Yataksız Bir Helikopter Rotoru Test Düzeneğinin Hava Rezonansı İncelemesi

˙ISTANBUL TEKN˙IK ÜN˙IVERS˙ITES˙I F FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

YATAKSIZ B˙IR HEL˙IKOPTER ROTORU TEST DÜZENE ˘G˙IN˙IN HAVA REZONANSI ˙INCELEMES˙I

YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I Müh. Mehmet Suat KAY

Anabilim Dalı : UÇAK VE UZAY MÜHEND˙ISL˙I ˘G˙I Programı : UÇAK VE UZAY MÜHEND˙ISL˙I ˘G˙I

˙ISTANBUL TEKN˙IK ÜN˙IVERS˙ITES˙I F FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

YATAKSIZ B˙IR HEL˙IKOPTER ROTORU TEST DÜZENE ˘G˙IN˙IN HAVA REZONANSI ˙INCELEMES˙I

YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I Müh. Mehmet Suat KAY

(511051018)

Tezin Enstitüye Verildi˘gi Tarih : 15 Eylül 2008 Tezin Savunuldu˘gu Tarih : 7 Ekim 2008

Tez Danı¸smanı : Prof. Dr. Zahit Mecito˘glu

Di˘ger Jüri Üyeleri Prof. Dr. Halit Temel Belek (˙I.T.Ü.) Prof. Dr. Metin Orhan Kaya (˙I.T.Ü.)

ÖNSÖZ

Öncelikle, hayatm boyunca bana her konuda maddi ve manevi destek olan aileme sonsuz ³ükranlarm sunarm. Yüksek lisans ö§renimim boyunca bana yol gösteren, tez dan³manm sayn Prof. Dr. Zahit Mecito§lu'na özellikle te³ekkür ederim.

Devlet Planlama Te³kilat tarafndan desteklenen Havaclk Ara³trma-Geli³tirme ve Uygulama Projesi'nde birlikte çal³t§mz sayn ö§retim üyesi hocalarma ve meslekta³larma da te³ekkürü borç bilirim.

Tezimde kulland§m deney verilerini içeren raporun elime ula³masn sa§layan meslekta³m sayn Fahri Ersel Ölçer'e de ayrca te³ekkür ederim.

˙IÇ˙INDEK˙ILER

TABLOLAR L˙ISTES˙I v

¸SEK˙ILLER L˙ISTES˙I vi

SEMBOL L˙ISTES˙I vii

ÖZET ix

SUMMARY x

1. G˙IR˙I¸S 1

1.1. Rotor Kararszlklar 1

1.1.1. Sabit rotor kararszlklar 3

1.1.2. Rotor-gövde etkile³iminden do§an kararszlklar 3

1.2. Hava Rezonans 4

1.3. Mevcut Çal³mann Amac ve Kapsam 5

2. PROBLEM˙IN TANIMI 7

2.1. Kabuller 7

2.2. Rotor Test Düzene§i 8

2.3. Modelleme 8

3. HAREKET DENKLEMLER˙I 10

3.1. Fourier Koordinat Dönü³ümü 10

3.2. Sabitlenmi³ Rotor çin Pala Hareket Denklemleri 13

3.2.1. Palann düzlem d³ hareketi 18

3.2.2. Palann düzlem içi hareketi 20

3.3. Serbest Rotor çin Hareket Denklemleri 22

3.4. Gövde Dinamikleri 27

3.5. Aerodinamik Kuvvetler 30

3.5.1. Pala eleman teorisi 30

3.5.2. Sanki daimi aerodinamik 31

4. ÖRNEK MODEL ˙INCELEMES˙I 34

4.1. Deneysel Veriler 34

4.2. Palann Modal Özelliklerinin Saysal Olarak Belirlenmesi 35

4.2.1. Pala sonlu eleman modeli 35

4.2.2. Do§al frekanslar ve mod ³ekilleri 37

4.3. Daimi Hal çin Aerodinamik Yükler 37

5. SONUÇLAR VE TARTI¸SMA 39

EKLER 46

A. TABLOLAR 46

B. ¸SEK˙ILLER 48

C. TR˙IGONOMETR˙IK E¸S˙ITL˙IKLER 58

TABLO L˙ISTES˙I

Sayfa No Tablo A.1 Pala kesitlerinin mekanik özelliklerinin yarçap boyunca

da§lm [20] . . . 46 Tablo A.2 Rotor palas özellikleri [20] . . . 47 Tablo A.3 Gövde özellikleri [20] . . . 47

¸SEK˙IL L˙ISTES˙I

Sayfa No

¸Sekil 2.1 : Rotor test düzene§i . . . 8

¸Sekil 3.1 : Dönmeyen eksen takmnda kanat çrpma serbestlik derecesi, a)β0 b)β1s c)β1c d)βN/2 . . . 11

¸Sekil 3.2 : Dönmeyen eksen takmnda gecikme serbestlik derecesi, a)ζ₀ b)ζ1s c)ζ1c d)ζN/2 . . . 12

¸Sekil 3.3 : Pala kesidi üzerine etki eden kuvvetler . . . 14

¸Sekil 3.4 : Pala kesidi üzerinde olu³an moment . . . 15

¸Sekil 3.5 : Göbek ve pala eksen takmlar . . . 22

¸Sekil 3.6 : Gövde üzerine rotor sisteminden gelen yükler . . . 28

¸Sekil 3.7 : Pala kesidi üzerinde olu³an aerodinamik kuvvet bile³enleri ve aç tanmlamalar . . . 30

¸Sekil 4.1 : Örnek test düzene§i üzerinde bulunan rotor [20] . . . 35

¸Sekil 4.2 : Örnek test düzene§i gövde sistemi [20] . . . 36

¸Sekil 4.3 : Pala sonlu eleman modeli . . . 37

¸Sekil B.1 : Palann düzlem içi ve düzlem d³ frekanslarnn dönme hzna ba§l olarak de§i³imi . . . 49

¸Sekil B.2 : Nominal dönme hznda palann düzlem içi mod ³ekli . . . 49

¸Sekil B.3 : Nominal dönme hznda palann düzlem d³ mod ³ekli . . . . 50

¸Sekil B.4 : Rotor test düzene§inin ask durumundaki performans, 1 g itki üretmek için gerekli yunuslama açsnn rotor hzna ba§l de§i³imi . . . 50

¸Sekil B.5 : Rotor test düzene§inin ask durumundaki performans, sabit dönme hzlarnda yunuslama açs ile itki arasndaki ili³ki . . . 51

¸Sekil B.6 : 7◦ kolektif açsnda, do§al frekanslar ve sönüm de§erleri (sönümleyicisiz) (T = 1g) . . . 52

¸Sekil B.7 : 7◦ kolektif açsnda, do§al frekanslar ve sönüm de§erleri (sönümleyicili) (T = 1g) . . . 53

¸Sekil B.8 : Yaltlm³ rotorun dönmeyen eksen takmna göre düzlem içi frekanslar ve sönüm de§erlerinin hza ba§l de§i³imi (T = 1g) 54 ¸Sekil B.9 : Yaltlm³ rotorun dönmeyen eksen takmna göre düzlem içi frekanslar ve sönüm de§erlerinin itkiye ba§l de§i³imi . . . 55

¸Sekil B.10: Serbest rotorun dönmeyen eksen takmna göre düzlem içi frekanslar ve sönüm de§erlerinin hza ba§l de§i³imi (T = 1g) 56 ¸Sekil B.11: Serbest rotorun dönmeyen eksen takmna göre düzlem içi frekanslar ve sönüm de§erlerinin itkiye ba§l de§i³imi . . . 57

SEMBOL L˙ISTES˙I

a : 2 Boyutlu kanat proli ta³ma e§risi e§imi

c : Pala veter uzunlu§u

cd : 2 Boyutlu kanat proli sürükleme katsays

cd₀ : 2 Boyutlu kanat proli sfr ta³ma sürükleme katsays

cdn : Pala sürükleme katsaysnn n'inci dereceden üstel teriminin

katsays

cl : 2 Boyutlu kanat proli ta³ma katsays

cX, cY : Pivot noktas etrafnda gövde dönel sönüm sabitleri

D : Pala kesidinde olu³an sürükleme kuvveti EIyy, EIzz : Pala kesidinin e§ilme rijitlikleri

FX,FY : Rotorun göbe§e aktard§ kuvvet

F_X(a), F_Y(a) : Rotordan gövdeye aktarlan aerodinamik kuvvetler

Fy : Rotor göbek düzlemine te§et aerodinamik kuvvet bile³eni

Fz : Rotor göbek düzlemine dik aerodinamik kuvvet bile³eni

hF : Gövde a§rlk merkezinin pivot noktasna uzakl§

hR : Rotor a§rlk merkezinin pivot noktasna uzakl§

I_b : Pala atalet momenti IFX, IFY : Gövde atalet momentleri

IRX, IRY : Rotor sistemi atalet momenti

kX, kY : Pivot noktas etrafnda gövde dönel yay sabitleri

L : Pala kesidinde olu³an ta³ma kuvveti

m : Yarçap do§rultusunda birim uzunluk ba³na dü³en pala kütlesi

mb : Pala kütlesi

mf : Gövde kütlesi

MX,MY : Rotorun göbe§e aktard§ moment

M_X(a), M_Y(a) : Rotordan gövdeye aktarlan aerodinamik momentler My, Mz : Dönen eksen takmnda pala kesit momentleri

N : Toplam pala says

R : Rotor yarçap

r : Rotor ya da pala üzerinde yarçap do§rultusundaki koordinat; Pala kesidinin radyal yönde hareket miktar U : Pala kesidi üzerine gelen toplam ak³ hz

UP : Rotor göbek düzlemine dik ak³ hz bile³eni

UT : Rotor göbek düzlemine te§et ak³ hz bile³eni

v : Pala düzlem içi serbestlik derecesi

v : Hz vektörü

vc : Pala düzlem içi serbestlik derecesinin dönmeyen eksen

takmnda ifadesi (Y bile³eni)

Vc : Rotor trmanma hz

vi : çe ak³ hz

w : Pala düzlem d³ serbestlik derecesi

wc : Pala düzlem d³ serbestlik derecesinin dönmeyen eksen

takmnda ifadesi (Y bile³eni)

ws : Pala düzlem d³ serbestlik derecesinin dönmeyen eksen

takmnda ifadesi (X bile³eni) x : Dönen pala koordinat ekseni X : Dönmeyen göbek koordinat ekseni

Xh : Rotor göbe§inin atalet eksen takmnda X yönünde hareketi

y : Dönen pala koordinat ekseni; Pala kesidinin düzlem içi hareket miktar

Y : Dönmeyen göbek koordinat ekseni

Y_h : Rotor göbe§inin atalet eksen takmnda Y yönünde hareketi z : Dönen pala koordinat ekseni; Pala kesidinin düzlem d³

hareket miktar

Z : Dönmeyen göbek koordinat ekseni

α : Etkin hücum açs

αX, αY : Rotor göbe§inin X ve Y eksenleri etrafnda dönme miktarlar

βc : Koniklik açs

ηv, ηw : Pala düzlem içi ve düzlem d³ mod ³ekilleri

θ : Pala yunuslama açs

λ : çe ak³ oran

ρ : Hava yo§unlu§u

φ : çe ak³ nedeniyle toplam ak³ hznn sapma açs ψm : m'inci palann azimut açs

ω

ωω : Koordinat sisteminin atalet eksen takmna göre açsal hz vektörü

ωv : Pala gecikme do§al frekans

ωw : Pala kanat çrpma do§al frekans

Ω : Rotor dönü³ hz

Ω0 : Rotor nominal dönü³ hz

¯Ω : Rotor dönü³ hznn nominal hza olan oran (Ω/Ω0)

ALT VE ÜST NDSLER

0, nc, ns, N/2 : Fourier koordinat dönü³ümü serbestlik derecesi A : Aerodinamik kaynakl kuvvet veya moment

b : Rotor eksen takm

YATAKSIZ B˙IR HEL˙IKOPTER ROTORU TEST DÜZENE ˘G˙IN˙IN HAVA REZONANSI ˙INCELEMES˙I

ÖZET

Bu tezde, yataksz bir rotor test düzene§i, hava rezonans açsndan incelenmi³tir. Hareket denklemleri Newtonyen bir yakla³mla türetilmi³tir. Aerodinamik kuvvetlerin sistem davran³ üzerindeki etkisi de incelemeye dahil edilmi³tir. Deney düzene§i, ask uçu³unda bulunan bir helikopter rotorunu ve gövdesini temsil etmektedir. Rotorun 3 veya daha fazla sayda elastik palalara sahip oldu§u ve bunlarn göbe§e ankastre olarak ba§landklar kabul edilmi³tir. Bu göbek, devrilme ve yunuslama serbestlik derecelerine sahip bir gövdenin tepesine ba§lanm³tr. Gövde bu hareketlerini, kendisi ile yer arasnda bulunan bir mafsal sistemi sayesinde yapmaktadr. Yunuslama ve devrilme hareketine kar³ koyan iki³er adet yay ve sönümleyici, gövdenin do§al frekansn ve sönüm miktarn belirlemektedir.

Öncelikle, dönmekte olan sabit bir göbek üzerinde bulunan palann hareketi göz önüne alnm³tr. Palann hareketi, düzlem içi ve düzlem d³ lineer e§ilme hareketi ile temsil edilmi³tir. Palann düzlem içi ve düzlem d³ e§ilme hareketleri arasnda herhangi bir yapsal, aeroelastik ve kinematik ba§la³mn bulunmad§ kabul edilmi³tir. Atalet kuvvetleri Coriolis teoremi kullanlarak elde edilmi³ ve pala kesitlerinde olu³an aerodinamik kuvvet terimleri bu kuvvetlere eklenmi³tir. Palann e§ilme hareketleri mod süperpozisyonu ile ifade edilmi³ ve ortogonallik ³art kullanlarak ilk e§ilme modlar için hareket denklemleri elde edilmi³tir. Daha sonra, gövde devrilme ve yunuslama hareketlerine ba§l olarak göbe§in serbest oldu§u durum ele alnm³tr. Bu iki serbestlik derecesine ba§l olarak ayrca ortaya çkan terimler bulunmu³ ve bunlar palann e§ilme hareketi denklemlerine eklenmi³tir. Bu denklemlere Fourier koordinat dönü³ümü uygulanm³ ve neticede bu denklemler dönmeyen eksen takmnda ifade edilmi³lerdir.Gövde devrilme ve yunuslama hareketleri için de iki adet denklem çkarlm³ ve böylelikle sistemi ifade eden denklem takm elde edilmi³tir.

Pala kesitlerinde olu³an aerodinamik kuvvetler pala eleman momentum teorisi ile tanmlanm³tr. Sanki daimi aerodinamik kullanlarak bu kesit kuvvetlerinden pertürbasyon kuvvet terimleri elde edilmi³tir ve bunlar sistemin denklem takmnda kullanlm³tr. Bu denklem takm, rotor-gövde sisteminin kararllk davran³n incelemek için kullanlm³tr. Buradan elde edilen özde§erlerin sanal ksmlar sistemin sönümlü do§al frekanslarn, gerçek ksmlar ise sistemin sönüm oranlarn göstermektedir. Bu de§erlerin belirli bir rotor dönü³ hz aral§nda de§i³imi incelenmi³tir.

AIR RESONANCE ANALYSIS OF A BEARINGLESS HELICOPTER ROTOR TEST STAND

SUMMARY

In this thesis, a test stand for a bearingless rotor system is investigated for the case of air resonance. Equations of motion for the system is derived with a Newtonian approach. Eect of aerodynamic forces on the system characteristics is also included.

The test system represents a model for helicopter rotor and fuselage in hover. The rotor is assumed to have 3 or more elastic blades that are rigidly connected to the hub. It is located on top of a fuselage that has roll and pitch degrees of freedom (DOFs). These motions are allowed with a gimbal between the fuselage and the ground. Two springs and dampers for roll and pitch motion denes the natural frequency and damping characteristics of the fuselage.

First of all, the motion of the blade on a xed rotating hub is considered. Motion of the blade is represented with linear in-plane and out-of-plane bendings. It is assumed that no structural, aeroelastic and kinematic coupling is present between the in-plane and out-of-plane bendings of the blade. Inertial forces are derived using Coriolis theorem and sectional aerodynamic forces are added as terms. The bending motions of the blade are expressed as mode superposition and using orthogonality, the equtions of motion for the rst bending modes are found. Then the hub is considered to be free with DOFs in fuselage roll and pitch motion. Additional terms those arise due to these two DOFs are derived and they are placed in the bending equations of motion of the blade. Fourier coordinate transformation is applied to these equations, so they are expressed in non-rotating coordinate frame. Two equations for body roll and pitch motion are also derived to complete the set of equations for the system. Aerodynamic forces in blade sections are dened using Blade Element Momentum Theory. Perturbational force terms are gathered from these sectional forces using quasisteady aerodynamics and they are used in the set of system equations. These set of equations are used to examine the stability characteristics of rotor-fuselage system. Imaginary parts of the eigenvalues give the damped natural frequencies and real parts are equivalent to the damping ratios of the system. Variation of these values are observed within a rotor speed range.

Properties of an experimental rotor stand found in the literature are used to apply the method and the results are compared with the test results.

1. G˙IR˙I ¸S

Döner kanatl hava araçlar olmalar sebebiyle helikopterlerin tasarm, bir çok mekanik, yapsal ve aerodinamik sorunla u§ra³may gerektirir. Rotor palalarnn rijit olarak göbe§e ba§lanmasnn yaratt§ yapsal sorunlar gidermek için kullanlan mente³eler ve elastik kiri³ler, rotor göbe§i üzerine binen momentleri azaltmakta, fakat kararszlk problemlerine kap aralamaktadrlar. Yaltlm³ bir rotorda mente³e yerle³imlerinin ya da elastik ba§la³mlarn sebep oldu§u kararszlklar ortaya çkabilmektedir. Bunun yannda aerodinamik kuvvetlerin yol açt§ aeroelastik kararszlk durumlar da mevcuttur. Rotor sitemlerinin ba§l bulunduklar gövde ile ba§la³m da, helikopter tasarmnda çok dikkat edilmesi gereken kararszlk problemlerine yol açmaktadr.

1.1 Rotor Kararsızlıkları

Rotor kararszlklarnn bir ksm sadece rotor sisteminin özellikleriyle ilintilidir. E§er sistem mente³eli ise, mente³elerin yerle³imi bu açdan önem ta³maktadr. Rijit rotor sistemlerinde ise, pala ile rotoru birbine ba§layan esnek kiri³ ve tork tüp sisteminin direngenli§i bu konuda etkilidir. Palann yunuslama hareketini içeren kararszlk durumlarnda ise, ilk burulma titre³im modunun belirleyicisi kontrol sisteminin direngenli§i olmaktadr. Dolaysyla kararszlk durumlar incelenirken, bu parametre de göz önünde tutulmaldr.

Rotorlar, yer test platformlar haricinde, hareketli bir gövde üzerinde bulunduklar için, gövdenin rijit ve esnek titre³im hareketleri, rotorun hareketinde etkili olmaktadr ve buna ba§l kararszlk sorunlar ortaya çkabilmektedir. Rotor kararszlklarnn ço§u aerodinamik kuvvetlerle birlikte ortaya çkar. Bunun yannda baz problemler vakumda da olabilmektedir. Bu gibi durumlar yine de aerodinamik kuvvetlerle birlikte incelemek faydaldr. Zira bu etkilerin hareketi

Bu tür kararszlk analizleri incelemeleri esnasnda aerodinamik kuvvetlerin yeterli derecede temsili önemlidir. Nispeten basit analizlerde, pala eleman momentum teorisi, sanki-daimi aerodinamik ile birlikte kullanlabilmektedir [1]. Daha detayl analizler ise, daimi olmayan aerodinamik teorisi, pala iz bölgesi modeli, uç girdaplar ve dinamik içe ak³ etkileri ile birlikte yaplmaldr. Torok ve Chopra çal³malarnda lineer daimi olmayan aerodinamik bir model kullanld§nda, mente³esiz bir rotor için yaplan aeroelastik analizlerde, gecikme sönümünün dü³ük hzlarda daha iyi tahmin edildi§ini belirtmi³lerdir. Ayrca yüksek hzlar için de nonlineer daimi olmayan aerodinamik modeli kullanmann gereklili§ine i³aret etmi³lerdir [2]. Literatürde bu türden 3 boyutlu aerodinamik modeller ile yaplm³ çal³malar mevcuttur. Örne§in Cho ve Lee, çal³malarnda, girdap kafesi metodu ve öngörülmü³ iz geometrisi kullanlarak elde edilen mente³esiz rotor aeroelastik analiz sonuçlarn, sanki-daimi aerodinamik modellerle kar³la³trm³lardr [3]. Bunlarla birlikte, sk³trlabilirlik etkilerinin de palann daimi hal yer de§i³tirmeleri ve aeroelastik kararll§ üzerinde önemli etkileri oldu§u belirtilmektedir [4].

Esnek palalar modellemek için kullanlan kiri³ teorisinin de, alnacak sonucun hassasiyeti üzerinde önemli bir etkisi vardr. Bir çok mühendislik uygulamasnda lineer Euler kiri³ teorisini kullanarak yaplan analizler yeterli olmaktadr. Bununla birlikte bu yakla³mda denklemler, gecikme hareketinde önemli etkileri olan lineer olmayan jiroskopik terimleri ve olu³an ³ekil de§i³tirmeye ba§l ba§la³mlar ihtiva etmemektedir. Bu yüzden do§rusal olamayan terimleri de ihtiva eden ve palann ³ekil de§i³tirmi³ halini dikkate alan denklem takmlar hazrlanm³tr. Bu ³ekilde hazrlanan denklem takmlar çok uzun ve karma³k olmaktadr. Bu nedenle de mertebelendirme tertipleri yaplarak, yüksek mertebeden olan ve etkileri küçük terimler denklemden dü³ürülmektedir [5]. Mertebelendirme tertipleri baz durumlarda hareket denklemini küçük ya da orta seviyede ³ekil de§i³tirme ile snrlandrmaktadr. “ekil de§i³tirme miktarna ba§l olmayan tam denklem takmlar da hali hazrda literatürde bulunmaktadr. Bu konudaki süregelen çal³malar, kompozit kiri³leri, düzlem içi ve düzlem d³

çarplmalar gösterebilecek biçimde ve her türlü ³ekil de§i³tirme miktar için modelleyebilecek modeller üzerine sürmektedir [6].

1.1.1 Sabit rotor kararsızlıkları

Sabit rotor kararszlklarnn en basiti, asimetrik rotor kararszl§dr. Sabit bir koordinat sisteminde izotropik olmayan atalet ya da direngenli§e sahip rotorlarda ortaya çkabilir. Aerodinamikle ilgisi yoktur ve analizi basittir. Kabaca asimetrik ³aft problemi olarak ele alnabilir.

Yar-rijit ya da tahterevalli rotorlarda ortaya çkabilen bir di§er kararszlk çe³idi ise, rotor örgüsüdür. Bu tür rotor sistemlerinde pala düzlem içerisinde elastik olarak direngen olsa da, pala konik açs ve çevrimsel yunuslama hareketi nedeniyle düzlem için de hareket edebilmektedir. Bu da bütün rotorun, göbek üzerindeki universal ba§lant etrafnda, rotor dönü³ yönüyle ayn yönde dönmesine sebep olmaktadr. Bu hareketin rotor dönü³ hzyla çak³mas problemin ortaya çkmasna sebep olmaktadr.

Hem mafsall rotorlarda hem de mente³esiz ya da yataksz rotrolarda ortaya çkabilen bir problem ise, palann düzlem içi, düzlem d³ ve yunuslama hareketleri arasndaki ba§la³mdr. Bu kararszlk çe³idi, palaya düzlem içerisinde etki eden kuvvetlerin, düzlem içi hzla ayn fazda olmas sonucu negatif sönüm olu³turmas sonucu ortaya çkar [1].

1.1.2 Rotor-gövde etkile¸siminden do˘gan kararsızlıklar

Rotor gövde etkile³imi neticesinde olu³abilecek kararszlklar yer rezonans ve hava rezonansdr.

Yer rezonans, helikopter yerde iken, palann regresif gecikme modunun gövde yunuslama ya da devrilme modlarndan birisi ile çak³mas neticesinde meydana gelir. E§er palann ilk gecikme modu frekans, rotor dönme hzndan daha dü³ük ise bu sorunla kar³la³labilir. Yer rezonans feci kazalara neden olabilir. lk defa Coleman tarafndan problem tanmlanm³, ve problemden kurtulmak için yapda bulunmas gereken frekans ve sönüm kriterlerini açklanm³tr [7].

Yer rezonans, vakumda da olu³abilen bir problemdir. Bu yüzden aerodinamik kuvvetler ihmal edilerek bu problem incelenebilir. Ancak gecikme mente³esi çok d³arda olan artiküle rotorlar ile mente³esiz ve yataksz rotorlarda aerodinamik kuvvetlerin etkisi de hesaba katlmaldr. Bu problemde göbe§in sadece düzlem içi hareketi incelenir, yer düzlemiyle yapaca§ aç de§i³imleri dikkate alnmaz. Yer rezonansn önlemek için, hem gövde hareketleri, hem de palann gecikme hareketi sönümlenmelidir. Bunun yannda gecikme-kanat çrpma-yunuslama hareketleri arasnda kurulacak ba§la³mlarla da sistemin ihtiyaç duydu§u sönüm de§eri azaltlabilmektedir.

Bir di§er gövde-rotor etkile³imi sonucu ortaya çkan kararszlk problemi ise hava rezonansdr. Yer rezonans ile benzerlik gösteren bu problemde, gövde modlar ile pala düzlem içi modunun çak³mas söz konusudur. Burada önemli bir nokta, pala düzlem d³ hareketinin, gövde modlarn etkiledi§inin unutulmamas gerekti§idir. Bu problemde aerodinamik kuvvetlerin önemli bir etkisi vardr. Hava rezonansnn yer rezonansndan bir di§er fark ise, ileri uçu³ ko³ullar için de bu analizin yaplmas gereklili§idir.

1.2 Hava Rezonansı

Hava rezonans, içerisinde mekanik, elastik ve aerodinamik etkileri barndran karma³k bir problemdir. Bu problem de, yer rezonansnda oldu§u gibi palann düzlem içi modu ile gövdenin rijit modlarnn çak³mas sonucu ortaya çkar. Burada gövde hareketini etkileyen önemli bir unsur, palalarn düzlem d³ hareketleridir. Bu hem gövde frekanslarn hem de aerodinamik kuvvetlerin sa§lad§ sönüm miktarn de§i³tirir. Hava rezonansnda temel olarak gövde devrilme ve yunuslama hareketi ile birlikte, palann düzlem içi ve düzlem d³ hareketleri dikkate alnr. Bunun yannda, palann burulma hareketi, rotor ³aft esnekli§i ve kontrol ba§la³mlar da dikkate alnrsa bu titre³im problemlerinde yeni modlar elde edilir [8].

Hava rezonans analizlerinde ask durumu için genellikle özde§er analizi yaplr. Lineer mekanik bir model ile lineerle³tirilmi³ sanki-daimi aerodinamik ifadeler kullanlarak lineer bir denklem takm elde etmek mümkündür. Bu analiz

esnasnda, rotor hareketlerinin dönmeyen eksen takmnda ifadesi için ya Fourier koordinat dönü³ümü ya da kompleks koordinatlar kullanlr [9]. leri uçu³ durumunda ise, denklemler periyodik terimlerden tamamyla arndrlamad§ için Floquet analizi ile çözüm aranr. E§er yüksek miktarda lineer olmayan etkiler söz konusu ise, do§rudan zaman integrasyonu yaplr [10]. Bunlarn yannda, ³ekil de§i³tirmelerin büyük oldu§u durumlarda, bir sonlu eleman modeli ile birlikte pertürbasyon yöntemi kullanlarak da analiz yaplabilir [11].

Hava rezonansnn önlenmesi için, sistemde yeterli sönüm bulunmaldr. Kanat çrpma hareketi aerodinamik kuvvetler tarafndan yüzde 50'ye varan oranda sönümlenir [12]. Gecikme hareketi üzerinde etki eden aerodinamik kuvvet, kanat çrpma hareketine nazaran daha dü³üktür. Her ne kadar palalardaki yapsal sönüm bir miktar etkili olsa da, olu³an kararszlk durumlarn önlemek için yeterli gelmemektedir [13]. Bu nedenle düzlem içi hareketin sönümlenmesi için, sönüm sa§layan ek sistemlere ihtiyaç duyulur. Bramwell, yapm³ oldu§u hava rezonans çal³masnda, bütün modlarn kararl olmas için, gecikme hareketi için kritik miktarn en az yüzde 4'ü kadar sönüm gerekti§ini bulmu³tur [14]. Bunun yannda aeroelastik ba§la³mlarn hava rezonansnn önlenmesi konusunda etkili oldu§unu gösteren çal³malar da vardr [15, 16]. Ayrca kinematik ve yapsal ba§la³mlar da, rotorun hava ve yer rezonans açsndan kararll§n etkilemektedir [17, 18]. Bu türden ba§la³mlarn, aeromekanik kararllk açsndan olumlu ve olumsuz etkilerini Smith ve Chopra, çal³malarnda ayrntl olarak ele alm³tr [19].

1.3 Mevcut Çalı¸smanın Amacı ve Kapsamı

Bu çal³mada, öncelikle yaltlm³ bir rotor palasnn düzlem içi ve düzlem d³ davran³n modelleyen hareket denklemleri çkarlm³tr. Bu esnada palann düzlem içi ve düzlem d³ hareketleri ilk titre³im modlar ile temsil edilmi³tir. Elde edilen hareket denklemlerine Fourier koordinat dönü³ümü uygulanm³ ve hareket denklemleri dönmeyen eksen takmnda ifade edilmi³tir. Bu rotorun iki dönme serbestlik derecesine sahip bir test stand üzerine yerle³tirildi§i farz edilmi³ ve test standnn hareketinin, daha önce elde edilen hareket denklemlerine olan etkisi de modellenmi³tir.

Elde edilen hareket denklemlerindeki lineer olmayan terimler, uygun bir ³ekilde lineerle³tirilmi³tir. Neticede alt de§i³kenli ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklem takm elde edilmi³tir. Örnek bir rotor sistemi baz alnarak bu sistemin, rotorun farkl dönme hzlar için özde§erleri bulunmu³, böylelikle sistem hareketlerinin do§al frekans ve sönüm oranlar tespit edilmi³tir.

Elde edilen sonuçlar, Weller'in 1983 ylnda NASA için hazrlad§ raporda bulunan sönüm oranlar ile kar³la³trlm³ ve de§erlendirmeler yaplm³tr [20].

2. PROBLEM˙IN TANIMI

Bu çal³mann amac, yataksz rotor sistemi için tasaralanm³ bir yer test düzene§inin, üzerine herhangi bir ak³ hz verilmedi§i durumdaki hareketinin incelenmesi ve pala gecikme modunun sönüm de§erlerinin analitik yolla elde edilmesidir.

2.1 Kabuller

Üç veya daha fazla palaya sahip bir rotor ele alnmaktadr. Palalarn düzlem içi ve düzlem d³ hareketi tamamyla pala esnek kiri³inin e§ilme hareketi ile sa§lanmaktadr. Palann elastik merkezi ile aerodinamik merkezi çak³ktr. Bu nedenle düzlem içi ve düzlem d³ hareketlerin birbirinden yapsal olarak ba§msz oldu§u farzedilmektedir. ki hareketin birbiriyle ba§ sadece Coriolis etkilerinden dolay olu³maktadr.

Burulma hareketine ba§l olarak ortaya çkan aerodinamik momentler ihmal edilmektedir. Pala üzerine gelen merkezkaç kuvvet ve aerodinamik momentin, denge halinde palann, göbek düzlemi ile belli bir koniklik açs yapmasna sebep oldu§u ve bu açnn bilindi§i farzedilmektedir. Modal hareket denklemlerinin elde edilmesi esnasnda do§rusal olmayan Coriolis ifadeleri bu denge durumu etrafnda do§rusalla³trlmaktadr.

Aerodinamik kuvvetlerin hesaplanmas esnasnda uç ve kök etkileri dikkate alnmamaktadr. Palalar aras aerodinamik etkile³imin de olmad§ kabul edilmektedir. Simetrik bir kanat proli kullanlmaktadr, dolaysyla çeyrek veter etrafnda aerodinamik moment sfrdr. Aerodinamik kuvvetler, iki boyutlu kanat proli ta³ma ve sürükleme katsaylar kullanlarak ve pala yarçap do§rultusunda integre edilerek hesaplanmaktadr. Pala eleman momentum teorisi kullanlarak elde edilen içe ak³ oran ifadesi ile içe ak³ hz bulunmaktadr.

2.2 Rotor Test Düzene˘gi

Rotor test düzene§i sistemi “ekil 2.1'de görülmektedir. Rotor gövdesi, a§rlk merkezi'nin hF kadar altnda bir noktadan pivotlanm³tr. X ve Y eksenleri

etrafnda dönebilmektedir. Bu hareketlere kar³ koyan yay (kX ve kY) ve sönüm

(cX ve cY) elemanlar vardr. Z ekseni etrafnda dönme hareketi kstlanm³tr.

Ayrca bu eksen do§rultusunda harekete imkan veren bir mekanizma yoktur. Gövde ve rotor a§rlk merkezleri pivot nokta ile rotor merkezini birle³tiren do§ru üzerindedir, herhangi bir kaçklk yoktur.

αX _α Y X Y Z mf, IXX, IYY Ω

¸Sekil 2.1: Rotor test düzene˘gi

2.3 Modelleme

Hareket denklemleri Newtonyen biçimde elde edilecektir. Bahsi geçen rotor test sisteminde, bir pala için düzlem içi ve düzlem d³ hareket denklemleri çkartlacaktr. Hareket denklemleri atalet, elastik, sönüm ve aerodinamik kuvvetlerini temsil eden terimleri ihtiva edecektir. Bir pala için çkarlan bu denklemlerin, dönmeyen eksen takmnda ifade edilebilmesi için hareket serbestlik

dereceleri ve hareket denklemleri Fourier koordinat dönü³ümü ile dönmeyen eksen takmnda ifade edilecektir.

Gövde hareket denklemleri de yine Newtonyen ³ekilde çkartlacaktr. Rotor sisteminin etkisi, bir pala üzerine gelen kuvvet ve momentlerin integrasyonu ve bütün palalarn etkisinin toplam ile bulunacaktr.

Denklemlerin çkarlmas esnasnda Coriolis ivmeleri nedeniyle ve ayrca aerodinamik yük ifadelerinden dolay do§rusal olmayan terimlerle kar³la³lmaktadr. Bu terimler de uygun biçimde do§rusalla³trlarak denklemler lineer hale getirilecektir.

Elde edilen sistemin özde§er analizi yaplacak ve elde edilen özde§erlerden sistemin frekanslar ve sönüm de§erleri elde edilecektir.

3. HAREKET DENKLEMLER˙I

Bu bölümde, bir önceki bölümde tantlan probleme ait hareket denklemleri çkartlm³tr. Öncelikle, pala hareket denklemlerinin, dönmeyen eksen takmnda ifade edilmesini sa§layan Fourier koordinat dönü³ümden bahsedilmi³, ardndan sabitlenmi³ bir rotor göbe§ine ba§l bulunan palalarn hareketleri incelenmi³tir. Daha sonra elde edilen denklemler geni³letilerek, bir mafsal sistemi sayesinde iki eksen etrafnda dönebilecek ³ekilde hareket serbestli§ine sahip bir rotor göbe§inin, pala hareket denklemlerine olan etkisi ele alnm³tr.

Gövde hareket denklemleri de çkartldktan sonra, aerodinamik kuvvetler modellenmi³tir. Böylelikle özde§er analizi için gerekli olan denklem sistemine ula³lm³tr.

3.1 Fourier Koordinat Dönü¸sümü

Fourier koordinat dönü³ümü, dönen bir eksen takmnda tanmlanm³ olan serbestlik derecelerinin, dönmeyen eksen takmnda ifade edilebilmesine imkan sa§layan bir dönü³ümdür. Bir rotor sistemine ba§l palalar ele alnrsa, herhangi bir palada mevcut bir serbestlik derecesi, sistemdeki N adet pala için N adet serbestlik derecesi olu³turacaktr. Fourier koordinat dönü³ümü, do§rusal ve tersi mevcut olan bir dönü³ümdür [21].

Ard³k palalar arasndaki aç miktar e³it ve 2π/N olan N adet palaya sahip bir rotorda, m'inci paladaki herhangi bir serbestlik derecesi β(m) için bu dönü³üm:

β0= _N1 N

∑

m=1 β(m) _(3.1a) βnc=_N2 N

∑

m=1 β(m)_cosnψ m (3.1b) βns= _N2 N

∑

m=1 β(m)_sinnψ m (3.1c) βN/2= _N1 N

∑

m=1 β(m)(−1)m (3.1d)

olarak tanmlanr. Burada β0 mü³terek mod, β1c ve β1s çevrimsel modlardr.

Di§er modlar ise tepkisiz modlardr, çünkü herhangi bir serbestlik derecesi için, dü³ey uçu³ta bu modlar göbek üzerinde toplamda sfr kuvvet ve moment olu³tururlar. Dü³ey olmayan uçu³lar için bu modlarn belli bir etkisi vardr, ama yine de mü³terek ve çevrimsel modlar baskndr. βN/2 serbestlik derecesi sadece

çift pala saysna sahip sistemlerde mevcuttur. β0, β1c, β1s ve βN/2 serbestlik

derecelerinin, bir rotor palasnn kanat çrpma ve gecikme hareketleri için temsili, “ekil 3.1 ve “ekil 3.2'de gösterilmi³tir.

(a) (b) (c) (d) X Y X Y X Y X Y

¸Sekil 3.1: Dönmeyen eksen takımında kanat çırpma serbestlik derecesi, a)β₀ b)β_1s c)β1cd)βN/2

Bu dönü³ümün tersi ise, β(m)_=β

(a) (b) (c) (d) X Y X Y X Y X Y

¸Sekil 3.2: Dönmeyen eksen takımında gecikme serbestlik derecesi, a)ζ0 b)ζ1s c)ζ1c

d)ζN/2

³eklindedir. Bu serbestlik derecesinin zamana ba§l türevleri ise, ˙β(m)_{= ˙β} 0+

∑

n h ˙βnc+ nΩβns  cosnψm +˙βns− nΩβnc  sinnψm i + ˙βN/2(−1)m (3.3) ¨β(m)_{= ¨β} 0+

∑

n h ¨βnc+ 2nΩ ˙βns+ n ˙Ωβns− n2Ω2βnc  cosnψm +¨βns− 2nΩ ˙βnc− n ˙Ωβnc− n2Ω2βns  sinnψm i + ¨βN/2(−1)m (3.4)

olarak bulunur. Burada rotor dönü³ hz, Ω = ˙ψm dir. Genelde rotorun denge

durumu için rotor hz sabittir ( ˙Ω = 0). Zamana ba§l türevlerin dönmeyen eksen takmnda ifadeleri ise,

1 N N

∑

m=1 ˙β(m)_{= ˙β} 0 (3.5a) 2 N N

∑

m=1 ˙β(m)_cosnψ m= ˙βnc+ nΩβns (3.5b) 2 N N

∑

m=1 ˙β(m)_sinnψ m= ˙βns− nΩβnc (3.5c) 1 N N

∑

m=1 ˙β(m)₍₋₁₎m_{= ˙β} N/2 (3.5d)

1 N N

∑

m=1 ¨β(m)_{= ¨β} 0 (3.6a) 2 N N

∑

m=1 ¨β(m)_cosnψ m= ¨βnc+ 2nΩ ˙βns− n2Ω2βnc (3.6b) 2 N N

∑

m=1 ¨β(m)_sinnψ m= ¨βns− 2nΩ ˙βnc− n2Ω2βns (3.6c) 1 N N

∑

m=1 ¨β(m)(−1) m_{= ¨β} N/2 (3.6d)

³eklinde elde edilir.

Dönen eksen takmnda yazlan hareket denklemlerinin, dönmeyen eksen takmnda ifade edilebilmesi için hareket denklemlerine de,

1 N N

∑

m=1 (...), 2 N N

∑

m=1 (...)cosnψm, _N2 N

∑

m=1 (...)sinnψm, _N2 N

∑

m=1(...)(−1) m _(3.7) operatörleri uygulanmaldr.

Dikkat edilirse, hareket denklemlerinde sabit katsayl de§i³kenlere (3.7) operatörleri uyguland§nda (3.5) ve (3.6) ifadelerindeki sonuçlara ula³ld§ görülür. Dolaysyla hareket denklemlerindeki sabit katsayl de§i³kenler yerine bu sonuçlar do§rudan yazlabilir. Harmonik katsaylar içeren ifadelerin ise trigonometrik e³itlikler kullanlarak sadele³tirilmeleri gerekmektedir. Örne§in F cosψm gibi bir terime Fourier koordinat dönü³ümü uygulanacak olursa , C.10

ve C.19 e³itlikleri kullanlarak, 2 N N

∑

m=1 (F cosψm)sinψm= 0 (3.8) 2 N N

∑

m=1 (F cosψm)cosψm= F (3.9) bulunur.

3.2 Sabitlenmi¸s Rotor ˙Için Pala Hareket Denklemleri

Sabitlenmi³ rotor için pala hareket denklemleri ³u kabuller ³§nda çkarlacaktr:

2. Rotor palasnn düzlem içi ve düzlem d³ hareketleri birbirine yapsal ya da ataletsel olarak ba§l de§ildir. Bu iki hareket arasnda sadece Coriolis ivmesi nedeniyle bir ba§ vardr.

3. Pala düzlem d³ hareket için daimi halde göbek düzlemiyle βc açs

yapmaktadr ve bu aç merkezkaç kuvvet ve göbek düzlemine dik aerodinamik kuvvet tarafndan dengelenmektedir.

4. Pala elastik ekseni, a§rlk merkezi ve aerodinamik merkezi çak³ktr.

x

y

z

Ω

F

A

−m

_dtd22  S

r

¸Sekil 3.3: Pala kesidi üzerine etki eden kuvvetler

Sabitlenmi³ bir rotorda, “ekil 3.3'te görülen herhangi bir pala kesidinin konum, hz ve ivme vektörleri dönen eksen takmnda,

r= ri + yj + zk (3.10)

˙r= ˙ri + ˙yj + ˙zk (3.11)

¨r= ¨ri + ¨yj + ¨zk (3.12)

³eklinde ifade edilebilir. Hareket denklemlerinde kullanlmak üzere, ivme vektörü atalet eksen takmnda ifade edilmek istenirse, Coriolis teoremi kullanlr [1] :

 d2 dt2  S r= d 2 dt2  V r+ 2ωωω × d dt  V r+ωωω ×(ωωω ×r)+ d dt  Vω ω ω ×r (3.13)

Burada [ ]_s terimleri atalet eksen takmnda ifade edilen türevleri, [ ]_v terimleri ise hareketli eksen takmda ifade edilen türevleri göstermektedir. Denklemde yer alan ωωω ise, hareketli eksen takmnn atalet eksen takmna göre yapt§ dönme hareketinin açsal hz vektörünü temsil etmektedir. Rotorun ωωω = Ωk sabit hzda

döndü§ü varsaylrsa (3.13) e³itli§indeki son terim dü³er. (3.10), (3.11) ,(3.12) ifadeleri (3.13)'te yerlerine konulursa,

 d2 dt2  S r=    ¨r ¨y ¨z   + 2   Ω0 −Ω 00 0 0 0 0      ˙r ˙y ˙z    +   Ω0 −Ω 00 0 0 0 0       Ω0 −Ω 00 0 0 0 0      r y z      (3.14)  d2 dt2  S r=    ¨r − 2Ω˙y− Ω2r ¨y+ 2Ω˙r−Ω2_y ¨z    (3.15)

³eklinde atalet eksen takmnda pala kesidinin ivmesi bulunmu³ olur. Pala kesidi üzerinde olu³acak kuvvet ise,

F= −m d 2 dt2  S r+ FA (3.16)

biçimindedir. Burada FA aerodinamik kuvveti temsil etmektedir. Rotorun

yarçap do§rultusunda aerodinamik kuvvet bile³eninin olmad§ kabul edilirse, aerodinamik kuvvet vektörü,

F_A= F_yj+ F_zk (3.17)

biçiminde vektörel olarak ifade edilir.

ρ

r

M

Elde edilen bu kuvvetin, pala üzerinde r açklkta bulunan kesitte yarataca§ moment, M(r) =    Mx My Mz   = R Z r (_{ρρρ −r)×Fdρ} = R Z r   _{[z − z(r)]}0 −[z − z(r)] [y − y(r)]0 −[ρ − r] −[y − y(r)] [ρ −r] 0   ×    −m ¨ρ + 2mΩ ˙y + mΩ2ρ −m ¨y − 2mΩ ˙ρ + mΩ2y + Fy −m¨z+ Fz   dρ (3.18)

³eklinde vektörel çarpm olarak yazlr (“ekil 3.4). Burada y ve z de§erleri, integrasyon de§i³keni olan ρ'ya ba§ldrlar. Palann düzlem d³ hareketini belirleyen moment bile³eni My, düzlem içi hareketini belirleyen moment bile³eni

ise Mz'dir. Bu iki bile³en (3.18) ifadesinden,

My(r) = R Z r m¨z[ρ −r]dρ − R Z r m ¨_{ρ [z −z(r)]dρ +} R Z r 2mΩ ˙y[z −z(r)]dρ + R Z r mΩ2_{ρ [z −z(r)]dρ −} R Z r Fz[ρ −r]dρ (3.19) Mz(r) = − R Z r m ¨y[ρ −r]dρ − R Z r 2mΩ ˙ρ [ρ −r]dρ + R Z r mΩ2_{y[ρ −r]dρ} + R Z r m ¨_{ρ [y −y(r)]dρ −} R Z r 2mΩ ˙y[y −y(r)]dρ − R Z r mΩ2_{ρ [y −y(r)]dρ +} R Z r Fy[ρ −r]dρ (3.20)

olarak elde edilir. Palann yarçap do§rultusundaki titre³im hareketinde, palann uzamasna ba§l olan hareket miktar çok ufaktr ve bu hareketin do§al frekans da çok yüksektir. Bu nedenle pala kesidinin x eksenindeki hareketinin, y ve z yönünde yapt§ hareketlere ba§l oldu§u dü³ünülebilir. Palann düzlem içi ve düzlem d³ hareketi nedeniyle x ekseni do§rultusunda yapaca§ hareket,

ρ = −1₂

ρ Z

biçiminde ifade edilebilir. Bu hareketin hz ve ivmesi de, ˙ ρ = − ρ Z 0 y0_˙y0_{+ z}0_˙z0
_dρ? _(3.22) ¨ ρ = − ρ Z 0 y0_¨y0_{+ ˙y}02_{+ z}0_¨z0_{+ ˙z}02
_dρ? _(3.23)

³eklinde yazlabilir. Buna göre (3.19)'de bulunan m ¨ρ (z − z(r)) ve (3.20)'de bulunan m ¨ρ (y − y(r)) terimlerinin büyüklükleri, di§er terimlere nazaran çok ufak oldu§undan ihmal edilebilir.

Mühendislik kiri³ teorisine göre, kesit üzerinde olu³acak moment ile e§rilik arasndaki ili³ki, My(r) = −EIyy∂ 2_z ∂r2 (3.24) Mz(r) = EIzz∂ 2_y ∂r2 (3.25)

³eklindedir. Bu ifadeler (3.19) ve (3.20)'de yerlerine yazlrsa,

EIyy∂ 2_z ∂r2+ R Z r m¨z(ρ −r)dρ + R Z r 2mΩ ˙y(z −z(r))dρ + R Z r mΩ2_{ρ (z −z(r))dρ =} R Z r Fz(ρ −r)dρ (3.26) EIzz∂ 2_y ∂r2+ R Z r m ¨y(ρ −r)dρ + R Z r 2mΩ ˙ρ (ρ −r)dρ − R Z r mΩ2_{y(ρ −r)dρ} + R Z r 2mΩ ˙y(y −y(r))dρ + R Z r mΩ2_{ρ (y −y(r))dρ =} R Z r Fy(ρ −r)dρ (3.27)

e³itlikleri elde edilir. Elde edilen bu e³itliklerin r'ye göre iki defa türevi alnrsa ∂2 ∂r2  EIyy∂ 2_z ∂r2  + m¨z−_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ_∂r∂z   −_∂r∂   R Z r mΩ2_ρdρ∂z ∂r   = Fz (3.28) ∂2 ∂r2  EIzz∂ 2_y ∂r2  + m ¨y+ 2m_{Ω ˙ρ −mΩ}2_y −_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ∂y ∂r   −_∂r∂   R Z r mΩ2_ρdρ∂y ∂r   = Fy (3.29)

3.2.1 Palanın düzlem dı¸sı hareketi

(3.28) Denklemindeki aerodinamik kuvvet bile³eni ve Coriolis terimi dü³ürülürse, ∂2 ∂r2  EIyy∂ 2_z ∂r2  + m¨z−_∂r∂   R Z r mΩ2_ρdρ∂z ∂r   = 0 (3.30)

³eklinde palann düzlem d³ hareketi için modal denklemi elde edilmi³ olur. Bu denklem lineer; x de§i³kenine göre dördüncü mertebeden, t de§i³kenine göre ikinci mertebeden bir ksmî diferansiyel denklemdir. Denklem lineer oldu§u için de§i³kenlerin ayr³trlmas yöntemi kullanlmasna imkan vermektedir [1]:

z(r,t) =

∑

∞

j=1

Rηwj(r)wj(t) (3.31)

Burada, Rηwj, j'inci mod ³ekli, wj'de j'inci genelle³tirilmi³ koordinattr. ηw

fonksiyonu ortogonaldir. Dolaysyla,

R Z

e

mηiηj= 0 ,i 6= j ise (3.32)

³artn sa§lar. Palann düzlem d³ hareketinin basit harmonik hareket oldu§u kabul edilirse, (3.30) denkleminde z yerine Rηweiωwt yazlabilir. Bu durumda,

∂2 ∂r2 " EIyy∂ 2_η wj ∂r2 # − ωw2jmηwj− ∂ ∂r   R Z r mΩ2_ρdρ∂ηwj ∂r   = 0 (3.33)

ifadesine ula³lr. Buradan do§al frekans de§i³kenini içeren terim çekilirse, ω2 wjmηwj = ∂2 ∂r2 " EIyy∂ 2_η wj ∂r2 # −_∂r∂   R Z r mΩ2_ρdρ∂ηwj ∂r   (3.34)

elde edilir. (3.31) ifadesi, palann düzlem d³ hareket denklemi olan (3.28)'de kullanlrsa, ∞

∑

j=1    ∂2 ∂r2 " EIyy∂ 2_Rη wj ∂r2 # −_∂r∂   R Z r mΩ2_ρdρ∂Rηwj ∂r     w + ∞

∑

j=1 mRηwj ¨w −_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ_∂r∂z   = Fz (3.35)

³eklindeki ifadesi bulunur. Burada ba§layc ayraç içerisinde (3.34)'deki ifade bulunmaktadr. Bu denklem, (3.34) kullanlarak yazlrsa,

∞

∑

mRηwj ¨w +ωw2jηwjw  −_∂r∂   R Z 2mΩ ˙ydρ∂z ∂r   = Fz (3.36)

ifadesi elde edilir.

Aeromekanik analizlerde ilk bir kaç modu kullanarak hareketi ifade etmek, yeterli hassasiyeti sa§lamaktadr. Palann ilk modu ele alnacak olursa (ωw=ωw1 ve

ηw=ηw1), bu modun hareket denklemini elde etmek için (3.36) denklemi, birinci

mod ³ekli ile çarplp, pala boyunca integre edilir:

R Z 0 Rηw ∞

∑

j=1 mRηwj ¨w +ωw2jηwjw  dr − R Z 0 Rηw_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ∂z_∂r  dr = R Z 0 RηwFzdr (3.37) R Z 0 mR2 η2 w¨w +ωw2ηw2w
dr − R Z 0 Rηw_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ∂z ∂r  dr = R Z 0 RηwFzdr (3.38)

Buradaki Coriolis ifadesi terimi ele alnrsa:

R r Z 0 ηw_∂r∂   R Z r 2Ω ˙ymdρ∂z ∂r  dr = 2RΩ r Z 0 ηw_∂r∂   R Z r ˙ymdρ∂z ∂r  dr = 2RΩ r Z 0 udv (3.39) yazlabilir. Burada, u =ηw, dv = _∂r∂   R Z r ˙ymdρ∂z ∂r  dr (3.40) v = R Z r ˙ymdρ_∂r∂z, du = dηw dr dr (3.41) ³eklindedir. b Z a udv = uv|ba− b Z a vdu (3.42)

integral e³itli§i kullanlrsa, (3.39) ifadesi,

ηw∂z_∂r R Z r ˙ymdρ       R 0 − R Z 0 dηw dr ∂z ∂r R Z r ˙ymdρdr (3.43)

halini alr. Burada, r = 0 ⇒ ηw= 0

r = R ⇒

R Z

oldu§u göz önüne alnr ve de§i³ken dönü³ümü uygulanrsa (3.43) ifadesi, − R Z 0 ˙ym r Z 0 dηw dr ∂z ∂rdρdr (3.45)

³eklinde bulunur. Dü³ey uçu³ durumu için, palann düzlem d³ hareketi nedeniyle, yatayla koniklik açs βc kadar aç yapt§ farz edilirse, ∂z_∂r yerine βc

yazlabilir. Neticede R r Z 0 ηw_∂r∂   R Z r 2Ω ˙ymdρ∂z_∂r  dr = −2ΩRrβc R Z 0 ˙yηwmdr (3.46)

e³itli§ine ula³lr . Böylelikle, palann birinci düzlem d³ modu için hareket denklemi R Z 0 mR2 η2 w¨w +ωw2ηw2w
dr − 2ΩRrβc R Z 0 ˙yηwmdr = R Z 0 RηwFzdr (3.47)

³eklinde elde edilir.

3.2.2 Palanın düzlem içi hareketi

(3.29) Denklemindeki aerodinamik kuvvet bile³eni ve Coriolis terimi dü³ürülürse, ∂2 ∂r2  EIzz∂ 2_y ∂r2  + m ¨y− mΩ2_{y −} ∂ ∂r   R Z r mΩ2_ρdρ∂y ∂r   = 0 (3.48)

³eklinde palann düzlem içi hareketi için modal denklemi elde edilmi³ olur. Bu denklem de (3.30) denklemiyle ayn özelliklerdedir. Ayn ³ekilde y yönündeki hareket bir seri ³eklinde ifade edilebilir:

y(r,t) =

∑

∞

j=1

Rηvj(r)vj(t) (3.49)

Burada, Rηvj, j'inci düzlem içi mod ³ekli, vj'de j'inci genelle³tirilmi³ koordinattr.

Basit harmonik hareket kabulu ile, (3.30) denkleminde y yerine Rηveiωvt ifadesi

yazlrsa: ∂2 ∂r2 " EIzz∂ 2_η vj ∂r2 # − ωv2mηvj− mΩ2ηvj− ∂ ∂r   R Z r mΩ2_ρdρ∂ηvj ∂r   = 0 (3.50)

bulunur. Do§al frekans terimini ihtiva eden ifade çekilirse: ω2 vmηvj = ∂2 ∂r2  EIzz∂ 2_η vJ ∂r2  − mΩ2ηvj− ∂ ∂r   R Z mΩ2_ρdρ∂ηvj ∂r   (3.51)

elde edilir. (3.29)'nde y yerine (3.49) konulursa, ∞

∑

j=1    ∂2 ∂r2 " EIzz∂ 2_Rη vj ∂r2 # − mΩ2Rηvj− ∂ ∂r   R Z r mΩ2_ρdρ∂Rηvj ∂r      +

∑

∞ j=1 mRηwj¨y + 2mΩ ˙ρ − ∂ ∂r   R Z r 2mΩ ˙ydρ∂y ∂r   = Fy (3.52)

ifadesi elde edilir. Yine burada ba§layc ayraç içerisindeki ifade (3.51) ile ayndr. Bu ifade tekrar yazlrsa,

∞

∑

j=1 mRηvj¨v+ωv2jηvjv  + 2mΩ ˙ρ −_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ∂y_∂r   = Fy (3.53)

denklemine ula³lr. Palann düzlem içi ilk modu ele alnacak olursa (ωv=ωv1 ve

ηv=ηv1), bu modun hareket denklemini elde etmek için (3.53) denklemi, birinci

mod ³ekli ile çarplp, pala boyunca integre edilir:

R Z 0 Rηv ∞

∑

j=1 mRηvj¨v+ωv2jηvjv  dr + R Z 0 Rηv2mΩ ˙ρdr − R Z 0 Rηv_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ∂y_∂r  dr = R Z 0 RηvFydr (3.54) R Z 0 mR2 η2 v¨v+ωv2ηv2v
dr + R Z 0 Rηv2mΩ ˙ρdr − R Z 0 Rηv_∂r∂   R Z r 2mΩ ˙ydρ∂y_∂r  dr = R Z 0 RηvFydr (3.55)

Elde edilen hareket denkleminde iki adet Coriolis ifadesi mevcuttur. Bunlardan biri palann düzlem içi hareketinden kaynaklanmakta, di§eri ise palann yarçap boyunca ksalmasndan meydana gelmektedir. Bu ksalmay ifade eden ∆ρ terimi,

−1₂

ρ Z 0

y02_{+ z}02
_dρ? _(3.56)

³eklinde yazlabilir. Bu ksalmann hz ise,

ρ

biçimindedir. Bu durumda denklemdeki Coriolis ifadeleri ³u ³ekilde sadele³tirilebilir: R R Z 0 ηv2mΩ r Z 0 y0_˙y0_{+ z}0_˙z0
_{dρdr −R} R Z 0 ηv  y0 R Z 0 2 ˙ymΩdρ   0 dr ∼ = 2βc R Z 0 ˙zηvmdr (3.58)

Neticede elde edilen hareket denklemi ise,

R Z 0 mR2 η2 v¨v+ωv2ηv2v
dr + 2βc R Z 0 ˙zηvmdr = R Z 0 RηvFydr (3.59) ³eklindedir.

3.3 Serbest Rotor ˙Için Hareket Denklemleri

Ele alnan problemde göbek ve pala için tanmlanm³ eksen takmlar “ekil 3.5'de gösterilmi³tir. Buna göre XYZ eksen takm göbek üzerine sabitlenmi³tir. X ve Y eksenleri srasyla gövdenin devrilme ve yunuslama hareketlerini çevresinde yapt§ eksenlerdir. Z ekseni ise rotor dönme eksenidir. Bu eksen takmna ait birim vektörler I, J ve K'dr. xyz eksen takm ise pala üzerine sabitlenmi³ eksen takmdr. x ekseni, palann yarçap do§rultusunda uzanr ve pala ekseni olarak da anlr. y ekseni sürükleme do§rultusunun aksi yönüne do§rudur. z ekseni ise ta³ma do§rultusundadr ve göbek eksen takmnn Z ekseni ile çak³ktr. Bu eksen takmna ait birim vektörler ise i , j ve k ile temsil edilmektedir.

ψm

ψm

X

x

Y

y

Z , z

¸Sekil 3.5: Göbek ve pala eksen takımları

ψm, m'inci palann eksen takmn, göbek eksen takm ile xy düzleminde yapt§ aç

ili³ki:    i j k   = 

 _−sinψcosψm_m cossinψψmm 00

0 0 1      I J K    (3.60) ³eklinde bulunur.

Göbe§in Z ekseni etrafndaki açsal hareketi kstlanm³tr. Bunun yannda X ve Y eksenleri do§rultusunda yapacaklar hareketler de, bu eksenler etrafndaki dönme hareketlerine kinematik olarak,

X = hαY (3.61)

Y = −hαX (3.62)

biçiminde ba§ldr. Bu hareketlerin ufak oldu§u kabulü yaplrsa, Z ekseni do§rultusundaki hareketin de sfr oldu§u kabul edilebilir.

Pala ekseni üzerinde r miktarnda uzakta duran bir noktann konumu, xyz eksen takmnda,

r= ri (3.63)

olarak yazlabilir. Bu noktann, pala üzerinde sabit bir nokta oldu§u kabul edilirse,  d dt  xyz r= 0, d 2 dt2  xyz r= 0 (3.64)

oldu§u görülür. Bununla birlikte, göbe§in hareketi nedeniyle, bu sabit noktann da xy düzleminde bir hz vektörü mevcuttur. Göbe§in hz vektörü, pala eksen takmnda, vh =    ˙x ˙y 0   =   

˙X cosψm+ ˙Y sinψm

− ˙X sinψm+ ˙Y cosψm

0

 

 (3.65)

³eklinde yazlabilir.

Bu durumda, elde iki adet hareketli eksen takm vardr. Bunlardan ilki, göbek eksen takmdr ve atalet eksen takmna göre açsal hz vektörü,



biçimindedir. Di§eri ise, pala eksen takmdr ve bunun da atalet eksen takmna göre açsal hz vektörü,

ωωωb=    ˙ αx ˙ αy Ω   =    ˙ αXcosψm+ ˙αYsinψm − ˙αXsinψm+ ˙αYcosψm Ω    (3.67)

olarak yazlabilir. Bu hareket için, pala ekseninde sabit ri noktas için, atalet eksen takmnda ivme vektörünü yazmak için

 d2 dt2  S r= d dt  XY Z vh+++ωωωh× vh+  d2 dt2  xyz r+ 2ωωω_b× d dt  xyz r +ωωωb× (ωωωb× r) + d_dt  xyzω ωωb× r (3.68)

ifadesi kullanlr. (3.63-3.67) terimleri (3.68) ifadesinde yerlerine yazlrsa,  d2 dt2  S r=    ¨x ¨y 0   +   00 00 − ˙αα˙yx − ˙αy α˙x 0      ˙x ˙y 0    +   Ω0 −Ω0 − ˙αα˙yx − ˙αy α˙x 0       Ω0 −Ω0 − ˙αα˙yx − ˙αy α˙x 0      r 0 0      +   00 00 − ¨αα¨yx − ¨αy α¨x 0      r 0 0   =    ¨x − ˙α2 yr − Ω2r ¨y+ ˙αxα˙yr ˙ αx˙y− ˙αy˙x − Ωr ˙αx− r ¨αy    (3.69) ³eklinde atalet eksen takmnda ifade edilen ivme vektörü bulunmu³ olur.

Bu ivmeye ba§l atalet kuvvetleri nedeniyle pala üzerinde herhangi bir noktada olu³acak moment , M(r) =    Mx My Mz   = R Z r (ρρρ −r)×−m d 2 dt2  S r  dρ = R Z r   00 00 −(ρ − r)0 0 (ρ −r) 0      −m ¨x + m ˙αy2ρ + mΩρ −m ¨y − m ˙αxα˙yρ −m ˙αx˙y+ m ˙αy˙x + mΩρ ˙αx+ mρ ¨αy   dρ (3.70) ifadesinden bulunur. Pala kanat çrpma ve gecikme hareketlerine etki eden momentler ise srasyla,

My= R Z r (_{ρ −r)(m ˙α}x˙y− m ˙αy˙x − mΩρ ˙αx− mρ ¨αy)dρ (3.71) Mz= R Z (ρ −r)(−m¨y−m ˙αxα˙yρ)dρ (3.72)

³eklinde bulunur.

Elde edilen moment ifadelerinde bulunan lineer olmayan terimlerin etkilerinin küçük oldu§u varsaylarak ihmal edilmeleri durumunda ise bu ifadeler,

My= − R Z r (_{ρ −r)(mΩρ ˙α}x+ mρ ¨αy)dρ (3.73) Mz= − R Z r (_{ρ −r)m¨ydρ} (3.74)

biçiminde yazlabilir. Bu e³itliklerdeki αx, αy , x ve y terimleri, XYZ eksen

takmndaki büyüklükler cinsinden yazlrsa ve (3.61) ile (3.62) kullanlrsa, bu ifadeler, My= R Z r (ρ −r)[(−mΩρ ˙αX− mρ ¨αY)cosψm+ (−mΩρ ˙αY+ mρ ¨αX)sinψm]dρ (3.75) Mz= R Z r (ρ −r)mh[ ¨αYsinψm+ ¨αXcosψm]dρ (3.76)

³eklinde bulunur. Gövde hareketlerinden elde edilen bu terimleri (3.47) ve (3.59) denklemlerine dahil edersek, hareket denklemleri,

R2 r Z 0 η2 wmdr ¨w + R2 r Z 0 η2 wmdrωw2w + 2ΩRrβc˙v R Z 0 ηvηwmdr + R R Z 0 ηw(−mΩr ˙αX− mr ¨αY)cosψmdr + R R Z 0 ηw(−mΩr ˙αY + mr ¨αX)sinψmdr = R R Z 0 ηwFzdr (3.77) R2 R Z o η2 vmdr ¨v+ωv2v
+ 2βc˙w R Z 0 ηwηvmdr + R R Z 0 ηwm(h ¨αYsinψm+ h ¨αXcosψm) = R R Z 0 ηvFydr (3.78)

³eklinde elde edilir. Bu denklemlerdeki integral ifadeler, Iww= R2 R Z 0 η2 wmdr (3.79) Iwv= R2 R Z 0 ηwηvmdr (3.80) Swr = R R Z 0 ηwmrdr (3.81) Ivv= R2 R Z 0 η2 vmdr (3.82) Sv= R R Z 0 ηvmdr (3.83)

³eklinde yazlarak daha sade bir hale getirilebilir. Bu durumda hareket denklemleri, Iww¨w + Iwwωw2w − 2IwvΩβc˙v+ Swr(−Ω ˙αX− ¨αY)cosψm + Swr(−Ω ˙αY+ ¨αX)sinψm= R R Z 0 ηwFzdr (3.84) Ivv ¨v+ωv2v
+ 2IwvΩβc˙w + Sv(h ¨αYsinψm+ h ¨αXcosψm) = R R Z 0 ηvFydr (3.85)

biçimini alr. Bu denklemlere Bölüm 3.1'de bahsi geçen dönü³üm uyguland§nda, dönmeyen eksen takmndaki serbestlik dereceleri için hareket denklemleri,

Iww ¨wc+ 2Ω ˙ws+ ωw2− Ω2
wc
− 2IwvβcΩ(˙vc+Ωvs) +Swr(−Ω ˙αX− ¨αY) = Mwc (3.86) Iww ¨ws− 2Ω ˙wc+ ωw2− Ω2
ws
− 2IwvβcΩ(˙vs− Ωvc) +Swr(−Ω ˙αY+ ¨αX) = Mws (3.87) Ivv¨vc+ 2Ωvs+ ωv2− Ω2
vc+ 2IwvΩβc( ˙wc+Ωvs) + Svh ¨αX = Mvc (3.88) Ivv¨vs− 2Ωvc+ ωv2− Ω2
vs+ 2IwvΩβc( ˙ws− Ωvc) + Svh ¨αY = Mvs (3.89)

³eklinde elde edilir. Bu denklemlerdeki aerodinamik ifadeler, Mwc=_N2 N

∑

m=1  RZ R 0 ηwFzdr cosψm  Mws= _N2 N

∑

m=1  RZ R 0 ηwFzdr sinψm  Mvc=_N2 N

∑

m=1  RZ R 0 ηvFydr cosψm  Mvs= _N2 N

∑

m=1  RZ R 0 ηvFydr sinψm 

biçiminde ifade edilmi³tir.

3.4 Gövde Dinamikleri

Gövde sisteminin yere ba§l oldu§u yatak etrafndaki moment dengesi ele alnrsa, hareket denklemleri, −IFX + IRX+ mFh2F+ Nmbh2  ¨ αX− cXα˙X− [kX− g(hFmF+ hNmb)]αX + MX− FYh = 0 (3.90) −IFY+ IRY+ mFh2F+ Nmbh2  ¨ αY− cYα˙Y− [kY− g(hFmF+ hNmb)]αY + MY + FXh = 0 (3.91)

³eklinde yazlabilir (“ekil 3.6). Burada IFX ve IFY gövdenin X ve Y eksenlerine

göre atalet momentlerini; IRX ve IRY rotorun X ve Y eksenlerine göre atalet

momentlerini; kX, kY, cX ve cY gövdenin yatak etrafnda X ve Y eksenleri

etrafndaki dönme hareketini kstlayan yay ve sönüm katsaylarn; FX ve FY rotor

sisteminin göbek üzerinde olu³turdu§u X ve Y do§rultusundaki kuvvetleri; MX ve

MY ise rotor sisteminin göbek üzerinde olu³turdu§u X ve Y eksenleri etrafndaki

momentleri temsil etmektedir. h, Rotorun pivot noktasna olan uzakl§, hF ise

gövde a§rlk merkezinin pivot noktasna olan uzakl§dr. g yerçekimi ivmesidir. IRX ve IRY, (C.12) ve(C.13) kullanlarak :

I =

∑

N

R Z

MX

MY

FX

FY

¸Sekil 3.6: Gövde üzerine rotor sisteminden gelen yükler

IRY = N

∑

m=1 R Z 0 mr2sin2ψmdr = N₂Ib (3.93)

olarak bulunur. Burada Ib=R0Rmr2dr olarak tanmlanm³tr ve palann dönen

eksen takmnda y ve z eksenleri etrafndaki atalet momentini temsil etmektedir. FX ve FY de§erlerini bulmak için öncelikle bir palann göbek üzerine etki ettirdi§i

kuvvet dönen eksen takm için yazlr:

Sr = R Z 0 mΩ2_{r + 2Ω ˙ym
dr} =Ω2 R Z 0 rmdr + 2Ω ˙vR R Z 0 ηvmdr (3.94) Sy= R Z 0 Fy− m ¨y + mΩ2y
dr = R Z 0 Fydr +Ω2Rv R Z 0 mηvdr − R¨v R Z 0 ηvmdr (3.95)

Ayn ³ekilde düzlem d³ kuvvetlerin olu³turdu§u moment de, bir pala için dönen eksen takmnda: My= R Z 0 r −Fz+ m¨z+ mΩ2z + 2mΩ ˙yz
dr (3.96)

³eklinde ifade edilir. Buradaki Coriolis terimi, z = βcr olarak kabul edilirse

My= − R Z rFzdr + ¨wR R Z rηwmdr +Ω2wR R Z ηwrmdr + 2ΩβcvR R Z ηvrmdr (3.97)

olarak yazlabilir. Sistemdeki bütün palalarn göbek üzerinde yarataca§ kuvvet ve momentler ise: FX = N

∑

m=1 (Srcosψm− Sysinψm) (3.98) FY = N

∑

m=1 (Srsinψm+ Sycosψm) (3.99) MX = − N

∑

m=1 Mysinψm (3.100) MY = N

∑

m=1 Mycosψm (3.101)

³eklinde bulunur. Kuvvet ve moment ifadelerindeki terimler biraraya getirilip, sadele³tirildi§inde, FX = N₂ Sv¨vs− F_X(A) (3.102) FY = −N 2Sv¨vc+ F (A) Y (3.103) MX = −N₂Swr( ¨ws− 2Ω ˙wc) −N₂Svr2Ωβc( ˙vs− Ωvc) + M_X(A) (3.104) MY = N 2Swr( ¨wc+ 2Ω ˙ws) + N 2Svr2Ωβc( ˙vc− Ωvc) − M (A) Y (3.105)

elde edilir. Burada, Svr = R R Z o mηvrdr (3.106) ³eklinde tanmlanm³tr.

Bu e³itliklerde ayrca aerodinamik kuvvet terimleri, F_X(A)=

∑

N m=1   R Z o Fydr sinψm  , F_Y(A)=

∑

N m=1   R Z o Fydr cosψm   _(3.107) M_X(A)=

∑

N m=1   R Z o Fzrdr sinψm  , M_Y(A)=

∑

N m=1   R Z o Fzrdr cosψm   (3.108)

biçiminde tanmldr. (3.102), (3.103), (3.104) ve (3.105) e³itlikleri, (3.90) ve (3.91) denklemlerinde yerlerine yazlrsa, gövde için hareket denklemleri

−  IFX + N 2Ib+ mFh2F+ Nmbh2  ¨ αX− cXα˙X− [kX− g(hFmF+ hNmb)]αX −N₂Swr( ¨ws− 2Ω ˙wc) −N 2Svr2Ωβc( ˙vs− Ωvc) + M (A) X + N 2Svh ¨vc− hF (A) Y = 0

−  IFY+ N 2Ib+ mFh2F+ Nmbh2  ¨ αY− cYα˙Y− [kX− g(hFmF+ hNmb)]αY +N 2Swr( ¨wc+ 2Ω ˙ws) + N 2Svr2Ωβc( ˙vc− Ωvc) − M (A) Y + N 2 Svh ¨vs− hF (A) X = 0 (3.110) ³eklinde elde edilir.

3.5 Aerodinamik Kuvvetler

3.5.1 Pala elemanı teorisi

Pala eleman teorisi, 2 boyutlu kanat proli verilerinin kullanlarak, palalar üzerinde yarçapa ve azimuta ba§l yük da§lmnn hesaplanmasna imkan veren bir analiz yöntemidir. Pala ucunda ve kökte meydana gelen etkiler, ampirik katsaylarla birlikte düzeltilerek 3 boyutlu etkiler de göz önüne alnm³ olur. Pala eleman teorisi, momentum teorisi ile birlikte ele alnd§nda pala boyunca içe ak³n da§lm belirli kabuller altnda hesaplanabilir [12].

UT UP dFz dFy dL dD φ α θ φ φ

¸Sekil 3.7: Pala kesidi üzerinde olu¸san aerodinamik kuvvet bile¸senleri ve açı tanımlamaları

Pala kesidi üzerindeki ak³ hz, aç ve kuvvet tanmlar “ekil 3.7'de gösterilmi³tir. çe ak³ oran, rotor düzlemine dik ak³ hznn pala uç hzna orandr. Eksenel uçu³ için içe ak³ oran:

λ = _ΩRvi (3.111)

³eklinde yazlabilir. Burada Vc rotorun eksenel hz, vi ise içe ak³ hzdr.

Bir pala kesidi üzerinde olu³acak toplam hz: U =qU2

olarak yazlabilir ve bu hza ba§l olu³acak ta³ma ve sürükleme: L = 1

2ρU2ccl (3.113)

D = 1

2ρU2ccd (3.114)

³eklinde ifade edilir. Burada cl ve cd, 2 boyutlu kanat prolinin etkin hücum açs

α için ta³ma ve sürükleme katsaylardr. “ekil 3.7'de görülen θ pala kesitinin yunuslama açs, φ ise içe ak³ nedeniyle olu³an, yunuslama açs ile etkin hücum açs arasndaki farktr:

φ = θ −α (3.115)

φ ayn zamanda düzleme dik ve düzleme te§et olan hz bile³enleri cinsinden: φ = tan−1UP

UT (3.116)

³eklinde yazlabilir.

Ta³ma ve sürükleme kuvvetleri, düzlem içi ve düzlem d³ kuvvetler olarak ifade edilmek istenirse,

Fy= −(Lsinφ + Dcosφ) (3.117)

Fz= Lcosφ −Dsinφ (3.118)

³eklindeki dönü³üm kullanlr.

3.5.2 Sanki daimi aerodinamik

Aeroelastik ve aeromekanik pala problemlerinin çözümünde sanki daimi ³erit teorisi, daimi olmayan aerodinamik kuvvetlerin bulunmas için kullanlabilir [22]. Bölüm 3.5.1'de verilen hzlar UT ve UP , daimi ve pertürbasyon bile³enleri olarak:

UT = UT₀+δUT; UP= UP₀+δUp (3.119)

³eklinde ayrlabilirler. Etkin hücum açs da buna benzer olarak;

α = α0+δα (3.120)

biçiminde yazlabilir. δα'nn açk ifadesi ise;

olarak bulunur.

φ açsnn küçük oldu§u farzedilirse:

U ≈ UT (3.122) sinφ ≈ U_UP T (3.123) cosφ ≈ 1 (3.124) tan−1UP UT ≈ UP UT (3.125)

de§erleri kullanlabilir. Bu durumda (3.117) ve (3.118) ifadeleri; Fy= −L_UUP

T − D (3.126)

Fz= L (3.127)

olarak yazlabilir. E§er simetrik bir kanat proli ele alnr basitle³tirilmi³ aerodinamik özellikler kullanlrsa;

cl = aα = a  θ −U_UP T  (3.128) cd = cd₀+ cdn|α|n= cd0+ cdn    θ −_UUP_T     n (3.129) ifadeleri elde edilir. (3.128) ve (3.129) ifadeleri (3.119) ve (3.120) ile birlikte (3.113) ve (3.114)'de yerlerine konulursa, (3.126) ve (3.127) denklemlerinin daimi ve pertürbasyon bile³enleri Fy0= 1 2ρca  UPoUT0θ −UP20+ cd₀ a UT20+ cdn a UT20    θ −U_UP_T0₀     n (3.130) Fz0 = 1 2ρca UT20θ −UP0UT0
(3.131) δFy= 1 2ρca (" UP0θ + 2cd0 a UT0+ cdn a    θ −U_UP_T0 0     n−2 × * nUp0  θ −UP0 UT0  + 2UT0    θ −U_UP_T0₀     2+# δUT + " UT0θ −2UP0− cdn a nUT0  θ −UP0 UT0  θ −U_UP_T0₀     n−2# δUP ) (3.132)

³eklinde elde edilir.

Ele alnan problemde, eksenel ak³ durumu incelenecektir. Pala burulmaszdr, dolaysyla pala boyunca yunuslama açs sabit ve θ0'dr. Ak³n yarçap

do§rultusundaki bile³eni ihmal edilecektir. Rotor ³aftnn da hareketi göz önüne alnd§nda, pala veterine te§et ve dik olan hz bile³enleri srasyla:

UT =Ωr + Rηv˙v+ (−h ˙αXcosψm− h ˙αYsinψm) (3.134)

UP= RΩλ + Rηw˙w − r ( ˙αYcosψ − ˙αXsinψ) (3.135)

³eklinde yazlabilir. Bu ifadelerdeki daimi ve pertürbasyon hz bile³enleri ise:

UT0=Ωr (3.136)

UP0= RΩλ (3.137)

δUT = Rηv˙v+ (−h ˙αXcosψm− h ˙αYsinψm) (3.138)

δUP= Rηw˙w − r ( ˙αYcosψ − ˙αXsinψ) (3.139)

biçimindedir. E³itliklerde yer alan içe ak³ oran (λ), pala eleman momentum teorisi kullanlarak askda kalma durumu için,

λ (r) = σa 16 "r 1 +32θ_σar − 1 # (3.140) ³eklinde verilmi³tir. [12].

4. ÖRNEK MODEL ˙INCELEMES˙I

4.1 Deneysel Veriler

Örnek problem olarak Weller tarafndan NASA Ames Ara³trma Merkezi'nde deneyi yaplan ölçeklendirilmi³ model kullanlacaktr [20]. Bu deneylerde, M222 helikopteri üzerinde denenen M680 yataksz rotor sisteminin 1/5 ölçekli Froude says e³de§er bir deney düzene§i kullanlm³tr. Askda kalma durumu için yaltlm³ rotorun ve gövde sistemiyle etkile³en rotorun askda kalma durumu ve ayrca rüzgar tüneli içerisinde ileri uçu³ hzlar için deneyleri yaplm³tr. Deneylerde kullanlan model yataksz bir rotor sistemine sahiptir. Palann düzlem içi ve düzlem d³ hareketleri elastik kiri³ler vastasyla sa§lanmaktadr. Pala yunuslama açlar ise bir tork tüp vastas ile verilmektedir. Tork tüp ile elastik kiri³ arasnda elastomerik bir sönümleyici bulunmaktadr. Bu rotor sisteminin resmi “ekil 4.1'de görülmektedir.

Gövde modeli olarak kullanlan sistem ise, yere küresel bir mafsalla ba§lanm³tr. Yunuslama ve devrilme hareketlerine kar³ koyan yay ve sönümleyiciler barndrmaktadr. Bu yay ve sönümleyicilerin sabitleri ile gövde ataleti de§i³tirilerek, farkl kongürasyonlar elde edilip, yer ve hava rezonanslarn modellemek mümkün olmaktadr. Bu gövde sisteminin resmi de “ekil 4.2'de görülmektedir.

Bu testlerde, test de§i³kenleri olarak, pala konik açs, yunuslama çubu§u direngenli§i ve ba§lant konumu, süpürme açs, rotor düzlem içi direngenli§i ve sönümü, gövde ataleti ve do§al frekanslar ele alnm³tr.

Deneyde kullanlan palalarn mekanik kesit özellikleri Tablo A.1'de verilmi³tir. Rotor palasnn di§er ise Tablo A.2'de verilmi³tir.Gövdeye ait modal özellikler ise Tablo A.3'te görülmektedir.

¸Sekil 4.1: Örnek test düzene˘gi üzerinde bulunan rotor [20] 4.2 Palanın Modal Özelliklerinin Sayısal Olarak Belirlenmesi

4.2.1 Pala sonlu eleman modeli

Ele alnan rotor sisteminde kullanlan palann, do§al frekans ve mod ³ekillerinin hesabnda kullanlmak üzere kiri³ elemanlardan olu³an bir sonlu eleman modeli hazrlanm³tr. Elde bulunan mekanik özellikler, Timoshenko kiri³ elemanlar ile modelleme için gerekli de§erlerin tümün kapsamad§ için, Euler kiri³ elemanlar ile sonlu eleman modeli olu³turulmu³tur. Palann elastik merkezi ile a§rlk merkezinin, aerodinamik merkezle çak³mas nedeniyle bu model yeterli bilgiyi sa§lamaktadr. Palann, mekanik özelliklerinin ve kütlesinin yarçap boyunca da§lm,Tablo A.1'de saysal olarak verilmi³tir.

Ayrca rotor sisteminde bulunan ve palann kanat prolinin ba³lad§ noktaya rijit olarak ba§lanan tork tüp de modellenmi³tir. Tork tüpün mekanik özellikleri ve a§rl§ Tablo A.2'de verilmi³tir. Pala esnek kiri³i ile tork tüp arasnda yerle³tirilmi³ bulunan elastomerik sönüm elemannn yay katsays da modele dahil edilmi³tir. Bütün model ³ematik olarak “ekil 4.3'de görülmektedir. Modelde, pala üzerinde 23, tork tüp üzerinde 4 tane olmak üzere toplam 27

k

Tork tup

Pala

Rijit baglanti

¸Sekil 4.3: Pala sonlu eleman modeli

adet kiri³ eleman ile, sönüm elemannn elastik özelli§ini temsil eden 1 adet yay eleman kullanlm³tr.

Analizler ABAQUS 6.7 sonlu eleman yazlm ile gerçekle³tirilmi³tir. Modellemede, kiri³ elemanlar için FRAME3D ve yay eleman için SPRING2 isimli elemanlar kullanlm³tr. ABAQUS yazlmnda FRAME3D elemanlar üzerine merkezkaç yük vermek mümkün olmad§ için, merkezkaç kuvvetine ba§l direngenlik art³n modele dahil edebilmek amacyla noktasal kütle elemanlar kullanlm³tr. Bu nedenle kiri³ elemanlarn kütleleri ihmal edilebilecek miktarlar olarak girilmi³tir.

Pala modeli, göbe§e ba§land§ noktadan ankastre tutturulmu³tur.

4.2.2 Do˘gal frekanslar ve mod ¸sekilleri

Sfr dönme hzndan, nominal dönme hznn 1.2 katna kadar belirli aralklarla analiz tekrarlanm³ ve hza ba§l olarak do§al frekanslarn ve mod ³ekillerinin de§i³imi bulunmu³tur. Palann do§al frekanslarnn hza ba§l de§i³imi “ekil B.1'de, rotorun nominal dönme hznda palann düzlem içi ve düzlem d³ birinci mod ³ekilleri de srasyla “ekil B.2 ve B.3'de görülmektedir.

Palann nominal dönme hznda düzlem içi ve düzlem d³ mod ³ekilleri ise srasyla “ekil B.2ve “ekil B.3'de görülmektedir.

4.3 Daimi Hal ˙Için Aerodinamik Yükler

Ele alnacak rotor sisteminin sönüm karakteristikleri, rotorun ask durumunda belirli bir ta³ma miktar göz önüne alnarak çkarlacaktr. Bu açdan palaya uygulanacak kolektif açsna ba§l olarak olu³acak ta³ma miktarnn hesaplanmas gerekmektedir.

Bu amaçla, pala eleman momentum teorisi kullanlarak rotor yükleri hesaplanm³tr. Hesaplamalar sadece ask durumu için yaplaca§ndan ve yüksek hücum açlar söz konusu olmad§ndan, ta³ma ve sürükleme katsaylar srasyla,

cl = 5.73α (4.1)

cd = 0.008 + 1.7α2 (4.2)

³eklinde ifade edilmi³tir. Prol simetrik oldu§undan cm= 0 alnm³tr. (3.117)

ve (3.118) e³itliklerinde verilen kuvvet ifadeleri kullanlarak, palann kolektif açsna ba§l olarak üretti§i itki miktar hesaplanm³tr. Rotor hzna ba§l ba§l olarak, 1g'lik ta³ma üretmek için gerekli kolektif açs de§erleri “ekil B.4'de gösterilmi³tir. Üç farkl rotor hz için farkl itki de§erlerini üretmek için gerekli kolektif açs de§erleri de “ekil B.5'de verilmi³tir.

5. SONUÇLAR VE TARTI ¸SMA

Ele alnan rotor sistemi parametreleri, Bölüm 3'de elde edilen hareket denklemlerine yerle³tirildi§inde 1g = 222.4 N itki olu³turacak kolektif açlar için elde edilen öz de§erlere ait grakler “ekil B.6'de görülmektedir. Bu grakte ve di§er graklerde bütün frekans de§erleri nominal rotor hz olan Ω0= 78.54rad/s ile normalize edilmi³tir. Sönüm de§erleri de, hareket denklemkleri

lineerle³tirilerek olu³turulan denklem sisteminin özde§erlerinin reel ksmlarnn Ω0 de§erine bölünmesi ile elde edilmi³tir. Bilindi§i üzere sistemin kararl olmas

için, bütün özde§erlerin gerçek köklerinin negatif olmas, yani ³ekillerde görülen sönüm oranlarnn pozitif olmas gereklidir. Bu açdan bakld§nda, rotor sisteminde sönümleyici bir eleman olmad§ durumda, sistem 0.6P civarnda ve 0.8P sonras hzlarda kararszlk göstermektedir.

Kaynak [20] 'de incelenen sistemde, elastomerik bir sönümleyici bulunmaktadr. Bu sönümleyicinin sönüm katsays da, sönümleyicinin yapt§ deplasmann karesiyle do§ru orantl de§i³mektedir. Bahsi geçen rapordaki graklerde, hali hazrda dönü³ hzna ba§l olarak sönümleyicinin sa§lad§ sönüm oran verilmi³tir. Verilen sönüm oranlar Ω0 hzna ba§l olarak tekrar hesaplanm³

ve sönüm katsays, dönme hzna ba§l lineer bir fonksiyon olarak, c = −1.67_ΩΩ

0+ 6.39 (5.1)

³eklinde elde edilmi³tir. Bulunan sönüm katsays, yaltlm³ rotorun hareket denklemlerine,

Ivv¨vc+ 2Ωvs+ ωv2− Ω2
vc+ Iwv2Ωβc( ˙wc+Ωvs) + c( ˙vc+Ωvs) = Mvc (5.2)

Ivv¨vs− 2Ωvc+ ωv2− Ω2
vs+ Iwv2Ωβc( ˙ws− Ωvc) + c( ˙vs− Ωvc) = Mvs (5.3)

biçiminde eklenebilir. Bu durumda elde edilen özde§erlere ait grakler ise “ekil B.7'de görülebilir. Sönüm eklendi§i zaman, sistemin daha kararl hale geldi§i

Yaltlm³ rotor için elde edilen frekans ve sönüm de§erlerinin [20]'de verilen deney sonuçlaryla kar³la³trlmas ise “ekil B.8 ve B.9'da görülmektedir. Rotorun 1g 'lik itki üretti§i durum için hesaplanan frekans de§erleri tam olarak uyu³makla birlikte, hesaplanan sönüm de§erleri deneyde bulunanlardan daha yüksek çkmaktadr.

Burada sönüm miktarlar olu³an farkn, sönümleyici sistemin, sönüm miktarnn tam olarak hesaplanamam³ olmasndan kaynaklanma ihtimali vardr. Bununla birlikte, artan rotor hzyla birlikte, sönüm miktarndaki dü³me e§ilimi, hesaplanan sönüm de§erlerinde de görülmektedir. “ekil B.9'da görüldü§ü üzere, sabit rotor hz için, itki arttrldkça, sönüm de§erleri artmaktadr. Yine bu trend hesaplanan sönüm de§erleri ile deneysel sonuçlarla benzerlik göstermektedir. Sönümleyici tarafndan sa§lanan sönüm miktarnn, sadece rotor hzna ba§l oldu§u göz önüne alnrsa, bu durumun aeroelastik etkilerden kaynakland§ açkça görülmektedir.

Serbest rotor için elde edilen frekans ve sönüm de§erlerinin kar³la³trmas ise “ekil B.10 ve B.11'de görülmektedir. “ekillerde üç farkl mod bulunmaktadr. Bunlar gövde modlar ve regresif gecikme hareketini temsil eden modlardr. Bu modlarn frekanslarnn birbirlerine yakn oldu§u bölgelerde tam olarak hangi de§erin hangi moda ait oldu§u ayr³trlamamaktadr. Bu nedenle bu üç mod, frekanslar ve sönüm de§erleri ile birlikte graklerde yer almaktadrlar.

Bu graklere göre, deneyden elde edilen frekans de§erleri ile hesaplanan frekans de§erleri arasnda çok iyi bir uyum mevcuttur. Bunun yannda, deneyde bulunan en az sönüme sahip modun sönüm de§erleri, hesaplanan sönüm de§erleri ile iyi bir uyum sa§lamaktadr. Burada dikkat edilirse, en az sönüme sahip modun sönüm de§erleri, pala gecikme modundan ziyade, gövde modlarnda ortaya çkmaktadr. Bu nedenle deneysel sonuçlarla, teorik sonuçlar arasndaki fark, sabitlenmi³ rotor sistemindekine nazaran daha azdr. Özellikle regresif gecikme modu ile gövde modlarnn frekans de§erlerinin çak³t§ dönme hzlarnda, sönüm miktarlar en dü³ük de§erlerine ula³maktadr.

“ekil B.11'de, sabit rotor dönme hz için, itki de§i³imine ba§l olarak sönüm de§erlerinin de§i³imi görülmektedir. Buradan görülece§i üzere 0.87P ve 1.13P