Yüksek mertebeden lineer olmayan fark modellerinin çözümleri ve periyotları

T.C.

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Fark Modellerinin Çözümleri ve Periyotları

Esra ESEN

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı

ġubat-2015 KONYA Her Hakkı Saklıdır

iv ÖZET

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Fark Modellerinin Çözümleri ve Periyotları

Esra ESEN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Yrd. Doç.Dr. Kemal USLU 2015, 50 Sayfa

Jüri

Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU Doç. Dr. Ġsmail KINACI

Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE

Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, çalışma ile ilgili genel bilgi verildi.

İkinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar kısaca açıklandı. Üçüncü bölümde çalışma için gerekli temel kavramlar hakkında bilgi verildi. Dördüncü bölümde 1 1 n n A x y    , ₁ 1 1 n n n B y z x      , 1 1 1 2 n n n n n Bx A z y x y       , n0 1 2 n n A x y    , ₁ 2 2 n n n B y z x      , 1 1 2 3 n n n n n Bx A z y x y       , n0 1 3 n n A x y    , ₁ 3 3 n n n B y z x      , 1 1 3 4 n n n n n Bx A z y x y       , n0 fark denklem sistemlerinin periodikliği araştırıldı.

Beşinci bölümde 1 n n k A x y    , _{n 1} n k n k B y z x      , 1 1 ( 1) n n n k n n k Bx A z y x y        , n0

olduğu durumlarda genel rasyonel fark denklem sisteminin çözümlerinin periyodik olduğu gösterildi. Altıncı bölümde dördüncü bölümdeki fark denklem sistemleri ile ilgili örnekler verildi.

v ABSTRACT

MS THESIS

THE SOLUTIONS AND PERIODS OF HIGHER ORDER NONLINEAR DIFFERENCE MODEL Esra ESEN

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE / DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MECHANICAL ENGINEERING

Advisor: Yrd.Doç.Dr.Kemal USLU 2015, 50 Pages

Jury

Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU Doç. Dr. Ġsmail KINACI Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE

This study consists of six sections.

In the firs section, we have given general information about study.

In the second section, we have given some information about some difference equations studied before.

In the third section, we have give information about necessary concepts for our study. In the fourth section, we have investigated the periodical solutions of a system of difference equations 1 1 n n A x y    , ₁ 1 1 n n n B y z x      , 1 1 1 2 n n n n n Bx A z y x y       , n0 1 2 n n A x y    , ₁ 2 2 n n n B y z x      , 1 1 2 3 n n n n n Bx A z y x y       , n0 1 3 n n A x y    , ₁ 3 3 n n n B y z x      , 1 1 3 4 n n n n n Bx A z y x y       , n0

In the fifth section, we have investigated the periodical solutions of a system of general rational difference equation 1 n n k A x y    , _{n 1} n k n k B y z x      , 1 1 ( 1) n n n k n n k Bx A z y x y        , n0

In the sixth section, we have given the numerical examples fort his system of difference equations

vi

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Yüksek Lisans çalışmamı yönetmeyi kabul ederek bana yol gösteren saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU’ya hayatımın her aşamasında bana yardımcı olan aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Esra ESEN KONYA-2015

vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii SĠMGELER VE KISALTMALAR ... ix 1. GĠRĠġ ... 1

2.FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠ ĠLE ĠLGĠLĠ YAPILMIġ ÇALIġMALAR ... 2

3.FARK DENKLEMLERĠ ... 6

4. FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 11

4.1. ₁ 1 1 n n x y    , ₁ 1 1 1 n n n y z x      , 1 1 1 2 1 n n n n n x z y x y       FARK DENKLEM ... 11 SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 11 4.2. ₁ 1 n n A x y    , ₁ 1 1 n n n B y z x      , 1 1 1 2 n n n n n Bx A z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 14 4.3. ₁ 2 1 n n x y    , ₁ 2 2 1 n n n y z x      , 1 1 2 3 1 _n n n n n x z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 16 4.4. ₁ 2 , n n A x y    ₁ 2 2 , n n n B y z x      1 1 2 3 n n n n n Bx A z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 20 4.5. ₁ 3 1 n n x y    , ₁ 3 3 1 n n n y z x      , 1 1 3 4 1 _n n n n n x z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 24 4.6. ₁ 3 n n A x y    , ₁ 3 3 n n n B y z x      , 1 1 3 4 n n n n n Bx A z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 28

viii 4.7. 1 1 n n k x y    , 1 1 n n k n k y z x      , 1 1 ( 1) 1 _n n n k n n k x z y x y        FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 32 4.8. _{n 1} n k A x y    , _{n 1} n k n k B y z x      , 1 1 ( 1) n n n k n n k Bx A z y x y        FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ ... 35 5. _{n 1} n k A x y    , _{n 1} n k n k B y z x      , 1 1 ( 1) n n n k n n k Bx A z y x y        FARK DENKLEM SĠSTEMĠN KARARLILIĞI ... 38

6. NÜMERĠK ÖRNEKLER VE ġEKĠLLERĠ ... 40

7. KAYNAKLAR ... 48

ix

SĠMGELER VE KISALTMALAR

Simgeler

ℝ : Reel sayılar ℕ : Doğal sayılar

ℝℝ : İki boyutlu reel sayılar kümesi ∀ : Her ∃ : Bazı < : Küçük > : Büyük ≤ : Küçük eşit ≥ : Büyük eşit = : Eşit ≠ : Eşit değil

1 1. GĠRĠġ Bu tezde; 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , , n n n n n n n n n n Bx A B A x y z y z x y x y               , n0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 , , n n n n n n n n n n Bx A B A x y z y z x y x y               , n0 1 1 1 1 3 3 3 3 4 , , n n n n n n n n n n Bx A B A x y z y z x y x y               , n0

fark denklem sistemlerinin A1,B1veA B, ℝ-

 

0 olduğu durumlarda periyodikliği incelendi. Sonra bu sistemin en genel hali olan

1 1 1 1 ( 1) , , n n n n n k n k n k n k n n k Bx A B A x y z y z x y x y                , n0, ,A Bℝ-

 

0

genel rasyonel fark denklem sistemine ulaşılarak bu sisteminde çözümlerinin A1,

1

B veA B, ℝ-

 

0 olduğu durumlarda periyodikliği incelendi. Daha sonra 1 1 1 1 ( 1) , , n n n n n k n k n k n k n n k Bx A B A x y z y z x y x y                , n0, ,A Bℝ-

 

0 genel rasyonel fark denklem sisteminin özel şartlar altında kararlılığı incelendi.

2 2.BÖLÜM

2.FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠ ĠLE ĠLGĠLĠ YAPILMIġ ÇALIġMALAR Fark denklemlerinin global asimptotik kararlılığı ile ilgili literatürde son yıllarda yapılmış olan çalışmaları özetleyelim:

Schinas (1997) çalışmalarında, 1 1 1 n n n x x x   

 Lyness fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğinden ve denklem sabitinden hareketle, 1 1 1 1 , , 0 n n n n n n ay A bx A x y n x y          1 1 1 1 , , 0 n n n n n n n n a y A b x A x y n x y         









1 1 1 1 max , max , , , 0 n n n n n n n n a y A b x A x y n x y       

Denklem sistemleri ve rasyonel formdaki benzer bazı fark denklemlerinin, fark denklem sistemlerinin ve maksimumlu fark denklem sistemlerinin denklem sabitlerini ve çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Çalışma sonucunda; çeşitli fark denklemlerinin ve fark denklem sistemlerinin denge noktalarını, denklemlerin katsayılarının sabit olması veya periyodik birer dizi olması gibi durumlarda katsayılara ve denklemin genel terimlerine bağlı olarak elde etmiştir.

Grove ve arkadaĢları (2001) çalıĢmalarında,

a , b, c ve d reel sayılar ve başlangıç şartları x ve ₀ y keyfi reel sayılar olmak üzere, ₀

1 n n n a b x x y    , n 1 n n c d y x y

   , n1, 2,... fark denklem sisteminin, her n0 için iyi

tanımlı olduğu ( ,x y_{0 0})ℝℝ değerlerinin kümesini ve çözümlerinin davranışlarını araştırdılar. Bu fark denklem sisteminde, n

n n

x z

y

 dönüşümü yaparak Riccati fark denklemine ulaştılar ve bu denklemin karakteristik denkleminin çözümlerinden hareketle a , b, c ve dreel sayıları için şartlar elde ettiler, yani denklemin good küme ve forbidden kümesine ulaştılar. Denklemin çözümleri hakkında bazı şartlar altında genellemeler elde ettiler.

3

Grove, Ladas, McGrath, Teixeira (2001) çalıĢmalarında,

1 n n n a b x x y    , n 1 n n c d y x y

   rasyonel fark sisteminin çözümlerinin davranışı ve

varlığı üzerinde çalışmışlardır.

Clark ve Kulenović (2002) çalıĢmalarında,

1 n n n x x a cy   _ , 1 n n n y y b dx

  _ , n0 için a , b , c ve d pozitif sayılar ve x y 0, 0

başlangıç şartları negatif olmayan sayılar olmak üzere fark denklem sisteminin çözümlerinin global kararlılık özelliklerini ve asimptotik davranışlarını incelemişlerdir Çınar (2004) çalıĢmaları, 1 1 1 1 n n n n x x x x    

  , n0 fark denkleminin çözümlerini, bu çözümlerinin başlangıç şartlarına göre durumları ve bu çözümlerin lokal asimptotik kararlılığını incelemiştir. Çınar ve Yalçınkaya (2004) çalıĢmalarında,

1 1 1 1 1 1 1 1 , , n n n n n n x y z z x x     

   fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin

periyodikliğini incelediler ve



x y z_n, _n, _n



çözümlerinin üç periyotlu olduğunu ispat ettiler. Çınar (2004) çalıĢmalarında, 1 1 1 1 1 , n n n n n n y x y y x y    

  fark denklem sisteminin çözümlerinin dört periyotlu olduğunu elde etmiştir.

Çınar ve Yalçınkaya (2004) çalıĢmalarında,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , n n n n n n n x y z z x y x      

   fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin

periyodiklik özelliğini incelediler.

 

x_n ve

 

z_n çözümlerinin üç periyotlu,

 

y_n çözümlerinin ise on iki periyotlu olduğunu ispat ettiler.

Camouzis ve Papaschinopoulos (2004) çalıĢmalarında,

1 1 , 1 1 , 0 n n n n n m n m x y x y n y x    

     fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin davranışlarını incelemişlerdir.

4

Douraki, Dehghan, Razzghi (2006) çalıĢmalarında,

1 3 n n k n k A B x x x      ; A B, (0, ) ; 3 2 3k 1, _k ,..., 0 (0, ) x_{ } x_{ } x   çözümlerinin k periyotlu olduğunu göstermişlerdir. Özban (2006) çalıĢmasında; 1 1 , 1 1 , 0 n n n n n k n m n m k x y x y n y x y      

     fark denklem sisteminin bütün pozitif

çözümlerinin periyodikliğini araştırmış ve ispat etmiştir. Iricanin ve Stevic (2006) çalıĢmalarında;

(2) (3) (1) (1) (2) ( ) 1 (3) 1 (4) 1 (2) 1 1 1 1 1 1 , , ... , k n n n n n n n n n x x x x x x x x x             (2) (3) (3) (4) (1) (2) (1) 1 (2) 1 ( ) 1 1 (4) 1 (5) 1 (3) 2 2 2 1 1 1 , , ... , k n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x k x x x                   ℕ

fark denklem sisteminin pozitif çözümlerini elde etmişlerdir. Papaschinopoulos ve arkadaĢları (2007) çalıĢmalarında;

, , ( 1, 2,..., )

i i

a b i k pozitif sabitler , k 3 tamsayı ve bütün başlangıç şartları pozitif olmak üzere, 1 1 ( ) ( 1) , ( 1) k k k k a x n b x n x _ n     1 1 1 2 ( ) ( 1) , ( 1) k a x n b x n x n     . . . 1 1 1 2 ( ) ( 1) , ( 1) i i i i i a x n b x n x n         i3, 4,...,k

denklem sisteminin çözümlerini incelemişlerdir. ġimĢek ve arkadaĢları (2009) çalıĢmalarında;

1 max , n n n n y A x x x     _{ }  , 1 max , n n n n x A y y y     _{ }

 , n0 fark denklem sisteminin çözümlerini incelemişlerdir.

5

TaĢkara N., Uslu K. Ve Tollu D.T (2001) çalıĢmalarında;

( 1) 1 ( 1) n n n k n n n k p x x x q x       

 , kℕ, x k 1,xk,...ℝ başlangıç şartları olmak üzere fark

denkleminin periyodikliği ve genelleştirilmiş çözümü için gerek ve yeter şartları incelemiştir. Ayrıca, genel çözümün (k1) periyotlu olduğunu göstermişlerdir.

6 3.FARK DENKLEMLERĠ

Tanım 3.1 nℕ bağımsız değişken ve x bilinmeyen fonksiyon olmak üzere ( , ( ), ( 1),..., ( )) 0

F n x n x n x n k  (3.1) eşitliğine bir fark denklemi denir.

Tanım 3.2 Bir fark denkleminde bilinmeyen fonksiyonun mevcut en büyük ve en küçük argümentlerinin farkına o denklemin mertebesi denir (Elaydi,1995).

Tanım 3.3 a n a n1( ), 2( ),...,a n katsayıları ile k( ) g n( ), nn0 için tanımlı reel değerli

fonksiyonlar ve [ , )n₀  



n n₀, ₀1,n₀2,...



üzerinde a n_k( )0 olmak üzere

1

( ) ( ) ( 1) ... _k( ) ( ) ( )

x n k a n x n k   a n x n g n (3.2) biçimindeki bir denkleme k yıncı basamaktan lineer fark denklem denir. Bu denklem,

( ) 0

g n  olduğu zaman homogen denklem, aksi durumda homogen olmayan denklem olarak adlandırılır. Buna göre k yıncı basamaktan bir lineer homogen fark denklem

1

( ) ( ) ( 1) ... _k( ) ( ) 0

x n k a n x n k   a n x n  (3.3) Şeklinde ifade edilir. Ayrıca, bütün ( )a n katsayıları _i a n_i( )a_i şeklinde sabitse, (3.2) denklemine sabit katsayılı, aksi halde değişken katsayılı fark denklem denir (Elaydi,1995).

Tanım 3.4 f n f n₁( ), ₂( ),..., f n fonksiyonları _r( ) nn₀ için tanımlı olsunlar. Her nn0 için

1 1( ) 2 2( ) ... r r( ) 0

c f n c f n  c f n  (3.4) olacak biçimde hepsi birden sıfır olmayan c c₁, ₂,...,c sabitleri var ise, bu durumda _r



f n f n1( ), 2( ),..., f n cümlesine r( )



[ , )n0  üzerinde lineer bağımlıdır denir. (3.4) eşitliği

her nn₀için sadece ve sadece c₁c₂   ... c_r 0 durumunda sağlanıyorsa,



f n f n1( ), 2( ),..., f n cümlesine r( )



[ , )n0  üzerinde lineer bağımsızdır denir

(Elaydi,1995).

3.1. Lineer Fark Denklemleri

Tanım 3.1.1. Bir fark denkleminde bağımlı değişken birinci dereceden ise bu denkleme Lineer Fark Denklemi denir. Genel olarak lineer fark denklemleri;

1 1 ... 0 ( )

n k k n k n

y _ a _ y _{ }  a y F n şeklinde gösterilir.

7

 Eğer F n( )0 ise denkleme Lineer Homojen Fark Denklemi denir.

 a a a₀, ,_{1 2},...,a katsayıları sabit iseler, denkleme Sabit Katsayılı Lineer Fark _k Denklemi denir.

 a a a₀, ,_{1 2},...,a katsayıları bağımsız değişkenin fonksiyonları iseler denkleme _k Değişken Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir (Elaydi,1995).

3.2. Fark Denklemleri Ġçin Genel Tanımlar ve Teoremler

Teorem 3.2.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, f I:  I I sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her x_1,x₀I başlangıç şartları için

1 ( , 1) 0

n n n

x_  f x x _ n (3.2.1) denklemi bir tek

 

x_{n n}_1 çözümüne sahiptir (Elaydi,1995).

Tanım 3.2.1 Eğer xnoktası için f x x( , )x ise x’e f ’nin denge noktası denir. Eğer  n 0 için x x_n ise o zaman x’e f ’nin sabit noktası denir (Elaydi,1995). Tanım 3.2.2 Eğer  n 0için x_1,x₀J iken x_nJolacak şekilde bir J I alt aralığı varsa, bu aralığa (3.2.1) denkleminin değişmez aralığı denir (Elaydi,1995). Tanım 3.2.3 x (3.2.1) denkleminin denge noktası olmak üzere:

 Eğer x1,x0J olmak üzere her  0 için, x0 x x1 x  iken her

0

n için, x_n x  olacak şekilde bir  0 sayısı varsa, x denge noktası kararlıdır denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve x_1,x₀J iken lim _n

nx x olacak şekilde,

0 1

x  x x_  x  şartını sağlayan  0 sayısı varsa, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

 Eğer her x_1,x₀J iken lim _n

nx x ise, x denge noktasına çekim noktası

denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise, x denge noktası global asimptotik kararlıdır denir.

8

 Eğer x_1,x₀J iken x₀ x x_1 x  ve bazı N 1 sayıları için

N

x  x r olacak şekilde bir r0 sayısı varsa, x denge noktasına repeller denir (Elaydi,1995).

Tanım 3.2.4. Eğer

 

xn dizisi için xn p xn ise,

 

xn dizisi p periyotludur denir

ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır (Elaydi,1995).

Tanım 3.2.5. Eğer

 

xn dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye

kalan sonsuz sayıdaki terim için x_{n p} x_n ise,

 

x_n dizisine er geç p periyotludur denir ve p sayısı bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır (Elaydi,1995). Tanım 3.2.6. (3.2.1) denkleminde, f x x( ,_{n n1}) fonksiyonunu f u v( , ) şeklinde alalım: ( , )x f r u x    ve ( , )x f s v x    olmak üzere; 1 1 n n n y _ ry sy _ (3.2.2) Denklemi elde edilir. Bu denkleme (3.2.1) denkleminin x denge noktası civarındaki lineer denklemi adı verilir.

(3.2.2) denkleminin karakteristik denklemi ise:

2

r s

   (3.2.3) dır (Elaydi,1995).

Teorem 3.2.2.(Lineer Kararlılık Teoremi)

Eğer (3.2.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

 Eğer (3.2.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük

ise, xdenge noktası kararsızdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den küçük olmasi

için gerek ve yeter şart r   1 s 2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’ den büyük olması

için gerek ve yeter şartlar s 1 ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası repellerdir.

9  Her x1,x0I için eğer lim n

nx x ise; o zaman x denge noktası global

çekimlidir denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve global çekimli ise x’e global asimptotik kararlıdır denir.

 (3.2.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer

kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar

2

4 0

r  s ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır (Chatterjee ve ark. 2003).

Aşağıdaki lineer olmayan fark denklem sistemleri ile ilgili çalışmalar Nasri ve ark(2005) dan alınmıştır.

1 1 1 2 1 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n n n n n n n n x f x y z y f x y z z f x y z       (3.2.4)

fark denklem sistemi verilsin.

Tanım 3.2.7. Eğer , ,x y z aşağıdaki şartları sağlarsa, ( , , )x y z   I₁ I₂ I₃ noktasını (3.2.4) denklem sisteminin denge noktası olarak adlandırılır.

1 2 3 ( , , ) , , , ( ) ( , ) x x y z y x y z z x f f f y z    (3.2.5)

Tanım 3.2.8.   0 için ( ,x₀ y₀,z₀) ( , , ) x y z  iken (( ,x y z_{0 0}, ₀)  I₁ I₂ I₃)

0

n

  için ( ,x yn n,zn) ( , , ) x y z 

olacak şekilde  0 mevcut ise (3.2.4) sisteminin denge noktası olan ( , , )x y z kararlıdır denir. Aksi halde ise kararsızdır.

Tanım 3.2.9 Eğer sistemin denge noktası kararlı ve ( ,x y z_{0 0}, ₀) I₁ I₂I₃ için

0 0 0

( ,x y ,z ) ( , , ) x y z  olacak şekilde  0 varsa ve

lim ( ,_{n n}, _n) ( , , ) 0

x x y z  x y z 

ise (3.2.4) sisteminin denge noktası asimptotik kararlıdır.

Tanım 3.2.10. Eğer sistemin denge noktası kararlı ve ( ,x y z0 0, 0) I1 I2I3 için

lim ( ,_{n n}, _n) ( , , ) 0

10

ise (3.2.4) sisteminin denge noktası olan ( , , )x y z global asimptotik kararlıdır denir. Teorem 3.2.3. (3.2.4) denklem sisteminin ( , , )x y z denge noktasında jakobiyen matrisi 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 3 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) , , ( ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z df df df dx dy dz df df df x y z dx dy dz df df df dx dy dz J                          _{     }                        

olup, bu jakobiyen matrisinin karakteristik polinomu





( ) det ( , , ) 0

P   J x y z I  ile verilsin.

Bu polinomda aşağıdaki eşitlikler doğrudur;

 P( ) nın bütün kökleri 1 den küçükse denge noktası ( , , )x y z kararlıdır.  P( ) nın köklerinden en az biri 1 den büyükse denge noktası ( , , )x y z

11 4.BÖLÜM

4. FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ

4.1. ₁ 1 1 n n x y    , ₁ 1 1 1 n n n y z x      , 1 1 1 2 1 _n n n n n x z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ Bu bölümde; 1, 0, 2, 1, 0, 1, 0 (0, ) x_ x y_ y_ y z_ z   ve z_i x i_i,  



1, 0



(4.1.1) olmak üzere, 1 1 1 n n x y    , 1 1 1 1 n n n y z x      , 1 1 1 2 1 _n n n n n x z y x y       , n0 (4.1.2) fark denklem sisteminin çözümleri incelenmiştir.

Teorem 4.1.1. x_1,x y₀, _2,y_1,y z₀, _1,z₀(0, ) ve z_i  x i_i,  



1, 0



olmak üzere, (4.1.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri altı periyotlu ve periyodiktir.

Ġspat: (4.1.1) başlangıç şartları altında (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece (4.1.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 , , n , n n n n n n n n n x x y z y z x y x y               2 2 2 1 1 1 , , , n n n n n n n n x y z x y z x y     _    2 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 , n n , , n n n n n n n n n x y x z x y z z x x y                 4 4 4 1 1 , , , n n n n n n n n n x z x y z z x x y          1 1 5 5 1 5 1 1 2 2 , , , n n n n n n n n n n n n x x x y y z z x x y x y                6 , 6 , 6 , n n n n n n x_ x y_  y z _ z

12

Teorem 4.1.2 x_1,x y₀, _2,y_1,y z₀, _1,z₀(0, ) vez_i  x i_i,  



1, 0



, x_1s, x₀ t,

2

y_  p, y_1 q, y₀ r, z_1 k, z₀ l başlangıç şartları altında (4.1.2) denklem sisteminin çözümleri



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda n0 için (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri aşağıda verilmiştir.

6 1 6 1 6 1 1 1 1 , , , n n n s x y z q k s q tp      _    6 2 6 2 6 2 1 1 1 , , , n n n x y z t r l t r      _     6 3 6 3 6 3 1 , , , n n n tp x k s y z k s s q           6 4 6 4 6 4 1 1 , , n n n x l t y z l t t r            6n 5 , 6n 5 , 6n 5 , s s x y q z k s tp tp           6n 6 , 6n 6 , 6n 6 , x _ t  y _ r z _ l

Ġspat: (4.1.1) başlangıç şartlarına göre (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu varsayalım.

6 1 6 1 6 1 1 1 1 , , , n n n s x y z q k s q tp      _    6 2 6 2 6 2 1 1 1 , , , n n n x y z t r l t r      _     6 3 6 3 6 3 1 , , , n n n tp x k s y z k s s q           6 4 6 4 6 4 1 1 , , n n n x l t y z l t t r            6n 5 , 6n 5 , 6n 5 , s s x y q z k s tp tp           6n 6 , 6n 6 , 6n 6 , x _ t  y _ r z _ l

13 6 5 6 7 6 7 6 7 6 5 6 5 6 5 6 5 6 6 6 4 1 1 1 1 1 1 , , n , n n n n n n n n n x s x y z y q z x k s y x y q tp                      6 6 6 8 6 8 6 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 6 5 1 1 1 1 1 1 , , n , n n n n n n n n n x x y z t y r z x l t y x y r                      6 7 6 9 6 9 6 9 6 7 6 7 6 7 6 7 6 8 6 6 1 1 1 1 , , n , n n n n n n n n n x tp x k s y z k s y z x s y x y q                       6 8 6 10 6 10 6 10 6 8 6 8 6 8 6 8 6 9 6 7 1 1 1 1 1 , n , n n n n n n n n n x x l t y z l t y z x t y x y r                       6 9 6 11 6 11 6 11 6 9 6 9 6 9 6 9 6 10 6 8 1 1 1 , , n , n n n n n n n n n x s s x y q z k s y tp z x y x y tp                       6 10 6 12 6 12 6 12 6 10 6 10 6 10 6 10 6 11 6 9 1 1 1 , , n , n n n n n n n n n x x t y r z l y z x y x y                    

14 4.2. 1 1 n n A x y    , 1 1 1 n n n B y z x      , 1 1 1 2 n n n n n Bx A z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ Bu bölümde; 1, 0, 2, 1, 0, 1, 0 (0, ) x_ x y_ y_ y z_ z   , z_i x i_i,  



1, 0



ve ,A Bℝ

 

0 (4.2.1) olmak üzere, 1 1 n n A x y    , ₁ 1 1 n n n B y z x      , 1 1 1 2 n n n n n Bx A z y x y       , n0 (4.2.2) fark denklem sisteminin çözümleri incelenmiştir.

Teorem 4.2.1. A B,  ℝ

 

0 , x_1,x y₀, _2,y_1,y z₀, _1,z₀(0, )

vez_i x i_i,  



1, 0



olmak üzere, (4.2.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri altı periyotlu ve periyodiktir.

Ġspat: (4.2.1) başlangıç şartları altında (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece (4.2.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , , n , n n n n n n n n n Bx A B A x y z y z x y x y                2 , 2 , 2 , n n n n n n n n A B A B x y z x y z x y A      _    





2





3 1 1 3 3 1 1 1 1 , n n , , n n n n n n n n n x y A A B x z x y z z x B x B y                  









4 , 4 , 4 , n n n n n n n n n A A A B x z x y z z x B x B y             1 1 5 5 1 5 1 1 2 2 , , , n n n n n n n n n n n n Ax Ax x y y z z x x y x y                  6 , 6 , 6 , n n n n n n x_ x  y _  y z _ z Teorem 4.2.2 A B, ℝ-

 

0 ve x_1,x y₀, _2,y_1,y z₀, _1,z₀(0, ) , z_i x i_i,  



1, 0



, 1

15

(4.2.2) denklem sisteminin çözümleri



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda n0 için (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri aşağıda verilmiştir.

6n 1 , 6n 1 , 6n 1 , A B A Bs x y z q k s q tp     _    6n 2 , 6n 2 , 6n 2 , A B A Bt x y z r l t r A     _   









6n 3 , 6n 3 , 6n 3 , A tp A B x k s y z k s B s B q         









6n 4 , 6n 4 , 6n 4 , A A A B x l t y z l t B t B r          6n 5 , 6n 5 , 6n 5 , As As x y q z k s tp tp         6n 6 , 6n 6 , 6n 6 , x _ t y _ r z _ l

Ġspat: (4.2.1) başlangıç şartlarına göre (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu varsayalım.

6n 1 , 6n 1 , 6n 1 , A B A Bs x y z q k s q tp     _    6n 2 , 6n 2 , 6n 2 , A B A Bt x y z r l t r A     _   









6n 3 , 6n 3 , 6n 3 , A tp A B x k s y z k s B s B q         









6n 4 , 6n 4 , 6n 4 , A A A B x l t y z l t B t B r          6n 5 , 6n 5 , 6n 5 , As As x y q z k s tp tp         6n 6 , 6n 6 , 6n 6 , x _ t y _ r z _ l

Böylece yukarıdaki eşitlikten yararlanılarak



n1



için doğruluğunu gösterelim. 6 5 6 7 6 7 6 7 6 5 6 5 6 5 6 5 6 6 6 4 , , n , n n n n n n n n n Bx A A B B A A Bs x y z y q z x k s y x y q tp                     6 6 6 8 6 8 6 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 6 5 , , n , n n n n n n n n n Bx A A B B A A Bt x y z y r z x l t y x y r A                       6 7   6 9 6 9 6 9 6 7 6 7 6 7 6 7 6 8 6 6 , , n n n n n n n n n n Bx A B tp A A B x A k s y z k s y z x s y x y B q                        6 8   6 10 6 10 6 10 6 8 6 8 6 8 6 8 6 9 6 7 , , n , n n n n n n n n n Bx A A B A A A B x l t y z l t y B z x t y x y B r                     

16 6 9 6 11 6 11 6 11 6 9 6 9 6 9 6 9 6 10 6 8 , , n , n n n n n n n n n Bx A As B A As x y q z k s y tp z x y x y tp                     6 10 6 12 6 12 6 12 6 10 6 10 6 10 6 10 6 11 6 9 , , n , n n n n n n n n n Bx A B A x t y r z l y z x y x y                  

Böylece tümevarım metodu ile ispat tamamlanmış olur.

4.3. ₁ 2 1 n n x y    , ₁ 2 2 1 n n n y z x      , 1 1 2 3 1 _n n n n n x z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ Bu bölümde; 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 0 (0, ) x_ x_ x y_ y_ y_ y z_ z_ z   ve z_i x i_i,   



2, 1, 0



(4.3.1) olmak üzere, 1 2 1 n n x y    , ₁ 2 2 1 n n n y z x      , 1 1 2 3 1 _n n n n n x z y x y       , n0 (4.3.2) fark denklem sisteminin çözümleri incelenmiştir.

Teorem 4.3.1 x2,x1,x y0, 3,y2,y1,y z0, 2,z1,z0(0, ) ve zi x ii,   



2, 1, 0



olmak üzere, (4.3.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotlu ve periyodiktir.

Ġspat: (4.3.1) başlangıç şartları altında (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece (4.3.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir. 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 , , n , n n n n n n n n n x x y z y z x y x y               2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 , , , n n n n n n n n x y z x y z x y             3 3 3 2 1 1 1 1 , , , n n n n n n n n x y z y z x y y          3 4 2 2 4 4 2 2 1 1 1 , n n , , n n n n n n n n n x y x z x y z z x x y                 5 1 1 5 5 1 1 1 1 , , , n n n n n n n n n x z x y z z x x y             

17 6 , 6 2, 6 2 2, n n n n n n n n n n x_ z x y _  y _ z _ z  x z _ x _ 1 1 7 7 1 7 1 1 3 3 , , , n n n n n n n n n n n n x x x y y z z x x y x y                8 , 8 , 8 , n n n n n n x_ x y _  y z _ z Teorem 4.3.2. x_2,x_1,x y₀, _3,y_2,y_1,y z₀, _2,z_1,z₀(0, ) ve z_i x i_i,   



2, 1, 0



2 x_ k, x_1l, x₀ m, y_3  p, y_2 q, y_1r, y₀ s, z_2 t, z_1h, z₀ g başlangıç şartları altında (4.3.2) denklem sisteminin çözümleri



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda n0 için (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri aşağıda verilmiştir.

8 1 8 1 8 1 1 1 1 , , , n n n l x y z q t k q mp     _    8 2 8 2 8 2 1 1 1 , , , n n n x y z m r h l r     _    8 3 8 3 8 3 1 1 1 1 , , , n n n x y z s g m s q     _    8 4 8 4 8 4 1 , , , n n n mp x t k y z t k l r          8 5 8 5 8 5 1 1 , , , n n n x h l y z h l m s          8n 6 , 8n 6 , 8n 6 , x _  g m y _ q z _    g m t k 8n 7 , 8n 7 , 8n 7 , l l x y r z h l mp mp         8n 8 , 8n 8 , 8n 8 , x _ m y _ s z _ g

Ġspat: (4.3.1) başlangıç şartları altında (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n0için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin

doğru olduğunu varsayalım.

8 1 8 1 8 1 1 1 1 , , , n n n l x y z q t k q mp     _    8 2 8 2 8 2 1 1 1 , , , n n n x y z m r h l r     _    8 3 8 3 8 3 1 1 1 1 , , , n n n x y z s g m s q     _    8 3 8 3 8 3 1 1 1 1 , , , n n n x y z s g m s q     _   

18 8 4 8 4 8 4 1 , , , n n n mp x t k y z t k l r          8 5 8 5 8 5 1 1 , , , n n n x h l y z h l m s          8n 6 , 8n 6 , 8n 6 , x _  g m y _ q z _    g m t k 8n 7 , 8n 7 , 8n 7 , l l x y r z h l mp mp         8n 8 , 8n 8 , 8n 8 , x _ m y _ s z _ g

Böylece yukarıdaki eşitlikten yararlanılarak (n1) için doğruluğunu gösterelim.

8 9 8 9 8 6 8 6 8 6 8 7 8 9 8 6 8 8 8 5 1 1 1 1 , , 1 1 , n n n n n n n n n n x y y q z x t k x l z y x y q mp                     8 10 8 10 8 7 8 7 8 7 8 8 8 10 8 7 8 9 8 6 1 1 1 1 , , 1 1 , n n n n n n n n n n x y y r z x h l x z m y x y r                     8 11 8 11 8 8 8 8 8 8 8 9 8 11 8 8 8 10 8 7 1 1 1 1 , , 1 1 1 , n n n n n n n n n n x y y s z x g m x z y x y s q                     8 12 8 12 8 9 8 9 8 9 8 10 8 12 8 9 8 11 8 8 1 1 , , 1 1 , n n n n n n n n n n mp x t k y y z x l x z t k y x y r                      8 13 8 13 8 10 8 10 8 10 8 11 8 13 8 10 8 12 8 9 1 1 1 , , 1 1 , n n n n n n n n n n x h l y y z x m x z h l y x y s                      8 14 8 14 8 11 8 11 8 11 8 12 8 14 8 11 8 13 8 10 1 1 , , 1 , n n n n n n n n n n x g m y q y z x x z g m t k y x y                      

19 8 15 8 15 8 12 8 12 8 12 8 13 8 15 8 12 8 14 8 11 1 1 , , 1 , n n n n n n n n n n l x y r y mp z x x l z h l y x y mp                     8 16 8 16 8 13 8 13 8 13 8 14 8 16 8 13 8 15 8 12 1 1 , , 1 , n n n n n n n n n n x m y s y z x x z g y x y                  

20 4.4. 1 2 , n n A x y    1 2 2 , n n n B y z x      1 1 2 3 n n n n n Bx A z y x y       FARK DENKLEM SĠSTEMĠNĠN PERĠYODĠKLĠĞĠ Bu bölümde; 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 0 (0, ) x_ x_ x y_ y_ y_ y z_ z_ z   ,z_i x i_i,   



2, 1, 0



, ,A Bℝ

 

0 (4.4.1) olmak üzere, 1 2 n n A x y    , ₁ 2 2 n n n B y z x      , 1 1 2 3 n n n n n Bx A z y x y       , n0 (4.4.2) fark denklem sisteminin çözümleri incelenmiştir.

Teorem 4.4.1. A B, ℝ

 

0 ,x_2,x_1,x y₀, _3,y_2,y_1,y z₀, _2,z_1,z₀(0, ) ve z_i  x_i,



2, 1, 0



i   olmak üzere, (4.4.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotlu ve periyodiktir. Ġspat: (4.4.1) başlangıç şartları altında (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece (4.4.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir. 1 1 1 1 2 2 2 2 3 , , n , n n n n n n n n n Bx A B A x y z y z x y x y               2 2 2 1 1 1 1 , , , n n n n n n n n A B A B x y z x y z x y A             3 3 3 2 , , , n n n n n n n n A B A B x y z y z x y y         





3





4 2 2 4 4 2 2 1 1 , n n , , n n n n n n n n n x y A A B x z x y z z x B x B y                









5 1 1 , 5 , 5 1 1 , n n n n n n n n n A A A B x z x y z z x B x B y             









6 , 6 2, 6 2 2, n n n n n n n n n n A A x z x y y z z x z x B B              1 1 7 7 1 7 1 1 3 3 , , , n n n n n n n n n n n n Ax Ax x y y z z x x y x y                8 , 8 , 8 , n n n n n n x_ x y _ y z _ z

21

Teorem 4.4.2. A B,  ℝ

 

0 , x2,x1,x y0, 3,y2,y1,y z0, 2,z1,z0(0, ) vezi  xi,



2, 1, 0



i   x_2 k, x_1 l, x₀ m, y_3 p, y_2 q, y_1r, y₀ s, z_2 t,

1

z_ h, z₀ g başlangıç şartları altında (4.4.2) denklem sisteminin çözümleri



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda n0 için (4.4.2) denklem sistemlerinin bütün çözümleri aşağıda verilmiştir.

8n 1 , 8n 1 , 8n 1 , A B A Bl x y z q t k q mp     _    8n 2 , 8n 2 , 8n 2 , A B A B x y z m r h l r A     _    8n 3 , 8n 3 , 8n 3 , A B A B x y z s g m s q     _   









8n 4 , 8n 4 , 8n 4 , A mp A B x t k y z t k B l B r         









8n 5 , 8n 5 , 8n 5 , A A A B x h l y z h l B m B s         









8n 6 , 8n 6 , 8n 6 , A A x g m y q z g m t k B B           8n 7 , 8n 7 , 8n 7 , Al Al x y r z h l mp mp         8n 8 , 8n 8 , 8n 8 , x _ m y _ s z _ g

Ġspat: (4.4.1) başlangıç şartlarına göre (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu varsayalım.

8n 1 , 8n 1 , 8n 1 , A B A Bl x y z q t k q mp     _    8n 2 , 8n 2 , 8n 2 , A B A B x y z m r h l r A     _    8n 3 , 8n 3 , 8n 3 , A B A B x y z s g m s q     _   









8n 4 , 8n 4 , 8n 4 , A mp A B x t k y z t k B l B r         









8n 5 , 8n 5 , 8n 5 , A A A B x h l y z h l B m B s         