SCARA ROBOT DİNAMİĞİNİN YAPAY SİNİR AĞLARI KULLANARAK MODELLENMESİ

(1)

makale

SCARA ROBOT D NAM

N N YAPAY S N R A LARI

KULLANARAK MODELLENMES

Aysun E R SÖ ÜT T RYAK , Recep KAZAN *

Üretim kapasitesi ve verimlili in art r lmas , belirli standartlarda ve hassasiyette ürün elde edilmesi, i gücü tasarrufu vb. gereksinimler nedeniyle birçok alanda de i ik robotlar kullan lmaktad r. Bu çal mada üç eklemli bir SCARA robotu ele al nm ve dinami i yapay sinir a lar (YSA) ile modellenmi tir. Robotun Lagrange-Euler dinamik denklemleri ç kar lm t r. Modellenecek olan SCARA robot kolu, kübik yörüngelerle ifade edilen iki dönme ve do rusal yörüngeye sahip bir öteleme hareketi yapmaktad r. Belirlenen zaman aral ndaki s n r artlar kullan larak kübik ve do rusal yörüngelerin katsay lar elde edilmi ve bu sayede konum, h z ve ivme denklemlerine ula lm t r. Verilen zaman aral klar ndaki konum, h z ve ivme de erleri YSA'na giri , tork de erleri ise ç k olarak verilmi tir. Böylece YSA'n n dokuz giri , üç ç k nöronu bulunmaktad r. Bu çal mada çok katmanl ileri beslemeli geri yay l m a ve transfer fonksiyonu olarak da logaritmik sigmoid fonksiyonu kullan lm t r. Geri yay l m a , e itim fonksiyonu olarak Levenberg-Marquardt optimizasyon yöntemine göre a rl k ve bias de erlerini güncellemi tir. Hedeflenen MSE (ortalama hatalar n karesi) de erine ula larak YSA'n n e itimi tamamlanm ve çevrim say s na göre MSE de erlerinin görülebildi i performans grafi i verilmi tir.

Anahtar sözcükler: SCARA robot, Robot dinami i, Yapay

sinir a lar .

Robot manipulators are used in various fields to enhance the production capacity and effiency to produce products in par-ticular standards and to law disposal the manpower for dif-ferent requirements. In this study three jointed SCARA robot is considered and modeled by using artificial neural network (ANN). Lagrange-Euler dynamic equations of robot are ob-tained. The modeled SCARA robot manipulator has two ro-tary and one linear motion. The roro-tary motion is defined by cubic trajectory and the linear motion has linear trajectory. The cubic and linear trajectory coefficients are acquired by using the boundary conditions in a particular time period and thus position, velocity and acceleration equations are also carried out. Position, velocity and acceleration values are introduced to ANN as input and torque values are ob-tained as output in a particular time period. In this manner ANN has nine input and three output neurons. In this study, a multi-layer feed forward backpropagation network and loga-rithmic sigmoid function as a transfer function are used. Backpropagation network updates weight and bias values by considering train function as Levenberg-Marquardt optimi-zation method. By attaining the proposed MSE values, ANN's train is completed and performance graphic is obtained. This graphics show MSE values connected with epochs.

Keywords: Scara, robot, Robot dynamics, Artificial neural

network.

* _{Sakarya Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina} Mühendisli i Bölümü

G R

nsan beynindeki çal ma sisteminin yapay olarak benzetimi çal malar n n sonucu ortaya ç kan yapay sinir a lar (YSA), klasik tekniklerle çözümü zor, karma k ve do rusal olmayan problemlerin çözümünde etkin bir yoldur. YSA'n n pratik kullan m genellikle, çok farkl yap da ve formlarda bulunabilen verileri h zl bir

ekilde tan mlama ve alg lama üzerinedir [1].

YSA'lar n do rusal olmayan haritalama veya fonksiyon yak nsama özelli i, robot dinamik çözümleri için oldukça uygundur. SCARA robotunun da içinde bulundu u farkl robot tipleri üzerinde YSA'lar çok kez uygulanm t r.

SCARA tipi robotlar insan kolunu model alan, özellikle kesme, yükleme, montaj ve üretim hatlar gibi süreklili i gerektiren ortamlarda kullan lan küçük endüstriyel robotlard r. SCARA sözcü ü dilimize 'Seçici Serbest Esnemeli Robot Kolu' (Selectively Compliant Articulated Robot Arm) olarak çevrilmektedir [2]. 1970'den sonra Japon Endüstriyel Konsorsiyumu ve bir grup ara t rmac taraf ndan Japonya'da Yamanashi Üniversitesi'nde geli tirilmi olup, montaj hatlar nda al p-yerle tirme, kaynak, boya gibi i lemleri yapmas amaçlanm t r. Oldukça yüksek h za ve en iyi tekrarlama kabiliyetine sahip olan SCARA robot hem dönel hem de silindirik koordinatlara kar l k gelen yatay düzlemde çal r, buna kar n dü ey düzlemde kat d r, esnemez.

YSA'n n robotlarda kullan m ile ilgili farkl içerikte çal malar gözlenmi tir. Guez ve Ahmad [3] robotlarda kinematik ve ters kinemati in hesaplanmas için bir sinir a kullanm t r. Miyamoto ve ark. [4] bir endüstriyel robotun yörünge kontrolü için ters dinamik modelini olu turma ve geri besleme döngüsünde, Kawato ve ark. [5] da dinamik kontrol için bir kontrolör olarak yapay sinir a lar n kullanm t r. Chan yapay sinir a lar n belirsizlik ve nonlineerlik için bir dengeleyici ve tan lama için bir araç olarak kullanm t r. Omedei ve ark. [6] endüstriyel robotlar n tan lanmas n içeren farkl algoritmalar

(2)

m a ka le

[7] üç eklemli bir robot için ters kinematik çözüme dayanan

yapay sinir a tasarlam t r. Da ve ark. [8] SCARA robotu matematiksel olarak modellemi , simülasyon yapm ve deneysel olarak do rulam t r. Bu konudaki di er uygulamalar ise; Wilhelmsen ve Cotter [9], üç farkl sinir a yap s kullan larak lineer olmayan robot kontrolü, Kosko [10] hiyerar ik YSA'lar ile ters Jacobian kontrolü, Rabelo ve Avula [11], Fukuda ve ark. [12], Liu ve ark. [13], Karakaso lu ve Sundareshan [14] çok dereceli robot elin kontrolü ve tasar m , Smagt ve Krose [15] sensör bilgilerinin ters dinami e direk geçi inin sa lanmas nda, Tsutsumi ve Matsumoto [16] robot pozisyon kontrolü üzerine çal m lard r.

Bu çal mada ise üç eklemli bir SCARA robotu ele

al nm ve robot dinami i YSA'n n kullan m ile

modellenmi tir. Çal man n 2. k sm nda üç eklemli SCARA tipi robot dinami i ve 3. k sm nda YSA genel hatlar yla tan t lm t r. 4. k s mda tasarlanan YSA mimarisi, a n e itim performans ve test sonuçlar verilmi tir. 5. k s mda ise simülasyon sonuçlar yorumlanm t r.

ÜÇ EKLEML SCARA T P ROBOT

D NAM

Dinamik Model

Bir robot kolun dinamik modeli, robot kolun dinamik davran lar n belirleyen hareket denklemlerinden olu ur. Bu denklemlerin bilgisayar yard m ile çözümü robot ve robot kontrol tasar m aç s ndan büyük kolayl k sa lar. Robot kolunun dinamik analizi, eklemlere tahrik elemanlar taraf ndan uygulanan moment veya kuvvet büyüklükleri ile robot kolunun zamana göre konumu, h z ve ivmesi aras ndaki ili kilerin incelenmesi demektir. Böyle bir analiz için, robot kolun dinamik davran lar n tan mlayan lineer olmayan diferansiyel denklem tak mlar n n elde edilmesi ve çözülmesi gerekmektedir.

Dinamik problem düz dinamik (forward dynamics) ve ters dinamik (inverse dynamics) olmak üzere ikiye ayr lmaktad r. Düz dinamik problem, herhangi bir t an nda istenen kuvvet ve momentler verildi inde robot kolunun

alaca konum ve yönlenme için gerekli olan

genelle tirilmi koordinatlar , eklem h z ve ivmelerini bulma problemidir. Ters dinamik problem ise, robot kolunun istenen bir konum ve yönlenmeye gelmesi için (genelle tirilmi koordinatlar, bunlar n birinci (h z) ve ikinci (ivme) türevleri verildi inde) gerekli olan kuvvet ve momentlerin hesaplanmas d r [17].

Robot kolunun dinamik denklemlerini elde etmek için bilinen birçok metot vard r. Bunlar Lagrange-Euler (L-E), Recursive Lagrange (R-L), Newton-Euler (N-E), Genelle tirilmi D'Alambert (G-D) prensibi gibi yakla mlard r. Bu yöntemlerden en çok kullan lanlar L-E ve N-E yakla mlar d r.

Bu çal mada robot kolun dinamik modelinin ç kar lmas nda, iyi planlanm bir yap ya sahip ve ç kar lmas N-E yakla m ndakinden daha basit ve sistematik olan L-E yakla m ile elde edilmi denklemler kullan lacakt r. Bu yakla m sistemin içerdi i toplam i ve enerji ile ifade edilir. Lagrange-Euler e itli inin genel ifadesi:

dt

d

q

L

-

q

L

= _ii = 1,2, .. , n (1) L=K-P (2)

denklemleri ile ifade edilir. Burada; L = Lagrange fonksiyonu

K = Robot kolunun toplam kinetik enerjisi

3 1 i 3 1 i 2 i i 2 i i

I

2

1 v

m

2

1 K

(3)

P = Robot kolunun toplam potansiyel enerjisi

i i

g

d

m

P

(4) qi = Robot kolunun genelle tirilmi koordinatlar (Döner eklemlerde _i ve kayar eklemlerde di olarak

(3)

makale

i = Sisteme uygulanan genelle tirilmi moment veya

kuvvet

Dinamik denklemler matris formunda;

C V

(

)

F

)

(

G

)

,

(

C

)

(

M

(5) eklinde yaz labilir. Burada; M ( ) manipülatörün n×n

boyutlu eylemsizlik matrisi, C ( )n×1 boyutlu

merkezkaç ve Coriolis vektörü, G ( ) n×1 boyutlu yerçekimi kuvveti vektörü, Fv ( ) n×1 boyutlu viskoz

sürtünme vektörü,

F

_C n×1 Coulomb terimleri vektörü ve

nx1 boyutlu (i = 1,2, , n) eklemlerine uygulanan genelle tirilmi kuvvet veya moment vektörü [18-20].

Bu çal mada kullan lan SCARA robot ekil 1'de gösterilmi ve robotun Lagrange-Euler dinamik denklemleri 6, 7 ve 8 nolu denklemlerdeki gibi elde edilmi tir; 2 2 3 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 m 3 m ) m 2 m ( S a a a m 3 m C a a m 3 m a m 3 m C a a ) m 2 m ( a m m 3 m (6) 1 2 2 3 2 2 2 1 3 2 2

m

a

3 m

C

a

m

3 m

2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 3 2

_m

_a

_S

3 m

a

m

3 m

(7)

g

m

₃ ₃ ₃ 3

(8) Denklemlerde kullan lan uzuv kütle de erleri ve boyutlar : m1=2kg m2=2kg m3=1 kg C2=cos( 2) a1=2m a2=1m l3=1m S2=sin( 2) g=9.8m/s2

ile eklemlere uygulanacak tork de erleri saptanabilir.

Scara Robotun Eklem Yörüngelerinin Belirlenmesi

Modellenen SCARA robot kolu iki dönme ve bir öteleme hareketi yapmaktad r. Bu yüzden dönme hareketleri denk. 9 ve 10'da verilen kübik yörüngeler ile öteleme hareketi ise denk. 11'de verilen do rusal yörünge ile ifade edilmi tir.

1 = (-2 /375)t3 + ( /25)t2 (9)

2 = (- /375)t3 + ( /50)t2 (10)

d3 = 0,8t (11)

Zaman aral 0'dan 5 saniyeye kadar al nm ve 0.01

art mlarla konum, h z ve ivme de erleri belirlenmi tir. Elde edilen bu veriler Lagrange-Euler dinamik

denklemlerinde yerine yaz ld nda ise tork de erleri

elde edilmi tir. ekil 2'de konum, h z ve ivme grafikleri, ekil 3'de tork grafikleri verilmi tir.

(4)

m a ka le

YAPAY S N R A LARI

YSA paralel da t lm bir bilgi i leme sistemi olmak üzere tek yönlü i aret kanallar (ba lant lar) ile birbirine ba lanan nöronlardan (i lem eleman ) olu ur. ekil 4'de yapay sinir a n n yap s görülmektedir. Son derece karma k bir içyap ya sahip olan YSA çevre artlar na göre davran lar n ekillendirebilir, e itimi esnas nda giri ler ve istenen ç k lar n sisteme verilmesi ile kendisini farkl cevaplar verebilecek ekilde ayarlayabilir. Son y llarda elektronik, üretim, robotik, malzeme bilimi ve

fiziksel metalurji, otomotiv, savunma ve

telekomünikasyon gibi birçok mühendislik alan nda ba ar l sonuçlar veren YSA, paralel çal abilmesi ve ö renebilmesi ile insan beyninin çal mas na benzeyen özellikleri ta r [21].

Her nöronun birçok giri i areti olmas na kar n tek bir ç k i areti vard r ve bu di er nöronlara giri olu turmak üzere birçok yola da l r. Her bir nöron yerel bir belle e sahiptir ve burada uyarlanan katsay lar n önceki hesaplamalar ile belirlenen de erleri saklan r. Her ba lant n n da bir a rl vard r ve bu a rl k bir nöronun di eri üzerindeki etkisini gösterir. Toplama fonksiyonu, bir nörona gelen net girdiyi hesaplayan bir fonksiyondur. Net girdi gelen bilgilerin ilgili ba lant lar n a rl klar ile çarp l p toplanmas sonucunda belirlenir. E ik fonksiyonu ise toplama fonksiyonu taraf ndan belirlenen net girdiyi

alarak nöronun ç k n belirleyen fonksiyondur.

Nöronun ç k ünitesi ç k fonksiyonunun üretti i

i areti di er nöronlara veya d dünyaya aktarma

i levini yapar [1].

YSA ile robot modellemeye ait diyagram ekil 5'de görülmektedir.

ekil 2. Eklemlerin Konum, H z ve vme Grafikleri

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -20 -10 0 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2 -1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -11 -10 -9 -8 Zaman 3 . e k le m i ç in T o rk d e g e rl e ri 2 . e k le m i ç in T o rk d e g e rl e ri 1 . e k le m i ç in T o rk d e g e rl e ri [s] [N.m]

ekil 3. Eklemlerin Tork Grafikleri

G R L E R Ç IK I L A R

Giri Katman Gizli Ç k Katman

Katman : Nöronlar

: Ba lant lar

:A rl klar

(5)

makale

YSA LE MODELLEME

Bu çal mada ileri beslemeli geri yay l m a ve ö renme stratejisi olarak da e iticili ö renme kullan lm t r. Gizli katmanda ve ç k katman nda transfer fonksiyonu olarak Log-sigmoid al nm t r. Log-sigmoid fonksiyonu ekil 6'da gösterilmi tir. SCARA robotun YSA ile modellenmesi için MATLAB 6.5 Neural Network Toolbox' kullan lm t r.

YSA'n n giri katman ndaki giri nöronlar n n say s n sistemin (problemin) giri lerinin say s , ç k katman ndaki ç k nöronlar n n say s n da sistemin ç k lar n n say s belirlemektedir. Sistemin giri leri her bir eklem hareketi için elde edilen konum, h z ve ivme de erleri, ç k lar ise Lagrange-Euler dinamik denklemleri sonucu bulunan tork de erleri olarak al nm t r. Buna göre olu turulan YSA'n n giri nöron say s 9 iken ç k nöron say s 3 olmaktad r. Gizli katmanda ise 16 adet nöron kullan lm t r.

Sistemin yap lan matematiksel i lemler sonucu elde edilen toplam 500 adet giri -ç k vektörü bulunmaktad r. Sistemin giri ve ç k lar n n say sal de erlerinden olu an veri seti 0,1-0,9 aras nda olmak üzere normalize edilmi tir. Çünkü giri -ç k de erleri, kullan lan Log-sigmoid transfer fonksiyonunun s n rlar aras nda olmal d r. Normalize ederken a a daki formül dikkate al nm t r:

1 , 0 1 , 0 9 , 0 veri . Min veri . Maks veri . Min veri . Ger veri . Nor ₍₁₀₎

Olu turulan geri yay l m a (backpropagation

network) e itim fonksiyonunun a rl k ve bias de erlerini güncelle tirmek için Levenberg-Marquardt optimizasyonu kullan lm t r. Levenberg-Marquardt metodu son y llarda kullan lan en popüler algoritmalardan birisidir. Temelde bu algoritma maksimum kom uluk fikri üzerine kurulan en küçük kareler tahmin metodudur. Levenberg-Marquardt metodu Gauss-Newton tekni inin ve Steepest-descent metodunun en iyi özelliklerini birle tirir ve bu algoritmalar n s n rlamalar n n ço undan kaç n r [22]. Genellikle h zl bir yak nsama yapar.

Yapay sinir a n n e itimi için performans ölçütü olarak hatalar n kareleri ortalamas n kullanan Levenberg-Marquardt algoritmas çok uygundur [23]. Verilen giri lere kar l k YSA'n n buldu u ç k lar ile hedef (istenen) ç k kar la t r l r. Network ç k ve hedef ç k aras ndaki fark hata olarak hesaplan r. Bu hatan n toplam n n ortalamas minimize edilmek istenir. Bu minimize edilmek istenen de er MSE (Mean Squared Error) olarak tan mlan r ve a performans n belirler. MSE a a daki gibi formülize edilir: Q 1 k Q 1 k 2 2

))

k

(

y

)

k

(

t

(

Q

1 )

k

(

e

Q

1 MSE

₍₁₃₎

e(k): Hedef ve YSA ç k lar aras ndaki hata t(k): Hedef ç k

y(k): YSA ç k

YSA modeli olu turmak için, normalize edilen giri -ç k verilerinin 400 adedi a n e itiminde, 100 adedi de

ekil 5. Robot Modelleme çin bir YSA Çözümü

(u(k): giri , y(k): ç k ve e(k): hata )

(6)

m a ka le

a n testinde kullan lm t r. E itim a amas nda a a giri ve ç k verileri kulland r lm , test a amas nda ise sadece giri verileri verilmek suretiyle a ç k elde edilmi tir. Test edilirken giri vektörüne kar l k gelen ç k vektörü, YSA'n n genelle tirme yetene i sayesinde hedef (istenen) ç k de erlerine oldukça yak n olarak bulunmu tur.

YSA'n n e itimi esnas nda hesaplanan MSE de erlerinin bulundu u Neural Network Toolbox' taraf ndan çizilen performans grafi i ekil 7'de görülmektedir.

E itimi tamamlanan YSA'n n testi sonucunda elde edilen ç k de erleri ve hedeflenen ç k de erlerinin birlikte verildi i grafikler ekil 8, ekil 9 ve ekil 10'da görülmektedir.

Ayr ca hedeflenen ç k de erleri ve YSA'n n testi sonucunda elde edilen ç k de erleri aras ndaki hata grafikleri s ras yla ekil 11, ekil 12 ve ekil 13'de verilmi tir. Hata de erleri a a daki ekilde elde edilmi tir:

Hata = Hedeflenen ç k - YSA ç k

0 50 100 150 200 250 300 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 316 Çevrim

Performans 9.95717e-011, Hedef MSE 1e-010

Hedef MSE Degeri

Egitim esnasindaki MSE degeri

ekil 7. YSA n n Performans Grafi i

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Veri Sayisi 1 . e k le m in t e s t v e i s te n e n t o rk d e g e ri

istenen tork degeri YSA'nin test çikisi [N.m]

ekil 8. 1. Ekleme Ait Test Sonucu Elde Edilen ve Hedeflenen Tork

De erleri 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

V eri Say isi

2 . e k le m in t e s t v e i s te n e n t o rk d e g e ri

istenen tork degeri YSA'nin test ç ikisi [N.m]

ekil 9. 2. Ekleme Ait Test Sonucu Elde Edilen ve Hedeflenen Tork De erleri

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -9.8006 -9.8004 -9.8002 -9.8 -9.7998 -9.7996 -9.7994 -9.7992 -9.799

V eri Say isi

3 . e k le m in t e s t v e i s te n e n t o rk d e g e ri

istenen tork degeri YSA'nin test ç ikis i [N.m]

ekil 10. 3. Ekleme Ait Test Sonucu Elde Edilen ve Hedeflenen Tork De erleri

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6x 10 -4 V eri S ay is i 1 . e k le m i ç in te s t v e i s te n e n t o rk a ra s in d a k i h a ta d e g e ri [N . m ]

ekil 11. 1. Ekleme Ait Hedeflenen ve Test Sonucu Elde Edilen Tork

(7)

makale

SONUÇ

E itim esnas nda elde edilen performans grafi inde de görüldü ü gibi hedeflenen MSE de eri 10-10 _olarak

verilmi ve e itim sonucunda bulunan MSE de eri hedefe oldukça yakla arak 9.95717×10-11 _{olarak bulunmu tur.}

Böylece yapay sinir a 316 çevrim sonucunda hedef olarak belirlenen MSE de erini yakalayarak e itimini tamamlam t r.

E itimi tamamlanan YSA'n n testi sonucunda elde edilen ç k de erleri ve hedeflenen ç k de erlerinin

birlikte verildi i ekil 8, 9 ve 10'da YSA'n n oldukça ba ar l sonuçlar vererek istenen ç k lar oldukça küçük

sapmalarla yakalad görülmektedir. Ayr ca hedeflenen

ç k lar ile YSA ç k lar aras ndaki hatalar ekil 11,12

ve 13'de görüldü ü üzere 1. tork ç k maksimum hata

de eri -11.5×10-4_{, minimum hata de eri 4.5×10}-4_{, 2. tork}

ç k maksimum hata de eri -4.2×10-4_{, minimum hata}

de eri 2.9×10-4 _{ve 3. tork ç k} _{maksimum hata de eri}

-8.5×10-4_{, minimum hata de eri ise 4.4×10}-4 _olarak

hesaplanm t r.

Sonuç olarak YSA hedeflenen ç k lar müsaade edilebilecek çok küçük sapmalarla ba ar l bir ekilde yakalam ve iyi bir performans sergileyerek SCARA robotun modellenmesi problemine oldukça iyi cevap vererek çözüm üretebilmi tir. Robotlarda serbestlik derecesi artt kça dinamik denklemlerin elle yaz lmas çok karma k bir hale gelmektedir. Robot kontrolü uygulamalar nda dinamik modelin kullan lmas gerekti i durumlarda, bu çal madan elde edilen model, hatalar n az olmas ndan dolay rahatl kla kullan labilir. stendi i takdirde bu modele uygun bir kontrol algoritmas n n da seçilmesi ile SCARA robotun kontrolü gerçekle tirilebilir.

KAYNAKÇA

1 . E risö üt, A., Kazan, R., "Çimento Hammadde Kar m

Prosesinin Yapay Sinir A lar ile Matematiksel Modellenmesi", Makina Tasar m ve malat Teknolojileri Kongresi, 21-28, 2-3 Kas m 2001, Konya, Türkiye.

2 . Da , M.T., Dülger, L.C., "SCARA Tipi Robotun

Programlanabilir Mant k Denetleyicisiyle (PLC) K smi Hareket Denetimi", 11. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu, 129-136, 4-6 Eylül 2003, Ankara, Türkiye.

3 . Guez, A. and Ahmad, Z., "Solution to the nverse Kinematics

Problem in Robotics by Neural Networks", Proceeding IEEE Conference on Neural Networks, 617-624, 1988, San Diego.

4 . Miyamoto, H., Kawato, M., Setoyama, T., and Suzuki, R.,

"Feedback-Error-Learning Neural Network for Trajectory Con-trol of a Robotic Manipulator", IEEE Trans. Neural Networks 1, 251-265, 1988. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -10 -5 0 5x 10 -4 Veri Sayisi 3 . e k le m i ç in te s t v e i s te n e n t o rk a ra s in d a k i h a ta d e g e ri [N.m]

De erleri Aras ndaki Hata Grafi i

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x 10 -4 Veri Sayisi 2 . e k le m i ç in te s t v e i s te n e n t o rk a ra s in d a k i h a ta d e g e ri [N.m]

(8)

m a ka le

5 . Kawato, M., Uno, Y., Isobe, M., and Suzuki, R.,

"Hierarchi-cal Neural Network Model for Vol-Untary Movement with Application to Robotics", IEEE Control Systems Magazine 8, 8-17, 1988.

6 . Omedei, A., Legnani, G., Adamini, R., "Three

Methodolo-gies for the Calibration of Industrial Manipulators: Experimen-tal Results on a SCARA Robot", Journal of Robotic Systems, 17(6), 291-307, 2000.

7 . Köker, R., Öz, C., Çakar, T., Ekiz, H., "A Study of Neural

Network Based Inverse Kinematics Solution for a Three-Joint Robot", Robotics and Autonomous Systems, 49, 227-234, 2004.

8 . Da , M. T., Dülger, L. C., "Mathematical Modelling,

tion and Experimental Verification of a Scara Robot", Simula-tion Modelling Practice and Theory, 13, 257-271, 2005.

9 . Wilhelmsen, K., Cotter N., "Neural Network Based

Control-lers for a Single-Degree-of Freedom Robotic Arm", Interna-tional Joint Conference on Neural Networks, 407-413, 1990.

10. Kosko, B., Neural Networks and Fuzzy Systems, a Dynamical

Systems Approach to Machine Intelligence, Prentice-Hall In-ternational Editions, Englewood Cliffs, N.J., ISBN 0-13-612334-1, 1992.

11. Rabelo, L. C., Avula, X. J. R., "Hierarchical Neurocontroller

Architecture for Intelligent Robotic Manipulation", Proceed-ing IEEE International Conference on Robotics and Automa-tion, Sacramento, California, 2656-2661, 1991.

12. Fukuda, T., Shibata, T., Tokita, M., Mitsuoka, T.,

"Adapta-tion and Learning for Robotic Manipulator by Neural Network", Proceeding of 29th IEEE Conference on Decision and Control, 6, 3283-3288, 1990.

13. Liu, H., Iberall, T., Bekey, G. A., "Neural Network

Architec-ture for Robot Hand Control", IEEE Control Systems Maga-zine, 9(3), 38-43, 1989.

14. Karakasoglu, A., Sundareshan, M. K., "Decentralized

Vari-able Structure Control of Robotic Manipulators, Neural Com-putational Algorithm", Proceeding of 29th Conference on De-cision and Control, 3258-3259, December, 1990.

15. Smagt, P. P., Krose, B. J. A., "A Real-time Learning Neural

Robot Controller", Proceeding of International Conference on Neural Networks, Espoo, Finland, 351-356, 1991.

16. Tsutsumi, K., Matsumoto, H., "Neural Computation and

Learning Strategy for Manipulator Position Control", Proceeding of the IEEE First Annual International Conference on Neural Networks, 4, 525-534, 1987.

17. Çal kan, M., ki Uzuvlu Bir Robot Kolunun Hesaplanm

Moment Metoduyla Kontrolü, Yüksek Lisans Tezi, Sakarya Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1996.

18. Ed. Kreith, F., Mechanical Engineering Handbook, Lewis, F.L.,

Section 14 Robotics, CRC Press LLC, 1999.

19. Er, M.J., Low, C.B., Nah, K.H., Lim, M.H., Ng, S.Y.,

"Real-Time mplementation of a Dynamic Fuzzy Neural Networks Controller for a SCARA", Microprocessors and Microsystems, 26, 449-461, 2002.

20. Wai, R-J., "Tracking Control Based on Neural Network

Strat-egy for Robot Manipulator", Neurocomputing, 51, 425-45, 2003.

21. E risö üt, A., Çimento Hammadde Kar m Prosesinin Yapay

Sinir A lar ile Matematiksel Modellenmesi, Yüksek Lisans Tezi, Sakarya Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002.

22. Fletcher, R., Unconstrained Optimization, Practical Methods of

Optimization, 1, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-27711-8, 1980.

23. Hagan, M.T., Demuth, H.B., Beale, M., Neural Network