T. C.
NÖNÜ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
FUZZY SAYI DZLERNN CESÀRO YAKINSAKLII VE CESÀRO ÇEKRDE ÜZERNE
Özer TALO
DOKTORA TEZ
MATEMATK ANABLM DALI
MALATYA 2011
Tezin Ba³l§ : Fuzzy Say Dizilerinin Cesàro Yaknsakl§ ve Cesàro Çekirde§i Üzerine
Tezi Hazrlayan : Özer TALO
Snav Tarihi : 04.03.2011
Yukarda ad geçen tez, jürimizce de§erlendirilerek Matematik Anabilim Da-lnda Doktora Tezi olarak kabul edilmi³tir.
Snav Jüri Üyeleri
Prof. Dr. Feyzi BAAR (Fatih Üniversitesi)
Doç. Dr. Celal ÇAKAN (Dan³man) (nönü Üniversitesi)
Prof. Dr. Bayram AHN (nönü Üniversitesi)
Doç. Dr. Bilal ALTAY (nönü Üniversitesi)
Doç. Dr. Ylmaz YILMAZ (nönü Üniversitesi)
nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Onay
Prof. Dr. Asm KÜNKÜL Enstitü Müdürü
ONUR SÖZÜ
Doktora Tezi olarak sundu§um "Fuzzy Say Dizilerinin Cesàro Yaknsakl§ ve Cesàro Çekirde§i Üzerine" ba³lkl bu çal³mann, bilimsel ahlak ve geleneklere aykr dü³ecek bir yardma ba³vurmakszn tarafmdan yazld§n ve yararland§m bütün kaynaklarn hem metin içinde hem de kaynakçada, yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden olu³tu§unu belirtir, bunu onurumla do§rularm.
ÖZET
Doktora Tezi
FUZZY SAYI DZLERNN CESÀRO YAKINSAKLII VE CESÀRO ÇEKRDE ÜZERNE
Özer TALO nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal
50 + v sayfa 2011
Dan³man : Doç. Dr. Celal ÇAKAN
Bu tez be³ bölümden olu³maktadr. Giri³ bölümü olan birinci bölüm, konu ile ilgili çal³malara ayrlm³tr.
kinci bölümde; di§er bölümlerde yararlanlacak temel tanm, kavram ve te-oremler verilmi³tir.
Orjinal bölümlerin ilki olan üçüncü bölümde; bir fuzzy say dizisinin Cesàro ya-knsakl§ ve λ-yaya-knsakl§ tanmlanm³tr. Cesàro yaknsaklk için Tauberian ³artlar belirlenmi³ ve Cesàro yaknsaklk ile λ-yaknsaklk arasndaki ili³ki incelenmi³tir.
Dördüncü bölümde; istatistiksel yaknsak olan bir fuzzy say dizisinin yaknsak olmas için Tauberian ³artlar belirlendikten sonra bir fuzzy say dizisinin istatistiksel Cesàro yaknsakl§ tanmlanarak bununla ilgili Tauberian ³artlar verilmi³tir.
Tezin son bölümü olan be³inci bölümde; bir fuzzy say dizisinin Cesàro çe-kirde§i tanmlanm³ ve Cesàro çekirdek ile çekirdek arasndaki ili³ki incelenmi³tir. Dönü³üm dizisinin Cesàro çekirde§ini, dizinin çekirde§i içine ta³yan bir matris için ³artlar belirlendi.
ANAHTAR KELMELER : Fuzzy say dizisi, Cesàro yaknsaklk, λ-yaknsaklk, Tauberian ³art, Çekirdek, Knopp çekirdek teoremi, Cesàro çekirdek.
ABSTRACT
Ph.D Thesis
ON THE CESÀRO CONVERGENCE AND CESÀRO CORE OF SEQUENCES OF FUZZY NUMBERS
Özer TALO nönü University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
50 + v pages 2011
Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Celal ÇAKAN
This thesis consists of ve chapters. The rst chapter which is the introduction of the thesis is devoted to the studies related to the topic.
In the second chapter the basic de nitions, concepts and theorems which will be useful in the next chapters have been given.
In the third chapter which is the rst of the original chapters, the de nitions of the Cesàro and λ-convergence of a sequence of fuzzy numbers have been given. Also; the Tauberian conditions for the Cesàro convergence have been determined and the relation between the Cesàro and λ-convergence has been investigated.
In the fourth chapter after the determination of the Tauberian conditions for statistical convergence, the statistical Cesàro convergence of a sequence of fuzzy numbers has been de ned and also the Tauberian conditions for this new concept have been proved.
In the fth chapter which is the nal chapter of the thesis, the Cesàro core of a sequence of fuzzy numbers has been de ned and the relation beetween the Cesàro core and the core has been investigated. Also; the conditions for a matrix to carry the Cesàro core of the transformed sequence into the ordinary core of sequence have been determined.
KEYWORDS : Sequence of fuzzy numbers, Cesàro convergence, λ-convergence, Tauberian condition, core, Knopp core theorem, Cesàro core.
TEEKKÜR
Bu tezin hazrlanmas srasnda de§erli görü³ ve katklaryla beni yönlendiren, hiç bir zaman yakn ilgi ve alakalarn esirgemeyen tez dan³manm de§erli hocam sayn Doç. Dr. Celal ÇAKAN'a;
Benden yardmlarn hiç bir zaman esirgemeyen de§erli hocalarm sayn Prof. Dr. Feyzi BAAR'a, Doç. Dr. Bilal ALTAY'a ve Doç. Dr. smet ÖZDEMR'e;
Çekirdek ile ilgili ksma sa§lad§ de§erli katklardan dolay sayn Doç. Dr. Salih AYTAR'a;
Doktora e§itimim boyunca sa§lad§ maddi destekten dolay TUBTAK'a; Ayrca, doktora e§itimim süresince yardmlarn ve ilgilerini esirgemeyen, sözle-riyle bana cesaret veren yakn arkada³larm Erdinç DÜNDAR'a ve Yurdal SEVER'e;
Her zaman maddi manevi desteklerini hissetti§im aileme te³ekkür ederim. Özer TALO
ÇNDEKLER
ÖZET . . . i ABSTRACT. . . ii TEEKKÜR. . . iii ÇNDEKLER . . . iv SMGELER VE KISALTMALAR. . . v 1. GR . . . 12. TEMEL TANIM VE TEOREMLER . . . 3
2.1. Kompleks Say Dizilerinin Yaknsakl§ ve statistiksel Yaknsakl§ . 3 2.2. Fuzzy Say Dizileri . . . 6
2.3. Bir Fuzzy Say Dizisinin Çekirde§i . . . 16
3. BR FUZZY SAYI DZSNN CESÀRO YAKINSAKLII . . . 20
4. BR FUZZY SAYI DZSNN STATSTKSEL CESÀRO YAKINSAKLII . . . 29
5. BR FUZZY SAYI DZSNN CESÀRO ÇEKRDE. . . 37
KAYNAKLAR . . . 47
SMGELER VE KISALTMALAR
C : Kompleks saylar cümlesi
c(F ) : Yaknsak fuzzy say dizilerinin uzay
c1(F ) : Cesàro yaknsak fuzzy say dizilerinin cümlesi
c(λ, F ) : λ-yaknsak fuzzy say dizilerinin cümlesi C(F ) : Cauchy dizisi olan fuzzy say dizilerinin uzay C1− Lim sup u : u = (un)fuzzy say dizisinin Cesàro üst limiti
C1− Lim inf u : u = (un)fuzzy say dizisinin Cesàro alt limiti
C1−çek{u} : u = (un)fuzzy say dizisinin Cesàro çekirde§i
çek{u} : u = (un)fuzzy say dizisinin çekirde§i
E1 : Fuzzy say uzay
K : Reel saylar cümlesi üzerindeki kapal aralklarn cümlesi `∞(F ) : Snrl fuzzy say dizilerinin uzay
Lim sup u : u = (un)fuzzy say dizisinin üst limiti
Lim inf u : u = (un)fuzzy say dizisinin alt limiti
Lu : u = (un)fuzzy say dizisinin y§lma noktalarnn cümlesi
N : Do§al saylarn cümlesi
PI(N) : N nin, sonsuz elemana sahip, bütün alt cümlelerinin cümlesi
P∆(N) : N nin, tümleyeni sonlu elemana sahip, bütün alt cümlelerinin cümlesi
R : Reel saylarn cümlesi
δ(M ) : M Do§al saylar cümlesinin do§al yo§unlu§u w(F ) : Bütün fuzzy say dizilerinin uzay
1. GR
x = (xk) reel veya kompleks terimli dizisinin Cesàro ortalamas
σn= 1 n + 1 n X k=0 uk
olarak tanmlanr. (σn) dizisi yaknsak ise x = (xk) dizisi Cesàro yaknsaktr
de-nir. Yaknsak olan her x dizisi Cesàro yaknsaktr fakat bunun kar³t her zaman do§ru de§ildir. Tauber [1] "x = (xk) dizisi Cesàro yaknsak ve xk− xk−1 = O(1/k)
ise yaknsaktr" teoremini ispatlam³tr. Bu tür teoremlere Tauberian teorem denir. Teoremdeki,
xk− xk−1 = O(1/k)
³artna da Tauberian ³art denir. Daha sonraki çal³malar bu ³artn zay atlmas üzerine yo§unla³m³tr. Bu ko³ullarn genelle³tirilmesi sürecinde Schmidt [2] yava³ salnmllk kavramn tantm³, Hardy [3] ise Cesàro yaknsak ve yava³ salnml bir dizinin yaknsak oldu§unu göstermi³tir. Son yllarda da Tauberian teoremler üzerindeki çal³malar devam etmi³tir. Móricz [4] daha genel bir Tauberian ³art elde etmi³tir. Fridy ve Khan [5] baz Tauberian teoremlerin istatistiksel geni³lemelerini vermi³tir. Móricz [6] istatistiksel Cesàro yaknsak bir dizinin istatistiksel yaknsak olmas için Tauberian ³artlar elde etmi³tir. Bu tez çal³masnda fuzzy say dizileri için bu çal³malarn sonuçlarna benzer sonuçlar elde edilmi³tir.
lk olarak 1965 ylnda L. A. Zadeh [7] tarafndan yaynlanan makale, belirsizlik kavramnn de§erlendirilmesinde önemli bir nokta olarak kabul edilir. Bu makalede, kesin olmayan snrlara sahip nesnelerin olu³turdu§u fuzzy cümle teorisi ortaya kon-mu³tur. Adi cümlelerde bir eleman için sadece ait olma veya ait olmama durumu varken, fuzzy cümlelerde nesneler cümleye ksmen ait olabilmektedir. Bu aitlik; üye-lik derecesi ile belirlenir. Üyeüye-lik derecesi, de§er cümlesi [0,1] olan üyeüye-lik fonksiyonu ile ölçülür. Üyelikten üye olmamaya, dereceli bir geçi³ vardr. Adi cümlelerde ise üyelik fonksiyonu karakteristik fonksiyondur ve sadece {0, 1} de§erlerini alr. 0 ait olmama, 1 ait olma anlamndadr.
Bir fuzzy says, reel saylarn altcümlesi olan bir fuzzy cümlesidir. Reel say-lar için geçerli olan bir çok cebirsel i³lem fuzzy saysay-larna geni³letilmi³tir. lk osay-larak fuzzy saylarnn bir dizisi Matloka [8] tarafndan tanmlanm³ ve bu dizilerin ya-knsaklk özellikleri incelenmi³tir. Daha sonra Nanda [9] fuzzy saylarnn Cauchy dizisini ve dizi uzaylarn takdim etmi³tir. Sonraki yllarda fuzzy say dizileri için birçok çal³ma yaplm³tr. Talo ve Ba³ar [10] modülüs fonksiyonu yardmyla yeni fuzzy say dizi uzaylarn tanmlad. Ba³arr ve Mursaleen [11] fuzzy saylarnn fark
dizi uzaylarn, Talo ve Ba³ar [12] fuzzy say dizilerinin bvp(F )dizi uzayn tanmlad
ve baz özelliklerini inceledi. Fuzzy say dizilerinin istatistiksel yaknsakl§ Nuray ve Sava³ [13], Kwon [14], Aytar ve Pehlivan [15, 16, 17] tarafndan ara³trld. Sub-rahmanyam [18] bir fuzzy say dizisinin Cesàro yaknsakl§n, Tripathy ve Baruah [19] fuzzy say dizilerinin Nörlund ve Riesz ortalamalarn ve Altn, Mursaleen ve Altnok [20] fuzzy say dizilerinin istatistiksel Cesàro yaknsakl§n inceledi. Sava³ [21] tarafndan bir fuzzy say dizisinin kuvvetli λ-toplanabilirli§i incelendi.
Bu çal³malar incelendi§inde yaknsak olan bir fuzzy say dizisinin ayn za-manda istatistiksel, Cesàro ve kuvvetli λ-yaknsak oldu§u görülür. Bu durumlarn kar³tlarnn hangi ³artlar altnda gerçekle³ece§ine dair Tauberian teoremleri çok az sayda verilmi³tir. Bu çal³mada istatistiksel yaknsak, Cesàro yaknsak ve istatis-tiksel Cesàro yaknsak olan bir fuzyy say dizisinin yaknsak olmasn garantileyen Tauberian ³artlar belirlendi.
Fuzzy saylarnn dizi uzaylar arasndaki matris dönü³ümleri Talo-Ba³ar ta-rafndan [22] ve [23] numaral makalelerde çal³ld. [22] de fuzzy saylarnn bir A = [ank] matrisinin regüler olmas için gerek ve yeter ³artlar belirlendi. Bir fuzzy
say dizisinin istatiksel alt ve üst limitleri Aytar, Mammadov ve Pehlivan [24] ta-rafndan tanmland. Bir fuzzy say dizisinin çekirde§i ise; Aytar, Mammadov ve Pehlivan tarafndan [25] numaral makalede tanmland ve baz özellikleri incelendi. Çekirdek tanm yaplp ve regüler matris ³artlar belirlendikten sonra,"reel say dizi-leri için önemli bir yer tutan Knopp çekirdek teoremi acaba fuzzy say dizidizi-leri için de yaplabilir mi?" sorusu ortaya çkmaktadr. Bu çal³mada Knopp çekirdek teoremi fuzzy say dizilerine geni³letildi.
Bir x = (xk) kompleks terimli dizisinin Cesàro çekirde§ini Alotaibi [26]
ta-nmlad. Bu tez çal³masnda bir fuzzy say dizisinin Cesàro çekirde§i tanmland, ayrca dönü³üm dizisinin Cesàro çekirde§inin esas dizinin çekirde§i içinde kalmas için matrisin ta³mas gereken ³artlar belirlendi.
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
2.1. Kompleks Say Dizilerinin Yaknsakl§ ve statistiksel Yaknsakl§
Bu ksmda kompleks terimli dizilerle ilgilenece§iz.
Tanm 2.1.1. x = (xk) (k = 0, 1, 2, ...)bir kompleks say dizisi olsun. Bu dizinin
Cesàro ortalamas, σn= 1 n + 1 n X k=0 xk
ile tanmlanr. E§er
lim
n σn = L
limiti mevcut ve sonlu ise, o zaman (xk) dizisi L saysna Cesàro yaknsaktr denir.
Bu limit (C, 1) − lim x = L ³eklinde yazlr.
E§er (xk) dizisi yaknsak ise Cesàro yaknsak olaca§ açktr. Fakat bunun
kar-³t her zaman do§ru de§ildir. Yani Cesàro yaknsak bir (xk)dizisi yaknsak
olmayabi-lir. E§er Cesàro yaknsak bir dizi, üzerine konulan bir ilave ³art yardmyla yaknsak yaplabilirse bu ³arta "Tauberian art" denir. Bundan sonraki ksmda kompleks say dizileri için verilmi³ olan Tauberian ³artlar gösteren teoremler verildi.
Tanm 2.1.2. [27, shf. 168] x = (xk)bir kompleks say dizisi ve gk > 0 (k ≥ 0)
olsun. Her bir k için
|xk| ≤ M gk
olacak ³ekilde bir M > 0 says var ise , xk = O(gk)yazlr. E§er
xk
gk
→ 0 (k → ∞) ise, xk = o(gk)yazlr.
Teorem 2.1.1. [1] x = (xk) dizisi Cesàro yaknsak olsun. E§er
xk− xk−1 = O(1/k)
ise, (xk) dizisi yaknsaktr.
Tanm 2.1.3. [2] `n, `n ifadesinin tam ksm; yani `n = [`n] olmak üzere; e§er
lim
`→1+lim supn→∞ n<k≤`maksn|xk− xn| = 0
(2.1.1)
ise, (xk) dizisine "yava³ salnmldr" denir. (2.1.1) e³itli§indeki sa§ limit inf`>1 ile
Açk olarak (2.1.1) ifadesi lim `→1−lim sup n→∞ `maksn≤k<n |xk− xn| = 0 ifadesine denktir.
Teorem 2.1.2. [4, Teorem 1] E§er x = (xk)dizisi bir L saysna (C, 1)
yakn-sak ise, o zaman (xk) dizisinin L saysna yaknsak olmas için gerek ve yeter ³art
a³a§dakilerden birinin sa§lanmasdr:
lim inf `→1+ lim supn→∞ 1 `n− n `n X k=n+1 (xk− xn) = 0, lim inf `→1− lim sup n→∞ 1 n − `n n X k=`n+1 (xn− xk) = 0.
Móricz ve Rhoades [28] tarafndan bu teorem biraz daha geli³tirilerek bir kompleks say dizisinin a§rlkl ortalamas için Tauberian teoremler verildi.
Tanm 2.1.4. [28] (pk) (k = 0, 1, 2, ...) negatif olmayan saylarn bir dizisi ve
p0 > 0 ve Pn = n
X
k=0
pk → ∞ (n → ∞)
olsun. (xk) dizisinin a§rlkl ortalamas,
tn = 1 Pn n X k=0 pkxk (n = 0, 1, 2, ...)
ile tanmlanr. E§er
lim
n tn= L
limiti mevcut ve sonlu ise, o zaman (xk)dizisi a§rlkl ortalama tarafndan L saysna
toplanabilir denir. Ksaca,
(N , p) − lim x = L ³eklinde yazlr.
Teorem 2.1.3. [28, Teorem 1] Negatif olmayan saylarn p = (pk) dizisi her
bir ` > 1 için p0 > 0 ve lim inf n→∞ P[`n] Pn > 1
e³itliklerini sa§lasn ve (xk) bir L saysna (N, p) toplanabilir bir dizi olsun. (xk)
sa§lanmasdr: inf `>1lim supn→∞ 1 P[`n]− Pn [`n] X k=n+1 pk(xk− xn) = 0, inf 0<`<1lim supn→∞ 1 Pn− P[`n] n X k=[`n]+1 (xn− xk) = 0.
Bundan sonraki ksmda bir kompleks say dizisinin istatistiksel yaknsakl§ ile ilgili tanm ve teoremler verildi. Daha sonra bir (xk)dizisinin istatistiksel Cesàro
yaknsakl§ ve ilgili Tauberian teoremler özetlendi. M, N do§al saylar cümlesinin bir altcümlesi ve
Mn= {k ≤ n : k ∈ M }
olsun. M cümlesinin δ(M) do§al yo§unlu§u, δ(M ) = lim
n
1
n + 1|Mn|
ile tanmlanr. Burada; |Mn| ifadesi, Mn cümlesinin eleman saysn göstermektedir.
Tanm 2.1.5. [29] Kompleks saylarn bir x = (xk) dizisini alalm. Her ε > 0
için
δ({k ∈ N : |xk− L| ≥ ε}) = 0
önermesi sa§lanyorsa, x = (xk) dizisi L ∈ C saysna istatistiksel yaknsaktr denir
ve
st − lim
k xk = L
yazlr.
M0 = N \ M alnrsa δ(M0) = 1 − δ(M ) elde edilir. E§er bir p(k) özelli§i δ(M ) = 1 olan bütün k ∈ M'ler için sa§lanyorsa, p(k) "hemen her k için sa§lanr" denir.
Açk olarak sonlu bir cümlenin yo§unlu§u sfrdr. Dolaysyla yaknsak her dizi ayn zamanda istatistiksel yaknsaktr. Fakat istatistiksel yaknsak olan bir dizi yaknsak olmak zorunda de§ildir.
Teorem 2.1.4. [30, Teorem 2] E§er x = (xk) dizisi L saysna istatistiksel
yaknsak ve yava³ salnml ise, o zaman (xk) dizisi L saysna yaknsaktr.
Tanm 2.1.6. [5] E§er st − limnσn = L ise, x = (xk) dizisi L saysna
Teorem 2.1.5. [5, Teorem 2.1] E§er st − limnσn = L ve xk− xk−1 = O(1/k)
ise, o zaman (xk) dizisi yaknsaktr.
Snrl bir (xk)dizisi L saysna istatistiksel yaknsak ise, istatistiksel Cesàro
ya-knsak oldu§u Schoenberg [31] tarafndan gösterildi. Fakat bunun kar³t her zaman do§ru de§ildir.
Teorem 2.1.6. [6, Teorem 2] x = (xk) dizisi bir L saysna istatistiksel (C, 1)
yaknsak olsun. O zaman (xk) dizisinin L saysna istatistiksel yaknsak olmas için
gerek ve yeter ³art her bir ε > 0 için a³a§dakilerden birinin sa§lanmasdr:
inf `>1lim supN →∞ 1 N + 1 ( n ≤ N : 1 `n− n `n X k=n+1 (xk− xn) ≥ ε ) = 0, inf 0<`<1lim supN →∞ 1 N + 1 ( n ≤ N : 1 n − `n n X k=`n+1 (xn− xk) ≥ ε ) = 0.
2.2. Fuzzy Say Dizileri
Bu ksmda önce aralk saylar ve fuzzy saylar ile onlar üzerindeki cebirsel i³lemler ve bu i³lemlerin baz özellikleri verildi. Daha sonra bir fuzzy say dizisi-nin yaknsakl§ ve istatistiksel yaknsakl§ tanmland ve bunlarla ilgili teoremler sraland.
Tanm 2.2.1. [8] Bir aralk ,
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (2.2.1)
ile tanmlanan reel saylarn kapal ve snrl bir alt cümlesidir.
Bir A aral§nn uç noktalar A ve A ile gösterilir. Böylece, A = [A, A] olur. Bir a reel says, [a, a] aral§yla e³ tutulur. R üzerindeki bütün aralklarn cümlesi K ile gösterilir. Aralklar say gibi dü³ününülerek onlar üzerindeki sralama ba§nts ve cebirsel i³lemler ³öyle tanmlanr.
Reel say aralklar arasndaki ksmi sralama ba§nts, A ≤ B ⇔ A ≤ B ve A ≤ B ³eklinde tanmlanr.
A ve B gibi iki aral§n C = A + B toplam, C = A + B ve C = A + B
³eklinde tanmlanr. Ba³ka bir yolla, aralk tanm kullanlarak A≤ a ≤ A ve B ≤ b ≤ B
A + B ≤ a + b ≤ A + B elde edilir. Böylece,
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
olmas sebebiyle iki aral§n toplamnn yine bir aralk oldu§u görülür. Bir A aral§nn -A negati ,
−A = −[A , A] = {−a : a ∈ A} olarak tanmlanr. A ve B aralklarnn B-A fark,
B − A = B + (−A) = {b − a : a ∈ A, b ∈ B}
³eklinde tanmlanr. Daha ksa olarak aralklarn toplam ve fark i³lemleri, [A , A] + [B , B] = [A + B , A + B]
[A , A] − [B , B] = [A − B , A − B] ³eklinde yazlabilir.
Sfr ihtiva etmeyen bir A aral§nn 1/A tersi ise, 1
A = n1
a : a ∈ A o ³eklinde tanmlanr. O zaman,
1 A = h1 A, 1 A i olur. A ve B aralklarnn A · B çarpm, A · B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}
olarak tanmlanr. A · B çarpmnn ba³langç ve bitim noktalar, srasyla, A · B = min{A · B, A · B, A · B, A · B}
ve
A · B =maks{A · B, A · B, A · B, A · B} e³itlikleriyle verilir.
A ve B aralklar arasndaki d(A, B) uzakl§,
d(A, B) =maks(|A − B| , |A − B|) (2.2.2)
³eklinde tanmlanr.
Teorem 2.2.1. [8] (2.2.2) e³itli§inde tanml d dönü³ümü ile (K, d) bir tam metrik uzaydr.
Tanm 2.2.2. [32] A³a§daki ³artlar sa§layan R üzerindeki bir u : R → [0, 1]
fonksiyonuna bir fuzzy says denir:
(1) u, normaldir. Yani en az bir x0 ∈ R için u(x0) = 1'dir.
(2) u, konvekstir. Yani ∀x, y ∈ R ve ∀λ ∈ R için, u(λx + (1 − λ)y) ≥ minu(x), u(y) . (3) u, üstten yar süreklidir.
(4) [u]0 ={x ∈ R : u(x) > 0} kompakt bir cümledir.
Burada A, A cümlesinin kapan³ anlamndadr. Bir u fuzzy saysnn α-seviye cümlesi,
[u]α =
(
{x ∈ R : u(x) ≥ α} , 0 < α ≤ 1 ise {x ∈ R : u(x) > 0} , α = 0ise ³eklinde tanmlanr. Herhangi bir r reel says,
r(t) = (
1 , t = r ise 0 , t 6= r ise ³eklinde tanml bir r fuzzy says gibi dü³ünülür.
R üzerindeki bütün fuzzy saylarnn cümlesi E1ile gösterilir ve fuzzy say uzay olarak isimlendirilir.
Açk olarak u ∈ E1 olmas için gerek ve yeter ³art her bir α ∈ [0, 1] için [u] α
cümlesinin bo³ olmayan, kapal ve snrl bir aralk olmasdr.
Teorem 2.2.2. [33, Teorem 1.1](Fuzzy Saylarnn Temsil Teoremi) u ∈ E1 ve her bir α ∈ [0, 1] için [u]α = [u−(α), u+(α)] olsun. O zaman a³a§daki
³artlar sa§lanr:
(1) u−(α); (0, 1] üzerinde snrl, soldan sürekli ve azalmayan bir fonksiyondur.
(2) u+(α); (0, 1] üzerinde snrl, soldan sürekli ve artmayan bir fonksiyondur.
(3) u−(α) ve u+(α) fonksiyonlar, α = 0 noktasnda sa§dan süreklidir.
(4) u−
Tersine; γ ve β, (1) − (4) ³artlarn sa§layan iki fonksiyon ise, o zaman [u]α = [γ(α), β(α)]
olacak ³ekilde bir tek u ∈ E1 vardr. γ ve β'ya kar³lk gelen u fuzzy says;
u : R → [0, 1], u(x) = sup{α : γ(α) ≤ x ≤ β(α)} olarak tanmlanr.
Bundan sonraki ksmda, fuzzy saylar için baz tanmlar ve onlar üzerindeki cebirsel i³lemler verildi.
Tanm 2.2.3. u, v ∈ E1 olsun. E§er ∀x ∈ R için u(x) = v(x) ise u ile v fuzzy
saylar e³ittir denir ve u = v yazlr. Bu tanm seviye cümleleri yardmyla, u = v ⇔ ∀α ∈ [0, 1] için [u]α = [v]α
³eklinde ifade edilir.
Tanm 2.2.4. [24] E1 üzerindeki ksmi sralama ba§nts; u, v ∈ E1 olmak
üzere,
u v ⇔ ∀α ∈ [0, 1] için [u]α [v]α
⇔ ∀α ∈ [0, 1] için u−(α) ≤ v−(α) ve u+(α) ≤ v+(α) ³eklinde tanmlanr. Kesin küçüklük ba§nts ise
u ≺ v ⇔ u v ve ∃α0 ∈ [0, 1] için u−(α0) < v−(α0) veya u+(α0) < v+(α0)
³eklindedir.
E§er u v ve u v ba§ntlarndan her ikisi de gerçekle³miyorsa, u ve v fuzzy saylar kyaslanamaz denir ve u 6∼ v yazlr.
u, v ∈ E1 olmak üzere, E1 fuzzy say uzaynn kapal bir aral§,
[u, v] = {w ∈ E1 : u w v} ³eklinde tanmlanr.
Tanm 2.2.5. [34] u ∈ E1 olsun. E§er x < 0 olan her x için u(x) = 0 ise u
fuzzy saysna negatif olmayan fuzzy says denir.
Tanm 2.2.6. [35] A ⊂ E1 olsun. E§er her u ∈ A için u M olacak ³ekilde
bir M fuzzy says bulunabiliyorsa, A üstten snrldr denir. E§er A'nn bütün M0
üst snrlar için M M0 oluyorsa, M ye A'nn supremumu denir.
Benzer ³ekilde her u ∈ A için m u olacak ³ekilde bir m fuzzy says buluna-biliyor ise, A alttan snrldr denir. E§er A'nn bütün m0 alt snrlar için m m0
oluyor ise, m saysna A'nn in mumu denir.
A cümlesi hem alttan hem de üstten snrl ise, snrldr denir.
Teorem 2.2.3. [32, Teorem 3.1] A ⊂ E1, bo³ olmayan bir cümle olsun. E§er
A bir üst snra sahip ise, o zaman u = sup A ∈ E1 supremumu mevcut ve a³a§daki
temsile sahiptir: u−(α) = sup a∈A a−(α) , u+(α) = inf r<αsupa∈Aa + (r); α ∈ (0, 1], u−(0) = inf α>0supa∈Aa − (α) , u+(0) = sup a∈A a+(0).
Benzer olarak; e§er A bir alt snra sahip ise, o zaman v = inf A ∈ E1 in mumu
mevcuttur ve a³a§daki temsile sahiptir: v−(α) = sup r<α inf a∈Aa −(r) , v+(α) = inf a∈Aa +(α); α ∈ (0, 1], v−(0) = inf a∈Aa −(0) , v+(0) = sup α>0 inf a∈Aa +(α).
u, v ∈ E1 iki fuzzy says olsun. Bu fuzzy saylarnn
(i) u + v cebirsel toplamlar,
u + v = w ⇔ [w]α= [u]α+ [v]α ⇔ w−(α) = u−(α) + v−(α) ve w+(α) = u+(α) + v+(α), (ii) u − v farklar, u − v = w ⇔ [w]α = [u]α− [v]α ⇔ w−(α) = u−(α) − v+(α) ve w+(α) = u+(α) − v−(α), (iii) u · v çarpmlar, uv = w ⇔ [w]α = [u]α[v]α, her α ∈ [0, 1] için w−(α) = min{u−(α)v−(α), u−(α)v+(α), u+(α)v−(α), u+(α)v+(α)} ve w+(α) = maks{u−(α)v−(α), u−(α)v+(α), u+(α)v−(α), u+(α)v+(α)}
(iv) u saysnn k skalar ile çarpm, [ku]α = k[u]α
³eklinde tanmlanr.
E§er u ∈ E1 ve 0 /∈ {t ∈ R : u(t) > 0} ise, o zaman
1 u − (α) = 1 u+(α) ve 1 u + (α) = 1 u−(α)
biçiminde tanmldr. Yukarda tanml i³lemlere göre fuzzy saylarnn sahip oldu§u baz cebirsel özellikler a³a§da not edilmi³tir.
Teorem 2.2.4. [36, Teorem 1]
(i) Toplama i³lemine göre birim eleman 0 dr.
(ii) Toplama i³lemine göre her u 6= r, r ∈ R fuzzy saylarnn ters eleman yoktur.
(iii) a, b ∈ R ve u ∈ E1 olsun. E§er a, b ≥ 0 veya a, b ≤ 0 ise o zaman
(a + b)u = au + bu
e³itli§i geçerlidir. Herhangi bir a, b ∈ R için bu e³itlik geçerli olmayabilir. (iv) Herhangi bir a ∈ R ve u, v ∈ E1 için
a(u + v) = au + av e³itli§i geçerlidir.
(v) Herhangi bir a, b ∈ R ve u ∈ E1 için
a(bu) = (ab)u e³itli§i geçerlidir.
Teorem 2.2.5. [37, Teorem 2.1] u, v, w ∈ E1 ve k ∈ R olsun. O zaman
(i) uv = vu
(ii) (uv)w = u(vw) (iii) ku = ku
e³itlikleri sa§lanr.
Teorem 2.2.6. [37, Teorem 2.5] u, v, w ∈ E1 olsun. E§er u says 0 ile
kyas-lanabilir ve v, w saylar 0 n ayn tarafnda, yani v 0, w 0 veya v 0, w 0 ise, o zaman
u(v + w) = uv + uw e³itli§i geçerlidir.
E1 üzerindeki ksmi sralama ba§ntsnn baz özellikleri a³a§da not edilmi³tir.
Lemma 2.2.1. [37, Lemma 3.4] u, v, w ∈ E1 olsun.
(i) E§er u v, v w ise, o zaman u w olur. (ii) E§er u ≺ v, v ≺ w ise, o zaman u ≺ w olur.
Teorem 2.2.7. [37, Teorem 4.9] u, v, w, e ∈ E1 olsun.
(i) E§er u w, v e ise, o zaman u + v w + e olur. (ii) E§er u 0 ve v w ise, o zaman uv uw olur.
Lemma 2.2.1'in ve Teorem 2.2.7'nin bir sonucu olarak a³a§daki lemma verile-bilir.
Lemma 2.2.2. u, v, w, e ∈ E1 olsun.
(i) E§er u ≺ w, v e ise, o zaman u + v ≺ w + e olur. (ii) E§er u ≺ v, v w ise, o zaman u ≺ w olur.
Bir fuzzy say dizisinin limitini tanmlamak için öncelikle fuzzy saylar üzerin-deki metri§i tanmlamak gerekir. A³a§da önce bu metrik, daha sonra ise fuzzy say dizilerinin yaknsakl§ ile ilgili tanm ve teoremler verildi.
u, v ∈ E1 ve d, (2.2.2) e³itli§indeki gibi olsun. O zaman u ile v arasndaki
D(u, v)uzakl§, D(u, v) = sup α∈[0,1] d([u]α, [v]α) = sup α∈[0,1] maks{|u− (α) − v−(α)|, |u+(α) − v+(α)|} ³eklinde tanmlanr. D metri§inin tanmndan
D(u, 0) = sup
α∈[0,1]
maks{|u−(α)|, |u+(α)|} =maks{|u−(0)|, |u+(0)|}
oldu§u görülür.
Teorem 2.2.8. [36] u, v, w, z ∈ E1 ve k ∈ R olsun. O zaman,
(i) (E1, D) tam metrik uzaydr,
(ii) D(ku, kv) = |k|D(u, v), (iii) D(u + v, w + v) = D(u, w),
(iv) D(u + v, w + z) ≤ D(u, w) + D(v, z),
(v) |D(u, 0) − D(v, 0)| ≤ D(u, v) ≤ D(u, 0) + D(v, 0).
Tanm 2.2.7. [8] Bir fuzzy say dizisi; tanm cümlesi N do§al saylar cümlesi, yani N = {0, 1, 2, ...} ve de§er cümlesi E1 fuzzy say uzay olan bir fonksiyondur.
Tanm 2.2.8. [22] Fuzzy saylarnn bir A = [ank]sonsuz matrisi, N × N
cüm-lesinden E1 cümlesine tanml bir A fonksiyonu olarak tanmlanan fuzzy saylarnn
bir çift dizisidir. ank fuzzy says, fonksiyonun (n, k) ∈ N × N deki de§erini gösterir
ve matrisin n. satr ve k. sütununda bulunan eleman diye adlandrlr.
Tanm 2.2.9. [8] (un) ⊂ E1 bir fuzzy say dizisi ve v0 ∈ E1 olsun. E§er her
ε > 0 verildi§inde her n > n0 iken D(un, v0) < ε olacak ³ekilde en az bir n0 ∈ N
bulunabiliyor ise, (un)dizisi v0'a yaknsaktr denir ve
lim
n→∞un = v0 veya un→ v0, (n → ∞)
yazlr. Bu tanm sembolik olarak,
limn→∞un= v0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N 3 ∀n ≥ n0 için D(un, v0) < ε
³eklinde ifade edilir.
Yaknsak ve 0'a yaknsak olan fuzzy say dizilerinin cümlesi, srasyla c(F ) ve c0(F ) ile gösterilir.
Tanm 2.2.10. [8] Bir u0 fuzzy saysnn ε yarçapl K(u0, ε) kom³ulu§u,
K(u0, ε) = {u ∈ E1 : D(u, u0) < ε}
cümlesi olarak tanmlanr.
Teorem 2.2.9. [8, Teorem 3.2] u = (un) dizisi yaknsak ise, sadece bir limit
noktas vardr.
Teorem 2.2.10. [8, Teorem 3.3] n ≥ n0 iken un wn vn olacak ³ekilde bir
n0 ∈ N mevcut ve
lim
n un= limn vn= µ0
ise, o zaman limnwn = µ0 elde edilir.
Tanm 2.2.11. [8] u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. E§er {un : n ∈ N}
cümlesi snrl ise, (un) dizisi snrldr denir. Yani, ∀n ∈ N için m un M
e³itsizliklerini sa§layan m ve M fuzzy saylar mevcutsa, (un)dizisi snrldr denir.
Açk olarak bir (un) fuzzy say dizisinin snrll§, supn∈ND(un, 0) < ∞
olma-sna denktir.
Snrl fuzzy say dizilerinin cümlesi `∞(F ) ile gösterilir.
Teorem 2.2.11. [8, Teorem 3.4] Yaknsak bir fuzzy say dizisi snrldr. Tanm 2.2.12. [8] u = (un)bir fuzzy say dizisi ve (nk)da do§al saylarn artan
Teorem 2.2.12. [8, Teorem 3.6] Bir fuzzy say dizisi yaknsak ise her alt dizisi de ayn noktaya yaknsaktr.
Teorem 2.2.13. [8, Teorem 4.1] limnun = a , limnvn = b ve k ∈ R olsun. O
zaman
(1) lim(un+vn) = a+b,
(2) lim(kun) = ka,
(3) lim(un· vn) = a · b,
(4) lim(un/vn) = a/b, (∀n ∈ N için 0 6∈ [vn]0, 0 6∈ [b]0 için).
Tanm 2.2.13. [9] u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. E§er her ε > 0
verildi-§inde her n, m > n0iken D(un, um) < εolacak ³ekilde en az bir n0 ∈ N bulunabiliyor
ise, (un) dizisine bir Cauchy dizisi denir.
Tanm 2.2.14. [38] u = (un)bir fuzzy say dizisi ve her bir n ∈ N için
sn= n
X
k=0
uk
olsun. E§er (sn) bir µ fuzzy saysna yaknsak ise, o zaman fuzzy saylarnn P uk
serisi µ saysna yaknsaktr denir ve P∞
k=0uk = µyazlr. Açk olarak P ∞
k=0ukserisi
µsaysna yaknsak ise, lim n→∞ n X k=0 u−k(α) = µ−(α) ve lim n→∞ n X k=0 u+k(α) = µ+(α), yaknsamalar α ∈ [0, 1] ya göre düzgündür. Tersine;
X
k
u−k(α) = µ−(α) ve X
k
u+k(α) = µ+(α) serileri α ya göre düzgün yaknsak ise, o zaman
[µ]α = [µ−(α), µ+(α)]
bir fuzzy says tanmlar ve µ = P uk olur.
Lemma 2.2.3. [39, Lemma 13] u = (un)bir fuzzy say dizisi olsun. E§er P uk
serisi yaknsak ise, o zaman
∞ X k=0 uk= n X k=0 uk+ ∞ X k=n+1 uk sa§lanr.
lk ksmda bir fuzzy say dizisinin yaknsakl§ D metri§ine göre tanmlanm³t. Fuzzy say dizilerinin yaknsakl§ için ikinci bir tanm ³öyledir:
Tanm 2.2.15. [32] u = (un), E1'de bir dizi ve µ ∈ E1 olsun. E§er bütün α ∈ [0, 1] için lim n→∞u − n(α) = µ − (α) ve lim n→∞u + n(α) = µ + (α)
ise, (un) dizisi µ saysna seviye-yaknsaktr denir ve (l) − limn→∞un = µ yazlr.
D metri§inin tanmna göre; (un)fuzzy say dizisi µ saysna yaknsak ise, o
za-man (u−
n(α))ve (u+n(α))fonksiyon dizileri, srasyla µ−(α)ve µ+(α)fonksiyonlarna
[0, 1] aral§ üzerinde düzgün yaknsaktr. Bunun kar³t da do§rudur.
Bununla birlikte seviye-yaknsaklk, [0, 1] üzerinde düzgün yaknsakl§ gerek-tirmez; bunun sonucu olarak bir fuzzy say dizisinin yaknsak olmas seviye-yaknsak olmasn gerektirirken kar³t geçerli de§ildir. Yani, seviye-yaknsaklk, yaknsakl§ gerektirmez.
Tanm 2.2.16. [13] u = (un) fuzzy saylarnn bir dizisi ve µ0 bir fuzzy says
olsun. Her ε > 0 için,
δ({n ∈ N : D(un, µ0) ≥ ε}) = 0
önermesi sa§lanyorsa, yani hemen her n için D(un, µ0) < εise, (un)dizisi µ0saysna
istatistiksel yaknsaktr denir ve
st − lim
n un= µ0
ile gösterilir.
Açk olarak lim un= µ0 ise {n ∈ N : D(un, µ0) ≥ ε}cümlesi sonlu olaca§ndan,
δ({n ∈ N : D(un, µ0) ≥ ε}) = 0
bulunur ve dolaysyla,
st − lim
n un= µ0
elde edilir. Bunun kar³t genel olarak do§ru de§ildir.
Örnek 2.2.1. : [40] u = (uk) ∈ w(F ) fuzzy says dizisini, t ∈ R için
uk(t) := 0 , t ∈ (−∞, k − 1) ∪ (k + 1, ∞) t − (k − 1) , t ∈ [k − 1, k] −t + (k + 1) , t ∈ (k, k + 1] , k = n2, n ∈ N için µ(t) , di§er hallerde, ve µ(t) := 0 , t ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞), t , t ∈ [0, 1], −t + 2 , t ∈ (1, 2],
olarak tanmlayalm. O zaman, her ε ∈ (0, 1) için
K = {k ∈ N : D(uk, µ) ≥ ε} = {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .} ve δ({K}) = 0
oldu§undan, u = (uk) ∈ w(F ) dizisi µ fuzzy saysna istatistiksel yaknsaktr. Fakat
u = (uk) ∈ w(F ) dizisi µ saysna yaknsak de§ildir.
Tanm 2.2.17. [13] u = (un)fuzzy saylarnn bir dizisi olsun. Her ε > 0 için,
δ({n ∈ N : D(un, um) ≥ ε}) = 0
olacak ³ekilde bir m ∈ N says varsa, yani hemen her n için D(un, um) < ε
ise, (un) dizisine istatistiksel Cauchy dizisi denir.
Teorem 2.2.14. [13, Teorem 2.2] u = (un) bir fuzzy say dizisi, v = (vn)
yaknsak bir fuzzy say dizisi ve
δ{n ∈ N : un 6= vn} = 0
yani, hemen her n için un= vn olsun. O zaman (un) istatistiksel yaknsaktr.
Teorem 2.2.15. [14, Teorem 3.3] u = (uk) ∈ w(F ) fuzzy saylarnn bir
ista-tistiksel Cauchy dizisi ise o zaman
δ ({k ∈ N : uk 6= vk}) = 0
olacak ³ekilde yaknsak bir v = (vk) dizisi mevcuttur.
Teorem 2.2.16. [14, Teorem 3.4] u = (uk) fuzzy saylarnn bir dizisi olsun.
E§er,
st − lim
n un = µ0 ve D(uk, uk−1) = O(1/k)
ise, o zaman limnun= µ0 olur.
2.3. Bir Fuzzy Say Dizisinin Çekirde§i
Bu ksmda [25]'de tanmlanan snrl bir fuzzy say dizisinin alt ve üst limit tanmlar ile çekirde§i verildi.
Fuzzy say dizileri için alt ve üst limit tanmlar iki farkl yoldan yaplmaktadr. Bu iki tanm reel say dizilerinde birbirine e³it olmasna ra§men fuzzy say dizileri için birbirinden farkl olabilmektedir.
Tanm 2.3.1. [25] u = (uk) ∈ `∞(F ) dizisinin alt ve üst limit de§erleri,
lim inf
k→∞ xk = limn→∞k≥ninf xk ve lim supk→∞ xk = limn→∞supk≥nxk
biçiminde tanmlanr.
Bu tanmlarda {infk≥nxk}ve {supk≥nxk}dizilerinin yaknsak olduklar
varsa-ylmaktadr. Snrl bir fuzzy say dizisinin alt ve üst limit de§erleri mevcut olmaya-bilir. A³a§da snrl bir fuzzy say dizisinin alt ve üst limit de§erlerinin sahip oldu§u baz özellikler not edilmi³tir.
Lemma 2.3.1. [25, Lemma 1] u = (uk) ve v = (vk) fuzzy saylarnn yaknsak
dizileri olsunlar. E§er her k > k0 için uk vk olacak ³ekilde bir k0 ∈ N var ise, o
zaman lim uk lim vk olur.
Teorem 2.3.1. [25, Teorem 3] u = (uk), v = (vk) ∈ `∞(F ) olsun ve her
k > k0 için uk vk olacak ³ekilde bir k0 ∈ N bulunsun. E§er lim inf uk, lim sup uk,
lim inf vk ve lim sup vk mevcut ise, o zaman
lim inf uk lim inf vk ve lim sup uk lim sup vk
sa§lanr.
Lemma 2.3.2. [25, Lemma 1] u = (uk) ∈ `∞(F ), ν = lim inf uk ve µ =
lim sup uk mevcut olsun. O zaman, her ε > 0 için
M1(ε) = {k ∈ N : uk ≺ ν − ε} ve M2(ε) = {k ∈ N : uk µ + ε}
cümleleri sonludur.
Bir fuzzy say dizisinin alt ve üst limit de§erleri için alternatif bir tanm Aytar, Mammadov ve Pehlivan [25] tarafndan verildi. Bir u = (uk) ∈ w(F ) dizisi için
a³a§daki cümleler tanmlansn.
Au =µ ∈ E1 : {k ∈ N : uk≺ µ} ∈ PI(N) ,
Au =µ ∈ E1 : {k ∈ N : uk µ} ∈ P∆(N) ,
Bu =µ ∈ E1 : {k ∈ N : uk µ} ∈ PI(N) ,
Bu =µ ∈ E1 : {k ∈ N : uk ≺ µ} ∈ P∆(N) .
Burada
PI(N) = {A ∈ P (N) : A, eleman says sonsuz olan bir cümledir} ,
³eklinde tanmldr.
Tanm 2.3.2. [25] u = (uk) ∈ `∞(F ) dizisi için Lim inf ve Lim sup
notasyon-lar,
Lim inf uk= inf Au = sup Au
Lim sup uk = sup Bu = inf Bu
biçiminde tanmlanr.
Bir fuzzy say dizisinin Lim inf u, Lim sup u de§erleri a³a§daki özelliklere sa-hiptir.
Teorem 2.3.2. [41, shf.35] u = (uk) fuzzy saylarnn snrl bir dizisi olsun.
E§er ν = Lim inf uk ise, o zaman her ε > 0 için
M1(ε) = {k ∈ N : uk≺ ν − ε}
cümlesi sonlu ve
{k ∈ N : uk≺ ν + ε} ∪ {k ∈ N : uk 6∼ ν + ε} ∈ PI
olur.
Teorem 2.3.3. [41, shf.35] u = (uk) fuzzy saylarnn snrl bir dizisi olsun.
E§er µ = Lim sup uk ise, o zaman her ε > 0 için
M2(ε) = {k ∈ N : uk µ + ε}
cümlesi sonlu ve
{k ∈ N : uk µ − ε} ∪ {k ∈ N : uk 6∼ µ − ε} ∈ PI
olur.
Teorem 2.3.4. [41, shf.35] u = (uk) fuzzy saylarnn bir dizisi olsun. E§er
limkuk = µ0 ise, o zaman Lim sup uk = Lim inf uk= µ0 olur.
Lemma 2.3.3. [42, Lemma 3.1] u = (uk) fuzzy saylarnn snrl bir dizisi
olsun.
(a) E§er lim inf uk mevcut ise, o zaman lim inf uk = Lim inf uk olur.
(b) E§er lim sup uk mevcut ise, o zaman lim sup uk= Lim sup uk olur.
Tanm 2.3.3. [25] u = (uk) fuzzy saylarnn snrl bir dizisi olsun. Bu
du-rumda, Rn; un, un+1, un+2, ...terimlerini ihtiva eden E1 in en küçük konveks ve kapal
aral§ olmak üzere, u dizisinin çekirde§i, çek{u} =
∞
\
n=1
³eklinde tanmlanr. Rn lerin tanmndan,
R1 ⊇ R2 ⊇ R3 ⊇ ...
oldu§u açktr.
Teorem 2.3.5. [42, Teorem 3.3] u = (uk) fuzzy saylarnn snrl bir dizisi
olsun. O zaman
çek{u} = [Lim inf uk, Lim sup uk]
dir.
Tanm 2.3.4. [25] u = (un) fuzzy say dizisinin µ0 fuzzy saysna yaknsayan
bir alt dizisi var ise, µ0 saysna (un) dizisinin limit noktas denir.
(un) dizisinin tüm limit noktalarnn cümlesi Lu ile gösterilir.
Fuzzy say dizilerinin alt ve üst limit de§erlerinin baz özellikleri a³a§da not edildi.
(1) (uk) ∈ `∞(F ) dizisi için, Lim inf uk = Lim sup uk iken lim uk mevcut
olma-yabilir.
(2) Her snrl fuzzy say dizisi için Lim inf uk ve Lim sup uk mevcuttur. Fakat
lim inf uk ve lim sup uk mevcut olmayabilir.
(3) (uk) ∈ `∞(F ) için Lim inf uk ve Lim sup uk de§erlerine yaknsak herhangi
bir alt dizi olmayabilir.
(4) Snrl bir (uk) dizisinin limit noktalarnn cümlesi Lu, bo³ olabilir.
Yukarda belirtildi§i üzere snrl bir fuzzy say dizisinin y§lma noktalarnn cümlesi bo³ olabilir. Yani snrl bir fuzzy say dizisi yaknsak bir alt diziye sahip olmayabilir. A³a§daki tanm ve teorem, hangi ³art altnda snrl bir fuzzy say dizisinin yaknsak bir alt diziye sahip olaca§n göstermektedir.
Tanm 2.3.5. [43] [0, 1] üzerinde tanml fonksiyonlarn bir ailesi (ft)t∈T olsun.
E§er her ε > 0, α0
∈ (α − δ, α] olan her α0, α ∈ (0, 1] ve her t ∈ T için |ft(α
0
) − ft(α)| < ε
olacak ³ekilde δ = δ(ε) mevcut ise, (ft)t∈T ailesi, (0, 1] üzerinde sol e³ süreklidir
denir.
Teorem 2.3.6. [43, Teorem 2.2] u = (un) fuzzy saylarnn bir dizisi olsun.
E§er {u−
n(α)} ve {u+n(α)} fonksiyon dizileri [0, 1] üzerinde noktasal snrl ve (0, 1]
üzerinde sol e³ sürekli iseler, o zaman u = (uk) dizisi yaknsak bir (unk) alt dizisine
3. BR FUZZY SAYI DZSNN CESÀRO YAKINSAKLII
Tezimizin orjinal bölümlerinden ilki olan bu bölümünde ilk olarak bir fuzzy say dizisinin Cesàro yaknsakl§ ile ilgili baz sonuçlar verildi. Daha sonra ise bir fuzzy say dizisinin λ-yaknsakl§ tanmland ve λ-yaknsak fuzzy say dizilerinin cümlesi ile Cesàro yaknsak dizilerin cümlesi kar³la³trld.
Tanm 3.1.1. [18] u = (uk) ∈ w(F ) olsun. σn= 1 n + 1 n X k=0 uk (3.1.1)
ile tanmlanan σ = (σn)dizisine (uk)dizisinin Cesàro ortalamas denir. Her α ∈ [0, 1]
için σ− n(α) ve σn+(α)de§erleri, σn−(α) = 1 n + 1 n X k=0 u−k(α), σ+n(α) = 1 n + 1 n X k=0 u+k(α) ³eklinde tanmlanr.
Tanm 3.1.2. [18] E§er limnσn = µ0 olacak ³ekilde bir µ0 ∈ E1 mevcut ise,
(uk) dizisi µ0 fuzzy saysna "Cesàro yaknsaktr" denir ve
C1− lim un = µ0
³eklinde yazlr. Cesàro yaknsak bütün fuzzy say dizilerinin cümlesi c1(F ) ile
gös-terilir.
Ksalk olmas bakmndan "Cesàro yaknsak" ifadesi yerine "(C,1) yaknsak" ifadesi kullanlr.
Teorem 3.1.1. Yaknsak her fuzzy say dizisi ayn zamanda Cesàro yaknsak-tr.
spat. u = (uk) ∈ c(F )olsun. O zaman limkD(uk, v0) = 0olacak ³ekilde bir v0 ∈ E1
mevcuttur. D(σn, v0) = D 1 n + 1 n X k=0 uk, v0 ! ≤ 1 n + 1 n X k=0 D(uk, v0)
elde edilir. limkD(uk, v0) = 0 oldu§undan
lim n 1 n + 1 n X k=0 D(uk, v0) = 0 ve dolaysyla, lim n D(σn, v0) = 0 elde edilir.
Bu teoremin kar³t her zaman do§ru olmayabilir. Yani bir fuzzy say dizisi Cesàro yaknsak iken, yaknsak olmayabilir.
Örnek 3.1.1. u0(t) = ( 1 − t , t ∈ [0, 1] 0 , (di§er hallerde) ve v0(t) = ( 1 + t , t ∈ [−1, 0] 0 , (di§er hallerde)
olmak üzere u = (un) = (u0, v0, u0, v0, ...) dizisini tanmlayalm. Bu dizinin Cesàro
ortalamas olan σn dizisini göz önüne alrsak,
[σ2n]α = n 2n + 1(α − 1), n + 1 2n + 1(1 − α) ve [σ2n−1]α = 1 2(α − 1), 1 2(1 − α)
olur. w0 = (u0+ v0)/2 olarak tanmlarsak,
D(σ2n, w0) =
1
2(2n + 1) ve D(σ2n−1, w0) = 0
bulunur. Dolaysyla limnD(σn, w0) = 0olur. Yani u = (un)dizisi w0 saysna Cesàro
yaknsaktr. Bununla birlikte u = (un)dizisi yaknsak de§ildir.
A³a§da Cesàro yaknsak bir fuzzy say dizisinin hangi ³artlar altnda yaknsak olaca§n gösteren teoremler verildi. Bunun için önce gerekli baz lemmalar ispat-land.
Lemma 3.1.1. u = (un) fuzzy say dizisi bir µ0 fuzzy saysna (C, 1) yaknsak
olsun. O zaman her bir ` > 1 için
lim n→∞ 1 `n− n `n X k=n+1 uk= µ0
ve her bir 0 < ` < 1 için
lim n→∞ 1 n − `n n X k=`n+1 uk = µ0
spat. limnσn = µ0 olsun. O zaman D metri§inin Teorem 2.2.8'deki özellikleri
kul-lanlarak, her ` > 1 ve yeterince büyük n ler için, yani `n> n oldu§u zaman
D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, µ0 ! = D 1 `n− n `n X k=n+1 uk+ σn, µ0+ σn ! ≤ D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, σn ! + D(σn, µ0)
elde edilir. Buradan da
D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, σn ! = D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, 1 n + 1 n X k=0 uk ! = D 1 `n− n `n X k=n+1 uk+ 1 `n− n n X k=0 uk, 1 n + 1 n X k=0 uk+ 1 `n− n n X k=0 uk ! = D 1 `n− n `n X k=0 uk, `n+ 1 `n− n 1 n + 1 n X k=0 uk ! = D `n+ 1 `n− n 1 `n+ 1 `n X k=0 uk, `n+ 1 `n− n 1 n + 1 n X k=0 uk ! = `n+ 1 `n− n D 1 `n+ 1 `n X k=0 uk, 1 n + 1 n X k=0 uk ! = `n+ 1 `n− n D (σ`n, σn)
oldu§u görülür. Ayrca yeterince büyük n ler için ` ` − 1 = `n `n − n < `n+ 1 `n− n < `n + 1 `n − n − 1 ≤ 2` ` − 1 oldu§undan, D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, µ0 ! ≤ 2` ` − 1D (σ`n, σn) + D(σn, µ0)
elde edilir. Bu e³itsizlikte n → ∞ için limit alnrsa, istenilen elde edilir.
imdi de 0 < ` < 1 olsun. Bu durumda; yukardaki admlara benzer ³ekilde yeterince büyük n ler için, yani `n< n oldu§u zaman,
D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, µ0 ! ≤ `n+ 1 n − `n D (σ`n, σn) + D(σn, µ0)
e³itsizli§i elde edilir. Ayrca yeterince büyük n ler için `n+ 1
n − `n
≤ 2` 1 − `
oldu§undan D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, µ0 ! ≤ 2` 1 − `D (σ`n, σn) + D(σn, µ0)
sa§lanr. Bu e³itsizlikte n → ∞ için limit alnrsa, istenilen elde edilir. Teorem 3.1.2. u = (un)fuzzy say dizisi bir µ0 fuzzy saysna (C, 1) yaknsak
olsun. O zaman; u = (un) dizisinin µ0 fuzzy saysna yaknsak olmas için gerek ve
yeter ³art a³a§dakilerden birinin sa§lanmasdr:
inf `>1lim supn→∞ D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! = 0, (3.1.2) inf 0<`<1lim supn→∞ D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! = 0. (3.1.3)
Burada `n çarpmnn tam ksm `n ile gösterilmektedir; yani `n = [`n] dir.
spat. limnσn = µ0 ve limnun= µ0 olsun. Bu durumda her bir ` > 1 için
D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! = D 1 `n− n `n X k=n+1 uk+ µ0, un+ µ0 ! (3.1.4) ≤ D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, µ0 ! + D (un, µ0)
elde edilir. Ayn ³ekilde herhangi bir 0 < ` < 1 için
D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! = D 1 n − `n n X k=`n+1 uk+ µ0, un+ µ0 ! (3.1.5) ≤ D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, µ0 ! + D (un, µ0)
elde edilir. (3.1.4) ve (3.1.5) e³itsizliklerinde Lemma 3.1.1 göz önünde bulundurularak lim supn alnrsa, her bir ` > 1 için
lim sup n D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! = 0 ve 0 < ` < 1 için lim sup n→∞ D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! = 0 elde edilir. Dolaysyla (3.1.2) ve (3.1.3) e³itlikleri sa§lanr.
imdi; u = (un)fuzzy say dizisi bir µ0 fuzzy saysna (C, 1) yaknsak olsun ve
(3.1.2) e³itli§i sa§lansn. Bu durumda; herhangi bir ε > 0 için,
lim sup n→∞ D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! < ε (3.1.6)
olacak ³ekilde bir ` > 1 mevcuttur. Di§er taraftan;
D(un, µ0) = D un+ 1 `n− n `n X k=n+1 uk, 1 `n− n `n X k=n+1 uk+ µ0 ! ≤ D un, 1 `n− n `n X k=n+1 uk ! + D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, µ0 !
elde edilir. Burada lim supn alnrsa, (3.1.6) e³itsizli§i ve Lemma 3.1.1 kullanlrsa
lim sup
n
D(un, µ0) ≤ ε
elde edilir.
Benzer ³ekilde; u = (un) fuzzy say dizisi bir µ0 fuzzy saysna (C, 1) yaknsak
olsun ve (3.1.3) e³itli§i sa§lansn. Bu durumda; herhangi bir ε > 0 için,
lim sup n→∞ D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! ≤ ε (3.1.7)
olacak ³ekilde 0 < ` < 1 mevcuttur. Di§er taraftan;
D(un, µ0) = D un+ 1 n − `n n X k=`n+1 uk, µ0+ 1 n − `n n X k=`n+1 uk ! ≤ D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! + D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, µ0 !
elde edilir. Burada lim supn alnrsa, (3.1.7) e³itsizli§i ve Lemma 3.1.1 kullanlrsa,
lim sup
n
D(un, µ0) ≤ ε
elde edilir. ε key oldu§undan lim
n D(un, µ0) = 0
elde edilir.
Tanm 3.1.3. [20] u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. E§er
inf
`>1lim supn→∞ n<k≤`maksn
D(uk, un) = 0
Açk olarak u = (un) dizisinin yava³ salnml olmas için gerek ve yeter ³art her
ε > 0 için, n0 ≤ n < k ≤ `n iken D(uk, un) ≤ ε olacak ³ekilde bir n0 ∈ N ve ` > 1
bulunmasdr.
Lemma 3.1.2. u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. E§er
D(un, un−1) = O(1/n)
ise, o zaman u = (un) dizisi yava³ salnmldr.
spat. D(un, un−1) = O(1/n) olsun. Bu durumda her bir n ∈ N için
nD(un, un−1) ≤ B
olacak ³ekilde B > 0 says mevcuttur. Herhangi bir ε > 0 verildi§inde, n0 ≤ n < k ≤ `n olan n ve k'lar için
D(uk, un) ≤ k X j=n+1 D(uj, uj−1) ≤ k X j=n+1 B j ≤ B k − n n = B k n − 1 ≤ B(` − 1) elde edilir. Bu e³itsizlikte
1 < ` ≤ 1 + ε/B seçilirse,
D(uk, un) ≤ ε
olur. O halde (un) yava³ salnmldr.
Yaknsak her fuzzy say dizisi Cauchy dizisi olaca§ndan, yava³ salnmldr. Fakat bunun kar³t her zaman do§ru olmayabilir.
Örnek 3.1.2. un = Pn k=0vk vk(t) = ( 1 − (k + 1)t , (0 ≤ t ≤ k+11 ), 0 , (di§er durumlarda),
olarak tanml u = (un) fuzzy say dizisini göz önüne alalm. ε > 0 verildi§inde,
n0 ≤ n < k ≤ `n olan n ve k lar için
D(uk, un) = D k X j=0 vk, n X j=0 vk ! ≤ k X j=n+1 D(vj, 0) = k X j=n+1 1 j + 1 ≤ (k n − 1) ≤ (` − 1)
elde edilir. Bu e³itsizlikte 1 < ` ≤ 1 + ε seçilirse, bu durumda D(uk, un) < εolur. O
halde (un) yava³ salnmldr. Di§er taraftan,
vk+(α) = (1 − α)/(k + 1) e³itli§i yerine yazlrsa,
lim n u + n(α) = X k v+k(α) =X k (1 − α)/(k + 1) serisi her bir α ∈ [0, 1) için raksak oldu§undan, (un) raksaktr.
Lemma 3.1.3. u = (un) fuzzy say dizisi yava³ salnml ise, o zaman (3.1.2)
e³itli§i sa§lanr.
spat. Herhangi bir u = (un) fuzzy say dizisi için
D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! = D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, 1 `n− n `n X k=n+1 un ! ≤ 1 `n− n `n X k=n+1 D(uk, un) ≤ maks n<k≤`n D(uk, un)
oldu§undan, istenilen sonuç elde edilir.
Lemma 3.1.2 ve Lemma 3.1.3'ten a³a§daki sonuçlar elde edilir.
Sonuç 3.1.1. u = (un) fuzzy say dizisi bir µ0 fuzzy saysna (C, 1) yaknsak
olsun. E§er,
D(un, un−1) = O(1/n)
Sonuç 3.1.2. u = (un) fuzzy say dizisi bir µ0 fuzzy saysna (C, 1) yaknsak
olsun. E§er u = (un) dizisi yava³ salnml ise, o zaman µ0 saysna yaknsaktr.
Bundan sonraki ksmda bir fuzzy say dizisi için Cesàro yaknsakl§n daha geneli olan λ-yaknsaklk tanmland. Daha sonra ise, λ-yaknsak olan fuzzy say dizilerinin cümlesi ile Cesàro yaknsak fuzzy say dizilerinin cümlesi arasndaki kap-sama ba§nts incelendi.
Tanm 3.1.4. [21] (λn)pozitif tam saylarn azalmayan,
lim
n→∞λn= ∞, λ0 = 1 ve λn+1 ≤ λn+ 1
³artlarn sa§layan bir dizisi ve (un), bir fuzzy say dizisi olsun.
In= [n − λn+ 1, n]
olmak üzere, e§er
lim n 1 λn X k∈In uk = µ0
ise, o zaman (un)fuzzy says µ0 saysna λ-yaknsaktr denir. λ-yaknsak fuzzy say
dizilerinin cümlesi c(λ, F ) ile gösterilir.
Dikkat edilirse; (λn) dizisi özel olarak λn = n + 1 seçildi§inde, λ-yaknsaklk
Cesàro yaknsakl§a indirgenir. Teorem 3.1.3. E§er lim n n + 1 λn = 1 (3.1.8)
ise, o zaman c1(F ) ⊆ c(λ, F )kapsamas geçerlidir.
spat. u = (un) ∈ c1(F ) ve (3.1.8) e³itli§i sa§lansn. λn = n + 1 için ispat açktr.
λn6= n + 1 olsun. Bu durumda, lim n 1 n + 1 n X k=0 uk = µ0 (3.1.9)
olacak ³ekilde µ0 fuzzy says mevcuttur. Yani herhangi bir ε > 0 için, ∀n ≥ n0
oldu§unda, D 1 n + 1 n X k=0 uk, µ0 ! < ε
sa§lanacak ³ekilde bir n0 ∈ N vardr. Buradan; yeterince büyük n ler için (3.1.8) e³itli§i sa§land§ndan, D 1 λn X k∈In uk, µ0 ! = D 1 λn X k∈In uk+ 1 λn n−λn X k=0 uk, µ0+ 1 λn n−λn X k=0 uk ! = D 1 λn n X k=0 uk, µ0+ 1 λn n−λn X k=0 uk ! = D 1 λn n X k=0 uk+ n − λn+ 1 λn µ0, n − λn+ 1 λn µ0+ µ0+ 1 λn n−λn X k=0 uk ! ≤ D 1 λn n X k=0 uk, n + 1 λn µ0 ! + D 1 λn n−λn X k=0 uk, n − λn+ 1 λn µ0 ! = n + 1 λn D 1 n + 1 n X k=0 uk, µ0 ! +n − λn+ 1 λn D 1 n − λn+ 1 n−λn X k=0 uk, µ0 ! = n + 1 λn D 1 n + 1 n X k=0 uk, µ0 ! + n + 1 λn − 1 D 1 n − λn+ 1 n−λn X k=0 uk, µ0 ! < ε elde edilir. Bu ise,
lim n 1 λn X k∈In uk = µ0
4. BR FUZZY SAYI DZSNN STATSTKSEL
CESÀRO YAKINSAKLII
Bir fuzzy say dizisi yaknsak ise, istatistiksel yaknsak oldu§u, bununla bir-likte kar³tnn do§ru olmad§ ikinci bölümde belirtildi. Bu bölümde hangi ³artlar altnda istatistiksel yaknsak olan bir fuzzy say dizisinin yaknsak olaca§n gösteren teoremler verildi.
Teorem 4.1.1. u = (un) bir fuzzy say dizisi ve st − limnun= µ0 olsun. E§er
u = (un) yava³ salnml ise, o zaman lim un= µ0 olur.
Benzer bir sonuç Altn, Mursaleen ve Altnok [20, Teorem 3.8] tarafndan ³öyle ifade edildi: "u = (un)fuzzy say dizisi bir µ0 saysna istatistiksel (C,1) yaknsak ve
yava³ salnml ise, (un) dizisi µ0 saysna yaknsaktr." ispatlar çok benzer
oldu§un-dan burada ispat verilmedi.
Sonuç 4.1.1. u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. st − limnun = µ0 ve
D(un, un−1) = O(1/n) ise, o zaman lim un = µ0 olur.
spat. st−limnun = µ0 ve D(un, un−1) = O(1/n)olsun. Bu durumda; Lemma 3.1.2
gere§i (un)yava³ salnmldr. Teorem 4.1.1 gere§i lim un= µ0 elde edilir.
Tanm 4.1.1. [20] u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. E§er
st − lim
n σn= µ0
ise, (un) dizisi µ0 fuzzy saysna istatistiksel Cesàro yaknsaktr denir. Ksaca
"ista-tistiksel (C,1) yaknsak" yazlr.
Teorem 4.1.2. Snrl u = (un) fuzzy say dizisi µ0 fuzzy saysna istatistiksel
yaknsak ise, istatistiksel Cesàro yaknsaktr.
spat. u = (un) snrl ve st − limnun = µ0 olsun. O zaman st − limnD(un, µ0) = 0
olur. Yani {D(un, µ0)} ∞
n=0 reel say dizisi snrl ve sfra istatistiksel yaknsaktr.
Dolaysyla; bu dizinin Cesàro ortalamas olan ( (n + 1)−1 n X k=0 D(uk, v0) )∞ n=0
dizisi de sfra istatistiksel yaknsaktr. D(σn, v0) = D 1 n + 1 n X k=0 uk, v0 ! ≤ 1 n + 1 n X k=0 D(uk, v0)
Reel saylar cümlesi, fuzzy saylar cümlesinin içine gömülebildi§inden, reel say di-zileri için sa§lanmayan önermeler fuzzy say didi-zileri için de sa§lanmaz. statistiksel Cesàro yaknsak bir reel say dizisi her zaman istatistiksel yaknsak olmayaca§ndan; istatistiksel Cesàro yaknsak bir fuzzy say dizisi de her zaman istatistiksel yaknsak olmaz. A³a§da istatistiksel Cesàro yaknsak bir fuzzy say dizisisinin yaknsak ve istatistiksel yaknsak olmasn sa§layan Tauberian ³artlar verildi. Bunun için, baz lemmalara ihtiyaç duyuldu.
Altn, Mursaleen ve Altnok [20] tarafndan D(∆uk, 0) = O(1/n)³artnn fuzzy
say dizilerinin istatiksel Cesàro yaknsakl§ için bir Tauberian ³art oldu§u gösterildi. Burada; ayn yaknsaklk için farkl bir ³art verildi.
Lemma 4.1.1. u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. D(un, un−1) = O(1/n) ise,
o zaman D(σn, σn−1) = O(1/(n + 1)) olur.
spat. D(un, un−1) = O(1/n) olsun. Bu durumda;
(n + 1)D(σn, σn−1) = (n + 1)D 1 n + 1 n X k=0 uk, 1 n n−1 X k=0 uk ! = 1 nD n n X k=0 uk, (n + 1) n−1 X k=0 uk ! = 1 nD nun, n−1 X k=0 uk ! = 1 nD n−1 X k=0 un, n−1 X k=0 uk ! ≤ 1 n n−1 X k=0 D (un, uk) ≤ 1 n n−1 X k=0 n X j=k+1 D (uj, uj−1) ≤ 1 n n X j=1 jD (uj, uj−1) ≤ 1 n n X j=1 O(1) = O(1)
elde edilir. Bu ise, D(σn, σn−1) = O(1/(n + 1)) olmas demektir.
Açk olarak, D(σn, σn−1) = O(1/(n + 1)) ise, D(σn, σn−1) = O(1/n) olur. Bu
sebeple a³a§daki teorem verilebilir.
Teorem 4.1.3. u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. E§er st − limnσn= µ0 ve
spat. st − limnσn= µ0 ve D(un, un−1) = O(1/n) olsun. Lemma 4.1.1 gere§i,
D(σn, σn−1) = O(1/n)
olur. Dolaysyla Sonuç 4.1.1 gere§i, limnσn = µ0 olur. (un) dizisinin Cesàro
orta-lamas yaknsak ve D(un, un−1) = O(1/n) oldu§undan, Sonuç 3.1.1 gere§ince, (un)
dizisi µ0 saysna yaknsaktr.
Lemma 4.1.2. st − limnσn = µ0 ise, her bir ` > 0 için st − limnσ`n = µ0 olur.
spat. ` > 1 olsun. Her ε > 0 için,
{n ≤ N : D(σ`n, µ0) ≥ ε} ⊆ {n ≤ `N : D(σn, µ0) ≥ ε} olur. Böylece, 1 N + 1|{n ≤ N : D(σ`n, µ0) ≥ ε}| ≤ ` `N + 1 |{n ≤ `N : D(σn, µ0) ≥ ε}|
elde edilir. Burada N → ∞ için limit alnrsa, st − limnσn = µ0 oldu§undan, st −
limnσ`n = µ0 elde edilir.
0 < ` < 1 olsun. {σ`n : n = 0, 1, 2, ...} dizisinde σm terimi en fazla 1 + `
−1 defa
meydana gelir. Gerçekten de e§er baz k ve t tamsaylar için, m = `k = `k+1 = ... = `k+t−1< `k+t
veya denk olarak
m ≤ `k < `(k + 1) < ... < `(k + t − 1) < m + 1 ≤ `(k + t) oluyor ise, o zaman
m + `(t − 1) ≤ `(k + t − 1) < m + 1
olur. Böylece `(t − 1) < 1 olur, yani t < 1 + `−1 bulunur. Sonuç olarak,
1 N + 1|{n ≤ N : D(σ`n, µ0) ≥ ε}| ≤ 1 + 1 ` `N + 1 N + 1 1 `N + 1 |{n ≤ `N : D(σn, µ0) ≥ ε}|
yeterince büyük N ler için (`N + 1)/(N + 1) ≤ 2` olaca§ndan,
1
N + 1|{n ≤ N : D(σ`n, µ0) ≥ ε}| ≤
2(` + 1) `N + 1
|{n ≤ `N : D(σn, µ0) ≥ ε}|
olur. Burada N → ∞ için limit alnrsa, st−limnσn = µ0oldu§undan, st−limnσ`n =
µ0 elde edilir.
Lemma 4.1.3. st − limnσn = µ0 ise, o zaman her bir ` > 1 için
st − lim n 1 `n− n `n X k=n+1 uk= µ0
ve her bir 0 < ` < 1 için st − lim n 1 n − `n n X k=`n+1 uk = µ0 olur.
spat. Lemma 3.1.1 ispatndan ` > 1 için
D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, µ0 ! ≤ 2` ` − 1D (σ`n, σn) + D(σn, µ0) ve 0 < ` < 1 için D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, µ0 ! ≤ 2` 1 − `D (σ`n, σn) + D(σn, µ0)
e³itsizliklerine sahip oluruz. Burada Lemma 4.1.2 kullanlrsa sonuca ula³lr. Teorem 4.1.4. u = (un) fuzzy say dizisi bir µ0 fuzzy saysna istatistiksel
(C, 1) yaknsak olsun. O zaman u = (un) dizisinin µ0 fuzzy saysna istatistiksel
yaknsak olmas için gerek ve yeter ³art her bir ε > 0 için a³a§dakilerden birinin sa§lanmasdr: inf `>1lim supN →∞ 1 N + 1 ( n ≤ N : D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! ≥ ε ) = 0, (4.1.1) inf 0<`<1lim supN →∞ 1 N + 1 ( n ≤ N : D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! ≥ ε ) = 0. (4.1.2)
spat. st − limnσn= µ0 ve st − limnun = µ0 olsun. Herhangi bir ` > 1 için
D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! = D 1 `n− n `n X k=n+1 uk+ µ0, un+ µ0 ! ≤ D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, µ0 ! + D(un, µ0)
e³itsizli§i elde edilir. Lemma 4.1.3 gere§i,
st − lim n D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! = 0 bulunur. Benzer ³ekilde 0 < ` < 1 için
D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! = D 1 n − `n n X k=`n+1 uk+ µ0, un+ µ0 ! ≤ D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, µ0 ! + D (un, µ0)
e³itsizli§i elde edilir. Lemma 4.1.3 gere§i, st − lim n D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! = 0
bulunur. Dolaysyla (4.1.1) ve (4.1.2) e³itlikleri sa§lanr. Gereklilik ksmnn ispat için st − limnun = µ0 yerine, st − limnD(un, σn) = 0
oldu§unu göstermek yeterlidir. st − limnσn = µ0 ve (4.1.1) e³itli§i sa§lansn. ` > 1
için D(σn, un) ≤ D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! + `n+ 1 `n− n D (σ`n, σn)
oldu§undan herhangi bir ε > 0 için {n ≤ N : D(σn, un) ≥ ε} ⊆ n ≤ N : `n+ 1 `n− n D (σ`n, σn) ≥ ε 2 ∪ ( n ≤ N : D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! ≥ ε 2 )
kapsamas geçerlidir. (4.1.1) e³itli§inden verilen bir δ > 0 için,
lim sup N →∞ 1 N + 1 ( n ≤ N : D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! ≥ ε 2 ) ≤ δ
olacak ³ekilde bir ` > 1 mevcuttur. Lemma 4.1.2 gere§i ve ayrca yeterince büyük n ler için `n+ 1 `n− n < 2` ` − 1 oldu§undan, lim sup N →∞ 1 N + 1 n ≤ N : `n+ 1 `n− n D (σ`n, σn) ≥ ε 2 = 0 elde edilir. Dolaysyla,
lim sup
N →∞
1
N + 1|{n ≤ N : D (un, σn) ≥ ε}| ≤ δ sa§lanr. Bu her δ > 0 için sa§land§ndan,
lim
N →∞
1
N + 1|{n ≤ N : D (un, σn) ≥ ε}| = 0 sonucuna ula³lr. Benzer ³ekilde 0 < ` < 1 için,
{n ≤ N : D(σn, un) ≥ ε} ⊆ n ≤ N : `n+ 1 n − `n D (σ`n, σn) ≥ ε 2 ∪ ( n ≤ N : D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! ≥ ε 2 )
kapsamas mevcuttur. (4.1.2) e³itli§inden verilen bir δ > 0 için, lim sup N →∞ 1 N + 1 ( n ≤ N : D 1 n − `n n X k=`n+1 uk, un ! ≥ ε 2 ) ≤ δ sa§lanacak ³ekilde 0 < ` < 1 mevcuttur. Yukardaki admlara benzer ³ekilde,
lim
N →∞
1
N + 1|{n ≤ N : D (un, σn) ≥ ε}| = 0 sonucuna ula³lr.
Tanm 4.1.2. u = (un) bir fuzzy say dizisi olsun. E§er her bir ε > 0 için,
inf `>1lim supN →∞ 1 N + 1 n ≤ N : maks n<k≤`n D(uk, un)) ≥ ε = 0 veya denk olarak
inf 0<`<1lim supN →∞ 1 N + 1 n ≤ N : maks `n<k≤n D(uk, un)) ≥ ε = 0 ise, o zaman (un)dizisi "istatistiksel yava³ salnmldr" denir.
Lemma 4.1.4. u = (un) fuzzy say dizisi istatistiksel yava³ salnml ise, o
zaman (4.1.1) ve (4.1.2) e³itlikleri sa§lanr. spat. ` > 1 için D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! ≤ maks n<k≤`n D(uk, un)
oldu§undan, her bir ε > 0 için, ( n ≤ N : D 1 `n− n `n X k=n+1 uk, un ! ≥ ε ) ⊆ n ≤ N : maks n<k≤`n D(uk, un) ≥ ε
kapsamas geçerlidir. Buradan da istenilen sonuç elde edilir. 0 < ` < 1 için ispat
benzer ³ekilde yaplr.
Sonuç 4.1.2. u = (un)fuzzy say dizisi bir u0 fuzzy saysna istatistiksel (C, 1)
yaknsak olsun. E§er (un) istatistiksel yava³ salnml ise, o zaman u = (un) dizisi
u0 fuzzy saysna istatistiksel yaknsaktr.
Fuzzy say dizilerinin Cesàro yaknsakl§ için farkl bir tanm, seviye yakn-saklk tanmyla ili³kilendirilerek verilebilir.
Tanm 4.1.3. u = (un), E1'de bir dizi ve µ0 ∈ E1 olsun. E§er σn dönü³üm
dizisi µ0 saysna seviye-yaknsak ise, o zaman (un)dizisi µ0 saysna " Cesàro
Açk olarak seviye yaknsak olan (un) dizisi Cesàro seviye-yaknsaktr. Fakat
bunun kar³t her zaman do§ru de§ildir. Örnek 4.1.1. [44]
v+n(α) = 1 , vn−(α) = (
(α − 12)1/n+1 , 12 < α ≤ 1ise 0 , 0 ≤ α ≤ 12 ise
olmak üzere α-kesit cümlesi [v]α = [v−(α), v+(α)] olan v = (vn) dizisi yardmyla
u = (un) = (v0, 0, v1, 0, v2, ...) dizisini ve µ+0(α) = 1 2 , µ − 0(α) = ( 1 2 , 1 2 < α ≤ 1 ise 0 , 0 ≤ α ≤ 12 ise α-kesit cümlesi [µ0]α = [µ−0(α), µ +
0(α)]olan µ0 fuzzy saysn tanmlayalm.
lim n→∞σ + n(α) = µ + 0(α), limn→∞σ − n(α) = µ − 0(α)
oldu§undan l − limnσn = µ0 olur. Yani (un) dizisi µ0 saysna Cesàro seviye
yakn-saktr. Bununla birlikte seviye yaknsak de§ildir ve herhangi bir n do§al says için D(σn, µ0) = 12 oldu§undan Cesàro yaknsak da de§ildir.
A³a§da, Cesàro seviye yaknsak olan bir fuzzy say dizinin hangi ³art altnda istatistiksel yaknsak olaca§n gösteren bir teorem verildi.
Teorem 4.1.5. u = (uk) snrl bir fuzzy say dizisi ve µ = Lim sup uk olsun.
E§er ε ∈ (0, ε0) için,
δ({k ∈ N : uk 6∼ µ − ε}) = 0, δ({k ∈ N : uk6∼ µ + ε}) = 0
olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ve (uk) dizisi µ saysna Cesàro seviye-yaknsak ise, o
zaman (un) dizisi µ saysna istatistiksel yaknsaktr.
spat. µ = Lim sup uk oldu§undan her ε > 0 için {k ∈ N : uk µ + ε} cümlesi
sonludur. imdi kabul edelim ki (un) dizisi µ saysna istatiksel yaknsak olmasn.
Bu durumda bir ε1 ∈ (0, ε0) mevcuttur öyle ki
δ({k ∈ N : uk≺ µ − ε1}) 6= 0
olur. m = µ − ε1 ve B = supnun diyelim.
K0 = {k ∈ N : uk ≺ m}
K00 = {k ∈ N : m uk µ + ε}
cümlelerini tanmlarsak, δ(K000 ) = 0, δ(K0) 6= 0 ve δ(K00) = 1 − δ(K0) olur. Dolay-syla 1 n + 1|K 0 n| ≥ d > 0
olacak ³ekilde sonsuz sayda n vardr. Böyle her bir n için, σn = 1 n + 1 X k∈Kn0 uk+ 1 n + 1 X k∈K00n uk+ 1 n + 1 X k∈Kn000 uk ≺ m n + 1|K 0 n| + µ + ε n + 1|K 00 n| + B n + 1|K 000 n|
e³itsizli§ini elde ederiz. Buradan en az bir α0 ∈ [0, 1] mevcuttur öyle ki
σn−(α0) < m−(α0) n + 1 |K 0 n| + µ−(α0) + ε n + 1 |K 00 n| + B−(α0) n + 1 |K 000 n| = m−(α0) |Kn0| n + 1+ µ − (α0) + ε 1 − |K 0 n| n + 1 + o(1) ≤ µ−(α0) − d µ−(α0) − m−(α0) + ε(1 − d) + o(1)
elde edilir. ε ∈ (0, ε0)key oldu§undan,
lim inf σn−(α0) ≤ µ−(α0) − d µ−(α0) − m−(α0) < µ−(α0)
elde edilir. Bu ise (un) dizisinin µ saysna Cesàro seviye-yaknsak olmas ile çeli³ir.
Bu ise ispat tamamlar. Burada α0 için geçerli olabilecek
σn+(α0) < m+(α 0) n + 1 |K 0 n| + µ+(α 0) + ε n + 1 |K 00 n| + B+(α 0) n + 1 |K 000 n|
e³itsizli§i kullanlarakta ispat benzer ³ekilde yaplabilir. A³a§daki teoremin ispat Teorem 4.1.5'in ispatna benzer ³ekilde yaplabilir.
Teorem 4.1.6. u = (uk) snrl bir fuzzy say dizisi ve ν = Lim inf uk olsun.
E§er ε ∈ (0, ε0) için
δ({k ∈ N : uk 6∼ ν − ε}) = 0, δ({k ∈ N : uk6∼ ν + ε}) = 0
olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ve (uk) dizisi ν saysna Cesàro seviye-yaknsak ise o
5. BR FUZZY SAYI DZSNN CESÀRO ÇEKRDE
Bu ksmda ilk olarak Talo ve Ba³ar tarafndan [22] de tanmlanan iki fuzzy say dizi cümlesi arasndaki matris dönü³ümü ve regüler matris tanm verildi. Daha sonra ise snrl bir fuzzy say dizisinin çekirde§i ile bir regüler matris altndaki dönü³üm dizisinin çekirde§i arasndaki kapsama ba§ntlar incelendi.
Tanm 5.1.1. [22] µ1(F ), µ2(F ) ⊂ w(F ) ve A = [ank] fuzzy saylarnn bir
sonsuz matrisi olsun. E§er her u = (uk) ∈ µ1(F ) dizisi için
(Au)n =
X
k
ankuk , (n ∈ N)
(5.1.1)
olmak üzere; Au = {(Au)n} dizisi mevcut ve µ2(F ) cümlesine ait ise, o zaman A,
µ1(F ) cümlesinden µ2(F ) cümlesine bir matris dönü³ümü tanmlar denir ve
A : µ1(F ) → µ2(F )
yazlr. E§er Au bir β saysna yaknsak ise, o zaman u dizisi A-toplanabilir denir ve β saysna, u = (uk) dizisinin A-limiti denir. E§er her u ∈ c(F ) için u dizisinin
A-limiti, u dizisinin limitine e³it ise A matrisi regülerdir denir ve A ∈ (c(F ), c(F ), p)
yazlr.
Teorem 5.1.1. [22, Teorem 4.6] Her n, k ∈ N için ank 0 olsun. O zaman,
A = (ank) ∈ (c(F ) : c(F ); p) olmas için gerek ve yeter ³art
M = sup n∈N X k D(ank, 0) < ∞, (5.1.2) lim n→∞ank = 0, (k ∈ N) (5.1.3) ve lim n→∞ X k ank = 1 (5.1.4) olmasdr.
Lemma 5.1.1. [15, Lemma 5] u, v ∈ E1 olsun. ∀ε > 0 için u v +ε ise, u v
olur.
Lemma 5.1.2. u = (uk), v = (vk) snrl iki fuzzy say dizisi olsun. E§er her
k > k0 için uk vk olacak ³ekilde bir k0 ∈ N mevcut ise, o zaman
Lim sup u Lim sup v ve Lim inf u Lim inf v sa§lanr.
spat. k > k0 için uk vk olacak ³ekilde bir k0 ∈ N mevcut olsun. Bu durumda;
Bu =µ ∈ E1 : {k ∈ N : uk µ} ∈ PI(N)
olmak üzere; µ ∈ Bu ise, µ ∈ Bv olur. Yani, Bu ⊆ Bv olur. Dolaysyla
sup Bu sup Bv
olur. Bu ise, Lim sup u Lim sup v olmas demektir. Di§er taraftan Av =ν ∈ E1 : {k ∈ N : vk ≺ ν} ∈ PI(N)
olmak üzere; ν ∈ Av ise, ν ∈ Au olur. Yani, Av ⊆ Au olur. Dolaysyla,
inf Au inf Av
olur. Bu ise, Lim inf u Lim inf v olmas demektir. Lemma 5.1.3. u, v ∈ E1 ve r ∈ R olsun.
(i) u v + r ise u − r v olur. (ii) u ≺ v + r ise u − r ≺ v olur.
spat. u v + r olsun. Bu durumda her bir α ∈ [0, 1] için u−(α) ≤ v−(α) + r ve u+(α) ≤ v+(α) + r olur. Buradan her bir α ∈ [0, 1] için
u−(α) − r ≤ v−(α) ve u+(α) − r ≤ v+(α) elde edilir. Bu ise, u − r v olmas demektir.
u ≺ v + r olsun. Bu durumda u v + r ve bir α0 ∈ [0, 1] için
u−(α0) < v−(α0) + r veya u+(α0) < v+(α0) + r
olur. (i) ³kkndan u − r v ve ayrca α0 için
u−(α0) − r < v−(α0) veya u+(α0) − r < v+(α0)
olur. Dolaysyla u − r ≺ v elde edilir.
Lemma 5.1.4. u = (uk)snrl bir fuzzy say dizisi ve r ∈ R olsun. Bu durumda
Lim sup(uk+ r) Lim sup uk+ r
ve
Lim inf(uk+ r) Lim inf uk+ r
spat. Lim sup u = µ ve c ∈ B(u+r) olsun. Bu durumda
{k ∈ N : uk+ r c} ∈ PI(N)
olur. Dolaysyla Lemma 5.1.3 gere§ince,
{k ∈ N : uk c − r} ∈ PI(N)
elde edilir. Bu ise c − r ∈ Bu olmas demektir. µ = sup Bu oldu§undan c − r µ
olur. Yine Lemma 5.1.3 gere§ince c µ + r bulunur. Her c ∈ B(u+r) için c µ + r
olaca§ndan sup B(u+r) µ + r olur.
Lim sup(uk+ r) = sup B(u+r)
oldu§undan ispat tamamlanr. Benzer ³ekilde
Lim inf(uk+ r) Lim inf uk+ r
oldu§u gösterilebilir.
Lemma 5.1.5. [24, Lemma 6] Herhangi iki u, v fuzzy saylar ve ε > 0 için a³a§daki ifadeler denktir.
(i) D(u, v) ≤ ε
(ii) u − ε v u + ε.
Teorem 5.1.2. u = (un), v = (vn) snrl iki fuzzy say dizisi olsun. E§er
lim
n D(un, vn) = 0
ise çek{u} = çek{v} olur.
spat. limnD(un, vn) = 0 olsun. Bu durumda herbir ε > 0 says için bir n0 ∈ N
mevcuttur öyle ki her n ≥ n0 için
un− ε vn un+ ε
olur. Burada Lemma 5.1.2 ve Lemma 5.1.4 göz önünde bulundurularak vn un+ ε
e³itsizli§inden,
Lim sup vn Lim sup(un+ ε)
Lim sup un+ ε
elde edilir. Di§er taraftan un − ε vn e³itsizli§inden un vn + ε bulunur. Bu
e³itsizlikten Lemma 5.1.2 ve Lemma 5.1.4 gere§ince, Lim sup un Lim sup(vn+ ε)
elde edilir. ε key oldu§undan
Lim sup vn Lim sup un ve Lim sup un Lim sup vn
e³itsizliklerine ula³lr. Bu ise Lim sup vn = Lim sup un olmas demektir. Benzer
³ekilde Lim inf vn = Lim inf un oldu§u gösterilebilir. u = (un), v = (vn) fuzzy say
dizilerinin alt ve üst limit de§erleri e³it oldu§undan çek{u} = çek{v} olur. Teorem 5.1.3. u = (un), v = (vn) iki fuzzy say dizisi olsun. E§er
lim
n D(un, vn) = 0
ise bu dizilerin y§lma noktalarnn cümleleri e³ittir, yani Lu = Lv olur.
spat. limnD(un, vn) = 0olsun ve µ0 ∈ Lualalm. Bu durumda limkunk = µ0olacak
³ekilde (un)dizisinin bir (unk)alt dizisi vardr. Hipotezden limkD(unk, vnk) = 0olur.
Buradan,
D(vnk, µ0) ≤ D(unk, µ0) + D(unk, vnk)
e³itsizli§inde k → ∞ için limit alnrsa limkvnk = µ0 elde edilir. Dolaysyla µ0 ∈ Lv
olur. µ0 fuzzy says Lu cümlesinin key bir eleman oldu§undan Lu ⊆ Lv kapsamas
elde edilir. Benzer ³ekilde Lv ⊆ Lu kapsamasnn gerçekle³ti§i gösterilebilir. Bu iki
kapsamadan Lu = Lv elde edilir.
Teorem 5.1.4. A = [ank]negatif olmayan fuzzy saylarnn regüler bir matrisi,
u = (uk) snrl bir fuzzy say dizisi ve µ = Lim sup uk olsun. E§er her ε ∈ (0, ε0)
için
K2(ε) = {k ∈ N : uk 6∼ µ + ε}
sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman
Lim sup Au Lim sup u sa§lanr.
spat. Lim sup u = µ olsun. Bu durumda; her ε ∈ (0, ε0) için Teorem 2.3.3 gere§i,
M2(ε) = {k ∈ N : uk µ + ε}
cümlesi sonludur. N1 = maks{k : k ∈ M2(ε)} diyelim. K2(ε) cümlesi de sonlu
