FONKSİYONLARIN LİMİTİ 06

(1)

(2)

B)Diziler yardımıyla limit C)Epsilon tekniği ile limit

D)Özel tanımlı fonksiyonların limitleri A)Sağdan ve Soldan Limt

A)süreklilik şartları

Alıştır

-malar

(3)

Limit f(x)’sağdan incelersek elde ettiğimiz değer ile,soldan

incelediğimizde elde edeceğimiz değer eşit olmalıki limit olsun

1 2

۵ Limit olması için sağ ve sol limitler eşit olmalı. ¶ Limit varsa tektir.

µ Sağ ve sol limitler eşit değilse limt yoktur.

¥ Bir noktada limit olması için foksiyonun o noktada Tanımlı olması gerekmez.

(4)

5

-3 ₁ 4

3 2

Örnek:

Yandaki soruda –3,1 ve

4’ün limitlerini inceleyiniz.

-3 için soldan limiti 2 dir fakat

sağdan limiti yoktur.

1 için sağdan ve soldan limitleri

vardır ve limiti 5 tir.

4 için sağdan ve soldan limiti bellidir ve 3 tür.

(5)

Tanım:A R olmak üzere,f:A R fonksiyonu verilmiş olsun.

Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisinin f fonk-siyonuna göre görüntü dizisi denir.



)

(

x

_n

.

),...)

(

),...,

(

),

(

),

(

))

(

))

(

,

,...)

,...

,

(

)

(

3 2 1 3 2 1

dir

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

görüntüsü

x

f

dizisiiçin

x

n n n n n



)) ( ( lim . lim sin . )) ( )( . lim sin ) )( . 3 2 ) ( 1 1 ) ( : n n n n n x f ım itinibulal in dizi gör x f b ım itinibulal in dizi x a veriliyor fonksiyonu x x dizisivef n x örnek            

(6)

1

1 lim

)

(

lim

.

:

_











 



   

x

n

a

çözüm

n n n

)

2

5 (

3 )

1

1 (

2 )

3 )

(

2 (

))

(

.(

n

x

f

b

_n _n

_















_







bulunur

n

x

f

c

n n n

)

5

2

5 (

lim

))

(

lim

.







   

(7)

Tanım:A R,f:A R bir fonksiyon a R,L R,

olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a ya yakınsarken f nin limiti L dir, denir ve biçminde yazılır. 

_

__ _ _R   < < f x L a x   ( ) 



  



R

L

x

f

a x

(

)



lim

Yani x ler a ayısına yaklaşırken , x lerin ordinatları olan f(/x) ler L reelsayısına yaklaşıyora,”x ler a ya yakınsarken f(x)ler L ye yakınsar.” denir.





(

)

lim

f

x

a x L şeklinde gösterilir.

(8)

1)Parçalı Fonksiyonların Limitleri

ise

x

ise

x

f

R

f

Örnek

1 ,

1

1 ,

1 )

(

)

1 (

:

>

<













Fonksiyonunun;x=1, x=2 ve x=-2 noktalarındaki limitini bulalım.

0 )

1 (

lim

)

(

lim

0 )

1 (

lim

)

(

lim

:

1 1 1 1













       

x

f

x

f

Çözüm

x x x x Olduğundan,

dıı

x

f

x

(

)

0 lim

1



 devamı

(9)

3 )

1 (

lim

)

(

lim

2 2



 







 

f

x

x 3 ) 1 ( lim ) ( lim 2 2         f x x x x Oldugundan, lim=3’tür

1 )

1 (

lim

)

(

lim

2 2



 









f

x

1 )

1 (

lim

)

(

lim

2 2



 









f

x

x _{Olduğundan, lim=1 dir.}

1 1

2 3

(10)

) ( lim , : R R f x f a x  _{In bulunuşunda:}

I:x=a noktası kıritik nokta (f(a)=0) ise,soldan ve sağdan limit incelenmelidir. İİ:Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, (f(a) 0’a eşit olmaz) limit değeri ile görüntü değeri eşit olmayacağından, dır._lim _f ₍_x₎ _f ₍_a₎

a x 





x x x f R R f Örnek       2 4 ) ( , 2 , 2 : : 2 _{Fonksiyonunun; x=-2,x=0,x=2} ve x=4 noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım. Çözüm:f(x) fonksiyonu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

x 4 2 _ x x F(x)   -2 0 2  + - - + + + -+ 2 2 4 2     x x x 2 2 4 2      x x x 2 2 4 2     x x x 2 2 4 2      x x x

(11)

4 )

2 (

lim

)

(

lim

2 2



 







 

f

x

4 )

2 (

lim

)

(

lim

2 2



 







 

f

x

2 )

2 (

lim

)

(

lim

0 0



 







f

x

2 )

2 (

lim

)

(

lim

0 0



 







f

x

4 )

2 (

lim

)

(

lim

2 2



 







f

x

4 )

2 (

lim

)

(

lim

2 2



 









f

x

x Lim f(x)=yoktur. Lim f(x)=2dir Lim f(x) yoktur.

(12)

İşaret değiştirdiği noktalarda lim yoktur.

Yani fonksiyonun eğer işareti değiştiriyorsa

O fonksiyonun limiti yoktur.

_

+

+ _ 2x-1 2x+1

ÖRNEK: f(x)=2x+Sgn(x-3)

?

)

(

lim

3





f

x

CEVAP:

lim

(

2

1 )

5

3







x

x 7 ) 1 2 ( lim 3    x x

9 )

4 (

lim

4





f

x Lim f(x)yok

(13)

ÖRNEK:

)

1 )(

3 (

?

lim

)

3

2 sgn(

)

(

2











x

itinedir

x

f

ÇÖZÜM:

  __   3

(

)



lim

3

lim

x

f

x

İşaret değiştirdiği için

_{Lim yok.}

+ _ + -3 1   __   1

(

)



lim

1

lim

x x

f

x

(14)

nda

inbulunuşn

R

x f a x

lim

( )

,



,

)

inf(

a

Zise

aiç

x





Soldan ve sağdan lim incelenir.

ÖRNEK:

lim

(

2

2 )

?

) 4 1 (







 

x

ÇÖZÜM:

4

7

4

7

0

4

7 )

2

1 (

2

4

1 )

4

1 .(

2 _





































(15)

ÖRNEK:

x

f

(

)





sgn(

)



CEVAP:

?

)

(

lim

)

(

lim

0 0



 





f

x

f

x

İşleminin sonucu nedir?

)

0

1

1 (

lim

)

1

1 (

lim

0 0





 





x

=-3

=+2

-1

(16)

(17)

BİR NOKTADA

SÜREKLİLİK

Tanım:

Tanım: , olmak üzere ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda, ise, f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir, denir.

Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için: 1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.

2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.

3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.

Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir.

R

A



_a



_A

f

:

A



R

f(a)

f(x)

lim

_x__a



(18)

L=f(a) 0 a x y f(x) 1. f(a)=L 2. olduğundan, x=a noktasında f fonksiyonu süreklidir. L 0 a x • x = a’da tanımsızdır. Çünkü a’nın görüntüsü yoktur. Bunun için f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir. L 0 a x y f(a )

için f, x=a noktasında süreksizdir. x x    x f(x) ÖRNEK ÖRNEK

Fonksiyonu x=1’de sürekl midir?

L f(a) f(x) lim_x__a   limxaf(x)  L f(a) f(x) lim_x__a  y ÇÖZÜM ÇÖZÜM

(19)

ÇÖZÜM

f fonksiyonu x=1’de süreklidir.

1 f(x)

lim

1

1 )

x

-x

x

(

lim

f(x)

lim

1

0 -1

0 )

x

(

lim

f(x)

lim

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x - -

_

_





























      

(20)

SOLDAN VE SAĞDAN

SÜREKLİLİK

Tanım:

Tanım: , olmak üzere fonksiyonunda:

1. ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan süreklidir, denir.

2. ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir, denir.

R

A



a



A

f

:

A



R

f(a)

f(x)

lim

_x__a-



f(a)

f(x)

lim

_x__a_



(21)

Tanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz. y x L=f(a) a 0 x L=f(a) a y f f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir. f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir. ÖRNEK ÖRNEK         1 x 1, -2x 1 x , 1 x f(x) R, R : f 2

fonksiyonunun x=1’de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim.

0

ÇÖZÜM

(22)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM               _    1 1 -2.1) ( f(1) 1 ) 1 -x 2 ( lim f(x) lim 2 ) 1 x ( lim f(x) lim 1 x 1 x 2 1 x 1 x - - 1. olduğundan,

fonksiyon x=1de soldan sürekli değildir.

2.

olduğundan, fonksiyon x=1de sağdan süreklidir.

f(1)

f(x)

lim

_x_₁



1 f(1)

f(x)

lim

_x_₁



(23)

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK

Tanım:

Tanım: fonksiyonu için sürekli ise f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir, denir.

Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim.

0 x y L=f(a) f(x)0 K=f(b) a x0 b y=f(x) ÖRNEK ÖRNEK fonksiyonunun kapalı aralığında sürekli olduğunu gösterelim.



-1, 3



R, f(x) x 4 : f   2 

 

a,b R : f 



x



 

a,

b



a,b





-1,3



ÇÖZÜM ÇÖZÜM

(24)

ÇÖZÜM

için olduğundan, f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir.



1 ,3



x₀   



1 ,3



x y 5 3 2 -3 -4 -1 0 4 x f(x)  2 

(25)

(26)

1. 2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x    

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x      = 0 0 belirsizliği var 2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x      = 2x 3 7 x 2 lim 2 x    = 2.2 3 7 2 . 2   = ₁3  3

(27)

2. x x x 1 1 lim 0  

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

x x x 1 1 lim 0    = 0 0 belirsizliği var x x x 1 1 lim 0    = xlim0 1 2 1  x 1 = 2 1 1 lim 0   x x = ₂ ₀1_ ₁ = ₂1

(28)

3. x x π x sin cos 1 lim 

Çözüm

:

x x π x sin cos 1 lim   0 0 belirsizliği var = x x π x sin cos 1 lim   = _{x }lim_π - sinx cosx π π cos sin  = _0₁ = 0

(29)

4. x e x x x cos ) 1 ln( lim   

Çözüm

:

x e x x x cos ) 1 ln( lim     =



belirsizliği var   xlim = x e x x x cos ) 1 ln( lim     1 1  x ex - sinx 0



0

(30)

5. ) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x

x  limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x x  =



belirsizliği var ) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x x  = xlim0 cosx/sinx 2cos2x/sin2x 0 lim  x cosx/sinx 2cos2x/sin2x = Cosx.sin2x 0 lim  x 2cos2x.sinx

(31)

Cosx.sin2x 0 lim  x 2cos2x.sinx 2sinx.cosx 2.sinx.cos2x 0 lim  x 2cos2x.sinx = 2.cos(2.0) 0 cos . 2 2 = 2. 1 2. 1 = 1

(32)

6. _x

lim

__

_x

1 

e

x limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

x x

x



e

1 lim

= 0 



x x

x



e

1 lim

₌ x x

x

e

 

lim

= _   x

lim

= x x

x

e

 

lim

ex 1 = e  1 =



1 = 

(33)

7.

 

_x x

x

2

sin

.

lim



Çözüm

:

 

_x x

x

2

sin

.

lim

  =





x

1 )

2 sin(

lim

  =

0

  x

lim

=

x

1 )

2 sin(

lim

  =

x

2 cos

2





2

1 x



x 

lim



2 .

cos(

2 /

x

)

=

2

(34)

8.       _   x x x ln 1 1 1 lim

1 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

      _   x x x ln 1 1 1 lim 1 =



-



      _   x x x ln 1 1 1 lim 1 = _          ln ( 1) 1 ln lim 1 x x x x x =