Poisson Denklemi ve Çözümleri

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

POISSON DENKLEMİ VE ÇÖZÜMLERİ MURAT AYTİN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE Edirne

ÖZET

Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler, Uygulamalı Matematiğin bir dalı olup Temel Bilimlerden Mühendisliğin tüm alanlarında geniş uygulaması vardır.

Fizik ve mühendislik alanında karşılaşılan diferansiyel denklemler, Laplace, Poisson, Helmholtz veya dalga, Schrödinger gibi denklemlerdir. Bu tip denklemlerin ortak özellikleri; doğrusal, ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemler olmalarıdır. Bu denklemlerin çözümlerinde seriler, değişkenlerin ayrılması, Green fonksiyonları ve integral dönüşümler sıkça kullanılır. Analitik tekniklerin yetersiz olduğu durumlarda sayısal yöntemlere başvurulur.

Bu çalışmanın I. Bölümünde Diferansiyel Denklemler ile ilgili genel kısa bilgiler verilmiş, Kısmi Diferansiyel Denklemlerle ilgili genel kavramların yanısıra, Laplace, Poisson, Difüzyon, Helmholtz, Dalga Denklemleri kısaca tanıtılmıştır.

II. Bölümde Genel Koordinatlar, Ortogonal Koordinat Sistemleri, Özel Ortogonal Koordinatlar tanıtılarak, Gradyenti, Diverjans, Rotasyonel ve Laplasyen ifadeleri verilmiş, Bessel ve Legendre Fonksiyonlarının temel özellikleri kısaca tanıtılmıştır.

III. Bölümde Poisson Denklemi tanıtılarak Silindirik ve Küresel Koordinatlarda yapılan bazı özel çözümleri gözden geçirilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Özel Ortogonal Koordinatlar, Poisson Denklemi, Green Fonksiyonu.

SUMMARY

Partial Differential Equations, a branch of applied Mathematics, have many applications in every branch of engineering in basic science.

Differential Equations that faced in Physics and Engineering are equations as Laplace, Poisson, Helmholtz or wave, Schrödinger equations. Common features of this kind of equations are linear and partial differential equations from second degree. Series, differentiation of variables, Green Functions and integral transformations are often used in solving these equations. In some situations, analytical techniques are inadequate so numerical methods are used.

In this study, in Part I, general and short information about Differential Equations are given, and in addition to general concepts about Partial Differential Equations, Laplace, Poisson, Diffusion, Helmholtz, Wave Equations are shortly introduced.

In Part II, general coordinates, Orthogonal Coordinate Systems, Special orthogonal coordinates are introduced and Gradient, Divergence, Rotational and Laplacian expressions are given and basic features of Bessel and Legendre Functions are shortly introduced.

In Part III, Poisson Equation is introduced and special solutions which are applied in Cylinder and Spherical Coordinates are looked over.

Key Words: Special Orthogonal Coordinates, Poisson Equations, Green Function.

ÖNSÖZ

Tez çalışmam boyunca her türlü yardımını esirgemeyen ve çalışmamın ortaya çıkmasında emeği geçen hocam Yrd.Doç.Dr.Cengiz DANE’ye teşekkürlerimi sunarım. Hem yardımları hem de manevi destekleriyle yanımda olan başta Prof.Dr. Hülya İŞCAN olmak üzere tüm Matematik Bölümüne şükranlarımı sunarım.

Ayrıca en başından beri beni destekleyen ve daima yanımda olan sevgili eşime, anneme ve ablama en içten teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET i SUMMARY ii ÖNSÖZ iii I. BÖLÜM / ÖN BİLGİLER 1.1 . Giriş 1 1.2 . Genel Bilgiler 2 II. BÖLÜM / ORTOGONAL KOORDİNATLAR VE ÖZEL KOORDİNATLAR 2.1 . Genel Koordinatlar 10

2.2 . Ortogonal Koordinat Sistemleri 16

2.3 . Özel Ortogonal Koordinat Sistemleri 22

2.3.1. Kartezyen Koordinatlar 22

2.3.2. Dairesel Silindirik Koordinatlar 25

2.3.3. Küresel Koordinatlar 28

2.4 . Legendre Denklemi ve Polinomları 31

2.5 . Bessel Denklemi 39

2.6 . Dirac Delta Fonksiyonu 42

III. BÖLÜM / POISSON DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ 3.1 . Poisson Denklemi 44

3.2 . Poisson Denkleminin Silindirik koordinatlarda çözümü 50

3.3 . Poisson Denkleminin Küresel koordinatlarda çözümü 61

TARTIŞMA 75

SİMGELER DİZİNİ 76

KAYNAKLAR 77

I. BÖLÜM

1.1. Giriş

Doğa sistemlerinin matematiksel modellerle ifade edilmesi söz konusu olduğunda genellikle diferansiyel denklem veya diferansiyel denklem sistemleriyle karşılaşırız. Matematiksel modelleme yöntemi; genel olarak, bir gerçek problemin matematik formüllerle ifade edilmesi, yani bir matematiksel modelin kurulması, ortaya çıkan problemin çözümü ve analizi, matematiksel sonuçların, orijinal gerçek olay açısından yorumu, şeklinde özetlenir.

Bir doğa olayının yapısı ile kısmi diferansiyel oluşturmak, uygulamalı matematiğin güç konularından biri ve aynı zamanda analizin klasik bir dalıdır.

Diferansiyel Denklemlerin, Mühendislik Bilimlerinden Sosyal Bilimlere kadar geniş bir uygulama alanı vardır.

Matematik modellerle ifade edilen ve diferansiyel denklemlere dönüştürülen olayların analizi, bu olayları temsil eden diferansiyel denklemlerin çözümü olan fonksiyonların incelenmesi ile yapılır. Eğer basit hareketleri temsil eden diferansiyel denklemler ya da denklem sistemleri ile karşı karşıyaysak bunlar genellikle lineer denklemlerdir ve genel çözümü analitik fonksiyonlardan oluşan bir uzay oluştururlar. Analitik çözümün bulunması demek ele alınan sistemin tamamen bilinmesi demektir. Eğer doğa olayını temsil eden diferansiyel denklemler non-lineer ise genellikle bu tip denklemlerin analitik çözümü azdır veya yoktur. Bu denklemlerin çözümleri nümerik yöntemlerle yaklaşık olarak hesaplanır.[1,2,3,4]

Örneğin, Matematik, Fizik ve Uygulamalı Bilimlerde karşılaşılan Laplace, Poisson, Difüzyon ve Dalga Denklemleri gibi denklemler benzer karakterlere sahip denklemlerdir. Bu denklemler _∇2 ₊ 2 ₌0

U k

U formunda yazılan ve Helmholtz

Denklemi olarak bilinen ve çözümlerini inceleyebildiğimiz bir özel denkleme dönüştürülebilen denklemlerdir. [20,21,22,23]

Bu çalışmada 2 ( )

r f r

− =

∇ φ Poisson Denkleminin Küresel ve Silindirik Koordinatlarda çözümleri incelenmiştir. Ayrıca koordinat sistemleri, Legendre ve Bessel Fonksiyonları ile ilgili özet bilgi verilmiştir.

1.2. Genel Bilgiler

Bağımsız değişkenleri, bu değişkenlerin fonksiyonlarını ve bu fonksiyonların türevlerini içeren bağıntılara diferansiyel denklem denir.

Tek bir değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir denkleme “Bayağı (Adi) Diferansiyel Denklem” , iki yada daha çok bağımsız değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkenlere göre türevlerini içeren bir denkleme “Kısmi Diferansiyel Denklem” denir.[1]

Bir diferansiyel denklemde en yüksek türevin mertebesine diferansiyel denklemin “Mertebesi” veya “Basamağı”, denklemdeki en yüksek mertebeli türevin cebirsel derecesine denklemin “Derecesi” denir.

Diferansiyel denklemlerin; genel, özel ve tekil olmak üzere üç tür çözümünden bahsedilebilir. n. Mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümünde n tane keyfi sabit vardır. Genel çözümlerde sabitlere özel değerler verilerek özel çözümler elde edilir. Bazen diferansiyel denklemi sağlayan ancak genel çözümlerden elde edilemeyen bir veya birkaç çözüm ile karşılaşılabilir. Bu çözümlere de tekil çözümler denir.

U bağımlı, x,y bağımsız değişkenlerine bağlı bir Kısmi Diferansiyel Denklem genel olarak,

(

x,y,U,U_x,U_y,U_xx,U_xy,U_yy,

)

=0

F (1.2.1)

şeklinde ifade edilir.

n bağımsız ve bir bağımlı değişkene sahip kısmi türevli denklemlerin genel şekli, x=

(

x₁,x₂,...,x_n

)

, U =U

( )

x olmak üzere,

(

x₁,x₂,...,xn,U,Ux₁,...,Ux ,Ux₁x₁,Ux₁x₂,...

)

=0

F

formundadır.

Bir Kısmi Diferansiyel Denklemdeki bağımlı değişken ve bunların denklemdeki tüm kısmi türevleri birinci dereceden ve denklemi, bağımlı değişken ile onun türevleri parantezinde yazdığımızda katsayılar yalnızca bağımsız değişkenlerin fonksiyonu oluyorsa bu denkleme “Lineer Kısmi Diferansiyel Denklem” denir.

İki bağımsız değişkenli birinci dereceden bir lineer denklem,

( )

x,yU Q(x,y)U R(x,y)U S(x,y)

P x + y + = (1.2.3)

biçiminde, ikinci mertebeden bir lineer denklem,

( )

x,yU B(x,y)U C(x,y)U D(x,y)U E

( )

x,yU F

( )

x,yU G(x,y)

A _xx + _xy + _yy + _x + _y + =

(1.2.4) şeklinde ifade edilir.

Eğer bir Kısmi Diferansiyel Denklem, o denklemde bulunan en yüksek mertebeli kısmi türevlere göre lineer ise, denkleme “Yarı Lineer Kısmi Diferansiyel Denklem” denir.

Birinci mertebeden iki bağımsız değişkenli yarı lineer denklem,

(

x,y,U

)

U Q(x,y,U)U R(x,y,U)

P x+ y = (1.2.5)

biçiminde, ikinci mertebeden yarı lineer denklem de,

(

x,y,U,Ux,Uy

)

Uxx +B(x,y,U,Ux,Uy)Uxy +C(x,y,U,Ux,Uy)Uyy +D(x,y,U,Ux,Uy)=0

A

(1.2.6) şeklinde gösterilir.

Bir kısmi türevli denklem yarı lineer ise ve denklemde görülen en yüksek mertebeli türevlerin katsayıları sadece bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonu ise denkleme “hemen hemen Lineer Kısmi Diferansiyel Denklem” denir.

( )

x,yU_xx +B(x,y)U_xy +C(x,y)U_yy +D(x,y,U,U_x,U_y)=0

A (1.2.7)

şeklindedir.

Bazen bir diferansiyel denklemin keyfi sabitlerini içeren genel çözümünü bulmak yeterlidir. Bazı durumlarda ise diferansiyel denklemin belirli koşulları sağlayan çözümlerinin bulunması gerekir. Bu koşullar genellikle problemin yapısında vardır veya doğrudan denklemle birlikte verilir. Eğer koşullar yalnız bir noktayı kapsayan koşullar ise sınır koşulları olarak adlandırılır.

Başlangıç koşullarına bağlı olarak çözülen problemlere başlangıç değer problemi yada Cauchy problemi, sınır koşullarına bağlı olarak çözülen problemlere sınır değer problemi, sınır koşullarının yanı sıra başlangıç koşulları da verilirse, bu koşullara göre verilen problemlere başlangıç sınır değer problemi denir.

İkinci mertebeden Lineer Kısmi Diferansiyel Denklemler üç temel bölümde sınıflandırılır. 0 = + + + + +BU CU DU EU FU AUxx xy yy x y (1.2.8)

Karakteristik denkleminin, sol tarafını dx , dy diferansiyelleri cinsinden bir kuadratik form gibi düşünürsek,

(

)

( )

2

( )( ) ( )

2

,dy Ady B dx dy C dx dx

Q = − + (1.2.9)

elde edilir. Bu formun belirlediği geometrik eğriler yardımıyla ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemleri sınıflara ayırmak mümkündür.

Lineer denklemler için; belirli bir

( )

x,y noktasında A,B,C katsayıları sabit değerler alır.

(

dx,dy

)

=1

Q olsun. Bu durumda verilen

( )

x,y noktası ile ilgili olarak Q=1 kuadratik denklemi dx−dy düzleminde konikleri belirler. Yani x− düzlemindeki her noktaya y

karşılık dx−dy düzleminde bir konik eğri bulunur. Bu durumda koniğin cinsi

(

dx dy

)

Q , ’nin katsayılarına bağlıdır. Buna göre,

i) 2 _{− AC}4 _>0

B ise kökler reel ve farklıdır ve Q=1 denklemi bir hiperbol

belirler.

ii) 2 _{− AC}4 ₌0

B ise kökler reel ve çakışıktır ve Q=1 denklemi bir parabol

belirler.

iii) 2 _{− AC}4 _<0

B ise kökler eşlenik kompleks sayılardır ve Q=1 denklemi bir

elips belirler.

Böylece (1.2.8) Kısmi Diferansiyel Denklemi, 0

4

2 _{− AC >}

B ise Hiperbolik, B2 − AC4 =0ise Parabolik, B2 − AC4 <0 ise Eliptik

olarak sınıflandırılır.[5,6,7,14] 0

2

2 _{+ =}

∇ U k U Helmholtz Denkleminde U(x,y,z)merkezi orijinde bulunan ve

kenar uzunluğu a ve orijindeki değeri

(

0,0,0

)

0 U

U = (1.2.10)

olan küp içinde tanımlı bir skaler alan olsun. Küpün içindeki bir noktada bu skaler alanın ortalama değeri

(

)

U

(

x y z

)

dxdydz a z y x U a a a a a a

∫ ∫ ∫

− − − = /2 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 3 , , 1 , , (1.2.11)

ifadesi ile verilir. U

(

x,y,z

)

, x₀ =

(

0,0,0

)

noktası civarında kuvvet serisine açılır ve serinin yüksek mertebeden terimleri ihmal edilerek bulunan açılım (1.2.11) de kullanılırsa

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

00 0 2 2 2 2 2 2 2 _{, , , , , ,} 24 0 , 0 , 0 , , == = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = z y x z z y x U y z y x U x z y x U a U z y x U (1.2.12) veya

(

)

( )

2 0 2 0 24 , ,y z U a U x U = + ∇ (1.2.13)

bulunur. Bu ifade kısaca

(

)

(

)

{

}

0 2 2 ) , , ( 24 0 , 0 , 0 , ,y z U a U x y z x U − = ∇ (1.2.14) veya

( )

2 0 2

(

0

)

24 U U a U = − ∇ (1.2.15)

formunda yazılır. Çünkü çok değişkenli fonksiyonlar için

(

x₀ h,y₀ h,...,t₀ l

)

f

(

x₀,y₀,...,t₀

)

f + + + = +

(

)

n r n r R t y x f l t k y h x r ⎟⎟_⎠ + ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂

∑

=1 0 0 0 ,..., , ... ! 1 (1.2.16)

(

h=x−x0,k = y−y0,...,l =t−t0

)

şeklinde alınan Taylor Teoremi

(

x₀,y₀,z₀

) (

= 0,0,0

)

noktasında )U(x,y,z

fonksiyonuna uygulanırsa

(

)

... 2 1 , , 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = xz z x U yz z y U xy y x U z z U y y U x x U z z U y y U x x U U z y x U (1.2.17)

ifadesi elde edilir. (1.2.17) değerinin (1.2.11)’de yerine konulması ile tek kuvvette olan ifadeler sıfır ve çift kuvvetten ifadeler

0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3 _{2 24} 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

∫

∫

∫

− − − x U a dxdydz x x U a a a a a a a ; (1.2.18) 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3 _{2 24} 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

∫

∫

∫

− − − y U a dxdydz y y U a a a a a a a ; (1.2.19) 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3 _{2 24} 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

∫

∫

∫

− − − z U a dxdydz z z U a a a a a a a ; (1.2.20)

şeklini alır. (1.2.18), (1.2.19), (1.2.20) kullanılır ve yüksek mertebeden türevler ihmal edilirse (1.2.11)’den (1.2.15) ifadesi bulunur. (1.2.15) ifadesi U(x,y,z) skaler alanının bir )(x,y,z noktasındaki U(x,y,z) ortalama değeri ile U(0,0,0) başlangıç değeri

arasındaki farkının, bu skaler alanın başlangıç noktasındaki laplasyeni ile belirleneceğini ifade eder.

(1.2.15) ifadesinin sağ tarafında bulunan U −U₀ farkının şekline göre

uygulamalı bilimlerde çok kullanılan kısmi türevli denklemler elde edilir. Bunlardan bazıları;

1- Eğer U(x,y,z) skaler alanının bir noktadaki değeri bu nokta civarındaki ortalama değerine eşit ise (1.2.15)’den Laplace Denklemi adı verilen

0

2 ₌

∇ U (1.2.21) denklemi elde edilir. Buna göre bir skaler alanın, bir noktadaki değeri bu nokta civarındaki ortalama değerine eşit ise bu skaler alan bu noktada (1.2.21) denklemini gerçekler.

2- )U(x,y,z skaler alanın bir noktadaki değeri ile bu nokta komşuluğundaki

( )

r h

U = r

∇2 _(1.2.22)

şeklini alır. Bu denklem, ε₀ bir sabit ve ρ

( )

rr başka bir skaler alan olmak üzere

( )

r

U ρ r

ε₀

2 ₌₋ 1

∇ (1.2.23)

şeklinde yazıldığında Poisson Denklemi olarak bilinen denklem elde edilir.

(1.2.23) denkleminde ρ

( )

rr fonksiyonu sıfıra eşit ise denklem Laplace Denklemine dönüşür. Bu denklemin Mühendislik ve Fizikte geniş bir kullanım alanı vardır.

3- Genellikle (1.2.21) ve (1.2.23) denklemlerini gerçekleyen skaler alanlar )

, , , (x y z t

U biçiminde de olabilir. Bu durumda alanın bir noktadaki değeri, o nokta

komşuluğunda yer alan başka bir noktadaki ortalama değerden farklı değerler alır. Kararlı durumlarda bu fark, zaman sürecinde dengelenir. Bu durum,

(

)

t t z y x U U U ∂ ∂ ≈ − ₀ ( , , , ) (1.2.24)

şeklinde ifade edilir.

(

0

)

0 2 U U U ≈ − ∇ (1.2.25)

şeklinde ifade edildiği göz önüne alınırsa, (1.2.24) ve (1.2.25) ifadelerinden

t t z y x U U ∂ ∂ ≈ ∇2 ₀ ( , , , ) _(1.2.26)

(

)

t t z y x U t z y x U ∂ ∂ ≈ ∇2 , , , 1 ( , , , ) α (1.2.27)

denklemi elde edilir. Bu denklem Difüzyon Denklemi olarak bilinir.(1.2.27) denklemindeki α katsayısına geçirgenlik katsayısı denir.

4- Skaler alanın zamana bağlı olduğu durumlarda

(

U −U₀

)

farkı, fonksiyonun

ivmesiyle orantılı ise bu durum,

(

)

2 2 0 t U U U ∂ ∂ ≈ − (1.2.28)

biçiminde ifade edilir. Aynı zamanda

(

U −U₀

)

farkının ∇2U₀’la orantılı olmasından

dolayı, 2 2 0 2 t U U ∂ ∂ ≈ ∇ (1.2.29)

dır. (1.2.29) ifadesi, c bir orantı sabiti olmak üzere

2 2 2 2 1 t U c U ∂ ∂ = ∇ (1.2.30)

II. BÖLÜM

2.1. Genel Koordinatlar

(

x,y,z

)

bir noktanın kartezyen koordinatları olmak üzere,

(

x y z

)

f

(

x y z

)

f

(

x y z

)

f₁ , , , ₂ , , , ₃ , , verilmiş bir bölgede x,y,z nin sürekli fonksiyonları

olsun.

(

x y z

)

u f

(

x y z

)

u f

(

x y z

)

f

u₁ = ₁ , , , ₂ = ₂ , , , ₃ = ₃ , , (2.1.1)

denklemleri de x,y,z ye göre çözülerek

(

1 2 3

)

2

(

1 2 3

)

3

(

1 2 3

)

1 u ,u ,u , y g u ,u ,u , z g u ,u ,u

g

x= = = (2.1.2)

şeklinde yazılabilsin. Ayrıca g₁,g₂,g₃’de, u₁,u₂,u₃ün fonksiyonları olsun. O zaman

bölge içindeki kartezyen koordinatları

(

x,y,z

)

olan her P noktasına bir

(

u₁,u₂,u₃

)

değer takımı karşılık gelir. Bu u₁,u₂,u₃ fonksiyonlarına P noktasının eğrisel

koordinatları, (2.1.1) ve (2.1.2) denklemlerine koordinat dönüşümü denklemleri denir. Her

(

x,y,z

)

değer takımına tek bir

(

u₁,u₂,u₃

)

değer takımı karşı gelmesi için

3 2 1,u ,u

u ’ü x,y,z’nin sürekli ve türevi alınabilen fonksiyonları kabul ediyoruz.

3 2 1,c ,c

c birer sabit olmak üzere her P noktasından koordinat yüzeyleri denilen

3 3 2 2 1 1 c , u c , u c u = = = (2.1.3)

yüzeyleri geçer. Bu üç yüzey ikişer ikişer koordinat eğrileri denilen üç eğri boyunca kesişirler. Şekil (2.1.1)

Her koordinat yüzeyi üzerinde bir koordinat sabit, diğer ikisi değişkendir. Örneğin u₁ =c₁ yüzeyi üzerinde her yerde u₁ sabit, u₂ile u noktadan noktaya değişir. ₃

Bir yüzey sabit olan koordinatın adı ile adlandırılır.

Şekil (2.1.1) Şekil (2.1.2)

Başlangıç noktası değişken P

(

x,y,z

)

noktasına birleştiren rr =xir+yrj+zkr yer

vektörü (2.1.2) yardımı ile u₁,u₂,u₃ değişkenlerinin fonksiyonu olarak

(

u1,u2,u3

)

r

rr = r (2.1.4)

şeklinde yazılır. rr fonksiyonunun u₁ e göre kısmi türevi, u₂ve u sabit tutularak, yani P ₃

noktası u₁ eğrisi üzerinde değiştirilerek elde edilir.

1

u r

∂ ∂r

, u₁ eğrisine P noktasında teğet

olan bir vektördür. Buna göre u₁’in P noktasındaki teğeti doğrultusundaki birim vektörü

1 → e ile gösterilirse, 1 1 1 u r u r e ∂ ∂ ∂ ∂ = → r r (2.1.5) olur. Eğer

1 1 h ur = ∂ ∂r (2.1.6) ile gösterilirse → → = ∂ ∂ 1 1 1 e h u r (2.1.7)

elde edilir. Benzer şekilde e ve →₂

→ 3

e sırasıyla u₂ ve u eğrilerinin P noktasındaki ₃

teğetleri yönündeki birim vektörleri gösterirse

2 2 h ur = ∂ ∂r ₃ 31 h u r = ∂ ∂r (2.1.8) olmak üzere → → = ∂ ∂ 2 2 2 e h u r , → → = ∂ ∂ 3 3 3 e h u r (2.1.9)

şeklinde yazılır. h₁,h₂,h₃ büyüklükleri metrik katsayılar olarak adlandırılır.

→ 1 e , → 2 e , → 3 e

birim vektörlerinin yönleri sırasıyla artan u₁,u₂,u₃ yönlerindedir. Şekil (2.1.2)

1

u

→

∇ , P noktasında u₁ =c₁ yüzeyinin normali doğrultusunda bir vektördür.

1 1 c

u = yüzeyi normali doğrultusundaki birim vektörünü 1 → E ile gösterirsek, 1 1 1 u u E ∇ ∇ = → r r (2.1.10)

yazılabilir. Benzer şekilde u₂ =c₂ ve u₃ = yüzeylerinin normalleri doğrultusundaki c₃ birim vektörleri 2 → E ve 3 → E ile gösterilirse 2 2 2 u u E ∇ ∇ = → r r ve 3 3 3 u u E ∇ ∇ = → r r (2.1.11) yazılır. Gerek e ,→₁ → 2 e , → 3

e birim vektörlerinin, gerekse 1 → E , 2 → E , 3 → E birim vektörlerinin

yönleri bu vektör takımları bir sağ el vektör sistemi meydana getirecek şekilde seçilir. Eğrisel sistemin her keyfi P noktasında, u₁,u₂,u₃ koordinat eğrilerinin teğetleri

yönünde olan (e ,→₁ → 2 e , → 3

e ) diğeri u₁ =c₁, u₂ =c₂, u₃ = koordinat yüzeylerinin c₃

normalleri yönünde olan ( 1 →

E , 2

→

E , 3

→

E ) gibi iki sağ el birim vektör takımı vardır. Genel

olarak (e ,→₁ → 2 e , → 3 e ) ile ( 1 → E , 2 → E , 3 →

E ) vektör takımları birbirinden farklıdır. Ancak eğrisel

koordinat sistemi ortogonal olursa bu iki vektör takımı özdeş olur.

Her keyfi →A vektörü a₁,a₂,a₃ veya A₁,A₂,A₃ bileşenler olmak üzere

3 3 2 2 1 1e a e a e a A= r + r + r → (2.1.12) 3 3 2 2 1 1E A E A E A A= r + r + r → (2.1.13) Şeklinde (e ,→₁ → 2 e , → 3 e ) veya ( 1 → E , 2 → E , 3 →

E ) vektör takımları ayrı ayrı üç boyutlu uzayın

genel olarak birbirinden farklı iki bazını oluştururlar.

Keyfi bir →A vektörünü genel olarak büyüklükleri birim olmayan

3 2 1 , , u r u r u r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂→ → → (2.1.14)

veya 3 2 1, u , u u → → → ∇ ∇ ∇ (2.1.15)

baz vektörleri cinsinden yazmak mümkündür. (2.1.14) ve (2.1.15) baz vektörlerine üniter baz vektörleri denir. →A vektörü bu baz vektörleri cinsinden

→ → → → → → → + + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = _{1 1 2 2 3 3} 3 3 2 2 1 1 c α c α c α u r c u r c u r c A (2.1.16) → → → → → → → + + = ∇ + ∇ + ∇ =C₁ u₁ C₂ u₂ C₃ u₃ C₁β₁ C₂β₂ C₃β₃ A (2.1.17)

şeklinde yazılabilir. Burada 3 3 2 2 1 1 u r u r u r ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = → → → → → → α α α (2.1.18) 3 3 2 2 1 1 u u u → → → → ∇ = ∇ = ∇ = β β βr r (2.1.19) dır. C₁,C₂,C₃ bileşenlerine →

A vektörünün kovaryant, c₁,c₂,c₃bileşenlerine de

→

A

vektörünün kontravaryant bileşenleri denir.

Kartezyen koordinatlarda yay uzunluğu denklemini;

2 2 2 2 dz dy dx ds = + + (2.1.20)

3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 du du du du u r du u r du u r r d =α +α +α ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = → → → → (2.1.21)

şeklinde ifade edilir.

→ r d nin bu değerinden

∑∑

= = = 3 1 3 1 2 i j j i ijdudu g ds (2.1.22)

elde edilir. Burada

→ →

= i j ij

g α α (2.1.23) dir. g ye metrik katsayılar denir ij gij = gji dir, yani g simetriktir. (2.1.23) bağıntısı, ij

temel kuadratik form veya metrik form olarak adlandırılır.

Eğer i ile j nin farklı değerleri için gij =0 ise o zaman koordinat sistemi ortogonaldir. Ortogonal koordinat sistemleri için i=1,2,3 olmak üzere

2 i i i i i i ii h u z u y u x u r u r g _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = → → (2.1.24)

2.2. Ortogonal Koordinat Sistemleri

Eğer koordinat eğrileri her P

(

x,y,z

)

noktasında birbirine dik ise u₁,u₂,u₃

eğrisel koordinatları ortogonaldir denir.

→ 1 e , → 2 e , → 3

e (2.1.5) de tanımlanan birim vektörler ve s₁,s₂,s₃ ; u₁,u₂,u₃ ün pozitif

yönde koordinat eğrileri boyunca ölçülen yay uzunluklarını göstermek üzere

( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 1 2 ) (ds ds ds ds = + + (2.2.1) dir. Bu ifade h₁,h₂,h₃ metrik katsayıları cinsinden

( )

( )

2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 _{(du )} h du h du h ds = + + (2.2.2) şeklinde yazılır. Ayrıca ortogonal koordinat sistemleri için J jakobiyeni

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 . h h h e x e e h h h e xh e h e h u r x u r u r u r u r u r J = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = → → → → → → → → → → → → (2.2.3) dir. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_∇→ _∇→ _∇→ 3 2 1, u , u u ile ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂→ → → 3 2 1 , , u r u r u r

vektör takımı ters vektör sistemler olduğundan ortogonal koordinat sistemleri için

1 1 3 3 2 2 3 2 1 3 2 1 1 1 h e e xh e h h h h u r x u r J u → → → → → → = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ (2.2.4) 2 2 1 1 3 3 3 2 1 1 3 2 1 1 h e e xh e h h h h u r x u r J u → → → → → → = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ (2.2.5) 3 3 2 2 1 1 3 2 1 2 1 3 1 1 h e e xh e h h h h u r x u r J u → → → → → → = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ (2.2.6) ve 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 1 xu u h h e xu u h h e xu u h h e → → → → → → ∇ = ∇ = ∇ = (2.2.7) bağıntıları bulunur.

Bir f skaler fonksiyonunun Gradyenti bir vektördür. Gradyent vektörünün (e ,→₁ → 2 e , → 3

e ) bazındaki bileşenleri f₁, f₂,f₃ ise

→ → → → + + = ∇ f f₁e₁ f₂e₂ f₃e₃ (2.2.8)

şeklinde ifade edilir.

3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 du e h du e h du e h du u r du u r du u r r d → → → → → → → + + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = (2.2.9) ve

→ →

∇ = f dr

df . . (2.2.10)

olduğu göz önüne alınırsa (2.2.8) ve (2.2.9) bağıntıları kullanılarak

3 3 3 2 2 2 1 1 1 f du h f du h f du h df = + + (2.2.11) elde edilir, diğer taraftan f fonksiyonu (u₁,u₂,u₃) eğrisel koordinatlarının bir skaler

fonksiyonu olduğu dikkate alınarak

3 3 2 2 1 1 du u r du u r du u r df ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = → → → (2.2.12) yazılır. (2.2.4), (2.2.5), (2.2.6) ve (2.2.12) bağıntılarından i i i u f h f ∂ ∂ = 1 i=1,2,3 (2.2.13)

elde edilir. Bu değerler (2.2.1) bağıntısıyla yerine konulursa f in gradyenti

3 3 3 2 2 2 1 1 1 u f h e u f h e u f h e f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ → → → → (2.2.14)

şeklinde elde edilir. Buradan da ∇ işlemcisinin dik eğrisel koordinatlardaki ifadesi →

3 3 3 2 2 2 1 1 1 u h e u h e u h e ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ → → → → (2.2.15) olarak bulunur.

3 3 2 2 1 1e A e Ae A A= r + r + r → (2.2.16)

vektör fonksiyonunun diverjansını hesaplamak için (2.2.14) bağıntısı kullanılarak

(

A1e1 A2e2 A3e3

)

f =∇ r + r + r ∇→ → (2.2.17) den

(

)

(

1 2 3

)

1 3 2 1 1 1 1 h h A u h h h e A ∂ ∂ = ∇→ r

(

)

(

2 3 1

)

2 3 2 1 2 2 1 h h A u h h h e A ∂ ∂ = ∇→ r (2.2.18)

(

)

(

3 1 2

)

3 3 2 1 3 3 1 h h A u h h h e A ∂ ∂ = ∇→ r

bulunur. 1A₁ = A₂ = A₃ = özel değeri için (2.2.18) bağıntıları

(

_{2 3}

)

1 3 2 1 1 1 h h u h h h e ∂ ∂ = ∇→→

(

3 1

)

2 3 2 1 2 1 h h u h h h e ∂ ∂ = ∇→ → (2.2.19)

(

1 2

)

3 3 2 1 3 1 h h u h h h e ∂ ∂ = ∇→ →

(

)

(

)

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇→→ _{3 1 2} 3 1 3 2 2 3 2 1 1 3 2 1 1 h h A u h h A u h h A u h h h A (2.2.20)

formunda elde edilir. Benzer şekilde keyfi bir →A vektörünün rotasyoneli için (2.2.4),

(2.2.5),(2.2.6) bağıntılarından

(

)

(

)

(

1 1

)

2 2 1 3 1 1 3 3 1 2 1 1 Ah u h h e h A u h h e e A x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇→ r r r

(

)

(

)

(

2 2

)

3 3 2 1 2 2 2 2 1 3 2 2 A h u h h e h A u h h e e A x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∇→ r r r (2.2.21)

(

)

(

)

(

3 3

)

1 1 3 2 3 3 3 2 3 1 3 3 Ah u h h e h A u h h e e A x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∇→ r r r

elde edilir. Böylece →A vektörünün ortogonal eğrisel koordinatlardaki rotasyoneli;

3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 1 h A h A h A u u u e h e h e h h h h A x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ → → → → → (2.2.22)

şeklinde de yazabiliriz. (2.2.15) ifadesinden yararlanarak f skaler fonksiyonun ortogonal eğrisel koordinatlardaki Laplasyeninin ifadesi

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ 3 3 2 1 1 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 2 1 u f h h h u u f h h h u u f h h h u h h h f (2.2.23)

olarak elde edilir.

3 2 1 3 2 1.h .h .du du du h dV = (2.2.24) yüzey elemanı, 2 1 2 1.h .du du h dS = (2.2.25) şeklidedir.[9,10,11,16]

2.3. Özel Ortogonal Koordinat Sistemleri 2.3.1. Kartezyen koordinatlar Şekil (2.3.1.1) Kartezyen koordinatlar; +∞ < < ∞ − = x x u₁ +∞ < < ∞ − = y y u₂ (2.3.1.1) +∞ < < ∞ − = z z u₃

şeklinde ifade edilir. Kartezyen koordinat sisteminde herhangi bir P(x,y,z) noktasının yer vektörü, k z j y i x rr = r+ r+ r (2.3.1.2)

olarak yazılır. Metrik ve metrik katsayılar

1 1 1 _{2 3} 1 _∂ = ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = → → → z r h y r h x r h gij =δij i, j =1,2,3 (2.3.1.3) dir.

Bu koordinat sisteminde, ) (nabla → ∇ operatörü, k z j y i x r r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ (2.3.1.4) şeklinde verilir. ) , , (x y z f

f = bir skaler fonksiyon ve

→

E de kartezyen koordinatlardaki skaler

bileşenleri EX,E_Y,E_Z olan bir vektör olmak üzere

f fonksiyonun Gradyenti; k z f j y f i x f f gradf r r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = (2.3.1.5) → E vektörünün Diverjansı; z E y E x E E E div x y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = → → r (2.3.1.6) → E vektörünün Rotasyoneli; z y x E E E z y x k j i E x E Rot ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ = → → r (2.3.1.7) f fonksiyonunun Laplasyeni, 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ (2.3.1.8)

olarak ifade edilir. Yay elemanı,

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 ) (dz dy dx ds = + + (2.3.1.9) Hacim elemanı, dxdydz dV = (2.3.1.10) Alan elemanı, dxdy dA= (2.3.1.11) dir.

2.3.2. Dairesel silindirik koordinatlar Şekil (2.3.2.1) ) , , (x y z

P noktasının xy düzlemindeki izdüşümü P′(u₁,u₂,u₃)olsun.

∞ ≤ ≤ =r r u₁ 0 u₂ =θ 0≤θ <2π (2.3.2.1) ∞ < < ∞ − = z z u₃

koordinatlarına P noktasının silindirik koordinatları denir. Kartezyen koordinatlar silindirik koordinatlara, θ cos r x= θ sin r y= (2.3.2.2) z z=

bağıntıları ile bağlıdır.

Bu koordinatlar ile Kartezyen Koordinatlar arasında

2 2 y x r = + , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y arctan θ , z = (2.3.2.3) z

bağıntıları vardır. ) , , (x y z

P noktasının rr =xir+yrj+zkr yer vektörünün silindirik koordinatlardaki

ifadesi, k z j r i r rr = .cosθ.r+ .sinθ.r+ r (2.3.2.4)

olmak üzere metrik katsayılar ve r,θ,z nin artan yöndeki birim vektörleri

1 1 _∂ = ∂ = r r h r h r =r ∂ ∂ = θ r 2 3 _∂ =1 ∂ = z r h r (2.3.2.5) ve j i r e e r r r . sin . cos 1 = = = θ + θ Λ → → j i e e₂ = _θ =θ =−sinθ.r+cosθ.r Λ → → (2.3.2.6) k z e e z r = = = → Λ → 3 dir. Bu koordinat sisteminde ) (nabla → ∇ operatörü, z r e z e y r e r r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇→ 1 _θ (2.3.2.7) şeklindedir. ) , , (x y z f

f = bir skaler fonksiyon ve

→

E de kartezyen koordinatlardaki skaler

bileşenleri Er,Eθ,Ez olan bir vektör olmak üzere

f fonksiyonun Gradyenti; → → → ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = r ez z f e y f e x f f gradf r _θ (2.3.2.8)

→ E vektörünün Diverjansı; z E E r r E E E div r z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = → → θθ 1 r (2.3.2.9) → E vektörünün Rotasyoneli; z r z r E E Er z e e r e E x E Rot θ θ ρ.θ . ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ = → → → → → r (2.3.2.10) f fonksiyonunun Laplasyeni, 0 1 1 2 2 2 2 2 2 ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ z f f r r f r r r f θ (2.3.2.11) veya ₂ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 z f f r r f r r f f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ θ (2.3.2.12)

olarak ifade edilir. Yay elemanı,

( ) ( )

2 2 2

( )

2 2 ) (dz d r dr ds = + θ + (2.3.2.13) Hacim elemanı, dz rdrd dV = θ (2.3.2.14) Alan elemanı, θ rdrd dA= (2.3.2.15) dır.

2.3.3. Küresel koordinatlar

Şekil (2.3.3.1)

Bir )P(x,y,z noktasının küresel koordinatları, r; P noktasının başlangıç noktasına

uzaklığı, θ ; OP→ = r→ vektörünün Z ekseni ile yaptığı açı, φ;

→

r vektörünün xy düzlemi

üzerindeki izdüşümünün ox ekseni ile yaptığı açı olmak üzere,

∞ ≤ ≤ =r r u₁ 0 u₂ =θ 0<θ <π (2.3.3.1) π φ φ 0 2 3 = ≤ < u

koordinatlarına küresel koordinatlar denir. Kartezyen koordinatlar küresel koordinatlara,

θ φsin cos r x= θ φsin sin r y= (2.3.3.2) θ cos r z=

bağıntıları ile bağlıdır.

2 2 2 z y x r = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − x y 1 tan φ (2.3.3.3) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = r z z y x arccos arctan 2 2 θ bağıntıları vardır. ) , , (x y z

P noktasının rr = xir+yrj+zkr yer vektörünün küresel koordinatlardaki ifadesi,

k r j r i r

rr = cosφsinθ.r+ sinφsinθ.r+ cosθ.r (2.3.3.4)

dir. metrik katsayılar ve r,θ,φ nin artan yöndeki birim vektörleri

1 1 _∂ = ∂ = r r h r h r =r ∂ ∂ = φ r 2 3 _θ r.sinφ r h = ∂ ∂ = r (2.3.3.5) ve k j i r e e r r r r . cos . sin sin . cos sin 1 = = = θ φ + θ φ + θ Λ → → k j i e

e₂ = _θ =θ =cosθcosφ.r+cosθsinφ.r−sinθ.r

Λ → → (2.3.3.6) j r i r z e

e₃ = _z = =− sinθsinφ.r+ sinθcosφ.r

Λ → → dir. Bu koordinat sisteminde ) (nabla → ∇ operatörü, φ θ _{θ φ} θ e r e r e r r r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇→ sin . 1 1 (2.3.3.7)

) , , (x y z f skaler fonksiyon ve →

E de kartezyen koordinatlardaki skaler

bileşenleri Er,E_θ,E_φ olan bir vektör olmak üzere f fonksiyonun Gradyenti; → → → ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = _{θ φ} φ θ θ e f r e f r e r f f gradf r sin 1 1 r (2.3.3.8) → E vektörünün Diverjansı; φ θ θ θ φ θ ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = → → _E r E r E E r r E E E div r _{r r} sin 1 cot 2 r (2.3.3.9) → E vektörünün Rotasyoneli; φ θ φ θ θ φ θ θ E r E r E r e e r e r E x E Rot r r sin . . sin 1 2 _∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ = → → → → → r (2.3.3.10) f fonksiyonunun Laplasyeni, 2 2_{2 2} 2 _{2 2 2 2} 2 ₂ sin 1 cot 1 2 φ θ θ θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ f r f r f r r f r r f f (2.3.3.11)

olarak ifade edilir. Yay elemanı,

( ) ( )

2 2 2

( )

_θ 2 2_sin2_{θ( φ)}2 d r d r dr ds = + + (2.3.3.12) Hacim elemanı, φ θ θdrd d r dV = 2sin (2.3.3.13) Alan elemanı, φ θd rdrd dA= (2.3.3.14) olur.[5,9,10,11]

2.4. Legendre Denklemi ve Polinomları

(

, ,

)

2

(

, ,

)

0

2_{Ψ + Ψ =}

∇ x y z k x y z (2.4.1)

denklemini göz önüne alalım. Bu denklem; doğrusal, ikinci mertebeden kısmi türevli bir diferansiyel denklemdir. Denklemin çözümlerinde seri çözümler, değişkenlerin ayrılması, Green fonksiyonları ve integral dönüşümler en çok kullanılan yöntemlerdir. Denklemin çözümünde analitik tekniklerin başarısız olduğu durumlarda ise sayısal yöntemlere başvurulur.

(2.4.1) denklemi küresel koordinatlarda ve k parametresinin sadece radyal koordinat r’ye bağlı olduğu durumlarda değişkenlerin ayrılması yöntemi kullanarak çözülür. İlk etapta Ψ

(

r,θ,φ

)

çözümünün r ve (θ,φ)değişkenlerine bağımlılığını:

(

r,θ,φ

)

=R(r)Y

( )

θ,φ

Ψ (2.4.2)

şeklinde ayrılır. Bu (2.4.1) denkleminde yerine konulursa

( ) ( )

(

)

(

( )

)

( )

, ) ( ) ( )

( )

, 0 ) ( ( sin 1 , ) ( sin sin 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ φ θ φ θ φ θ φ θ θ θ θ θ φ θ Y r R r k Y r R r Y r R r Y r R r r r r (2.4.3) bulunur. Bu denklemi

( )

θ,φ ) ( 2 Y r R r (2.4.4)

2 2 2 _{( ) ( )} ) ( 1 r r k r R r r r r R ⎥⎦+ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.4.5)

( )

( )

2 2 2 ) , ( ) , ( sin 1 , sin , 1 sin 1 φ φ θ φ θ θ φ θ θ θ θ φ θ θ ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ − = Y Y Y Y

elde edilir. r ve (θ,φ) birbirlerinden bağımsız değerler alabildiklerinden, bu denklem tüm r ve (θ,φ) değerleri için sağlanması ancak her iki tarafınında aynı sabite eşit olması ile mümkündür. Bu sabite ayrılma sabiti denir ve λ ile gösterilirse, (2.4.5) denklemi

0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 _{+ − =} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ r R r R r k r r r R r r λ (2.4.6) ve

( )

( , ) _{( , ) 0} sin 1 , sin sin 1 2 2 2 _∂ + = ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ _{λ θ φ} φ φ θ θ θ φ θ θ θ θ Y Y Y (2.4.7)

şeklinde iki ayrı denkleme indirgenir. R

( )

r ’nin sağladığı (2.4.6) denklemi, sıradan bir diferansiyel denklemdir. İkinci denklemde ise,

) ( ) ( ) , (θ φ =Θθ Φφ Y (2.4.8)

şeklinde tekrar ayrılabilir bir çözüm dener ve ayrılma sabitine 2

m denerek 2 2 2 2 ( ) ) ( 1 sin sin ) ( sin m d d d d d = ∂ Φ Φ − = + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Θ Θ φ φ φ θ λ θ θ θ θ θ (2.4.9)

[

sin

]

( ) 0 ) ( sin cos ) ( sin 2 2 2 2 2 Θ ₊ Θ _{+ λ θ − Θ θ =} θ θ θ θ θ θ θ m d d d d (2.4.10) ve 0 ) ( ) ( 2 2 2 = Φ + Φ _φ φ φ m d d (2.4.11)

olarak bulunurlar. Görüldüğü gibi, kısmi türevli bir diferansiyel denklem olan (2.4.1) denklemi, küresel simetrik problemlerde değişkenlerin ayrılması yöntemi ile, (2.4.6), (2.4.10) ve (2.4.11)’ de verilen üç sıradan diferansiyel denkleme dönüşmüştür.

(2.4.1) denkleminin ayrılabilir olması, küresel kutupsal koordinatların kullanılması ile yakından ilgilidir. Bu koordinat sistemi, simetrileri tam olarak yansıtmaktadır. Aynı problem kartezyen koordinatlarda çözme denenseydi, çözüm

(

x y z

)

= X

( ) ( ) ( )

xY y Z z

Ψ , ,

şeklinde değişkenlerine ayrılamayacaktı. Verilen kısmi türevli bir diferansiyel denklemin değişkenlerin ayrılması yöntemi ile çözülüp çözülemeyeceği, denklemin simetrileri ile yakından ilgilidir. Kısmi türevli bir diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılamıyorsa, ayrılabileceği bir koordinat sisteminin var olup olmadığını kontrol etmek diferansiyel denklemin simetrilerini araştırmakla mümkündür. Böyle bir koordinat sistemi var ise, onu da sistemin simetrilerinin türeticileri yardımı ile oluşturmak mümkündür.

Bu denklemlerden (2.4.11)’nin genel çözümü

( )

_φ imφ imφ Be

Ae + −

=

Φ (2.4.12) dir. m üzerinde henüz bir sıralama yoktur ancak

(

ϕ+ π

)

=Φ

( )

ϕ

Φ 2 (2.4.13)

olarak verilen periyodik sınır şartı kullanılırsa ,...0,±1,±2 gibi tamsayı değerleri alması gerektiği görülür. (2.4.10) denklemi

[ ]

[ ]

(

0, , 1,1

)

cos ∈ ∈ −

= x

x θ θ π (2.4.14) gibi yeni bir bağımsız değişken tanımlanarak

(

)

( ) 0 ) 1 ( ) ( 2 ) ( 1 ₂ 2 2 2 2 ₌ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − Z x x m dx x dZ x dx x Z d x λ (2.4.15)

şeklinde yazılır. m=0 için bu denkleme Legendre denklemi ve m≠0 içinde Asosiye Legendre denklemi denir.

Legendre Denkleminin Frobenius Yöntemi ile seri çözümü yapılırsa, m=0 için

(

1

)

(₂ ) 2 ( ) ( ) 0 2 2 _{− + =} − Z x dx x dZ x dx x Z d x λ (2.4.16)

şeklinde verilen Legendre denkleminin x=±1 noktalarında iki tane düzenli tekilliği

vardır. Bu noktalar (2.4.16) denkleminin tanım aralığı olan

[ ]

−1,1 aralığının uç noktaları olduğundan, 0 = x (2.4.17) civarında

∑

∞ = + = 0 ) ( k k kx a x Z α (2.4.18)

∑

[

]

∑

∞ = + ∞ = − + = − + + − + + − − + + 0 0 2 0 ) ( 2 ) 1 )( ( ) 1 )( ( k k k k k k a k k k x x k k a λ α α α α α α α (2.4.19)

bulunur. Buradan birinci seriyi,

∑

∞

(

)(

)

= ′ − + ′ ′ − − _{+ + + ′+ ′+ −} − 2 2 1 1 2 0 ( 1) ( 1) 1 k k k k k x a x a x a α α α α α α α α α (2.4.20)

şeklinde yazılır ve k ′ değişkeni

2 + = ′ k

k (2.4.21)

olarak yeniden tanımlanırsa, (2.4.19) denklemi

(

)(

)

(

)

[

]

∑

∞ = ′ + + − − = − + + + − + + + + + + + − 2 2 1 1 2 0 0 1 ) ( 1 2 ) 1 ( ) 1 ( k k k k k k a k k a x x a x a λ α α α α α α α α α α α (2.4.22) şeklini alır. Kuvvet serilerin teknik özelliği kullanılırsa bu denklemi bütün x noktalarında sağlamak, ancak x’in bütün kuvvetlerinin katsayılarının aynı anda sıfıra eşit olması ile mümkün olacağından, (2.4.18) seri çözümünün katsayıları arasında

0 ) 1 ( 0α α − = a (2.4.23) a₁α(α +1)=0 (2.4.24)

(

)(

)

[

]

(

1

)(

2

)

0,1,2... 1 2 ₌ + + + + − + + + = + k k k k k a a k k α α λ α α (2.4.25)

ilişkileri bulunur. Burada x’in en küçük kuvvetinin katsayısının sıfıra eşitlenmesinden elde edilen denkleme indis denklemi denir. İndis denkleminde a₀ ≠0 olduğu varsayılırsa α değerleri

1

0 =

= α

α ve (2.4.26) olarak bulunur. (2.4.25) denklemi ise, seri çözümlerdeki katsayılar arasındaki tekrarlama bağıntısını verir. α =1 için tekrarlama bağıntısı

(

2

)(

3

)

0,1,2... ) 2 )( 1 ( 2 _{+ +} = − + + = + k k k k k a ak k λ (2.4.27)

olur. α =1 için (2.4.24) denklemi

0

1 =

a (2.4.28)

verildiğinden, sıfırdan farklı katsayıları (2.4.27) denklemi yardımıyla bulunur ve a=1

değeri için seri çözümü

(

)

(

)(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − ₊ + + + = ... 120 12 2 6 2 ) ( 3 5 0 1 x a x x x Z λ λ λ (2.4.29)

olur. Aynı şekilde α =0 değeri için seri çözümü (2.4.23) ve (2.4.24)’den 0

0 ₁

0 ≠ ve a ≠

a (2.4.30)

elde edilir. Tekrarlama bağıntıları ise,

(

1

)(

2

)

0,1,2... ) 1 ( 2 _{+ +} = − + = + k k k k k a a_{k k} λ (2.4.31)

olur. Buradan sıfırdan farklı katsayılar bulunursa α =0 için seri çözüm

(

)

(

)(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − ₊ + − + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ... 120 12 2 6 2 ... 12 6 2 2 1 ) ( 5 3 1 4 2 0 2 x x x a x x a x Z λ λ λ λ λ λ (2.4.32)

şeklinde olur. Legendre denklemi ikinci mertebeden, sıradan, doğrusal bir diferansiyel denklem olduğundan, iki tane bağımsız çözümü vardır. Görüldüğü gibi a ve ₀ a₁ birbirinden bağımsız keyfi değerler alacağından α =0 için bulunan çözüm α =1

çözümünü de içermekte olup iki bağımsız çözümü bir arada vermektedir. Dolayısıyla, Legendre denkleminin sonsuz seri olarak genel çözümü; iki birbirinden bağımsız çözümün lineer birleşimi olarak

(

)

(

)(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − ₊ − − ₊ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ... 120 12 2 6 2 ... 12 6 2 2 1 ) ( 5 3 1 4 2 0 x x x C x x C x Z λ λ λ λ λ λ (2.4.33)

şeklinde verilir. Burada C ve ₀ C₁ integral sabitleridir. Bu serilere Legendre serileri adı verilir.

Legendre serilerinin x <1 değerleri için yakınsaklığı oran testi ile kolayca görülür.

Ancak, x=±1 değerinde nasıl davrandıklarını anlamak için tekrarlama bağıntısına ∞ → k limitinde bakılırsa, 1 2 _→ + k k a a (2.4.34)

bulunur. Bu; her iki serinin de yeteri kadar büyük k değerinden sonra,

(

1 ...

)

.... ) ( _{= + +} 2 ₊ 4 ₊ x x x a x Z k k (2.4.35)

şeklinde ifade edilir. Parantez içindeki serinin toplamı ise, 2 1 1 x − (2.4.36) dir. λ değerleri ... 2 , 1 , 0 ) 1 ( + = =l l l λ (2.4.37)

olarak parametrize edilirse, verilen bir l değeri için Legendre serilerinden birisi sonlu sayıda terimden sonra biter. Diğer serininde önündeki katsayı sıfır alınırsa Legendre denkleminin )Pl(x olarak gösterilen polinom çözümleri de elde edilir.

Yani )Z(x)=Pl(x ’dir, l nin bazı değerleri için

1 0 = P x P₁ =

(

3 1

)

2 1 2 2 = x + P (2.4.38)

(

x x

)

P 5 3 5 1 3 3 = − bulunur.

Genelde Legendre polinomları

n l l n l n l x n l n l n n l x P 2 2 02 !( )!( 2 )! )! 2 2 ( ) 1 ( ) ( ⎥⎦ − ⎤ ⎢⎣ ⎡ =

∑

− ₋ − ₋ = (2.4.39)

olarak yazılabilir. Burada _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤

2l en büyük tamsayı değeridir. Legendre polinomlarının başka bir tanımı da

(

)

l l l l l x dx d l x P 1 ! 2 1 ) ( ₌ 2 _{− (2.5.40)}

2.5. Bessel Denklemi

Silindirik koordinatlarda Laplace denklemini

0 ) , , ( 2_{Ψ =} ∇→ r φ z (2.5.1) olarak yazılır ve ) ( ) ( ) ( ) , , (r φ z =R r Φ φ Z z Ψ (2.5.2)

şeklinde ayrılabilir bir çözüm aranırsa, çözülmesi gereken denklemleri,

0 ) ( ) ( 2 2 2 = −k Z z dz z Z d (2.5.3)

( )

2 _{( ) 0} 2 2 = Φ + Φ _φ φ φ m d d (2.5.4) 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 2 2 2 2 = − + + R r r m k dr r dR r dr r R d (2.5.5)

olarak bulunur. Birinci ve ikinci denklemlerin çözümleri

( )

ikz ikz e c e c z Z = ₁ + ₂ − (2.5.6)

( )

_φ imφ imφ ce e c + − = Φ ₁ (2.5.7)

dır. (2.5.5) denklemi Bessel denklemi olarak bilinir ve genelde

kr

dönüşümü ile

( )

1

( )

1 ₂

( )

0 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ′ + ′′ J x x m x J x x J_{m m m} (2.5.9)

şeklinde yazılır. Bu denklemin çözümleri olan Jm

( )

x fonksiyonları ise, Bessel

fonksiyonları olarak bilinir. Bessel denkleminin seri çözümü

( )

r m r r m x r m r x J 2 0 ! ( 1) 2 1 ) ( + ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + Γ − =

∑

(2.5.10)

olarak bulunur. Bessel denkleminin ikinci çözümü ise,

( )

r m r r m x r m r x J 2 0 ! ( 1) 2 1 ) ( + − ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − Γ − =

∑

(2.5.11)

dir. Ancak bu çözüm sadece m’nin tamsayıdan farklı değerler aldığı zaman birinci çözümden bağımsızdır.Bu durumda, genel çözüm iki çözümün lineer birleşimi olarak verilir. m’nin tamsayı değerler aldığı zaman ise, iki çözüm birbirine

) ( ) 1 ( ) (x J x J m m m = − − (2.5.12)

ilişkisi ile bağlıdır. Bu durumda ikinci bağımsız çözüm

π π m x J x J m x N m m m sin ) ( ) ( cos ) ( ₌ − − _(2.5.13)

şeklinde tanımlanan Neumann fonksiyonudur.

) ( ) ( ) ( ) 1 ( x iN x J x Hm = m + m (2.5.14) ) ( ) ( ) ( ) 2 ( x iN x J x Hm = m − m (2.5.15)

olarak tanımlanan Hankel fonksiyonlarıdır. )

(x

J_m fonksiyonları x→0 limitinde m≥0 için sonludur ve

m m x x m x J ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ → → _{( 1) 2} 1 ) ( lim 0 (2.5.15)

şeklini alırlar. Diğer fonksiyonların tümü x→0 limitinde sonsuzdurlar. ∞ → x limitinde ise, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} → 4 2 cos 2 ) ( π π π m x x x Jm (2.5.16) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} → 4 2 sin 2 ) ( π π π m x x x N_m (2.5.17) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} → 4 2 exp 2 ) ( ) 1 ( π π π m x i x x Hm (2.5.18) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} − → 4 2 exp 2 ) ( ) 2 ( π π π m x i x x H_m (2.5.19)

fonksiyonlarına dönüşürler. Eğer Bessel fonksiyonlarının değişkeni sanal olarak alınırsa, modifiye (değiştirilmiş) Bessel fonksiyonu olarak bilinen

m m m i ix J x I ( )= ( ) (2.5.20)

ve ) ( ) ( 2 ) ( (1) ix H i i x K m m m π = (2.5.21)

fonksiyonları ile karşılaşılır. Bu fonksiyonlar,

0 ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( 2 2 2 2 = − − + R x x m dx x dR x dx x R d (2.5.22) denklemini sağlar.

Bessel fonksiyonlarının seri tanımı kullanılarak

) ( 2 ) ( ) ( ₁ 1 J x x m x J x Jm− + m+ = m (2.5.23) ) ( 2 ) ( ) ( ₁ 1 x J x J x J_m− − _m+ = _m′ (2.5.24) ve ) ( ) ( ) ( 1 J x J x x m x J_m− = _m + _m′ (2.5.25) ) ( ) ( ) ( 1 J x J x x m x J_m+ = _m − _m′ (2.5.26)

tekrarlama bağıntıları elde edilir. N_n, H_m(1), H_m(2) fonksiyonları da aynı tekrarlama

bağıntılarını sağlar.[12,19]

2.6. Dirac Delta Fonksiyonu