Bazı özel diyofant denklemleri ve çözümleri

T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI ÖZEL DİYOFANT DENKLEMLERİ VE ÇÖZÜMLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Hilal Başak ÖZDEMİR

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Enstitü Bilim Dalı : CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ Tez Danışmanı : Prof. Dr. Refik KESKİN

Haziran 2015

BEYAN

Tez içindeki tüm verilerin akademik kurallar çerçevesinde tarafımdan elde edildiğini, görsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçların akademik ve etik kurallara uygun şekilde sunulduğunu, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezde yer alan verilerin bu üniversite veya başka bir üniversitede herhangi bir tez çalışmasında kullanılmadığını beyan ederim.

Hilal Başak ÖZDEMİR 04/06/2015

i

ÖNSÖZ

Tez çalışmamız boyunca üstün bilgi ve birikimleriyle beni yönlendiren, destek veren, yardımlarını ve zamanını esirgemeyen çok değerli danışman hocam Sayın Prof. Dr.

Refik KESKİN’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Hayatım boyunca desteğini hiç bir zaman esirgemeyen en değerli varlığım sevgili anneme; zor anlarımı paylaşan, bana daima güvenen ve inanan, beni bugünlere getiren aileme çok teşekkür ederim.

ii

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ ... ii

İÇİNDEKİLER ... ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ ... iv

ÖZET . ... v

SUMMARY ... vi

BÖLÜM 1. GİRİŞ ... 1

1.1. Temel Tanım ve Teoremler ... 1

BÖLÜM 2. KUADRATİK CİSİMLER VE DENKLEM ÇÖZÜMLERİ…………. ... 6

2.1. Kuadratik Cisimler ve Kuadratik Tamsayılar ... 6

2.2. Kuadratik Cisimlerde Birimler ve Asallar ... 9

2.3. Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilen Bölgeler ... 10

2.4. Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilen Bölgeler Yardımıyla Denklem Çözümleri ... 13

BÖLÜM 3. BAZI ÖZEL DİYOFANT DENKLEMLERİ ... 20

BÖLÜM 4. MORDELL DENKLEMLERİ ... 52

BÖLÜM 5. GENELLEŞTİRİLMİŞ FİBONACCİ VE LUCAS DİZİLERİ YARDIMI İLE DENKLEM ÇÖZÜMLERİ ... 62

iii BÖLÜM 6.

FİBONACCİ VE LUCAS DİZİLERİ YARDIMIYLA DENKLEM ÇÖZÜMLERİ.. 82

BÖLÜM 7.

SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 88

KAYNAKLAR ... 89 ÖZGEÇMİŞ ... 90

iv

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

|

a b : a,b yi böler

 : Ancak ve ancak > : Büyüktür

 : Büyük eşittir

: Tam sayılar kümesi

 ^{: Eşittir}

 : Eşit değildir

 , : İse

 : Denktir.

< : Küçüktür

 : Küçük eşittir : Mutlak Değer m

p

  

  : Legendre sembolü

|

a b : a, b yi bölmez

 : Her

: Reel sayılar kümesi ab : a ilgili b

ab : a ilgili değil b

v

ÖZET

Anahtar Kelimeler :Diyofant Denklemleri, Tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge, Pisagor üçlüleri, Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas Dizileri

Bu tez temel olarak altı bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; sayılar teorisi ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verildi.

İkinci bölümde; Kuadratik cisimler, Kuadratik tamsayılar, Kuadratik cisimlerde birimler ve asallarla ilgili tanımlar ve teoremler verildi. Ayrıca, tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge hakkında bilgi verildi. Tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge yardımıyla bazı Diyofant denklemleri çözüldü.

Üçüncü bölümde; Pisagor üçlüleri ile ilgili tanımlar ve teoremler verildi. Ayrıca, bazı özel Diyofant denklemlerinin çözümleri araştırıldı.

Dördüncü bölümde; Mordell denklemleri ile ilgili bazı tanımlar ve teoremler verildi.

Beşinci bölümde; Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri yardımı ile bazı Diyofant denklemleri çözüldü.

Son olarak altıncı bölümde; Fibonacci ve Lucas dizileri yardımı ile bazı özel Diyofant denklemleri çözüldü.

vi

SOME SPECIAL DIOPHANTINE EQUATIONS AND SOLUTIONS

SUMMARY

Keywords: Diophantine Equations, Unique factorization domain, Pytheporian triples, Generalized Fibonacci and Lucas Sequences

This thesis consist of fundamentally six chapters and these chapters consist of subchapters in itself. In the first chapter, fundamental definitions and theorems concerning number theory are given.

In the second chapter, quadratic fields, quadratic integers, definitions and theorems concerning units and primes in quadratic fields are given. Moreover, the information about unique factorization domain is given. Some Diophantine equations are solved with the help of unique factorization domain.

In the third chapter, definitions and theorems concerning Pytheporian triples are given. Moreover, solutions of some special Diophantine equations are investigated.

In the fourth chapter, definitions and theorems concerning Mordell equations are given.

In the fifth chapter, some Diophantine equations are solved with the help of Generalized Fibonacci and Lucas Sequences

Finally, in the sixth chapter, some special Diophantine equations are solved with the help of Fibonacci and Lucas Sequences.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1. a b,  ve a0 olsun. Eğer bac olacak şekilde c bulunabilirse a tamsayısı b tamsayısını böler denir ve bu |a b ile gösterilir.

Önerme 1.1.2. (i)  a için a a ’dır. | (ii)  a için a| 0’dır.

(iii) a ve  b için a b|   a 1’dir.

(iv) a b,  için a b ve || b a a b’dir.

(v) a b c, ,  için a b ve || b ca c ’dir. |

(vi) a b c, ,  için c a ve || c b x y,  için c ax| by’dir [9].

Tanım 1.1.3. ,m n sıfırdan farklı bir tamsayı olsun.

(i) d m ve | d n olacak şekilde | d 0 tamsayısı varsa d’ye m ile n ’nin bir ortak böleni denir.

(ii) d, m ile n ’nin bir ortak böleni olsun. Eğer m ile n ’nin her e ortak böleni için |e d ise e ’ye m ile n tamsayılarının en büyük ortak böleni denir ve bu

( , )m n d ile gösterilir.

Teorem 1.1.4. Sıfırdan farklı herhangi iki sayının en büyük ortak böleni vardır ve ( , )

d m n ise dxmyn olacak şekilde x y,  bulunabilir. Özel olarak, 1( , )m n olduğunda 1xm yn olacak şekilde ,x y vardır [9].

2

Örnek 1.1.5. a b,  için xayb1 olacak şekilde x y,  bulunabilirse

 

^{a b, 1’dir.}

Çözüm:

 

^{a b, d} olsun. Tanım 1.1.3 gereği d a ve | d b olur. Buradan ,| x y için, |d xa ve d yb yazılabilir. Böylece | d xa|  yb olur. O halde xayb1 olup

0

d  olduğundan d | 1 iken d 1 bulunur.

Teorem 1.1.6. m ve n sıfırdan farklı iki tamsayı ve c herhangi bir tamsayı olsun.

( , )m n 1 ve m nc| m c | dir [9].

İspat: ( , ) 1m n  olduğundan 1 xmyn olacak şekilde x y,  vardır. Son eşitliğin her iki yanı c ile çarpılırsa, c x mc( )y nc( ) bulunur. Böylece m mc ve |

|

m nc olup m x mc| ( ) y nc( ) bulunur. Şu halde cx mc( ) y nc( ) olduğundan

|

m c elde edilir.

Teorem 1.1.7. (1). ( , ) ( , ) 1a m  b m  ise (ab m, ) 1 ve en genelde

1 2

( , )a m ( , ) ... ( , ) 1a m   a m_n  ise ( . ... , ) 1a a_{1 2} a m_n  olur.

(2). ( , )b c 1 ise (b cⁿ, ⁿ)1 ve ( , )b c ⁿ (b cⁿ, ⁿ) dir. Ayrıca ( , )b c 1 ise ,n m doğal sayılar olmak üzere ( ,b c^{n m})1’dir [9].

İspat: (1). ( , ) ( , ) 1a m  b m  ise 1axmybrmsolacak biçimde , , ,x y r s tamsayıları vardır. Buradan 1 ( axmy br)( ms)ab xr( )m bry( axsmys) ve böylece ( , ) 1ab m  elde edilir.

1 2

( , )a m ( , )a m  ... ( , )a m_n 1 ise ( . ... , )a a_{1 2} a m_n 1 olduğu tümevarımla gösterilir.

(2). ( , ) 1b c  ise (1)’den (b cⁿ, )1’dir. Yine (1)’den ( , ) 1b c^{n n}  ’dir.

( , )

g  b c olsun. Dolayısıyla , 1

n n

b c

g g

    

     

    

 

olduğu görülür. Burada

( , ) , , ( , )

n n n n

n n n b n c n b c n n

b c g g g g b c

g g g g

          

   

                 elde edilir.

Teorem 1.1.8. n ve mdoğal sayılar olmak üzere



^{a bn, m}



^{1 ise}

^{ }

^{a b, 1’dir [6].}

Teorem 1.1.9. ,a b olmak üzere



^{a mn,}



^{ 1}



^{a m,}

  

^{ a n, 1’dir [9].}

İspat: :)



^{a mn,}



^{1 ve}



^{a m,}



^d olsun. Buradan d a , | d m olur. Böylece | d a | ve d mn olup | ^d|



^{a mn,}



bulunur. Öyleyse



^{a mn,}



^1 olduğundan d| 1 olup

1

d  dir. Benzer şekilde

 

^{a n, 1} olduğu görülür.

:)



^{a m,}

  

^{ a n, 1 olsun.}



^{a mn,}



^1 olduğu kolayca görülebilir.

Teorem 1.1.10. n bir doğal sayı olmak üzere aⁿ |b ise |ⁿ a b’dir [6].

Teorem 1.1.11. ,a b tamsayılar olmak üzere n sayısı a² b² biçiminde yazılabilir

 n sayısının asal çarpanlara ayrılışında (varsa) 4k3 biçimindeki asal bölenlerinin üsleri çifttir [5].

Teorem 1.1.12. > 2p asal sayı olmak üzere ^{p3 mod 4}

 

olsun. Eğer p a| ² b² ise p a ve | p b ’dir [5]. |

Tanım 1.1.13. ,a m ve ( , ) 1a m  olmak üzere, ^{x2 a}



^modm



kongrüansının çözümü varsa a tamsayısına m moduna göre bir kuadratik rezidü denir. Eğer

4

 

2 mod

x a m kongrüansının çözümü yoksa, a tamsayısına m moduna göre bir kuadratik nonrezidü denir.

Tanım 1.1.14(Legendre Sembolü). p tek asal sayı olsun. a bir kuadratik rezidü ise a 1

p

 

   , eğer bir kuadratik nonrezidü ise a 1 p

  

   , eğer p a ise | a 0 p

 

   şeklinde gösterilir ve buna Legendre sembolü denir.

Teorem 1.1.15. p tek asal sayı olsun. Bu takdirde

1. ^{a a(p 1)/2}



^modp



p

  

 

 

2. ^{a b ab}

p p p

    

    

    ,

3. ^ab



^modp



^{ise a b}

p p

   

   

   , 4.



^{a p,}



^{1 ise a2 1}

p

 

 

  ,

a b2 b

p p

   

   

 

  ,

5. ¹ 1

p

 

   , ¹ ( 1)^{(p 1)/ 2} p

  

  

  6. ²

 

^{1 p281}

p

  

  

  dir [7].

Sonuç 1.1.16. p tek asal sayı olmak üzere

1. ^{p 1 mod 8}

 

^{ise 2 1}

p

 

   ’dir.

2. ^{p 3 mod 8}

 

^{ise 2 1}

p

  

   ’dir [8].

Sonuç 1.1.17. p tek asal sayı olmak üzere

1. ^{p1,3 mod 8}

 

^{ise 2 1}

p

 

 

  ’dir.

2.^p^{5, 7 mod8}

 

ise ² 1 p

  

 

  ’dir [8].

Teorem 1.1.18(Fermat teoremi). p asal sayı olmak üzere a için p a| ise

 

1 1 mod

ap^  p ’dir [9].

Teorem 1.1.19. , , ,a b m n pozitif tamsayılar ve



^{m n,}



^1 olmak üzere a^m bⁿ ise atn, bt^m olacak şekilde t pozitif tamsayısı vardır [6].

Teorem 1.1.20. n bir doğal sayı ise 3 3 3



1



²

1 2 ...

2 n n n 

     

  dir [8].

Teorem 1.1.21(Binom Açılımı). n bir doğal sayı olmak üzere, ,x y reel sayılarsa

 

0

n n k n k

k

x y n x y

k





    



  ’dır [8].

Tanım 1.1.22. Ardışık iki terimi arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir.

Tanım 1.1.23. Farklı asalların çarpımı biçiminde yazılabilen sayılara karesiz sayı denir.

BÖLÜM 2. KUADRATİK CİSİMLER VE DENKLEM ÇÖZÜMLERİ

2.1. Kuadratik Cisimler ve Kuadratik Tamsayılar

Tanım 2.1.1. d tamkare olmayan sabit bir rasyonel sayı olsun. a b herhangi , rasyonel sayılar olmak üzere a b d biçimindeki sayıların kümesi ^Q

 

^{d ile}

gösterilir ve ^Q

 

^d kuadratik cisim olarak adlandırılır. Eğer d 0 ise, ^Q

 

^d

cismine reel kuadratik cisim, eğer d 0 ise ^Q

 

^d cismine kompleks(sanal) kuadratik cisim denir. Kısaca,

  

: ve rasyonel sayılar



Q d  ab d a b olarak tanımlanır.

Eğer d 0 ise ab d  a b di olur.

Teorem 2.1.2. ab d  c e d  a c ve be dir. Ayrıca,

0 0

ab d    a b ’dır [2].

Teorem 2.1.3.  ve  , ^Q

 

^d cisminin elemanları ise;   ,   ,  ve

 0 olduğunda 

 elemanları da ^Q

 

^d cisminin elemanlarıdır [2].

Tanım 2.1.4.   a b d olsun.  a b d ’ye  ’nın eşleniği denir.

Teorem 2.1.5.  ve  sayıları ^Q

 

^d cisminin iki elemanı ise,

 

^{  ,}

      ,       ,   ’dir.  0 ise  0’dır ve  

 

 

   ’dir.

Ayrıca    bir rasyonel sayıdır [2].

Tanım 2.1.6. ^Q

 

^d bir irrasyonel sayı olsun. Ayrıca a b c tamsayılar ve , , 0

a olmak üzere, ( , , ) 1a b c  olsun. Bu durumda  , ax²bx c 0 denklemini sağlıyorsa bu denkleme  sayısının tanımlayıcı denklemi denir.

Örnek 2.1.7. ^{3 17} 4

 sayısı 8x²12x 4 0, 10x²15x 5 0,

2x2 3x 1 0

    denklemlerini sağlar. ^{3 17} 4

 sayısının tanımlayıcı denklemi

2x23x 1 0’dır.

Tanım 2.1.8. ^Q

 

^{d olsun. } sayısının normu N( )  olarak tanımlanır.

Teorem 2.1.9. (i) a Q ,  a ise ^{N a}

 

^a2’dir.

(ii) Eğer ^Q

 

^{d ise N}

^{ }

^ rasyoneldir.

(iii) ^N

 

^{   0  0’dır.}

(iv) ^Q

 

^{d ve d 0 ise N}

^{ }

^{ 0’dır.}

(v) Eğer ^{ , Q}

 

^{d ise N}

^{ }

^{ N}

^{   }

^{ N  ’dır.  0 ise}

   

N N

N

 

 

 

   ’dır [2].

Tanım 2.1.10. ^Q

 

^{d olsun.  veya } irrasyonel iken  ’nın tanımlayıcı denklemindeki x ’nin katsayısı ² 1 ise, ’ya bir kuadratik tamsayı veya kısaca tamsayı denir.

8

Bundan sonra ’nin elemanlarına rasyonel tamsayılar diyeceğiz.

Teorem 2.1.11. Eğer ^{d 2,3 mod 4}

 

^{ise Q}

 

^d cisminin tamsayıları a b , rasyonel tamsayılar olmak üzere a b d biçimindeki sayılardır. Eğer

 

1 mod 4

d  ise ^Q

 

^d cisminin tamsayıları a ve b rasyonel tamsayılarının ikisi de çift veya ikisi de tek olmak üzere

2 ab d

biçimindeki sayılardır [2].

Sonuç 2.1.12. ^{d 1 mod 4}

 

^{ise Q}

 

^d cisminin bir  elemanı tamsayıdır  a ve b rasyonel tamsayılar olmak üzere ¹

2 a b d

 _{  }^_ ^{ }_

  olarak yazılabilir [2].

Örnek 2.1.13. ^{Q i}

 

cisminin tamsayılarını belirleyiniz.

Çözüm: i 1 olduğundan ^d  ^{1 3 mod 4}

 

olur. Yani, ^{Q i}

 

cisminin tamsayılarının kümesi



^{abi a b: , }



olarak bulunur.

Tanım 2.1.14.

  

^{i  abi a b: , }



kümesine Gauss Tamsayılar Halkası denir.

Örnek 2.1.15. ^Q

 

⁷ⁱ cisminin tamsayılarını belirleyiniz.

Çözüm: 7i 7i²  7 olduğundan ^{d  7 1 mod 4}

 

olduğundan ^Q

 

⁷ⁱ

cisminin tamsayılarının kümesi ^{1 7} : , 2

a b i a b

    

     

   

   

  dir.

Teorem 2.1.16.  ve  ^Q

 

^d cisminde tamsayılar olsun. Bu takdirde   ,

  ,  da ^Q

 

^d cisminde tamsayılardır [2].

Tanım 2.1.17.  , ^Q

 

^d cisminde bir tamsayı olsun. Bu takdirde ^N

 

^{ bir}

rasyonel tamsayıdır.

2.2. Kuadratik Cisimlerde Birimler ve Asallar

Tanım 2.2.1. 0 ve ^{ , Q}

 

^d tamsayılar olmak üzere   olacak biçimde ^Q

 

^d cisminde bir  tamsayısı varsa  , ’yı böler denir ve bu durum

 | ile gösterilir. Eğer  | ise 

 bir tamsayıdır.

 | olduğunda 0 olmak üzere  , ’nın ^Q

 

^d cisminde tamsayılar olduğunu kabul edeceğiz.

Teorem 2.2.2.  | ve  | ise  | ve ,  ^Q

 

^d cisminde herhangi tamsayılar olmak üzere ^{  |}



^



dur. Özel olarak,   1 alınırsa   |  ;

 1,   1 alınırsa   |  ;  0 alınırsa,  | dır. Eğer  | ve  | ise o zaman  | dır [2].

Tanım 2.2.3. ^Q

 

^d cisminde |1 özelliğindeki bir  tamsayısına birim denir.

Özellikle 1 ve 1 ^Q

 

^d cisminde her zaman birimdirler.

Uyarı:  sayısını bir tamsayı olarak sınırlandırmak gereklidir. Örneğin,

5 12 5 12

1 1

13 13 13 13

N    N  i dir. Fakat ^{5 12}

1313i, Teorem 2.1.11’e göre

 

Q i cisminde bir tamsayı değildir. Dolayısıyla birim değildir.

Teorem 2.2.4. ^Q

 

^{d cisminde  birimdir  N}

^{ }

^{  1’dir [2].}

10

Teorem 2.2.5. d 0, d  1, d  3 ise ^Q

 

^d cisminin birimleri 1 olmak üzere iki tanedir. Ayrıca ^{Q i}

 

cisminin birimleri 1,  1 olmak üzere dört tane;

( 3 )

Q i cisminin 1, ^{  }



^{1 3 / 2i}



^{,   }



^{1 3 / 2i}



olmak üzere altı tane birimi vardır. Eğer d 0 ise ^Q

 

^d cismi sonsuz çoklukta birime sahiptir [2].

Tanım 2.2.6. , ^Q

 

^d cisminde bir birim olsun. ^Q

 

^d cisminde  ve  tamsayıları   olacak biçimde varsa,  ’ya  nın ilgilisidir veya  ile  ilgilidir denir. Bu durum   ile gösterilir. Eğer  ile  ilgili değil ise bu durum

   ile gösterilir.

 ,  ’nın ilgilisidir   / bir birimdir.

Tanım 2.2.7. ^{  , , Q}

 

^d cisminde tamsayılar olsun. 0 olsun ve  birim olmasın. Eğer   iken  ya da  elemanlarından biri birim oluyorsa  ’ya indirgenemez eleman denir.

Tanım 2.2.8. ^{  , , Q}

 

^d cisminde tamsayılar olsun.  0 olsun ve  birim olmasın. Eğer |  iken  | veya  | ise  ’ya asal eleman denir.

Bundan sonra ’nin asallarına rasyonel asal diyeceğiz.

2.3. Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilen Bölgeler

Tanım 2.3.1. ^Q

 

^d cismi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, ^Q

 

^d cismine tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge veya tek çarpanlama bölgesi denir.

1)  sıfırdan farklı birim olmayan bir tamsayı ise     _{1 2}... _r olacak biçimde indirgenemez  ₁, ₂,...,_r tamsayıları vardır.

2) 1 i r için ^{i Q}

 

^{d , 1 j s için j Q}

 

^d olmak üzere _i ve

j ler indirgenemez elemanlar olsun. Ayrıca  birim olmak üzere,

1 2... _r 1 2... _s

      olsun. Bu durumda rs dir ve ^{ : 1,...,}



^r

 

^{ 1,...,r}



bir permütasyon (birebir örten dönüşüm) olmak üzere, _i tamsayısı _{ i} tamsayısı ile ilgilidir.

Örnek 2.3.2. ^Q

 

⁵ⁱ cismi tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge değildir.

Çözüm: 5i  5i²  5 olduğundan ^{ 5 3 mod 4}

 

olur. Böylece Teorem 2.1.11’e göre ^Q

 

⁵ⁱ cisminin tamsayıları ,a b rasyonel tamsayılar olmak üzere

5

a b i biçimindedir. O halde ^{2 5 , 2i  5iQ}

 

⁵ⁱ tamsayıları için



^{2 5i}



^{2 5i}



^{ 9 3.3 dür. 2 5i} indirgenemez olmasın. O halde

  

2 5i ab 5i ce 5i olacak biçimde birimden farklı



^{ab 5 ,i}

 

^{ce 5i}

  

^{Q 5i} tamsayıları vardır.

  

2 5i ab 5i ce 5i eşitliğinin her iki tarafının normu alınırsa,



^{2 2}



^{2 2}



9 a 5b c 5e olur. ab 5 ,i ce 5i birimden farklı olduklarından

2 2 2 2

5 3, 5 3

a  b  c  e  olmalıdır. Fakat iki eşitliğinde çözümü yoktur. Gerçekten,

2 2

5 3

a  b  olsun. ^{a2 3 mod 5}

 

olur ki bu denkliği sağlayacak şekilde a yoktur. Öyleyse 2 5i indirgenemezdir. Benzer şekilde 2 5i de indirgenemezdir.

Kabul edelim ki 3 indirgenemez olmasın. O halde ^3



^{ab 5i}



^{ce 5i}



^olacak

biçimde birimden farklı



^{ab 5 ,i}

 

^{ce 5i}

  

^{Q 5i} tamsayıları vardır. Her iki tarafın normunu alırsak ^9



^a25b2



^c25e2



olur. O halde yukarıdakine benzer şekilde 3 de indirgenemezdir.

12

Sonuç olarak, 2 5 , 2i  5 , 3i indirgenemez elemanlardır.

Şimdi kabul edelim ki 3 2  5i olsun. Bu durumda 3 | 2 5i olur. Buradan Tanım 2.2.1’den ^{2 5i3}



^{ab 5i}



olacak şekilde a b 5i tamsayısı vardır.

Böylece Teorem 2.1.2’ye göre 2 3 ,1 3 a  b elde edilir. Bu ise a b, olması ile çelişir. Dolayısıyla 3 2  5i dir. Öyleyse ^Q

 

⁵ⁱ tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge değildir.

Tanım 2.3.3. (i) ,  sıfırdan farklı ^Q

 

^d cisminin tamsayıları olsun.  0,

 | ,  | olacak şekilde ^Q

 

^d mevcut ise bu  elemanına  ile  ’nın bir ortak böleni denir.

(ii) ,  ile  ’nın ortak böleni olsun. Eğer  ile  ’nın her  ortak böleni için

 | ise ’ya  ile  tamsayılarının bir en büyük ortak böleni denir ve bu



^{ ,}



^ ile gösterilir.

Tanım 2.3.4.  ve  ^Q

 

^{d olsun.  ile } sayılarının birimden başka ortak böleni yoksa  ile  aralarında asaldır denir. Bu durum



^{ ,}



^1 ile gösterilir.

Teorem 2.3.5. ^Q

 

^d tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgedir  ^Q

 

^{d cisminin}

indirgenemez her elemanı asal elemandır [6] .

Teorem 2.3.6. ^Q

 

^d tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge olsun.  , ^Q

 

^d

cisminin tamsayıları olmak üzere  ve  tamsayılarının birimden başka ortak böleni olmasın. Eğer n pozitif tamsayısı için   ⁿ eşitliğini sağlayan bir

 

Q d

 tamsayısı varsa,    _{1 1}ⁿ,    _{2 2}ⁿ olacak biçimde  ₁, ₂ birimleri ve

 

1, 2 Q d

   tamsayıları vardır [6].

Tanım 2.3.7. ^{K Q}

 

^d kuadratik cisminin tamsayılarının halkası _k’ya,

“   k^* k

 

⁰ olmak üzere her ( , )a b    _{k k}^* için a bq r  ve

   

N r  N b şartını sağlayan ( , )q r      _k² _{k k} vardır.” özelliğini sağlıyorsa bir Öklid bölgesi denir.

Teorem 2.3.8. _k bir öklid bölgesi ise bir tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgedir [4].

Teorem 2.3.9. ^{K Q}

 

^{d cisminin} tamsayılarının halkası _k 11, 7, 3, 2, 1, 2,3,5

d      ve 13 için bir Öklid bölgesidir [4].

2.4. Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilen Bölgeler Yardımıyla Denklem Çözümleri

Örnek 2.4.1. x⁵y² 1 denklemini çözünüz.

Çözüm: x⁵y² 1 olacak biçimde x ve y tamsayıları mevcut olsun.

 

2 0,1 mod 4

y  olduğundan ^{x5 1 mod 4}

 

^{ya da x5 2 mod 4}

 

olur. Dolayısıyla x tektir. Gerçekten , x çift olsaydı ^{x50 mod 4}

 

olup çelişki elde edilirdi.

Denklemi

 

ⁱ Gauss tamsayılar halkasında çarpanlara ayırırsak, ^{x5 }



^yi



^{(y i )}

olarak yazabiliriz. Burada



^{yi y i,  }



¹ dir. Gerçekten, |y i , | y i olsun.

Bu durumda | 2i ve böylece ^N

 

^{ | 4 olur. | y i} olduğundan

  

^|

 

N  yi yi , yani ^N

 

^{ |x5’dir. N}

 

^{ | 4 ve N}

 

^{ |x5} olduğundan

 

^{| 4,}

 

⁵

N  x olur. x tek olduğundan

 

^{4,x5 1} dir. Böylece ^N

 

^{ |1 olup}

 

¹

N   dir. Teorem 2.2.4’e göre  birimdir.

 

Q i cisminin tamsayılar halkası

 

ⁱ , Teorem 2.3.8 ve Teorem 2.3.9’a göre tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgedir. O halde Teorem 2.3.6’ya göre y i u⁵

14

olacak şekilde ^

 

ⁱ birimi ve ^u

 

ⁱ vardır. Fakat,

 

ⁱ ’nin birimleri 1, i  olup

   

^{  1 1 5,115,ii5,  i}

 

^{i 5} olduğundan



y i 

 

a ib



⁵,a b, olarak yazabiliriz. Buradan Teorem 1.1.21’e göre

 

^{5 5 0}

 

^{5 5 1}

 

^{4 5 2}

 

^{3 5 3}

 

^{2 5 4}

 

^{1 5 5}

 

⁰

0 1 2 3 4 5

a ib  a ib  a ib  a ib  a ib  a ib  a ib

            

           

   

5 4 2 3 3 2 4 5 5 3 2 4 5 2 3 4

5 10 10 5 10 5 10 5

ib ab a b i a b a bi a a a b ab i b a b a b

           

elde edilir. Bu durumda ^{y i }



^{a510a b3 25ab4}

 

^{i b510a b2 35a b4}



^olur.

Reel ve sanal kısımları eşitlersek ya⁵10a b^{3 2}5ab⁴ , 1 b⁵ 10a b^{2 3}5a b⁴ yazılır. ^{1b b}



^{410a b2 2 5a4}



olduğundan b|1 olup b 1’dir.

1

b için 5a⁴10a² 1 1 olur. Buradan a² 0 olduğu görülür. O halde a0’dır.

Böylece y0 bulunur. Burada x⁵y² 1 olduğundan x1 dir. b 1 için

2 4

1 10a 5a 1

    olur. Buradan ^5a2



^2a2



^2 olur. Fakat, bu eşitliği sağlayan a olmadığından çözüm yoktur. Sonuç olarak,



^{x y,}

  

^{ 1, 0 ’dır.}

Örnek 2.4.2. y²x³1 denklemini çözünüz.

Çözüm: y² x³1 olacak biçimde x ve y tamsayıları mevcut olsun. x tektir.

Aksi takdirde yani x çift olursa ^{x30 mod 4}

 

olur. Bu ise y²x³1 olduğundan

 

2 3 mod 4

y  olmasını gerektirir. Halbuki ^{y2 0,1 mod 4}

 

olduğu açıktır.

Denklemi

 

ⁱ Gauss tamsayılar halkasında çarpanlarına ayırırsak



^yi



^{y i }



^x3

olur. Burada



^{yi y i,  }



¹’dir. Gerçekten, kabul edelim ki bir p asalı

 

^{i ’de}

y i ve y i sayılarını bölsün. Yani, p asal olmak üzere p y i|  ve p y i|  olsun. Buradan ^{p y|  i}



^yi



^{olup p| 2}i dir. Bu ise ^{N p}

 

^{| 4} olmasını gerektirir.

p birim olamayacağından ^{N p}

 

^{2 ya da N p}

 

^{4’tür. p y i| } olduğundan

  

^|



N p N yi , yani ^{N p}

 

^{|y2 1} ve böylece ^{N p}

 

^|x olur. Fakat, bu ³ x tek olduğundan ^{N p}

 

^{2 ya da N p}

 

^4 olması ile çelişir. Bu nedenle y i ve y i aralarında asaldır. Yani,



^{yi y i,  }



^{1 olur.}

 

Q i cisminin tamsayılar halkası

 

ⁱ Teorem 2.3.8 ve Teorem 2.3.9’a göre tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgedir. O halde Teorem 2.3.6’ya göre



y i 

 

 u iv



³ olacak şekilde  birimi ve u iv ^

 

ⁱ vardır. Ancak,

 

^{i ’nin}

birimleri 1, i olup 1 1 , 1 ³   

 

1 ,³ i 

 

i ³, i i³ olduğundan

 

^{3, ,}

y i  a bi a b olarak yazabiliriz. Böylece Teorem 1.1.21’e göre

 

^{3 3 0}

 

^{3 3 1}

 

^{2 3 2}

 

^{1 3 3}

 

⁰

0 1 2 3

a bi  a bi  a bi  a bi  a bi

        

       

_a³_3ab²  ⁱ



^{3a b b2  3}



elde edilir. Bu durumda y i _a³_3ab²  ⁱ



^{3a b b2  3}



olur. Reel ve sanal kısımları eşitlersek ya³3ab² ve 1 3a b b ²  ³ yazılır. ^1b



^3a2b2



olduğundan b|1 olup b 1 dir. b1 için 1 3 a²1 dir. Buradan 23a² olur. Fakat, bu eşitliği sağlayan a yoktur. b 1 için  1 3a²1 dir. Buradan 03a² olup a0’dır.

Böylece y0 bulunur. Burada y² x³1 olduğundan x1 dir. Sonuç olarak,



^{x y,}

  

^{ 1, 0} bulunur.

Örnek 2.4.3. y²  x³ 11 denklemini çözünüz.

Çözüm: y²  x³ 11 olacak biçimde x ve y tamsayıları mevcut olsun. x tektir.

Aksi takdirde x çift olursa, ^{x3 0 mod 8}

 

olur. Bu ise y²  x³ 11 olduğundan

 

2 5 mod 8

y  olmasını gerektirir. Halbuki y² 0,1, 4 mod8

 

olduğu açıktır.

Denklemi



^{yi 11}



^{yi 11}



^{x3 olarak} yazabiliriz. Burada



^{yi 11,yi 11}



^1’dir. Gerçekten, d y| i 11 ve d y i|  11 olsun. Buradan,

16

 

| 11 11 2 11

d yi  yi  i olup ^{N d}

 

^{| 44 olur.} d y| i 11 olduğundan

 

^|



¹¹



¹¹



³

N d yi yi x olur. Ayrıca 11 | x dir. Aksi takdirde 11| x olursa

2 3

11

y  x olduğundan 11| y olur. Bu ise 11 | x^{2 3} y² olmasını gerektirir. Böylece

3 2

11

x  y  olduğundan 11 | 11 bulunur. Bu ise mümkün değildir. ²

 

^{| 44}

N d ve ^{N d}

 

^|x3 olduğundan ^{N d}

 

^{| 44,}



^x3



^{, yani N d}

^{ }

^{| 4.11,}



^x3



^elde

edilir. 11 | x ve x tek olduğundan



^44,x3



^1’dir. Bu ise N d( ) |1 olmasını gerektirir. Yani ^{N d}

 

^{1 olup d} birimdir.



¹¹



Q  cisminin tamsayılarının halkası ^{Ak  }_2¹



^{1i 11}



^_, Teorem 2.3.8 ve Teorem 2.3.9’a göre tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgedir. O halde Teorem 2.3.6’ya göre

3

11 11

2

y i  ^a ib^{ } olacak şekilde aynı türden a ve b

tamsayıları ,  birimi vardır. Teorem 2.2.5’e göre ^Q



^11



cisminin birimleri 1 dir. 1 1 , 1 ³   

 

1³ olduğundan

3

11 11

2 y i c ie 

   

  , c ve d aynı türden tamsayılar olmak üzere yazılabilir. Buradan Teorem 1.1.21 kullanılarak

3 2 2 3

33 3 11

11 8 8

c cd c d d

y i    i  

  elde edilir. Reel ve sanal kısımları eşitlersek

3 2

8y c 33cd ve 8 3 c d² 11d³ olur. Böylece ^8d



^3c211d2



olduğundan

| 8

d elde edilir. Bu ise d    1, 2, 4, 8 olmasını gerektirir.

1

d  ise 83c² 11 olup 193c² olur. Fakat, bu eşitliği sağlayan c yoktur.

1

d   ise  8 3c² 11 olur. Buradan c² 1 olup c 1 elde edilir. d 2 için 86c288 olur. Buradan c² 16 olup c 4 elde edilir. d  2 için 8 6c2 88 olup   80 6c² dir. Fakat, bu eşitliği sağlayan c yoktur. d 4 için 8 12 c² 704 olup 71212c² dir. Fakat, bu eşitliği sağlayan c yoktur.

4

d   için 8 12c²704 olup 69612c² dir. Fakat, bu eşitliği sağlayan c yoktur. d 8 için 824c² 5632 olup 7053c² dir. Fakat, bu eşitliği sağlayan

c yoktur. d  8 için 8 24c² 5632 olup 7033c² olur. Ancak, bu eşitliği sağlayan c yoktur.

1, 1

d   c için ^{8yc c}



^{2 33d2}



olduğundan ^{8y1 1 33}



^



’dir. Buradan 8y 32 olduğundan y 4 olur. Böylece y²  x³ 11 olduğundan x3 bulunur.

1, 1

d   c  için ^{8y 1 1 33}



^



olduğundan 8y32 dir. Buradan y4 olur.

Böylece y²  x³ 11 olduğundan x3 bulunur. d 2,c4 için 2y 16 132 olup y 58 dir. Böylece y²  x³ 11 olduğundan x15 bulunur. d 2,c 4 için 2  y 116 olup y58 dir. Böylece y²  x³ 11 olduğundan x15 dir. Sonuç olarak, çözümler

  

3, 4 , 3, 4 , 15, 58 , 15,58

 



  

olarak bulunur.

Örnek 2.4.4. y²  x³ 2 denklemini çözünüz.

Çözüm: y²  x³ 2 olacak biçimde x ve y tamsayıları mevcut olsun. x tektir.

Aksi takdirde x çift olursa, ^{x3 0 mod 4}

 

olur. Buradan y²  x³ 2 olduğundan

 

2 2 mod 4

y  olur. Halbuki ^{y2 0,1 mod 4}

 

olduğu açıktır. Denklemi



^{yi 2}



^{yi 2}



^x3 olarak yazabiliriz. Burada



^{yi 2,yi 2}



^{1 dir.}

Gerçekten, d y| i 2 ve d y| i 2 olsun. Buradan ^{d y| i 2}



^{yi 2}



^{2i 2}

olur. Bu ise ^{N d}

 

^{| 8} olmasını gerektirir. ^{N d}

 

^{1 ise N d}

 

çift olur. Fakat, d x | ³ olduğundan ^{N d}

 

^|x6 olur. Bu durum x ’in tek olması ile çelişir. O halde ^{N d}

 

^1

dir. Yani d birimdir.

 

²

Q  cisminin tamsayılarının halkası i 2  2 Teorem 2.3.8 ve Teorem 2.3.9’a göre tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgedir. O halde Teorem 2.3.6’ya göre ^{y i 2}



^{u iv 2}



³ olacak şekilde  birimi ve