BAZI KALAY ĠZOTOPLARININ NÖTRON YOĞUNLUK DAĞILIMLARININ
ĠNCELENMESĠ Ali YALÇIN Y.Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı DanıĢman: Doç. Dr. Erhan ESER
2013
T.C.
GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
BAZI KALAY ĠZOTOPLARININ NÖTRON YOĞUNLUK
DAĞILIMLARININ ĠNCELENMESĠ
Ali YALÇIN
TOKAT 2013 Her Hakkı Saklıdır
ii
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlâk kurallarına uyulduğunu, baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumlarında bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların baĢka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde her hangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin her hangi bir kısmının bu üniversite veya baĢka bir üniversitedeki baĢka bir tez çalıĢması olarak sunulmadığını beyan ederim.
i ÖZET
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
BAZI KALAY ĠZOTOPLARININ NÖTRON YOĞUNLUK DAĞILIMLARININ ĠNCELENMESĠ
Ali YALÇIN
GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Doç. Dr. Erhan ESER
Bu çalıĢmada, Thomas–Fermi yoğunluk ifadesi kullanılarak bazı çift-çift Kalay (Sn) izotoplarının nötron yoğunluk dağılımlarını hesaplamak için basit analitik bir ifade elde edilmiĢtir. Hesaplamalarda Fermi integrali için Guseinov ve Mamedov tarafından elde edilen farklı bir çözüm yöntemi kullanılmıĢtır. Bu analitik ifade kullanılarak Mathematica 5.0 programlama dilinde nötron yoğunluk dağılımlarının programı yapılarak kalay izotoplarının farklı yarıçap değerleri için sonuçlar alınmıĢtır. Elde edilen sonuçlar diğer teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırılarak nötron yoğunluk dağılımları için kullanılan ifade modifiye edilmiĢtir. Elde edilen sonuçların literatürdeki sonuçlarla uyum içerisinde olduğu görülmüĢtür.
2013, 48 sayfa
Anahtar Kelimeler: Sn çekirdeği, Nötron yoğunluğu, Fermi integrali, Thomas–Fermi yaklaĢımı
ii ABSTRACT
M. Sc. Thesis
INVESTIGATIONS OF NEUTRON DENSITY DISTRUBITIONS OF SOME Sn ISOTOPES
Ali YALÇIN
GaziosmanpaĢa University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics
Supervisor: Assoc. Prof. Erhan ESER
In this study, it was obtained a simple analytical expression to calculate the neutron density distributions in some even-even Sn isotopes using the expression of the density of Thomas-Fermi. For Fermi integral in calculation, it is used a different solution method which obtained by Guseinov and Mamedov. On the basis of these analytical expressions a program for the neutron and proton density distributions has been constructed by using Mathematica 5.0 mathematical software, and results have been taken for the different radius of Sn isotopes. The expression used for the neutron density distributions has been modified to fit into other experimental and theoretical results with the obtained results. The results were seen to be in excellent agreement with those of in the literature.
2013, 48 pages
iii ÖNSÖZ
Yüksek lisans öğrenimim süresince ilgi, yardım ve desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen, yapmıĢ olduğum bu çalıĢmanın her satırında bana rehber ve yardımcı olan çok değerli tez danıĢmanı hocam Doç. Dr. Erhan ESER’ e en içten dileklerimle teĢekkür ederim.
Kendisinden almıĢ olduğum derslerin bana farklı bir bakıĢ açısı kazandırdığını düĢündüğüm değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Ġbrahim YĠĞĠTOĞLU’ na teĢekkürü bir borç bilirim.
Bu tezin bazı aĢamalarında çalıĢmalarından faydalandığım doktora öğrencisi arkadaĢım Melek GÖKBULUT’ a teĢekkürlerimi sunarım.
Tüm hayatım boyunca her türlü desteklerini ve sevgilerini esirgemeyen canım aileme çok teĢekkür ediyorum.
Ali YALÇIN Haziran-2013
iv ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖZET………... i ABSTRACT………... ii ÖNSÖZ………... iii ĠÇĠNDEKĠLER……….... iv ġEKĠLLER DĠZĠNĠ………... v ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ…...………... vi
SĠMGE ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ………….……….. vii
1. GĠRĠġ……… 1
2. LĠTERATÜR ÖZETĠ………... 3
2.1. Çekirdeğin Yapısı ve Kütlesi………...………... 3
2.2. Çekirdek Yarıçapı ve Yük Dağılımı……….... 4
2.3. Nükleer Kuvvet…...……… 5
2.4. Nükleer Yapı Modelleri………... 8
2.4.1. Sıvı Damla Modeli…………..………... 9
2.4.2. Fermi Gaz Modeli………...………... 11
2.4.3. Shell (Kabuk) Modeli……...………... 14
2.2.3.1. Nükleer Kabuk Modeli Potansiyeli ………...………... 15
2.2.3.2. Spin Yörünge Potansiyeli………... 19
2.5. Nükleer Yük Dağılımı …………...………... 21
2.5.1. Nötron Yoğunluk Dağılımının Ġncelenmesi...……….. 21
3. MATERYAL ve METOT………... 26
3.1. Nötron Yoğunluk Dağılımlarının Hesaplanması………... 26
4. BULGULAR……… 30
5. SONUÇ ve TARTIġMA ………... 34
KAYNAKLAR……….. 37
v
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
Sayfa ġekil 2.1. ÇeĢitli çekirdeklerin elektron saçılma deneylerinden elde edilen
radyal yük dağılımları.………. 5
ġekil 2.2. Nükleon-nükleon potansiyeli………..……….. 7
ġekil 2.3. Nükleon baĢına ortalama bağlanma enerjisi ……...……….. 10
ġekil 2.4. Fermi gaz modelinde proton ve nötronlar için alınan potansiyel
kuyu Ģekli………...………... 12
ġekil 2.5. Kare kuyu potansiyeli ………... 16
ġekil 2.6. Harmonik osilatör potansiyeli...….……….……….. 17
ġekil 2.7. Wood-Saxon potansiyelinin kare kuyu ve harmonik osilatör
potansiyeli ile karĢılaĢtırmalı Ģekli……… 17
ġekil 2.8. Solda ara durum, ġekil 2.7’de verilen potansiyel ile hesaplanan enerji düzeyleri gösterilmiĢtir. Sağda ise,spin-yörünge etkileĢmesinin etkisi gösterilmiĢtir………
18 ġekil 4.1. 116
Sn için nötron yoğunluk dağılımı.…..……….. 30
ġekil 4.2. 118
Sn için nötron yoğunluk dağılımı………. 31
ġekil 4.3. 120
Sn için nötron yoğunluk dağılımı.……… 31 ġekil 4.4. 124
Sn için nötron yoğunluk dağılımı...……….. 32 ġekil 4.5. 130
Sn için nötron yoğunluk dağılımı...……….. 32 ġekil 4.6. 132
vi
ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ
Sayfa Çizelge 2.1. Bazı nükleer potansiyel çeĢitleri ………...……... 19
vii SĠMGELER ve KISALTMALAR A Kütle Numarası N Nötron Sayısı Z Proton Sayısı mp Protonun Kütlesi mn Nötronun Kütlesi R Ortalama Yarıçap k Boltzmann Sabiti T Sıcaklık
t Yüzey Kalınlığı Parametresi
w Açısal Hız
EF Fermi Enerjisi
𝑚∗ Nükleonun Etkin Kütlesi
𝐽𝐹 𝜂 Fermi Ġntegrali
µ Kimyasal Potansiyel
𝐹𝑚 𝑛 Binomial Katsayısı
Γ(α) Gama Fonksiyonu
γ(α) Ġncomplement(tamamlanmamıĢ) Gama Fonksiyonu
𝜎𝑙𝑠 Spin Orbit Çifti Kuvveti
MeV Mega elektron volt
fm Femtometre
1 1. GĠRĠġ
Rudherford alfa parçacıklarıyla yapmıĢ olduğu deneyler sonucunda çekirdeğin temel parçacıklarından birisi olan protonu keĢfetmiĢtir. Daha sonraları 1932’de Chadwick tarafından çekirdek içinde ikinci tür bir parçacık olan nötronun keĢfedilmesiyle çekirdeğin yaklaĢık olarak aynı kütleye sahip pozitif yüklü protonlardan ve yüksüz olan nötronlardan oluĢan bir kuantum sistemi olduğu anlaĢılmıĢtır. Ġlk günlerden beri nükleer yük ve yoğunluk dağılımlarının incelenmesi nükleer fiziğin önemli uğraĢ alanlarından birisidir (Ford ve Hill, 1955; Berezhnoy, 2005; Gökbulut, 2012).
Çekirdekte nötron ve proton yoğunluk dağılımları nükleer özellikleri anlamak için temel öneme sahiptir ve nükleer yapıyı tasvir etmek için kullanılır. Yoğunluk doğrudan atom çekirdeğinin boyutunun derinlemesine araĢtırılmasıdır ve nükleer reaksiyonların tesir kesitlerinde önemli rol oynar. Nükleer yoğunluk için cebirsel bir form özellikle nükleer saçılma ve reaksiyon süreçlerindeki analitik çalıĢmalar için önemlidir (Gambhir ve ark., 1989; Lalazissis ve ark., 1997; Pei ve ark., 2005; Chu ve ark., 2010).
Çekirdek içinde proton dağılımı elektron çekirdek saçılması gibi elektromanyetik etkileĢimlerden ölçülen yük dağılımından belirlenir ve proton yoğunluk dağılımının fiziksel anlamı yük yoğunluğu dağılımı ile ifade edilir (Richter ve Brown; 2003; Centelles ark., 2010). Çekirdek içinde nötronların dağılımı elektromanyetik etkileĢmelere duyarsızdır ve nötron dağılımı hakkında bilgi edinmek için yeterli değildir (Patterson ve Peterson, 2003; Schmidt ve ark., 1999). Nötron dağılımını araĢtırmak için proton, pion ve alfa gibi güçlü etkileĢim araĢtırmalarına ihtiyaç duyulur. Ancak güçlü etkileĢim içeren hadronik çalıĢmalar nükleon-nükleon etkileĢim mekanizması hakkındaki bilgi eksikliğinden dolayı reaksiyon mekanizmasında belirsizlikler sergiler ve bu çalıĢmalarla belirlenen nötron yoğunluk dağılımları model bağımlıdır.
Bu nedenle çekirdekte nötron dağılımı hakkındaki bilgiler yetersiz ve daha az güvenilirdir (Pei ve ark., 2005; Lalazissis ve ark., 1997; Centelles ve ark., 2010;
2
Zenihiro ve ark., 2010; Warda ve ark., 2010). Nötron yüzey kalınlığının durum denkleminin simetri terimi ile yakın iliĢkili olduğu gösterildiğinden nötron yoğunluk dağılımlarının belirlenmesi önemli olmuĢtur. Bundan dolayı nötron yoğunluk dağılımları nükleer maddenin simetri potansiyelinin doğrulanması için önemli bir gözlemdir.
Çekirdekteki nötron yoğunluk dağılımları incelemek için aynı zamanda paritenin korunmadığı çekirdek elektron saçılma deneyleri de kullanılmaktadır. Bu deneysel çalıĢma ile modelden bağımsız olarak nötron yoğunlukları incelenebilmektedir. (Roca-Maza ve ark., 2011; Horowitz ve ark., 2001). Aynı zamanda, nükleon yoğunluk dağılımları genel olarak Fourier-Bessel serileri, iki ve üç parametreli Fermi ve Gaussian dağılımları ve Harmonik osilatör dağılımı ile ifade edilir (Lalazissis ve ark., 1997; Patterson ve Peterson, 2003). Genel olarak Gaussian dağılımı hafif çekirdeklerin yük yoğunluğunu, Fermi dağılımı ise ağır çekirdeklerin yük yoğunluğunu tasvir etmek için daha uygundur (Chu ve ark., 2010).
Alkhaznov ve arkadaĢları, geniĢ bir momentum transfer bölgesinde önemli bir rol oynayan ve spin-orbit(yörünge) etkileĢmesini ihmal eden Glauber modeli kullanarak deneysel verileri analiz etti (Alkhaznov, 1977). Analizlerinde, daha büyük saçılma açılarında deneysel veriler, fit’e dâhil edilmemiĢtir çünkü Glauber model düĢük momentum transferi ile sınırlıdır. Brussaud ve Brussel (1977), aynı verileri, Glauber modelini ve nükleer yoğunluk için bir model bağımsız formül kullanarak nötron yoğunluk dağılımlarını çalıĢmıĢtır. Sınırlamaların, deneysel bir araç olarak daha çok Glauber saçılma yaklaĢımından düĢük momentum transferine kadar ortaya çıkan orta enerjili protonlardan dolayı gerçek olmadığını buldu.
Bu çalıĢmada Thomas-Fermi yoğunluk ifadesi kullanılarak bazı Sn (116, 118, 120, 124, 130, 132) izotoplarının nötron yoğunluk dağılımları incelenmiĢtir. Hesaplamalarda Fermi integrali için Guseinov ve Mamedov (2010) tarafından elde edilen farklı bir çözüm yöntemi kullanılmıĢtır. Elde edilen sonuçlar diğer teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırılarak nötron yoğunluk dağılımları için kullanılan ifade modifiye edilmiĢtir.
3 2. LĠTERATÜR ÖZETĠ
2.1. Çekirdeğin Yapısı ve Kütlesi
Rutherford, α parçacıklarının ince bir metale çarptıktan sonra 900’ den fazla açılarla sapmaları nedeniyle büyük bir elektrik alanının olması gerektiğini düĢündü ve atom çekirdeği modelini ileri sürdü. Nitrojen gazıyla α parçacıklarının etkileĢimini incelerken detektörlerde hidrojene benzeyen bir parçacığı fark etmiĢ ve hidrojen çekirdeğinin temel bir parçacık olduğunu ileri sürerek bu parçacığa Yunanca da ilk anlamına gelen proton adını vermiĢtir (Taylor ve ark., 2008). 1932 yılında Chadwick atom çekirdeğinde ikinci tür parçacık olduğunu kanıtlamıĢ ve buna nötron adını vermiĢtir.
Atom çekirdeği, yarıçapı yaklaĢık olarak 10-15
m olup küçük bir hacim iĢgal eder. Atom kütlesinin yaklaĢık tamamı çekirdekte toplanmıĢtır. Bu miktar çekirdeğin kurucu bileĢenleri arasındaki etkileĢmenin ne kadar Ģiddetli olduğunun göstergesidir.
Çekirdek proton (𝑍) ve nötronlardan (𝑁) oluĢmuĢtur. Nükleer parçacıklar tartıĢılırken proton veya nötronun yerine ortak olarak nükleon ismi kullanılır. Protonlar pozitif yüklü, nötronlar ise yüksüz parçacıklardır. Çekirdeğin kütle numarası çekirdekteki toplam nükleon sayısıdır.
𝐴 = 𝑁 + 𝑍 (2.1)
Nötronun kütlesi protonun kütlesinden biraz daha büyüktür. Serbest nötron kararsız iken proton kararlıdır. Çekirdeğin kütlesi, kütle spektrometresi ile ölçülür ve atomik kütle birimi cinsinden ifade edilir. Atomik kütle birimi (akb), bir 12
C
atomunun kütlesinin 1/12’sine eĢittir.
4 Burada proton ve nötronun kütlesi u cinsinden
mp=1,00759u ve mn=1,00898u (2.3)
olarak ifade edilir. Proton ve nötronlardan oluĢan çekirdek 𝑍𝐴𝑋𝑁 ile gösterilir. Atom numarası aynı (𝑍), kütle numarası (𝐴) farklı çekirdeklere izotop, nötron sayısı (𝑁) aynı atom numarası (𝑍) farklı çekirdeklere izoton, kütle numarası aynı çekirdeklere ise izobar çekirdekler adı verilir.
2.2. Çekirdek Yarıçapı ve Yük Dağılımı
Atomun yarıçapı gibi çekirdeğin yarıçapı da kesin olarak tanımlanmıĢ bir nicelik değildir. Çekirdeğin biçimi iki parametre ile karakterize edilmektedir. Bunlardan birincisi merkezi nükleon yoğunluğunun yarıya düĢtüğü ortalama yarıçap, diğeri ise maksimum civarındaki değerinden minimum civarındaki değerine düĢtüğü yüzey kalınlığıdır (Krane, 2006). Çekirdeğin büyüklüğü birkaç fermi (1fm=10-15
m) mertebesinde olup atomdan yaklaĢık olarak 105
kez daha küçük bir yapıya sahiptir (Gökbulut, 2012). Çekirdek yarıçapı çeĢitli yöntemlerle bulunabilir:
1) Ġki çekirdek arasındaki nükleer kuvvet, 2) Çekirdekten α saçılması deneyleri,
3) Çekirdeğin α parçacığı saldığı radyoaktif bozunmalar, 4) π mezik X ıĢınları enerjilerinin ölçülmesi.
Elektron saçılma deneyleri sonucunda elde edilen yoğunluk dağılımı ġekil 2.1’ de gösterilmiĢtir. Burada göze çarpan özellik merkezdeki yük yoğunluğunun tüm çekirdekler için yaklaĢık aynı olmasıdır. Burada yüzeye doğru oldukça sabit sayılabilecek bir dağılım söz konusudur. Birim hacim baĢına düĢen nükleon sayısı hemen hemen sabittir.
5 𝐴 4 3 𝜋𝑅3
˜ sabit
Burada, ortalama çekirdek yarıçapı R=R0 A1/3 Ģeklinde ifade edilir. R0 sabit olup değeri yaklaĢık 1,2 fm’ dir.
ġekil 2.1’ de yük dağılımı belli bir noktaya kadar kabaca sabittir, sonra oldukça yavaĢ bir hızla sıfır olur. Yük dağılımının sıfır olma mesafesi çekirdek büyüklüğünden hemen hemen bağımsızdır ve genellikle sabit olarak alınır. t yüzey kalınlığı parametresi yük yoğunluğunun merkezdeki değerinin %90' ından %10' una düĢtüğü mesafe olarak tanımlanır ve yaklaĢık olarak 2,3 fm' dir.
ġekil 2.1. ÇeĢitli çekirdeklerin elektron saçılma deneylerinden elde edilen radyal yük dağılımları.
2.3. Nükleer Kuvvet
Çekirdeğin özellikleri, çekirdeği oluĢturan nötronlar ve protonlar arasında etkin olan kuvvetlerin belirlenmesiyle açıklanabilir. Bir atomda elektronları bir arada tutan kuvvet, negatif elektronlar ile pozitif çekirdek arasındaki elektrostatik çekim kuvvetidir (Taylor
6
ve ark., 2008). Fakat çekirdek içinde nükleonları bir arada tutan kuvvet elektrostatik çekim kuvveti değildir. Yüklü veya yüksüz tüm maddelere etkiyen kütle çekim kuvveti daima çekici olduğundan, nükleonların kütle çekim kuvvetiyle bağlanmıĢ olacağı mantıklı gelebilirdi. Ancak kütle çekim kuvvetinin elektrostatik itmeyi yenemeyecek kadar zayıf olması, çekirdek içinde, protonlardan ve nötronlardan oluĢan kararlı bir yapının olamayacağını ortaya koymuĢtur (Taylor ve ark., 2008; Jevremovic, 2005).
Elektrostatik ve kütle çekim kuvvetleri çekirdeği bir arada tutamayacaklarından dolayı nükleonlar arasında yeni bir kuvvet tanımlanır ve bu kuvvet çekirdek kuvveti olarak adlandırılır. Nükleonlar ve etkileĢimleri hakkında yeterince bilgi sahibi olunmasına rağmen nükleer kuvvetin anlaĢılamamıĢ yönleri mevcuttur (Taylor ve ark., 2008; Krane, 2006).
Japon fizikçi Hideki Yukawa, 1935’te çekirdek kuvvetlerinden kütleleri elektronlarla nükleonlar arasında olan parçacıkların sorumlu olduğunu ileri süren bir model ortaya koymuĢtur. Bu parçacıklar pion olarak adlandırılır. Yukawa’ nın kuramına göre, her nükleon sürekli olarak pion yayımlar ve tekrar soğurur. Çekirdek kuvvetleri çok kısa mesafelerde itici, daha büyük nükleon-nükleon uzaklıklarında ise çekicidir. Bu kuramın kuvvetli yönlerinden birisi, bu özelliklerin her ikisini de açıklayabilmesidir (Beiser, 2008).
Nükleer kuvvetin anlaĢılmasında en iyi araç nükleon-nükleon saçılma deneyleridir. Bu deneylerde bir nötron veya proton demeti ince bir metal levhadaki çekirdeklerden saçılmaya uğrarlar. Deneylerden elde edilen nükleon-nükleon potansiyel enerji grafiği ġekil 2.2’de gösterilmiĢtir. Çekirdek potansiyel enerjisi 2 fm den uzakta hızla sıfıra gitmektedir. 2’fm den içerde kuvvet çekici ve potansiyel negatif olup 1 fm civarındaki değeri yaklaĢık -100 MeV kadardır. Bu değerden geride kuvvet itici olup potansiyel enerji hızla pozitif ve yüksek değerlere çıkmaktadır.
7
ġekil 2.2. Nükleon-nükleon potansiyeli (Kılıç, 2007)
Nükleon-nükleon kuvvetinin özelliklerini maddeler halinde verecek olursak (Kılıç, 2007);
1. Nükleer kuvvetler kısa menzillidir. Hafif çekirdeklerin büyüklüğü mertebesinde çekirdekteki protonların Coulomb kuvvetinden daha güçlüdür. Nükleon baĢına bağlanma enerjisinin sabit olması çekirdekte nükleonların yalnız en yakın komĢularıyla etkileĢtiğini gösterir. Fakat atomik boyut mertebesinde ihmal edilebilecek derecede zayıftır.
2. Nükleer kuvvetin birbirinden farklı iki bileĢeni vardır: Asıl olarak nükleonları bir arada tutan çekici merkezcil kuvvet ve çekim etkisinde çekirdeğin kısa erim bölgesi içine çökmesini önleyen itici bileĢendir (ġirin, 2006).
3. Nükleer kuvvet, nükleonların proton veya nötron olup olmamasından bağımsızdır. Bu özelliğe nükleer kuvvetin yük bağımsızlığı denir (Krane, 2006). 4. Çekirdekte bir nükleonun etkileĢtiği yakın komĢu sayısının bir üst sınırı vardır. Bu özelliğe doyma özelliği denir. Nükleer madde yoğunluğunun çekirdeğin iç bölgesinde sabit olması bu özelikten kaynaklanır (ġirin, 2006).
5. Nükleer kuvvet, nükleonların spinlerinin paralel veya antiparalel olup olmamalarına bağlıdır.
8
6. Bu kuvvetin merkezi olmayan veya tensör bir bileĢeni vardır. Tensör kuvvet, merkezi kuvvetlerde bir hareket sabiti olan yörüngesel açısal momentumu korumaz (Krane, 2006).
7. Nükleon-nükleon etkileĢmesi yük simetrilidir. Yani proton-proton etkileĢmesinin nötron-nötron etkileĢmesine özdeĢ olması demektir. Ancak doğada iki proton ya da iki nötron bağlı durumunun bulunmaması çekirdek içinde bir proton ve bir nötron arasındaki kuvvetin benzer iki nükleon arasındaki kuvvetten ortalama olarak daha büyük olduğunu gösterir. Çekirdeklerin eĢit sayıda nötron ve proton sayısına sahip olma eğilimleri bu özellikten kaynaklanır (Lilley, 2001; Gökbulut, 2012; Taylor ve ark., 2008).
2.4. Nükleer Yapı Modelleri
Çekirdekler protonlardan ve nötronlardan oluĢan karmaĢık yapılardır. Nükleonlar (proton ve nötronlar) arasında oldukça kuvvetli etkileĢimler vardır. Bu etkileĢim kuvvetleri birçok araĢtırmaya rağmen elektromanyetik kuvvetler kadar iyi anlaĢılamamıĢ ve bundan dolayı da çekirdek yapısının kuramı tamamlanamamıĢtır. Buradaki baĢarısızlık nükleer kuvvetlerin doğasından kaynaklanmaktadır. Bundan dolayı çekirdekteki olayları anlamak için çeĢitli modeller ileri sürülmüĢtür (Küçük, 2007; Cansoy, 1978). Bunlardan bazıları aĢağıdaki gibidir:
1. Sıvı Damla Modeli 2. Fermi Gaz Modeli
3. Nükleer Shell ( Kabuk) Modeli 4. Kollektif (BirleĢik) Model 5. Optik Model
6. BileĢik Çekirdek Modeli 7. Nillson Modeli
8. Doğrudan EtkileĢme Modeli 9. Alfa Parçacık Modeli 10. Bozon Modeli
9 2.4.1. Sıvı damla modeli
Ġlk olarak öne sürülen sıvı damla modeli, Niels Bohr ve John Archibald tarafından geliĢtirilmiĢtir (Carter, 2009). Bu modelde çekirdekteki nükleonların sıvı damlası içerisindeki moleküllere benzer yapıda oldukları düĢünülür. Sıvı damla modeli, çekirdeğin kollektif özelliklerinin (titreĢim ve dönme) incelenmesinde kullanılan bir model olup çekirdeğin kütlesini, bağlanma enerjisini ve çekirdeğin nasıl deforme olduğunu açıklayan kaba bir modeldir. Sıvı damla modeli çekirdeği bir küre olarak kabul eder. Bu özellik dikkate alındığında çekirdeğin bağlanma enerjisi aĢağıdaki gibi düĢünülebilir.
Çekirdek hacmi, nükleon sayısı A ile orantılıdır.
Kütle yoğunluğu çekirdek içinde sabittir, bununla birlikte yüzey üzerinde hızla sıfıra gider.
Her bir nükleon için bağlanma enerjisi yaklaĢık olarak sabittir (nükleer kuvvetlerin doyumu).
Nükleer kuvvet bir nükleon için aynıdır, özel olarak nükleonun proton veya nötron olup olmamasına bağlı değildir (nükleer kuvvetin yük bağımsızlığı).
Sıvı damlası modeli çerçevesinde çekirdek kütlesi ve bağlanma enerjisinin hesaplanması için bir formül geliĢtirilmiĢ olup formüle yarı ampirik bağlanma enerjisi adı verilir (Weizsäcker, 1935; Martin, 2006).
4 3 5 2 4 3 1 3 3 2 2 1 2 1 A a A Z) (A a A ) Z(Z a A a A a B(Z,A) (2.4)
Bu eĢitlikte yer alan katsayılar: a1= 14.1 MeV, a2=13.0 MeV, a3=0.59 MeV, a4=19 MeV ve a5=33.5 MeV olup bu terimler deneysel olarak belirlenir (Das ve Ferbel, 2005; Martin, 2006). EĢitlik 2.4’ te her bir terim sırasıyla hacim terimi, yüzey terimi, Coulomb
10
terimi, simetri terimi ve çiftlenim terimi olarak adlandırılır (Das ve Ferbel, 2005; Martin, 2006; Krane, 2006).
Yarı ampirik bağlanma enerjisi formülü nükleer kuvvetin temel teorilerine dayanmadığı için nükleer kuvvetin niceliksel özelliklerini ortaya çıkaramaz fakat bağlanma enerjisi gibi bir nükleer özelliğin sistematik davranıĢının etkileyici bir özetini verir (Cook, 2006; Weizsacker, 1935).
ġekil 2.3. Nükleon baĢına ortalama bağlanma enerjisi
Ancak sıvı damla modeli, çekirdeğin açısal momentum ve kararlılık koĢulu gibi ince ayrıntılarını açıklamakta yetersiz kalır (Gökbulut, 2012). Aynı zamanda, sihirli sayıya sahip çekirdeklerin komĢu çekirdeklere oranla göstermiĢ oldukları daha kararlı durumları açıklamada yetersiz kalmaktadır (Kılıç, 2007).
11 2.4.2. Fermi gaz modeli
Çekirdek kuvvetlerinin molekül bağına neden olan kuvvetlere benzemeleri, çekirdek maddesini bir gaz gibi kabullenmemize olanak sağlamaktadır. Fermiyonlardan oluĢan fermi gaz modelinde fermiyonlar bağımsız parçacık gibi hareket ederler. Ayrıca bu modelde nükleon baĢına bağlanma enerjisi ve çekirdek yoğunluğu sabit olarak kabul edilir (Krane, 2006). Nükleer yapı tartıĢmaları içine kuantum mekaniksel etkileri katan ilk giriĢimlerden birisi Fermi gaz modeli olup çekirdeğin, çok küçük bir bölge ile sınırlandırılmıĢ nükleer hacimde, serbest protonlardan ve nötronlardan oluĢan bir gaz olduğu varsayılır (Das ve Ferbel, 2005; Gökbulut, 2012).
Bu sistem içindeki tek bir nükleonun enerji düzeyleri, bu nükleonun dıĢında kalan diğer tüm nükleonların oluĢturduğu ortalama potansiyel için Schrödinger denkleminin çözülmesi ile bulunur ve nükleon çifti arasındaki etkileĢmeler ihmal edilir (Eser, 2006).
Burada protonlar ve nötronlar, sınırları çekirdeğin yarıçapı ile belirlenen keskin sınırlara sahip, derinliği bağlanma enerjisini verecek Ģekilde ayarlanabilen küresel simetrik bir kuyu içinde hareket ediyormuĢ gibi ele alınır. Protonlar arasındaki Coulomb etkileĢmesinden dolayı Ģekilde görüldüğü gibi protonların algıladığı potansiyel, nötronların algıladığı potansiyelden (enerji seviyelerinden) farklıdır (Das ve Ferbel, 2005; Martin, 2006; Gökbulut, 2012).
12
ġekil 2.4. Fermi gaz modelinde proton ve nötronlar için alınan potansiyel kuyu Ģekli
ġekil 2.4’ten görüldüğü gibi, pozitif yüklü protonlar arasındaki Coulomb itmesinden dolayı proton kuyusu nötronunkine göre daha yüksektir. Nötronların kuyu derinliğinin, protonların kuyu derinliğinden fazla olması, çekirdek içinde protonların nötronlara göre daha az sıkı bağlı olduğunu gösterir (Martin, 2006; Taylor ve ark., 2008).
Fermiyonlar Pauli ilkesine göre çekirdek içinde en düĢük enerji düzeyinden baĢlayarak artan enerjiye göre enerji düzeylerini doldurur. Fermi gazının bu en düĢük enerjiye sahip durumu taban durumu olarak adlandırılır. Fermi gazının karakteristik büyüklükleri, gazın taban durumuna göre tanımlanır. En yüksek dolu enerji düzeyine fermi düzeyi, bu düzeyin enerjisine fermi enerjisi ve bu düzeydeki fermiyonların momentumuna fermi momentumu denir. Aynı zamanda fermi enerjisine karĢılık gelen sıcaklıkta fermi sıcaklığı olarak adlandırılır (ġirin, 2006; Das ve Ferbel, 2005).
13
k Boltzmann sabiti olarak tanımlanır. E fermi enerjisi, F M nükleonun kütlesi olmak üzere; fermi momentumu 𝑃𝐹 = 2𝑀𝐸𝐹 1/2’ dır. V hacmi içinde p ve pdp arasındaki durum sayısı;
dp p V dn dp p n 3 2 ) 2 ( 4 ) (
gibi durum yoğunluğu ile verilir. Her bir seviyede iki fermiyon bulunduğundan,
pF
dn n
0
2 den yararlanılarak nötron ve proton sayısı aĢağıdaki gibi elde edilir.
2 3 3 3 ) ( n F p V N , 2 3 3 3 ) ( p F p V Z Yukarıdaki eĢitlikte 𝑉 =4 3𝜋𝑅0 3𝐴 olarak alınır (𝑅 0 = 1.21 𝑓𝑚). Nötron ve proton kuyularının derinliklerinin aynı olduğu varsayılırsa,
2
A Z
N için fermi momentumu,
3 1 0 8 9 R p p p Fp n F F 250 MeV/c
olarak elde edilir. Nükleonlar çekirdek içinde büyük bir momentum değerine sahip olarak serbestçe hareket etmektedir. Buradan fermi enerjisi,
M p E F F 2 2 33 MeV
Ģeklinde bulunur. Nükleon baĢına bağlanma enerjisinin değeri yaklaĢık 7-8 MeV olup potansiyel kuyunun derinliği,
A B E V0 F 40 MeV
14
bulunur. Fermi gaz modeline göre nükleonlar, yaklaĢık olarak 40 MeV değerinde bir potansiyel içinde serbest olarak hareket etmektedir. Fermi gaz modeli ile sihirli sayı (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) değerine sahip çekirdeklerin kararlılığı açıklanabilmektedir, çok yüksek enerjilerdeki nükleon saçılmaları ve potansiyel kuyunun derinliği hakkında tahminler yapılabilmektedir (Arya, 1966). Fakat bu model çekirdeğin spin, parite ve manyetik moment gibi özelliklerini tam olarak açıklayamamaktadır (Sönmezoğlu, 2006).
2.4.3. Kabuk (Shell) modeli
Fermi gaz modeli ve sıvı damla modeli kabaca çekirdeği temsil eder. Bu modeller sihirli sayılar olarak adlandırılan (2,8,20,28,50,82,126) belli değerlere sahip çekirdeklerin kararlılığını açıklar (Eser, 2006). Yarı-deneysel bağlanma enerjisi formülü, çekirdeklerin bağlanma enerjilerini iyi bir yaklaĢıklıkla verebilmektedir. Fakat bu formül ortalama ve yaklaĢık bir model olduğu için; nükleonların atomik elektronlar gibi, kuantalanmıĢ düzeylerde bulunuĢundan beklenen dalgalanmaları göstermez (Taylor ve ark., 2008).
Kabuk (shell veya tabakalı) modeli üzerine kurulan atom teorisi, atomun yapısının karmaĢık ayrıntılarını açıklamakta çok büyük baĢarı sağlamıĢtır. Nükleer yapı problemlerinin çözümü ve çekirdeklerin özelliklerinin açıklanmasında benzer bir teorinin kullanılabileceğine kanaat getirilmiĢtir. Atomik kabuk modelinde, kabuklar giderek artan enerjili elektronlarla Pauli prensibine uyacak biçimde doldurulur ve neticede tamamen dolu kabuklardan oluĢan bir eylemsiz kor ve birkaç değerlik elektronları elde edilir. Bu durumda model, atomik özelliklerin esas olarak değerlik elektronları tarafından belirlendiğini varsayar (Krane, 2006).
Bu model nükleer yapıya uygulanmaya çalıĢıldığında birçok güçlükle karĢılaĢılır. Atomik durumda potansiyel, çekirdeğin coulomb alanı ile sağlanır; alt kabuklar (yörüngeler) bir dıĢ kaynak tarafından oluĢturulur. Bu durumda Schrödinger denklemi
15
bu potansiyel için çözülebilir ve elektronların yerleĢebileceği alt kabuklar hesaplanabilir. Fakat çekirdekte böyle bir dıĢ kaynak yoktur. Nükleonlar kendilerinin oluĢturduğu bir potansiyel içinde hareket eder.
Atomik kabuk teorisinin ortaya çıkardığı diğer güçlük uzaysal yörüngelerin varlığıdır. Atomik özellikleri elektron yörüngeleri ile tasvir etmek genel olarak çok yararlıdır. Elektronlar bu yörüngelerde diğer elektronlarla çarpıĢmadan oldukça serbest bir Ģekilde hareket eder (Krane, 2006).
Nükleer potansiyel, kabuk modelinin temel varsayımı ile ifade edilmektedir yani bir nükleonun hareketi, diğer tüm nükleonların oluĢturduğu potansiyel tarafından belirlenir. Nükleonların davranıĢı bu Ģekilde göz önüne alınarak, nükleonların bir alt kabuk serisinin enerji düzeylerini doldurmasına izin verebilir. Uzaysal yörüngelerin iĢleyiĢi Pauli ilkesine göre olmaktadır.
2.2.3.1. Nükleer kabuk modeli potansiyeli
Kabuk modelini geliĢtirmek için öncelikli olarak yapılması gereken ilk iĢ, çekirdek içerisinde nükleonların hareket ettiği potansiyelin belirlenmesidir (Akyürek, 2007). Kabuk modelinde nükleonların etkileĢmelerini belirlemek için, ilk önce kare kuyu potansiyeli ve harmonik osilatör potansiyeli kullanılmıĢtır.
16
ġekil 2.5. Kare kuyu potansiyeli
Nükleonların çekirdek çapı mesafelerinde bulunabilmeleri gerçeğinden hareketle kare kuyu potansiyeli mantıklıdır ancak nükleonun hiçbir zaman kuyu içinde aynı potansiyeli hissetmesi gerçekçi değildir.
Diğer bir sorun ise, kare kuyu potansiyelinde bir nötron veya protonu dıĢarıya çıkarmaya yetecek enerjiyi sonsuz büyüklükte sağlamamız gerekir. Ayrıca kare kuyu potansiyelinin çözümleri tam olarak çekirdeğin özelliklerini vermediğinden ve çekirdeğin yoğunluğunu keskin kenarlara sahip olarak göstermesinden dolayı kullanılmamıĢtır. Diğer taraftan Harmonik osilatör potansiyeli keskin bir Ģekle sahip değildir ve yine sonsuz bir ayrılma enerjisi gerektirir (Krane, 2006).
17
ġekil 2.6. Harmonik osilatör potansiyeli
Son olarak kabuk modeli potansiyeli olarak, kare kuyu ve harmonik osilatör potansiyellerinin arasında bir Ģekle sahip olan Wood-Saxon potansiyelini seçilir (ġekil 2.7). Bu potansiyel çekirdeğin yoğunluğunun bulunmasında kullanılan potansiyel Ģekline benzer olup keskin hatlara sahip olmayan ve sınır Ģartlarını sağlayan fiziksel olarak uygun bir potansiyeldir.
ġekil 2.7. Wood-Saxon potansiyelinin kare kuyu ve harmonik osilatör potansiyeli ile karĢılaĢtırmalı Ģekli
18
𝑉 𝑟 = −𝑉0 / 1 + exp 𝑟−𝑅 𝑎
R ve a parametreleri burada sırasıyla ortalama yarıçap ve yüzey kalınlığını
göstermektedir. R=1,25𝐴13 fm ve a=0,524 fm olarak seçilir. Burada kuyu derinliği 𝑉0, uygun ayrılma enerjilerini verecek Ģekilde ayarlanır ve 50 MeV mertebesindedir. Bu durumda elde edilen enerji düzeyleri aĢağıdaki Ģekilde gösterilmiĢtir.
ġekil 2.8. Solda ara durum, ġekil 2.7’de verilen potansiyel ile hesaplanan enerji düzeyleri gösterilmiĢtir. Sağda ise spin-yörünge etkileĢmesinin etkisi gösterilmiĢtir.
19
Bunların dıĢında kullanılan Gaussian potansiyeli ve Yukawa potansiyelleri mevcuttur. Bunlar için kullanılan potansiyellerin matematiksel ifadeleri Çizelge 2.1’ de görülmektedir.
Çizelge 2.1. Bazı nükleer potansiyel çeĢitleri
Kare Kuyu Potansiyeli 𝑉 = −𝑉0 → 𝑟 < 𝑅
𝑉 = +∞ → 𝑟 > 𝑅
Harmonik Osilatör Potansiyeli 𝑉 = −𝑉0+
1 2𝑀𝑤 2𝑟2 Woods-Saxon Potansiyeli 𝑉 = −𝑉0 1 + 𝑒𝑥𝑝 𝑟 − 𝑅𝑎 Gaussian Potansiyeli 𝑉 = −𝑉0𝑒𝑥𝑝 −𝑟 2 𝑅2
2.2.3.2. Spin yörünge potansiyeli
Kullanılan potansiyelin sihirli sayıları tam olarak vermesi için potansiyelde köklü değiĢiklikler yapmak yerine Wood-Saxon potansiyeline yeni terimler eklenmiĢtir. Çünkü modelin fiziksel içeriğini değiĢtirmek çok akılcı değildir. 1949 yılında Mayer, Haxel, Suess ve Jensen tarafından potansiyele spin yörünge potansiyelinin eklenmesinin alt kabukların ayrılmalarını tam olarak vereceği gösterilmiĢtir (Krane, 2006).
Atom fiziğinde spektral çizgilerin gözlenen ince yapısına neden olan spin-yörünge etkileĢmesi, elektronun manyetik momentinin, elektronun çekirdek etrafındaki hareketinden ileri gelen manyetik alanla elektromanyetik etkileĢmesi sonucunda oluĢur. Bu etkiler oldukça küçüktür ve yaklaĢık olarak atomik düzeyler arasındaki mesafenin 105 i kadardır. Bu durumda hiçbir elektromanyetik etkileĢme, nükleer düzey aralığı üzerinde, gözlenen sihirli sayıları verecek kadar kuvvetli değildir.
20
Tüm bu sebeplerden dolayı atomik spin-yörünge kuvveti ile aynı Ģekle sahip fakat elektromanyetik kökenli olmayan bir nükleer spin-yörünge kuvveti kavramı kabul edilir (Krane, 2006). Spin-yörünge etkileĢmesi atomunkine benzer Ģekilde fakat nükleer fizikte, çekirdekteki nükleonların spinleri ile açısal momentumlarının etkileĢmesi olarak açıklanmıĢtır (Eser, 2006). Her nükleonun yörünge açısal momentumu ile spin açısal momentumu arasındaki etkileĢimin nükleer potansiyele ilave edilmesiyle diğer sihirli sayıların elde edilmesi kabuk modelinin en önemli baĢarısı olmuĢtur (Akyürek, 2007).
Spin-yörünge etkileĢmesi 𝑉𝑠𝑜 𝑟 𝓵. 𝒔 biçiminde yazılır fakat burada önemli olan düzeylerin yeniden düzenlenmesine neden olan 𝓵.s terimidir. Spin yörünge etkileĢmesinde durumları ifade etmek için toplam açısal momentum 𝒋 = 𝓵 + 𝒔 ile verilir. Bir tek nükleonun spini 𝑠 =1
2 olduğundan toplam açısal momentumun değeri 𝑗 = ℓ +1
2 veya 𝑗 = ℓ − 1
2 olabilir. 𝓵.s’ nin beklenen değeri EĢitlik 2.5 ile gösterilmiĢtir.
< 𝓵. 𝒔 >=1
2 𝑗 𝑗 + 1 − 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑠 𝑠 + 1 ћ 2
(2.5)
Böylece kabuk modelindeki toplam potansiyel,
𝑉 𝑟 = 𝑉𝑤𝑠 + 𝑉𝑆𝑂 𝑟 𝓵. 𝒔 (2.6)
olarak elde edilir. EĢitlik 2.6’ da 𝓵 ve 𝒔 bir nükleonun yörüngesel (orbital) ve spin açısal momentum oparatörleridir. 𝑉𝑆𝑂 𝑟 ise radyal olarak seçilen keyfi bir fonksiyondur. Enerji düzeylerinin yeniden düzenlenmesini sağlayan ve dejeneriliği açıklayan esas çarpan 𝓵. 𝒔 dir (Martin, 2006, Gökbulut, 2012). ℓ = 0,1,2,3,4,… olan kuantum durumları s,p,d,f,g,… olarak adlandırılmaktadır. Enerji seviyelerinin dejeneriliği 2(2ℓ + 1) ile verilir. Enerji yarılması artan ile artar. 𝑉𝑆𝑂 𝑟 nin negatif seçilmesi durumunda 𝑗 = ℓ +1
2 seviyesinin 𝑗 = ℓ − 1
2 seviyesine göre aĢağı doğru itildiği ġekil 2.8’de görülür.
21
Kabuk modeli, basit olmasına rağmen hemen hemen bütün tek A’lı çekirdeklerin taban durumlarının spin ve paritelerini belirlemede baĢarılıdır. Ayrıca protonların ve nötronların sihirli sayılar ile birlikte karalılığını da açıklamaktadır (Krane, 2006). Manyetik dipol ve elektrik kuadrupol momentlerin hesaplanmasında ise daha az baĢarılıdır. DıĢ yörüngesinde fazla nükleon bulunan çekirdeklerin enerjilerini ve elektromanyetik özelliklerini de açıklayamamıĢtır (Küçük, 2007).
2.5. Nükleer Yük Dağılımı
Nükleer fiziğin ilk günlerinden beri, çekirdek özelliklerinin araĢtırılmasında nükleer yük ve yoğunluk dağılımları oldukça ilgi çekmiĢtir (Terashima, 2008). Kararlı çekirdeklerdeki yük dağılımları genellikle elastik elektron saçılmaları ve müonik X ıĢını verileri ile güvenilir bir Ģekilde ölçülür (Vries ve ark.,1987). 1950’ ler de, Hofstader ve ark.nın Stanford’ da yaptıkları yüksek enerjili saçılma deneyleri ile birlikte yük dağılımlarıyla ilgili çalıĢmalar baĢlamıĢtır (Vries ve ark.,1987). Ġlk baĢlarda, Fermi tipi ve modifiye edilmiĢ Gaussian tipi gibi basit yoğunluk fonksiyonları kullanılarak deneysel veriler analiz edilmiĢtir (Jones, 1970; Jager ve ark., 1974). Çekirdekten parçacıkların ve iyonların saçılması, kararlı izotopların yük, madde, akım ve momentum dağılımları üzerine yıllar boyunca değerli bilgiler sağlamıĢtır.
2.5.1. Nötron yoğunluk dağılımlarının incelenmesi
Kararlı çekirdeklerdeki yük dağılımları; genellikle elastik elektron saçılmaları ve müonik X ıĢını verileri ile güvenilir bir Ģekilde ölçülür (Vries ve ark.,1987). Bu yük duyarlı deneyler, çekirdeklerin yük dağılımları hakkında doğru bilgiler verir. Öte yandan, elektromanyetik etkileĢmelerin nötron yoğunluk dağılımları hakkında az bilgi vermesinden dolayı nötron yoğunluk dağılımlarını belirlemek daha zordur. Kararlı çekirdeklerde, proton ve nötron yoğunluk dağılımları benzer biçimdedir. Ancak yapılan son araĢtırmalarda bazı kararsız çekirdeklerde proton ve nötron dağılımları arasındaki
22
farkın kararlı çekirdeklerinkinden daha büyük olduğu ortaya çıkmıĢtır (Tanihata, 1988). Aynı zamanda nötron yüzey kalınlığının durum denkleminin simetri terimi ile yakın iliĢkili olduğu ortaya konulmuĢtur (Typel ve Brown, 2001; Danielewicz, 2003). Bu yüzden nötron yoğunluk dağılımlarının belirlenmesi daha çok önem kazanmıĢtır.
Elektromanyetik araĢtırmaların basit reaksiyon mekanizmasından dolayı çekirdek içinde yük yoğunluğu hakkında kesin bilgiler elde edilebilmektedir (Zenihiro ve ark., 2010). Teorik olarak nükleer yük yoğunluğu daha çok yoğunluğun Gaussian ve Fermi tipi ile tasvir edilmektedir. Genel olarak Gaussian dağılımı hafif çekirdeklerin yük yoğunluğunu tasvir etmek için, Fermi dağılımı ise ağır çekirdeklerin yük yoğunluğunu tasvir etmek için daha uygundur (Chu ve ark., 2010).
Çekirdekte proton yoğunluk dağılımı hakkında bilgi edinilebilmesine rağmen, nötron yoğunluk dağılımı çoğunlukla bilinmemektedir. Nötron yoğunluk dağılımı hakkında elde edilen bilgiler daha az ve daha az güvenilirdir (Pei ve ark., 2005).
Çekirdeklerdeki nötron dağılımlarının öğrenilmesi, çekirdek özelliklerinin belirlenmesi ve nükleer yapı çalıĢmaları için temel bilgilerin elde edilmesi açısından oldukça önemlidir (Gambhir ve Patil, 1985; Gambhir ve Patil, 1986; Zenhiro ve ark., 2010). Bu yüzden çekirdekteki nötron ve madde dağılımlarını belirlemek için bir çok deneysel çalıĢmalar yapılmıĢtır (Batty ve ark., 1989; Gils ve ark., 1984; Johnson ve ark., 1979; Barnett ve ark., 1984). Orta enerjili 𝛼 parçacıklarının nükleer madde ile güçlü etkileĢiminden dolayı, 𝛼 parçacıklarının çekirdekten saçılması çalıĢmaları nükleer yapı araĢtırmaları için çok önemli bir araç olmuĢtur (Bernstein ve Seidler, 1972; Tatischeff ve ark., 1972; Gills ve Rebel, 1976).
Gils ve ark. (1984), Johnson ve ark. (1979) ve Barnett ve ark. (1984) nötron ve madde yoğunluk dağılımları ile ilgili çalıĢmalarında pion ve α elastik saçılmaları kullanmıĢlardır. Gills ve Rebel (1976) tarafından nötron dağılımı hakkında bilgi edinmek için 104 MeV enerjili 𝛼 parçacıklarının 204,206,208𝑃𝑏 den saçılması deneyleri ile elastik saçılma tesir kesitleri ölçülmüĢtür. Nötron dağılımları ise deneysel tesir
23
kesitlerine uygun olarak değiĢen modifiye edilmiĢ Gaussian parametreleri ile ifade edilmiĢtir.
Trzcinska ve ark. (2001), 26 antiprotonik atomdaki X-ıĢını geçiĢlerinin değiĢimlerini ve geniĢliklerini ölçerek çekirdek sınır bölgesinde nötron yoğunluğunun proton yoğunluğuna oranını veren bir nötronun bir protona dönüĢme olasılığını elde etmiĢlerdir (Baran, 1996; Schmidt ve ark., 1999; Trzcinska ve ark., 2001; Klos ve ark., 2007). Yapılan bu çalıĢmada ağır izotopların yüzeyinin büyük oranda nötronlardan oluĢtuğu görülmüĢtür.
Çekirdeklerdeki nötron ve proton yoğunluk dağılımı ile ilgili deneysel çalıĢmalar yanında birçok teorik çalıĢmalar yapılmıĢtır. Pei ve ark. (2005) tarafından atom numarası 104-120 arasında olan süper ağır çekirdeklerdeki yoğunluk dağılımı Skyrme-Hatree Fock modeli kullanılarak araĢtırılmıĢtır. Gambhir ve ark. (1985; 1986; 1989; 1997) tarafından yapılan teorik çalıĢmalarda yoğunluğun asimptotik davranıĢı ile merkeze yakın davranıĢlarının özellikleri ele alınarak nötron ve proton yoğunlukları için basit yarı fenomonolojik ifadeler elde edilmiĢtir. Antonov ve ark. (2005) tarafından mikroskobik Shell modeli kullanılarak nötron zengini hafif, orta ve ağır çekirdeklerin yük form faktörleri ve daha hafif izotoplar (He, Li) için nötron ve proton yoğunlukları elde edilmiĢtir.
Orta enerjilerde proton elastik saçılması basit reaksiyon mekanizmasına sahip olduğundan dolayı bu enerjilerdeki protonların elastik saçılması nükleer yüzeydeki ve içerdeki bilgileri elde etmek için uygundur (Batty ve ark., 1989; Gils ve ark., 1984; Johnson ve ark., 1979; Barnett ve ark., 1984; Ray ve ark., 1978; Starodubsky ve Hintz, 1994). ġimdiye kadar, nötron yoğunluk dağılımları ile ilgili çalıĢmalar için 500 MeV üzerindeki enerjiler proton elastik saçılmasına uygulanmıĢtır (Ray ve ark., 1978; Starodubsky ve Hintz, 1994). Oysaki bu enerji, mezon üretmek için yeterince yüksektir ve oluĢan bu mezonlar nükleer yapı ile ilgili elde edilen bilgilerin kolayca maskelenmesine olanak sağlamaktadır.
24
DüĢük enerjilerde potansiyel ve nükleon yoğunluk dağılımları arasındaki iliĢki daha az açıktır. Çünkü fenomolojik potansiyeli kullanarak yoğunluk dağılımlarını çalıĢmak zordur (Takahashi ve ark., 1995; Aoki ve ark., 2007). Takahashi ve ark. (1995) birinci mertebeden optik potansiyel modelini kullanarak verileri analiz etti ve deneysel olarak elde edilen açısal dağılımları ve toplam tesir kesitini açıklamak için Fermi hareket düzeltmelerinin gerekliliğini gösterdi (Takahashi ve ark., 1995).
Alkhaznov ve ark. (1997), geniĢ bir momentum transfer bölgesinde önemli bir rol oynayan spin-orbit (yörünge) etkileĢmesini ihmal eden ve düĢük momentum transferi ile sınırlı Glauber modelini kullanarak deney sonuçlarını analiz etti. Brissaud ve Barussel (1977), aynı verileri Glauber modelini ve nötron yoğunluk dağılımları için bir model bağımsız formül kullanarak açıklama giriĢiminde bulundu.
1980’lerde, Dirac denklemlerine dayalı rölativistik yaklaĢımlar orta enerjili elastik proton saçılmalarına uygulandı. Murdock ve Horowitz, rölativistik impulse yaklaĢımına dayalı rölativistik Love-Franey etkileĢimini kullanarak birkaç yüz MeV’lik enerjilerde elastik saçılmaları hesapladı (Horowitz, 1985).
Nükleer ortamdaki büyük ortalama serbest yoldan dolayı, orta enerjili protonların çekirdek içerisindeki bilgiyi belirlemek için uygun olduğu düĢünülür. N~Z çekirdekler için, hedef nükleer yapıdan dolayı belirsizlikler elastik saçılmalarda nispeten küçüktür. Çünkü hedef çekirdekteki proton dağılımları elektron saçılmaları ile ölçülen yük dağılımları yüzünden kısıtlıdır ve N~Z çekirdekler için nötron dağılımları proton dağılımları gibi aynı kabul edilebilir. Bu yüzden orta enerjili proton elastik saçılmaları nükleer etkileĢimler için çeĢitli mikroskobik yaklaĢımların anlaĢılmasında kullanılır. N≠Z çekirdekler için, nötron dağılımlarının proton dağılımı ile aynı biçime sahip olacağı düĢüncesi öngörülemez. Ancak elastik saçılmalar hem hedef çekirdeğin yoğunluk dağılımları hem de nükleer ortamdaki NN etkileĢimleri için hassastır (Sakaguchi ve ark., 2000).
25
114,116,118,120,122,124Sn çekirdeklerinden proton saçılmaları ile ilgili pek çok enerjide ölçümler yapıldı (Takeda ve ark., 2003; Terashima ve ark., 2003). 100
Sn-176Sn arasındaki çift-çift Sn izotoplarının nötron ve proton yoğunluk dağılımları 200 MeV’lik bir enerjide Amos ve ark. (2004) tarafından Hartree-Fock-Bogoliubov modeli kullanılarak hesaplandı. Ray ve ark. (1978), polarize olmuĢ proton elastik diferansiyel tesir kesitlerini kullanarak 58Ni, 90Zr, 116-124Sn ve 208Pb çekirdeklerinin nötron yoğunluk dağılımlarındaki belirsizlikleri inceledi.
Sarriguren ve ark. (2007) tarafından Sly4 kuvvetleri ile birlikte Skyrme deforme Hartree-Fock modeli kullanılarak bazı çift-çift Ni, Kr ve Sn izotoplarının proton ve nötron yoğunlukları hesaplanmıĢtır.
26 3. MATERYAL ve METOT
Çekirdeğin nükleer özelliklerinin anlaĢılmasında nötron ve proton yoğunluk dağılımlarının öğrenilmesi oldukça önemlidir. Fakat nükleer yoğunluklarla ilgili yapılan teorik hesaplamalar ciddi zorluklar ve belirsizlikler içermektedir.
Bu çalıĢmada nükleon yoğunluklarının hesaplanmasında yer alan Fermi integrali seriye açılmıĢtır. Bu serilerin Mathematica 5.0 dilinde programları yapılarak bazı Sn izotoplarının nötron yoğunlukları hesaplanmıĢtır. Hesaplanan sonuçlar literatürdeki deneysel ve teorik sonuçlarla karĢılaĢtırılarak mevcut kullanılan yoğunluk ifadesine bir fit parametresi eklenmiĢtir.
3.1. Nötron Yoğunluk Dağılımlarının Hesaplanması
Thomas-Fermi yaklaĢımında nükleon yoğunluğu aĢağıdaki gibi tanımlanır (Samaddar ve ark., 2008; De ve ark., 1998): 𝜌 𝑟, 𝑇 = 2 ℎ3 𝑛 𝒓, 𝒑 𝑑𝒑 (3.1) =4𝜋 ℎ3 2𝑚 ∗ 𝑟 𝑇 3/2 𝐽 1/2 𝜂 𝑟 . (3.2)
Burada ℎ Planck sabiti, T sıcaklık, 𝑚∗ etkin nükleon kütlesi ve 𝐽
𝐹 𝜂 Fermi integrali (De ve ark., 1998),
𝑚∗ = 𝑚 𝑚𝑘/𝑚 𝑚𝑤/𝑚 . (3.3)
𝐽𝐹 𝜂 = 0∞1+exp 𝑦𝐹(𝑦−𝜂) 𝑑𝑦, (3.4) ve
27
𝜂 𝑟 = 𝜇 − 𝑉 𝑟 𝑇 (3.5)
gibi tanımlanır. EĢitlik (3.4) ve (3.5) te, 𝜇 kimyasal potansiyel ve 𝑉 𝑟 etkin tek parçacık potansiyeli aĢağıdaki gibi tanımlanır.
𝑉 𝑟 = 𝑉0 𝑟 + 𝑉𝐼 𝑟 + 𝑉𝑙𝑠 𝑟 + 𝑉𝑐(𝑟). (3.6)
EĢitlik (3.6)’da Woods-Saxon potential 𝑉0 𝑟 ,
𝑉0 𝑟 = −𝑉𝑁,𝑍 1 + 𝑒𝑥𝑝 𝑟−𝑅 𝑎
−1
(3.7)
Burada N ve Z çekirdekteki nötron ve protonların sayısı, a yüzey kalınlığı, R çekirdeğin ortalama yarıçapıdır ve 𝑉𝑁,𝑍 = 𝑉 1 − 0.63 𝑁−𝑍 𝐴 , nötron için 1 + 0.63 𝑁−𝑍 𝐴 , proton için (3.8)
‘dır. Burada 𝑉 potansiyel kuyunun derinliği olup yaklaĢık 50 MeV’dir. Woods-Saxon Potansiyeli’ nin izovektör kısmı 𝑉𝐼 𝑟 aĢağıdaki gibi tanımlanır.
𝑉𝐼 𝑟 = 2𝜍𝑉0 𝑟 𝑁−𝑍
𝐴 𝑡𝑍 (3.9)
EĢitlik (3.9)’da, 𝜍=0.63, A kütle numarası ve 𝑡𝑍 sırasıyla nötron ve protonlar için 1 2 ve −1
2 dir. EĢitlik (3.6)’da, spin-yörünge potansiyeli 𝑉𝑙𝑠 𝑟 ve Coulomb potansiyeli 𝑉𝑐(𝑟):
𝑉𝑙𝑠 𝑟 = 𝜎𝑙𝑠1 𝑟
𝑑𝑉0(𝑟)
28 ve 𝑉𝑐 𝑟 = 𝑒2 𝑍 − 1 1 2𝑅 3 − 𝑟 𝑅 2 , 𝑟 ≤ 𝑅 1 𝑟 , 𝑟 > 𝑅 . (3.11)
gibi ifade edilir. EĢitlik (3.10) ve (3.11)’de, spin-yörünge çifti kuvveti 𝜎𝑙𝑠 = 0.263’dir ve 𝑒2=1.4399 (MeV.fm)’dir.
EĢitlik (3.3)’teki Fermi integralinin hesaplanması için, EĢitlik (3.4)’te Binomial seri açılım teoremi kullanılırsa (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2007);
𝑥 ± 𝑦 𝑛 = ±1 𝑚𝐹
𝑚 𝑛 ∞
𝑚 =0 𝑥𝑛 −𝑚𝑦𝑚. (3.12)
Burada, 𝐹𝑚 𝑛 binomial katsayısı olup aĢağıdaki gibi ifade edilir.
𝐹𝑚 𝑛 =
𝑛! 𝑚! 𝑛 − 𝑚 ! , 𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑠𝑎𝑦ı −1 𝑚Γ 𝑚 −𝑛
𝑚 !Γ −𝑛 , 𝑛 ≠ 𝑡𝑎𝑚𝑠𝑎𝑦ı
(3.13)
EĢitlik (3.4)’de 1 + 𝑒𝑥−𝜂 −1 fonksiyonunda EĢitlik (3.12) ve (3.13) ifadeleri kullanılarak,
1 + 𝑒𝑥−𝜂 −1 = lim𝑁→∞ 𝑁 𝑓𝑖 −1 𝑖=0
𝑒− 1−𝑖 𝑥−𝜂 𝑥 ≥ 𝜂
𝑒 𝑥−𝜂 𝑖 𝑥 ≤ 𝜂 (3.14)
ifadesi elde edilir. EĢitlik (3.4)’de, EĢitlik (3.14) dikkate alınırsa,
𝐽𝛼 𝜂 = 𝜂𝛼 +1 𝛼 +1 + lim𝑁→∞ 𝑓𝑖 −1 𝐾𝑖 𝑁 𝑖=0 𝛼, 𝜂 + lim𝑁→∞ 𝑓𝑗 −1 𝑒𝜂 1+𝑗 Γ 𝛼+1,𝜂 𝑗 +1 𝑗 +1 𝛼 +1 𝑁′ 𝑗 =0 , 0 < 𝜂 < ∞ (3.15) ve
29 𝐾𝑖 𝛼, 𝜂 = −1 𝑗 𝛼 𝑗 =0 𝑓𝑗 𝛼 𝜂𝛼−𝑗 𝛾 𝑗 +1,𝑖𝜂 𝑖𝑗 +1 , tamsayı 𝛼 > 0 lim𝑀→∞ 𝑀 −1 𝑗 𝑗 =0 𝑓𝑗 𝛼 𝜂𝛼−𝑗 𝛾 𝑗 +1,𝑖𝜂 𝑖𝑗 +1 , 𝑡𝑎𝑚𝑠𝑎𝑦ı𝑑𝑒ğ𝑖𝑙 𝛼 . (3.16)
EĢitlik (3.15) - (3.16)’da, Γ 𝛼, 𝑥 ve 𝛾 𝛼, 𝑥 sırasıyla gamma ve tamamlanmamıĢ (incomplete) fonksiyonlarıdır (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980). EĢitlik (3.15), EĢitlik (3.2)’de yerine konulduğunda nükleon yoğunluk dağılımları için,
𝜌 𝑟, 𝑇 = 𝑌𝑛 ×4𝜋 ℎ3 2𝑚∗ 𝑟 𝑇 3 2×𝜂 𝛼 +1 𝛼+1 + lim𝑁→∞ 𝑓𝑖 −1 𝐾𝑖 𝑁 𝑖=0 𝛼, 𝜂 + lim𝑁→∞ 𝑓𝑗 −1 𝑒𝜂 1+𝑗 Γ 𝛼+1,𝜂 𝑗 +1 𝑗 +1 𝛼 +1 𝑁′ 𝑗 =0 (3.17)
ifadesi elde edilir. EĢitlik (3.17)’de 𝑌𝑛 düzeltme parametresi olup, nötronlar için 1 6∗𝑛’ dir. Burada 𝑛 nötron sayısıdır.
30 4. BULGULAR
Bu bölümde, Bölüm 3’de elde edilen analitik ifade kullanılarak bazı çift-çift Sn izotoplarının nötron yoğunluk dağılımları hesaplanmıĢtır. ġekil 4.1 - 4.6’ da Sn (116, 118, 120, 124, 130 ve 132) izotopları için hesaplanan ve literatürden elde edilen nötron yoğunluk değerleri gösterilmiĢtir.
ġekil 4.1. 116
31 ġekil 4.2. 118
Sn için nötron yoğunluk dağılımı
ġekil 4.3. 120
32 ġekil 4.4. 124
Sn için nötron yoğunluk dağılımı
ġekil 4.5. 130
33 ġekil 4.6. 132
34 5. SONUÇ ve TARTIġMA
Bu çalıĢmada 116,118,120,124,130,13250 Sn izotoplarının nötron yoğunlukları hesaplanmıĢtır. Öncelikle, Fermi integrali çözümü için Guseinov ve Mamedov (2010) tarafından elde edilen analitik ifade kullanılarak nötron yoğunluk dağılımları için basit bir analitik ifade oluĢturuldu. Elde edilen analitik ifadenin Mathematica 5.0 programlama dilinde programı yapılarak farklı yarıçap değerleri için nötron yoğunlukları hesaplanmıĢtır. Daha sonra elde edilen değerler literatürden elde edilen teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırılarak nötron yoğunluk dağılımı ifadesine sabit bir terim eklenmiĢtir. Elde edilen ve literatürden alınan sonuçlar ġekil 4.1 - 4.6’ da verilmiĢtir.
ġekil 4.1’ de, 11650 Sn çekirdeğinin farklı yarıçap değerleri için nötron yoğunluk dağılımı gösterilmiĢtir. ġekil 4.1’ den de görüldüğü gibi elde edilen değerler ile Bartel ve ark. (1982)’ nın sonuçları ile oldukça uyumludur. Örneğin, bu çalıĢmada r = 3,5 fm’ de nötron yoğunluğu 0,0870598 fm-3
iken Bartel ve ark.(1982)’ nın yaptığı çalıĢmada 0,0869081 fm-3 olarak elde edilmiĢtir. Burada en büyük uyumsuzluk 0,5 fm’ de dir. Öte yandan bu çalıĢmada elde edilen sonuçlar, Negele ve Vautherin (1972)’ in teorik sonuçları ve Batty ve ark. (1989)’nın deneysel sonuçları ile uyum içindedir. Bu uyum özellikle çekirdek yarıçapının 1,5 - 6 fm olduğu değerde göze çarpmaktadır. Örneğin r = 5,5 fm’de bu çalıĢmada hesaplanan nötron yoğunluk değeri 0,0437892 fm-3 olup, diğer çalıĢmalardan elde edilen sonuçlar sırasıyla 0,0420814 fm-3
(Negele ve Vautherin, 1972), 0,0389222 fm-3 (Terashima ve ark., 2008), 0,0427855 fm-3 (Bartel ve ark., 1982), 0,0411142 fm-3(Batty ve ark., 1989)’ dür. Burada Terashima ve ark. (2008)’ nın elde etmiĢ oldukları grafikte bir kamburluk söz konusudur. Burada görülen uyumsuzluklar her bir çalıĢmada kullanılan modellerdeki (potansiyel seçimi vb.) farklı kabullenmelerden kaynaklandığı söylenebilir.
Sn 50
118 izotopunun farklı yarıçaplar için nötron yoğunluk dağılımları ġekil 4.2’ de, gösterilmiĢtir. Bu çalıĢmada elde edilen sonuçlar ile Denisov ve Nesterov (2006)’ un sonuçlarının uyum içinde olduğu görülmektedir. Örneğin r = 4,5 fm’de nötron
35
yoğunluğu için bu çalıĢmada ve literatürden elde edilen değerler; 0,0766508 fm-3 , 0,0786133 fm-3 (Terashima ve ark., 2008) ve 0,0778351 fm-3 (Denisov ve Nesterov, 2006). Terashima ve ark. (2008)’ ın ve bu çalıĢma da elde edilen sonuçlar karĢılaĢtırıldığında uyumsuzluk çekirdek yarıçapının 0-4 fm arasında olup en büyük uyumsuzluk r = 0,25 fm’ de olup % 4,89’ dur.
DeğiĢik yarıçap değerlerinde 12050 Sn çekirdeğinin nötron yoğunluk dağılımı için hesaplanan ve literatürden elde edilen sonuçlar ġekil 4.3’ de gösterilmiĢtir. Bu çalıĢma sonucunda elde edilen sonuçların değiĢimi ile Terashima ve ark.(2008)’ ın elde ettikleri sonuçların değiĢimi benzerdir. Çekirdek yarıçapı r = 4 fm’ ye kadar bu çalıĢmada grafik oldukça sabit olup, Terashima ve ark.(2008)’ ın elde ettikleri grafikte ise hafif dalgalanma hariç sabit sayılabilmektedir. r = 4,75 fm de nötron yoğunluğu için hesaplanan ve literatürden elde edilen değerler sırasıyla, 0,0701151 fm-3
, 0,0698837 fm-3 (Amos ve ark., 2004), 0,0698298 fm-3 (Terashima ve ark., 2008). Diğer çalıĢmalarla karĢılaĢtırıldığında en büyük uyumsuzluk r = 0,25 fm’ de % 19,39 olarak görülmektedir. SkP modelde çekirdek yarıçapının r=4 fm’ ye kadar olan kısmında bir kamburluk (çukurluk) söz konusudur.
Farklı yarıçap değerlerinde 12450 Sn çekirdeğinin nötron yoğunluk dağılımı için hesaplanan ve literatürden elde edilen sonuçlar (Denisov ve Nesterov, 2006; Terashima, 2008; Negele ve Vautherin, 1972) ġekil 4.4’ te gösterilmektedir. ġekil 4.4’ten görüldüğü gibi, bu çalıĢmadan elde edilen sonuçlar ile Denisov ve Nesterov (2006)’ un sonuçları arasında bir uyum vardır. Her iki çalıĢmada da yoğunluk dağılımı r = 4 fm ye kadar sabit daha sonra azalmaktadır. Diğer çalıĢma sonuçları ile karĢılaĢtırıldığında, elde edilen değerler arasındaki en büyük uyumsuzluk r =0,25 fm’ de (Negele ve Vautherin, 1972) görülmektedir ve yaklaĢık % 23.37’dir.
Sn 50
130 çekirdeğinin farklı yarıçap değerlerinde nötron yoğunluk dağılımı ġekil 4.5’ te gösterilmiĢtir. Bu çalıĢmadan elde edilen sonuçlar ile Amos ve ark. (2004)’nın SkP model kullanarak elde ettiği sonuçlar çekirdek yarıçapının 4-7 fm değerinde benzer
36
olduğu görülmektedir. En büyük uyumsuzluk 0,25 fm’ de ve % 28,56’ dır. Bu uyumsuzlukta diğer izotoplar çekirdeklerde olduğu gibi modellerde kullanılan potansiyellerin farklılığı, spin etkisi ve simetri etkisi gibi bazı etkileĢimlerin dikkate alınmamasından kaynaklanabilir.
ġekil 4.6’ da 13250 Sn çekirdeğinin nötron yoğunluk dağılımı için hesaplanan ve literatürden elde edilen sonuçlar gösterilmiĢtir. Bu çalıĢma elde edilen sonuçlar Denisov ve Nesterov (2006)’ ın sonuçları ile benzer uyum göstermektedir. Sonuçlar arasındaki uyum r = 4,5 fm’ den sonra artmaktadır. Bu çalıĢmalarla karĢılaĢtırıldığında en büyük uyumsuzluk r = 0,25 fm’de olup yaklaĢık % 27’ dir.
Sonuç olarak, bu çalıĢma da bazı Sn (116, 118, 120, 124, 130, 132) izotoplarının nötron yoğunluk dağılımlarının hesaplanabilmesi için basit bir analitik ifade oluĢturulmuĢtur. Bu analitik ifadenin bilgisayar modellemeleri ve simülasyonlarında kullanımı çekirdeğin özelliklerinin, özellikle nükleer yoğunluk dağılımlarının belirlenmesinde yararlı olabilir.
37 KAYNAKLAR
Alkhazov G. D. ve ark., 1977. Neutron matter densities in the even Ni isotopes. Phys. Lett. B 67, 402
Akyürek, T., 2007. A=18 kütle numaralı çekirdekler için nükleer enerji seviyelerinin hesaplanması. (Y.Lisans Tezi), Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Fizik Anabilim Dalı, Isparta.
Amos, K., Karataglidis, S., Dobaczewski, J., 2004. Probing the densities of Sn isotopes. Physical Review C 70, 024607
Aoki, K., Sakaguchi, H. ve ark., 2007. Elastic and inelastic scattering of π+ and π- on 12C at 995 MeV/c. Phys. Rev. C76, 024610
Antonov, A.N., Kadrev, D.N. ve ark., 2005. Charge and matter distributions and form factors of light, medium and heavy neutron-rich nuclei. Physical Review C, 72, 0444307.
Arya, A.P., 1966. Fundamental of Nuclear Physics.
Baran, A., Pomorski, K. ve Warda M., 1997. Neutron halos in heavy nuclei-relativistic mean field approach. Zeitschrift Für Physik A, 357, 33-38.
Barnett B.M., ve ark., 1984. Density distribution differences of protons in 16,18O from ratios of π+ elastic scattering cross sections. Phys. Lett. B 156, 172
Bartel, J. ve ark., 1982. Towards a better parametrisation of Skyrme-like effective forces: A critical study of the SkM force. Nucl. Phys. A 386, 79.
Batty, C.J. ve ark.,1989. in Advances in Nuclear Physics, edited by J. W. Negele and E. Vogt (Plenum, New York, 1989), Vol. 19, p. 1.
Beiser, A., 2008. Modern Fiziğin Kavramları. Çeviren: Gülsen ÖNENGÜT. Akademi Yayınları, Ankara.
Berezhnoy, Y.A., 2005. The Quantum World of Nuclear Physics. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 187 p, London.
Bernstein, A.M. ve Seidler W.A., 1972. The distribution of nucleons in the nuclear surface from elastic alpha particle scattering. Physics Letters, 39B(5), 583-586. Brissaud, I. ve Barussel, M.K., 1977. Nuclear model-independent matter density from
1.04 GeV proton elastic scattering. Phys. Rev. C 15, 452
Cansoy, Ç., 1978. Teorik Fizik Dersleri Cilt 10 Çekirdek Teorisi. Ġstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, Ġstanbul.
Carter, V., 2009. Advanced Nuclear Physics. Global Media, 104 p, Delhi.
Centelles, M., Roca-Maza, X., Vinas, X. ve Warda M., 2010. Origin of the Neutron Skin Thickness of 208Pb in Nuclear Mean-Field Models. Physical Review C, 82, 054314.
Chu, Y., Ren, Z., Wang, Z. ve Dong T., 2010. Central Depression of Nuclear Charge Density Distribution. Physical Review C, 82, 024320.
Cook, N.D., 2006. Models of the Atomic Nucleus. Springer Business Media, 342 p, London.
Danielewicz, P., 2003. Surface symmetry energy. Nucl. Phys. A 727, 233.
Das, A. ve Ferbel T., 2003. Introduction to Nuclear and Particle Physics. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 395 p, New Jersey.
38
De, J.N., Shlomo, S. ve Samaddar S.K., 1998. Level density parameter in a refined Thomas-Fermi theory. Physical Review C, 57(3), 1398-1403.
Denisov, V. Yu. ve Nesterov, V. A., 2006. Potential of interaction between nuclei and nucleon-density distribution in nuclei. Physics of Atomic Nuclei 69(9), 1472– 1484.
Eser, E., 2006. Bazı Deforme Ağır Çekirdeklerin Enerji Seviye Yoğunluk Parametresinin Ġncelenmesi. (Yüksek Lisans Tezi), GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Fizik Anabilim Dalı, Tokat.
Ford, W. ve Hill D.L., 1955. The Distribution of Charge in the Nucleus. Annuals of Review Nuclear Science, 5, 25-72.
Gambhir, Y.K. ve Patil S.H., 1985. Neutron and Proton Densities in Nuclei. Zeitschrift Für Physik A Atoms and Nuclei, 321, 161-164.
Gambhir, Y.K. ve Patil S.H., 1986. Some Characteristics of Nuclear Densities. Zeitchrift Für Physik A Atomic Nuclei, 324, 9-13.
Gambhir, Y.K., Ring, P. ve De Vries H., 1989. Semi-Phenomenological Charge Distribution in Nuclei. Europhys Letter, 10(3), 219-224.
Gambhir, Y.K., Bhagwat, A., Van Giai, N. ve Shuck P., 2001. Thick skin in neutron/proton rich sodium isotopes. Eur. Phys. J.A, 11, 155-160.
Gils, H.J., Rebel, H. and Friedman, E., 1984. Isotopic and isotonic differences between
α particle optical potentials and nuclear densities of 1f7/2 nuclei. Phys. Rev. C 29, 1295
Gökbulut, M., 2012. KurĢun-208 çekirdeğinin nötron ve proton yoğunluk dağılımlarının incelenmesi (Yüksek Lisans Tezi), GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Fizik Anabilim Dalı, Tokat.
Gils, H.J. ve Rebel H., 1976. Differences between neutron and proton density rms radii of 204,206,208Pb
determined by 104 MeV α-particle scattering. Physical Review C, 13(6), 2159-2165.
Gradshteyn, I.S. ve Ryzhik I.M., 1980. Tables of Integrals, Sums, Series and Product, 4th edn., vols. 340-345, 662 p, Academic, New York.
Guseinov, I.I. ve Mamedov B.A., 2010. Unified treatment for accurate and fast evaluation of the Fermi-Dirac functions. Chin. Phys. B, 19(5), 050501, 1-6. Hahn, B., Ravenball, D.G. and Hofstadter, R., 1956. High-Energy Electron Scattering
and the Charge Distributions of Selected Nuclei. Phys. Rev. 101, 1131.
Hatanaka, K. ve ark., 2000. Neutron Densities in 120Sn observed by polarized proton scattering. 14th International spin Physcs Symposium, edited by K. Hatanaka ve ark.
Horowitz, C. J., 1985. Relativistic Love-Franey model: Covariant representation of the NN interaction for N-nucleus scattering. Phys. Rev. C 31, 1340
Horowitz, C.J., Pollock, S.J., Souder, P.A. ve Michaels R., 2001. Parity violating measurements of neutron densities. Physical Review C, 63, 025501.
Jager, de C.W., Vries, de H. and Vries, de C., 1974. Nuclear charge- and magnetization-density-distribution parameters from elastic electron scattering. Atomic Data and Nuclear Data Tables 14, 479
Jevremovic, T., 2005. Nuclear Principles in Engineering. Springer Science Business Media, 437 p, New York, USA.
