Fuzzy Soft Quasi Ayırma Aksiyomları

3.2.1.Tanım.�𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓�fuzzy soft topolojik uzay olsun.Her 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝐴𝐴μ_𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈,

𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)farklıfuzzy soft nokta çifti için.

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝜇𝜇𝑦𝑦)𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐

olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft açık kümeleri varsa (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)uzayınafuzzy soft

quasi𝑻𝑻𝟎𝟎denir.

3.2.1.Lemma.𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔_𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~ (𝑔𝑔_𝐴𝐴 )𝑐𝑐dir.

İspat.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴olsun. O halde

∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) > 1 olur ve buradan𝜆𝜆 > 1 − 𝜇𝜇_𝑔𝑔𝑒𝑒_𝐴𝐴(𝑥𝑥)=𝜇𝜇_𝑔𝑔

𝐴𝐴𝑐𝑐

𝑒𝑒 _{(𝑥𝑥) elde edilir. Sonuç olarak𝐴𝐴𝑥𝑥}𝜆𝜆 _∉~ _(𝑔𝑔

𝐴𝐴 )𝑐𝑐 olduğu görülür.

3.2.1.Teorem.(𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₀-uzay ise 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝐴𝐴𝜇𝜇_𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktaları için

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉ (𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)− 𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇 ∉ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)− dır.

İspat.Her𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝐴𝐴μ𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktası için�𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓� fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₀-uzay olduğundan

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆_{𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴} 𝑦𝑦

𝜇𝜇₎𝑐𝑐 _{𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐴𝐴} 𝑦𝑦

𝜇𝜇_{𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥}𝜆𝜆₎𝑐𝑐

olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 vardır. İlk durumu göz önüne alalım. 3.2.1.Lemmadan𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~ (𝑔𝑔_𝐴𝐴 )𝑐𝑐ve 𝐴𝐴_𝑦𝑦𝜇𝜇 ⊑ 𝑔𝑔_𝐴𝐴𝑐𝑐dir. 𝑔𝑔_𝐴𝐴𝑐𝑐fuzzy soft kümesi fuzzy soft kapalı olduğundan (𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)−⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐 olur. Böylece 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~(𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)−dır. Benzer işlem ikinci durum için de yapılabilir ve ispat tamamlanır.

3.2.2.Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(𝑋𝑋, 𝜏𝜏)bir fuzzy topolojik uzay olsun.

𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑈𝑈 ≤ (𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞𝑉𝑉 ≤ (𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐

olacak şekilde 𝑈𝑈, 𝑉𝑉fuzzy açık kümeleri varsa (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) fuzzy topolojik uzayına quasi𝑻𝑻𝟎𝟎- uzay denir.

3.2.2.Teorem.(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)fuzzy soft quasi T0-uzay ise her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸

için(𝑓𝑓_𝐴𝐴(𝑒𝑒), 𝜏𝜏_{𝑓𝑓𝑒𝑒})fuzzy quasi 𝑇𝑇₀-uzaydır.

İspat.Her 𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝑦𝑦𝜇𝜇farklı fuzzy noktaları için𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ve 𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇 iki farklı fuzzy soft noktadır. (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi T0-uzay olduğundan,

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆_{𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴} 𝑦𝑦

𝜇𝜇_{)𝑐𝑐𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐴𝐴} 𝑦𝑦

𝜇𝜇_{𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐} olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 vardır. Buradan

∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴(𝑒𝑒) ⊑ (𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐_{𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴(𝑒𝑒) ⊑ (𝑥𝑥𝜆𝜆)}𝑐𝑐

olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴(𝑒𝑒), ℎ𝐴𝐴(𝑒𝑒) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 vardır. O halde (𝑓𝑓𝐴𝐴(𝑒𝑒), 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒) bir fuzzy quasi T0- uzaydır.

3.2.3.Teorem.(1_𝑈𝑈~_𝐸𝐸, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi T₀-uzay ise(1_𝐸𝐸~𝑉𝑉, 𝜏𝜏_{𝑓𝑓𝑉𝑉}) de bir fuzzy soft quasi T₀-uzaydır.

İspat.(𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi T0-uzay olsun. Her 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝐴𝐴𝑦𝑦μ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktası için

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐

olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 vardır. İlk durumu göz önüne alalım. 𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉olduğundan 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞(1𝐸𝐸~𝑉𝑉 ⊓ 𝑔𝑔𝐴𝐴) ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 1𝐸𝐸~𝑉𝑉 ⊓ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑉𝑉

sağlanır. İkinci durum için de ispat benzer şekilde yapılır. Sonuç olarak (1𝐸𝐸~𝑉𝑉, 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑉𝑉) de bir fuzzy soft quasi T₀-uzaydır.

3.2.3.Tanım.�𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓�birfuzzy soft topolojik uzay olsun. Her𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝐴𝐴𝑦𝑦μ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)farklı fuzzy soft nokta çifti için

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆_{𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴} 𝑦𝑦

𝜇𝜇₎𝑐𝑐 _{𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐴𝐴} 𝑦𝑦

𝜇𝜇_{𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥}𝜆𝜆₎𝑐𝑐

olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 varsa (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓) uzayınafuzzy soft quasi𝑻𝑻𝟏𝟏–uzayı𝑑𝑑𝑒𝑒𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒.

3.2.4.Teorem.Her 𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈 için 𝐴𝐴1_𝑥𝑥 fuzzy soft kapalı küme ise(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓) bir fuzzy soft

İspat. Her𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝐴𝐴𝑦𝑦μ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktası için.𝐴𝐴1𝑥𝑥, 𝐴𝐴1𝑦𝑦fuzzy soft kümeleri fuzzy soft kapalı olduğundan,(𝐴𝐴𝑥𝑥1)𝑐𝑐, (𝐴𝐴𝑦𝑦1)𝑐𝑐 fuzzy soft kümeleri fuzzy soft açıktır. Kolayca görülebilir ki,

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞(𝐴𝐴1𝑦𝑦)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞(𝐴𝐴1𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑖𝑖𝑒𝑒(𝐴𝐴1𝑦𝑦)𝑐𝑐 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦μ)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 (𝐴𝐴𝑥𝑥1)𝑐𝑐 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐 dir. Böylece (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)uzayı fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₁–uzayıdır.

3.2.1.Uyarı. 3.2.4.Teoreminin karşıtı genelde aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi

sağlanmaz.

3.2.1.Örnek. 𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒₁, 𝑒𝑒₂} ve 𝜏𝜏_𝑓𝑓 = {0_𝑈𝑈~_𝐸𝐸, 𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝑓𝑓_1𝐴𝐴, 𝑓𝑓_2𝐴𝐴, 𝑓𝑓_3𝐴𝐴, 𝑓𝑓_4𝐴𝐴} bir

fuzzy soft topoloji olsun öyle ki,

𝑓𝑓𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.9, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓1𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.7, 𝑦𝑦0.3}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.4}�, 𝑓𝑓2𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.5, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.4, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓3𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.5, 𝑦𝑦0.3}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.4, 𝑦𝑦0.4}�, 𝑓𝑓4𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.7, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.8}�.

Sonuç olarak�𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓� fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₁–uzayıdır ancak𝐴𝐴𝑥𝑥1 ve 𝐴𝐴𝑦𝑦1fuzzy soft kümeleri fuzzy soft kapalı değildir.

3.2.4. Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(𝑋𝑋, 𝜏𝜏)bir fuzzy topolojik uzay olsun.

Her𝑥𝑥_𝜆𝜆, 𝑦𝑦_𝜇𝜇 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy nokta çifti için eğer 𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑈𝑈 ≤ (𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞𝑉𝑉 ≤ (𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐

olacak şekilde 𝑈𝑈, 𝑉𝑉fuzzy açık kümeleri varsa (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) fuzzy topolojik uzayına quasi𝑻𝑻𝟏𝟏-

uzaydenir.

3.2.5.Teorem.(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₁-uzay ise her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için(𝑓𝑓_𝐴𝐴(𝑒𝑒), 𝜏𝜏_{𝑓𝑓𝑒𝑒}) fuzzy quasi 𝑇𝑇₁-uzaydır.

İspat.𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝑦𝑦𝜇𝜇fuzzy noktaları için 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ve 𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇 iki farklı fuzzy soft noktadır. (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)uzayıbir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1-uzay olduğundan

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐 olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 vardır. Buradan

∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴(𝑒𝑒) ⊑ (𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴(𝑒𝑒) ⊑ (𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐

3.2.6.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝜏𝜏𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₁-uzay ise (1𝐸𝐸~𝑉𝑉, 𝜏𝜏𝑓𝑓_𝑉𝑉) de bir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₁-uzaydır.

İspat.3.2.3.Teoremin ispatına benzer olarak yapılır.

3.2.2.Uyarı.Her fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1-uzay fuzzy soft quasi 𝑇𝑇0-uzaydır. Karşıtı aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi her zaman doğru değildir.

3.2.2.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3} ve

𝑓𝑓1𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥1, 𝑦𝑦0}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥1, 𝑦𝑦0.}�

olmak üzere 𝜏𝜏𝑓𝑓 = {0_𝑈𝑈~_𝐸𝐸, 𝑈𝑈𝐸𝐸~, 𝑓𝑓_1𝐴𝐴} bir fuzzy soft topolojidir ve�𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓� fuzzy soft quasi 𝑇𝑇0–uzayıdır ancak fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1–uzayı değildir.

3.2.5.Tanım.�𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓�fuzzy soft topolojik uzay olsun.Her 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝐴𝐴μ𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)farklıfuzzy soft nokta çifti için

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐, 𝐴𝐴𝜇𝜇𝑦𝑦𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑔𝑔𝐴𝐴 ç𝑚𝑚𝑘𝑘ışı𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑒𝑒ğ𝑖𝑖𝐵𝐵 ℎ𝐴𝐴

olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 varsa (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓) uzayına fuzzy soft quasi𝐓𝐓𝟐𝟐–uzayıdenir.

3.2.6.Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(𝑋𝑋, 𝜏𝜏)bir fuzzy topolojik uzay olsun. Her

𝑥𝑥𝜆𝜆, 𝑦𝑦𝜇𝜇 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy nokta çifti için

𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑈𝑈 ≤ (𝑦𝑦𝜇𝜇)𝑐𝑐,𝑦𝑦𝜇𝜇𝑞𝑞𝑉𝑉 ≤ (𝑥𝑥𝜆𝜆)𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑈𝑈 ç𝑚𝑚𝑘𝑘ışı𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑒𝑒ğ𝑖𝑖𝐵𝐵 𝑉𝑉

olacak şekilde 𝑈𝑈, 𝑉𝑉fuzzy açık kümeleri varsa (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) fuzzy topolojik uzayına

fuzzyquasi𝑻𝑻𝟐𝟐-uzay denir.

3.2.7.Teorem.(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi T₂-uzay ise her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için (𝑓𝑓_𝐴𝐴(𝑒𝑒), 𝜏𝜏_{𝑓𝑓𝑒𝑒}) fuzzy quasi T₂-uzaydır.

İspat.3.2.2.Teoremin ispatına benzer olarak yapılır.

3.2.8.Teorem.(1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)bir fuzzy soft quasi T₂-uzay ise (1𝐸𝐸~𝑉𝑉, 𝜏𝜏𝑓𝑓_𝑉𝑉) de bir fuzzy soft quasi T₂-uzaydır.

İspat. 3.2.3.Teoremin ispatına benzer olarak yapılır. 3.2.7.Tanım.(1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~_{, 𝜏𝜏}

𝑓𝑓)ve(1_{𝑉𝑉𝑃𝑃}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓∗)iki fuzzy soft topolojik uzay olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): �1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓� → �1_{𝑉𝑉𝑃𝑃}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓∗�

bir fuzzy soft dönüşümolsun.𝜑𝜑_𝜓𝜓(𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆)fuzzy soft noktasının her Q-fuzzy soft komşuluğunun ters görüntüsü 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının bir Q-fuzzy soft komşuluğu ise 𝜑𝜑𝜓𝜓dönüşümünefuzzy soft Q-sürekli denir.

3.2.2.Lemma.𝜑𝜑_𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏_𝑓𝑓) → (1_{𝑉𝑉𝑃𝑃}~, 𝜏𝜏_𝑓𝑓∗)bire-bir bir fuzzy soft dönüşüm olsun. Eğer 𝑓𝑓𝐴𝐴𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ise 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝑓𝑓𝐴𝐴)𝑞𝑞𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝑔𝑔𝐴𝐴)dır.

İspat.𝑓𝑓𝐴𝐴𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴olsun. O halde

∀𝑠𝑠 ∈ 𝑃𝑃 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜇𝜇_𝑓𝑓𝑠𝑠_𝐴𝐴(𝑖𝑖) + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑠𝑠_𝐴𝐴(𝑖𝑖) > 1 olacak şekilde bir 𝑖𝑖 ∈ 𝑉𝑉 vardır. Buradan

∀𝑒𝑒 ∈ 𝜓𝜓−1_{(𝑃𝑃) 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚} 𝜑𝜑𝜓𝜓−1_(𝑓𝑓 𝐴𝐴)(𝑒𝑒)(𝑢𝑢) + 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝑔𝑔𝐴𝐴)(𝑒𝑒)(𝑢𝑢) = 𝜇𝜇𝑓𝑓𝐴𝐴 𝜓𝜓(𝑒𝑒)_{�𝜑𝜑(𝑢𝑢)� + 𝜇𝜇} 𝑔𝑔𝐴𝐴 𝜓𝜓(𝑒𝑒)_{�𝜑𝜑(𝑢𝑢)�} = 𝜇𝜇_𝑓𝑓𝑠𝑠_𝐴𝐴(𝑖𝑖) + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑠𝑠𝐴𝐴(𝑖𝑖) > 1

olacak şekilde bir 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 vardır. O halde 𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝑓𝑓𝐴𝐴)𝑞𝑞𝜑𝜑𝜓𝜓−1(𝑔𝑔𝐴𝐴)dır.

3.2.9.Teorem.(1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)ve(1_{𝑉𝑉𝑃𝑃}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓∗)iki fuzzy soft topolojik uzay ve 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓) → (1_{𝑉𝑉𝑃𝑃}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓∗)

bire-bir ve Q-sürekli bir fuzzy soft dönüşüm olsun. Eğer (1_{𝑉𝑉𝑃𝑃}~, 𝜏𝜏_𝑓𝑓∗)uzayı fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₂ise (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏_𝑓𝑓) uzayı da fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₂ dir..

İspat.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆ve𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktalar olsun. O halde 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆) ≠ 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇)

dır. (1_{𝑉𝑉𝑃𝑃}~_{, 𝜏𝜏}

𝑓𝑓∗)fuzzy soft quasi 𝑇𝑇₂-uzay olduğundan

𝑖𝑖𝐴𝐴 ⊑ (𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐴𝐴𝜇𝜇𝑦𝑦))𝑐𝑐, 𝑤𝑤𝐴𝐴 ⊑ (𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆))𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑖𝑖𝐴𝐴 ç𝑚𝑚𝑘𝑘ışı𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑒𝑒ğ𝑖𝑖𝐵𝐵 𝑤𝑤𝐴𝐴

olacak şekilde 𝜑𝜑𝜓𝜓�𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆�, 𝜑𝜑𝜓𝜓(𝐴𝐴𝑦𝑦𝜇𝜇) fuzzy soft noktalarının sırasıyla 𝑖𝑖𝐴𝐴, 𝑤𝑤𝐴𝐴Q-fuzzy soft komşulukları vardır. Sonuç olarak (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓) uzayı fuzzy soft quasi 𝑇𝑇2-uzayıdır.

3.2.8.Tanım.(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)bir fuzzy soft topolojik uzay, 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐 olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 bir fuzzy soft kapalı küme olsun. Eğer 𝑠𝑠𝐴𝐴𝑞𝑞𝐷𝐷𝐴𝐴𝑐𝑐 olacak şekilde𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆_{fuzzy soft noktasının ve 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kapalı kümesinin sırasıyla 𝑠𝑠𝐴𝐴,𝐷𝐷𝐴𝐴Q-fuzzy} soft komşulukları varsa (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓) uzayına fuzzy soft quasi regüler uzay denir.

3.2.3.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒₁, 𝑒𝑒₂, 𝑒𝑒3}, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒₂}olsun.

𝑓𝑓2𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓3𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8}�, 𝑓𝑓4𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.9, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓5𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.6, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓6𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦0.7}, 𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓7𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.7}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓8𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.6}�, 𝑓𝑓9𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓10𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥1, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥1, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓11𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.9, 𝑦𝑦0.1}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦1}�

olmak üzere 𝜏𝜏_𝑓𝑓 = {0_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝑓𝑓_1𝐴𝐴, 𝑓𝑓_2𝐴𝐴, 𝑓𝑓_3𝐴𝐴, 𝑓𝑓_4𝐴𝐴, 𝑓𝑓_5𝐴𝐴, 𝑓𝑓_6𝐴𝐴, 𝑓𝑓_7𝐴𝐴, 𝑓𝑓_8𝐴𝐴, 𝑓𝑓_9𝐴𝐴, 𝑓𝑓_10𝐴𝐴, 𝑓𝑓_11𝐴𝐴} fuzzy soft topolojidir ve (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓) uzayı fuzzy soft quasi regüler uzaydır.

3.2.9.Tanım.(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓) hem fuzzy soft quasi regüler hemde fuzzy soft quasi T₁- uzayı ise (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓) uzayına fuzzy soft quasi𝑻𝑻𝟑𝟑𝑑𝑑𝑒𝑒𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒.

3.2.3.Uyarı.Fuzzy soft quasi regüler olma özelliği aşağıdaki örnekte de

görülebileceği gibi kalıtımsal bir özellik değildir.

3.2.4.Örnek.3.2.3.Örneği göz önüne alalım. (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏_𝑓𝑓) uzayı fuzzy soft quasi regüler olmasına rağmen𝑉𝑉 = {𝑥𝑥} olmak üzere (1𝐸𝐸~𝑉𝑉, 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑉𝑉) alt uzayı fuzzy soft quasi regüler değildir. Çünkü 𝐴𝐴𝑥𝑥0.3 _{fuzzy soft noktası ve𝑓𝑓}

10𝑐𝑐𝐴𝐴 fuzzy soft kapalı kümesi için 𝑠𝑠𝐴𝐴𝑞𝑞𝐷𝐷𝐴𝐴𝑐𝑐 _{olacak şekilde sırasıyla 𝑠𝑠}

𝐴𝐴, 𝐷𝐷𝐴𝐴Q-fuzzy soft komşulukları yoktur.

3.2.10.Tanım.�𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓�bir fuzzy soft topolojik uzay, 𝑔𝑔_𝐴𝐴veℎ_𝐴𝐴, 𝑔𝑔_𝐴𝐴𝑞𝑞 ℎ_𝐴𝐴𝑐𝑐 olacak şekilde iki fuzzy soft kapalı küme olsun. 𝑔𝑔𝐴𝐴veℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümelerinin, 𝑠𝑠𝐴𝐴𝑞𝑞𝐷𝐷𝐴𝐴𝑐𝑐 olacak şekilde sırasıyla 𝑠𝑠𝐴𝐴 ve 𝐷𝐷𝐴𝐴Q-fuzzy soft komşulukları varsa �𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓�uzayınafuzzy

softquasi normal uzaydenir.

3.2.5.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒₁, 𝑒𝑒₂, 𝑒𝑒3}, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒₂}olsun.

𝑓𝑓1𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.3, 𝑦𝑦0.5}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.5, 𝑦𝑦0.4}�, 𝑓𝑓2𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6, 𝑦𝑦0.4}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.2, 𝑦𝑦0.7}�, 𝑓𝑓3𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6, 𝑦𝑦0.5}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.5, 𝑦𝑦0.7}�,

𝑓𝑓4𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.3, 𝑦𝑦0.4}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.2, 𝑦𝑦0.4}�, 𝑓𝑓5𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.9, 𝑦𝑦0.9}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8, 𝑦𝑦0.8}�, 𝑓𝑓6𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥1, 𝑦𝑦0.4}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥1, 𝑦𝑦0.5}�

fuzzy soft kümeleri ile kurulan𝜏𝜏_𝑓𝑓 = {0_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝑓𝑓_1𝐴𝐴, 𝑓𝑓_2𝐴𝐴, 𝑓𝑓_3𝐴𝐴, 𝑓𝑓_4𝐴𝐴, 𝑓𝑓_5𝐴𝐴, 𝑓𝑓_6𝐴𝐴} bir fuzzy soft topolojidirve (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓) uzayı bir fuzzy soft quasi normal uzaydır.

3.2.11.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓) hem fuzzy soft quasi normal hem de fuzzy soft quasi T₁- uzayı isefuzzy soft quasi𝑻𝑻𝟒𝟒-uzay olarak adlandırılır.

3.2.4.Uyarı. Fuzzy soft quasi normal olma özelliği aşağıdaki örnekte de

gösterildiği gibi kalıtımsal bir özellik değildir.

3.2.6.Örnek.3.2.5.Örneği göz önüne alalım. (1_{𝑈𝑈𝐸𝐸}~, 𝜏𝜏𝑓𝑓) bir fuzzy soft quasi normal uzay olmasına rağmen 𝑉𝑉 = {𝑥𝑥} olmak üzere (1𝐸𝐸∼𝑉𝑉, 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑉𝑉) alt uzayı fuzzy soft quasi normal değildir. Çünkü 𝑓𝑓1𝑐𝑐𝐴𝐴 ve 𝑓𝑓5𝑐𝑐𝐴𝐴 (öyle ki 𝑓𝑓1𝑐𝑐𝐴𝐴q𝑓𝑓5𝐴𝐴) fuzzy soft kapalı kümelerinin 𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐q𝐷𝐷𝐴𝐴 olacak şekilde sırasıyla 𝑠𝑠𝐴𝐴 ve 𝐷𝐷𝐴𝐴Q-fuzzy soft komşulukları yoktur.

4. SOFT KÜMELERİN PROSTAT KANSERİ TEŞHİSİNDE BİR