Genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomları

(1)

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ

EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ANABİLİM DALI

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ

FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

Şerife TUNÇEZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Danışman

Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER

(2)

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ

EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ANABİLİM DALI

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ

FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

Şerife TUNÇEZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Danışman

Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER

(3)

(4)

(5)

TEŞEKKÜR

Bu çalışma, Yrd. Doç. Dr. Emine Gökçen KOÇER tarafından yönetilerek Selçuk Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Bu çalışma süresince bilimsel bilgi, düşünce ve önerilerinden

yararlandığım, tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Emine Gökçen KOÇER’e teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca bu

çalışma süresince desteğini benden esirgemeyen bütün hocalarıma ve aileme sonsuz teşekkür ederim.

Şerife TUNÇEZ

(6)

T. C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü

Öğ renci ni n Adı Soyadı Şerife TUNÇEZ Numarası 085201011008

Ana Bilim / Bilim Dalı İlköğretim Matematik

Programı Tezli Yüksek Lisans Doktora

Tez Danışmanı

Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER

Tezin Adı

Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci ve Lucas

Polinomları

ÖZET

Bu çalışmada, Catalani tarafından tanımlanan İki Değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarının genelleştirilmiş hali olan Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomları tanımlanmıştır. Daha sonra, bu polinomların sağladığı bazı özdeşlikler ve özellikler araştırılmıştır.

Anahtar kelimeler: Fibonacci polinomları, Lucas polinomları, Binet formülü,

(7)

T. C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü

Öğ

renci

ni

n

Adı Soyadı Şerife TUNÇEZ

Numarası 085201011008

Ana Bilim / Bilim Dalı İlköğretim Matematik

Programı Tezli Yüksek Lisans Doktora

Tez Danışmanı

Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER

Tezin İngilizce Adı The Generalized Bivariate Fibonacci and Lucas Polynomials

ABSTRACT

In this study, we define the generalized bivariate Fibonacci and Lucas polynomials which is generalized of the bivariate Fibonacci and Lucas polynomials are given by Catalani. Afterwards, we investigated the some identities and properties of the Generalized Bivariate Fibonacci and Lucas polynomials.

Key words: Fibonacci polynomials, Lucas polynomials, Binet’s formula, Generating

(8)

İÇİNDEKİLER

1.GİRİŞ……….2 2. ÖN BİLGİLER……...………...3 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ POLİNOMLARI…...10 4. GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ LUCAS POLİNOMLARI……..…...22 5.KAYNAKLAR………33

(9)

1.GĠRĠġ

Fibonacci polinomları ilk olarak 1883 yılında Belçikalı matematikçi E. Charles Catalan ve Alman matematikçi E. Jacobsthal tarafından çalışılmıştır. Catalan tarafından çalışılan Fibonacci polinomları daha sonra 1966 yılında M. N. S Swamy tarafından geliştirilmiştir. Ayrıca 1963 yılında P. F. Bryd tarafından Fibonacci tipi polinomların bir yenisi literatüre eklenmiştir. P. F. Bryd tarafından tanımlanan polinom bugün Pell polinomu olarak isimlendirilmektedir. Fibonacci polinomu olarak kabul edilen polinom ise Catalan tarafından tanımlanmış olan polinomdur. Daha sonra tüm bu farklı tanımlamalar Fibonacci ve Lucas tipi polinomlar olarak adlandırılmıştır.

Catalan tarafından tanımlanan Fibonacci polinomlarının üzerine yapılan

çalışmalar sonucunda bu polinomların farklı genelleştirmeleri tanımlanmıştır (Amdberhan 2010, Garth, Mills, Mitchell 2007, Prodinger 2009, Shattuck, Wagner

2007).

Fibonacci ve Lucas tipi polinomların çeşitli genelleştirilmelerinden birisi de iki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarıdır. İki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomları ile ilgili Swamy (1999) ve Catalani (2004) tarafından çalışmalar yapılmıştır. İki değişkenli Fibonacci polinomları Catalan tarafından tanımlanan Fibonacci polinomlarının genelleştirilmiş halidir. Ayrıca iki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarının bazı genelleştirmeleri Tan ve Zhang (2005), MacHenry (2000) tarafından verilmiştir. Zhang ve Ma (2005) genelleştirilmiş Fibonacci polinomları ve Bernoulli sayıları arasındaki ilişkiyi incelemiştir.

Bu çalışmada ise iki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarının yeni bir genelleştirilmesi tanımlanarak bu polinomların sağladığı özellikler üçüncü ve dördüncü bölümde incelenecektir. Çalışmanın ikinci bölümünde ise daha önce tanımlanmış olan bazı Fibonacci ve Lucas tipi polinomları hakkında bilgi verilecektir.

(10)

Bu çalışmanın sonucunda elde edilen tüm özdeşlikler Fibonacci ve Lucas tipi olarak adlandırılan tüm polinomlar için geçerlidir.

(11)

2. ÖN BĠLGĠLER Tanım 2.1: n2 için

 

, 1

 

, 2

 

, n n n F x y xF_ x y yF_ x y (2.1) rekürans bağıntısı ve F x y0

 

, 0, F x y1

 

, 1 (2.2)

başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma iki değişkenli Fibonacci polinomu denir (Catalani 2004, 16 Jun).

İki değişkenli Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 2.1 n

 

_, n F x y 0 0 1 1 2 x 3 2 x y 4 3 2 x  xy 5 4 2 2 3 x  x yy

(12)

(2.1) bağıntısının karakteristik denklemi

2

0 x y

    (2.3) olup (2.3) denkleminin kökleri

2 ₄ 2 x x y     ve 2 4 2 x x y     (2.4) dir.

 

, n

F x y iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere, iki değişkenli Fibonacci polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir.

1) y1 için F x_n

 

,1 iki değişkenli Fibonacci polinomu klasik Fibonacci polinomuna dönüşür.

2) y1 ve x yerine 2x alınırsa F_n



2 ,1x



iki değişkenli Fibonacci polinomu Pell polinomuna dönüşür.

3) x1 ve y yerine 2 y alınırsa F_n



1, 2y iki değişkenli Fibonacci polinomu



Jacobsthal polinomuna dönüşür.

4) y 1 ve x yerine 2x alınırsa F_n



2 , 1x 



iki değişkenli Fibonacci polinomu İkinci çeşit Chebyshev polinomuna dönüşür.

5) y 2 ve x yerine 3x alınırsa F_n



3 , 2x 



iki değişkenli Fibonacci polinomu Fermat polinomuna dönüşür.

Tanım 2.2: a a a₀, ,₁ ₂,... bir reel sayı dizisi olsun. n0 olmak üzere

 

2

0 1 2 ...

h t a a ta t  (2.5) ifadesine

 

an dizisinin üreteç fonksiyonu denir (Koshy 2001).

(13)

Teorem 2.1: F x y iki değişkenli Fibonacci polinomunun üreteç fonksiyonu _n

 

,

 

1 2 1 t g t xt yt    (2.6) dir (Shephard 2009).

Catalini tarafından F x y iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet _n

 

, formülü,



ve  (2.3) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere



,



n n n F x y        (2.7) şeklinde verilir.

Teorem 2.2: F x y iki değişkenli Fibonacci polinomu ve _n

 

, x  y 1 0 olmak üzere

 



1

 



0 1 , , , 1 1 n k n n k F x y F x y yF x y x y       



dir (Tuglu, Kocer, Stakhov 2011).

Teorem 2.3: F x y iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere _n

 

,

 

1 2 2 1 0 1 , n n j j n j n j F x y x y j                _ _  



dir (Belbachir and Bencherif 2008).

İki değişkenli Fibonacci polinomu F x y için _n

 

, Qmatrisi



,



1 0 x Q x y y        olup

(14)

 

1

 

_{ }

 

_{ }

1 , , , , , n n n n n F x y F x y Q x y yF x y yF x y          (2.8)

dir. Bu matris yardımı ile bu polinomun birçok özelliği elde edilebilmektedir.

Tanım 2.3: n2 için

 

, 1

 

, 2

 

, n n n L x y xL_ x y yL_ x y (2.9) rekürans bağıntısı ve L x y0

 

, 2, L1

 

x y, x (2.10)

başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma iki değişkenli Lucas polinomu denir (Catalani 2004, 16 Jun).

İki değişkenli Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 2.2 n

 

_, n L x y 0 2 1 x 2 2 2 x  y 3 3 3 x  xy 4 4 2 2 4 2 x  x y y 5 5 3 2 5 5 x  x y xy

(15)

İki değişkenli Lucas polinomunun karakteristik denklemi ve kökleri, İki değişkenli Fibonacci polinomun karakteristik denklemi (2.3) ve kökleri (2.4) ile aynı olup L x y iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere, iki değişkenli Lucas _n

 

, polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir.

1) y1 için L x_n

 

,1 iki değişkenli Lucas polinomu klasik Lucas polinomuna dönüşür.

2) y1 ve x yerine 2x alınırsa L_n



2 ,1x



iki değişkenli Lucas polinomu Pell-Lucas polinomuna dönüşür.

3) x1 ve y yerine 2 y alınırsa L_n



1, 2y iki değişkenli Lucas polinomu



Jacobsthal-Lucas polinomuna dönüşür.

4) y 1 ve x yerine 2x alınırsa L_n



2 , 1x 



iki değişkenli Lucas polinomu birinci çeşit Chebyshev polinomuna dönüşür.

5) y 2 ve x yerine 3x alınırsa L_n



3 , 2x 



iki değişkenli Lucas polinomu Fermat- Lucas polinomuna dönüşür.

Teorem 2.4: L x y iki değişkenli Lucas polinomunun üreteç fonksiyonu _n

 

,

 

2 2 2 1 xt g t xt yt     (2.11)

dir (Catalani 2004, 7 July).

 

, n

L x y iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülü,  ve  (2.3) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere

 

, n n n

L x y   (2.12) dir (Catalini 2004, 7 July).

(16)

Teorem 2.5: L x y iki değişkenli Lucas polinomu ve _n

 

, x  y 1 0 olmak üzere

 



1

 



0 1 , , , 2 1 n k n n k L x y L x y yL x y x x y        



dir (Tuglu, Kocer, Stakhov 2011).

Teorem 2.6: L x y iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere _n

 

,

 

2 2 0 , n n j j n j n j n L x y x y j n j             _ _   



dir (Belbachir and Bencherif 2008).

İki değişkenli Lucas polinomu L x y için _n

 

,

 

2 2 , 2 x y x P x y xy y         ve

 

, 1 0 x Q x y y        olmak üzere

   

2

 

_{ }

1

 

_{ }

1 , , , , , , n n n n n L x y L x y P x y Q x y yL x y yL x y           (2.13) dir.

Nalli ve Haukkanen (2009) Fibonacci ve Lucas polinomlarının bir genelleştirmesini, h x reel katsayılı bir polinom ve

 

n1 olmak üzere

(17)

     

 

, 1 , , 1 ; ,0 0, ,1 1 h n h n h n h h F _ x h x F x F _ F x  F x  (2.14) ve

     

 

   

, 1 , , 1 ; L ,0 2, ,1 h n h n h n h h L _ x h x L x L _ x  L x h x (2.15) şeklinde tanımlamış ve bu polinomların bazı özelliklerini incelemiştir.

(18)

3. GENELLEġTĠRĠLMĠġ ĠKĠ DEĞĠġKENLĠ FĠBONACCĠ POLĠNOMLARI

Bu bölümde (2.1) ve (2.14) ile tanımlanan polinomların genel hali olan Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci polinomları incelenecektir.

Tanım 3.1: p x y ve

 

, q x y reel katsayılı polinomlar olmak üzere

 

, n2 için

 

,

 

, 1

   

, , 2

 

, n n n H x y  p x y H _ x y q x y H _ x y (3.1) rekürans bağıntısı ve

 

0 , 0, 1 , 1 H x y  H x y  (3.2) başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci polinomu denir.

Genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Tablo 3.1 n

 

_, n H x y 0 0 1 1 2 _{p x y}

 

_, 3 2

   

, , p x y q x y 4 3

 

   

, 2 , , p x y  p x y q x y 5 4

 

2

   

2

 

, 3 , , , p x y  p x y q x y q x y

(19)

 

, n

H x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu n nin negatif değerleri için

   

1

   

, 1 n n , , n n H_ x y    q x y H x y (3.3) şeklindedir.

 

, n

H x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun karakteristik denklemi

 

2 , , 0 p x y q x y     (3.4) olup ve (3.4) denkleminin kökleri

 

2 2 , , 4 , , 2 , , 4 , , 2 p x y p x y q x y x y p x y p x y q x y x y         (3.5)

dir. Eğer p x y

   

, q x y, 1 olursa 1 5

2

   olup bu oran Altın Oran olarak isimlendirilir. Eğer p x y

 

, 2 ve q x y

 

, 1 olursa  1 2 olup bu oran Bronz Oran olarak isimlendirilir ( Falcon, Plaza 2008 ).

 

, n

H x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir.

1) p x y

 

, x ve q x y

 

, 1 için H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli , Fibonacci polinomu klasik Fibonacci polinomuna dönüşür. Klasik Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



0,1, , 1, 2 , 3 1, 4 3 ,...

n

(20)

2) p x y

 

, x ve q x y

 

,  y için H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli , Fibonacci polinomu İki değişkenli Fibonacci polinomuna dönüşür. İki değişkenli Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı Tablo 2.1 de verilmiştir. 3) q x y

 

, 1 ve p x y yerine 2x alınırsa

 

, H_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Fibonacci polinomu Pell polinomuna dönüşür. Pell polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



0,1, 2 , 4 1,8 4 ,16 12 1,32 32 6 ,...

n

P x  x x  x  x x  x  x  x  x

4) p x y

 

, 1 ve q x y yerine

 

, 2 y alınırsa H_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Fibonacci polinomu Jacobsthal polinomuna dönüşür. Jacobsthal polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 2



0,1,1, 2 1, 4 1, 4 6 1,12 8 1,...

n

J y  y y y  y y  y

5) q x y

 

,  1 ve p x y yerine

 

, 2x alınırsa H_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Fibonacci polinomu ikinci çeşit Chebyshev polinomuna dönüşür. İkinci Çeşit Chebyshev polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



1 1, 2 , 4 1,8 4 ,16 12 1,32 32 6 ,... n

U_ x  x x  x  x x  x  x  x  x

6) q x y

 

, 3x alınırsa H_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Fibonacci polinomu Fermat polinomuna dönüşür. Fermat polinomunun ilk birkaç elamanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



0,1,3 ,9 2, 27 12 ,81 54 4, 243 216 36 ,...

n

F x  x x  x  x x  x  x  x  x

Teorem 3.1: H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet , formülü

 

,

 

_{ }

,

_{ }

 

, , , n n n x y x y H x y x y x y        (3.6) dir.

(21)

Ġspat: 

 

x y, ve 

 

x y, genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun (3.4) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere (3.1) rekürans bağıntısının genel çözümü

 

1

 

2

 

2

 

2

 

, , 4 , , , 4 , , 2 2 n n n p x y p x y q x y p x y p x y q x y H x y c c  _ _   _ _               

dir. (3.2) başlangıç şartları göz önüne alınırsa

 

0 , 1 2 0 H x y   c c

 

2

 

2

 

1 1 2 , , 4 , , , 4 , , 1 2 2 p x y p x y q x y p x y p x y q x y H x y c c  _ _   _ _                

lineer denklem sistemi elde edilir. Bu lineer denklem sisteminin çözümünden

 

1 ₂ 1 , 4 , c p x y q x y   ve 2 ₂

 

1 , 4 , c p x y q x y    bulunur. 

 

x y, 

 

x y,  p2

 

x y, 4q x y

 

, olup

 

_{ }

1

_{   }

_{ }

1

_{   }

, , , , , , , n n n H x y x y x y x y x y  x y x y         

dir. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülü

 

_{ }

,

_{ }

 

, , , , n n n x y x y H x y x y x y       

(22)

Teorem 3.2: H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun üreteç , fonksiyonu

 

_{ }

1 2 1 , , t h t p x y t q x y t    (3.7) dir.

Ġspat: Tanım (2.2) den H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu , için üreteç fonksiyonu

 

1 0 1 0 2 , n , , , n n n n n h t H x y t H x y H x y t H x y t     



  



dir. Başlangıç şartları ve rekürans bağıntısı göz önüne alınırsa

 



 

   

 



1 1 2 0 2 , n 0 , , , , n n n n n n h t H x y t t p x y H x y q x y H x y t       



  





elde edilir. Buradan

 

1

 

2

 

0 2 2 , n , , n , , n n n n n n n H x y t t p x y H x y t q x y H x y t           



 

1

 

2

 

2 1 2 2 2 , , n , , n n n n n t p x y t H x y t q x y t H x y t          







 



 

1

 



 

2

 

1 0 1 0 , n , n , , n , n n n t p x y t H x y t H x y q x y t H x y t        



 



 

1

 

2

 

1 1 0 , n , n , n , n n n t p x y t H x y t q x y t H x y t        







 

2

 

0 0 , _n , n , _n , n n n t p x y t H x y t q x y t H x y t           _ _ _ _ 



 





olur. Gerekli düzenlemeler yapılırsa

 

2

 

0 0 0 , n , , n , , n n n n n n n H x y t p x y t H x y t q x y t H x y t t            _ _ _ _    



elde edilir. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun üreteç fonksiyonu

 

_{ }

1 2 0 , 1 , , n n n t h t H x y t p x y t q x y t      



dir.

(23)

Teorem 3.3: H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu ve ,

   

, , 1 0 p x y q x y   olmak üzere

 

_{   }



1

     



0 1 , , , , 1 , , 1 n k n n k H x y H x y q x y H x y p x y q x y       



dir.

Ġspat: (3.6) genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülü

kullanılırsa

 

_{ }

 

0 0 , , , , , k k n n k k k x y x y H x y x y x y           __ __   



olur. 

 

x y,  ve 

 

x y,  olarak alırsak

 

0 0 0 1 , n n n k k k k k k H x y           _  _   



1 1 1 1 1 1 1 n n              _  _  _   _























1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n                        _   _ dir. Buradan

 



1 1

 

1 1



0 1 1 1 , 1 n n n n n k k H x y                                  _    _



1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n                            _ _  _    _



 







1 1 1 1 n n n n                            _    _ 1



 

, ₁

 

, 1



1 Hn x y Hn x y          

elde edilir. 

   

x y,  x y,  q x y

 

, ve 

 

x y, 

 

x y,  p x y

 

, olup

 

   

_{ }

1

 

0 , , , 1 , , , 1 n n n k k q x y H x y H x y H x y q x y p x y         



(24)

bulunur. Dolayısıyla

 

_{   }



1

     



0 1 , , , , 1 , , 1 n k n n k H x y H x y q x y H x y p x y q x y       



dir.

Teorem 3.4: H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak , üzere

 

   

1 2 2 1 0 1 , , , j n n j j n j n j H x y p x y q x y                _ _  



dir.

Ġspat: n üzerinden tümevarım yöntemi kullanılırsa

2 n için

 

0 1 2

   

 

2 0 1 , , , , j j j j j H x y p x y q x y p x y      _ _   



dir. nk için

 

   

1 2 2 1 0 1 , , , j k k j j k j k j H x y p x y q x y                _ _  



olduğu kabul edilir. n k 1 için

 

2 2

   

1 0 , , , j k k j j k j k j H x y p x y q x y              _ _  



olduğunu göstermeliyiz. p x y

 

,  p ve q x y

 

, q olmak üzere (3.1) rekürans bağıntısından

(25)

 

1 2 2 2 2 1 2 2 1 0 0 1 2 , j k k k j j k j j k j j k j k j H x y p p q q p q j                               _ _  _ _    



1 1 0 3 1 0 ₂ 1 1 2 ₂ ... 0 1 1 2 k k k k k k p p q p q p q k         _ _ _ _ _ _     _ _ _ _          _ _   _ _    2 2 0 4 1 0 2 2 2 3 ₂ ... 0 1 2 2 k k k k k k q p q p q p q k         _ _ _ _ _ _     _ _ _ _          _ _   _ _    olur. Buradan

 

0 2 1 1 ₂1 1 1 1 2 ₂ , ... 0 1 1 2 k k k k k k k H x y p q p q p q k               _ _ _ _          _ _   2 1 4 2 0 2 2 2 3 ₂ ... 0 1 2 2 k k k k k k p q p q p q k              _ _ _ _          _ _   0 2 1 0 2 2 1 2 2 ₂ ... 0 0 1 2 2 k k k k k k k p q p q p q k                  _ _ __ _{ } __            _ _   elde edilir. 1 1 1 n n n k k k              _          bağıntısından

 

0 2 1 4 2 0 ₂ 1 2 1 1 2 ₂ , ... 0 1 2 2 2 k k k k k k k k k H x y p q p q p q p q k                  _ _ _ _ _ _           _ _   olur. Yani

 

2 2

   

1 0 , , , j k k j j k j k j H x y p x y q x y              _ _  



dir.

(26)

Catalani (2004) tarafından İki değişkenli Fibonacci polinomları için Q x y

 

, matrisi

 

, 1 0 x Q x y y       

olarak verilmiştir. Nalli ve Haukkanen (2009) tarafından genelleştirilmiş Fibonacci polinomu için Q x y matrisi _h

 

,

 

,

 

1 1 0 h h x Q x y   _  

şeklinde tanımlanmıştır. Genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu

 

, n

H x y için bu matrislerin rolünü üstlenen matris

 

_{ }

 

, , 1 , , 0 p q p x y Q x y q x y        olup

 

_{     }

1

 

_{ }

, 1 , , , , , , , n n n p q n n H x y H x y Q x y q x y H x y q x y H x y          (3.8) dir.

Şimdi bu matris yardımı ile genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomlarının sağladığı bazı özdeşlikleri elde edelim.

Teorem 3.7: ( Cassini ÖzdeĢliği ) n0 ve H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli , Fibonacci polinomu olmak üzere

 

2

   

1

 

1 , 1 , , 1 , n _n n n n H _ x y H _ x y H x y   q  x y (3.9) dir.

Ġspat : (3.8) matrisinin determinantı

 

2

 

, , , 1 , 1 , , n p q n n n Q x y q x y _H _ x y H _ x y H x y _ olup, ayrıca

 



 



, , , , , n n n p q p q Q x y  Q x y  q x y dir. Dolayısıyla

(27)

 

2

   

1

 

1 , 1 , , 1 , n n n n n H _ x y H _ x y H x y   q  x y elde edilir.

Cassini özdeşliğinin genel hali olan Catalan özdeşliğini aşağıdaki teorem ile verebiliriz.

Teorem 3.8: ( Catalan ÖzdeĢliği ) n0,nk ve H_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere

 

₂

   

1

 

₂

 

, , , 1n k n k , ,

n k n k n k

H _ x y H _ x y H x y     q  x y H x y (3.10) dir.

Ġspat: 

 

x y,  ve 

 

x y,  olmak üzere H_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülünü kullanırsak

 

2

 

2 , , , n k n k n k n k n n n k n k n H x y H x y H x y                            _ _ _{ } _        

olur. Burada gerekli işlemler yapıldığında

 





2 2 2 , , , n n n k n k n k n k n k n k n H x y H x y H x y                   









2 2 n n k k k k              





2 2 k k n n k k                  







  

2 2 2 2 n n k k k k k             

 

2

 

, n k k H x y     elde edilir. 

   

x y,  x y,  q x y

 

, olduğu için

 

₂

   

1

 

₂

 

, , , 1 n k n k , ,

n k n k n k

H _ x y H _ x y H x y     q  x y H x y dir.

(28)

Teorem 3.9: ( D’Ocagne’s ÖzdeĢliği ) n0,m0 ve H_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere

 

, 1

 

,

 

, 1

 

,



 

,



 

,

m

n m m n n m

H x y H _ x y H x y H _ x y  q x y H _ x y (3.11) dir.

Ġspat: H_n

 

x y H, _m_₁

 

x y, H_m

 

x y H, _n_₁

 

x y, T olsun. Bu takdirde p x y

 

,  p ve q x y

 

, q olmak üzere (3.1) rekürans bağıntısından

 

,



 

, 1

 

,



 

,



 

, 1

 

,



n m m m n n

T H x y pH x y qH _ x y H x y pH x y qH _ x y olur. Burada gerekli işlemler yapılırsa

 

, 1

 

,

 

, 1

 

,

m n n m

T  q H_ x y H _ x y H x y H _ x y _

bulunur. Benzer şekilde H_m

 

x y ve , H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli , Fibonacci polinomlarının reküransları yerine yazılırsa

 

2

 

1 , 2 , 1 , 2 ,

m n n m

T  q _H _ x y H _ x y H _ x y H _ x y _ dir. Bu şekilde işlemleri m kez tekrarlarsak

 

, _ 1_

 

, _ 1_

 

,

 

, m n m m m n m m m T  q _H _ x y H _{ } x y H _{ } x y H _ x y _  

 

q m_H_{n m}_

   

x y H x y, ₁ , H_{n m}_{ }₁

   

x y H, ₀ x y, _ olur. Dolayısıyla

 

, 1

 

,

 

, 1

 

,



 

,



 

, m n m m n n m H x y H _ x y H x y H _ x y  q x y H _ x y elde edilir.

Teorem 3.10: ( Honsberger ÖzdeĢliği ) n0,m0 ve H_n

 

x y genelleştirilmiş , iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere

     

, , , 1

 

,

 

, 1

 

,

n m n m m n

H _ x y q x y H x y H _ x y H x y H _ x y (3.12) dir.

Ġspat: p x y

 

,  p ve q x y

 

, q olmak üzere (3.11) D’Ocagne’s özdeşliğinde m yerine m alırsak

 

,

 

, 1

 

,

 

, 1

 

, m n m n m m n q  H _ x y H x y H_{ } x y H_ x y H _ x y   

(29)

olur. Buradan

   

,

 

, 1

 

,

 

, 1

 

, m n m n m m n H _ x y  q _H x y H_{ } x y H_ x y H _ x y _ dir. (3.3) ifadesinden  1

   

, 1 1

 

, 1

 

, m _m m m H_{ } x y   q  x y H _ x y ve

   

1

   

, 1 m m , , m m H_ x y    q x y H x y olduğu için

   

  

1

   

1

 

1 1 , m , 1 m m , 1 m m , , n m n m m n H _ x y  q _H x y  q H _ x y    q H x y H _ x y _ bulunur. Buradan

     

, , , 1

 

,

 

, 1

 

, n m n m m n H _ x y q x y H x y H _ x y H x y H _ x y elde edilir.

Sonuç 3.1: H_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere ,

 

2

   

2

 

2n1 , n 1 , , n ,

H _ x y H _ x y q x y H x y (3.13) dir.

Ġspat: p x y

 

,  p ve q x y

 

, q olmak üzere ( 3.12 ) Honsberger özdeşliğinde m yerine n1_alırsak

 

_{ }

 

2n 1 , n n 1 , n 1 , n1 , n , n 2 ,

H _ x y H _{ } x y qH _ x y H _ x y H x y H _ x y elde edilir. Buradan (3.1) rekürans bağıntısından

 

2n1 , n1 , n1 , n , n , n1 , n ,

H _ x y H _ x y _H _ x y pH x y _H x y _pH _ x y qH x y _ H_n_₁2

 

x y, pH_n_₁

   

x y H, _n x y,  pH_n_₁

   

x y H, _n x y, qH_n2

 

x y, bulunur. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa

 

2

   

2

 

2n 1 , n1 , , n ,

H _ x y H _ x y q x y H x y elde edilir.

(30)

4. GENELLEġTĠRĠLMĠġ ĠKĠ DEĞĠġKENLĠ LUCAS POLĠNOMLARI

Bu bölümde (2.9) ve (2.15) ile tanımlanan polinomların genel hali olan Genelleştirilmiş İki Değişkenli Lucas polinomları incelenecektir.

Tanım 4.1: p x y ve

 

, q x y reel katsayılı polinomlar olmak üzere

 

, n2 için

 

,

 

, 1

   

, , 2

 

, n n n K x y  p x y K _ x y q x y K _ x y (4.1) rekürans bağıntısı ve

 

0 , 2, 1 , , K x y  K x y  p x y (4.2) başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma Genelleştirilmiş İki Değişkenli Lucas Polinomu denir.

Genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 4.1 n

 

_, n K x y 0 2 1 _{p x y}

 

_, 2 2

 

, 2 , p x y  q x y 3 3

 

   

, 3 , , p x y  p x y q x y 4 _p4

 

_{x y}_, ₄_p2

   

_{x y q x y}_, _, ₂_q2

 

_{x y}_, 5 5

 

3

   

2 , 5 , , 5 , , p x y  p x y q x y  p x y q x y

(31)

 

, n

K x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu n nin negatif değerleri için

   

, 1 n n

   

, , n n K_ x y   q x y K x y (4.3) şeklindedir.

 

, n

K x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun karakteristik denklemi

 

2 , , 0 p x y q x y     (4.4) olup ve (4.4) denkleminin kökleri

 

2 2 , , 4 , , 2 , , 4 , , 2 p x y p x y q x y x y p x y p x y q x y x y         (4.5) dir.

 

, n

K x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir.

1) p x y

 

, x ve q x y

 

, 1 için K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas , polinomu klasik Lucas polinomuna dönüşür. Klasik Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



2, , 2, 3 , 4 2, 5 5 ,...

n

L x  x x  x  x x  x  x  x  x

2) p x y

 

, x ve q x y

 

,  y için K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas , polinomu İki değişkenli Lucas polinomuna dönüşür. İki değişkenli Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı Tablo 2.2 de görülmektedir.

(32)

3) q x y

 

, 1 ve p x y yerine 2x alınırsa

 

, K_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Lucas polinomu Pell-Lucas polinomuna dönüşür. Pell-Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



2, 2 , 4 2,8 6 ,16 16 2,32 40 10 ,...

n

Q x  x x  x  x x  x  x  x  x

4) p x y

 

, 1 ve q x y yerine

 

, 2 y alınırsa K_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Lucas polinomu Lucas polinomuna dönüşür. Jacobsthal-Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 2



2,1, 4 1,6 1,8 8 1, 20 10 1,...

n

j y  y y y  y y  y

5) q x y

 

,  1 ve p x y yerine 2x alınırsa

 

, K_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Lucas polinomu birinci Çeşit Chebyshev polinomuna 2T x _n

 

şeklinde dönüşür. Birinci Çeşit Chebyshev polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



1, , 2 1, 4 3 ,8 8 1,16 20 5 ,...

n

T x  x x  x  x x  x  x  x  x

6) q x y

 

, 3x alınırsa K_n

 

x y genelleştirilmiş iki , değişkenli Lucas polinomu Fermat-Lucas polinomuna dönüşür. Fermat-Lucas polinomunun ilk birkaç elamanı aşağıdaki şekildedir.

 



2 3 4 2 5 3



3 ,9 4, 27 18 ,81 72 8, 243 270 60

n

f x  x x  x  x x  x  x  x  x

Teorem 4.1: K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun Binet , formülü

 

, n

 

, n

 

, n

K x y  x y  x y (4.6) dir.

Ġspat: 

 

x y, ve 

 

x y, genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun (4.4) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere (4.1) rekürans bağıntısının genel çözümü

(33)

 

1

 

2

 

2

 

2

 

, , 4 , , , 4 , , 2 2 n n n p x y p x y q x y p x y p x y q x y K x y c c  _ _   _ _               

dir. (4.2) başlangıç şartları göz önüne alınırsa

 

0 , 1 2 2 H x y   c c

 

2

 

2

 

1 1 2 , , 4 , , , 4 , , , 2 2 p x y p x y q x y p x y p x y q x y K x y c c p x y  _ _   _ _                

lineer denklem sistemi elde edilir. Bu lineer denklem sistemi çözülürse

1 2 1

c c 

bulunur. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülü

 

, n

 

, n

 

, n

K x y  x y  x y şeklinde elde edilir.

Teorem 4.2: K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun üreteç , fonksiyonu

 

_{ }

 

_{ }

2 2 2 , 1 , , p x y t h t p x y t q x y t     (4.7) dir.

Ġspat: Tanım (2.2) den K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu için , üreteç fonksiyonu

 

2 0 1 0 2 , n , , , n n n n n h t K x y t K x y K x y t K x y t     



  



(34)

 



 

   

 



2 1 2 0 2 , n 2 , , , , , n n n n n n h t K x y t p x y t p x y K x y q x y K x y t       



  





elde edilir. Buradan

 

1

 

2

 

0 2 2 , n 2 , , , n , , n n n n n n n K x y t p x y t p x y K x y t q x y K x y t            



 

1

 

2

 

2 1 2 2 2 2 , , n , n , n , n n n p x y t p x y t K x y t q x y t K x y t           







 



 

1

 



 

2

 

1 0 1 0 2 , , n , n , , n , n n n p x y t p x y t K x y t K x y q x y t K x y t         



 



 

1

 

2

 

1 1 0 2 , , n , n , , n , n n n p x y t p x y t K x y t p x y t q x y t K x y t         



 



 

2

 

0 0 2 , , _n , n , _n , n n n p x y t p x y t K x y t q x y t K x y t            _ _ _ _ 



 





olur. Gerekli düzenlemeler yapılırsa

 

2

 

0 0 0 , n , , n , , n 2 , n n n n n n K x y t p x y t K x y t q x y t K x y t p x y t            _ _ _ _     



elde edilir. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun üreteç fonksiyonu

 

_{ }

 

_{ }

2 2 0 2 , , 1 , , n n n p x y t h t K x y t p x y t q x y t       



dir.

Teorem 4.3: K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu ve ,

   

, , 1 0 p x y q x y   olmak üzere

 

_{   }



1

     

 



0 1 , , , , , 2 , , 1 n m n n m K x y K x y q x y K x y p x y p x y q x y        



dir.

Ġspat: (4.6) genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülü

kullanılırsa

 



 



0 0 , , , n n m m m m m K x y  x y  x y    



(35)

olur. Buradan

 

0 0 0 , , , n n n m m m m m m K x y  x y  x y     



 

1 1 , 1 , 1 , 1 , 1 n n x y x y x y x y      _  _    



 





 





 





 



 







 



1 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 n n x y x y x y x y x y x y                        

dir. 

 

x y,  ve 

 

x y,  olmak üzere gerekli işlemler yapılırsa

 



1 1

 

1 1



0 1 1 , 1 n n n n n m m K x y                  _ _{  } _ _{ }           



1 1 1 1 1 1 1 n n n n                           _{  }   



 







1 1 2 1 n n n n                               1



 

, ₁

  

,



1



1 Kn x y Kn x y              

elde edilir. 

   

x y,  x y,  q x y

 

, ve 

 

x y, 

 

x y,  p x y

 

, olup

 

   

_{ }

1

_{ }

 

0 , , , , 2 , , , 1 n n n m m q x y K x y K x y p x y K x y q x y p x y          



bulunur. Dolayısıyla

 

_{   }



1

     

 



0 1 , , , , , 2 , , 1 n m n n m K x y K x y q x y K x y p x y p x y q x y        



dir.

Teorem 4.4: K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere ,

 

2 2

   

0 , , , j n n j j n j n j n K x y p x y q x y n j             _ _   



dir.

(36)

Ġspat: ispat n üzerinden tümevarımla açıktır.

Genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu K_n

 

x y için ,

 

2

 

_{   }

 

_{ }

, , 2 , , , , , 2 , p q p x y q x y p x y T x y p x y q x y q x y         ve





_



_



, , 1 , , 0 p q p x y Q x y q x y        olmak üzere









_

_

2



_



_{ }

1





_

, , 1 , , , , , , , , n n n p q p q n n K x y K x y T x y Q x y q x y K x y q x y K x y           (4.8)

matrisi elde edilir .

Bu matris kullanılarak genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomları için bazı özdeşlikler elde edilebilir.

Teorem 4.5: ( Cassini ÖzdeĢliği ) n0 ve K_n

 

x y genelleştirilmiş iki değişkenli , Lucas polinomu olmak üzere

 





    



 





2 2 2 1 , , , 1 n n , , 4 , n n n K x y K _ x y K _ x y   q x y _p x y  q x y _ (4.9) dir.

Ġspat : (4.8) matrisinin determinantı















 



2





, , , , , 2 , , 1 , n p q p q n n n T x y Q x y q x y _K _ x y K x y K _ x y _ dir. Ayrıca ,



,



,



,



,



,



,



,



n n p q p q p q p q T x y Q x y  T x y Q x y q x y

 

, _p2

 

x y, 4q x y

 

, _



q x y

 

,



n dir. Buradan

 

   

2

 

2

 



 



2 1 , _n , _n , _n , , , 4 , , n q x y _K_ x y K x y K _ x y _q x y _p x y  q x y _ q x y