Yönelim Çıkarımı İçin Arm Tabanlı Bir Gömülü Sistem Tasarımı Ve Gerçeklenmesi

˙ISTANBUL TEKN˙IK ÜN˙IVERS˙ITES˙I F FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

YÖNEL˙IM ÇIKARIMI ˙IÇ˙IN ARM TABANLI B˙IR GÖMÜLÜ S˙ISTEM TASARIMI VE GERÇEKLENMES˙I

YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I Süleyman URMAT

Elektronik ve Haberle¸sme Mühendisli˘gi Anabilim Dalı Elektronik Mühendisli˘gi Programı

˙ISTANBUL TEKN˙IK ÜN˙IVERS˙ITES˙I F FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

YÖNEL˙IM ÇIKARIMI ˙IÇ˙IN ARM TABANLI B˙IR GÖMÜLÜ S˙ISTEM TASARIMI VE GERÇEKLENMES˙I

YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I Süleyman URMAT

(504121376)

Elektronik ve Haberle¸sme Mühendisli˘gi Anabilim Dalı Elektronik Mühendisli˘gi Programı

Tez Danı¸smanı: Prof. Dr. Mü¸stak Erhan YALÇIN

˙ITÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü’nün 504121376 numaralı Yüksek Lisans Ö˘grencisi Sü-leyman URMAT, ilgili yönetmeliklerin belirledi˘gi gerekli tüm ¸sartları yerine getirdik-ten sonra hazırladı˘gı “YÖNEL˙IM ÇIKARIMI ˙IÇ˙IN ARM TABANLI B˙IR GÖMÜLÜ S˙ISTEM TASARIMI VE GERÇEKLENMES˙I” ba¸slıklı tezini a¸sa˘gıdaki imzaları olan jüri önünde ba¸sarı ile sunmu¸stur.

Tez Danı¸smanı : Prof. Dr. Mü¸stak Erhan YALÇIN ... ˙Istanbul Teknik Üniversitesi

Jüri Üyeleri : Prof. Dr. ˙Ismail Serdar ÖZO ˘GUZ ... ˙Istanbul Teknik Üniversitesi

Doç. Dr. Burcu ERKMEN ... Yıldız Teknik Üniversitesi

Teslim Tarihi : 4 Mayıs 2015 Savunma Tarihi : 12 Haziran 2015

ÖNSÖZ

Günümüzde, askeri gibi birçok alanda konum bilgilerinin kullanılması çok önemlidir. Bu sinyallerin kayboldu˘gu, bozuldu˘gu veya hiç olmadı˘gı noktalarda dahili algılayıcılar yardımıyla gidi¸s yönü ve referans sisteminin bulunması mümkün olmaktadır. Kullanılan bu algılayıcılar do˘gaları gere˘gi bazı dezavantajlara sahiptirler. Bunlar arasında gürültülerden etkilenme, kullanılmaya ba¸slamadan önce kalibrasyon ayarlarının yapılması veya tek ba¸slarına tam bir yönelim vermemesi sayılabilir. Bu algılayıcıların toplanması için gerekli kalibrasyon ve veri toplama algoritmaları geli¸stirilmektedir.

Bu çalı¸smada algılayıcı verilerinin toplanması, gürültülerin süzülmesi ve gerekli kalibrasyon tekniklerin incelenmesi ve kar¸sıla¸stırılması yapılmı¸stır. Sonraki adımda tasarlanan donanım yardımıyla gerekli algılayıcı verilerinin toplanması ve yönelim gösterimi yapılmı¸stır.

Bu çalı¸sma, T.C. Kalkınma Bakanlı˘gı ve ˙ITÜ tarafından yürütülen ˙ITÜ Ara¸stırmacı ˙Insan Gücü Yeti¸stirme Programı (˙ITÜ–AYP) programı çerçevesinde desteklenmi¸stir. Bu çalı¸smada beni yönlendiren ve önemli katkılarda bulunan hocam Prof. Dr. Mü¸stak Erhan Yalçın’a, her daim yanımda olan engin görü¸sleriyle beni destekleyen Ferdi Tekçe’ye ve benden yardımlarını esirgemeyen Mehmet Ariman’a te¸sekkürlerimi sunarım.

Haziran 2015 Süleyman URMAT

˙IÇ˙INDEK˙ILER

Sayfa

ÖNSÖZ ... vii

˙IÇ˙INDEK˙ILER ... ix

KISALTMALAR... xi

Ç˙IZELGE L˙ISTES˙I... xiii

¸SEK˙IL L˙ISTES˙I... xv ÖZET ...xvii SUMMARY ... xix 1. G˙IR˙I ¸S ... 1 1.1 Literatür Ara¸stırması ... 3 1.2 Tezin Amacı... 7 2. ALGILAYICILAR ... 9 2.1 Amaç... 9 2.2 ˙Ivmeölçer ... 10 2.3 Dönüölçer ... 11 2.4 Manyetometre... 13

2.5 9 Eksenli Dahili Algılayıcı Birimi... 14

3. KOORD˙INAT S˙ISTEMLER˙I... 17

3.1 Amaç... 17

3.2 Döndürme Matrisi ... 17

3.3 Dördeyler ... 20

3.3.1 Dördeylerin matematiksel temelleri ... 20

3.3.2 Dördeylerin döndürme i¸sleminde kullanılması ... 23

3.3.3 Dördeylerin döndürme i¸sleminde kullanılmasının üstün ve eksik noktaları ... 26

4. YÖNEL˙IM˙IN GÖSTER˙IM˙I... 29

4.1 Tamamlayıcı Filtre ˙Ile Yönelim Algoritması ... 29

4.1.1 Dönüölçer ile yönelim ... 30

4.1.2 ˙Ivmeölçer ve manyetometre ile yönelim ... 31

4.1.3 Algılayıcı verilerinin toplanması ... 35

4.1.4 Manyetik bozulmalar için kompanzasyon ... 36

4.1.5 Dönüölçer kaynaklı sapmaların kompanzasyonu ... 37

4.2 Kalman Tabanlı Yönelim ... 37

4.2.1 Dördeylerin Kalman filtresi ile uygulanması... 39

4.3 Algılayıcı Verilerinin Kalibrasyonu ... 41

4.4 Benzetim Sonuçları ... 42

5. TASARLANAN KART... 47

5.1.1 ˙I¸slemci seçimi ... 50 5.1.2 RF alıcı-verici ... 51 5.1.3 Algılayıcı birimi ... 51 5.1.4 GNSS modülü... 52 5.1.5 Bluetooth ... 52 5.1.6 Güç birimi... 54 5.2 RF Benzetim ... 54 5.3 Yazılım Tasarımı... 58

5.4 Tasarlanan Kart Üzerinden Alınan Verilerle Benzetim Sonuçları... 59

6. ADIM ALGILAMA VE UZUNLUK TESP˙IT˙I ... 61

6.1 Adım Algılama ... 61

6.1.1 Adım algılama algoritması ... 64

6.2 Adım Uzunlu˘gu ... 66

7. KAPALI ALANDA KONUM TAHM˙IN˙I ... 67

7.1 Kapalı Alanda Konum Tahmini ˙Için Yapılan Deney ... 68

8. SONUÇ ... 69

KAYNAKLAR... 71

EKLER ... 77

EK A.1 ... 79

KISALTMALAR

ADC : Analog–to–Digital Converter

AHRS : Attitude and Heading Reference System

ARM : Acorn RISC Machine

ASK : Amplitude Shift Keying BEIDOU : Çin Küresel Koordinat Sistemi BLE : Bluetooth Low Energy

DDC : Display Data Channel

DR : Dead Reckoning

EEPROM : Electronically Erasable Programmable Read–Only Memory FSK : Frequency Shift Keying

GAGAN : GPS Aided Geo Augmented Navigation GALILEO : Avrupa Birli˘gi Küresel Koordinat Sistemi GNSS : Global Navigation Satellite System GPIO : General Purpose Input/Output GPS : Global Positioning System I2C : Inter-Integrated Circuits

IRNSS : Indian Regional Navigation Satellite System IMU : Inertial Measurement Unit

ISM : Industrial Scientific Medical Band JTAG : Joint Test Action Group

LED : Light Emitting Diode

MARG : Magnetic, Angular Rate and Gravity MCU : Microcontroller Unit

MEMS : Microelectromechanical Systems MSK : Minimum Shift Keying

OOK : On–Off Keying

PLL : Phase–Locked Loop

PDR : Pedestrian Dead Reckoning RAM : Random Access Memory

RF : Radio Frequency

RTC : Real Time Clock

QZSS : Quasi–Zenith Satellite System SDIO : Secure Digital Input Output SMPS : Switching Mode Power Supply SPI : Serial Peripheral Interface

UART : Universal Asynchronous Receiver Transmitter USB : Universal Serial Bus

Ç˙IZELGE L˙ISTES˙I

Sayfa

Çizelge 5.1: JTAG ba˘glantısı. ... 49

Çizelge 5.2: ˙I¸slemci özellikleri... 51

Çizelge 5.3: RF alıcı–verici özellikleri... 51

Çizelge 5.4: GNSS modülü özellikleri. ... 52

Çizelge 5.5: Dönme açılarındaki ölçüm hataları. ... 59

Çizelge 6.1: Adım uzunlu˘gu ölçüm sonuçları. ... 65

Çizelge 6.2: Adım uzunlu˘gu ölçüm sonuçları. ... 66

¸SEK˙IL L˙ISTES˙I

Sayfa

¸Sekil 2.1 : ˙Ivmeölçer modeli... 10

¸Sekil 2.2 : Dönüölçer modeli. ... 11

¸Sekil 2.3 : Açısal hız eksenleri... 12

¸Sekil 2.4 : LSM9DS0 blok diyagramı... 16

¸Sekil 3.1 : Sa˘g el kuralı. ... 17

¸Sekil 3.2 : Sol el kuralı... 17

¸Sekil 3.3 : P noktasının döndürülmesi. ... 18

¸Sekil 3.4 : Açısal hız eksenleri... 24

¸Sekil 4.1 : Tamamlayıcı filtre modeli... 30

¸Sekil 4.2 : Kalman filtresi sistem modeli. ... 38

¸Sekil 4.3 : Kalman tabanlı yönelim sistem modeli. ... 40

¸Sekil 4.4 : Dönüölçer kalibrasyonu... 42

¸Sekil 4.5 : ˙Ivmeölçer kalibrasyonu. ... 42

¸Sekil 4.6 : Manyetometre kalibrasyonu. ... 43

¸Sekil 4.7 : Algılayıcı ölçümü. ... 43

¸Sekil 4.8 : Kalman ve Tamamlayıcı filtre Euler açıları... 44

¸Sekil 4.9 : Kart ile alınan algılayıcı ölçümü. ... 44

¸Sekil 4.10 : Karttan alınan verilerle elde edilen, Kalman ve Tamamlayıcı filtre Euler açıları... 45

¸Sekil 5.1 : Tasarlanan kart... 48

¸Sekil 5.2 : ˙I¸slemci ba˘glantı uçları. ... 49

¸Sekil 5.3 : Tasarlanan sistemin donanım blokları. ... 50

¸Sekil 5.4 : 9 eksenli algılayıcı birimi devre ¸seması. ... 53

¸Sekil 5.5 : LC Balun e¸sleme devresi. ... 54

¸Sekil 5.6 : LC Balun empedansının ölçümü. ... 55

¸Sekil 5.7 : LC filtre e¸sleme devresi. ... 56

¸Sekil 5.8 : LC filtre empedans ölçümü... 56

¸Sekil 5.9 : RF alıcı-verici devre ¸seması. ... 57

¸Sekil 5.10 : Yönelim kestirimi akı¸s diyagramı. ... 58

¸Sekil 5.11 : Tasarlanan kart ile elde edilen dördey de˘gerleri. ... 60

¸Sekil 5.12 : Tasarlanan kart ile elde edilen Euler açıları... 60

¸Sekil 6.1 : Filtrelenmemi¸s ivmeölçer verisi. ... 63

¸Sekil 6.2 : Filtrelenmi¸s ivmeölçer verisi. ... 63

¸Sekil 6.3 : Adım sayma... 64

¸Sekil 6.4 : Adım algılama akı¸s diyagramı... 65

¸Sekil 7.1 : Kapalı alanda konum tahmini sistem modeli. ... 67

YÖNEL˙IM ÇIKARIMI ˙IÇ˙IN ARM TABANLI B˙IR GÖMÜLÜ S˙ISTEM TASARIMI VE GERÇEKLENMES˙I

ÖZET

Günümüzde geli¸sen teknolojiyle beraber dahili algılayıcı birimleriyle dı¸sarıdan gelebilecek gürültülerden az etkilenen, çevresel etkilere ve herhangi bir küresel koordinat sistemine ba˘glı olmadan, konum (bilinen bir noktadan) ve yönelim çıkarım-ları yapılabilmektedir. Kullanılan algılayıcılar; dönüölçer (gyroscope), ivmeölçer (acceloremeter) ve manyetometre (magnetometer) birimlerinden olu¸smaktadır. Her bir algılayıcı beraber kullanılarak, gidi¸s yönü ve referans sistemi (AHRS ya da MARG) bulunarak tam bir yönelim kestirimi yapılabilir. Bulunan yönelim yer çekimi ve Dünya’nın manyetik alanına ba˘glı tanımlanır.

Bu tezde yapılan çalı¸sma, ölçüm birimleri olan ivmeölçer, dönüölçer ve manyetometre kullanılarak kapalı alanda konum tahmini için ARM tabanlı bir gömülü sistem tasarımını ve gerçeklenmesini yapılmı¸stır. Kapalı alanda konum tahmini (Dead Reckoning) yapan sistem 32–bitlik ARM Cortex–M3 dü¸sük güç i¸slemci, 9 eksenli algılayıcı birimi, Bluetooth alıcı–verici, e¸s zamanlı çalı¸san iki ISM bandı alıcı–vericisi ile GNSS modülünü içeren geli¸stirme platformu olarak tasarlanmı¸stır. Adım belirleme, adım uzunlu˘gu tahmini, algılayıcı kalibrasyonu ve yönelim tahmini metotları kullanılarak kapalı alanda konum tahmini yapılmı¸stır ve yapılan deneyde sonuçlar verilmi¸stir.

Bu çalı¸smada dahili algılayıcı birimleri; üç eksenli ivmeölçer, dönüölçer ve manyetometre kullanılarak yönelim çıkarımı algoritmaları incelenmi¸stir. Bu yönelim algoritmaları incelenmeden evvel ivmeölçer, dönüölçer ve manyetometreye ait matem-atiksel modeller verilerek fiziksel i¸slevleri anlatılmı¸stır. Yönelim gösterimlerinde kullanılacak koordinat sistemlerinin, Euler dönme açıları, dönme sırası, döndürme matrisi, dördey kümesinin temel matematiksel gösterimleri ve kendi aralarında yapılan dönü¸sümler için kullanılan e¸sitlikler verilmi¸stir. Yönelim ve algılayıcı toplama algoritmalarından Tamamlayıcı filtre (Complementary filtre) ve Kalman filtresi dördeyler yardımıyla anlatılmı¸stır. Her iki filtre içinde ivmeölçer ve manyetometreden bulunan yönelimler, dönüölçerin hatasını gidermek için kullanılmı¸stır. Ayrıca adım belirleme, adım uzunlu˘gu tahmini, algılayıcı kalibrasyonu ve kapalı alanda konum tahmini yöntemleri gösterilmi¸stir.

Tasarlanan sistemin performansı, %2.2 mesafe hatası, %4 konum sapması ve %3, 65 adım sayma hatası olarak ölçülmü¸stür. Bu hata oranları kısa mesafeler için makul seviyededir. Bu hatalar orta ve uzun mesafelerde, sistemin kümülatif hatalarından dolayı iyi sonuçlar vermeyecektir. Tasarlanan sistemin performansını artırmak için daha geli¸smi¸s kalibrasyon teknikleri, yönelim çıkarım algoritmaları kullanılmalıdır ve ba¸sarım oranı yüksek algılayıcı verisi toplama gereklidir.

DESIGN AND IMPLEMENTATION OF AN ARM BASED EMBEDDED SYSTEM FOR ESTIMATION OF THE ORIENTATION

SUMMARY

Recent developments in technology make it possible for integrated sensor units to measure the direction of movement without relying on any given global coordinate system as the reference. Three different sensor units are integrated into one package as the widely used integrated sensor units capable of evaluating such measure are gyroscope, accelerometer and magnetometer. By using three different sensor units all of which are designed to take measure from 3 different axis, the degree of freedom of the measure taken from such system is calculated as nine. Such system outcomes a full measure that creates the basis for estimating attitude and heading reference system such as the ones that relies on either AHRS or MARG. The orientation of the movement which is estimated from sensor units is directly related to the magnetic field of the earth and the gravity.

The work presented in this thesis includes the design and implementation of an ARM based embedded system for PDR with MARG measurement units such three axes accelerometer, gyroscope and magnetometer. PDR system is based on 32–bit ARM Cortex–M3 low power processor and including 9–axes MEMS sensor unit, GNSS module with BLE and two concurrent ISM band transceivers is designed as a portable development platform. Step detection, step length estimation and orientation estimation methods are evaluated and combined as PDR model. We estimate the pedestrian walking position in a scenario sensor be placed on the hip. PDR system was tested and experimental results of its are shown.

This work includes the explanation of the models of the inertial measurement units which are three axis accelerometer, gyroscope and magnetometer used to take measure in detail while supplying sufficient mathematical background to the reader to give an understanding about the applied filters to the sensor measures to extract more meaningful results. The Kalman Filter and the Complementary Filter are the filters applied to correct the estimated orientation using sensor measures. The mathematical backgrounds of the filters are explained using the Euler angles, sequence of rotation, rotation matrix and the quaternion representations. Furthermore sensor calibration, step detection, step length estimation and PDR system are evaluated. Given methodologies are explained in detail in the context of this thesis.

A new board that is based on 32–bit low power processor and including 9–axis MEMS sensor unit, GNSS module with BLE and two concurrent ISM band transceivers is designed as a portable development platform. The details of the hardware configuration which consist of 32–bit ARM Cortex–M3 micro–controller, 9 axes MARG sensor unit, GNSS (supports GPS, GLONASS, GALIEO and BeiDou global satellite positioning services), wireless communication units which are 2.4 GHz BLE, 433 MHz and 868 MHz ISM band RF transceivers and RS422 serial communication converter for monitoring and debugging.

Both control and connection of communication interfaces of peripheral unit around processor have been implied using STM32CubeMX which is owned by ST Microelectronics. Communication interfaces, initializing timers, and interrupt service routines can be adjusted by help of this program in the processor. STM32CubeMX program can automatically produce C programming codes of drivers which are at level of hardware for adjusted communication interfaces such I2C, SPI, UART, and interrupts and inputs–outputs. Furthermore time signals of the system can be adjusted making PLL adjustments which belong to units on the processor.

Design and implementation of an ARM based embedded system which estimates the location of pedestrians with MARG sensors made with MEMS technology attached to body. The step detection, step length, attitude and heading reference can be estimated by collecting the data from MARG sensor unit. Before the estimation process the raw sensor data is calibrated and then The calibrated sensor data is used for orientation estimation. The peak detection algorithm is used as a step detection algorithm in this work. For the part of the orientation estimation, orientation is expressed with quaternion representation. Madgwick’s orientation filter is used for the estimating the orientation and sensor fusion

PDR system consists of sensor calibration, step detection, step length estimation and orientation estimation. Furthermore PDR model is explained in detail.

Noise and discontinuous points exist on the data which is measure at the each axis for accelerometer, gyroscope, and magnetometer. Processing data in this manner causes errors while orientation estimation. Apparent affect builds up over time due to cumulative effect of consisted of errors. Calibration is necessary to minimize emergent errors. Biases are obtained using mean of the sensor data to calibrate data. Obtained biases are subtracted from raw data. Obtained values are filtered with second order low pass Butterworth filter. Both subtracting biases and filtering is implemented for other sensor units which are accelerometer and gyroscope.

The first stage of walking distance estimation is step detection. There are several methods to detect number of step using accelerometer data. This step detection methods are peak detection method, flat zone detection method, zero crossing detection method and etc. Also x–axis data of gyroscope which is vertically located on the pocket is used in the some algorithm. In order to detect and count steps, both the peak detection and zero crossing detection are used via using accelerometer data.

Peak detection and zero crossing detection have been used for detect the step in this algorithm in order to improve accuracy of step detection. When the differences of amplitude of peak values and amplitude of valley values are more than threshold and zero crossing occurs sequentially, this algorithm counts a step correctly. Threshold value is depending on walking speed. For the future it is possible to use adaptive system based on walking speed for updating the threshold. On the other hand, in that option increases computational load and our algorithm may be slower.

The other stage of walking distance estimation is step length estimation. Step length estimation is based on different parameters such step frequency, obstacles and ground. Step length is a distance covered between the heel to heel during walking.

Non–linear step length estimation is used to obtain the step length. As non–linear model has single parameter hence it is easy to determine and implement for real time

The orientation of any object can be obtained under favour of accelerometer, gyroscope and magnetometer sensors. Internal sensor units can perform measurements at the sensor frame system with accelerometer, gyroscope and magnetometer. Acceleration at the orientation of any object can be obtained using accelerometer both stationary acceleration (gravity) and linear acceleration which is originating from motion of object at three axes. Resultant angular velocity at each three axes is computed using gyroscope and then Earth’s magnetic field is obtained measuring magnetic field at each three axes under favour of magnetometer.

Two different orientation will be obtained using both gyroscope and accelerometer–magnetometer while orientation estimation. The orientation which will be used to compensate for obtained orientation errors using gyroscope, is obtained by accelerometer and magnetometer. One of the primary reasons of errors consisted of gyroscope is causing critical bias on the system in time even if they are stable due to their dynamic structure. Accelerometer and magnetometer are used to compensate for these errors. Obtained orientation using gyroscope is determinant while whirling. The filter which is used for the orientation estimation, has the same structure with implied filter by Madgwick. The filter provide making orientation estimation by combining two orientation estimations obtained with both gyroscope and accelerometer-magnetometers corresponding to their weights.

So as to determine pedestrian movement, it should be known when the step occurs, step length and finally heading angle. With respect to these parameters, in a reference coordinate frame such as Cartesian coordinate system, the movement of pedestrian can be calculated with known initial condition.

The heading angle is extracted from orientation filter in favor of accelerometer, gyroscope and magnetometer. Meanwhile step detection and length estimation are obtained from accelerometer. The results of each block can be combined and that makes possible determine the step vector. Finally all the step vectors gathered when step occurs form the trajectory.

The evaluation methodology is determined as comparing PDR system with respect to ground truth. The performance of the PDR system was shown by position errors. The track walked during test was 18.7 m x 7.35 m square area. The experiment results were shown that estimated step length, estimated step counts and totally estimated distance walked were 0.671 m, 79 and 53.25 m respectively.

The performance of the PDR system is analyzed with experiment. According to the results of experiment is verified as %2.2 distance error, %4 maximum average positioning error and %3, 65 step count error. The results are enough good for short range distances. On the other hand, for the medium and long range cumulative errors of PDR system will be increased. For the future work, performance of PDR systems should be enhanced and developed by advanced techniques for sensor calibration, increasing accuracy of orientation filters and sensor fusion algorithms.

1. G˙IR˙I ¸S

Bir noktadan, ba¸ska bir noktaya geçi¸s yaparken konum (farklı bir referans sisteminde tanımlı) ve gidi¸s yönü tayini seyrüsefer olarak bilinir. Geçmi¸sten günümüze, yön ve konum bulma ihtiyacından dolayı de˘gi¸sik yöntemlerle bir çok farklı alet ve sistem geli¸stirildi [1].

Eski ça˘glardan beri Kuzey yönünü bulmak için Kutup Yıldızı kullanılır. Bunun haricinde gemiciler kara parçalarını görmek için ku¸slardan faydalanırlardı. Ku¸su serbest bıraktıklarında ku¸sun geriye dönmesi kara parçası olmadı˘gına, e˘ger geri dönmeyip herhangi bir yöne do˘gru hareket etmesi o yönde kara parçası oldu˘guna i¸saret ederdi.

Enlem ve boylam hesapları Dünya üzerindeki herhangi bir noktanın konumu belirlemek için kullanılan co˘grafi yöntemlerdir. Bunlardan enlem hesabı (kuzey-güney konumu) Güne¸s’in ya da yıldızların ufuk çizgisiyle yaptı˘gı açı yardımıyla belirlenebiliyordu. Ama boylam hesapları hassas zaman ölçümleri gerektirdiklerinden dolayı ancak 18. yüzyılda ba¸slanabilmi¸stir. ˙Iki boylam arası mesafe 4 dakikadır ve Londra’daki Greenwich meridyeni referans alınarak hesaplama yapılır [2].

Co˘grafi koordinat sistemindeki hassas ölçüm gereklili˘gi; günümüzde pek çok ülke tarafından kullanılan küresel konum belirleme sistemleri (GNSS) kullanılarak çözmektedir. Bu sistemler: Amerika Birle¸sik Devletleri (ABD)’nin kullandı˘gı GPS, Rusya’nın kullandı˘gı GLONASS ve Avrupa Birli˘gi ortak küresel konum belirleme servisi GALILEO olarak sayılabilir. ˙Ilaveten, Çin, Japonya ve Hindistan gibi ülkeler sırasıyla Compass/BeiDou, QZSS ve IRNSS / GAGAN çalı¸smalarını devam ettirmektedir [3].

Günümüzde, denizde, havada ve karada hem askeri hem de sivil platformlarda, seyrüsefer sistemleri, konum bilgilerinin, senkronizasyon ve koordinasyonun ve etkin bir sistem bütünlü˘gü sa˘glanması gibi bir çok amaça hizmet etmektedir [4].

Fakat seyrüsefer gibi karma¸sık sistemlerin neden oldu˘gu hatalar, sistemler üzerinde telafisi olmayan zararlara yol açabilir. Bu tarz önem arz eden sistemlerin etkinli˘ginin arttırılması ve hataların en aza indirgenmesi hayati önem ta¸sımaktadır. Bu yüzden aynı amaca hizmet eden ögelerin birle¸stirilmesiyle, hataların azaltılması mümkün olmaktadır.

Geli¸sen teknolojilerle beraber dahili algılayıcı birimleri tümle¸sik olarak ve küçük boyutlarda sunulmaktadır. Bu algılayıcılar dı¸sarıdan gelebilecek çevresel ko¸sullardan olabildi˘gince az etkilenerek, herhangi bir küresel koordinat sistemine ba˘glı olmadan konum (bilinen bir noktadan) ve yönelim ile ilgili parametreleri ölçebilmektedir [5–7]. Kullanılan algılayıcı birimleri dönüölçer (gyroscope), ivmeölçer (accelerometer) ve manyetometreden (magnetometer) olu¸smaktadır. Her bir algılayıcı birimi, birbirlerine ortogonal olan x, y ve z eksenlerinde ölçüm yapabilmektedir. Bu sayede 9 serbestlik derecesinde sahip bir ölçüm kümesi elde edilir. Bu ölçüm kümesiyle, tam bir yönelim kestirimi yapılabilir. Bulunan yönelim yer çekimi ve Dünya’nın manyetik alanına ba˘glı tanımlanır.

Her bir algılayıcı birimi yön kestiriminde tamamlayıcı bir durum veya bir gözlem durumu için anlamlı bilgiler verse de; alınan ölçümlerde verinin bütünlü˘günü bozacak yüksek seviyede gürültüler bulunmaktadır. Dönüölçerin ölçüm hataları, sistem üzerinde kümülatif bir hataya neden olmaktadır. ˙Ivmeölçer, g olan yer çekimi ivmesine ba˘glı çıkı¸s verdi˘ginden dolayı üzerinde olu¸san statik (yer çekimi kaynaklı) ve dinamik (do˘grusal ivmelenme kaynaklı) bozulmalar büyük etkiye neden olmaktadır. Manyetometre ise etrafındaki ferromanyetik malzemelerden ve manyetik gürültülerden etkilenerek ölçümleri hatalı verebilmektedir. Bu hatalar belli kalibrasyon teknikleri ile makul seviyelere indirilebilmektedir.

Dönüölçer eksenleri üzerindeki açısal hızları verir ve daha çok yüksek frekanslı bile¸senler içerir. Tam bir yönelim kestiriminde gidi¸s yönü ve referans sistemine ihtiyaç vardır. Bu yüzden dönüölçerler tek ba¸slarına, yönelim kestiriminde tam bir sonuç vermezler. Dönüölçere ilaveten ivmeölçer ve manyetometre ile alınan ölçümlerle yer çekimi ve dünyanın manyetik alanı hesaplanarak tam bir yönelim alınabilmektedir. Sistemler üzerinde olu¸san bu etkileri en aza indirgemek için çe¸sitli veri toplama algoritmaları kullanılmaktadır [8]. Kullanılan filtrelerin verimlilikleri, do˘gruluk

oranları, i¸slemsel güçleri gibi parametreler kullanılacak yapıyı seçmede öne çıkan özelliklerdir.

Bu çalı¸smada giri¸s kısmında bu alanda güncel yapılan çalı¸smalardan ve tezin amacından bahsedilmektedir. ˙Ikinci kısımda algılayıcı çe¸sitleri ve modelleri anlatılmı¸stır. Üçüncü kısımda koordinat sistemleri, bu sistemlerin gösterimleri ve yönelimde kullanılacak dördeylerin (quaternion) matematiksel temelleri gösterilmi¸stir. Dördüncü kısım kullanılan yönelim algoritmalarının matematiksel modellerini, benzetim ve kar¸sıla¸stırma sonuçlarını içermektedir. Be¸sinci kısımda tasarlanan donanım ve yönelim algoritmasının uygulanması verilmi¸stir. Altıncı kısımda adım algılama ve adım uzunlu˘gu algoritmaları anlatılmaktadır. Yedinci bölümde kapalı alanda konum tahmini sistemi ve deneyinin sonuçlarına yer verilmi¸stir. Son kısım ise sonuç ve ileride yapılacak çalı¸smalarla ilgili temennileri içermektedir.

1.1 Literatür Ara¸stırması

Günümüzde küresel konum belirleme sistemleri (GNSS) uydu tabanlı navigasyon sis-temi olarak mutlak do˘grulukla konum hizmeti sunmaktadır. Bu sinyallerin kayboldu˘gu ve bozuldu˘gu durumlarda konum bilgisi alınamamaktadır. Bu noktada, harici herhangi bir konum bilgisi GNSS olmadan pozisyon saptama, kapalı alanda konum bulma (DR) gibi güncel konular ortaya çıkmaktadır [5, 6, 9, 10]. Kapalı alanda konum bulma yapan sistemler göreceli bilgi sa˘glamaları ve kümülatif hatalar olu¸sturulması sebebiyle genellikle küresel konumlama sisteminin kullanılmadı˘gı durumlarda, tamamlayıcı bir sistem olarak veya GPS, WIFI, Bluetooth gibi konumlama belirleme sistemlerinde kullanılan bile¸senlerle birle¸stirilerek kullanılmaktadır. [11–14].

Kapalı alanda konum bulma, bilinen konum, zaman–hız de˘gi¸skenleri ve rota ölçüm de˘gerleri ile konum tahmini yapan bir sistemdir. Yayaların konumunun yürüyerek de˘gi¸sti˘gi varsayımı altında yapılan konum tahmini PDR olarak adlandırılır. Bu sistemin ba¸slıca süreçleri adım algılama, adım uzunlu˘gu tahmini, algılayıcı kalibrasyonu ve yönelim tahminidir. Adım algılama a¸samasında genellikle 3 eksenli ivmeölçer verileri kullanılarak sıfır geçi¸s veya zirve algılama gibi metotlardan biri seçilerek adım sayısı belirlenebilmektedir [15, 16]. ˙Ivmeölçer verileri dı¸sında, dönüölçer verileriyle de yüksek do˘gruluk oranıyla adım algılama uygulamaları yapılmaktadır [16, 17].

Adım algılamadan sonra, yürünen mesafenin bulunması için adım uzunlu˘gunun bilinmesi gerekmektedir. Adım uzunlu˘gu ilerideki adımın topu˘gu ile gerideki adımın topu˘gu arasındaki mesafe kadardır. Adım uzunlu˘gu ki¸sinin yürüme hızı, zemin, ortam ve kar¸sısına çıkan engeller gibi etkenlerden etkilenmektedir. Adım uzunlu˘gunun belirlenmesi için çe¸sitli yöntemler kullanılmaktadır [14, 15].

Kapalı alan konum tahmini sistemlerinde dönme ve öteleme hareketlerinin takibi için ivmeölçer ve dönüölçer algılayıcılarından olu¸san üç eksenli ataletsel ölçüm birimi (IMU) kullanılmaktadır. E˘ger bir sistemde yer çekimi yönünde de (heading) tam bir ölçüm yapılıyorsa; Dünya’nın manyetik alanını ölçen manyetometre IMU’ye eklenerek olu¸sturulan MARG kullanılmaktadır. Bu durumda MARG: 3 eksenli ivmeölçer, 3 eksenli dönüölçer ve 3 eksenli manyetometreden olu¸smaktadır [18, 19]. MARG birimi 9 eksenli algılayıcı birimi olarak adlandırılmaktadır.

9 eksenli algılayıcı birimleri, günümüzde çe¸sitli uygulamalarda kullanılan yeni nesil mikro elektro mekanik sistem (MEMS) teknolojisi ile üretilmektedir. MEMS algılayıcılar ucuz maliyetli olmasının yanında birçok önemli avantaja sahiptir. Bu avantajları küçük boyutlu olmaları, hafif olmaları, dayanıklı yapıları, dü¸sük güç tüketimi, kısa ba¸slangıç süresi ve yüksek güvenilirli˘ge sahip olmaları sayılabilir. En önemli dezavantajları ise optik cihazlar kadar hassas ölçüm yapamamalarıdır [15, 20, 21].

Kapalı alanda konum tahmini yapılan sistemlerde, iki adet önemli hata kayna˘gı vardır. Bunlar algılayıcı hataları ve rastgele bozukluklar olarak sınıflandırılabilir. Rastgele gürültü kaynakları etraftaki ısı, ı¸sık, manyetik alan, titre¸sim veya akustik kaynaklar olabilir. Algılayıcı birimlerinin hataları ise sapma, ölçek faktörü ve hizalama hatası olarak sayılabilir [22].

Algılayıcı birimlerinin ortak hatalarından birincisi olarak sapma hataları; herhangi bir giri¸s yok iken bir algılayıcının verdi˘gi çıkı¸s sinyali olarak tanımlanabilir. Sapma de˘gerleri giri¸sten ba˘gımsızdır fakat sıcaklık ve zamanla de˘gi¸sebilmektedir. Sapma de˘gerlerinin sıcaklık duyarlılı˘gı her bir algılayıcı için faklı olabilir. Sapma hatası kalibrasyon kullanarak düzeltilebilir. ˙Ikinci olarak ölçek faktörü hatasıdır ve ölçek faktörü duyarlılık olarak da adlandırılır. Ölçek faktörü, gözlemlenen alan büyüklü˘gü içinde algılayıcının verdi˘gi elektriksel çıkı¸stır. Üçüncüsü ise yanlı¸s hizalamadır. ˙Ideal

olarak algılayıcı içerisindeki üç eksen birbirlerine ortogonal olarak konumlandırılır ve kartezyen koordinat sistemi ile tanımlanan referans sistemine uyumludur. Ancak gerçekte imalat ve montaj hataları algılayıcı içerisinde eksen hizalama hatalarına sebep olur. Buda çapraz birle¸stirme hatalarının ortaya çıkması demektir. Hizalama hatası dönmeden dönmeye de˘gi¸smez ve bu hatadan kurtulmak için bir kez kalibrasyon yapılması yeterlidir [22, 23].

9 eksenli, MARG, algılayıcı birimleri kalibre edilmelerine ra˘gmen yönelim tahmininde hala hatalara sebep olmaktadırlar. Bu durumlardan bir tanesi dönüölçer üzerindeki ölçüm hatalarının kümülatif etkisi olması ve yönelim tespitinde kullanılacak algılayıcıların hareketin do˘gasına uygun olarak seçilmemesidir. Bu durumu biraz açmak gerekirse, dura˘gan durumlarda ivmeölçer–manyetometre ikilisi dönüölçere göre daha do˘gru sonuç vermektedir. Dinamik geçi¸slerde ise dönüölçer verileri ivmeölçer–manyetometre ikilisine göre daha iyi sonuç vermektedir. Yapılan harekete uygun olarak istenilen algılayıcının do˘gru seçilmesi yönelim kestiriminde önem kazanmaktadır. Bu hataları giderebilmek için önemli çalı¸smalar yapılmaktadır. Bu konuda Kalman Filtresi, Tamamlayıcı Filtre (Complemantary Filter) ve Adaptif Kazançlı Yönelim Filtresi gibi algoritmalar vardır [18, 24, 25].

Kalman filtresi, 9 eksenli algılayıcı birimlerinin kalibre edilmi¸s ölçümlerinin yönelim, hız, konum tahmini için toplanması ve ortalama karesel hatanın en aza indirilebilmesi için durum uzayı yöntemini kullanır [22]. Kalman filtresi tahminlerini güncellerken sistemin ¸simdiki giri¸sleriyle beraber önceki giri¸slerini ve gözlem uzayını kullanılarak bir kazanç belirler. Filtrenin çıkı¸sı bu kazanca göre belirlenir. Kalman filtresi tekrarlamalı formüllerden dolayı çok fazla hesaplama yükü getirmektedir [26].

Meng tarafından yapılan çalı¸smada ivmeölçer, dönüölçer ve manyetometre MEMS algılayıcı birimlerinin kullanıldı˘gı bir kart tasarlanmı¸stır. 8–bitlik mikrodenetleyici ile kontrol edilen bu sitem navigasyon kart sistemi olarak dü¸sünülmü¸stür. Sistemdeki birimleri SPI ile kontrol edilmi¸stir. Burada kullanılan algılayıcı birimleri analog çıkı¸slıdır. Algılayıcı verilerinin toplanması ve yönelim kestirimi için Kalman Filtresi kullanılmı¸stır. Çalı¸sma sonunda algılayıcı verilerinin toplanmasında ba¸sarılı sonuçlar alınmı¸stır. Fakat algılayıcı gürültüleri ve entegrasyon kaynaklı bozukluklar nedeniyle pozisyon ve yönelim kestiriminde hataların oldu˘gu görülmü¸stür [22].

Tamamlayıcı filtre (Complemantary filter) iki ayrı temel bile¸senden olu¸sur; bunlardan birincisi dönüölçer için yüksek geçiren filtre, ikincisi ise ivmeölçer ve manyetometre için alçak geçiren filtre özelli˘gidir [27]. Tamamlayıcı filtreler kalman filtresinin aksine giri¸s sinyallerinin spektral özellikleri hakkında varsayım yapmaz. Bu yüzden içerisinde hem dü¸sük frekanslı hem de yüksek frekanslı gürültüyü yok edebilmek için bir tane alçak geçiren filtre ile bir tane yüksek geçiren filtre bulundurmaktadır. Tamamlayıcı filtre, ivmeölçer ve manyetometre algılayıcılarla alınan sinyaller yava¸s geçi¸slerdeki (alçak geçiren) ve dönüölçer ile gelen sinyaller ise hızlı geçi¸slerdeki (yüksek geçiren) sinyalleri birle¸stirmek için kullanılır [26].

Kim ve arkada¸sları tarafından yapılan çalı¸smada, kapalı alanda konum tespiti yapan sistemlerin performansını arttırmak ve yükseklik tahmini için kullanılan platformda MEMS tipinde üç eksenli ivmeölçer, üç eksenli dönüölçer ve barometre algılayıcıları ile toplanan verilerin i¸slenmesi için ARM Cortex M3 ile donatılm¸s mikrodenetleyici ve haberle¸sme metodu olarak Bluetooth kullanılmı¸stır. Algılayıcı verilerini toplamak ve yönelim tahmini yapmak için Tamamlayıcı filtre kullanılmı¸stır. Yapılan deneyler sonucunda %4 hata tespit edilmi¸s ve PDR sistemlerin performansını geli¸stirmek için dü¸sük maliyetli MEMS algılayıcıları ve yükseklik tahmin algoritması önerilmi¸stir [15]. Kalman tabanlı yakla¸sımlar ile ili¸skili hesaplama yükü ve parametre ayarlama konuları karma¸sık konulardır. Bu sorunları gidermek için daha dü¸sük örnekleme frekansında daha az i¸slem yükü ile algılayıcı verilerin toplanması ve yönelim kestirimi yapmak mümkündür [28]. Madgwick tarafından önerilen filtre yapısı üç boyutta birle¸stirilmi¸s yönelimleri tasarlamak için dördey gösterimini kullanmaktadır. Bu sayede Euler açılarında kar¸sıla¸sılan tekillik sorunları görülmez. Ayrıca önerilen bu yapıda, sistemde kullanılan Tamamlayıcı filtre yapısı gözlemlenebilir ve sistem özellikleri ile ayarlanabilir bir parametre ile belirlenir. Dü¸sük örnekleme frekanslarında toplanan algılayıcı verilerinde bile “Gradient Descent” algoritması kullanılarak sonuçlar alınabilmektedir. Ayrıca manyetometre ve dönüölçer için kompanzasyon blokları yer almaktadır. Yapılan çalı¸smanın sonunda önerilen filtre yapısının Kalman filtresinden daha iyi sonuç verdi˘gi görülmü¸stür [18].

1.2 Tezin Amacı

Bu çalı¸smanın amacı, herhangi bir harici konum bilgisi alınamayan noktalarda dahili algılayıcı birimleri kullanılarak gerekli yön ve referans sistemini tayin etmek için kullanılacak algoritmaların incelenmesi, bu algoritmalar içerisinde yer alan kalibrasyon tekniklerinin incelenmesi ve bulunan sonuçların kar¸sıla¸stırılmasıdır. Ayrıca tasarlanan donanım üzerinde hem yönelim tahmini yapmayı hem de ileride yapılacak uygulamalara bir temel olu¸sturulmasını amaçlar.

Kapalı alanda konum tahmini yapmadan önce yönelim tahminin do˘gru yapılması çok önemlidir. Çünkü yönelim tahmininde ortaya çıkacak hatalar, konum belirleme sistemini i¸slevsiz hale getirebilir. Bu hataların en aza indirgenmesi için yönelim tahmininin yüksek do˘grulukla yapılması kaçınılmazdır. ˙I¸ste bu noktada kullanılacak algılayıcı birimlerinin seçimleri, kullanılacak yönelimin matematiksel gösterimleri, algılayıcı verilerini toplaması, algılayıcı verilerin kalibrasyonu ve yönelim kestirim algoritmalarının do˘gru seçilmesidir. Bu çalı¸sma kapsamında tasarlanan ARM tabanlı bir gömülü sistem üzerinde yönelim kestirimi yapılmı¸stır.

Çalı¸smanın temelinde ilk önce kullanılacak algılayıcı birimleri belirlenmi¸stir. Kullanılacak algılayıcı birimleri ivmeölçer, manyetometre ve dönüölçerdir. Ataletsel (IMU) birim olarak adlandırılan ivmeölçer ve dönüölçerle yönelim tahmini yapmak mümkündür. Fakat Dünya referansına göre mutlak bir yönelim bulmak isteniyorsa ataletsel ölçüm birimine manyetometre eklenmelidir. Bu sebeple bu çalı¸smada 3 eksenli ivmeölçer, 3 eksenli dönüölçer ve 3 eksenli manyetometre algılayıcı birimlerini bir arada bulunduran MEMS algılayıcı kullanılmı¸stır.

Yönelim kestiriminde kullanılacak bu birimlerin fiziksel ve matematiksel modelleri incelenmi¸stir. Bu sayede yönelim kestiriminde kullanılacak algılayıcı toplama ve yönelim algoritmalarının do˘gru bir ¸sekilde seçilmesi sa˘glanmı¸stır. Ayrıca verilen algılayıcı modellerine uygun olarak kullanılan kalibrasyon teknikleri incelenmi¸stir. Algılayıcı birimlerinin seçilmesi ve onlara ait modellerin verilmesiyle algılayıcı referansında alınan verilerin Dünya referansına çevrilmesi için gerekli matematiksel gösterimler incelenmi¸stir. Bunlar Euler açıları ve dördey gösterimleridir. Euler açıları 3 boyutlu dönme hareketlerinde kullanılan temel bir yakla¸sımdır. Bu gösterimde her bir eksen etrafında yapılan dönü¸sler belli bir açıyla ifade edilir. Bu gösterim tam

bir yönelim etmek isteniyorsa eksenler etrafında yapılan dönmeler belli bir sırayla uygulanmalıdır. Fakat bu dönme sırasıyla ilgili kesin bir kural yoktur sadece sıkça kullanılan sıralı dönmeler vardır. Buna örnek olarak uzay ve havacılıkta kullanılan sırasıyla z, y ve x eksenlerinde yapılan dönmedir. Ayrıca sıralı dönme hareketlerinde süreklili˘gi bozan tekil noktalar vardır. Bu eksik noktaları gidermek için yönelim gösteriminde dördeyler kullanılmı¸stır. Dördeylerde sıralı dönme ve tekillik sorunu yoktur.

Yönelim kestiriminde kullanılmak üzerinde ARM Cortex M3 tabanlı 32–bit i¸slemcili bir kart tasarlanmı¸stır. Bu kart üzerinde 9 eksenli algılayıcı birimi, GNSS modülü, kablosuz haberle¸sme birimleri 433 MHz, 868 MHz ve Bluetooth alıcı–verici içermektedir. Bu çalı¸sma kapsamında sadece 9 eksenli algılayıcı birimi kullanılmı¸stır. Yönelim kestiriminde ve algılayıcı verilerin toplanması için Tamamlayıcı filtre ve Kalman filtreleri kar¸sıla¸stırılmı¸stır. Burada elde edilen benzetim sonuçlarıyla Tamamlayıcı filtrenin, Kalman filtresinden daha iyi sonuç verdi˘gi görülmü¸stür. Ayrıca yönelim kestiriminde hataların çok oldu˘gu görülmü¸s ve bu hataları gidermek için verilen algılayıcı modellerine uygun temel kalibrasyon adımları ve filtreleme teknikleri uygulanmı¸stır.

Tamamlayıcı filtrenin ba¸sarım oranının daha iyi oldu˘gu görüldükten sonra tasarlanan ARM tabanlı gömülü sistem üzerinde kalibrasyon adımlarıyla beraber yönelim kestirimi algoritması gerçeklenmi¸stir.

2. ALGILAYICILAR

2.1 Amaç

Algılayıcılar, çevredeki kimyasal ve mekanik dönü¸sümleri gözlemleyen yapılardır. ˙Insanların duyu organlarıyla algılamasına benzer biçimde, sıcaklık, basınç, hız, nem, ivmelenme, manyetik alan, açısal hız ve benzeri fiziksel nicelikler algılayıcılar yardımıyla takip edilebilir. Algılayıcılar bu noktada, yukarıda bahsi geçen fiziksel de˘gi¸simler sonucu ortaya çıkan kimyasal ve mekaniksel sonuçları elektriksel i¸saretlere dönü¸stürerek bu verilerin ölçülmesini sa˘glarlar.

Mikro Elektro Mekanik Sistemler (MEMS), karma¸sık mekanik bile¸senlerin, algılayıcıların ve elektronik birimlerin mikro boyutlarda üretilmesini inceleyen bir alandır. Bu alanda, geleneksel tümle¸sik devre üretim teknolojisi gibi silikon yongalardan yararlanılarak yapılmaktadır. MEMS teknolojisi sayesinde herhangi bir mekanik sistemin mikro ölçeklerinde küçültmesi mümkündür. Bu küçülmeyle beraber hacimsel büyüklükler ihmal edilebilir seviye gelir. Hacimsel niceliklerin ihmal edilebilir oldu˘gu durumlarda, anlık hareketlenmelerin algılandı˘gı yapılar üretilebilmektedir [29].

Algılayıcıların tümle¸sik devre olarak kullanılmasında en önemli teknoloji muhakkak MEMS sayesinde olmu¸stur. MEMS algılayıcıların ortaya çıkmasında tümle¸sik devre teknolojisinin önemi büyüktür. Temel yarı iletken ham maddesi silikondur. Silikonun üretim açısından verdi˘gi esneklik ve kolay i¸slenebilirlik sayesinde tümle¸sik devre üretiminde de sıkça kullanılmaktadır. Artık günümüzde üretilen yarı iletken elemanlar 14 nm üretim teknolojisi ile üretilebilecek seviyelere gelmi¸stir. MEMS algılayıcılar içinde silikon malzemesi sıkça kullanılmaktadır. Üretilen tümle¸sik devrelerin küçültülmesine, aynı alanda daha fazla birimin sı˘gdırılmasına, performansın artırılmasına, güç tüketiminin azaltılmasına ve birim fiyatların dü¸smesine sebep olmu¸stur [30]. Bu çalı¸smada yukarıda belirtilen özelliklerden dolayı MEMS algılayıcılar kullanılmı¸stır.

A¸sa˘gıdaki bölümde ivmeölçer (accelerometer), dönüölçer (gyroscope) ve manyetome-tre (magnemometer) ile ilgili matematiksel ve fiziksel modeller anlatılmı¸stır.

2.2 ˙Ivmeölçer

Bir boyutlu ölçüm yapan bir ivmeölçer fiziksel modeli, bir kılıf içerisinde bir yay ile askıda kalmı¸s bir kütle olarak dü¸sünülebilir [31].

d

n

g

a

¸Sekil 2.1: ˙Ivmeölçer modeli.

Bu modelde yaydaki de˘gi¸sim miktarı, do˘grusal ivmelenme ve yer çekimi ivmesinin n gibi bir birim vektörle çarpılmasından bulunabilir.

ya= ka(a − g) · n + εa (2.1)

y_a: Ölçülen elektriksel sinyal de˘geri, k_a: Ölçekleme sabiti,

εa: ˙Ilk ba¸sta algılayıcıda okunan sapma de˘geri.

˙Ivmeölçer bulundu˘gu cismin veya ortamın do˘grusal ivmesi yanında (dinamik ivmelenme) yer çekimini (statik ivme) ölçmektedir.

Genelde ölçüm birimi dünyanın yer çekimi olan g (gees) ve katları olarak ifade edilir. E˘ger algılayıcı hareketsiz ise üzerine dü¸sen toplam yer çekimi 1g = 9.8_sm2 olacaktır (bu

Bu algılayıcıların tek eksende oldu˘gu gibi iki ve üç eksenli modelleri mevcuttur. Algılayıcı üzerinde okunan ivme de˘gerleri, yer çekimi de˘geri g ile kar¸sıla¸stırılarak algılayıcının açısal konumu da belirlenebilmektedir.

Algılayıcı çıkı¸sında herhangi bir anda alınacak sayısal ivme de˘geri E¸sitlik 2.2 ile ifade edilir. Burada s algılayıcı referans koordinat sistemini belirtir.

y_a(t) =sa(t) −sg(t) + v_a(t) (2.2)

s_{a(t) : Do˘grusal ivme,} s_{g(t) : Yer çekimi ivmesi,}

va(t) : Gauss da˘gılımlı gürültü.

Do˘grusal ivme birinci dereceden bir alçak geçiren filtre ile beyaz gürültünün temizlenmesiyle olu¸sur.

s_{a(t) = c}

asa(t − 1) + wa(t) (2.3)

c_a: 0 < ca< 1 arasında olmak üzere kesim frekansını belirleyen sabit,

wa(t) : Beyaz gürültü.

2.3 Dönüölçer

Dönüölçer, kılıf içerisindeki kütle ve bunu harekete geçiren bir eleman olarak modellenebilir. Bu eleman genelde piezoelektrik yapıda bir elemandır [31].

Mesafe Ölçümü rhareket

rcor

Açısal Hız

¸Sekil 2.2: Dönüölçer modeli.

E˘ger kılıf içeresindeki kütle, açısal hız ile aynı yönde ve bulundu˘gu düzleme dik olarak hareket ederse, kütle üzerinde açısal hıza ve kütlenin momentum hızına dikey bir kuvvet (Coriolis kuvveti) olu¸sur. Bu kuvvet ile kütle içerisindeki hareket yönüne

dik bir yer de˘gi¸stirme olu¸sur. Bu yer de˘gi¸stirme sayesinde açısal hız E¸sitlik 2.4 ile hesaplanabilir.

f_c= 2mvω (2.4)

f_c : Coriolis kuvveti,

m: Kılıf içersindeki kütlenin miktarı, v: Kılıf içersindeki kütlenin hızı, ω : Kılıfa uygulanan açısal hız.

Dönüölçerlerin yapıları gere˘gi yeteri kadar dönme hızları varsa bulundu˘gu düzleme dik kalarak dönme ekseni etrafında hareketlerine devam ederler. Ayrıca bir defa dönmeye ba¸sladıklarında, bulundukları yüzeyin açısından ba˘gımsız olarak sadece bulundukları ekseni takip ederler.

Bu algılayıcıların tek eksende oldu˘gu gibi iki ve üç eksenli modelleri mevcuttur. Dönüölçer açısal hızı ölçer. Ölçüm sonucu C_s (derece/saniye) olarak ifade edilir. Algılayıcı üzerinde okunan de˘gerler, konumsal açı de˘gi¸simlerini z ekseni sapma (yaw), yekseni yunuslama (pitch) ve x ekseni yuvarlama (roll) olarak vermektedir.

z

y

x

φ

ψ

θ

¸Sekil 2.3: Açısal hız eksenleri.

Algılayıcı çıkı¸sında alınacak açısal hız ise E¸sitlik 2.5 ile modellenebilir.

b(t) : Sapma de˘geri, vg(t) : Beyaz gürültü.

Ayrıca sapma de˘geri, Gauss da˘gılımlı gürültülü birinci dereceden Markov süreci olarak ifade edilir.

b(t) = b(t − 1) + w_b(t) (2.6)

w_b(t): Gauss da˘gılımlı gürültü.

2.4 Manyetometre

Manyetometreler, manyetik alanı ölçerler ve ölçüm hassasiyeti birkaç Gauss (100 µT=1Gauss) arasında de˘gi¸smektedir. Genelde manyetik algılayıcılarda Hall etkisi (Hall Effect) ölçüm tekni˘gi kullanılır. Bu olay, belli bir manyetik alan içerisinde bulunan iletkenden akım geçmesiyle olu¸san gerilim indüklenmesidir [32]. Dünyanın manyetik alan ¸siddeti, Dünya üzerindeki konuma göre farklılık göstermektedir. Bu de˘gerler üzerinden, bulundu˘gu konum ile Dünya’nın manyetik çizgisi arasındaki açı bulunabilir.

Algılayıcı çıkı¸sında alınacak manyetik alan sinyali E¸sitlik 2.7 ile modellenebilir.

y_m(t)=sm(t) + d(t) + vm(t) (2.7) s_{m(t) : Dünya’nın manyetik alan de˘geri,}

d(t) : Çevresel etkilerin sebep oldu˘gu manyetik bozucu sabit, v_m(t) : Beyaz gürültü.

Ayrıca manyetik bozucu katsayı Gauss da˘gılımlı gürültülü Markov süreci olarak ifade edilir.

d(t) = cdd(t − 1) + wd(t) (2.8)

w_d(t): Gauss da˘gılımlı gürültü [33].

2.5 9 Eksenli Dahili Algılayıcı Birimi

9 eksenli dahili algılayıcı birimi, 2.2, 2.3 ve 2.4 kısımlarında anlatılan 3 eksenli 3 ayrı algılayıcının birle¸stirilmesiyle serbestlik derecesi (degrees of freedom) 9 olan bir yapıdır.

˙Ivmeölçer dura˘gan ve do˘grusal ivmelenmeleri ölçebilecek bir algılayıcıdır. ˙Ivmeölçer-ler dura˘gan halde bile aldıkları bir kuvveti g kuvvetine ba˘glı olarak kuvvetlendirece˘gin-den istenilmeyen çıkı¸slar verirler. Ayrıca yapıları gere˘gi hızlı geçi¸sleri anlayamazlar (daha dü¸sük frekanslı geçi¸slerde iyi sonuçlar verirler) ve aynı hareketi iki veya daha fazla okumaya çalı¸sarak daha fazla hata yaparlar. Bu hataları düzeltmek için g kuvvetinden ba˘gımsız, titre¸simlere kar¸sı daha dirençli ve hızlı geçi¸sleri algılayabilen dönüölçer kullanılırlar [34]. Manyetometreler, algılayıcı koordinant düzeninden evrensel konum sistemine geçi¸ste kullanılırlar.

Algılayıcı hassasiyetleri ve sapma de˘gerleri her bir algılayıcı birimi için belirleyici etkenlerdir.

˙Ivmeölçere 1 g uygulandı˘gında algılayıcının verece˘gi de˘ger onun hassasiyetidir. Bunu ö˘grenmek için ilgili eksen Dünya’nın merkezine bakacak ¸sekilde çevrildi˘ginde algılayıcıdan okunan çıkı¸s de˘geri ile, aynı eksen 180 derece çevrildi˘ginde (gökyüzünü gösterecek ¸sekilde) okunan çıkı¸s de˘geri; bu eksene ±1 g uygulanarak algılayıcı de˘gerleri elde edilmi¸s olur. Bu de˘gerlerden büyük olan, küçük olandan çıkarılıp 2’ye bölünürse algılayıcı hassasiyeti bulunmu¸s olur. Manyetometreye 1 Gauss manyetik alan uygulandı˘gında okunan de˘ger algılayıcı hassasiyetidir. Dönüölçer de ise, belirli bir açısal hız uygulanarak elde edilen de˘ger hassasiyet olarak elde edilir. Algılayıcı hassasiyetleri üzerinde zaman ve sıcaklıkla ufak de˘gi¸simler olmaktadır.

˙Ivmeölçer dura˘gan halde yüzeye yatay olarak bırakıldı˘gında x ekseninde 0 g, y ekseninde 0 g ve z ekseninde 1 g gösterecektir. Bu de˘gerlerden farklı de˘gerler sapma de˘gerleri olarak tanımlanır. Manyetometrede sapma de˘geri herhangi manyetik alan yokken, algılayıcıdan o anda okunan de˘gerin ideal çıkı¸s de˘gerinden farkıdır. Dönüölçerin sapma de˘geri ise herhangi bir dönme yokken, algılayıcıdan o anda okunan de˘gerin ideal çıkı¸s de˘gerinden farkıdır.

Bu çalı¸smada, tasarlanan gömülü sistem üzerinde STMicroelectronics firmasının LSM9DS0 9 eksenli MEMS teknolojilisi ile üretilmi¸s algılayıcı birimi kullanılmı¸stır. Bu algılayıcı üzerinde 3 eksenli ivmeölçer, 3 eksenli dönüölçer ve 3 eksenli manyetometre ile beraber toplamda 9 eksen içermektedir. ˙Ivme de˘gerini ±2/ ± 4/ ± 6/ ± 8/ ± 16 g, manyetik alanı ±2/ ± 4/ ± 6/ ± 8/ ± 12 Gauss ve açısal hızı ise ±245/ ± 500/ ± 2000derece_saniye ölçeklerinde ölçer. Haberle¸sme arayüzü olarak I2C (standart 100 kHz ve hızlı modda 400 kHz) ve SPI standartlarını desteklemektedir. Algılayıcı birimi herhangi bir hareket veya manyetik alan de˘gi¸simlerinde ayarlanabilir kesme sinyalleri üretebilmektedir. E¸sik de˘gerleri ve zamanlamalar kullanıcı tarafından ayarlanabilir. Her bir algılayıcı birimi için akıllı güç tüketim kontrolünü içerir. ˙Istenen algılayıcı birimi aktif veya pasif konuma getirilebilir [35].

¸Sekil 2.4’de [35] LSM9DS0’a ait her bir algılayıcı biriminin elektro mekanik, analog ve sayısal kısımları gösterilmi¸stir. Ayrıca tümle¸sik devrenin i¸slemci veya herhangi bir birimle haberle¸smesi için gerekli I2C ve SPI arayüzleri, kesme üreteçleri ve kontrol uçları yeralmaktadır.

3. KOORD˙INAT S˙ISTEMLER˙I

3.1 Amaç

Koordinat sistemleri, birbirlerine ortagonal birim vektörlerden olu¸sur. Her bir birim vektörün temsil etti˘gi yön, eksen olarak adlandırılır. Bu eksenlerin referansları keyfi olarak seçilebilirler. Sa˘g el ve sol el kuralları bilinen koordinat sistemi örnekleridir [36]. Bu çalı¸smada kullanılacak notasyonlar da xA, yA, zA ve xB, yB, , zB eksenleri

A ve B koordinat sistemlerinde tanımlı eksenlerdir. Eksenler arasında gösterilecek dönü¸sümlerde ise A_BR B koordinat sisteminin, A koordinat sistemindeki tanımlı bir vektör etrafındaki yönelimini gösterir.

y

z x

¸Sekil 3.1: Sa˘g el kuralı.

y z

x

¸Sekil 3.2: Sol el kuralı.

Koordinat sistemleri iki ayrı sisteme göre ifade edilebilirler. Bunlar dünya koordinat (co˘grafi) ve cisim referanslı olarak konumlandırabilirler.

3.2 Döndürme Matrisi

Tanımlı bir koordinat sistemindeki herhangi bir noktayı belli bir eksen etrafında belli açıyla (Euler açısı) döndürme i¸slemi dönme olarak tanımlanır. Farklı iki koordinat sisteminde tanımlı aynı nokta; herhangi bir düzlem üzerinde belirli bir eksen etrafında,

belirli bir açıyla (Euler açısı) döndürüldü˘günde iki koordinat sistemi arasındaki ili¸ski dönü¸süm olarak adlandırılır [37].

Euler açılarının döndürme sırasında belli bir kuralı yoktur. Burada kullanılan eksenler sa˘g el kuralına göre alınıp, havacılık ve uzay alanlarında kullanılan, sırasıyla z, y ve x eksenlerinde negatif açıyla (saat yönünde) döndürülmü¸stür [38].

x_{B y} B z_B,z_A x_A y_A B_P, AP φ φ

¸Sekil 3.3: P noktasının döndürülmesi.

B_Pve

APnoktası iki farklı koordinat düzleminde tanımlı, uzayda aynı konumu gösteren

vektörler olsun. ¸Sekil 3.3’de BPnoktası A referans düzleminde zA ekseni etrafında φ

kadar döndürülerek elde edilir. BPnoktası ileAParasındaki ili¸ski 2x2 boyutundakiABR

dönü¸süm matrisi ile ifade edilebilir [37].

A BR=  cos φ sin φ − sin φ cos φ  (3.1) B_P=A BR×AP=  cos φ sin φ − sin φ cos φ  x y  (3.2) Bu e¸sitli˘gi 3 boyutlu olarak geni¸sletirsek, φ açısı kadar z ekseni boyunca döndürülmü¸s olur. Bu durumda 3x3A_BRmatrisi E¸sitlik 3.3’deki gibi ifade edilir.

A BRz(φ ) =   cos φ sin φ 0 − sin φ cos φ 0 0 0 1   (3.3)

Aynı i¸slemler sırası ile y ve x eksenleri için uygulanılabilir.

A BRy(ψ) =   cos ψ 0 − sin ψ 0 1 0 sin ψ 0 cos ψ   (3.4)

A BRx(θ ) =   1 0 0 0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ   (3.5)

3 boyutlu uzayda döndürme matrisiA_BR_x,A_BR_yveA_BR_zçarpımları sonucu 3x3 boyutunda

A

BRx,y,z(θ , ψ, φ ) =ABRx(θ )ABRy(ψ)ABRz(φ ) matrisi olarak elde edilir.

A BRx,y,z(θ , ψ, φ ) =   1 0 0 0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ     cos ψ 0 − sin ψ 0 1 0 sin ψ 0 cos ψ     cos φ sin φ 0 − sin φ cos φ 0 0 0 1   (3.6) A

BRx,y,z(θ , ψ, φ ) ortaya çıkan bu matris 3x3 özel ortagonal bir matristir. Bu matrisin

tersi ve devri˘gi birbirine e¸sittir.

A

BRx,y,z(θ , ψ, φ ) ∈ SO(3) detR= ±1 R−1= RT (3.7)

Döndürme matrisinin elemanları bulunarak Euler açılarına dönü¸stürülebilir.

A BRx,y,z(θ , ψ, φ ) =   a11 a12 a13 a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃   (3.8) a₁₁ = cos ψ cos θ a₁₂ = cos ψ sin θ a13 = − sin ψ

a₂₁ = sin φ sin ψ cos θ − cos φ sin θ a₂₂ = sin φ sin ψ sin θ + cos φ cos θ a23 = cos ψ cos φ

a₃₁ = cos φ sin ψ cos θ + sin φ sin θ a₃₂ = cos φ sin ψ sin θ − sin φ cos θ a33 = cos ψ cos φ

(3.9)

Euler açıları bulmak içinse E¸sitlik 3.10 kullanılır.

θ = arctan(a23, a33)

ψ = −arcsin(a13)

φ = arctan(a12, a11)

3.3 Dördeyler

Dördeyler, 1843 tarihinde ˙Irlanda’lı matematikçi William Rowan Hamilton tarafından bulunmu¸stur [39]. Dört boyutlu karma¸sık sayılardan olu¸san dördeyler, 3 boyutlu uzaydaki cisim referanslı veya co˘grafi koordinatlara uygun dönme hareketlerinin hesaplanmasında kullanılmaktadır.

3.3.1 Dördeylerin matematiksel temelleri

Dördeyler, q ∈ H tanımlı 4 boyutlu bir vektördür. Bir dördey vektörü, s ∈ R gerçel ve v_{= (x, y, z) ∈ R}3vektör kısmından olu¸sur [39].

q = [s, v] s_{∈ R, v ∈ R}3 = [s, (x, y, z)] s_{, x, y, z ∈ R} = s + ix + jy + kz s, x, y, z ∈ R = [q1, q2, q3, q4] q1∈ R, q2, q3, q4∈ C (3.11) i2= j2= k2= i jk = −1 (3.12)

Herhangi bir dördeyin içerisindeki vektör kısmındaki sanal bile¸senlerin olası çarpım sonuçları E¸sitlik 3.13’de tanımlanmı¸stır.

i j = k , ji = −k jk = i , k j = −i ki = j , ik = − j

(3.13)

Tanım 1 Dördeylerde toplama i¸slemi için q , ´q_{∈ H gibi dördey tanımlasın.}

q= [s, (x, y, z)] ve q´= [ ´s, ( ´x, ´y, ´z)] (3.14) Toplama i¸slemi,

q+ ´q= [s, v] + [ ´s+ ´v] = [s, (x, y, z)] + [ ´s, ( ´x, ´y, ´z)] = (s + ix + jy + kz) + ( ´s+ i ´x+ j ´y+ k ´z) (3.15) olarak tanımlanır.

Tanım 2 Dördeylerde çarpma i¸slemi tanımlıdır.

q⊗ ´q= [s, v] ⊗ [ ´s+ ´v] = [s, (x, y, z)] ⊗ [ ´s, ( ´x, ´y, ´z)] = (s + ix + jy + kz) ⊗ ( ´s+ i ´x+ j ´y+ k ´z) (3.16) Bu i¸slemin sonucunda ortaya çıkan sonuç q⊗ ´q= [s ´s_{− v · ´v, v × ´v + s ´v + ´sv]. R}3 uzayında· skaler çarpım, × ise vektörel çarpım olarak tanımlıdır.

Dördey çarpma i¸slemini, elemanlar birebir çarpılarak E¸sitlik 3.17 elde edilir.

q⊗ ´q = (s + ix + jy + kz) ⊗ ( ´s+ i ´x+ j ´y+ k ´z)

= s ´s− (x ´x + y ´y + z´z) + i(s ´x + ´sx + y´z − z ´y) + j(s ´y + ´sy + z ´x − x´z) + k(s´z + ´sz+ x ´y− y ´x)

= [s ´s− v · ´v, v × ´v + s ´v + ´sv]

(3.17)

Dördeylerde çarpma i¸sleminde, vektörel çarpımlar yer aldı˘gında de˘gi¸sme özelli˘gi yoktur. Buna örnek olarak jk = i iken k j = −i verilebilir. Çarpma i¸sleminin di˘ger özelliklerini ise sa˘glamaktadır.

p, q, ´q_{∈ H ve r ∈ R olsun.}

(p ⊗ q) ´q = p⊗ (q ´q)

p⊗ (q + ´q) = p⊗ q + p ´q (3.18)

Tanım 3 Dördeyleri herhangi bir skaler ile çarpma i¸slemi tanımlıdır. q ∈ H, q = [s, v] ve r_{∈ R olsun.}

r⊗ q = [r, 0] ⊗ q (3.19)

r⊗ q = q ⊗ r = [r, 0] ⊗ [s, v] = [rs, rv] (3.20)

E¸sitlik 3.19’da gösterildi˘gi gibi dördeyler skaler ile çarpma i¸sleminde de˘gi¸sme özelli˘gi sa˘glar.

Tanım 4 Dördeylerde çıkarma i¸slemi, q, ´q _{∈ H, q − ´q = q + (−1) ⊗ ´q olarak} tanımlanır.

q− ´q= [s, v] − 1 ⊗ [ ´s, ´v] = [s − ´s, v − ´v] (3.21)

Dördeylerdeki e¸slenik, kompleks sayılardaki e¸slenik ile aynıdır.

Tanım 5 Dördeylerde e¸slenik, q ∈ H olsun. q∗, q’nun e¸sleni˘gi olarak tanımlanır, ve q∗= [s, v]∗= [s, −v] olarak gösterilir. q∗a¸sa˘gıdaki özellikleri sa˘glar.

p_{, q ∈ H olsun.} (q∗)∗ = q (p ⊗ q)∗ = q∗⊗ p∗ (p + q)∗ = p∗+ q∗ q⊗ q∗ = q∗⊗ q (3.22)

Dördeyin normu, e¸slenik yardımıyla hesaplanır:

Tanım 6 p ∈ H ve e¸sleme i¸slemi k · k : H y R olsun. q normu ise kqk =√qq∗olarak tanımlanır.

Norm i¸sleminin, q dördeyi üzerindeki özellikleri E¸sitlik 3.23’de gösterilmi¸stir.

kqk = √s2_{+ v · v =} p

s2_{+ x}2_{+ y}2_{+ z}2

kq∗k = kqk kq ´qk = kqkk ´qk

(3.23)

Tanım 7 Dördeyler için H\[0, 0, 0, 0] kümesi ˚H olsun. Birim matris I, qI = Iq = [1s, 1v] = [s, v] = q olarak tanımlanır.

q∈ ˚_{H olsun. q}−1_{∈ H vardır. Öyle ki qq}−1= q−1q= I e¸sitli˘gini sa˘glar. q−1tektir ve E¸sitlik 3.24’de gösterilmi¸stir.

q−1= q

∗

kqk2 (3.24)

Tanım 8 q ∈ H olsun. Birim dördey, kqk = 1 olarak tanımlanır. Birim dördeyler kümesi H1olarak belirtilsin.

q_{= [s, v] ∈ H1}olsun. Öyle bir q_{= [cos θ , ´vsin θ ], ´v ∈ R}3ve θ ∈ [−π, π] tanımlansın. E˘ger q6= [1, 0] ise, k = |v| ve ´v = 1

kv ve v´∈ R

1 = kqk2= s2+ v · v = s2+ k2v´· ´v = s2+ k2 (3.25) s2+ k2e¸sitli˘gi düzlemde bir daire tanımlar. Ayrıca s = cos θ ve k = sin θ için, cos θ2+ sin θ2= 1, θ ∈ [−π, π] e¸sitli˘gi de daire tanımlar. Buradan E¸sitlik 3.26 elde edilir.

q= [s, v] = [s, ´vk] = [cos θ , ´vsin θ ] (3.26) Birim dördeyler, kq ´qk = 1 ve q−1= q∗özelliklerini de sa˘glarlar.

Dördeylerde çarpım i¸slemi, matris ¸seklinde de ifade edilebilir. q , p , r ∈ H olmak üzere q= [q1, q2, q3, q4], p = [p1, p2, p3, p4] ve r = [r1, r2, r3, r4] dördeyleri tanımlı olsun.

Dördeylerde matris çarpımı r = q ⊗ p olsun.

r = q ⊗ p     r₁ r₂ r₃ r₄     =     q₁ q₂ q₃ q₄         p₁ p₂ p₃ p₄     (3.27)     r₁ r2 r₃ r₄     =     q₁ −q₂ −q₃ −q₄ q2 q1 −q4 q3 q₃ q₄ q₁ −q2 q₄ −q₃ q₂ q₁         p₁ p2 p₃ p₄     (3.28)

3.3.2 Dördeylerin döndürme i¸sleminde kullanılması

Euler döndürme teoremi, herhangi bir rotayı ve sırayı takip ederek bir koordinat referansında tanımlı sabit bir noktayı sabit bir eksen (Euler ekseni) etrafında γ açısı kadar döndürme i¸slemi olarak tanımlanır.

Euler ekseni birim vektör olan ˆuile ifade edilir. Üç boyutlu herhangi bir dönme i¸slemi ˆ

u ve γ ile ifade edilebilir. Dördeyler herhangi bir eksen etrafında dönme i¸slemini 4 elemanla basitçe ifade etmektedir.

ˆ

u= [iex, jey, kez] (3.29)

ˆ

ubirim matrisine Euler formülü uygulanırsa dört elamanla gösterilebilir.

q= eγ2(iex, jey,kez)_{= cos}γ

2+ (iex, jey, kez) sin γ

z

y

x

ˆ

u

γ

¸Sekil 3.4: Açısal hız eksenleri.

Herhangi bir AvveBvvektörleri sırasıyla A ve B referans düzlemlerinde ifade edilmi¸s aynı vektörlerdir. Bu vektörler arasındaki ili¸ski E¸sitlik 3.31’ de verilmi¸stir.

B_v= A

Bq∗⊗Av⊗ABq (3.31)

Aynı e¸sitlik,A_Bq∗=A_Bq−1e¸sitli˘ginden yaralanılarak yeniden yazılabilir.

B_v= A

Bq−1⊗Av⊗ABq (3.32)

A

BRdöndürme matrisi, birim dördeyin elemanları olarak ifade edilebilir [40].

A BR(q1, q2, q3, q4) =   q2₁+ q2₂− q2 3− q24 2q2q3+ 2q1q4 2q2q4− 2q1q3 2q2q3− 2q1q4 q2₁− q2₂+ q2₃− q2₄ 2q3q4+ 2q1q2 2q2q4+ 2q1q3 2q3q4− 2q1q2 q2₁− q2₂− q2₃+ q2₄   (3.33) Birim matrislerin q2₁+ q2₂+ q2₃+ q2₄= 1 özelli˘ginden yararlanılarak sadele¸stirilir.

A BR(q1, q2, q3, q4) =   2q2₁− 1 + 2q2 2 2q2q3+ 2q1q4 2q2q4− 2q1q3 2q2q3− 2q1q4 2q21− 1 + 2q23 2q3q4+ 2q1q2 2q2q4+ 2q1q3 2q3q4− 2q1q2 2q21− 1 + 2q24   (3.34)

Aynı ¸sekilde döndürme matrisinden de birim dördey elde edilir. Ortaya çıkan sonuç, her bir dördey elemanı q1, q2, q3ve q4için ayrı ayrı hesaplanabilir [41].

q₁ = ±1₂√1 + a11+ a22+ a33 q₂ = _4q1 1(a23− a32) q₃ = _4q1 1(a31− a13) q₄ = _4q1 1(a12− a21) (3.35) q1 = _4q1₂(a23− a32) q2 = ±1₂ √ 1 + a11− a22− a33 q₃ = _4q1 2(a12+ a21) q₄ = _4q1 2(a31+ a13) (3.36) q₁ = _4q1 3(a31− a13) q₂ = _4q1 3(a12+ a21) q₃ = ±1₂√1 − a11+ a22− a33 q₄ = _4q1 3(a23+ a32) (3.37) q1 = _4q1₄(a31− a13) q2 = _4q1₃(a12+ a21) q3 = ±1₂ √ 1 − a11+ a22− a33 q₄ = _4q1 3(a23+ a32) (3.38) q₁ = _4q1 4(a12− a21) q₂ = _4q1 3(a31+ a13) q₃ = _4q1 4(a23+ a32) q₄ = ±1₂√1 − a11− a22+ a33 (3.39)

Bu de˘gi¸sim sonucunda görüldü˘gü gibi iki farklı q ve −q de˘geri ortaya çıkar. Bunlardan −q Euler ekseninin aksi yönünde (180 − θ ) açı ile dönmeyi ifade eder. Sonuç olarak hem q hem de −q = [−q1, −q2, −q3, −q4] aynı dönmeye kar¸sılık gelmektedir.

Euler açıları ile dördeyler arasında da dönü¸süm yapılabilir.

A

Bq(θ , ψ, φ ) = qφ⊗ qψ⊗ qθ (3.40)

Her bir eksen için tanımlı θ , ψ, φ Euler açıları, dördeylerde yerine konularak istenen dönü¸süm elde edilir. q_θ = [cosθ 2, i sinθ2] q_ψ = [cosψ₂, j sinψ₂] q_φ = [cosφ₂, k sinφ₂] (3.41)

Euler açıları ile gösterilen her bir dördey (x, y, z eksenleri temsil eder) birbirine diktir. Bu dördeyler matris formundaki halleriyle çarpılıpA_Bq(θ , ψ, φ ) elde edilir.

A Bq(θ , ψ, φ ) =     cosφ₂ 0 0 sinφ₂     ⊗     cosψ₂ 0 sinψ₂ 0     ⊗     cosθ 2 sinθ 2 0 0     (3.42)

q₁ = cosφ₂cosψ₂ cosθ 2− sin φ 2sin ψ 2sin θ 2

q₂ = sinφ₂sinψ₂ cosθ 2+ cos φ 2cos ψ 2sin θ 2

q₃ = cosφ₂sinψ₂ cosθ 2− sin

φ 2cos

ψ 2sinθ2

q4 = sinφ₂cosψ₂ cosθ₂+ cosφ₂sinψ₂sinθ₂

(3.43)

Dördeylerden Euler açılarına geçi¸s ise E¸sitlik 3.44 ile yapılır.

tan φ = 2(q2q3+ q1q4)

2(q2₁+ q2₂) − 1 (3.44)

sin ψ = 2(q1q3− q2q4) (3.45)

tan θ = 2(q1q2+ q3q4)

2(q2₁+ q2₄) − 1 (3.46)

3.3.3 Dördeylerin döndürme i¸sleminde kullanılmasının üstün ve eksik noktaları Yönelimin gösteriminde dördeyler ve Euler açıları kullanılmaktır. Bu iki gösterimin üstün ve eksik noktaları vardır.

Euler açıları her bir eksen (x, y ve z ) etrafındaki dönme açılarını bularak yönelimi göstermektedir. Dördeyler ise tanımlı bir eksen etrafında sadece bir açıyla yönelimi ifade eder. Geometrik olarak dördeyler daha anlamlı bir gösterim sunmaktadır.

Euler açılarının yönelimin do˘gru elde edilebilmesi için; dönme açıları tanımlı koordinat sistemindeki eksenlere belli bir sırayı takip ederek uygulanmalıdır. Dördeyler ise yönelimde koordinat sistemindeki tanımlı bir birim vektör etrafında yapılır.

Euler açıları ile yönelim gösteriminde sıkça kar¸sıla¸sılan sorunlardan biri, sıralı dönme i¸slemlerinde eksenlerden ikisinin birbirine paralel olmasıyla bir eksende serbestlik derecesinin kaybolmasıdır. Bu olay “Gimbal Lock” olarak bilinmektedir. Bu durum y eksenindeki dönme açısı ψ = ±π

2 oldu˘gunda meydana gelmektedir. Bu durum, E¸sitlik

3.9’da elde edilen dönü¸süm matrisinde, ψ = π

2 için cos π

2 = 0 ve sin π

2 = 1 konularak

A

BRx,y,z(θ , ψ, φ ) =

 

0 0 −1

sin φ cos θ − cos φ sin θ sin φ sin θ + cos φ cos θ 0 cos φ cosθ + sin φ sin θ cos φ sin θ − sin φ cos θ 0



 (3.47)

Trigonometrik toplam formülleri (EK A.1) uygulanarak elde edilen E¸sitlik 3.48’de görüldü˘gü gibi z ekseni dönme ekseni olarak kalmı¸stır. Ama φ ve θ açılarının de˘gi¸simi aynı dönme etkisine sahiptir. Dördeylerde ise eksenlerdeki serbestlik derecesi kaybı görülmez. A BRx,y,z(θ , ψ, φ ) =   0 0 −1 sin φ − θ cos φ − θ 0 cos φ − θ sin φ − θ 0   (3.48)

Dördey cebri, Euler açılarına oranla daha karma¸sık bir yapıya sahiptir. Ayrıca Euler açıları, dördeylere göre daha iyi bilinen ve matris e¸sitlikleri sıkça kullanılan bir gösterimdir.

Her iki gösterim kar¸sıla¸stırıldı˘gında birbirine kar¸sı üstün ve eksik yanları vardır. Euler açılarının matrislerle gösterimi bazı temel problemlere sebep olmaktadır. Dönme sırası hangi eksenler üzerinde olaca˘gı belirtilmelidir. Ayrıca eksenler için serbestlik derecesinin kayboldu˘gu durumlar gözlemlenir.

Dördey gösterimi, geometrik olarak daha anla¸sılır olması ve eksenlere ba˘gımlı olmadan (belli bir sıraya uymadan) yönelimi ifade etmesiyle, Euler açılarına göre daha üstün özelliklere sahiptir.

4. YÖNEL˙IM˙IN GÖSTER˙IM˙I

Herhangi bir cismin yönelimi, algılayıcılar (ivmeölçer, dönüölçer ve manyetometre) yardımıyla bulanabilir. Dahili algılayıcı birimleri; ivmeölçer, dönüölçer ve manyetometre ile ilgili algılayıcı referans sisteminde ölçüm alabilmektedir. Herhangi bir cismin yönelimindeki ivmelenme; üç eksende, ivmeölçer ile hem dura˘gan ivme (yer çekimi) hem de cismin hareketinden kaynaklı do˘grusal ivmelenme ile bulunur. Her üç eksende meydana gelen açısal hız, dönüölçer ile hesaplanır. Dünyanın manyetik alanı ise, manyetometre yardımıyla her üç eksende manyetik alan ölçülerek bulunur.

Yönelim kestiriminde, hem dönüölçer hem de ivmeölçer ve manyetometre ile iki ayrı yönelim bulunacaktır. Dönüölçer ile bulunan yönelimde hataları gidermek için ivmeölçer ve manyetometre ile bulunan yönelimden faydalanılacaktır. Dönüölçer üzerinde olu¸san hataların ba¸slıca sebebi; dinamik yapıları gere˘gi dura˘gan bile olsalar zamanla sistem üzerinde çok büyük sapmalara neden olmaktadır. Bunun giderilmesi için ivmeölçer ve manyetometreden yararlanılır. Hızlı geçi¸slerde ise dönüölçer ile bulunan yönelim belirleyicidir.

4.1 Tamamlayıcı Filtre ˙Ile Yönelim Algoritması

Burada kullanılan filtre Madgwick tarafından önerilen yapıdır [28]. Bu filtre, hem dönüölçer hem de ivmeölçer ve manyetometre ile bulunan yönelimlerin belli bir a˘gırlık ile çarpılmasıyla yönelim kestirimi yapılmasını sa˘glar.

Tamamlayıcı filtrede1 dönüölçer ile bulanan yönelimdeki hatalar, ivmeölçer ve manyetometre yardımıyla bulunan yönelim ile düzeltilir. ˙Ivmeölçer ve manyetometre ile yönelimi bulmak için “Gradient Descent” algoritması kullanılmı¸stır. Bu algoritma sayesinde, ivmeölçer ve manyetometre ile bulunan yönelimdeki hatalar en aza indirmeye çalı¸sılmaktadır. ¸Sekil 4.1’de gösterilen β dönüölçerin ölçüm hatasını, ivmeölçer ve manyetometre ile hesaplanan _{k∇ f k}∇ f ise yönelim hatasını gösterir. Filtre

1_{Çalı¸smanın bundan sonraki kısmında Tamamlayıcı filtre ile kastedilen, Madgwick tarafında önerilen} filtre yapısıdır.