1
BÖLÜM V: ORTOGONAL POLİNOMLAR
Bu bölümde fiziksel problemlerin çözümleri olan klasik ortogonal polinomlar olarak adlandırılan Hermite, Laguerre, Jacobi ve Legendre polinomları ayrıntılı olarak incelenecek.
5.1 Hermite Polinomları
Hermite polinomlarına karşılık gelen diferansiyel denklem ( )
( ) ( ) ( ) ile verilir. Bu polinomlar ( ) ile gösterilir. Ağırlık fonksiyonu
( )
∫bağıntısından hesaplanır. Burada ( ) , ( ) ’dir. Karşılık gelen ağırlık fonksiyonu
( )
olmak üzere, bu polinomlar için Hermitik diferansiyel denklem
( ) ( ) {
( )} ( )
( ) şeklindedir. Bu denkleme karşılık gelen özdeğerler
( ) ( ) ( )
denkleminden elde edilir: .
özdeğeri için özfonksiyonlar Rodrigues formülünden bulunur:
( ) ( )
2
Hermite polinomları (n. dereceden olan ( )’ler)
( ) ( )
(
) olarak bulunur.
İlk bir kaç Hermite polinomu; ( ) , ( ) , ( ) şeklindedir.
5.1.1 Üretici Fonksiyon
Hermite polinomları için üretici fonksiyon ( )
ile verilir. ’ye göre seri açılımı yapıldığında
∑
( ) elde edilir.
5.1.2 İndirgeme Bağıntıları i) ( )
( ), ii)
( ) ( )
( ) 5.1.3 Diklik Bağıntısı
Hermite polinomları için diklik bağıntısı
∫
( ) ( ) √
