Hidrojene benzer atomlarda ışıma şiddetinin ve einstein katsayılarının guseinv’un ψa -eto fonksiyonu kullanılarak hesaplanması

HİDROJENE BENZER ATOMLARDA IŞIMA ŞİDDETİNİN VE

EINSTEIN KATSAYILARININ GUSEINOV' UN -ETO

FONKSİYONU KULLANILARAK HESAPLANMASI Günseli ATEŞ

Y.Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı

Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU

2013 Her Hakkı Saklıdır

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FİZİK ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

HİDROJENE BENZER ATOMLARDA IŞIMA ŞİDDETİNİN VE

EINSTEIN KATSAYILARININ GUSEINOV' UN

-ETO

FONKSİYONU KULLANILARAK HESAPLANMASI

Günseli ATEŞ

TOKAT

2013

Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlâk kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumlarında bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde her hangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin her hangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim.

i

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

HİDROJENE BENZER ATOMLARDA IŞIMA ŞİDDETİNİN VE EINSTEIN KATSAYILARININ GUSEINOV' UN

-ETO FONKSİYONU KULLANILARAK HESAPLANMASI

Günseli ATEŞ Gaziosmanpaşa Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU

Astrofizik ve Kuantum Geçiş Fiziği' nde atom ve moleküllerde gözlenen salma ve soğurma spektrumları üzerine çalışmalar yapılmıştır. Hidrojen ve helyumun çok büyük baş kuantum sayılarında geçişleri bazı yaygın ve gezegenimsi bulutsularda gözlenir. Büyük n Rydberg durumlarına (n→∞) sahip atomlarda kuantum mekaniğine dayalı hesaplamaları yapmak zor, kullanışsız ve zaman alıcıdır. Çünkü uzun seri hesaplamaları içerir. Bu nedenle Rydberg durumları çalışıldığında hidrojen benzeri atomların elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları önemli rol oynar. Hidrojen benzeri sistemlerde elektrik dipol geçişleri için osilatör şiddetleri genel astrofizikte ve kuantum geçiş fiziğinde önem kazanır. Elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları sadece hidrojenik sistemlerin ışınımsal geçişlerini çalışırken önemli değil, osilatör şiddeti, Einstein geçiş olasılıkları, geçiş hızlarını hesaplamada da önemlidir. Atom ve moleküllerin optik geçişlerinin gücü bir çok parametreyi açıklar. Einstein A ve B katsayıları, tesir kesiti, f değeri (osilatör şiddeti) ve dipol momentleri bu parametrelerdendir.Tüm bu sebeplerden dolayı özellikleri iyi anlaşılır, yaklaşık ve düzenli baz setleri kullanmak önemlidir.Bu çalışmada elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları için kullanışlı olan -ETO tam ortonormal fonksiyonlar sisteminin setleri kullanılmıştır sonuçta hidrojen benzeri atomlar için Einstein katsayıları ve ışıma şiddeti hesaplanmıştır.

2013, 54 sayfa

Anahtar Kelimeler: Guseinov - ETO, Einstein Katsayıları, Işıma Şiddeti, Radyal İntegraller, Rydberg Durumu, Osilatör Şiddeti, Geçiş Momenti

ii

M. Sc. Thesis

CALCULATION OF RADIATION INTENSITY AND EINSTEIN COEFFICIENTS OF HYDROGEN-LIKE ATOMS USING GUSEINOV' S -ETO FUNCTION

Günseli ATEŞ

Gaziosmanpaşa University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics

Supervisor: Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU

Astrophysics and Quantum Transtion Physics studies on atoms and molecules, observed in the emission and absorption spectrums of atoms and molecules have been studied on. The hydrogen and helium transitions n → n' which arise in the case of very large principal quantum numbers have been observed from some diffuse and planetary nebulae. Rydberg states (n→∞) based on quantum mechanics become diffucult, cumbersome, and very time consuming because it involves long series calculations. Therefore, the study of Rydberg states in astrophysics and in quantum transition physics the solution of the electric multipole transition radial matrix elements of hydrogen-like atoms play an important role. In the hydrogen-like systems electric dipol transtions for oscilator strength is important in the general astrophysics and the quantum transtion physics. Electric multipole transition radial matrix elements is important not only in the study of radiative transtions of hydrogenic systems, but also calculation of oscilator strength, Einstein transition probability and transitions velocity.Several parameters are commonly used to describe the strength of atomic and molecular optical transition. The Einstein A and B coefficients, f value (also called oscilator strengths) and transition dipole moments are all atomic and molecular parameters related to the strength of the transition. Because of this reasons, it is important to use appropriate and elegant sets of basis functions with well understood properties.In this study, we have used the sets of complete orthonormal sets of -ETO which might be useful for the study of electric

multipole transition radial matrix elements Finally we have calculated Einstein coefficents and radiation strength for hydrogen-like atoms.

2013, 54 pages

Keywords: Guseinov - ETO, Einstein Coefficients, Radiation Intensity, Radial Integrals, Rydberg State, Oscillator Strenght, Transition Moment

iii

ÖNSÖZ

Yüksek lisans çalışmalarım süresince bana her türlü kolaylığı sağlayan, karşılaştığım zorluklarda bana yol gösteren ve bu çalışmamın oluşmasında bilgi ve deneyimlerini benden esirgemeyen danışman hocam sayın Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU’ na en içten teşekkürlerimi sunarım.

Çalışmamda yardımlarını ve desteğini hep hissettiğim arkadaşım Elif SOMUNCU' ya teşekkür ederim.

Hayatım boyunca maddi ve manevi olarak hep yanımda olan canım anneme, biricik kardeşime ve sabrından, desteğinden dolayı sevgili eşime sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Günseli ATEŞ Ağustos-2013

iv Sayfa No ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii İÇİNDEKİLER iv ŞEKİLLER DİZİNİ v ÇİZELGELER DİZİNİ vi

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ vii

1. GİRİŞ 1 2. GENEL BİLGİLER 7 2.1. Einstein A ve B Katsayıları 11 2.2. Çizgi Şiddeti(S) 15 2.3. Osilatör Şiddeti(f) 16 2.4. Tesir Kesiti( ) 18 3. MATERYAL ve METOD 21

3.1. Radyal Dalga Foksiyonu 21

3.1.2. Hidrojen için radyal dalga fonksiyonu 23

3.2. Baz Setleri 28

3.1.2. Slater Tipi Orbitaller(STO) 29

3.3. Tam ortanormal fonksiyonlar sistemi 30

3.4. Yöntem 31

4. BULGULAR 38

5. SONUÇ 42

KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ

v

ŞEKİLLER DİZİNİ

Sayfa

Şekil 1.1 Elektromanyetik Spektrum...……….. 1

Şekil 1.2 İki seviyeli atomla ışınımın etkileşmesi sonucu oluşan üç süreç... 4

Şekil 2.1 Sürekli,Salma Ve Soğurma Spektrumu... 7

Şekil 2.2 Hidrojen Enerji Seviyeleri... 8

Şekil 2.3 İki enerji seviyesi arasındaki geçiş... ……… 10

Şekil 2.4 Einstein olasılık katsayıları ……….. 11

Şekil 3.1 Küresel polar koordinatlar ………..…………... 22

Şekil 3.2 Hidrojen atomunun 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d orbitallerine ait radyal fonksiyonlar ………... 25

Şekil 3.3 Elektronun küre katmanlarında bulunma olasılığı...….. 25

vi

Sayfa

Çizelge 2.1 Tablo 2.1: Yukarıda ışınımla soğurma ve salmayı karakterize eden nicelikler arasındaki

ilişkileri………...

20

Çizelge 3.1 İlk üç orbitalin baş kuantum sayısı, yörünge ve manyetik

kuantum sayıları ile orbitallerin türü ve sayısı... 23 Çizelge 3.2 Hidrojen atomu için ilk üç orbitalin radyal

fonksiyonları... 24 Çizelge 4.1 α=2,1,0,-1,-2,..., için Denklem (3.37) ve Denklem (3.39) 'un

karşılaştırılması... 38 Çizelge 4.2 Denklem (3.36) ile (Hey, 2006)'daki 1 no'lu denklemin

karşılaştırılması (α=2,1,0,-1 için )... 39 Çizelge 4.3 Osilatör Şiddeti, Einstein Katsayısının Hoang D.-Binh., 2004

vii

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ Simge Açıklama

İndirgenmiş Planck Sabiti Planck Sabiti

k Boltzmann Sabiti V Potansiyel Z Çekirdek Yükü

l Orbital Kuantum Sayısı s Spin Kuantum Sayısı m Manyetik Kuantum Sayısı n Baş Kuantum Sayısı e Elektron Yükü Spin Operatörü Hamilton Operatörü Slater Sabiti Slater Fonksiyonu Bohr Yarıçapı R Rydberg Sabiti c Işık Hızı Açısal Frekans Dipol Moment Işınım Sönüm Miktarı Dalga Boyu Frekans r Yarıçap Vektörü d Dejenere Seviye g Dejenerelik Katı Enerji Yoğunluğu P Geçiş Olasılığı W Geçiş Hızı N Atom Sayısı Orbital Enerjisi f Osilatör Şiddeti Tesir Kesiti

viii

Kısaltmalar Açıklamalar

ETO Üstel Tip Orbitaller GTO Gaussian Tipi Orbitaller

HF Hartree -Fock

HFR Hartree-Fock-Roothaan

SCF Öz Uyumlu Alan (Self Consistent Field) STO Slater Tipi Orbitaller

1. GİRİŞ

Fizik, kimya ve elektrik mühendisliğinin güçlü belirgin akımları atomik, moleküler ve optiksel bilim ve mühendislikte bir çok problemin çözümünde önemli rol oynar. İnsan gözünün algılayabildiği dalga boylarındaki ışık kullanılarak gözlenen ve atomik ölçekte hareket ettirilen maddeyi, alt dalga boylarındaki ışığın nano özellikleri kullanılarak kuantum-elektronik cihazlar geliştirmek ve iç moleküler hareketleri kontrol etmek, titreşen ışık ile de kimyasal tepkimeyi değiştirmeyi açıklayabilmek bu entellektüel akımların sonucudur (Weiner ve ark., 2002).

Işık çevremizdeki cisimleri görmemize renkleri ayırt etmemize yarayan enerji şeklidir. Işık enerji taşıyan elektromanyetik dalga olarak tanımlanabilir ve belli frekansta ışığın taşıdığı enerji sürekli bir değişken olmayıp enerji kuantumunun katları olabilir ( ) (Taylor J.ve ark., 2008). Atom tarafından enerjinin yayılması ve bu enerjinin boşluk içerisinde iletilmesi işlemi de radyasyon(ışınım) olarak tanımlanır. Elektromanyetik ışınım bir vakum ya da maddede kendi kendine yayılan dalgalar formunu alan bir olgudur. Elektromanyetik dalgalar, yüklü bir parçacığın ivmeli hareketi sonucu oluşan birbirine dik elektrik ve manyetik alan bileşeni olan ve bu iki alanın oluşturduğu düzleme dik doğrultuda yayılan, yayılmaları için ortam gerekmeyen, boşlukta c ışık hızı ile yayılan enine dalgalardır.Bu dalgalar frekanslarına göre sınıflandırılırlar.

 Gamma ışınları

0,01 nanometreden daha küçük dalga boylu ışınlardır. Bir atom çekirdeğinin çapından daha küçük dalga boylu dalgalar içerirler. Bu elektromanyetik tayfın en yüksek enerjili ve frekanslı bölgesidir. Pulsarlar, kara delikler ve kuazarlar gibi cisimlerde meydana gelen şiddetli nükleer tepkimeler sonucu oluşurlar. Ayrıca süpernova patlamalarında ve karadeliklerin etrafını çevreleyen madde diskinden karadeliğin olay ufkundan içine düşen maddenin aşırı ısınması sonucu da oluşurlar.

 X ışınları

0.01 ile 10 nanometre arasında dalga boyuna sahip ışınlardır yani bir atomun boyu kadardır. Alman fizikçi Wilhelm Conrad ROENTGEN tarafından keşfedilmişlerdir. Sınıflandırmada nereye ait olduklarını bilmediği için onlara ışınları adını vermiştir. X-ışınları yumuşak maddelerin içine nüfuz ederler. Lambalar, x-ışını tüpleri ve metal bir hedefe çarpan hızlı elektronlar x-ışını kaynakları arasındadır.

 Morötesi (UV) radyasyon

10 ile 310 nanometre arasında dalga boyuna sahip ışınlardır yaklaşık olarak bir virüs boyutundadır. Genç, sıcak yıldızlar bol miktarda morötesi ışık üretirler ve yıldızlararası uzayı bu yüksek enerjili ışınlarla yıkarlar. Kaynaklar; lambalar, gaz deşarjları ve de yıldızlardır. A, B ve C olmak üzere üç kısımda incelenirler. Kısa dalga boylu morötesi ışınlar zararlı olabilirler.2650 Å dalgaboyu gözlere zararlı, o yüzden UV koruyucu gözlükler özellikle bu dalga boyundaki morötesi ışınlarını keser.

 Görünür ışık

400 ile 700 nanometre dalga boyları arasındaki ışınları kapsar bir molekül ile tek hücreli arası boydadırlar. Işık diye hitap edilen elektromanyetik spektrumun bu küçük bölümünü insan görebilir. Güneş yeryüzü ışığının % 99,999’ unu sağlar. Bu bölgede mor ile başlayan ve kırmızıyla biten renkler vardır.

3

 Kızılötesi (IR) radyasyon

710 nanometreden 1 milimetre arası dalga boylarına sahip ışınları kapsar (iğne ucu ile küçük bir tohum kadar boyları vardır). Bütün sıcak ve soğuk maddeler tarafından oluşturulurlar. Atomlar tarafından emildiklerinde maddeyi ısıtırlar, onun için de ısı radyasyonu da denir. 37 ˚C sıcaklığa sahip olan vücudumuz 900 nanometrelik kızılötesi ışıma yapar.

 Mikrodalga radyasyonu

1 milimetre ile 1 metre arası dalga boylarına sahip ışınları kapsar. Radarlarda kullanılan çok kısa dalga boyuna sahip radyo dalgalarıdır. Aynı zamanda mikrodalga fırınlarda ve kablo gerektirmeyen uzak mesafe iletişimlerde kullanılır.

 Radyo dalgaları

1 milimetreden uzun dalgalardır. En uzun dalga boyuna sahip olduklarından en düşük enerjiye ve sıcaklığa da sahipler.( ). Radyo dalgaları her yerde bulunabilir:

Arka alan ışınımında, yıldızlararası gaz ve toz bulutlarında ve süpernova patlamalarının soğuk kalıntılarında. Bunların kaynakları elektrik titreşimleridir. Telefon, televizyon ve radyoda bağlantı kablosu gerektirmeden kullanılır.

Elektromanyetik ışınım ile maddenin etkileşmesi sonucu maddenin türüne göre soğurma ve salma spektrumları oluşur. Kuantum teorisinin en önemli amaçlarından biri de, atom ve moleküllerde gözlenen soğurma ve salma spektrumlarını açıklamaktır. Atom ve elektromanyetik dalganın etkileşmesi sonucu ortaya çıkan çizgilere atom spektrumu denmiştir ve atom spektrumları 1959 yılında Gustav Robert Kirchoff ve Robert Bunsen tarafından bulunmuştur. Bunun ardından yarı-deneysel ve teorik olarak gözlenen spektrumlar oluşmuştur.

Atomik enerji seviyeleri arasında meydana gelen ışımalı geçişler sonucu oluşan spektrumlar bu seviyeler hakkında önemli bilgiler verir(Şahin Ve Kurucu., 2005). Atom ve moleküllerin oluşturduğu spektrumlarda gözlenen çizgilerin frekanslarının önceden hesaplandığını biliyoruz. Astrofizik ve Kuantum Geçiş Fiziği üzerine yapılan çalışmalarla atom ve moleküllerde gözlenen salma ve soğurma spektrumları

açıklanmıştır. Fakat her enerji seviyesi arasında bir çizgi gözlenmediği ve gözlenen çizgilerin birbirine göre farklı şiddete sahip oldukları da bir gerçektir. Bu durumu açıklayabilmek için yüklü parçacığa sahip olan kuantum sistemiyle, elektromanyetik radyasyon etkileşmesi tartışılmalıdır. Bu nedenle bu tezde ilk önce tek elektronlu bir atomla elektromanyetik radyasyonun etkileşmesi incelenecek, ardından bu durum hidrojen benzeri atomlara genelleştirilecektir.

Işınımla atomun etkileşmesini göz önüne alırken analiz edilecek üç süreç vardır. Birincisi, klasik olarak titreşen bir yükün kendiliğinden ışıma yapması gibi bir atomda elektromanyetik alan kuantumu olan foton yayınlayarak uyarılmış durumdan daha düşük enerji durumuna kendiliğinden geçiş yapabilmesidir. Bu sürece 'kendiliğinden salma' denir. İkincisi, atomun düşük düzeyden daha üst düzeye geçiş yaparak ışınım demetinden foton soğurabilmesidir. Bu duruma 'soğurma' denir. Soğurma hızı, uygulanan alanın şiddeti ile orantılıdır. Sonuncusu, atomların uygulanan ışınım alanının etkisinde fotonlar yayabilmesidir. Buna 'uyarılarak salma' denmektedir. Bu süreçte de salma hızı, uygulanan alanın şiddetiyle orantılıdır. Uyartılma ile salma şiddeti, koherent ışınım demeti veren laser(light amplification by stimulated emission of radiation: uyarılmış ışınım yayınlanması ile ışığın yükseltilmesi) ve maser (microwave amplification by stimulated emission of radiation: yükseltme işlemi mikrodalga bölgesinde elde edilirse) de nüfus terslenmesi, ters dolum yöntemleriyle zorlamalı ışıksalınımında önemli bir uygulama sağlar (Bransden ve ark, 1999, Stancalie, 2009.)

5

Aslında bir kuantum sistemiyle elektromanyetik alanın etkileşmesini incelerken, tam bir çözüm için her iki sistemin de kuantumlu olduğu hesaba katılmalıdır. Zayıf şiddetli alanlarda elektromanyetik dalganın kuantaları olan fotonların sayısı çok yüksek değerlere ulaştığı için bu durumda elektromanyetik alan kuantumlu değil de sürekli bir yapı olarak ele alınabilir. Bu durumda elektromanyetik alan Maxwell denklemleriyle ifade edilebilir. Dolayısıyla bu etkileşme hesaplanırken atom bir kuantum sistemi olarak ele alınmasına rağmen, elektromanyetik dalga klasik bir yaklaşımla ele alınacak ve yapılan hesaplamalar yarı-klasik bir yaklaşım içerecektir (Readle, 2009).

Bu tezde atom ve moleküllerin ışıma şiddetinin hesaplanması için önerilen yöntemlerden ikisi olan Einstein Katsayıları ve Guseinov’ un -ETO fonksiyonu kullanılmaktadır. Atom ve molekül sistemlerinin yapılarını incelerken Hamilton işlemcisine dahil olan çekirdek-elektron ve elektron- elektron etkileşmelerini gösteren Coulomb potansiyeli r ‘nin tam kuvvetleri ile (-1,2,…) ifade edilmiştir. Bu kuvvetin dışında herhangi bir değerde inceleme yapılmamıştır. Bunun nedeni tam birim boylu fonksiyonların olmayışıdır. Kuantum mekaniğine göre tam birim boylu fonksiyonlar varsa istenen bir fonksiyonu bu fonksiyon üzerinden seri açılımını yazmak mümkündür. Böyle bir fonksiyon Guseinov tarafından önerilmiştir.

Astrofizik ve Kuantum geçiş fiziği olarakta bilinen Kuantum Elektrodinamiğinde önem kazanan bu optik geçişler osilatör şiddeti, tesir kesiti, dipol moment, Einstein geçiş olasılıkları, geçiş hızları gibi bir çok parametreyi hesaplamada önemli rol oynar (Guseinov,Mamedov; 2011). Özellikle hidrojen ve helyumun çok büyük baş kuantum sayılarında geçişleri bazı yaygın gezegenimsi bulutsularda gözlenir (Guseinov,Mamedov; 2012). Belirli yıldız tayflarında, bazı yüksek gaz boşalmalarının spektrumları, yüksek düzeyde iyonize olmuş atomlarda hidrojen benzeri geçişler ve yüksek baş kuantum sayılarında salmalar gözlenir (Herdan, Hughes,1961). Hidrojenin önemli geçişleri Lyman, Balmer, Pashen, ... serileri ile verilirken çok büyük Rydberg durumları arasındaki geçişler -özellikle yıldızlar arası ortamda bu geçişlere (n≥1000) çok rastlanır- için yarı klasik teoriden pek çok ifade türetilmiştir (Hoang D.-Binh., 1990).

Bu nedenle özellikleri iyi anlaşılır, yaklaşık ve düzenli baz setleri kullanmak önemlidir. Bu tez çalışmasında elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları için kullanışlı olan

-ETO tam ortanormal fonksiyonlar sisteminin setleri kullanılmış ve sonuçta hidrojen benzeri atomlar için osilatör şiddeti, Einstein katsayıları ve ışıma şiddeti için analitik ifadeler verilmiş ve büyük n değerleri için hesaplamalar yapılmıştır.

2.GENEL BİLGİLER

Spektroskopi en çok bilinen hali ile maddenin özelliklerini, soğrulan ve salınan parçacıklar, ışık aracılığı ile incelenmesidir. Spektroskopi ayrıca ışık ile maddenin etkileşiminin incelenmesi olarak da tanımlanabilir.

Bilim tarihinde spektrumlar arasında en bilineni, 1666 yılında Newton tarafından bir prizma üzerine düşen beyaz ışığın gökkuşağındaki renklere ayrıldığının gösterilmesidir. Modern deyişle beyaz ışığın farklı dalgaboylarının karışımı olduğunu kanıtlamıştır. 1814 de Alman fizikçi Fraunhofer güneşin dış atmosferindeki gazlar bazı frekanslardaki ışığı soğurmakta ve bize ulaşan ışıkta Fraunhofer' in gözlediği karanlık çizgiler oluşmaktadır. Ondokuzuncu yüzyıl ortalarına gelindiğinde tüm gazların ışığı soğurduğu, bu soğurmanın gaz atom ve moleküllerinin cinsine bağlı bazı özel dalgaboylarında olduğu biliniyordu. Örneğin tek bir atom türünden oluşan gaz içinden beyaz ışık geçirilirse, gaz atomlarının karakteristiği olan bazı dalgaboylarındaki ışık soğrulacaktır. Bu gazı geçen ışık bir prizmadan veya kırınım ağından geçirilirse, soğurma spektrumu denilen ve sürekli spektrum üzerinde karanlık soğurma çizgileri olan bir spektrum elde edilir. Ayrıca, aynı gaz ısıtıldığında ışık salar. Yayınlanan bu ışık prizmadan geçirilirse, karanlık bir geri plan önünde parlak çizgiler gözlenir;buna salma(ışıma) spektrumu denir (Taylor J. ve ark..,2008).

Şekil 2.1 Sürekli,Salma ve Soğurma Spektrumu

En basit atom hidrojen olduğundan atomik hidrojen spektrumu ilk incelenen spektrum oldu.

1885 yılında Balmer, hidrojen atomu spektrumunu ifade edebilecek basit bir bağıntıyı buldu. Hidrojen atomunun spektrumu ile ilgili dalga boylarını veren denklem;

(2.1)

şeklinde yazılabilir. Denklem (2.1)' de ifadesi 2’den büyük bir tamsayı ve R Rydberg sabitidir (R=109,677.58 _{). R değerini çok doğru bir şekilde}

hesaplayabilmek için dalga boylarının ve spektrum çizgilerinin büyük bir hassasiyetle ölçülmesi gerekir. Balmer tarafından bulunan bu denklemdeki ifadesinin 2’den daha küçük değerde olamayacağının farkına varılmalıdır ’nin 2’den küçük olduğu durumlarda dalga sayıları için bir anlamsızlık doğacaktır. Eğer değeri 2’den küçük değerde olursa dalga boyu ( ; dalga sayısı) negatif , = 2 olduğu zaman dalga sayısı sıfır olacaktır. değeri 2’den daha büyük değerleri aldığında dalga sayıları daha büyük değerleri alır. değerlerinin artışı dalga sayısındaki artışa neden olur. Bununla beraber değeri sonsuza yaklaştığında yani çok büyük artışlarda dalga sayısı R gibi

bir limite yaklaşır. Hidrojen atomunun spektrumu Balmer tarafından başarılı bir şekilde formalize edildikten sonra hidrojen atomunun spektrumu ile ilgili olarak birden fazla seri türetilmiştir.

9

Hidrojen atomu spektrumunun en genel denklemi;

(2.2)

ile verilir.

' in farklı değerleri için hidrojen serileri

 =2,3,4,... Lyman Serisi (morötesi bölgede),

 =3,4,5,... Balmer Serisi (görünür bölgede),

 =4,5,6,... Paschen Serisi (kızılöte bölgede),

 =5,6,7,... Brackett Serisi (kızılöte bölgede),

 =6,7,8,... Pfünd Serisi (kızılöte bölgede) şeklinde verilir. Spektrumda her bir çizgi R/ ve R/ gibi iki farklı koşulla gösterilebilir. Diğer atomların spektrumları daha karmaşık yapıya sahiptir. Ama genelde diğer atomların spektrumlarındaki olası farklılıkları göz önünde bulundurarak hidrojen atomu spektrumunun temeline dayandırılabilir. Bu görüşü daha iyi anlayabilmek için enerjinin korunumu ilkesine gerek duyulmaktadır (Cebe, 2007).

Işıma Şiddeti bir cisimden birim alanda yayılan ışınım gücüdür. Işınım gücüyse ivmelenen bir q yükünün (göreli olmayan hızlarda) P toplam ışıma gücü;

(2.3)

Burada a yükün ivmesidir. Bu formül makroskobik yük sistemlerinin ışıma gücünü doğru olarak verir. Bu durumda ışıma şiddeti;

(2.4)

olur.

Karacisim varsayımında iki seviyeli bir atom düşünelim;

Şekil 2.3:iki enerji seviyesi arasındaki geçiş p ve q düzeyleri arasındaki spektral geçişin ışınım şiddeti;

şeklinde tanımlanır. Burada

= p durumundaki yoğunluk sayısı,

= Einstein geçiş olasılığı,

= spektral geçişin frekansıdır (Gill, 2007).

Yukarıda A katsayısı kuantum elektrodinamiğinde atomun herhangi bir elektronunun polarize olmamış dış bir elektromanyetik alanla etkileşiminde, enerji seviyeleri arasındaki geçiş olasılığı olarak tanımlanır (Zengin ve Aygün, 2005). Kuantum elektrodinamik çerçevede ele alınan konuda geçiş olasılıkları 'ler ve geçiş hızları

11

yaklaşım için elektromanyetik dalganın kuantumlu yapısının gözönüne alınması gerekir. Ancak bunun yerine kendiliğinden geçiş olasılığını, uyarmalı salma ve soğurma geçiş olasılıklarına bağlayan istatistiksel bir yöntem kullanılmaktadır. Bu yöntem 1916 yılında Albert Einstein tarafından geliştirilmiştir.

2.1. Einstein A ve B Katsayıları

Einstein tarafından 1916'da ışınım yayınlanması ve soğurulması incelenmiş ve geçişlerin olasılık katsayıları ortaya konmuştur.

Einstein' ın bu görüşü bilim dünyasında önemli gelişmelerin önünü açmıştır. Işığın atomla etkileşmesi sonucu atomdan yayınlan ve soğurulan parçacıkların özellikleri incelenerek termodinamikte kullanılır. Termodinamik ilkeleri üzerine kuantum teorisinin inşa edilmiş olması dikkat çekicidir ki bu temel fiziksel teorilerin arasında bağlantıların olduğunun bir örneğidir (Steane, 2002). Termal denge durumunda atomun kuantum enerji seviyeleri arasındaki geçişler kendiliğinden oluşabileceği gibi dış elektromanyetik alanın uyarması ile de oluşur. Enerji seviyeleri arasında üç geçiş söz konusudur ve bu geçişlerin olasılık katsayıları aşağıdaki gibidir.

Şekil 2.4 Einstein olasılık katsayıları

Mutlak sıfırda ısısal dengede olan bir kavite düşünelim. Bu kavite içinde tek cins atomlar ve ışınım olduğunu kabul edelim. Diğer taraftan bu atomların sahip olduğu iki enerji seviyesi mevcut olsun. Bu seviyeleri enerjili seviyesi ile enerjili seviyesi olarak gösterelim. olduğunu ve bu iki seviyenin de dejenere olmadığını kabul edelim. Buna göre seviyesinden birim zamanda açısal frekanslı foton soğurarak seviyesine geçiş yapan atom sayısı olsun. sayısı seviyesinde bulunan atom sayısı ile ve frekansına sahip ışınımın enerji yoğunluğu ile orantılıdır (Aygün ve Zengin, 2006).

=kendiliğinden salma olasılığı katsayısı =uyarılarak salma olasılığı katsayısı =soğurma olasılığı katsayısı

(2.6)

Buradaki ' ya Einstein soğurma katsayısı denir. Diğer taraftan saniyede geçiş olasılığı olan geçiş hızı ile seviyesindeki atom sayısı çarpılırsa, saniyede ' dan ' ye geçiş yapan atom sayısı;

(2.7)

bulunur. (2.1) ve (2.2) denklemleri eşitlenerek;

(2.8)

katsayısı elde edilir.

Elektromanyetik dalganın ışık şiddeti, ışınım yoğunluğu tanımlar.

kullanılarak (2.8) denklemini

(2.9)

haline dönüştürürüz. Burada değeri,

yerine yazılırsa

soğurma katsayısı için;

(2.10)

bulunur. D elektrik dipol moment bileşenidir.

Diğer yandan birim zamanda seviyesinden seviyesine geçiş yapan atomların sayısı hem uyartılarak hem de kendiliğinden salma sonucu geçişe katılan atomların sayılarının toplamı kadar olacaktır. Uyartılarak salma sonucu birim zamanda seviyesinden seviyesine geçiş yapan atomların sayısı; sayısı seviyesindeki atom sayısı ve ışınımın frekansındaki enerji yoğunluğu olan ile doğru orantılı olacaktır.

13

Birim zamanda kendiliğinden seviyesinden seviyesine geçen atomların sayısı ise sadece seviyesindeki atomların sayısı olan ile orantılıdır.

Buna göre;

(2.11)

bağıntısı yazılır. Burada kendiliğinden salma için ilgili Einstein Katsayısı, ise uyartılarak salma için Einstein Katsayısıdır.

Denge durumunda seviyesinden seviyesine geçen atom sayısı ile seviyesinden seviyesine geçen atom sayısı eşit olacağından,

(2.12)

yazılabilir. Sıcaklık dengesinde oranının Boltzmann dağılımı ile verildiği bilinir.

Bu durumda iki seviyenin popülasyon oranı için;

ifadesi verilir. Denklem (2.12) ve Denklem (2.13) eşitlenirse, enerji yoğunluğu için;

(2.14)

ifadesi bulunur. Bir elektromanyetik dalganın belirli bir dalgaboyu ve sıcaklık değerindeki enerji yoğunluğunu veren bir diğer ifade Planck Dağılım Yasası ile verilir.

(2.15)

Burada

ve olduğundan;

(2.17)

bulunur. Denklem (2.17), Denklem (2.15)' de yerine yazılırsa,

(2.18)

sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla Denklem (2.14) ve Denklem (2.18) karşılaştırılınca sonucun,

(2.19)

olması gerektiği görülür. Buradan kendiliğinden geçiş katsayısı için

(2.20)

sonucu elde edilir. Son olarak, Denklem (2.10)' dan ' nın değeri kullanılırsa elektrik

dipol yaklaşıklığında kendiliğinden geçiş olasılığını,

(2.21)

şeklinde elde etmek mümkündür.

Şimdiye kadar atomun geçiş yaptığı ve seviyelerinin dejenere olmadığı kabul edilmiştir. Şimdi ise ve seviyelerini ve dejenereliğine sahip iki seviye olarak düşünelim. Bu durumda bir üst enerji seviyesi olan ' den, bir alt enerji seviyesi ' ya kendiliğinden geçme olasılığı; bütün dejenere seviyeler arasındaki geçiş olasılıklarının toplamı olacaktır. Bu durumda atomun geçişinin başladığı seviyesindeki dejenere durumlardan sadece birisinde olması gerekir. Fakat hangi enerji düzeyinde olmadığı bilinmediğinden atomun bu dejenere seviyelerden herhangi birisinde bulunma olasılığı olacaktır. Böylece atomun seviyesindeki herhangi bir dejenere seviyeden, seviyesine kendiliğinden geçiş olasılığı;

15

şeklinde verilecektir (Köksal, 2006; Karaoğlu, 2003).

Tüm bunlara ek olarak; Einstein katsayıları , geçiş dipol moment genliği ve soğurma tesir kesiti ile ayrıca diğer üç nicelik osilatör şiddeti , çizgi şiddeti

ve spektral soğurma tesir kesiti atomik geçişin karakterini belirlemek için kullanılır.

2.2. Çizgi Şiddeti

Çizgi şiddeti , alt ve üst seviyelerdeki tüm dejenereliğin geçiş dipol moment üzerindeki karesinin toplamı olarak ifade edilir.

(2.23)

Gerçek atomların alt ve üst seviyelerindeki dejenereliğinden bahsettiğimizde bu çizgi şiddeti anlamına gelir. Böyle durumlarda hakkında fikrimizi, alt ve üst seviyelerin

alt düzeylerinin herhangi dejenerelikleri arasındaki tek geçişteki dipol matris elemanlarını dikkate alarak genişletebiliriz (Gamache ve ark. 2001).

Dejenere olmamış iki seviyeli atom için ile ilişkisi;

(2.24)

Eğer alt seviye dejenere olsaydı; kendiliğinden salma oranının katsayı hesabı, tüm olası aşağı doğru ışınımsal geçişlerin üzerinden toplamını içerecektir. Bu durumda , üst

düzey ve tüm izinli alt düzeyler arasındaki (ilave) kuplaj matris elemanlarının toplamı olarak tanımlanır.

(2.25)

Şimdi, dejenere olmuş herhangi bir alt seviyeden, daha düşük seviyeye uyartılarak oluşturulan kendiliğinden salma oranının (örneğin, tüm daha düşük alt seviyeler üzerinden toplamı) tüm uyarılmış alt seviyeler için aynı olduğu gösterilebilir.1

Bu ifade,

1

Çok seviyeli atomlarda kendiliğinden salma oranı, iki seviyeli atomun tartışma kapsamı dışına çıkar. Kendiliğinden ve uyarılarak salma özellikleri genelde -küresel tensörlerle ilgili olarak geçiş momentinin genişletilmesi ve temel açısal momentumun atomun dalga fonksiyonu- tarafından geliştirilmiştir. Kendiliğinden salmanın mekansal, isotropik, polarize olmamış olduğunu kanıtlamak için açısal momentum cebiri; örneğin 3j semboller kullanılabilir.

eğer uyarılmış seviyenin alt düzeyleri eşit oranda doluysa makul bir öngörüyle, kendiliğinden salmanın mekansal, isotropik ve polarize olmamış olduğunu yansıtır. Bu nedenle üst düzey dejenereyse Denklem (2.25)' de ki ifadesini Denklem (2.24)' de

yerine yazarsak doğru sonucu üretir. Bununla birlikte, ' nin hem üst hem daha alt

dejenerelikleri üzerinden toplamını tanımlamak daha düzenli ve gösterim açısından daha simetrik olacaktır.

(2.26)

Denklem (2.26)' da ki ' yi, (2.24) denklemine, uyarılmış alt düzeylerin aynı

oranda ışınım yaydığı düzeltme faktörüyle beraber yazarsak sonuçta düzeltilmiş ifade (2.26) eşitliğinde ' yi tanımlandığı gibi; geçiş dipol ile dejenere seviyelerden kendiliğinden salma oranıyla ilişkili hale gelir.

(2.27)

Dolayısıyla Denklem (2.23) tanımlanan çizgi şiddeti ile ilişkilidir (Weiner J,

2002).

(2.28)

2.3. Osilatör Şiddeti

enerjisiyle iki seviyeye ayrılmış bir atom için salma osilatör şiddeti; ışınım sönüm miktarı ile klasik elektron titreşimin ışınım sönüm miktarı ile oranlanarak tanımlanabilir.

Dejenere durumlarda soğurma osilatör şiddeti;

Gerçek atomlarda geçişleri nerdeyse klasik osilatör gibi davranır ve faktörü P düzeyindeki 3 katlı dejenereliği denklemek için tanımlanır. Böylece, geçişi tam

17

bir klasik osilatör gibi davranır ve salma osilatör şiddeti ile soğurma osilatör şiddeti faktörleriyle karakterize edilir.

için klasik ifade;

(2.31)

Dolayısıyla, Einstein katsayısı ve temel sabitler açısından soğurma osilatör şiddeti

şöyle verilir;

(2.32)

Osilatör şiddeti, belli toplama kurallarına uyar ki bu atomik spektral çizgilerin göreli yoğunluk analizi olarak bilinen gözlemsel astronomide de sıklıkla kullanılan kimyasal bolluk analizinde kullanışlı olur. Örneğin, tek elektronlu atomlar için aşağıdaki toplama kuralı geçerlidir.

(2.33)

taban durumundan başlayarak tüm uyarılmış düzeyler üzerinden toplanır.

Alkali atomları yaklaşık bir elektronlu sistemlerdir ve osilatör şiddeti, birinci geçişinde genelde 0,7 ile 0,95 civarındadır. Toplam kuralı, ki bu valans elektronunun toplam geçiş olasılığının çoğudur, ilk geçişinde çok güçlüdür ve bu geçiş yüksek düzeylerde nispeten daha zayıf olacaktır.

Diğer bir toplam kuralı, ara uyarılmış düzey olan j' den kendiliğinden ve uyarılmış salma içindir.

(2.34)

Eğer atomik spektrum elektronlarının hareketine atfedilebilirse Denklem (2.34) genelleştirilebilir.

(2.35)

Multi elektron formunda olan Denklem (2.35) bu toplam kuralında, eşdeğer elektronların sayısıdır. Elektronlar aynı kuantum sayılarına sahip olduğunda daha kullanışlıdır.

Osilatör şiddeti genelde astrofizik ve plazma spektroskopisinde kullanılır (Weiner, 2002; Hilborn, 1982).

(2.36)

2.4. Tesir Kesiti

Spektral soğurma tesir kesiti , ışığın ortamda yayılması ile ilgilidir ki bu kendiliğinden salma tarafından ışığın soğrulması ve saçılmasıdır. Basitçe ve frekans aralığındaki akının çoğalması ile soğurulan gücün oranıdır.

(2.37) ve denklemlerinden, = (2.38) ve , denklemlerinden, (2.39)

Yukarıdaki denklemden de anlaşıldığı üzere spektral tesir kesiti birimi alan ve frekanstan oluşmaktadır .

(2.40)

Buradan gerçek soğurma tesir kesiti 'yi alan birimi ile çekersek; çizgi şekli fonksiyonu ile çarpılır. İndisteki a soğurmayı gösterir. genişlikle, Normalize Lorenz Çizgi şekli fonksiyonu varsayarsak,

19

(2.41)

(2.40)' daki yerine yazarsak aşağıdaki denklemi elde ederiz;

(2.42)

Spektral tesir kesitinin civarında pik yapması gerekçesiyle yerine konulmalıdır. Toplam soğurma tesir kesiti, uygun tüm çizgi profilini kapsayan geniş bant eksitasyonu yaklaşımıyla, spektral genişlik üzerinden integre edilen spektral dağılım fonksiyonu ve Denklem (2.40) ile çarpılması sonucu elde edilir.

(2.43) Sonuçta, (2.44)

eşitliği ile tutarlılık göstermektedir.

Salma tesir kesitini de elde etmek için Denklem (2.38) 'deki terimi ile değiştirilir (Weiner, 2002;Hilborn, 1982).

Çizelge 2.1. Yukarıda ışınımla soğurma ve salmayı karakterize eden nicelikler arasındaki ilişkileri özetleyen bir tablo sunulmuştur. Bu niceliklerden en sol kolondakiler, girilen veri ve en üst kolondakinin çarpımına eşittir. Örneğin; (Weiner,

2002).

3. MATERYAL VE METOD

3.1. Radyal Dalga Fonksiyonu

Klasik fiziğin açıklayamadığı siyah cisim ışıması, fotoelektrik olay ve Compton saçılması gibi fiziksel olaylar yirminci yüzyılın başlarında kuantum mekaniğinin geliştirilmesi sonucunda tam olarak açıklanabilmiştir. Kuantum fiziğinin anlaşılması ile birlikte Schrödinger mekaniği kullanılarak atomların ve moleküllerin fiziksel özellikleri daha iyi anlaşılabilmiştir. Schrödinger denkleminin çözümü radyal ve açısal kısım olarak ikiye ayrılır. Açısal kısmının çözümü küresel harmonikler cinsinden verilirken radyal kısmın çözümü laguerre ve legendre polinomları şeklinde verilir. Elde edilen dalga fonksiyonları kullanılarak sistemin fiziksel gözlenebilirlerinin beklenen değerleri kuantum mekaniksel olarak hesaplanır (Eisberg and Resnick 1974; Yalçın and Buget 1981).

Kuantum mekaniği ile atomik yapılar çok iyi bir şekilde açıklanabilmektedir. Bu amaçla yapılan teorik açıklamalar deneysel gözlemlerle çok iyi uyum göstermektedir. Tüm atomları kapsayan bu yeni atom modeline Dalga Modeli denir. Tek elektronlu hidrojen atomunun en basit atom olması ve Coulomb potansiyel enerjisinin küresel simetrik olması sebebiyle hidrojen atomu, dalga modelinin en basit uygulamasını oluşturur. Dalga fonksiyonu, Schrödinger Denklemi' ni sağlayan ve parçacığın enerjisi, momentumu gibi bilgileri içinde bulunduran bir fonksiyondur. İstenen bilgi gerekli operatörün fonksiyona uygulanmasıyla elde edilir. Dalga fonksiyonu uzay ve spin dalga fonksiyonlarının çarpımı olarak da ifade edilebilir. şeklinde gösterilen dalga fonksiyonu uzay, şeklinde gösterilen dalga fonksiyonu ise toplam dalga fonksiyonunu temsil eder. Ayrıca indislerle de istenen dalga fonksiyonu betimlenebilir.

Örneğin ;

1926' da Schrödinger tarafından teklif edilen bu denklem kuantum mekaniğinin temel eşitliklerinden biri olup, modern kuantum teorisinin doğuşunun başlangıcıdır. Mikroskobik tanecikler kuantum mekaniğine, makroskopik tanecikler klasik mekaniğe uygun olarak davranırlar. Üç boyutlu Schrödinger dalga denklemi şöyledir;

(3.1)

Burada dalga fonksiyonunu, koordinatları, elektron kütlesini, toplam enerjiyi, potansiyel enerjiyi, planck sabitini temsil eder.

Dalga denkleminin çözümü dalga fonksiyonu ' yi verir. Gerçek dalgalar için dalganın genliğine karşılık gelir, fakat burada böyle bir fiziksel anlamı yoktur. Ancak karesinin mutlak değeri bir anlam ifade eder ki bu taneciğin bulunma olasılığının matematiksel ifadesidir. Gerçek dalgalarda bu değer ışığın şiddet genliğinin karesi ile orantılıdır.

Schrödinger denkleminin hidrojen atomu için çözümü zor değildir. Çözümü bazı kabuller altında yapmalıyız;

1- Dalga fonksiyonu tek değerli olmalıdır. 2- Dalga fonksiyonu sürekli olmalıdır.

3- Dalga fonksiyonu, sonsuzda sıfır olmalıdır.

4- Elektronun tüm uzayda bulunma olasılığı bir olmalıdır. Yani dalga fonksiyonu normalize olmalıdır.

(3.2)

Schrödinger eşitliğinde hidrojen atomu için çözümünden üç kuantum sayısı elde edilir Küresel koordinatlarda bu kuantum sayılarının ağırlıkları ve toplam enerjiye katkıları birbirinden farklıdır.

Şekil 3.1. Küresel polar koordinatlar . Denklemin her bir çözümünden eigenfunction(özfonksiyon) denen

23

Çizelge 3.1. İlk üç orbitalin baş kuantum sayısı, yörünge ve manyetik kuantum sayıları ile orbitallerin türü ve sayısı

Elektronun atom içindeki gerçek dağılımını daha kolay görünür hale getirmek için dalga fonksiyonu deki x,y,z kartezyen koordinatlar yerine polar koordinat

değerleri konur ve eşitlik;

(3.3)

Fonksiyon aşağıdaki gibi r, θ, φ gibi tek bir değişkene bağlı üç fonksiyona bölünebilir:

Burada, R(r) , nin çekirdekten uzaklığına, yani n baş kuant sayına , açsal bağım1ılığına, yani ml manyetik kuantum sayısına , açısal bağımlılığına yani l açısal kuantum sayısına işaret eder.

3.1.1. Hidrojen için radyal dalga fonksiyonu R(r)

Verilen bir atom için Z sabit olacağından, diğer sabitlerle birleştirilerek fonksiyonlar daha basit olarak sağ sütunda verilmiştir. Burada Z = Çekirdek yükü, e= Tabii logaritma tabanı = ilk orbital için Bohr yarıçapı,

Çizelge 3.2 Hidrojen atomu için ilk üç orbitalin radyal fonksiyonları

Hidrojen için Z = 1 dir . Z > 1 olan elementler için benzer orbitaller yapılabilir. Çok elektronlu atomlar için dalga fonksiyonunun tam çözümleri neredeyse imkânsızdır. Fakat ilk yaklaşm olarak "hidrojen benzeri" orbitaller sıkça kullanılır. Bu ifadelerde iki nokta göze çarpar:

1. Radyal dalga fonksiyonu üstel olarak azalmaktadır. Bu azalma n = 2 halinde n = 1’e oranla daha yavaştır. Bu azalmayı tüm radyal fonksiyonlar için

şeklinde genelleştirebiliriz. Bu nedenle, çeşitli orbita1lerin yarıçapı n arttıkça artar.

2. 2s radyal dalga fonksiyonunda bir node(düğüm) un mevcudiyetidir. halinde R=0 olur. Radyal fonksiyonun değeri pozitiften negatife değişir. Bunu genelleştirirsek;

s orbitallerinde: n - l p orbitallerinde: n - 2

25

Şekil 3.2 :Hidrojen atomunun 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d orbitallerine ait radyal fonksiyonlar görülmektedir.

Elektron uzayının çeşitli noktalarında bulunma olasılığı ile ilgilenildiğide radyal fonksiyonun kendisi değil karesiyle ilgileniriz. Atomun tabakalardan meydana geldiğini ve elektronun bulunma olasılığının bu tabakalar içinde olabileceği düşünelim.

Küre hacmi:

(3.4)

Kabul hacmi:

(3.5)

Radyal fonksiyonun karesi ile kabuğun hacmi çarpılırsa bize radyal olasılık fonksiyonunu verir:

(3.6)

Burada dr çok ince olduğundan ihmal edilebilir.

27

Bu fonksiyon ve eğrilerden başlıca şu özellikler görülebilir:

1) r =0 olduğunda, olur. Yani çekirdekteki değer sıfır olmalıdır. 2) Büyük r değerlerinde R 0 a yaklaşır ve değeri de sıfıra yaklaşmalıdır. 3) Ortalarda r ve R' nin ikisi de belirli değerlere sahiptir. Bu nedenle r ye karşı çizilen ' nin eğrisi bir maksimum göstermelidir. Bu maksimum ' da yani Bohr

yarıçapında meydana gelir. 2s orbitalinin radyal fonksiyon eğrisi hem pozitif hem de negatif olmakla beraber, Radyal olasılık fonksiyon

eğrileri, R' nin karesinin alınması ile her yerde pozitifdir. Radyal fonksiyonun + dan - ye geçişi, elektronun parçacık olarak düşünüldüğünde bir çelişki gibi görülebilir. Fakat elektronun bir dalga olarak düşünülmesi ile bu çelişki ortadan kalkar. Bu durumda elektron node' un her iki yüzünde de bulunabilir.

Bir veya daha fazla node’nin bulunuğu, çekirdek ve en büyük maksima arasında küçük maksimalara neden olur. Bu da buralarda elektron yoğunluğu olduğunu gösterir. Bunların bağlanmaya etkisi aşağıdaki şekilde açıklanır:

1) Kovelent bir bağın oluşabilmesi için. Atomik orbitallerin tam örtüşmesi (overlap) gerekir. Düşük elektron yoğunluklarının olduğu bölgelerde ve özellikle dalga fonksiyonunun işaretinin değiştiği yerlerde iyi örtüşme elde edilemez.

2) s orbital elektronları, zamanlarının çok az bir kısmını çekirdeğe yakın bölgelerde geçirirler. Buda orbital enerjilerinin hesaplanmasında son derece önemlidir. Belli bir n değeri için s elektronlarının iyonlaşma enerjileri p elektronlarınkinden daima daha büyüktür. Çünkü s elektroları çekirdek bünyesinde önemli elektron yoğunluğuna sahiptirler. Bu nedenle orbital enerji sıralaması, s.2s,2p,3s,3p,… şeklinde azalır.

Ancak birden fazla elektrona sahip atomların çözümlerinin zorluğundan dolayı Schrödinger denklemi yaklaşım metotları kullanılarak çözülebilmektedir. Bu yaklaşım yöntemlerinden biri sistemin enerji seviyelerine, küçük katkıları olan etkileşme potansiyel enerjilerini hesaplamaya yarayan pertürbasyon teorisidir.Hidrojen atomu için enerji kaymaları zamandan bağımsız pertürbasyon teorisi kullanılarak dejenere durumlar ve dejenere olmayan durumlar için hesaplanabilmektedir (Erdoğan ve Oğul, 2003). Diğer bir yöntemse enerjinin minimum olma ilkesine dayanan varyasyon

teorisidir. Bu ilkeye göre tüm fiziksel sistemler enerjisinin minimum durumunda denge durumunu korur. Varyasyon metodu, bize iki hususta yardımcı olur. Birincisi, iki farklı dalga fonksiyonunu mukayese etmek için bir araçtır ve hangisinin temel düzeye daha yakın olduğunu ve daha düşük ortalama enerjiye sahip dalga fonksiyonunda daha iyi yaklaşım yapıldığını söyler. İkincisi, dalga fonksiyonundaki parametreler bilinirse parametreleri optimize etmeye imkân sağlar (Kartal ,2007).

3.2. Baz Setleri

Kuantum mekaniğine göre fiziksel bir sistem Schrödinger Denklemi ile tanımlanabilir. Fakat schrödinger denkleminin çözümü tek elektronlu sistemler için mümkündür. Bu nedenle moleküllerin yapısını incelemek için yaklaşık yöntemlerden faydalanılır. Literatürde yaygın yöntem SCF(self consistent field) olarak bilinen Öz Uyumlu Alan Yöntemidir ve bu yöntem deneylerle iyi uyum sağlar (Hartree D.R., 1928). Öz uyumlu alan yöntemiyle perdelenmiş alan yaklaşımı kullanılarak çok elektronlu problem tek elektronlu probleme indirgenir, çözüm yapılır.Bu yöntemde, sistemin herhangi bir elektronunun, sistemdeki çekirdeklerin ve diğer elektronların ortalama bir alanda hareket ettiği varsayılır (Condon ve Shortly,1970; Aygün ve Zengin,1998). N elektronlu sistemin dalga fonksiyonunu bulmak için Determinant (Slater) dalga fonksiyonu yazılır (Slater , 1930), bu denklem sistemine Hartree-Fock Denklem sistemi denir.

Atom ve molekül sistemlerinin kuantum mekaniksel hesaplamalarında kullanılmak üzere uygulanan ilk adım atom orbitallerinin seçilmesidir. Bu seçimin yapılmasında, seçilecek atom orbitallerinin sistemin yapısınıne kadar iyi temsil ettiği büyük rol oynamaktadır. Elektronik yapının incelenmesi amacıyla yapılan bilgisayar programlarının verimliliği ve yapılan hesaplamaların sistemin fiziksel özelliklerini temsil edebilme becerisi, seçilen bu orbitallere bağlı olarak değişmektedir. Literatürde, kuantum mekaniksel hesaplamalarda kullanılan çok çeşitli sayıda atom orbitalleri bulunmaktadır. Gaussian tipi (GTO) ve Slater tipi orbitaller (GTO) bunlardan en yaygın olarak kullanılanlarıdır.

29

Bourferguene ve ark., (1998), Hidrojen molekülünün temel durum enerjisinin hesaplanmasında STO tipi baz setleri kullanmışlardır.

GTO tipi orbitaller, elektronun, çekirdeğin çok yakın ve çok uzağındaki durumlarını iyi temsil edemedikleri için, sistemin fiziksel özelliklerinin etkili biçimde tanımlanmasında yetersiz kalmaktadır. Bu nedenle STO tipi orbitaller, sistemin fiziksel özelliklerinin etkili bir biçimde tanımlanması açısından GTO tipi orbitallere göre daha avantajlıdır. Ancak STO tipi orbitallerin kullanılması, beraberinde, moleküller için HFR denklemlerinin çözümünde ortaya çıkan, çok merkezli moleküler integrallerin hesaplanmasındaki zorluklarıgetirmektedir. Bu zorlukların giderilmesi için Guseinov’un (2002) önerdiği tam ortonormal fonksiyonlar sisteminden faydalanılır..

3.2.1. Slater Tipi Orbitaller (STO)

STO tipi orbitallerin kullanılmasıyla, matematiksel hesaplamalarda ortaya çıkan büyük uzaklıklardaki üssel bozulma ortadan kalkar ve sistemin fiziksel özellikleri daha etkili bir şekilde ifade edilir. STO tipi orbitaller radyal ve küresel iki fonksiyonun çarpımı

(3.7)

Burada orbitalin perdeleme katsayıdır. Optimizasyon yöntemi ile toplam enerjinin en düşük değerine karşılık gelen bulunur.

_(3.8)

(3.9)

Burada normalleşmiş Legendre fonksiyonudur. Komplex küresel harmonikler için ;

_(3.10)

(3.11)

3.3. - Tam Ortanormal Fonksiyonlar Sistemi

STO tipi orbitallerin kullanılmasıyla, HFR denklemlerinin çözümünden bulunan çok merkezli moleküler integrallerin hesaplanmasında çıkan zorluklar Guseinov’ un (2002) önerdiği -ETO tam ortonormal fonksiyonlar sistemi ile giderilmektedir. Laguerre polinomlarından, exponensiyal fonksiyonlardan ve küresel harmoniklerden oluşan

-ETO tam ortanormal fonksiyonlar sistemi STO tipi orbitallerin lineer kombinasyonu

şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda -ETO tam ortanormal fonksiyonlar sistemi;

(3.12) _(3.13) Burada (1 ≤ n ≤ ∞), (0 ≤ l ≤ n-1), (-1 ≤ m ≤ ∞), =1,0,-1,-2,-3,... ve genelleşmiş Laguere polinomudur. (3.14)

- ETO’ nun STO bazındaki ifadesi;

(3.15)

STO’ nun -ETO bazındaki ifadesi;

(3.16)

31 (3.17) (3.18)

şeklindedir. Burada binomiyal katsayılardır,

(3.19)

3.4. Yöntem

Hidrojen ve helyumun çok büyük baş kuantum sayılarında n → n' geçişleri bazı yaygın ve gezegenimsi bulutsularda gözlenir (Guseinov ve Mamedov, 2012). Büyük n Rydberg durumlarına (n→∞) sahip atomlarda kuantum mekaniğine dayalı hesaplamaları yapmak ağır, zor ve zaman alıcıdır çünkü uzun seri hesaplamaları içerir (Gounand 1979). Bu nedenle Rydberg durumları çalışıldığında hidrojen benzeri atomların elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları önemli rol oynar.Hidrojen benzeri sistemlerde elektrik dipol geçişleri için osilatör şiddetleri genel astrofizikte ve kuantum geçiş fiziğinde önem kazanır (Goldwire, 1968). Elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları sadece hidrojenik sistemlerin ışınımsal geçişlerini çalışırken önemli değil, osilatör şiddeti, Einstein geçiş olasılıkları, geçiş hızlarını hesaplamada da önemlidir (Blaive ve Cadilhac, 2009; Dong ve ark.,2004; Hoang D.-Binh., 2004). Atom ve moleküllerin optik geçişlerinin gücü bir çok parametreyi açıklar. Einstein A ve B katsayıları, tesir kesiti, f değeri (osilatör şiddeti)ve dipol momentleri bu parametrelerdendir (Hilborn, 2002). Tüm bu sebeplerden özellikleri iyi anlaşılır,yaklaşık ve düzenli baz setleri kullanmak önemlidir. Bu tez çalışmasında elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları için kullanışlı olan -ETO tam ortonormal fonksiyonlar sisteminin setleri kullanılacaktır sonuçta hidrojen benzeri atomlar için Einstein katsayıları ve ışıma şiddeti hesaplanacaktır.

2011 yılında Guseinov ve Mamedov tarafından Slater Tip Orbitaller kullanılarak hidrojen benzeri atom ve iyonlar için elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının değerlendirilmesi için yeni bir metot sunulmuştur. İki farklı dalga fonksiyonu ve

arasında tüm multipol geçiş matris elemanlarının belirlenmesine izin veren formül

elde edilmiştir. Astrofizikte Rydberg durumlarında; ki bu yüksek ölçüde uyarılmış atom ve iyonun büyük n kuanyum sayısına sahip olduğunu belirtir(Şahin ve Kurucu, 2005), ve Kuantum Geçiş Fiziğinde önemli yer tutan geçiş matris elemanlarının çözümünde hidrojen benzeri multipollerin büyük baş kuantum sayısı (n) geçişleri için kuantum sayıları üzerinden bir veya birçok sonlu toplamları formuna dayalı ifade geliştirilmiştir. Yapılan çalışmada hidrojenik atom ve iyonların elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının analitik ifadelerinin doğru hesaplanması, rölativistik olmayan radyal dalga fonksiyonunun seti ve arasındaki farkı elde etmiştir. Analitik hesaplamaların sonucunda denklemin doğruluğu, uygulanabilirliği görülmüştür. Elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları, yalnızca hidrojenik sistemlerin özdurumları arasındaki ışınımsal geçişleri çalışırken değil, osilatör şiddeti ve Einstein geçiş olasılığının merkezi hesaplamalarında da oldukça önemlidir. Bu çalışmada binomial katsayıların terimlerinde farklı rölativistik olmayan radyal dalga fonksiyonları altında elektrik multipol geçiş matris elemanları için yeni analitik formüller önerilmiştir. 2011 yılında yapılan bu çalışmada elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları üzerinden incelenen rölativistik olmayan radyal dalga fonksiyonu setleri aşağıdaki formdadır; ∞ (3.20)

Burada k=-1,0,1,2,..., , l yörünge kuantum sayısı ve hidrojen benzeri dalga fonksiyonlarının radyal kısmıdır. Denklem (3.20) örtme integralinde k=0, Coulomb' da k=-1, elekrik dipol durumunda k=1, elekrik kuadripol durumunda k=2 ve elekrik oktupol durumunda k=3 gibi özel değerler alır.

Hidrojen benzeri dalga fonksiyonlarının radyal kısmı STO' lerin radyal kısmının sonlu lineer kombinasyonu olarak temsil edilir.

33

Burada Slater Tip Orbitallerin radyal kısmıdır.

_(3.22)

Denklem (3.21) 'de görülen katsayısı;

(3.23)

için formül elde etmek için Denklem (3.21) kullanılır. Denklem (3.21)'i,

Denklem (3.20) 'de yerine koyarsak;

(3.24)

elde ederiz. Burada ve binomial katsayılardır.

Denklem (3.24) kullanılarak, soğurma osilatör şiddeti ve Einstein geçiş olasılığı elde edilmektedir.

Soğurma osilatör şiddeti;

(3.25)

Burada R Rydberg sabiti olup (n,l)→(n',l') geçiş frekansı v ile aynı birimdedir.

Einstein geçiş olasılığı;

Burada h Planck sabiti, c ışık hızı, e elektron yükü, ve Bohr yarıçapıdır. Bazı durumlarda (özellikle Stark genişlemesi hesaplarında) matris elemanlarının küresel koordinatları yerine parabolik koordinatları kullanılması uygun olur (Hey, 2007).

Denklem (3.21)'den görüldüğü gibi, son formül terimini binomial katsayılarını içerir. Binomial katsayılar için aşağıdaki ilişki kulanılır,

(3.27)

ve katsayıları art arda hesaplanmalıdır. Son formülün içine bu katsayıları koymak veya onları hafızaya geri almak için, bazı katsayılarının konumu ve

ile ilişkileri tarafından belirlenir.

Geçiş olasılığı, (3.28) Geçiş hızı (3.29)

2012 yılında Guseinov ve Mamedov yukarıda anlatılan metoda ek olarak STO' lerin radyal kısmı ve -ETO tam ortanormal fonksiyonlar sistemi kullanılarak elektrik multipol geçişin radyal matris elemanlarını birleştirerek ele almışlardır. Formülün farklı setlerindeki büyük sayılar, -ETO' nun tek analitik ilişkisi yardımıyla çözülür.Bu oldukça önemlidir çünkü seçilen temel set, sonuç hesaplamalarının bir noktada yığılmasını sağlar. -ETO' nun özfonksiyonları için geçici kuantum sayısı toplam merkezcil simetrik potansiyeldir, çekirdek çekim potansiyellerini ve parçacığın kendisi tarafından üretilen alandaki Lorenz potansiyellerini içerir (-∞ < α ≤ 2).

35

İfade α=1 için radyal dalga fonksiyonunu tam ortanormal seriler kullanılarak (Guseinov, 2002; Guseinov ve Mamedov, 2011) elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının kuantum sayılarının bir ve bir çok sonlu toplamına dayalıdır.

=1 için -ETO'nun radyal kısmının özel durumunda Coulomb-Sturmian (Löwdin ve Stull, 1955) radyal dalga fonksiyonunun durumuna dikkat edilmiştir. Elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının hassas değerlendirilmesi soğurma osilatör şiddeti, Einstein geçiş olasılığı ve ışınım şiddeti üzerine olan çalışmalarda önemlidir. 2011 yılındaki çalışmaya ek olarak 2012'de Mamedov Guseinov tarafından önerilen formüller aşağıdaki gibidir;

-ETO için elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları üzerinden incelenen radyal dalga fonksiyonu setleri

∞ (3.30)

-ETO' nun radyal kısmı;

_(3.31) Burada α=2,1,0,-1,-2,..., p=2l+2-α, q=n+l+1-α ve ; genelleştirilmiş Laguerre polinomudur. Dikkat edilmesi gereken nokta STO fonksiyonu temel kuantum sayılarından dolayı ortogonal değildir. Bu durum hesaplamalarda zorluklar yarattığından -ETO tam ortanormal setleri kullanışlı olmaktadır.

-ETO' nun radyal kısmı, STO' ların radyal kısmının sonlu lineer kombinasyonu şeklinde yazılır; (3.32) (3.33)

Tam ortonormal fonksiyonlar seti, , ağırlık fonksiyonu ile ortonormalleşir

∞ (3.34)

(3.35)

Denklem (3.32), Denklem (3.30)' da yerine yazılırsa;

(3.36) elde ederiz.Burada; (3.37) (3.38)

dan ya geçişi elde etmek için aşağıdaki ifade kolaylık sağlar.

(3.39) Burada -∞ < α ≤ 2 ve . . (3.40)

Denklem (3.39)'dan görüldüğü gibi STO'nun matris elemanları, büyük sayılarda olarak -ETO üzerinden ifade edilir. Bu nedenle herhangi bir değerinde için aynı sayısal sonuçlar elde edilmelidir.

37

Literatürde, geçici kuantum sayısı ' nın farklı değerlerinde 'nın tam ortanormal setleri kullanılarak elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının değerlendirilmesi üzerine yapılmış bilinen bir çalışma yoktur.

Soğurma osilatör şiddeti, Einstein geçiş olasılığı ve ışınım şiddeti Denklem (3.33) ve Denklem (3.34) kullanılarak -ETO ve STO nun radyal kısmından belirlenebilir.

Soğurma osilatör şiddeti,

(3.41)

Burada R Rydberg sabiti olup (n,l)→(n',l') geçiş frekansı v ile aynı birimdedir.

Einstein geçiş olasılığı,

(3.42)

Işınım şiddeti,

(3.43)

4. BULGULAR

Çizelge 4.1. α=2,1,0,-1,-2,..., için Denklem (3.37) ve Denklem (3.39) 'un karşılaştırılması n l n' l' k Denklem (3.37) Denklem (3.39) 24 20 30 25 4 8,409909050933E+10 8,409909050933E+10 32 25 38 28 3 6,963284592841E+08 6,963284592841E+08 47 35 48 36 6 1,602371082856E+20 1,602371082856E+20 64 55 60 52 8 4,849764104428E+28 4,849764104428E+28 64 55 60 52 2 1,166464159904E+07 1,166464159904E+07 86 75 90 80 9 1,068394416278E+35 1,068394416278E+35 106 55 107 56 12 6,429982929966E+48 6,429982929966E+48 165 140 170 146 1 2,423138493451E+04 2,423138493451E+04 194 162 180 160 3 1,515677604224E+13 1,515677604224E+13 236 212 256 224 4 2,670971632890E+18 2,670971632890E+18 286 275 287 276 5 3,811151535053E+24 3,811151535053E+24 328 312 335 320 6 1,566802475393E+30 1,566802475393E+30 384 347 383 346 2 2,165829144824E+10 2,165829144824E+10 543 520 544 521 10 5,309970848639E+54 5,309970848639E+54 654 652 654 651 3 7,860621626508E+16 7,860621626508E+16

Çizelge 4.2. Denklem (3.36) ile (Hey, 2006)'daki 1 no'lu denklemin karşılaştırılması (α=2,1,0,-1 için )

Denklem (3.36) Denklem 1 (Hey,2006)

n l n' l' k α=2 α=1 α=0 α=-1 α=1

245 185 200 150 8 -2,236874846769E+35 -3,135546693834E+35 -4,302677959554E+35 -5,805338532226E+35 -3,135546693834E+35 265 320 250 200 7 2,496039799816E+23 2,699053798576E+23 2,907546713340E+23 3,120482050500E+23 2,699053798576E+23 400 365 300 250 5 1,502719090009E+24 1,495097016892E+24 1,486184312521E+24 1,476104473639E+24 1,495097016892E+24 670 660 669 661 1 7,052154280359E+03 1,423253933760E+03 -1,407312359544E+03 -1,427153763710E+03 1,423253933760E+03 675 664 670 662 2 1,010478183826E+08 8,539958092735E+08 2,104566627472E+09 3,962752681759E+09 8,539958092735E+08 685 674 683 672 2 1,049020129340E+17 9,922415913220E+16 9,494869940919E+16 9,203180250104E+16 9,922415913220E+16 695 694 694 693 4 5,439540679525E+22 5,443459658996E+22 5,443459658996E+22 5,4395434989406E+22 5,443459658996E+22 700 690 650 540 1 8,665582656646E-07 5,229893570750E-07 3,146418206699E-07 1,886953754304E-07 5,229893570750E-07 737 721 730 715 2 9,704371718689E+10 1,030015657981E+11 1,098482318869E+11 1,179850963365E+11 1,030015657981E+11 763 754 745 723 3 -6,244536170205E+15 -4,895479267459E+15 -3,820883325174E+15 -2,968516483634E+15 -4,895479267459E+15 792 781 798 782 4 3,098595554793E+18 -1,206987209999E+18 -6,225703394829E+18 -6,024068834584E+18 -1,206987209999E+18 810 794 800 790 4 9,371080395041E+18 3,528143640178E+19 8,659918384822E+19 1,773475842345E+20 3,528143640178E+19 855 833 855 832 3 -2,836270166779E+17 -2,285114784775E+17 -1,785962506483E+17 -1,323074122626E+17 -2,285114784775E+17 878 854 875 845 2 1,652362267979E+10 1,085220617395E+10 6,935095256994E+09 4,295035276459E+09 1,085220617395E+10 900 870 900 869 1 -4,209962551805E+05 -3,110864027887E+05 -2,074495119300E+05 -1,053934903606E+05 -3,110864027887E+05 1000 945 1000 944 4 -1,455230373192E+24 -1,140065879014E+24 -8,848010402479E+23 -6,733078266759E+23 -1,140065879014E+24

Çizelge 4.3. Osilatör Şiddeti, Einstein Katsayısının Hoang D.-Binh., 2004 referansındaki çizelge ile karşılaştırılması

n=20, n'=19

Hoang D.-Binh., 2004 Hesaplama Sonuçları

l l' R^2 f(n'l',nl) A(nl,n'l') R^2 f(n'l',nl) A(nl,n'l')

1 0 1.7474E+04 1,5732E+04 3,0693E+06 1.7474E+04 1,5732E+04 3,0693E+06 2 1 1.9958E+04 1.2270E+00 4,2066E+06 1.9958E+04 1.2270E+00 4,2066E+06 3 2 2.2715E+04 1.1978E+00 5,1296E+06 2.2715E+04 1.1978E+00 5,1296E+06 4 3 2.5772E+04 1.3258E+00 6,0357E+06 2.5772E+04 1.3258E+00 6,0357E+06 5 4 2.9161E+04 1.4585E+00 6,9845E+06 2.9161E+04 1.4585E+00 6,9845E+06 6 5 3.2912E+04 1.6162E+00 8,0041E+06 3.2912E+04 1.6162E+00 8,0041E+06 7 6 3.7062E+04 1.7966E+00 9,1135E+06 3.7062E+04 1.7966E+00 9,1135E+06 8 7 4.1647E+04 1.9997E+00 1,0327E+07 4.1647E+04 1.9997E+00 1,0327E+07 9 8 4.6715E+04 2.2265E+00 1,1660E+07 4.6715E+04 2.2265E+00 1,1660E+07 10 9 5.2311E+04 2.4787E+00 1,3126E+07 5.2311E+04 2.4787E+00 1,3126E+07 11 10 5.8488E+04 2.7581E+00 1,4740E+07 5.8488E+04 2.7581E+00 1,4740E+07 12 11 6.5303E+04 3.0673E+00 1,6517E+07 6.5303E+04 3.0673E+00 1,6517E+07 13 12 7.2820E+04 3.4090E+00 1,8475E+07 7.2820E+04 3.4090E+00 1,8475E+07 14 13 8.1106E+04 3.7861E+00 2,0632E+07 8.1106E+04 3.7861E+00 2,0632E+07 15 14 9.0236E+04 4.2019E+00 2,3007E+07 9.0236E+04 4.2019E+00 2,3007E+07 16 15 1.0030E+05 4.6605E+00 2.5625E+03 1.0030E+05 4.6605E+00 2.5625E+03 17 16 1.1139E+05 5.1659E+00 2,8508E+07 1.1139E+05 5.1659E+00 2,8508E+07 18 17 1.2360E+05 5.7227E+00 3,1685E+07 1.2360E+05 5.7227E+00 3,1685E+07 19 18 1.3705E+05 6.3358E+00 3,5182E+07 1.3705E+05 6.3358E+00 3,5182E+07