyarı.Sıradaki iki teoremin ispatını Çağmanve ark.(2011), Shabir ve
Naz(2011),Hussain ve Ahmad. (2011) tarafından yazılmış makalelerde verilmiş benzer teoremlerin ispatlarından faydalanarak elde edebiliriz.
2.2.1.3.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Aşağıdaki
özellikler sağlanır: 𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴° ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴°soft kümesi 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinde kapsanan en büyük soft açıktır. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐴𝐴° = 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒. 𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴°)°= 𝐹𝐹𝐴𝐴°.
𝑖𝑖) 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 ΦA° = ΦA 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑈𝑈𝐸𝐸~°= 𝑈𝑈𝐸𝐸~ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑢𝑢𝑒𝑒.
2.2.1.4.Teorem. (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐴𝐴°⊆∼𝐺𝐺𝐵𝐵°. 𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴∩∼𝐺𝐺𝐵𝐵)° = 𝐹𝐹𝐴𝐴°∩∼𝐺𝐺𝐵𝐵°. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴∪∼𝐺𝐺𝐵𝐵)° ⊇~ 𝐹𝐹𝐴𝐴°∪∼𝐺𝐺𝐵𝐵°.
2.2.2. 𝝉𝝉-soft Sürekli ve Soft Açık Fonksiyonlar
Bu kesimde soft topolojik uzaylarda dönüşümlerle ilgili kavramlar tekrar gözden geçirilecektir.
2.2.2.1. Tanım(Zorlutuna ve ark, 2012).(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1)ve(𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) iki soft topolojik
uzay, 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~𝑈𝑈𝐸𝐸~ bir soft nokta ve 𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉, 𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃 fonksiyonlarolmak üzere 𝜑𝜑𝜓𝜓: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑥𝑥𝐴𝐴)soft noktasının her 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴)𝜏𝜏-soft komşuluğu için 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐻𝐻𝐴𝐴) ⊆∼ 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir 𝐻𝐻𝐴𝐴𝜏𝜏-soft komşuluğu varsa 𝜑𝜑𝜓𝜓 dönüşümüne 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝝉𝝉-soft sürekli fonksiyon denir. 𝜑𝜑𝜓𝜓dönüşümü𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesinin her soft noktasında 𝜏𝜏-soft sürekli ise 𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde
𝜏𝜏-soft süreklidir.
2.2.2.1.Uyarı. Aşağıdaki dört teoremin ispatı Aygünoğlu ve Aygün(2011),
Zorlutuna ve ark. (2012) tarafından yazılmış makalelerde verilmiş benzer teoremlerin ispatlarından faydalanılarak yapılmıştır.
2.2.2.1.Teorem. 𝜑𝜑𝜓𝜓: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)fonksiyonu için aşağıdaki koşullar
eşdeğerdir:
𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓fonksiyonu𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝜏𝜏-soft süreklidir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑥𝑥𝐴𝐴)soft noktasının her 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴)𝜏𝜏-soft komşuluğu için 𝐻𝐻𝐴𝐴 ⊆~ 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴)) olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir 𝐻𝐻𝐴𝐴𝜏𝜏-soft komşuluğu vardır.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑥𝑥𝐴𝐴)soft noktasının her 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) 𝜏𝜏-soft komşuluğunun ters görüntüsü olan 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴))soft kümesi 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir 𝜏𝜏-soft komşuluğudur.
2.2.2.2.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)soft fonksiyonunun 𝜏𝜏-soft sürekli
olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵𝜏𝜏2 soft topolojisine göre soft açık olan her soft kümenin ters görüntüsünün 𝜏𝜏1 soft topolojisine göre soft açık bir küme 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.
2.2.2.3.Teorem.𝑈𝑈, 𝑉𝑉, 𝑊𝑊evren kümeleri, 𝐸𝐸, 𝑃𝑃, 𝐾𝐾potansiyel parametre kümeleri,
𝜑𝜑1: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉,𝜑𝜑2: 𝑉𝑉 → 𝑊𝑊, 𝜓𝜓1: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃, 𝜓𝜓2: 𝑃𝑃 → 𝐾𝐾 fonksiyonlar, (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1), (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) ve (𝑊𝑊𝐾𝐾~, 𝜏𝜏3)soft topolojik uzaylar,
(𝜑𝜑𝜓𝜓)1= (𝜑𝜑1, 𝜓𝜓1): (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)ve(𝜑𝜑𝜓𝜓)2 = (𝜑𝜑2, 𝜓𝜓2): (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) → (𝑊𝑊𝐾𝐾~, 𝜏𝜏3)
soft fonksiyonlar olsun. (𝜑𝜑𝜓𝜓)1, (𝜑𝜑𝜓𝜓)2fonksiyonları𝜏𝜏-soft sürekli ise (𝜑𝜑𝜓𝜓)2𝜊𝜊(𝜑𝜑𝜓𝜓)1: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑊𝑊
𝐾𝐾~, 𝜏𝜏3)bileşke soft fonksiyonu da 𝜏𝜏-soft süreklidir.
2.2.2.4.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)bir soft fonksiyon olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓soft fonksiyonunun 𝜏𝜏-soft sürekli olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵
∀𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~𝑉𝑉𝑃𝑃~ 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜑𝜑𝜓𝜓−1�𝐹𝐹𝐴𝐴°� ⊆~ (𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝐹𝐹𝐴𝐴))° 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.
2.2.2.1.Örnek.𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑈𝑈, 𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝐸𝐸birim dönüşümler olsun.
𝑖𝑖 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏2)
birim soft fonksiyonunun 𝜏𝜏-soft sürekli olması için
𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵𝜏𝜏2 ⊆~ 𝜏𝜏1𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.
2.2.2.2.Tanım (Aygünoğlu ve Aygün, 2011).𝜑𝜑𝜓𝜓: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)soft
fonksiyon olsun. Her 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏1 için 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴) ∈ 𝜏𝜏2 ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft fonksiyonuna soft
2.2.2.5.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)soft fonksiyonunun soft açık olması
için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵
∀𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴°) ⊆~(𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴))° 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.
İspat.⇒: 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴°∈ 𝜏𝜏1ve𝜑𝜑𝜓𝜓soft açık fonksiyonolduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴°) ∈ 𝜏𝜏2dir. Diğer taraftan 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴°) ⊆~𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴) ve böylece
𝜑𝜑𝜓𝜓�𝐹𝐹𝐴𝐴°� = (𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴°))° ⊆~ (𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴))° bağıntısı sağlanır.
⇐ : 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~bir soft açık küme olsun. O halde hipotez yardımıyla 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴) = 𝜑𝜑𝜓𝜓�𝐹𝐹𝐴𝐴°�
⊆~(𝜑𝜑
𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴))°
ifadesini elde ederiz. Bu da 𝜑𝜑𝜓𝜓soft fonksiyonunun soft açık olduğunu gösterir.
2.2.2.6.Teorem.𝑈𝑈, 𝑉𝑉, 𝑊𝑊evren kümeleri, 𝐸𝐸, 𝑃𝑃, 𝐾𝐾potansiyel parametre kümeleri,
𝜑𝜑1: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉 , 𝜑𝜑2: 𝑉𝑉 → 𝑊𝑊, 𝜓𝜓1: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃, 𝜓𝜓2: 𝑃𝑃 → 𝐾𝐾 fonksiyonlar, (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1), (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) ve (𝑊𝑊𝐾𝐾~, 𝜏𝜏3)soft topolojik uzaylar,
(𝜑𝜑𝜓𝜓)1 = (𝜑𝜑1, 𝜓𝜓1): (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) 𝑖𝑖𝑒𝑒 (𝜑𝜑𝜓𝜓)2 = (𝜑𝜑2, 𝜓𝜓2): (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) → (𝑊𝑊𝐾𝐾~, 𝜏𝜏3) soft fonksiyonlar olsun. Eğer (𝜑𝜑𝜓𝜓)1 ve (𝜑𝜑𝜓𝜓)2fonksiyonları soft açıksa
(𝜑𝜑𝜓𝜓)2𝐵𝐵(𝜑𝜑𝜓𝜓)1: (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑊𝑊𝐾𝐾~, 𝜏𝜏3) bileşke soft fonksiyonu da soft açıktır.
İspat.𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~𝑈𝑈𝐸𝐸~bir soft açık küme olsun. O halde (𝜑𝜑𝜓𝜓)1(𝐹𝐹𝐴𝐴) soft kümesi 𝜏𝜏2 soft topolojisinde soft açıktır. (𝜑𝜑𝜓𝜓)2soft açık fonksiyon olduğundan
�𝜑𝜑𝜓𝜓�2((𝜑𝜑𝜓𝜓)1(𝐹𝐹𝐴𝐴)) = ((𝜑𝜑𝜓𝜓)2 𝐵𝐵(𝜑𝜑𝜓𝜓)1)(𝐹𝐹𝐴𝐴)
soft kümesi de 𝜏𝜏3 soft topolojisine göre soft açık kümedir. Bu da (𝜑𝜑𝜓𝜓)2𝐵𝐵(𝜑𝜑𝜓𝜓)1bileşke soft fonksiyonunun soft açık olduğunu gösterir.
2.2.2. 𝝉𝝉-ayırma Aksiyomları
Soft topolojik uzaylar için ayırma aksiyomları ilk kez Shabir ve Naz (2011) tarafından verildi. Shabir ve Naz’ın çalışmasında ayırma aksiyomları klasik noktalardan faydalanılarak tanımlanmıştır. Biz ise bu çalışmadan farklı olarak soft noktalardan
yararlanarak ayırma aksiyomlarını aşağıdaki gibi yeniden verdik ve ayırma aksiyomlarını soft topolojik uzaylarda inceledik.
2.2.3.1.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir softtopolojik uzay olmak üzere her 𝑥𝑥𝐴𝐴, 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~
farklı soft nokta çifti için
𝑥𝑥𝐴𝐴soft noktasının 𝑦𝑦𝐴𝐴soft noktasını içermeyen bir 𝐺𝐺𝐴𝐴𝜏𝜏-soft komşuluğu ya da 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasının𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir𝐻𝐻𝐴𝐴𝜏𝜏-soft komşuluğu varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~,
𝜏𝜏)uzayına𝝉𝝉-soft 𝑻𝑻𝟎𝟎-uzay,
𝑥𝑥𝐴𝐴soft noktasının 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir 𝐺𝐺𝐴𝐴𝜏𝜏-soft komşuluğu ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasının𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir 𝐻𝐻𝐴𝐴𝜏𝜏-soft komşuluğu varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~,
𝜏𝜏)uzayına𝝉𝝉-soft 𝑻𝑻𝟏𝟏-uzay,
𝑥𝑥𝐴𝐴ve𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktalarının 𝐺𝐺𝐴𝐴∩~𝐻𝐻𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde sırasıyla 𝐺𝐺𝐴𝐴, 𝐻𝐻𝐴𝐴𝜏𝜏-soft komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)uzayına𝝉𝝉-soft 𝑻𝑻𝟐𝟐-uzay denir.
2.2.3.1.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)birsofttopolojik uzay olmak üzere her 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft noktası için 𝑥𝑥𝐴𝐴𝑐𝑐soft kümesi soft açıksa (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)soft topolojik uzayı𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1dır.
İspat. 𝑥𝑥𝐴𝐴𝑐𝑐soft açık küme ve 𝑥𝑥𝐴𝐴, 𝑦𝑦𝐴𝐴soft noktaları𝑈𝑈𝐸𝐸~soft kümesinde herhangi iki farklı soft nokta olsun. O halde 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑥𝑥𝐴𝐴𝑐𝑐, 𝑥𝑥
𝐴𝐴 ∉~ 𝑥𝑥𝐴𝐴𝑐𝑐 ve benzer olarak 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑦𝑦𝐴𝐴𝑐𝑐 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∉~ 𝑦𝑦𝐴𝐴𝑐𝑐 dir. Bu da bize (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)uzayının𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1-uzay olduğunu gösterir.
2.2.3.1.Uyarı. Kolaylıkla görebiliriz ki, (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2-uzay ise 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzayıdır ve (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1-uzay ise 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇0-uzayıdır. Bu durumların karşıtı aşağıdaki örneklerde de görüleceği gibi genellikle doğru değildir.
2.2.3.1.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑧𝑧}evren kümesi, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3, 𝑒𝑒4}potansiyel parametre
kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2}asıl parametre kümesi ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥, 𝑧𝑧}�, 𝐺𝐺𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = ∅}olmak üzere 𝜏𝜏 = {ΦA, 𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴𝐴} bir soft topoloji olsun. (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)soft topolojik uzayının bir𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇0-uzayı olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Ancak 𝑧𝑧𝐴𝐴 soft noktasını kapsayıp 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını kapsamayan hiçbir 𝜏𝜏-soft açık küme olmadığından (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)soft topolojikuzayıbir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1-uzayı değildir.
2.2.3.2.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}evren kümesi, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3}potansiyel parametre
kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2}, 𝐵𝐵 = {𝑒𝑒1}, 𝐶𝐶 = {𝑒𝑒2} asıl parametre kümeleri, 𝐹𝐹𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}�,
𝐷𝐷𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦}�, 𝑇𝑇𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥}�, 𝐻𝐻𝐵𝐵 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}�, 𝐾𝐾𝐵𝐵 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦}�, 𝐼𝐼𝐶𝐶 = �𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦}�, 𝐿𝐿𝐶𝐶 = �𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥}�
olmak üzere 𝜏𝜏 = {Φ𝐴𝐴, 𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴𝐴, 𝐷𝐷𝐴𝐴, 𝑇𝑇𝐴𝐴, 𝐻𝐻𝐵𝐵, 𝐾𝐾𝐵𝐵, 𝐼𝐼𝐶𝐶, 𝐿𝐿𝐶𝐶} olsun. (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)soft topolojik uzayı bir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1-uzayıdır ancak 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2-uzayı değildir çünkü 𝑥𝑥𝐴𝐴 ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktalarının 𝐺𝐺𝐴𝐴 ∩~𝐻𝐻𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde 𝐺𝐺𝐴𝐴, 𝐻𝐻𝐴𝐴 soft açık kümeleri yoktur.
2.2.3.2.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1), (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) iki soft topolojik uzay ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)bire-bir ve 𝜏𝜏-soft sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)uzayı 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 ise (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) uzayı da 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2-uzayıdır.
İspat.𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴ikifarklı soft nokta olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓soft fonksiyonubire-bir olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑥𝑥𝐴𝐴) ≠ 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑦𝑦𝐴𝐴)’dır. O halde 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑥𝑥𝐴𝐴),𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑦𝑦𝐴𝐴) soft noktalarının 𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴)∩~𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde sırasıyla 𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴) ve 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴)𝜏𝜏-soft komşulukları vardır. 𝜑𝜑𝜓𝜓softfonksiyonu 𝜏𝜏-soft sürekli olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴)) ve 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴)) soft kümeleri 𝑥𝑥𝐴𝐴ve𝑦𝑦
𝐴𝐴 soft noktalarının 𝜏𝜏-soft komşuluklarıdır ve
𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴)) ∩~𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴)) = Φ𝐴𝐴 dır. Bu da (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1)soft topolojik uzayının bir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇
2-uzayı olduğunu gösterir.
2.2.3.3.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1), (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2) iki soft topolojik uzay ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)bire-bir, örten ve soft açık bir fonksiyon olsun. Eğer (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1)soft topolojik uzayı𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2-uzayı ise (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)soft topolojikuzayı da 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -uzayıdır.
İspat.𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑥𝑥𝐴𝐴) ≠ 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑦𝑦𝐴𝐴)ikifarklı soft nokta olsun. O halde 𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴’dır. (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏1)uzayı𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 olduğundan 𝑥𝑥𝐴𝐴 ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktalarının 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~𝐺𝐺𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde sırasıyla 𝐹𝐹𝐴𝐴 ve𝐺𝐺𝐴𝐴𝜏𝜏-soft açık komşulukları vardır. 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft açık fonksiyon olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴) ve𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐺𝐺𝐴𝐴) soft kümeleri sırasıyla 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑥𝑥𝐴𝐴), 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝑦𝑦𝐴𝐴) soft noktalarının𝜏𝜏-soft açık komşuluklarıdır ve 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐹𝐹𝐴𝐴) ∩~𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐺𝐺𝐴𝐴) = Φ𝜓𝜓(𝐴𝐴)dır. Böylece (𝑉𝑉𝑃𝑃~, 𝜏𝜏2)bir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2-uzayıdır.
2.2.3.2.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay olsun. Her 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft noktası ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐 ∈ 𝜏𝜏 şeklindeki boş kümeden farklı her 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesi için 𝐺𝐺𝐴𝐴∩~𝐻𝐻𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının ve𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin sırasıyla 𝐺𝐺𝐴𝐴 ve 𝐻𝐻𝐴𝐴𝜏𝜏-soft açık komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)soft topolojikuzayına 𝝉𝝉-soft regüler
uzaydenir.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)soft topolojik uzayı hem 𝜏𝜏-soft regüler hem de𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1-uzayıysa 𝝉𝝉-soft 𝑻𝑻𝟑𝟑-uzayıolarak adlandırılır.
2.2.3.2.Uyarı. Aşağıdaki örnekte 𝜏𝜏-soft regüler uzayın her zaman 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1-uzayı olmadığı görülür:
2.2.3.3.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧}bir evren kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1}asıl parametre kümesi
𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3}potansiyel parametre kümesi ve
𝜏𝜏 = {Φ𝐴𝐴, 𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝐹𝐹𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}�, 𝐺𝐺𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦, 𝑧𝑧}�, 𝐻𝐻𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧}�} olmak üzere (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏) uzayı𝜏𝜏-soft regüler uzaydır ancak 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1-uzayı değildir.
2.2.3.3.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴∩~𝐺𝐺𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴ve𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐, 𝐺𝐺𝐴𝐴𝑐𝑐 ∈ 𝜏𝜏 şeklindeki boş kümeden farklı her 𝐹𝐹𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴𝐴 ⊆∼𝑈𝑈𝐸𝐸~soft kümesi için 𝑉𝑉
𝐴𝐴∩~𝑊𝑊𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde sırasıyla 𝑉𝑉𝐴𝐴 ve 𝑊𝑊𝐴𝐴𝜏𝜏-soft açık komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏)soft topolojikuzayına 𝝉𝝉-soft normal uzay denir.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏), hem 𝜏𝜏-soft normal hem de𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇
1-uzayıysa 𝝉𝝉-soft 𝑻𝑻𝟒𝟒-uzayıolarak adlandırılır.
2.3.Soft Kapalılar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Kotopolojik Uzaylar
2.3.1. Soft Kotopoloji
2.3.1.1.Tanım.𝑈𝑈 bir evren kümesi ve 𝐸𝐸potansiyel parametre kümesi olsun.
𝑈𝑈𝐸𝐸~tam soft kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olan 𝜅𝜅 aşağıdaki koşulları sağlarsa soft
kotopoloji olarak adlandırılır:
𝑖𝑖) Φ𝐴𝐴, 𝑈𝑈𝐸𝐸~∈ 𝜅𝜅 ,
𝑖𝑖𝑖𝑖) {(𝐾𝐾𝐴𝐴)𝑖𝑖 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~: 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} ⊆ 𝜅𝜅𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒⋂~𝑖𝑖∈𝐼𝐼(𝐾𝐾𝐴𝐴)𝑖𝑖 ∈ 𝜅𝜅, 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐾𝐾𝐴𝐴, 𝐿𝐿𝐵𝐵 ∈ 𝜅𝜅𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒𝐾𝐾𝐴𝐴∪~𝐿𝐿𝐵𝐵 ∈ 𝜅𝜅dır.
𝜅𝜅ailesinin her elemanına soft kapalı küme ve (𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜅𝜅)ikilisinesoft kotopolojik
