3. MATERYAL VE METOD
3.2. Baz Setler
3.2.1. Slater Tipi Orbitaller (STO)
STO tipi orbitallerin kullanılmasıyla, matematiksel hesaplamalarda ortaya çıkan büyük uzaklıklardaki üssel bozulma ortadan kalkar ve sistemin fiziksel özellikleri daha etkili bir şekilde ifade edilir. STO tipi orbitaller radyal ve küresel iki fonksiyonun çarpımı
(3.7)
Burada orbitalin perdeleme katsayıdır. Optimizasyon yöntemi ile toplam enerjinin en düşük değerine karşılık gelen bulunur.
(3.8)
(3.9)
Burada normalleşmiş Legendre fonksiyonudur. Komplex küresel harmonikler için ;
(3.10)
(3.11)
3.3. - Tam Ortanormal Fonksiyonlar Sistemi
STO tipi orbitallerin kullanılmasıyla, HFR denklemlerinin çözümünden bulunan çok merkezli moleküler integrallerin hesaplanmasında çıkan zorluklar Guseinov’ un (2002) önerdiği -ETO tam ortonormal fonksiyonlar sistemi ile giderilmektedir. Laguerre polinomlarından, exponensiyal fonksiyonlardan ve küresel harmoniklerden oluşan -
ETO tam ortanormal fonksiyonlar sistemi STO tipi orbitallerin lineer kombinasyonu
şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda -ETO tam ortanormal fonksiyonlar sistemi;
(3.12) (3.13) Burada (1 ≤ n ≤ ∞), (0 ≤ l ≤ n-1), (-1 ≤ m ≤ ∞), =1,0,-1,-2,-3,... ve genelleşmiş Laguere polinomudur. (3.14)
- ETO’ nun STO bazındaki ifadesi;
(3.15)
STO’ nun -ETO bazındaki ifadesi;
(3.16)
31 (3.17) (3.18)
şeklindedir. Burada binomiyal katsayılardır,
(3.19)
3.4. Yöntem
Hidrojen ve helyumun çok büyük baş kuantum sayılarında n → n' geçişleri bazı yaygın ve gezegenimsi bulutsularda gözlenir (Guseinov ve Mamedov, 2012). Büyük n Rydberg durumlarına (n→∞) sahip atomlarda kuantum mekaniğine dayalı hesaplamaları yapmak ağır, zor ve zaman alıcıdır çünkü uzun seri hesaplamaları içerir (Gounand 1979). Bu nedenle Rydberg durumları çalışıldığında hidrojen benzeri atomların elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları önemli rol oynar.Hidrojen benzeri sistemlerde elektrik dipol geçişleri için osilatör şiddetleri genel astrofizikte ve kuantum geçiş fiziğinde önem kazanır (Goldwire, 1968). Elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları sadece hidrojenik sistemlerin ışınımsal geçişlerini çalışırken önemli değil, osilatör şiddeti, Einstein geçiş olasılıkları, geçiş hızlarını hesaplamada da önemlidir (Blaive ve Cadilhac, 2009; Dong ve ark.,2004; Hoang D.-Binh., 2004). Atom ve moleküllerin optik geçişlerinin gücü bir çok parametreyi açıklar. Einstein A ve B katsayıları, tesir kesiti, f değeri (osilatör şiddeti)ve dipol momentleri bu parametrelerdendir (Hilborn, 2002). Tüm bu sebeplerden özellikleri iyi anlaşılır,yaklaşık ve düzenli baz setleri kullanmak önemlidir. Bu tez çalışmasında elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları için kullanışlı olan -ETO tam ortonormal fonksiyonlar sisteminin setleri kullanılacaktır sonuçta hidrojen benzeri atomlar için Einstein katsayıları ve ışıma şiddeti hesaplanacaktır.
2011 yılında Guseinov ve Mamedov tarafından Slater Tip Orbitaller kullanılarak hidrojen benzeri atom ve iyonlar için elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının değerlendirilmesi için yeni bir metot sunulmuştur. İki farklı dalga fonksiyonu ve
arasında tüm multipol geçiş matris elemanlarının belirlenmesine izin veren formül
elde edilmiştir. Astrofizikte Rydberg durumlarında; ki bu yüksek ölçüde uyarılmış atom ve iyonun büyük n kuanyum sayısına sahip olduğunu belirtir(Şahin ve Kurucu, 2005), ve Kuantum Geçiş Fiziğinde önemli yer tutan geçiş matris elemanlarının çözümünde hidrojen benzeri multipollerin büyük baş kuantum sayısı (n) geçişleri için kuantum sayıları üzerinden bir veya birçok sonlu toplamları formuna dayalı ifade geliştirilmiştir. Yapılan çalışmada hidrojenik atom ve iyonların elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının analitik ifadelerinin doğru hesaplanması, rölativistik olmayan radyal dalga fonksiyonunun seti ve arasındaki farkı elde etmiştir. Analitik hesaplamaların sonucunda denklemin doğruluğu, uygulanabilirliği görülmüştür. Elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları, yalnızca hidrojenik sistemlerin özdurumları arasındaki ışınımsal geçişleri çalışırken değil, osilatör şiddeti ve Einstein geçiş olasılığının merkezi hesaplamalarında da oldukça önemlidir. Bu çalışmada binomial katsayıların terimlerinde farklı rölativistik olmayan radyal dalga fonksiyonları altında elektrik multipol geçiş matris elemanları için yeni analitik formüller önerilmiştir. 2011 yılında yapılan bu çalışmada elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları üzerinden incelenen rölativistik olmayan radyal dalga fonksiyonu setleri aşağıdaki formdadır; ∞ (3.20)
Burada k=-1,0,1,2,..., , l yörünge kuantum sayısı ve hidrojen benzeri dalga fonksiyonlarının radyal kısmıdır. Denklem (3.20) örtme integralinde k=0, Coulomb' da k=-1, elekrik dipol durumunda k=1, elekrik kuadripol durumunda k=2 ve elekrik oktupol durumunda k=3 gibi özel değerler alır.
Hidrojen benzeri dalga fonksiyonlarının radyal kısmı STO' lerin radyal kısmının sonlu lineer kombinasyonu olarak temsil edilir.
33
Burada Slater Tip Orbitallerin radyal kısmıdır.
(3.22)
Denklem (3.21) 'de görülen katsayısı;
(3.23)
için formül elde etmek için Denklem (3.21) kullanılır. Denklem (3.21)'i,
Denklem (3.20) 'de yerine koyarsak;
(3.24)
elde ederiz. Burada ve binomial katsayılardır.
Denklem (3.24) kullanılarak, soğurma osilatör şiddeti ve Einstein geçiş olasılığı elde edilmektedir.
Soğurma osilatör şiddeti;
(3.25)
Burada R Rydberg sabiti olup (n,l)→(n',l') geçiş frekansı v ile aynı birimdedir.
Einstein geçiş olasılığı;
Burada h Planck sabiti, c ışık hızı, e elektron yükü, ve Bohr yarıçapıdır. Bazı durumlarda (özellikle Stark genişlemesi hesaplarında) matris elemanlarının küresel koordinatları yerine parabolik koordinatları kullanılması uygun olur (Hey, 2007).
Denklem (3.21)'den görüldüğü gibi, son formül terimini binomial katsayılarını içerir. Binomial katsayılar için aşağıdaki ilişki kulanılır,
(3.27)
ve katsayıları art arda hesaplanmalıdır. Son formülün içine bu katsayıları koymak veya onları hafızaya geri almak için, bazı katsayılarının konumu ve
ile ilişkileri tarafından belirlenir.
Geçiş olasılığı, (3.28) Geçiş hızı (3.29)
2012 yılında Guseinov ve Mamedov yukarıda anlatılan metoda ek olarak STO' lerin radyal kısmı ve -ETO tam ortanormal fonksiyonlar sistemi kullanılarak elektrik multipol geçişin radyal matris elemanlarını birleştirerek ele almışlardır. Formülün farklı setlerindeki büyük sayılar, -ETO' nun tek analitik ilişkisi yardımıyla çözülür.Bu oldukça önemlidir çünkü seçilen temel set, sonuç hesaplamalarının bir noktada yığılmasını sağlar. -ETO' nun özfonksiyonları için geçici kuantum sayısı toplam merkezcil simetrik potansiyeldir, çekirdek çekim potansiyellerini ve parçacığın kendisi tarafından üretilen alandaki Lorenz potansiyellerini içerir (-∞ < α ≤ 2).
35
İfade α=1 için radyal dalga fonksiyonunu tam ortanormal seriler kullanılarak (Guseinov, 2002; Guseinov ve Mamedov, 2011) elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının kuantum sayılarının bir ve bir çok sonlu toplamına dayalıdır.
=1 için -ETO'nun radyal kısmının özel durumunda Coulomb-Sturmian (Löwdin ve Stull, 1955) radyal dalga fonksiyonunun durumuna dikkat edilmiştir. Elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının hassas değerlendirilmesi soğurma osilatör şiddeti, Einstein geçiş olasılığı ve ışınım şiddeti üzerine olan çalışmalarda önemlidir. 2011 yılındaki çalışmaya ek olarak 2012'de Mamedov Guseinov tarafından önerilen formüller aşağıdaki gibidir;
-ETO için elektrik multipol geçiş radyal matris elemanları üzerinden incelenen radyal dalga fonksiyonu setleri
∞ (3.30)
-ETO' nun radyal kısmı;
(3.31) Burada α=2,1,0,-1,-2,..., p=2l+2-α, q=n+l+1-α ve ; genelleştirilmiş Laguerre polinomudur. Dikkat edilmesi gereken nokta STO fonksiyonu temel kuantum sayılarından dolayı ortogonal değildir. Bu durum hesaplamalarda zorluklar yarattığından -ETO tam ortanormal setleri kullanışlı olmaktadır.
-ETO' nun radyal kısmı, STO' ların radyal kısmının sonlu lineer kombinasyonu şeklinde yazılır; (3.32) (3.33)
Tam ortonormal fonksiyonlar seti, , ağırlık fonksiyonu ile ortonormalleşir
∞ (3.34)
(3.35)
Denklem (3.32), Denklem (3.30)' da yerine yazılırsa;
(3.36) elde ederiz.Burada; (3.37) (3.38)
dan ya geçişi elde etmek için aşağıdaki ifade kolaylık sağlar.
(3.39) Burada -∞ < α ≤ 2 ve . . (3.40)
Denklem (3.39)'dan görüldüğü gibi STO'nun matris elemanları, büyük sayılarda olarak -ETO üzerinden ifade edilir. Bu nedenle herhangi bir değerinde için aynı sayısal sonuçlar elde edilmelidir.
37
Literatürde, geçici kuantum sayısı ' nın farklı değerlerinde 'nın tam ortanormal setleri kullanılarak elektrik multipol geçiş radyal matris elemanlarının değerlendirilmesi üzerine yapılmış bilinen bir çalışma yoktur.
Soğurma osilatör şiddeti, Einstein geçiş olasılığı ve ışınım şiddeti Denklem (3.33) ve Denklem (3.34) kullanılarak -ETO ve STO nun radyal kısmından belirlenebilir.
Soğurma osilatör şiddeti,
(3.41)
Burada R Rydberg sabiti olup (n,l)→(n',l') geçiş frekansı v ile aynı birimdedir.
Einstein geçiş olasılığı,
(3.42)
Işınım şiddeti,
(3.43)
4. BULGULAR
Çizelge 4.1. α=2,1,0,-1,-2,..., için Denklem (3.37) ve Denklem (3.39) 'un karşılaştırılması n l n' l' k Denklem (3.37) Denklem (3.39) 24 20 30 25 4 8,409909050933E+10 8,409909050933E+10 32 25 38 28 3 6,963284592841E+08 6,963284592841E+08 47 35 48 36 6 1,602371082856E+20 1,602371082856E+20 64 55 60 52 8 4,849764104428E+28 4,849764104428E+28 64 55 60 52 2 1,166464159904E+07 1,166464159904E+07 86 75 90 80 9 1,068394416278E+35 1,068394416278E+35 106 55 107 56 12 6,429982929966E+48 6,429982929966E+48 165 140 170 146 1 2,423138493451E+04 2,423138493451E+04 194 162 180 160 3 1,515677604224E+13 1,515677604224E+13 236 212 256 224 4 2,670971632890E+18 2,670971632890E+18 286 275 287 276 5 3,811151535053E+24 3,811151535053E+24 328 312 335 320 6 1,566802475393E+30 1,566802475393E+30 384 347 383 346 2 2,165829144824E+10 2,165829144824E+10 543 520 544 521 10 5,309970848639E+54 5,309970848639E+54 654 652 654 651 3 7,860621626508E+16 7,860621626508E+16
Çizelge 4.2. Denklem (3.36) ile (Hey, 2006)'daki 1 no'lu denklemin karşılaştırılması (α=2,1,0,-1 için )
Denklem (3.36) Denklem 1 (Hey,2006)
n l n' l' k α=2 α=1 α=0 α=-1 α=1
245 185 200 150 8 -2,236874846769E+35 -3,135546693834E+35 -4,302677959554E+35 -5,805338532226E+35 -3,135546693834E+35 265 320 250 200 7 2,496039799816E+23 2,699053798576E+23 2,907546713340E+23 3,120482050500E+23 2,699053798576E+23 400 365 300 250 5 1,502719090009E+24 1,495097016892E+24 1,486184312521E+24 1,476104473639E+24 1,495097016892E+24 670 660 669 661 1 7,052154280359E+03 1,423253933760E+03 -1,407312359544E+03 -1,427153763710E+03 1,423253933760E+03 675 664 670 662 2 1,010478183826E+08 8,539958092735E+08 2,104566627472E+09 3,962752681759E+09 8,539958092735E+08 685 674 683 672 2 1,049020129340E+17 9,922415913220E+16 9,494869940919E+16 9,203180250104E+16 9,922415913220E+16 695 694 694 693 4 5,439540679525E+22 5,443459658996E+22 5,443459658996E+22 5,4395434989406E+22 5,443459658996E+22 700 690 650 540 1 8,665582656646E-07 5,229893570750E-07 3,146418206699E-07 1,886953754304E-07 5,229893570750E-07 737 721 730 715 2 9,704371718689E+10 1,030015657981E+11 1,098482318869E+11 1,179850963365E+11 1,030015657981E+11 763 754 745 723 3 -6,244536170205E+15 -4,895479267459E+15 -3,820883325174E+15 -2,968516483634E+15 -4,895479267459E+15 792 781 798 782 4 3,098595554793E+18 -1,206987209999E+18 -6,225703394829E+18 -6,024068834584E+18 -1,206987209999E+18 810 794 800 790 4 9,371080395041E+18 3,528143640178E+19 8,659918384822E+19 1,773475842345E+20 3,528143640178E+19 855 833 855 832 3 -2,836270166779E+17 -2,285114784775E+17 -1,785962506483E+17 -1,323074122626E+17 -2,285114784775E+17 878 854 875 845 2 1,652362267979E+10 1,085220617395E+10 6,935095256994E+09 4,295035276459E+09 1,085220617395E+10 900 870 900 869 1 -4,209962551805E+05 -3,110864027887E+05 -2,074495119300E+05 -1,053934903606E+05 -3,110864027887E+05 1000 945 1000 944 4 -1,455230373192E+24 -1,140065879014E+24 -8,848010402479E+23 -6,733078266759E+23 -1,140065879014E+24
Çizelge 4.3. Osilatör Şiddeti, Einstein Katsayısının Hoang D.-Binh., 2004 referansındaki çizelge ile karşılaştırılması
n=20, n'=19
Hoang D.-Binh., 2004 Hesaplama Sonuçları
l l' R^2 f(n'l',nl) A(nl,n'l') R^2 f(n'l',nl) A(nl,n'l')
1 0 1.7474E+04 1,5732E+04 3,0693E+06 1.7474E+04 1,5732E+04 3,0693E+06 2 1 1.9958E+04 1.2270E+00 4,2066E+06 1.9958E+04 1.2270E+00 4,2066E+06 3 2 2.2715E+04 1.1978E+00 5,1296E+06 2.2715E+04 1.1978E+00 5,1296E+06 4 3 2.5772E+04 1.3258E+00 6,0357E+06 2.5772E+04 1.3258E+00 6,0357E+06 5 4 2.9161E+04 1.4585E+00 6,9845E+06 2.9161E+04 1.4585E+00 6,9845E+06 6 5 3.2912E+04 1.6162E+00 8,0041E+06 3.2912E+04 1.6162E+00 8,0041E+06 7 6 3.7062E+04 1.7966E+00 9,1135E+06 3.7062E+04 1.7966E+00 9,1135E+06 8 7 4.1647E+04 1.9997E+00 1,0327E+07 4.1647E+04 1.9997E+00 1,0327E+07 9 8 4.6715E+04 2.2265E+00 1,1660E+07 4.6715E+04 2.2265E+00 1,1660E+07 10 9 5.2311E+04 2.4787E+00 1,3126E+07 5.2311E+04 2.4787E+00 1,3126E+07 11 10 5.8488E+04 2.7581E+00 1,4740E+07 5.8488E+04 2.7581E+00 1,4740E+07 12 11 6.5303E+04 3.0673E+00 1,6517E+07 6.5303E+04 3.0673E+00 1,6517E+07 13 12 7.2820E+04 3.4090E+00 1,8475E+07 7.2820E+04 3.4090E+00 1,8475E+07 14 13 8.1106E+04 3.7861E+00 2,0632E+07 8.1106E+04 3.7861E+00 2,0632E+07 15 14 9.0236E+04 4.2019E+00 2,3007E+07 9.0236E+04 4.2019E+00 2,3007E+07 16 15 1.0030E+05 4.6605E+00 2.5625E+03 1.0030E+05 4.6605E+00 2.5625E+03 17 16 1.1139E+05 5.1659E+00 2,8508E+07 1.1139E+05 5.1659E+00 2,8508E+07 18 17 1.2360E+05 5.7227E+00 3,1685E+07 1.2360E+05 5.7227E+00 3,1685E+07 19 18 1.3705E+05 6.3358E+00 3,5182E+07 1.3705E+05 6.3358E+00 3,5182E+07
Çizelge 4.3.(devamı) Osilatör Şiddeti, Einstein Katsayısının Hoang D.-Binh., 2004 referansındaki çizelge ile karşılaştırılması
n=20, n'=19 Hoang D.-Binh., 2004
Hesaplama Sonuçları
l l' R^2 f(n'l',nl) A(nl,n'l') R^2 f(n'l',nl) A(nl,n'l')
0 1 1,3234E+08 3.9714E01 6,9734E+06 1,3234E+08 3.9714E01 6,9734E+06 1 2 1.1435E+04 4.1177E01 4,0168E+06 1.1435E+04 4.1177E01 4,0168E+06 2 3 9.8241E+03 3.7905E01 3,1060E+06 9.8241E+03 3.7905E01 3,1060E+06 3 4 8.3863E+03 3.3555E01 2,5251E+06 8.3863E+03 3.3555E01 2,5251E+06 4 5 7.1057E+03 2.9078E01 2,0801E+06 7.1057E+03 2.9078E01 2,0801E+06 5 6 5.9691E+03 2.4802E01 1,7156E+06 5.9691E+03 2.4802E01 1,7156E+06 6 7 4.9638E+03 2.0854E01 1,4084E+06 4.9638E+03 2.0854E01 1,4084E+06 7 8 4.0788E+03 1.7280E01 1,1463E+06 4.0788E+03 1.7280E01 1,1463E+06 8 9 3.3041E+03 1.4090E01 9,2174E+05 3.3041E+03 1.4090E01 9,2174E+05 9 10 2.6304E+03 1.1277E01 7,2950E+05 2.6304E+03 1.1277E01 7,2950E+05 10 11 2.0496E+03 8.8248E02 5,6571E+05 2.0496E+03 8.8248E02 5,6571E+05 11 12 1.5542E+03 6.7162E02 4,2729E+05 1.5542E+03 6.7162E02 4,2729E+05 12 13 1.1376E+03 4.9312E02 3,1171E+05 1.1376E+03 4.9312E02 3,1171E+05 13 14 7.9383E+02 3.4501E02 2,1689E+05 7.9383E+02 3.4501E02 2,1689E+05 14 15 5.1752E+02 2.2544E02 1,4105E+05 5.1752E+02 2.2544E02 1,4105E+05 15 16 3.0397E+02 1.3268E02 8,2670E+04 3.0397E+02 1.3268E02 8,2670E+04 16 17 1.4894E+02 6.5128E03 4,0430E+04 1.4894E+02 6.5128E03 4,0430E+04 17 18 4.8703E+01 2.1331E03 1,3198E+04 4.8703E+01 2.1331E03 1,3198E+04
5. SONUÇ
Çok elektronlu sistemler için Schrödinger denkleminin çözümü mümkün olmadığından hesaplamalarda kullanılacak baz setlerinin belirlenmesi büyük önem taşımaktadır. Elektronik yapıyı incelemek amacıyla yapılan bilgisayar programının verimliliği ve yapılan hesaplamaların sistemin fiziksel özelliğini temsil edebilme becerisi seçilen baz setine bağlı olarak değişmektedir. Literatürde yaygın olarak kullanılan baz setlerinden biri olan STO tipi bazlar, sistemin fiziksel özelliklerini temsil edebilme açısından diğer bir baz set olan GTO tipi bazlara göre daha avantajlıdır. Fakat STO tipi bazlar kullanıldığında hesaplamalarda ortaya çıkan çok merkezli çok elektronlu integrallerin çözümünde zorluklar ortaya çıkmaktadır. Guseinov (2002) tarafından önerilen
- tam ortonormal fonksiyonlar sistemi ile bu zorluklar aşılmıştır.
Bu tezde - tam ortonormal fonksiyonlar sisteminin baz setleri kullanılarak Einstein Katsayısı, osilatör şiddeti ve ışınım şiddeti Mathematica 7 programlama dili ile hesaplanmış ve bulunan sonuçların literatürle uyumlu olduğu görülmüştür.
Bunun yanı sıra hesaplanan değerler özellikle astrofizikte yüksek enerjiye sahip gezegenimsi bulutsuların büyük n değerlerindeki geçişlerinin hesaplanmasında önemli yer tutar.
KAYNAKLAR
Aygün E. Ve Zengin M., 2005. Atom ve Molekül Fiziği. Bilim yayınları; 225, 273.
Aygün E. Ve Zengin M., 2006. Kuantum Fiziği. Bilim yayınları; 225.
Blaive B. and Cadilhac M., 2009. A comparison of the hydrogenlike dipole radial matrix elements with overlap integrals and a step toward explicit expressions of the multipole matrix elements. Journal of Phys B:Atomic, Molecular and Optical Phys. 42; 165002(4pp).
Blaive B. and Cadilhac M.,1997. Upper limit of the discrete hydrogen-like wave functions: Expansion in the inverse principal quantum number . Journal Math. Phys.38; 6061-6071.
Bourferguene, A., Jones, W. & Etemadi, B., 1998, ”Calculations on Diatomic Molecules with Slater-Type Orbitals”, Int. Quant. Chem.,70; 80-93.
Bransden B.H. Ve Joachain C.J. Çevirenler: Köksal F. Ve Gümüş H., 1999. Atom ve Molekül Fiziği. Bilim yayınları; 168.
Condon, E. U. ve Shortly, G. H., 1970. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press, Cambridge. 441.
Cebe M., 2007. Kuantum Kimyası. Dora yayınları; 9,10.
Dong S.H. and Chen C.Y. and Cassou M.L., 2004. Some reccure relations among the radial matrix elements for the relativistic hydrogenic atoms. Physics Letter A 333;193-203.
Erdoğan M. ve Oğul R.,2003.Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların Pertürbasyon Teorisi ile Hesaplanması. S.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi 21; 89-98.
Gamache R.R. and Goldman A., 2001. Einstein A coefficient, integrated band intensity, and population factors: application to the band. Journal of Quantum Spectroscopy & Radiative Transfer 68; 389-401.
Gill C.,2007. Atomic Spectroscopy. Chem 312 L8-9.
Goldwire H.C., Jr, 1968. Oscillator Strengths for Electric Dipole Transition of Hydrogen. The Astrophy.Journal Supplement Series 152-17; 445-449.
Gounand F., 1979. Calculation of radial matrix elements and radiative lifetime for highly excited states of alkali atoms using the Coulomb approximation. J. Phys.(France) 48; 457-460.
Guseinov I.I., 2002. New Complete Orthonormal Sets of Exponential-Type Orbitals and Their Application to Translation of Slater Orbitals. Int.Journal of Quantum Chm. 90; 114-118.
orthonormal sets of -ETO. Radiation Phy. and Chm. 81-7; 776-779.
Guseinov I.I. and Mamedov B.A., 2011. Calculation of electric multipole transition radial matrix elements, oscillator strengths and Einstein coefficients over nonrelativistic radial wave function using Slater type orbitals. Astroparticle Phy. 34; 649-651.
Hartree, D. R., 1928. The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field. Proc. Cambridge Phil. Soc., 24 ; 426-437.
Herdan R. and Hughes T.P.,1961. New values of the square of the radial integral associated with the dipole matrix elements for transitions in Hydrogen-like atoms. American Astronomical Society 133;294-298.
Hey J.D., 2006. On the determination of radial matrix elements for high-n transitions in hydrogenic atoms and ions. Journal of Phys B:Atomic, Molecular and Optical Phys. 39; 2641-2664
Hilborn R.C., 1982. Einstein coefficients, cross sections, f values, dipole moments, and all that. Am.J. Phys 50; 982-986.
Hoang D.-Binh., 2005. A program to compute exact hydrogenic radial integrals, oscillator strengths, and Einstein coefficients, for principal quantum numbers up to n 1000*. Computer Phys. Communications 166; 191-196
Hoang D.-Binh., 1990. An exact calculation of hydrogenic radial integrals, oscillator strengths, for principal quantum numbers up to n 1000*. Astronomy and Astrophysics 238; 449-451
Karaoğlu B., 2003. Kuantum Mekaniğine Giriş. Seyir yayıncılık; 41. Kartal M.,2007 Atomun Yapısı. DEU yay; 11-16.
Köksal F. Ve Köseoğlu R., 2006. Kuantum Mekaniği. Nobel yayınları; 242-244.
Löwdin P.O. and Shull H.,1955. Role of the continuum in superposition of configuration. Journal of Chem. Phy. 23; 1362.
Readle J., 2009. Lecture 8: Blackbody Radiation, Einstein Coefficients, and Homogeneous Broadening.
Slater, J. C., 1930. Choesion in Monovalent Metals. Phys. Rev., 35; 509-529.
Steane A., 2002. Atomic Physics: High-precision quantum systems and the interaction of light and matter;74.
Stancalie V.,2009. Theoretical calculation of atomic data for plasma spectroscopy. Laser and Particle Beams 27; 345-354.
Şahin Y. Ve Kurucu Y., 2005. Atom Fiziği. Pegem yayıncılık; 144; 269.
Taylor J.R. Ve Zafiratos C.D. Ve Dubson M.A. Çeviren: Karaoğlu B., 2008. Modern Fizik. Okutman yayıncılık; 85, 103, 243.
Weiner J. Ve Ho P.T., 2002. Light-Matter Interaction: Fundamentals and Application; vii, 11, 25;30.
ÖZGEÇMİŞ