Fuzzy Soft Topolojik Uzayın Temel Kavramları

3.1.1.Tanım.𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸),𝒫𝒫(𝑓𝑓𝐴𝐴), 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin tüm fuzzysoft altkümelerinin ailesi ve 𝜏𝜏𝑓𝑓,𝒫𝒫(𝑓𝑓𝐴𝐴)ailesinin bir alt ailesi olsun. 𝜏𝜏𝑓𝑓ailesiaşağıdaki koşulları sağlayan bir aile ise 𝑓𝑓𝐴𝐴fuzzy soft kümesi üzerinde fuzzysoft topoloji ve (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓) ikilisi defuzzysoft topolojik uzay olarak adlandırılır:

𝑖𝑖) 0𝑈𝑈~𝐸𝐸, 𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓,

𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 ⇒ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓,

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼, 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝐴𝐴} ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 ⇒ ⨆𝑖𝑖∈𝐼𝐼(𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝐴𝐴}) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓.

𝜏𝜏𝑓𝑓ailesinin her elemanına fuzzy soft açık küme denir.Fuzzysoft açık kümenin tümleyenine fuzzy soft kapalı küme denir.

3.1.1.Uyarı.𝑓𝑓_𝐴𝐴fuzzy soft kümesi tam soft küme olan 1_𝑈𝑈~_𝐸𝐸olarak alınırsa (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)uzayı için elde edilen bütün sonuçlar (1𝑈𝑈~𝐸𝐸, 𝜏𝜏𝑓𝑓)uzayı için de geçerli olur.

3.1.1.Teorem. (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓) uzayı𝑓𝑓_𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi üzerinde bir fuzzysoft topolojik uzay olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:

𝑖𝑖) 1𝑈𝑈~𝐸𝐸, 𝑓𝑓𝐴𝐴𝑐𝑐fuzzysoft kapalı kümelerdir,

𝑖𝑖𝑖𝑖)Fuzzysoft kapalı kümelerin keyfikesişimleri de fuzzysoft kapalıdır. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) İki fuzzysoft kapalı kümeninbirleşimi de fuzzysoft kapalıdır.

İspat. 3.1.1. Tanım gereği ispat açıktır.

3.1.1.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑚𝑚, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑒𝑒}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3, 𝑒𝑒4}, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3}ve

𝑓𝑓𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.3, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.5, 𝑑𝑑0.6, 𝑒𝑒0.7}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.8, 𝑏𝑏0.5, 𝑐𝑐0.9, 𝑑𝑑0.5, 𝑒𝑒1}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.6, 𝑏𝑏0.7, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.5, 𝑒𝑒0.8}},

𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.6, 𝑐𝑐0.1, 𝑑𝑑0.3, 𝑒𝑒0.8}}, 𝑓𝑓2𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.3, 𝑏𝑏0.3, 𝑐𝑐0.2, 𝑑𝑑0.5, 𝑒𝑒0.6}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.8, 𝑏𝑏0.3, 𝑐𝑐0.7, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.8}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.4, 𝑏𝑏0.7, 𝑐𝑐0.2, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.6}}, 𝑓𝑓3𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.2, 𝑏𝑏0.3, 𝑐𝑐0.1, 𝑑𝑑0.3, 𝑒𝑒0.5}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.7, 𝑏𝑏0.3, 𝑐𝑐0.7, 𝑑𝑑0.3, 𝑒𝑒0.8}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.4, 𝑏𝑏0.6, 𝑐𝑐0.1, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.6}}, 𝑓𝑓4𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.3, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.2, 𝑑𝑑0.5, 𝑒𝑒0.6}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.8, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.8, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.9}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.7, 𝑐𝑐0.2, 𝑑𝑑0.3, 𝑒𝑒0.8}}, 𝑓𝑓5𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.1, 𝑏𝑏0.2, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.4}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.1, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.1}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.2, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.1, 𝑑𝑑0.1, 𝑒𝑒0.4}} olsun. O halde, 𝜏𝜏𝑓𝑓 = {0𝑈𝑈~𝐸𝐸, 𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝑓𝑓1𝐴𝐴, 𝑓𝑓2𝐴𝐴, 𝑓𝑓3𝐴𝐴, 𝑓𝑓4𝐴𝐴, 𝑓𝑓5𝐴𝐴}

ailesi𝑓𝑓_𝐴𝐴fuzzy soft kümesi üzerinde bir fuzzysoft topolojidir.Fuzzysoft kapalı kümeler ailesini de tümleme işlemi yardımıyla elde edebiliriz.

3.1.2.Teorem.(1_𝑈𝑈~_𝐸𝐸, 𝜏𝜏𝑓𝑓)bir fuzzy soft topolojik uzay olsun. O halde her 𝑒𝑒 ∈

𝐸𝐸için

𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 = {𝑔𝑔𝐴𝐴(𝑒𝑒): 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓} bir fuzzy topolojidir.

İspat𝑖𝑖)0𝑈𝑈~𝐸𝐸, 1𝑈𝑈~𝐸𝐸 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için 0𝑈𝑈,1𝑈𝑈 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 dir.

𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓olsun. 𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için𝑔𝑔𝐴𝐴(𝑒𝑒) ∩ ℎ𝐴𝐴(𝑒𝑒) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 dir.

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Her 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 için𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝐴𝐴} ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olsun. ⨆𝑖𝑖∈𝐼𝐼(𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝐴𝐴}) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼(𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝐴𝐴}(𝑒𝑒)) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓_𝑒𝑒 olur.

3.1.2.Uyarı.3.1.2.Teoremin karşıtı aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi genellikle

doğru değildir. 3.1.2.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2}olsun. 𝑓𝑓1𝐸𝐸(𝑒𝑒1) = {𝑥𝑥0.3, 𝑦𝑦0.5, 𝑧𝑧0.8}, 𝑓𝑓1𝐸𝐸(𝑒𝑒2) = {𝑥𝑥0.1, 𝑦𝑦0.6, 𝑧𝑧0.3}, 𝑓𝑓2𝐸𝐸(𝑒𝑒1) = {𝑥𝑥0.2, 𝑦𝑦0.8, 𝑧𝑧0.5}, 𝑓𝑓2𝐸𝐸(𝑒𝑒2) = {𝑥𝑥0.2, 𝑦𝑦0.4, 𝑧𝑧0.5}, 𝑓𝑓3𝐸𝐸(𝑒𝑒1) = {𝑥𝑥0.3, 𝑦𝑦0.8, 𝑧𝑧0.8}, 𝑓𝑓3𝐸𝐸(𝑒𝑒2) = {𝑥𝑥0.1, 𝑦𝑦0.4, 𝑧𝑧0.3}, 𝑓𝑓4𝐸𝐸(𝑒𝑒1) = {𝑥𝑥0.2, 𝑦𝑦0.5, 𝑧𝑧0.5}, 𝑓𝑓4𝐸𝐸(𝑒𝑒2) = {𝑥𝑥0.2, 𝑦𝑦0.6, 𝑧𝑧0.5}. olmak üzere

𝜏𝜏𝑓𝑓 = �0𝑈𝑈~𝐸𝐸, 1𝑈𝑈~𝐸𝐸, 𝑓𝑓1𝐸𝐸, 𝑓𝑓2𝐸𝐸, 𝑓𝑓3𝐸𝐸, 𝑓𝑓4𝐸𝐸, 𝑓𝑓5𝐸𝐸�

olsun.𝑓𝑓_1𝐴𝐴 ⊔ 𝑓𝑓_2𝐴𝐴 ∉ 𝜏𝜏𝑓𝑓olduğundan𝜏𝜏𝑓𝑓 fuzzy soft topoloji değildir. Ancak𝜏𝜏𝑓𝑓_𝑒𝑒1ve 𝜏𝜏𝑓𝑓_𝑒𝑒2 fuzzy topolojidir.

3.1.2.Tanım. 𝑓𝑓_𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)bir fuzzy soft küme ve 𝑉𝑉 ⊆ 𝑈𝑈 olsun.𝑓𝑓_𝐴𝐴fuzzy soft kümesinin(𝑉𝑉, 𝐸𝐸)ikilisi üzerindekialt fuzzy soft kümesi

𝑓𝑓𝐴𝐴𝑉𝑉(𝑒𝑒) = 𝑉𝑉 ∩ 𝑓𝑓𝐴𝐴(𝑒𝑒), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸. şeklinde tanımlanır ve 𝑓𝑓𝐴𝐴𝑉𝑉 simgesi ile gösterilir.

3.1.3.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓) bir fuzzy soft topolojik uzay ve 𝑉𝑉 ⊆ 𝑈𝑈 olsun. 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑉𝑉 = {𝑔𝑔𝐴𝐴𝑉𝑉: 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓}

fuzzy soft topolojisine 𝑓𝑓_𝐴𝐴𝑉𝑉 üzerinde fuzzysoft relative topoloji ve (𝑓𝑓_𝐴𝐴𝑉𝑉, 𝜏𝜏_{𝑓𝑓𝑉𝑉}) ikilisine de(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓) uzayınınfuzzy soft alt uzayı denir.

3.1.4.Tanım.𝑥𝑥_𝜆𝜆 (𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝜆𝜆 ∈ (0,1]), fuzzy nokta olsun.𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸olmak üzere

∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈, ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜇𝜇_𝐴𝐴𝑒𝑒_𝑥𝑥𝜆𝜆(𝑢𝑢) = � 𝜆𝜆; 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒_{0, 𝑢𝑢 ≠ 𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒}

şeklinde tanımlanan fuzzysoft kümeye fuzzysoft nokta denir ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 şeklinde gösterilir.

3.1.1.Sonuç.𝑓𝑓_𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)bir fuzzy soft küme ve 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 (𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝜆𝜆 ∈ (0,1]) bir

fuzzysoftnokta olsun. Buradan,

𝑖𝑖) 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑓𝑓𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆⊓ 𝑓𝑓𝐴𝐴 = 0~𝑈𝑈𝐸𝐸 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~ 𝑓𝑓𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑢𝑢𝑒𝑒.

3.1.5.Tanım. (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)birfuzzysoft topolojik uzay, 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆bir fuzzysoft nokta olsun. 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ ℎ_𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔_𝐴𝐴olacak şekilde bir ℎ_𝐴𝐴fuzzysoft açık kümesi varsa 𝑔𝑔_𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasınınfuzzysoft komşuluğu denir.𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆fuzzy soft noktasının tüm fuzzy soft komşuluklarının ailesi ℵ_{(𝐴𝐴𝑥𝑥}𝜆𝜆₎simgesi ile gösterilir.

3.1.3.Örnek.3.1.1. Örnekte verilmiş(𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)fuzzysoft topolojisini göz önüne

alalım. 𝐴𝐴𝑐𝑐0.2birfuzzysoft nokta olsun. O halde 𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝑓𝑓2𝐴𝐴ve 𝑓𝑓4𝐴𝐴fuzzysoft kümeleri 𝐴𝐴0.2𝑐𝑐 fuzzy soft noktasınınfuzzysoft komşularıdır.

3.1.3.Teorem. (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)fuzzysoft topolojik uzay, 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft nokta ve 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:

𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆) ise 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ 𝑔𝑔𝐴𝐴dır.

𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ ℵ_{(𝐴𝐴𝑥𝑥}𝜆𝜆₎ ise 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 ∈ ℵ_{(𝐴𝐴𝑥𝑥}𝜆𝜆₎dır. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆) , 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 ise ℎ𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆)dır.

İspat. 3.1.5.Tanım gereğince ispat açıktır.

3.1.6.Tanım. (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzay, 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta ve 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴olacak şekilde bir 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft açığı varsa 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasınaℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin fuzzy soft iç noktası denir ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 _∈~ _{(ℎ𝐴𝐴)}∘_{simgesi ile gösterilir.}

3.1.4.Teorem. (𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzay ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓_𝐴𝐴 olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)°fuzzy soft kümesi𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin kapsadığı tüm fuzzy soft açık kümelerin birleşimine eşittir.

𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)° ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴.

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)°_{bir fuzzy soft açık kümedir.}

𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)°, 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin kapsadığı en büyük fuzzy soft açık kümedir. 𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesinin fuzzy soft açık küme olması için𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵𝑔𝑔_𝐴𝐴 = (𝑔𝑔_𝐴𝐴)°𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.

İspat. 𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)°_{=⨆{ℎ𝐴𝐴: ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ}

𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓}olduğunu göstermeliyiz.

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 _{∈ (𝑔𝑔𝐴𝐴)}°_{olsun. 3.1.6.Tanım gereği𝐴𝐴𝑥𝑥}𝜆𝜆 _{∈ ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 olacak şekilde bir ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓} vardır. Böylece

𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ ⨆�ℎ𝐴𝐴: ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓� (1) olur.

Varsayalım ki 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ ⨆{ℎ𝐴𝐴: ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓} olsun. O halde 3.1.6.Tanım gereği 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ (𝑔𝑔𝐴𝐴)° (2)

olur. (1) ve (2) gereği

(𝑔𝑔𝐴𝐴)° = ⨆{ℎ𝐴𝐴: ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓} elde edilir.

3.1.5.Teorem. (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzay ve 𝑔𝑔_𝐴𝐴, ℎ_𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓_𝐴𝐴 olsun. Aşağıdakiler sağlanır: 𝑖𝑖) 0𝑈𝑈~ °𝐸𝐸 = 0𝑈𝑈~𝐸𝐸, (𝑓𝑓𝐴𝐴)° = 𝑓𝑓𝐴𝐴. 𝑖𝑖𝑖𝑖) ((𝑔𝑔𝐴𝐴)°₎°_{= (𝑔𝑔𝐴𝐴)}°_. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒(𝑔𝑔𝐴𝐴)°⊑ (ℎ𝐴𝐴)° dir. 𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)°_{⊓ (ℎ𝐴𝐴)}°_{= (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)}°_. 𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)°_{⊔ (ℎ𝐴𝐴)}° _{⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)}°_.

İspat. 𝑖𝑖), 𝑖𝑖𝑖𝑖)ve𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)3.1.1.Tanımdan açıktır.

𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)° ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴ve(ℎ𝐴𝐴)° ⊑ ℎ𝐴𝐴 olduğundan ve 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) gereği (𝑔𝑔𝐴𝐴)°⊓ (ℎ𝐴𝐴)°⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴

olur. 𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴fuzzy soft kümesinin içindeki en büyük fuzzy soft açık küme (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)∘ fuzzy soft kümesi olduğundan

(𝑔𝑔𝐴𝐴)°_{⊓ (ℎ𝐴𝐴)}°_{⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)}∘ ₍₁₎ olur.

Diğer taraftan (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)∘_{⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴)}° _{ve (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)}∘_{⊑ (ℎ𝐴𝐴)}°_olduğundan (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴)∘ ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴)°⊓ (ℎ𝐴𝐴)° (2) olur. (1)ve(2) den (𝑔𝑔𝐴𝐴)°⊓ (ℎ𝐴𝐴)°= (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)°olduğu görülür.

𝑖𝑖)(𝑔𝑔𝐴𝐴)°⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴ve(ℎ𝐴𝐴)° ⊑ ℎ𝐴𝐴 olduğundan (𝑔𝑔𝐴𝐴)°⊔ (ℎ𝐴𝐴)°⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴 olur. 𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴fuzzy soft kümesinde kapsanan en büyük fuzzy soft açık küme (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)° fuzzy soft kümesi olduğundan

(𝑔𝑔𝐴𝐴)°_{⊔ (ℎ𝐴𝐴)}° _{⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)}° olur.

3.1.3.Uyarı.3.1.5.Teoremin 𝑖𝑖)şıkkının karşıtı aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi

genellikle doğru değildir.

3.1.3.Örnek. 3.1.1.Örnekte verilmiş fuzzy soft topolojik uzayı göz önüne

alalım.𝑔𝑔𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.2, 𝑏𝑏0.3, 𝑐𝑐0.5, 𝑑𝑑0.5, 𝑒𝑒0.5}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.2, 𝑐𝑐0.8, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.3}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.4, 𝑏𝑏0.5, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.5}}ve

ℎ𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.3, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.3, 𝑒𝑒0.6}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.8, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.7, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.9}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.7, 𝑐𝑐0.3, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.9}}

iki fuzzy soft küme olsun. Bu durumda 𝑔𝑔𝐴𝐴∘= 𝑓𝑓_5𝐴𝐴 ve ℎ𝐴𝐴∘ = 𝑓𝑓_3𝐴𝐴 olup 𝑔𝑔𝐴𝐴∘⊔ (ℎ𝐴𝐴)° = 𝑓𝑓3𝐴𝐴dır. Diğer taraftan,

𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.3, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.5, 𝑑𝑑0.5, 𝑒𝑒0.6}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.8, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.8, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.9}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.7, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.9}}

olup (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴)° = 𝑓𝑓_4𝐴𝐴dır.

3.1.7.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzayı ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesini içeren tüm fuzzy soft kapalı kümelerin kesişimine 𝑔𝑔_𝐴𝐴fuzzy soft

kümesininkapanışıdenir ve

𝑔𝑔𝐴𝐴−_{= ⨅{ℎ𝐴𝐴: 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴, ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓}𝑐𝑐_} 𝑔𝑔𝐴𝐴−simgesi ile gösterilir.

3.1.6.Teorem. (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzayı ve 𝑔𝑔_𝐴𝐴, ℎ_𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓_𝐴𝐴 olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴−bir fuzzy soft kapalı kümedir. 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴−.

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴−fuzzy soft kümesi𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesini içeren en küçük fuzzy soft kapalı kümedir.

𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴𝑖𝑖𝑠𝑠𝑒𝑒 (𝑔𝑔𝐴𝐴)−_{⊑ (ℎ𝐴𝐴)}−_dır. 𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)−_{⊓ (ℎ𝐴𝐴)}−_{⊒ (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)}−_. 𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴)−⊔ (ℎ𝐴𝐴)−= (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)−. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) ((𝑔𝑔𝐴𝐴)−₎−_{= (𝑔𝑔𝐴𝐴)}−_.

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesinin fuzzy soft kapalı olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔𝐴𝐴 = (𝑔𝑔𝐴𝐴)−𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.

İspat.𝑖𝑖)(𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)−⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴)−ve(𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)−⊑ (ℎ𝐴𝐴)−olduğundan (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴)−_{⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴)}−_{⊓ (ℎ𝐴𝐴)}−

dır. 𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesini kapsayan en küçük fuzzy soft kapalı küme (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)−dır. Buradan (𝑔𝑔𝐴𝐴)−⊓(ℎ𝐴𝐴)−⊒(𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ℎ𝐴𝐴)− olur.

𝑖𝑖𝑖𝑖)(𝑔𝑔𝐴𝐴)−⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴)−, (ℎ𝐴𝐴)−⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)−olduğundan (𝑔𝑔𝐴𝐴)−⊔ (ℎ𝐴𝐴)−⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴)−(1)

olur. Diğer taraftan 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)− _{ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴)}−_{⊔ (ℎ𝐴𝐴)}−_{dır. 𝑔𝑔𝐴𝐴⊔} ℎ𝐴𝐴fuzzy soft kümesini kapsayan en küçük fuzzy soft kapalı küme (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)− olduğundan

(𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)−_{⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴)}−_{⊔ (ℎ𝐴𝐴)}−₍₂₎

dır. (1) ve (2) ifadelerinden (𝑔𝑔𝐴𝐴)−_{⊔ (ℎ𝐴𝐴)}−_{= (𝑔𝑔𝐴𝐴⊔ ℎ𝐴𝐴)}−_{olduğu görülür.}

3.1.4. Uyarı. 3.1.6.Teoremin 𝑖𝑖) şıkkının karşıtı genellikle doğru değildir.

3.1.4.Örnek.3.1.1.Örnekte verilmiş fuzzy soft topolojik uzayı göz önüne alalım.

𝑔𝑔𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.2, 𝑏𝑏0.3, 𝑐𝑐0.5, 𝑑𝑑0.5, 𝑒𝑒0.5}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.2, 𝑐𝑐0.8, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.3}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.4,𝑏𝑏0.5, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.5}}ve

𝑠𝑠𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.3, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.3, 𝑒𝑒0.6}, 𝑒𝑒2= {𝑚𝑚0.8, 𝑏𝑏0.4, 𝑐𝑐0.6, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.9}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.7, 𝑐𝑐0.3, 𝑑𝑑0.4, 𝑒𝑒0.9}}

fuzzy soft kümeleri için 𝑔𝑔𝐴𝐴−_{= 𝑈𝑈}

𝐸𝐸~ve𝑠𝑠𝐴𝐴−= 𝑈𝑈𝐸𝐸~olduğundan 𝑔𝑔𝐴𝐴−⊓ 𝑠𝑠𝐴𝐴−= 𝑈𝑈𝐸𝐸~ dir. Diğer taraftan,

𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ 𝑠𝑠𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑚𝑚0.2, 𝑏𝑏0.3, 𝑐𝑐0.4, 𝑑𝑑0.3, 𝑒𝑒0.5}, 𝑒𝑒2 = {𝑚𝑚0.5, 𝑏𝑏0.2, 𝑐𝑐0.6, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.3}, 𝑒𝑒3 = {𝑚𝑚0.4, 𝑏𝑏0.5, 𝑐𝑐0.3, 𝑑𝑑0.2, 𝑒𝑒0.5}} 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑢𝑢𝑠𝑠 (𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ 𝑠𝑠𝐴𝐴)−= 𝑓𝑓5𝑐𝑐𝐴𝐴 dir.

3.1.8.Tanım. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆bir fuzzy soft nokta ve 𝑓𝑓𝐴𝐴bir fuzzy soft küme olsun. ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) > 1

ise𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆fuzzy soft noktası, 𝑓𝑓_𝐴𝐴fuzzy soft kümesiyle quasi çakışıktır denir ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑓𝑓𝐴𝐴simgesi ile gösterilir.

3.1.9.Tanım. 𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝑔𝑔_𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) olsun.

∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑢𝑢) + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑢𝑢) > 1

olacak şekilde bir 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 varsa 𝑓𝑓𝐴𝐴fuzzy soft kümesiyle𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesi quasi

çakışıktırdenir ve 𝑓𝑓𝐴𝐴𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴simgesi ile gösterilir.

3.1.10.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzay, 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta ve 𝑖𝑖𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴olsun. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆𝑞𝑞𝑤𝑤𝐴𝐴 ⊑ 𝑖𝑖𝐴𝐴olacak şekilde bir 𝑤𝑤𝐴𝐴 fuzzy soft açığı varsa 𝑖𝑖𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasınınQ-fuzzy soft komşuluğu denir.

3.1.7.Teorem.(𝑓𝑓𝐴𝐴, 𝜏𝜏𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzayında aşağıdakiler sağlanır:

𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesi𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ise 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktası 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesiyle quasi çakışıktır.

𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴,ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümeleri 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ise𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi de𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğudur.

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesi𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴iseℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğudur.

İspat.𝑖𝑖) 3.1.10.Tanımdan açıktır.

𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑔𝑔𝐴𝐴,ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümeleri𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu olduğundan

∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) > 1 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) > 1 olur. Buradan her𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için𝜆𝜆 + min⁡{𝜇𝜇_𝑔𝑔𝑒𝑒_𝐴𝐴(𝑥𝑥), 𝜇𝜇_ℎ𝑒𝑒_𝐴𝐴(𝑥𝑥)} > 1 olduğu görülür.

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesi 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚, 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) > 1 ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 olduğundan her𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚, 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) ≤ 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) olur. Böylece her𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚, 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥) > 1 olduğu görülür.

3.1.2.Sonuç.𝑔𝑔_𝐴𝐴, ℎ_𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. 𝑔𝑔_𝐴𝐴 ⊑ ℎ_𝐴𝐴olması için

𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin(ℎ𝐴𝐴)𝑐𝑐fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.

İspat.𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵

∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸, ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑢𝑢) ≤ 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑢𝑢)

𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒. Başka bir deyişle 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸, ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑢𝑢) + (1 − 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑢𝑢)) ≤ 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.Buradan,

𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑢𝑢) + 𝜇𝜇ℎ𝐴𝐴𝑐𝑐

𝑒𝑒 _{(𝑢𝑢) ≤ 1}

olur. Sonuç olarak𝑔𝑔_𝐴𝐴fuzzy soft kümesi(ℎ_𝐴𝐴)𝑐𝑐 fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık değildir.

3.1.8.Teorem. (𝑓𝑓_𝐴𝐴, 𝜏𝜏_𝑓𝑓)fuzzy soft topolojik uzay olsun, 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆bir fuzzy soft nokta ve𝑔𝑔_𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓_𝐴𝐴 olsun. 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑔𝑔_𝐴𝐴−olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının her Q-fuzzy soft komşuluğunun 𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesiylex noktasında quasi çakışık 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠ı𝑑𝑑ı𝑒𝑒.

İspat.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑔𝑔𝐴𝐴−olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesini kapsayan her 𝑖𝑖_𝐴𝐴fuzzy soft kapalı kümesi için𝐴𝐴_𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~𝑖𝑖_𝐴𝐴 olmasıdır, yani

∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜆𝜆 ≤ 𝜇𝜇𝑖𝑖𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥)

olmasıdır. O halde 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 _∈~ _{𝑔𝑔𝐴𝐴}− _{olması için 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝐵𝐵ş𝑢𝑢𝐵𝐵 𝑔𝑔}

𝐴𝐴𝑐𝑐 fuzzy soft kümesinde kapsanan her 𝑘𝑘𝐴𝐴 fuzzy soft açık kümesi için

1 − 𝜆𝜆 ≥ 𝜇𝜇𝑘𝑘𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴,

olmasıdır. Böylece 1 − 𝜆𝜆 < 𝜇𝜇𝑘𝑘𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑥𝑥)koşulunu sağlayan her 𝑘𝑘𝐴𝐴 fuzzy soft açık kümesi 𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐 fuzzy soft kümesinde kapsanmaz. 3.1.2.Sonuçtan𝑘𝑘𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin𝑔𝑔𝐴𝐴fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık olmadığı görülür.