øSTANBUL TEKNøK ÜNøVERSøTESø FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ
YÜKSEK LøSANS TEZø Cansevi ÇAKMAK
Anabilim Dalı : Kontrol ve Otomasyon Mühendisli÷i Programı : Kontrol ve Otomasyon Mühendisli÷i
HAZøRAN 2011
ZIEGLER-NICHOLS PID KONTROLÖR PARAMETRELERøNø BULANIK TABANLI øYøLEùTøRME YÖNTEMø
HAZøRAN 2011
øSTANBUL TEKNøK ÜNøVERSøTESø FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ
YÜKSEK LøSANS TEZø Cansevi ÇAKMAK
(504081110)
Tezin Enstitüye Verildi÷i Tarih : 06 Mayıs 2011 Tezin Savunuldu÷u Tarih : 09 Haziran 2011
Tez Danıúmanı : Prof. Dr. Müjde GÜZELKAYA (øTÜ) Di÷er Jüri Üyeleri : Prof. Dr. øbrahim EKSøN(øTÜ)
Yrd. Doç. Dr. A. ùima ETANER UYAR øTÜ)
ZIEGLER-NICHOLS PID KONTROLÖR PARAMETRELERøNøN BULANIK TABANLI øYøLEùTøRME YÖNTEMø
ÖNSÖZ
Yüksek lisans tezim boyunca bilgi ve deneyimlerini benden esirgemeyen de÷erli danıúman hocam Prof. Dr. Müjde GÜZELKAYA’ya, çalıúmam boyunca destek ve yorumlarıyla beni yönlendiren de÷erli hocam Prof. Dr. øbrahim EKSøN’E, tezim boyunca yardımları ve destekleri için Yrd. Doç. Dr. Engin YEùøL’e ve Ar. Gör. Tufan KUMBASAR’a, anlayıúları için müdürlerime ve mesai arkadaúlarıma, hayatım boyunca beni her zaman destekleyen canım aileme ve arkadaúlarıma sonsuz teúekkürlerimi sunarım.
Mayıs 2011 Cansevi Çakmak
øÇøNDEKøLER Sayfa ÖNSÖZ ... v øÇøNDEKøLER ... vii KISALTMALAR ... ix ÇøZELGE LøSTESø ... xi
ùEKøL LøSTESø ... xiii
ÖZET ... xv
SUMMARY ... xvii
1. GøRøù ... 1
2. BULANIK MANTIK ... 7
2.1 Bulanık Sistemler ... 8
2.2 Bulanık Kural Tabanları ... 9
2.2.1 Mamdani tipi bulanık kural tabanı ... 9
3. DEöøùøK SøSTEM MODELLERø VE DAVRANIù BøÇøMLERø ... 11
3.1 Birinci Dereceden Sistemlerin Zaman Tanım Bölgesi Davranıúları ... 11
3.2 økinci Dereceden Sistemlerin Zaman Tanım Bölgesi Davranıúı ... 13
3.3 Yüksek Dereceli Sistemlerin Zaman Tanım Bölgesi Davranıúı ... 19
3.4 Yüksek Dereceli Sistemlerin Mertebesinin øndirgenmesi ... 20
4. PID KONTROLÖR TASARIMI ... 23
4.1 PID Kontrolör Yapısı ... 23
4.1.1 Oransal kontrolör (P kontrolör) ... 25
4.1.2 Oransal-Integral Kontrolör (PI Kontrolör) ... 26
4.1.3 Oransal-Türev Kontrolör (PD Kontrolör) ... 27
4.1.4 Oransal—øntegral--Türev Kontrolör PID Kontrolör ... 27
4.2 PID Kontrolör Tasarım Yöntemleri ... 28
4.2.1 Ziegler – Nichols yöntemi ... 29
4.2.1.1 Ziegler-Nichols frekans yanıtı yöntemi 29 4.2.1.2 Ziegler-Nichols basamak yanıtı yöntemi 30 4.2.2 Cohen-Coon yöntemi ... 31
4.2.3 Geliútirilmiú Ziegler – Nichols yöntemi ... 34
4.2.4 Åström-Hägglund yöntemi ... 36
5. PID PARAMETRELERøNø AYARLAMA YÖNTEMLERø ... 39
5.1 Arttırılmıú Ziegler-Nichols PID Parametrelerini Ayarlama Yöntemi ... 39
5.2 Ziegler-Nichols PID Kontrolör Parametrelerini Bulanık Mantık Tabanlı øyileútirilmesi ... 45
5.3 Bulanık Düzenleyicinin Çıkıú Ölçekleme Çarpanlarının Birinci Dereceden Ölü Zamanlı Sistem Parametreleri Cinsinden øfade Edilmesi ... 50
5.3.1 Araútırma Örne÷i 1: Küçük bir IJ de÷erine sahip sistemler (IJ = 0.06977) . 52 5.3.2 Araútırma örne÷i 2: Orta büyüklükteki bir IJ de÷erine sahip sistemler (IJ = 0.333333) ... 55
6. BENZETøMLER VE KARùILAùTIRMALAR ... 65
6.1 Ziegler-Nichols Frekans Yanıtı Yöntemini øyileútiren Yöntemlerin Karúılaútırılması... 65
6.1.1 Lineer Süreçler ... 65
6.1.1.1 økinci Mertebeden Lineer Süreçler 65 økinci Mertebeden Kritik Sönümlü Süreç 65 økinci Mertebeden Marjinal Kararlı Süreç 70 6.1.1.2 Üçüncü Mertebeden Lineer Süreç 75 6.1.2 økinci Mertebeden Lineer Olmayan Süreç ... 79
6.2 Basamak Yanıtı Yöntemlerinin Karúılaútırılması ... 83
6.2.1 Çok Küçük bir IJ de÷erine sahip süreç (IJ=0.06977) ... 83
6.2.2 Orta bir IJ de÷erine sahip süreç (IJ =0.33333)... 88
6.2.3 Orta bir IJ de÷erine sahip süreç (IJ=0.5)... 92
6.2.4 Çok Büyük bir IJ de÷erine sahip süreç ... 94
6.3 Yüksek Mertebeli Sistemler øçin Bulanık Mantık Tabanlı Ziegler-Nichols PID Kontrolör Parametrelerini Ayarlama Yöntemi Benzetim Çalıúmaları ... 96
6.3.1 Dördüncü Mertebeden Tek Sıfırlı Lineer Süreç ... 96
6.3.2 økinci Mertebeden Bir Saniye Ölü Zamanlı Kritik Sönümlü Sistem ... 98
7. SONUÇ VE TARTIùMALAR ... 101
KAYNAKLAR ... 105
KISALTMALAR
AHPID : Åström-Hägglund PID Yöntemi (1995)
AZNPID : Arttırılmıú Ziegler-Nichols PID Parametrelerini Ayarlama Yöntemi (Augmented Ziegler Nichols PID)
BDDB : Bulanık Türev Katsayısı Düzeltme Blo÷u BøDB : Bulanık øntegral Katsayısı Düzeltme Blo÷u
BMK-ZNPID: Bulanık Mantık Kontrol mekanizması tabanlı Ziegler-Nichols PID parametrelerini iyileútirme yöntemi
BODB : Bulanık Oransal Katsayısı Düzeltme Blo÷u CCPID : Cohen-Coon PID Yöntemi
IAE : Hatanın Mutlak De÷erinin øntegrali Kriteri ISE : Hatanın Karesinin øntegrali Kriteri
ITAE : Mutlak Hatanın Zaman A÷ırlıklı øntegrali Kriteri ITSE : Hatanın Karesinin Zaman A÷ırlıklı øntegrali Kriteri
P : Oransal Kontrolör
PD : Oransal-Türev Kontrolör PI : Oransal-øntegral Kontrolör PID : Oransal-øntegral-Türev Kontrolör
SD : Oransal Ve Türev Katsayılarını Belirlemede Kullanılan Bulanık
Mantık Kontrolörün Çıkıú Ölçekleme Katsayısı Olan Türev Katsayısı Düzenleyici
Sø : øntegral Katsayısını Belirlemede Kullanılan Bulanık Mantık
Kontrolörün Çıkıú Ölçekleme Katsayısı Olan øntegral Katsayısı Düzenleyici
SP : Oransal Ve Türev Katsayılarını Belirlemede Kullanılan Bulanık
Mantık Kontrolörün Çıkıú Ölçekleme Katsayısı Olan Oransal Katsayı Düzenleyici
RZNPID :Geliútirilmiú (Refined) Ziegler – Nichols PID Yöntemi ZNPID : Ziegler – Nichols PID Yöntemi
ÇøZELGE LøSTESø
Sayfa Çizelge 4.1 : Ziegler-Nichols frekans yanıtı yöntemine göre PID katsayıları. ... 30
Çizelge 4.2 : Basamak yanıtı yöntemine dayalı Ziegler-Nichols tasarım kuralları. .. 31
Çizelge 4.3 : Cohen-Coon kestirimini optimize etmek için kullanılan standart
önerilen denklemler. ……… ... 32
Çizelge 4.4 : Cohen-Coon yöntemine göre PID katsayıları. ... 33
Çizelge 4.5 : Åström - Hägglund yöntemine göre PID katsayıları. ... 37 Çizelge 5.1 : Sistem yanıtına istinaden ùekil 5.3’teki noktalarda AZNPID yöntemine göre PID parametrelerinin de÷iúimi. …… ... 44
Çizelge 5.2 : Oransal ve türev parametresini ayarlayıcı kural tablosu(a) ve yüzey gösterimi(b). ... 49
Çizelge 5.3 : øntegral parametresini ayarlayıcı kural tablosu(a) ve yüzey gösterimi (b). ……….. ... 50
Çizelge 5.4 : IJ = 0.06977 olan sistemler için Ziegler-Nichols basamak yanıtı yöntemi PID parametreleri ve bu sistemler için bulunan SP, SI, SD. ... 52
Çizelge 5.5 : Küçük bir IJ de÷erine sahip (IJ = 0.06977 olan) sistemlerin ZNPID ve BMK-ZNPID süreç yanıtları (a,c,e) ve kontrol iúaretleri (b,d,f) ... 52
Çizelge 5.6 : IJ = 0.06977 olan sistemlerin ZNPID ve BMK-ZNPID oransal (a,d,g) - integral(b,e,h) ve türev(c,f,i) parametrelerinin de÷iúimi. ... 54
Çizelge 5.7 : IJ = 0.06977 olan sistemler için genel çıkıú ölçekleme çarpanları. ... 55
Çizelge 5.8 : 0.333333 olan sistemler için Ziegler-Nichols basamak yöntemi PID parametreleri ve bu sistemler için bulunan SP, SI, SD. ... 55
Çizelge 5.9 : Orta büyüklükteki bir IJ de÷erine sahip (IJ = 0.333333 olan) sistemlerin ZNPID ve BMK-ZNPID Süreç Yanıtları (a,c,e) ve kontrol iúaretleri (b,d,f). ... 56
Çizelge 5.10 : Orta büyüklükteki bir IJ de÷erine sahip (IJ = 0.3333) sistemlerin ZNPID ve BMK-ZNPID oransal (a,d,g,j), integral(b,e,h,k) ve
türev(c,f,i,l) parametrelerinin de÷iúimi. ... 58
Çizelge 5.11 : IJ = 0.333333 olan sistemler için genel çıkıú ölçekleme çarpanları. ... 60
Çizelge 5.12 : IJ = 0.8333 olan sistemler için Ziegler-Nichols basamak yöntem PID parametreleri ve bu sistemler için bulunan SP, SI, SD. ... 60
Çizelge 5.13 : Büyük bir IJ de÷erine sahip (IJ = 0.8333 olan) sistemlerin ZNPID ve BMK-ZNPID Süreç Yanıtları (a,c,e) ve kontrol iúaretleri (b,d,f). ... 61
Çizelge 5.14 : IJ = 0.83333 olan sistemlerin ZNPID ve BMK-ZNPID oransal(a,d,g), integral(b,e,h) ve türev(c,f,i) parametrelerinin de÷iúimi. ... 62
Çizelge 5.15 : IJ = 0.8333 olan sistemler için genel çıkıú ölçekleme faktörleri. ... 63
Çizelge 5.16 : Belli IJ de÷erlerine göre öngörülen çıkıú ölçekleme çarpanları. ... 64 Çizelge 6.1 : 2. mertebeden L=0.2 olan kritik sönümlü sistem için yöntemlerin
Çizelge 6.2 : 2. Mertebeden L=0.2 olan kritik sönümlü sistem için de÷iúken referans giriúine verilen yanıtlarda yöntemlerin performans kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 70
Çizelge 6.3 : 2. mertebeden L=0.2 olan marjinal kararlı sistem için yöntemlerin performans kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 72
Çizelge 6.4 : 2. mertebeden L=0.2 olan kritik sönümlü sistem için de÷iúken referans giriúine verilen yanıtlarda yöntemlerin performans kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 74
Çizelge 6.5 : 3. mertebeden ȕ =0.1 sistem için yöntemlerin performans kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 77
Çizelge 6.6 : 3. mertebeden ȕ =0.1 olan (6.3) sistem için de÷iúken referans giriúine verilen yanıtlarda yöntemlerin performans kriterlerine göre
karúılaútırılması. ... 79
Çizelge 6.7 : 2. dereceden lineer olmayan ve L=0.3 olan sistem için yöntemlerin performans kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 81
Çizelge 6.8 : 1. mertebeden L =0.9 olan (6.5) sistem yanıtının performans
kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 85
Çizelge 6.9 : 1. mertebeden L=0.9 olan (6.5) sistem için de÷iúken referans giriúine verilen yanıtlarda yöntemlerin performans kriterlerine göre
karúılaútırılması. ... 87
Çizelge 6.10 : 1. mertebeden L=4 olan (6.6) sistem yanıtının performans kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 89
Çizelge 6.11 : 1. mertebeden L=0.9 olan (6.5) sistem için de÷iúken referans giriúine verilen yanıtlarda yöntemlerin performans kriterlerine göre
karúılaútırılması. ... 92
Çizelge 6.12 : 1. mertebeden L =1 olan (6.5) sistem yanıtının performans kriterlerine göre karúılaútırılması. ... 94
Çizelge 6.13 : 1. mertebeden L=20 olan (6.6) ve aynı katsayılar kullanılarak L=20 yapıldı÷ında verilen sistem yanıtının performans kriterlerine göre karúılaútırılması ... 95
Çizelge 6.14 : ùekil 6.30’da yapılan benzetim çalıúmasının performans kriterlerinin karúılaútırılması. ... 98
Çizelge 6.15 : ùekil 6.31’de yapılan benzetim çalıúmasının performans kriterlerinin karúılaútırılması ... 100 Çizelge A.1 : Benzetim karúılaútırılmalarında kullanılan performans indeksleri. ... 108
ùEKøL LøSTESø
Sayfa
ùekil 2.1 : Bulanık kontrol sisteminin genel yapısı. ... 8
ùekil 3.1 : Basamak testi uygulanan sistemin yanıtı. ... 12
ùekil 3.2 : Birinci mertebeden ölü zamanlı sistemin basamak cevabı. ... 12
ùekil 3.3 : 2. mertebeden bir sistemde sönüm oranının birim basamak cevaba etkisi. ... 15
ùekil 3.4 : Lineer kontrol sisteminin birim basamak fonksiyonuna iliúkin y(t) çıkıúının de÷iúimi ve önemli bazı zaman domeni verileri. ... 16
ùekil 4.1 : Geri beslemeli bir kontrol sistemi. ... 23
ùekil 4.2 : ødeal yapıdaki PID kontrolörün blok diyagramı. ... 25
ùekil 5.1 : Önerilen AZNPID’nin blok diyagramı. ... 40
ùekil 5.2 : Į’nın de÷iúimi. ... 41
ùekil 5.3 : økinci mertebeden bir sistemin yanıtı ve buna ba÷lı de÷iúen “Į” e÷risi. .. 43
ùekil 5.4 : Ziegler-Nichols PID parametrelerini bulanık tabanlı iyileútirilmesi yöntemine ait blok diyagramı.………. ... 46
ùekil 5.5 : Tipik az sönümlü ikinci dereceden sistem yanıtı ve buna ba÷lı hata ve hatanın de÷iúiminin tablosu... 47
ùekil 5.6 : PID parametrelerini ayarlayan bulanık tabanlı kontrolörlerin genel blok diyagramı. ... 48
ùekil 5.7 : PID parametrelerini ayarlayan bulanık tabanlı kontrolörlerin giriúlerinin üyelik fonksiyonu (a) ve çıkıú üyelik fonksiyonu (b). ... 49
ùekil 6.1 : 2. mertebeden L=0.2 olan kritik sönümlü sistem yanıtının karúılaútırılması. ... 66
ùekil 6.2 : 2. mertebeden L=0.3 olan kritik sönümlü sistem yanıtının (L=0.2 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 67
ùekil 6.3 : 2. mertebeden L=0.5 olan kritik sönümlü sistem yanıtının (L=0.2 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 68
ùekil 6.4 : økinci mertebeden sistemlere uygulanan referans giriúi. ... 69
ùekil 6.5 : 2. mertebeden L=0.2 olan kritik sönümlü sistem yanıtının de÷iúken referans giriúine göre karúılaútırılması. ... 69
ùekil 6.6 : 2. mertebeden L=0.2 olan marjinal kararlı sistem yanıtının karúılaútırılması. ... 71
ùekil 6.7 : 2. mertebeden L=0.3 olan marjinal kararlı sistem yanıtının (L=0.2 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 72
ùekil 6.8 : 2. mertebeden L=0.5 olan marjinal kararlı sistem yanıtının (L=0.2 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 73
ùekil 6.9 : 2. mertebeden L=0.2 olan kritik sönümlü sistem yanıtının de÷iúken referans giriúine göre karúılaútırılması. ... 74
ùekil 6.10 : 3. mertebeden ȕ =0.1 olan (6.3) sistem yanıtının karúılaútırılması. ... 76
ùekil 6.11 : 3. mertebeden ȕ =0.2 olan (6.3) sistem yanıtının (ȕ =0.1 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 76
ùekil 6.12 : 3. mertebeden ȕ =0.4 olan (6.3) sistem yanıtının (ȕ =0.1 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 78
ùekil 6.13 : 3. mertebeden ȕ =0.1 olan (6.3) sistem yanıtının karúılaútırılması
de÷iúken referans giriúine göre karúılaútırılması. ... 78
ùekil 6.14 : 2. dereceden lineer olmayan ve L=0.3 olan sistem yanıtının
karúılaútırılması. ... 80
ùekil 6.15 : 2. dereceden lineer olmayan ve L=0.4 olan sistem yanıtının (L=0.3 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 81
ùekil 6.16 : 2. mertebeden L =0.7 olan (6.3) lineer olmayan sistem yanıtının (L=0.3 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 82
ùekil 6.17 : 1. mertebeden L =0.9 olan (6.5) sistem yanıtının karúılaútırılması ... 84
ùekil 6.18 : 1. mertebeden L=1 olan 1. mertebeden (6.5) sistem yanıtının (L=0.9 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması ... 84
ùekil 6.19 : 1. mertebeden L=1 olan 1. mertebeden (6.5) sistem yanıtının (L=0.9 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 86
ùekil 6.20 : 1. mertebeden sistemlere uygulanan referans giriúi. ... 86
ùekil 6.21 : 1. mertebeden L=0.9 olan (6.5) sistem yanıtının de÷iúken referans
giriúine göre karúılaútırılması. ... 87
ùekil 6.22 : 1. mertebeden L =4 olan (6.6) sistem yanıtının karúılaútırılması. ... 88
ùekil 6.23 : 1. mertebeden L=5 olan 1. mertebeden (6.6) sistem yanıtının (L=4 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 89
ùekil 6.24 : 1. mertebeden L=7 olan 1. mertebeden (6.6) sistem yanıtının (L=4 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 90
ùekil 6.25 : IJ =0.3333 olan birinci mertebeden sisteme uygulanan referans giriúi. .. 91
ùekil 6.26 : 1. mertebeden L=4 olan (6.5) sistem yanıtının de÷iúken referans giriúine göre karúılaútırılması. ... 91
ùekil 6.27 : 1. mertebeden L =1 olan (6.6) sistem yanıtının karúılaútırılması. ... 93
ùekil 6.28 : 1. mertebeden L=1.1 olan 1. mertebeden (6.7) sistem yanıtının (L=1 parametreleri kullanılarak) karúılaútırılması. ... 93
ùekil 6.29 : 1. mertebeden L =20 olan (6.7) sistem yanıtının karúılaútırılması. ... 95
ùekil 6.30 : Dördüncü mertebeden bir sıfırlı bir sistemin önerilen yöntem ile
Ziegler-Nichols frekans yanıtı yöntemlerinin karúılaútırılması. ... 97
ùekil 6.31 : økinci mertebeden kritik sönümlü bir sistemin Ziegler-Nichols frekans yanıtı yöntemi, AZNPID ve BMK-ZNPID karúılaútırılması. ... 99
ZIEGLER-NICHOLS PID KONTROLÖR PARAMETRELERøNø BULANIK TABANLI øYøLEùTøRME YÖNTEMø
ÖZET
PID kontrolörler, basit yapıları ve tasarım kolaylıkları nedeniyle kullanımı en yaygın kontrolörlerden biridir. Zaman içinde çok sayıda kontrol algoritmaları geliútirilse de endüstride özellikle yüksek performans gerektirmeyen sistemler için yaygın kullanımı devam etmektedir. Literatürde, sabit PID kontrolör parametrelerini belirleme üzere birçok tasarım yöntemi bulunmaktadır. Bunlardan en çok bilinen yöntemlerden Ziegler-Nichols frekans ve basamak yanıtı yöntemi, geliútirilmiú Ziegler-Nichols yöntemi, Cohen-Coon yöntemi ve Åström-Hägglund yöntemlerine bu çalıúmada yer verilmiútir.
Sabit parametrelerin sisteme etki eden veya yapısında oluúan de÷iúikliklere istenilen ölçütlerde yanıt verememesi araútırmacıları PID parametrelerini çevrim içi ayarlayan yöntemlere yöneltmiútir. Kontrolör parametrelerini çevrim içi olarak iyileútirmek üzere önerilen yöntemlerden biri de Ziegler-Nichols PID frekans yanıtı yöntemi parametrelerini iyileútiren Arttırılmıú Ziegler-Nichols yöntemidir. Bu yöntemde, sistem hatası ve hatanın de÷iúiminin fonksiyonu olan bir kazanç ayarlama parametresi ile deneyimlere dayalı denklemler yardımıyla Ziegler-Nichols katsayıları çevrim içi olarak iyileútirilir. Yapılan incelemelerde bu yöntemin ikinci mertebeden ve daha yüksek mertebeli sistemler için baúarılı oldu÷u belirtilmiútir.
Bu çalıúmada, Ziegler-Nichols basamak yanıtı ve frekans yanıtı yöntemlerinin her ikisi için de PID parametrelerini iyileútirmek üzere bulanık mantık tabanlı bir yöntem geliútirilmiútir. Önerilen yöntemde parametre iyileútirmesi, iki adet bulanık mantık mekanizması ile hata ve hatanın de÷iúimini kullanarak çevrim içi yapılmaktadır. Bulanık mekanizmalardan ilki integral parametresi için oluúturulmuú, di÷er mekanizma ise oran ve türev parametrelerinin her ikisini de iyileútirmeyi amaçlamaktadır. øyileútirme mekanizmalarında, her bir kontrolör parametresi için farklı çıkıú ölçekleme çarpanları kullanılmıú ve bu çarpanlar bir arama algoritması yardımıyla belirlenmiútir. Daha sonra, bu çarpanların birinci mertebeden ölü zamanlı sistem parametreleri olan sistem zaman sabiti ve gecikmesine ba÷lı olarak belirlenen bir büyüklük olan “kontrol edilebilirlik oranına” ba÷lanabilece÷i düúünülmüútür. Buradan yola çıkılarak, benzer kontrol edilebilirlik oranına sahip sistemler için genetik algoritma ile yapılan aramalarda çıkıú ölçekleme çarpanlarının benzer oldu÷u görülmüú ve bu çarpanlar farklı kontrol edilebilirlik oranları için ifade edilmiútir. Bu sayede farklı her sistem için çıkıú ölçekleme faktörlerinin aratılması problemi çözülmüútür. Ayrıca, yüksek mertebeli sistemlerin ölü zamanlı birinci mertebeden sistemlere indirgenebilmeleri nedeniyle, belirlenen çıkıú ölçekleme çarpanları ve bulanık mantık tabanlı iyileútirme mekanizmasının yüksek mertebeden sistemlerim PID baúarımını artırmak için de kullanılabilece÷i görülmüútür.
Önerilen yöntem, farklı sistem yapıları için tezde anlatılan di÷er yöntemler ile karúılaútırılmıútır. Yapılan karúılaútırmalarda, önerilen yöntemin baúarımının di÷er yöntemlerden daha iyi oldu÷u görülmüútür.
IMPROVEMENT OF ZIEGLER-NICHOLS PID PARAMETERS WITH FUZZY-BASED CONTROLLER
SUMMARY
PID Controllers are one of the most commonly used controllers owing to their simple design and ease of use. Though many control algorithms have been developed, they are still commonly used in industry especially for the systems that do not require high performance. There are many design methods in literature in order to determine constant PID controller parameters. Ziegler-Nichols frequency and step response method, refined Ziegler-Nichols, Cohen-Coon and Åström-Hägglund method, which are the most popular ones, are included in this thesis.
Researchers focused their attention on online tuning methods for PID parameters, since constant parameters did not response adequately to the changes affecting the system or changes in the design. One of the online recovery methods for PID controller parameters is Augmented Ziegler-Nichols method which improves the Nichols PID frequency response method parameters. In this method, Ziegler-Nichols parameters are improved online by some heuristic rules through an online gain modifying factor which is a function of error and change of error. It is stated in the research that this method is well-done for second or high-order processes.
In this study, a fuzzy logic based method is developed to improve the PID controller parameters for both Ziegler-Nichols step response and frequency response methods. In the proposed method the parameter improvement is carried out in an on-line manner via two fuzzy logic mechanisms which use the error and the change of error together. One of fuzzy logic mechanisms is developed for integral parameter and the other one aims to improve both proportional and derivative parameters. In the improvement mechanisms different output scaling factors are used for each controller parameter and they are determined by a search algorithm. Later in the study, it has been thought that, these scaling factors can be determined dependent to “controllability ratio” which is a quantity determined by the first order plus dead time process parameters which are system time constant and time delay. Accordingly, searches have been done on different systems with similar controllability ratios by genetic search algorithm and it has been seen that the output scaling factors of the fuzzy logic based improvement mechanisms are similar and they can be expressed for different controllability ratios. Thus, the problem of searching the output scaling factors for every system is solved. It has also been observed that the proposed output scaling factors and the fuzzy logic mechanism can also be used to improve PID performance of high order systems, since high order systems can be reduced to first order plus dead time systems.
The proposed method hereby is compared with other control methods mentioned in the research onvarious systems. As a result of the comparisons, it is suggested that the proposed method is performs better than the others.
1. GøRøù
Sistemler belirli görevleri yerine getirmek amacıyla tasarlandıkları için, tasarlanacak sistemden hangi görevlerin beklendi÷i ve bu görevleri hangi do÷rulukta ve sürede yapmaları konusu önemlidir. Belirli bir amaç için tasarlanacak olan sistemin tasarım aúamasında, sistemin baúarımını etkileyecek olan ölçütlerin bilinmesi ve bunların tasarım süresince sisteme uygulanması gerekir. Tasarım ölçütleri ço÷unlukla sistemin ne yapması gerekti÷ini belirtmek ve nasıl yaptı÷ını de÷erlendirmek için kullanılır. Genellikle sistemin kararlı olması ve çıkıú de÷iúkeninin, giriú de÷iúkeninin de÷iúmesi durumunda, bu de÷iúikli÷i yakından izlemesi, sistemlerden beklenen davranıúların sistem parametrelerindeki de÷iúimler ve bozucu iúaretlerden etkilenmemesi istenir [1]. Bu amaçla çeúitli kontrol yapı ve stratejileri önerilir.
Hiç úüphesiz ki geri beslemeli kontrol denildi÷inde akla ilk olarak PID kontrolörleri gelir. PID kontrolör yapısının, Albert Callender ve Allan Stevenson tarafından 1939 yılında patenti alınmıútır. PID kontrolörler, önceki elle ve otomatik kontrol yöntemleri üzerinde büyük bir geliúmedir. Kontrol kuramı ve teknolojisindeki büyük geliúmelere ra÷men, endüstride PID kontrolörler hala yaygın olarak kullanılmaktadır. Günümüzde, kontrol çevrimlerinin %90’dan fazlası PID kontrolördür [2]. Elbette bunun bazı nedenleri bulunmaktadır:
1. PID kontrol algoritmasının çok basit bir yapıya sahip olmasına ra÷men oldukça baúarılı sonuçlar vermesi,
2. Maliyet/fayda oranın çok düúük olması,
3. Basit yapısı sayesinde kullanıcılar tarafından kolayca anlaúılması,
4. Tek baúına bir sistem olarak da piyasada bulunabildi÷i gibi rahatlıkla gömülü sistemlere algoritma olarak da entegre edilebilmesi,
5. Halen PID kontrolörüne ait parametrelerin ayarlanmasına iliúkin birçok de÷iúik yöntemin geliútirilmesi, geliútirmeye açık bir yöntem olması.
Bir PID kontrolörü, süreç de÷iúkeni ve istenilen de÷er arasındaki farktan bir “hata” de÷eri hesaplar. Kontrolör de, süreç kontrol giriúlerini ayarlayarak bu hatayı
minimize etmeye çalıúır.PID kontrolör algoritması üç ayrı sabit parametreyi (bu nedenle bazen üç-terimli kontrol de denir), oransal (P), integral (I) ve türev (D) de÷erlerini içerir. Sezgisel olarak, bu de÷erler zaman terimi açısından yorumlanırsa, P úimdiki zaman hatasına, I geçmiúteki hataların birikimine ve D ise gelecekteki hataların tahminine dayanır. Bu üç hareketin a÷ırlıklı toplamı, kontrol elemanı ile süreci ayarlamada kullanılır.
Sürecin altında yatan bilgi eksikli÷inde, PID en iyi kontrolördür. PID nin üç parametresi ayarlanarak, kontrolör süreç ihtiyaçlarına özel kontrol hareketi tasarlanabilir. PID kontrolörler, süreç kontrol, motor sürücüleri, manyetik ve optik belleklerde, otomotiv, uçuú kontrol, enstrümantasyon gibi çok sayıda problemde kullanılır [2].
PID kontrolörün tasarımında en önemli unsur PID parametrelerinin ayarlanmasıdır. PID parametrelerini sezgisel olarak ayarlamak zaman alabilece÷i gibi tehlikeli de olabilmektedir. Bu nedenle literatürde birçok PID parametrelerini ayarlama yöntemleri bulunmaktadır [3-9].
Ancak, PID kontrolörleri bütün kontrol problemlerine karúı genel bir çözüm sa÷layamamaktadır. Zaman gecikmesine ve do÷rusal olmayan özelliklere sahip, karmaúık, zamanla de÷iúen sistemler karúılaúılabilecek bu tür problemlere örnek olarak verilebilir. Bir proses analitik modellerle ifade edilemeyecek kadar karmaúık bir yapıya sahip ise o zaman bu sistemin klasik yaklaúımlar ile etkili biçimde kontrol edilebilmesi imkansız hale gelmektedir.
PID kontrolör tasarımında ilk çalıúmalar [9], Ziegler-Nichols yöntemleri gibi do÷rusal ve sabit parametreler bulmaya yönelikken, geliúmeler çalıúmaları çevrim içi katsayı ayarlama yöntemine yöneltmiútir. Bunun sebebi sabit katsayıların, sistemdeki de÷iúikliklere karúı yeterli dayanıklılı÷ı gösterememesidir. Buradan yola çıkan araútırmacılar, PID parametrelerini çevrim içi ayarlamaya yönelmiútir [10]. Sistemleri tanımlamak ve kontrol etmek için kesin yargılar ço÷u zaman yetersiz kalmaktadır. Günümüzde bilimin amacı akıllı insan zekasına daha benzer sistemler geliútirmektir. Bu nedenle kontrol sistemlerinde kullanılan klasik mantık bu amaç için yetersiz kalmaktadır. Çünkü klasik mantık, olayları var ya da yok olarak de÷erlendirir. Klasik mantıkta tanımlanan kesin ve ayrık ifadeler; 1-0, siyah-beyaz úeklindedir. øfadeler, insan düúünce sisteminde bu kadar katı kurallarla tanımlanmaz.
Bu tanımlardan yola çıkan, California Berkeley Üniversitesinden Prof. Lotfi Zadeh 1965 yılında klasik Aristo mantı÷ına alternatif olarak Bulanık Mantık teorisini tanımlamıútır [6]. Bilgisayar mantı÷ındaki kesinli÷in yerine insan düúünce sisteminde bulunan belirsizliklere göre matematiksel bir yöntem olarak bulanık mantı÷ı sunmuútur. Bulanık mantı÷ın amacı bilgisayarın insan gibi düúünmesini sa÷lamak amacıyla insan ile bilgisayar arasındaki engeli ortadan kaldırmaktır [7]. Örne÷in, klasik mantı÷a göre bir odanın sıcaklı÷ını tanımlarken, 30 derece ve üstü için sıcak, altı için so÷uk tanımı yapılıyorsa, 29 derece sıcaklık, so÷uk olarak tanımlanır. Oysa bulanık mantık, odanın ne kadar sıcak oldu÷u tanımlar. Klasik mantık gibi sıcaklık de÷erine sıcak(1) ya da so÷uk (0) gibi kesin de÷erler vermez. 0.1, 0.2, 0.3,…. Gibi daha hassas ve esnek de÷erler verir. Böylece 29 derece sıcaklı÷a “0” de÷eri yani “so÷uk” yerine, 0.4 gibi bir sıcaklıktadır denmektedir. øúte bu esneklik sayesinde bulanık mantık uygulandı÷ı her sahada daha hassas uygulamalara imkan sa÷lamaktadır.
Klasik mantık karmaúık dinamik modeller gerektirdi÷i halde bulanık mantık daha çok deneyimlere dayalı, fazla ayrıntı olmayan modellerle çalıúır. Bulanık mantık kontrolör direkt sisteme uygulanabilece÷i gibi baúka kontrolörlere entegre olarak da çalıúabilmektedir. Bu bilgilerin ıúı÷ında, bu çalıúmada, PID parametrelerini sistem hatası ve hata de÷iúimine göre parametrelerin nasıl davranması gerekti÷ine dair deneyimlere dayalı bir kontrolör tasarımı yapılmıútır. Yukarıda da belirtildi÷i gibi deneyimlere dayalı bir kontrolör denildi÷inde ilk akla gelen yöntem bulanık mantık yöntemidir.
Bu çalıúmada, PID parametrelerini çevrim içi ayarlama fikriyle, deneyimlere dayalı bir parametre ayarlama yöntemi geliútirilmesi amaçlanmıútır. Bu amaçla, Ziegler-Nichols PID parametrelerini iyileútiren bulanık mantık tabanlı yeni bir yöntem geliútirilmiútir. Öne sürülen yöntem, hata ve hatanın de÷iúimini birlikte ele alarak, Ziegler-Nichols kontrolör parametrelerini bulanık mantık tabanlı olarak çevrim içi iyileútirmektedir. Yöntem, Ziegler-Nichols basamak yanıtı ve frekans yanıtı yöntemlerinin her ikisine de uygulanmıútır. Parametre iyileútirmesi, iki adet bulanık mantık mekanizması ile yapılmaktadır. Bu mekanizmalardan ilki integral parametresi için oluúturulmuútur. Di÷er mekanizma ise davranıú biçimleri bakımından benzer olmaları sebebiyle oran ve türev parametrelerinin her ikisini de iyileútirmeyi amaçlamaktadır. Söz konusu iyileútirme mekanizmalarında, her bir parametre için
ayrı çıkıú ölçekleme çarpanı kullanılmıú ve bu çarpanlar bir arama algoritması yardımıyla belirlenmiútir. Daha sonra, bu çarpanların birinci mertebeden ölü zamanlı sistemler için, sistem zaman sabiti ve gecikmesine ba÷lı olarak belirlenen bir büyüklük olan “kontrol edilebilirlik oranına” ba÷lanabilece÷i düúünülmüútür. Buradan yola çıkılarak, eúit kontrol edilebilirlik oranına sahip sistemler için genetik algoritma ile yapılan aramalarda çıkıú ölçekleme çarpanlarının benzer oldu÷u görülmüú ve bu çarpanlar farklı kontrol edilebilirlik oranları için ifade edilmiútir. Bu sayede farklı her sistem için çıkıú ölçekleme faktörlerinin aratılması problemi çözülmüútür. Ayrıca, yüksek mertebeli sistemlerin ölü zamanlı birinci mertebeden sistemlere indirgenebilmeleri nedeniyle, belirlenen çıkıú ölçekleme çarpanları ve bulanık mantık tabanlı iyileútirme mekanizmasının yüksek mertebeden sistemlerim PID baúarımını artırmak için de kullanılabilece÷i görülmüútür.
Buna göre, tezin ikinci bölümünde çalıúmada kullanılan bulanık mantık kontrolör göz önüne alınarak, bulanık mantıkla ilgili olarak genel bir açıklamaya yer verilmiútir.
Tezin üçüncü bölümünde ise de÷iúik sistem modelleri ve davranıú biçimleri incelenip sistemlerin genel özellikleri açıklanmıútır.
Tezin dördüncü bölümünde, PID kontrolör yapısından bahsedildikten sonra önerilen yöntemin iyileútirdi÷i Ziegler-Nichols tasarım yöntemleri baúta olmak üzere bazı klasik tasarım yöntemleri hakkında genel bilgi verilmiútir.
Klasik PID tasarım yöntemlerinin ardından, tezin beúinci bölümde ise önce PID parametrelerini ayarlama yöntemlerinden, Ziegler-Nichols frekans yanıtı yönteminin belirledi÷i parametreleri iyileútiren Arttırılmıú Ziegler-Nichols yöntemi açıklanmıútır. Bu ayarlama yönteminin ardından önerilen yöntem açıklanmıútır. Önerilen yöntemle ilgili olarak, önce Ziegler-Nichols PID parametrelerini bulanık mantık tabanlı iyileútirilmesi açıklanmıú ardından bulanık düzenleyicinin çıkıú ölçekleme çarpanlarının sistem parametreleri cinsinden ifade edilmesine yer verilmiútir.
Tezin altıncı bölümünde yapılan benzetim çalıúmalarında önerilen yöntem, frekans yanıtını kullanan yöntemler ve basamak yanıtını kullanan yöntemlerle karúılaútırılmıútır.
Sonuç bölümünde ise yapılan benzetimlerden yola çıkılarak çalıúmada ele alınan yöntemler, performans kriterlerine göre incelenmiú, yapılan karúılaútırmalarda önerilen yöntemin di÷er yöntemlere göre iyi bir sonuç verdi÷i belirtilmiútir.
2. BULANIK MANTIK
ølk olarak 1965 yılında California Üniversitesi ö÷retim üyelerinden, aslen Azerbaycanlı, Prof. Lotfi A. Zadeh tarafından bir makaleyle ortaya atılmıú ve hızla geliúerek birçok bilim adamının ilgisini çeken, araútırmaya açık yeni bir konu olmuútur. Bulanık küme kuramının ortaya atılmasından sonra Zadeh, bulanık küme kuramının en iyi yaklaúıklıkla insanın karar verme sistemini modelleyebilecek yapıda oldu÷u fikrini ileri sürmüútür. 1973 yılında “Kompleks Sistemlerin ve Karar Verme øúlemlerinin Analizine Yeni Bir Yaklaúım” adıyla, bulanık kontrolün temelini atan bir makale yayınlamıútır. Burada dilsel de÷iúkenleri ve insan bilgisini formüle etmek için EöER-øSE kurallarını kullanmayı önermiútir. Bunun üstünden geçen zamanla birlikte bulanık kontrolün dayandı÷ı mantı÷ın, insan düúünme yapısına ve dilsel de÷iúkenlerine klasik mantıktan çok daha yakın oldu÷u kabul edilmiútir [6].
Do÷ada ve sistemleri genel davranıúlarında hiçbir zaman bir kesinlikten söz edilemez. Bir durum hakkındaki gözlemlerin insanlar tarafından açıklanması derecelendirme içermektedir. Bir kiúinin boy uzunlu÷u, mevsimlerin hava úartları, ortamın sıcaklı÷ı, gün içerisindeki aydınlık karanlık özellikleri vb. gözlemler insanlar tarafından çeúitli sıfatların yardımıyla açıklanmaktadır. Bunlar çok uzun, sert kıú, ılık hava ve zifiri karanlık úeklinde örneklenebilir.
Hal böyle iken, bu kadar belirsiz bir úekilde seyretmekte olan iúleyiú klasik Aristo mantı÷ındaki gibi kesin bir ayrımda tanımlanamamakta veya tanımlanması pek gerçekçi olmamaktadır.
øúte herhangi bir sistem ya da olayın kesin yargılar yerine derecelerle ifade edilmesine bulanık mantık denilmektedir.
Literatürde bulanık mantık için úu açıklamalar yapılmaktadır [8]:
• Gerçek dünya, kesin ve net açıklamalar yapılamayacak kadar karmaúıktır ve bu sebeple bulanık olarak tarif edilmesi gereklidir.
• Gerçek sistemler için bilgi kaynakları insan tecrübesi, algılayıcı ölçümleri ve fiziksel kanunlardan çıkarılan matematiksel modellerdir. Bir sistem tasarlanırken bütün bu bilgi kaynaklarını kullanmak gereklidir. Bu sebeple insan bilgi ve tecrübesinin nasıl sayısallaútırılaca÷ı önemli bir problemdir.
2.1 Bulanık Sistemler
Bulanık sistemlerin çok büyük kısmı, EöER – O HALDE kuralları aracılı÷ıyla tanımlanmıútır. Bu tür sistemler, “kural tabanlı bulanık sistemler” olarak adlandırılır. Bulanık bir sistemdeki temel birimler ùekil 2.1’de gösterildi÷i gibidir.
ùekil 2.1 : Bulanık kontrol sisteminin genel yapısı.
En basit bulanık sistemin ana yapıları bulanık kural tabanı ve çıkarım mekanizmasıdır. Kural tabanında, bulanık EöER – O HALDE kuralları bulunur. Kural tabanı ve çıkarım mekanizmasından oluúan temel bulanık sistemin yapısı bulandırıcı ve durulayıcı adı verilen iki birim daha içerir. Burada bulanıklaútırma birimi girdileri bulanık veriler biçimine dönüútürmektedir. Bu kısımda üyelik fonksiyonları kullanılmaktadır. Bulanık çıkarım motoru ise sürekli olarak bilgi tabanıyla bir alıú veriú içerisinde bulunmaktadır. Bilgi tabanı, kural tabanı ve veri tabanı olmak üzere iki kısımdan oluúmaktadır. Çıkarım motoru karar verme iúlemini gerçekleútirirken, bilgi tabanına giderek oradan üyelik fonksiyonları ile ilgili bilgileri kural tabanından ve de÷iúik giriú de÷erleri için tespit edilmiú çıkıú bilgisini de kural tabanından almaktadır. Çıkarım motorunda bulanıklaútırma biriminden gelen bulanık girdiler, bilgi tabanının da yardımıyla yorumlanarak bulanık çıktı de÷erlerine dönüútürülmektedir. Fakat kontrol edilmesi istenen sistem kesin sayısal bilgiler isteyece÷inden, burada durulaútırma birimi devreye girerek bulanık çıktıları sayısal bilgilere dönüútürmektedir.
2.2 Bulanık Kural Tabanları
ønsan bilgi ve tecrübelerinin bir takım kurallarla iúlenerek denklemleútirilmesi yoluyla oluúturulan da÷arcı÷a kural tabanı denilmektedir. Girdi ve çıktılar, “EöER öncül kısım øSE çıkarım kısmı” úeklinde modellenerek sistem tanımlanmaktadır. Bu modellemede öncül veya çıkarım kısımları sayısal veya sözel bilgiler olabilir.
2 giriúli ve 1 çıkıúlı bir sistem için aúa÷ıdaki kurallarla bir kural tabanı oluúturmak mümkündür:
ܧ;ܧܴݔଵ ൌ ܣଵݒ݁ݔଶ ൌ ܤଵGܵܧݕ ൌ ܥଵ (2.1)
ܧ;ܧܴݔଵ ൌ ܣଵݒ݁ݔଶ ൌ ܤଶGܵܧݕ ൌ ܥଶ (2.1)
ܧ;ܧܴݔଵ ൌ ܣଶݒ݁ݔଶ ൌ ܤଵGܵܧݕ ൌ ܥଷ (2.3)
ܧ;ܧܴݔଵ ൌ ܣଶݒ݁ݔଶ ൌ ܤଶGܵܧݕ ൌ ܥସ (2.4)
Elde edilen bulanık model, bulanık kuralların türüne göre adlandırılır. Bulanık önermede sonuç ifadesinin yapısına göre bulanık kural tabanı dört farklı yapı oluútururlar:
i. Mamdani tipi bulanık kurallar,
ii. Tekli (singleton) tip bulanık kurallar, iii. Takagi-Sugeno tipi bulanık kurallar, iv. Tsukamoto tipi bulanık kurallar.
Bu çalıúmada sadece Mamdani tipi kural yapısı incelenecektir. 2.2.1 Mamdani tipi bulanık kural tabanı
Bu tip “E÷er – O Halde” bulanık kurallar bilgiyi yarı-niteliksel olarak içerirler. Bu kurallar Bu kural tabanındaki kurallarda girdi ve çıktılar bulanık olarak tanımlanmaktadır.
Burada ݔ giriú (öncül) dilsel de÷iúken ve ܣ෪ ‘ler ise öncül dilsel terimlerdir. Benzer úekilde ݕ, çıkıú (sonuç) dilsel de÷iúken ve ܤ෪’ler ise, sonuç dilsel terimlerdir. Kurallarda yer alan ݔሺȀݕሻ dilsel de÷iúkenlerinin de÷erleri ve ܣ෪ሺȀܤ ෪ሻ dilsel terimleri kendi bölgelerinde tanımlı bulanık kümeleridir:
ݔ א ܺ ؿܴݕ א ܻ ؿܴ (2.6)
Öncül (/sonuç) bulanık kümelerine iliúkin üyelik fonksiyonları
ߤሺݔሻǣ ܺ ՜ ሾͲǡͳሿǡ ߤሺݕሻǣ ܻ ՜ ሾͲǡͳሿ (2.7)
ùeklinde dönüúümlerdir. ܣ෪ bulanık kümeleri, iliúki sonuç önermelerinin geçerli oldu÷u öncül uzaydaki bulanık bölgelerdir. ܣ෪ ve ܤ ෪ dilsel de÷iúkenleri genellikler daha önceden tanımlanmıú KÜÇÜK, ORTA, BÜYÜK, NEGATøF, POZøTøF gibi terimlerden seçilir. Bu kümeler, A ve B ile gösterilirse ܣ෪ ve ܤ ෪’ler, ܣ ෪ A ve ܤ ෪ B úeklinde ifade edilebilir.
3. DEöøùøK SøSTEM MODELLERø VE DAVRANIù BøÇøMLERø
Bu bölümde tezde kullanılan sistemlerin genel davranıúları ve sistem parametreleri incelenmiútir.
3.1 Birinci Dereceden Sistemlerin Zaman Tanım Bölgesi Davranıúları Birinci dereceden ölü zamanlı bir sistem bir sistem úu úekilde gösterilebilir
ܩሺݏሻ ൌܶݏ ͳ ݁ܭ ି௦ (3.1)
Burada; T sistemin zaman sabitidir. Verilen bu sistemin kompleks kutbu olmamakla birlikte; birim basamak cevabı genel olarak “S” úeklinde olmaktadır. L ise ölü zamanı gösterir.
Çıkıúa ba÷lı olarak, giriúe bir basamak uygulandı÷ında zaman sabiti T ve L kadar zaman gecikmeli (ölü zamanlı) birinci mertebeden yaklaúık bir süreç elde edilmiú olunur.
T ve L de÷erleri aúa÷ıdaki anlık zamanların ilk kayıtlarıyla elde edilir; t0 = Step giriúi baúlatıldı÷ındaki zaman
t2 = Yarı noktasına ulaútı÷ındaki zaman
t3 = %63.2 noktasına ulaútı÷ındaki zaman
ùekil 3.1’de gösterilen basamak testiyle ölçülen; t0, t2, t3, A ve B de÷erleri kullanılarak, aúa÷ıdaki süreç parametreleri hesaplanır.
ݐଵ ൌ ሺݐଶ െ ሺʹሻ ݐଷሻȀሺͳ െ ሺʹሻሻ (3.2)
ܶ ൌ ݐଷ െ ݐଵ (3.3)
ܮ ൌ ݐଵെ ݐ (3.4)
ùekil 3.1 : Basamak testi uygulanan sistemin yanıtı.
K, T ve L parametrelerine ba÷lı olarak birinci dereceden ölü zamanlı sistemin transfer
fonksiyonu bulunmuú olur.
Birinci mertebeden sistemi basamak cevabı yönteminden elde etmenin di÷er bir yolu ise,
ùekil 3.2 : Birinci mertebeden ölü zamanlı sistemin basamak cevabı. Modelin birim basamak yanıtının (ùekil 3.2) tanım bölgesi fonksiyonu,
( )
( ) (1 t L T)
y t K e− −
= − (3.6)
ile verilir. Bu eúitlikten sistemin ortalama yerleúme zamanını hesaplarsak
0 ( ( ) ( )) ar y y t dt T L T K ∞ ∞ − = = +
³
(3.7) 1 0≤τ
≤ özelli÷ine sahipar T L T L L = + = τ (3.8)
bu oran 0 IJ 1, kontrol edilebilirlik oranı olarak adlandırılır. Bu nicelik, bir sürecin kontrol edilebilirli÷inin kolaylı÷ını ya da zorlu÷unu tanımlamak için kullanılabilir. Bir genelleme yapılamak istenirse, küçük τ de÷erine sahip süreçlerin kontrol edilmesinin kolay oldu÷u ve τ arttıkça sistemin kontrolündeki zorlu÷un arttı÷ı bulunmuútur [1].
Yukarıda belirtildi÷i gibi kontrol edilebilirlik oranı bize sistemin kontrol zorlu÷u açısından genel bir bilgi verdi÷i söylenebilir.
Bir sistemde kullanılacak kontrolör ve kontrol ayarlarının seçimine etki eden; sistemin bir basamak giriú karúısında gösterdi÷i yanıt e÷risinden ortaya çıkan zaman gecikmesi (veya tüm sistemin zaman sabiti) T ile ölü zaman gecikmesi L olmak üzere iki önemli parametre bulunmaktadır. Bunlar, e÷er ölü zaman gecikmesi L, sistemin zaman sabiti T'den çok küçük kalıyorsa böyle bir sistem; P, PI veya PID tipi kontrolörlerinden birisi ile kolaylıkla kontrol edilebilir. E÷er, buna karúılık ölü zaman gecikmesi, L sistemin zaman sabiti yanında önemsenmeyecek kadar küçük de÷ilse, böyle bir sistem tek bir kontrolör ile kolaylıkla kontrol edilemez. Bu konuda ileri sürülebilecek genel kurallar aúa÷ıdaki úekilde ifade edilebilir.
*T/L>=10 ise : Sistem tek döngülü bir kontrolör ile kontrol edilebilir. * T/L =6 ise : Tek bir kontrolör döngüsü ile kontrol edilmesi güçtür.
* T/L =3 ise: Sistem yalnızca karmaúık kontrolör döngüleri ile kontrol edilebilir [11].
3.2 økinci Dereceden Sistemlerin Zaman Tanım Bölgesi Davranıúı
økinci dereceden bir geri beslemeli standart sistemin açık çevrim geçiú fonksiyonu úu úekilde ifade edilebilir:
ܩሺݏሻ ൌ߱ ߱ଶ
ଶݏଶ ʹߞ߱ݏ ߱ଶ݁
ି௦ (3.9)
Burada; Ȧ do÷al frekans, ȗ sönüm oranı olarak tanımlanmıútır. Verilmiú sistemin karakteristik denklemi:
ȟሺݏሻ ൌ ߱ଶݏଶ ʹߞ߱ݏ ߱ଶ ൌ Ͳ (3.10)
Sisteme birim basamak giriú fonksiyonu için çıkıú yanıtı;
ݕሺݐሻ ൌ ͳ െ ݁ିఠ
ඥͳ െ ߞଶݏ݅݊ ቀ߱ඥͳ െ ߞଶݐ ܿݏିଵߞቁǡ ݐ Ͳ (3.11)
úeklinde elde edilir. Karakteristik denklemin kökleri Ȧ ve ȗ de÷erlerine ba÷lıdır. Tanımlanan ifadelerden sönüm oranının sistemlerin kararlılık analizinde önemi büyüktür. Çünkü sistemin kutupları sönüm oranına ba÷lı olarak imajiner eksene yaklaúmakta veya uzaklaúmaktadır. Bu durum da sistem için kritik kararlılı÷ı söz konusu yapmaktadır. ùekil 3.3’te (3.11) iliúkisiyle verilen birim basamak yanıtının zamana göre çizimleri verilmiútir. Görüldü÷ü gibi ȗ’nın de÷eri azaldıkça yanıt gittikçe daha aúımlı ve salınımlı hale gelir. ȗ 1 için, basamak yanıtında bir aúım görülmez; buna göre y(t) yanıtı son de÷erini hiçbir zaman aúmaz. Ancak kritik kararlılıkta sistemin kutuplarının bulundu÷u konum sistemin kararlılı÷ının dıú etmenlere ba÷lı olarak bozulabilece÷i bir yerdir. Etkiler ile sistemin kutupları imajiner eksenin sa÷ tarafına kayabilir ve bu da sistemi kararsız hale getirir.
økinci mertebeden örnek sistemde, ȗ ve Ȧn sistem parametrelerinin basamak yanıtına
etkisi karakteristik denklem kökleri cinsinden ifade edilebilir.
ݏଵǡ ݏଶ ൌ െߞ߱േ ݆߱ඥͳ െ ߞଶ ൌ െߙ േ ݆߱ (3.12)
ߙ ൌ ߞ߱ (3.13)
߱ ൌ ߱ඥͳ െ ߞଶ (3.14)
Olarak tanımlanmıútır. Yukarıda (3.13)’deki Į, sistemin sönümünü ifade eder ve bu nedenle sönüm çarpanı ya da sönüm sabiti olarak adlandırılır. Į‘nın tersi 1/Į, sistemin zaman sabiti ile orantılıdır.
Karakteristik denklemin iki kökü eúit ise sisteme kritik sönümlü denir. (3.12) iliúkisinde görüldü÷ü gibi kritik sönüm ȗ=1 için gerçekleúir. Bu durumda da sönüm oranı basitçe Į=Ȧn‘dir. Bu nedenle ȗ sönüm oranı olarak de÷erlendirilebilir:
ߞ ൌ߱ߙ ൌ
݃݁ݎ݁݇ݏÚ݊ò݉ܽݎܽ݊Ç
݇ݎ݅ݐ݅݇ݏÚ݊ò݉݀݁ݏÚ݊ò݉ܽݎܽ݊Ç (3.15)
økinci dereceden bir sistem üzerinde sönüm oranının etkisi ùekil 3.3’te görülmektedir. Grafikten de görüldü÷ü gibi sistemin birim basamak yanıt e÷rileri sönüm oranına ba÷lı olarak bariz farklılıklar göstermektedir. øncelenen sistemde kolaylık açısından Ȧn = 1 alınmıútır.
ùekil 3.3 : 2. mertebeden bir sistemde sönüm oranının birim basamak cevaba etkisi. Sönüm oranının artması sistemin cevabını sıfıra yaklaútırırken; sönüm oranının azalması ise sistemin osilasyona gitmesine neden olmaktadır.
økinci mertebeden sistemlerin transfer fonksiyonunu grafik üzerinden belirleyebilmek için sistemlerin geçici durum cevabı tanımları kullanılabilmektedir. Ȧn sabit tutularak, ȗ de÷erine ba÷lı olarak, sistem dinami÷inde aúa÷ıdaki
sınıflandırmalar yapılabilir: 0 < ȗ <1 ĺ Az sönümlü ȗ =1 ĺ Kritik sönümlü ȗ >1 ĺ Aúırı sönümlü ȗ =0 ĺ Sönümüz ȗ < 0 ĺ Negatif sönümlü
Genel olarak bir kontrol sisteminin birim basamak fonksiyonuna iliúkin çıkıúı ùekil 3.4’te gösterilmiútir. Bu de÷iúime iliúkin önemli bazı tanım verileri aúa÷ıda açıklanmıútır.
ùekil 3.4 : Lineer kontrol sisteminin birim basamak fonksiyonuna iliúkin y(t) çıkıúının de÷iúimi ve önemli bazı zaman domeni verileri.
1. Aúım (ya da Tepe De÷eri) (%ÜA) : Birim basamak giriúine iliúkin çıkıúın, bunun son de÷erinden olan en büyük ayrılmasıdır. ùekil 3.4’te bu de÷er “En Büyük Aúım” (%ÜA) olarak gösterilmiútir. Yüzde olarak, aúım;
Ψoܣ ൌ ͳͲͲܥ௫ܥ௦െ ܥ௦ൌ ͳͲͲܥ௫ͳെ ͳൌ ሺoܣሻͳͲͲ (3.16)
dır. Aúıma eriúmek için, kontrol sisteminin harcadı÷ı zaman tmax dır.
Sönüm oranı ile aúım arasındaki iliúki, (3.11) denkleminin t’ye göre türevi alınıp elde edilen sonuç sıfıra eúitlenerek, türetilebilir. Buna göre
݀ݕሺݐሻ
݀ݐ ൌඥͳ െ ߞ߱ ଶ݁ିఠݏ݅݊߱ඥͳ െ ߞଶݐǡ ݐ Ͳ (3.17) dy(t)/dt sıfıra eúitlenirse çözüm olarak t = ve
߱ඥͳ െ ߞଶݐ ൌ ݊ߨǡ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ ǥ (3.18)
Elde edilir, sonuncu iliúki
ݐ ൌ ݊ߨ
߱ඥͳ െ ߞଶݐǡ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ ǥ (3.19)
De÷erlerini verir. t= çözümü, y(t)’nin sadece ȗ 1 için maksimumdur. ùekil 3.3’te verilen birim basamak yanıtlarından en büyük aúımın ilk aúım oldu÷u görülür. Bu (3.19) iliúkisinde n=1‘e karúı düúer. Buna göre en büyük üst aúım oldu÷u zaman,
ݐ௫ ൌ ߨ
ɘ୬ඥͳ െ ߞଶ
(3.20)
Olarak elde edilir.
En büyük aúım, n = 1 için,
òòçÇ ൌ ݕ௫െ ͳ ൌ ݁ିగȀඥଵିమ
(3.21)
Ve yüzde en büyük aúım
òòòçÇ ൌ ͳͲͲ݁ିగȀඥଵିమ
(3.22)
Olarak hesaplanır.
2. Gecikme Zamanı (td) : Birim basamak giriúine iliúkin çıkıúın son de÷erinin %50
sine ulaúıncaya kadar geçen zamandır.
ݐௗ ؆ͳ ͲǤߞ߱ ǡ Ͳ ൏ ߞ ൏ ͳ (3.23)
ùeklinde yaklaúık ifade edilmiútir. E÷er td için, ikinci mertebeden bir e÷riden
yararlanılırsa, daha iyi bir yaklaúık ifade
ୢ؆ͳǤͳ ͲǤͳʹͷɃ ͲǤͶͻɃɘ୬ ଶǡ Ͳ ൏ Ƀ ൏ ͳ (3.24)
Olarak verilebilir.
3.Yerleúme (Oturma) Zamanı (ts) : Birim basamak fonksiyonuna iliúkin çıkıúın son
de÷erinin belli bir yüzdesine gelmesi ve o de÷er içinde kalması için geçen zamandır. Bu de÷er ço÷u zaman %95 olarak alınır.
Yerleúme zamanı ts’nin tam analitik ifadesini bulmak zordur. 0 < ȗ < 0.69 için
y(t)’nin üst zarfı 1.05 de÷erine ulaútı÷ı zaman ts’ye karúı düúürülürse
ͳ ͳ
ඥͳ െ Ƀଶିன୲౩ ൌ ͳǤͲͷ (3.25)
Benzer úekilde, için y(t)’nin alt zarfı 0.95 de÷erine ulaútı÷ı zaman ts’ye karúı
ͳ െ ͳ
ඥͳ െ Ƀଶିன୲౩ ൌ ͲǤͻͷ (3.26)
E÷er (3.25) denklemi Ȧnts’ye göre çözülürse
߱ݐ௦ ൌ െͳߞ ሺͲǤͲͷඥͳ െ Ƀଶሻ (3.27)
Bulunur. ȗ ‘nın de÷eri 0 ile 0.69 arasındaki (3.27) ifadesinin sa÷ tarafı 3.0 ile 3.32 arasında yer alır. Buna göre ikinci mertebeden örnek sistemde yerleúme zamanı yaklaúık
ݐ௦ ؆ ߞ߱͵Ǥʹ
ǡͲ ൏ Ƀ ൏ ͲǤͻ (3.28)
Olarak ifade edilebilir. Küçük ȗ de÷erleri için (<0.3) zayıf bir yaklaúıklık söz konusudur.
Sönüm oranı ȗ’nın 0.69’dan büyük olması halinde birim basamak yanıtı her zaman 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye alttan giriú yapar. Özellikle ȗ > 0.69 için aúa÷ıdaki yaklaúık ts ifadesi kullanılabilir.
ݐ௦ ؆ସǤହఠ ǡɃ ͲǤͻ (3.29)
Olarak ifade edilir.
4.Yükselme Zamanı (tr) : Birim basamak fonksiyonuna iliúkin çıkıúın son de÷erinin
%10‘undan %90‘nına yükselmesi için geçen zamandır.
ȗ’nın belirli sınır bir bölgesi için bir do÷rusal yaklaúık ifade verilebilir;
ݐ ؆ ͲǤͺ ʹǤͷߞ߱
ǡ Ͳ ൏ ߞ ൏ ͳ (3.30)
ùeklinde yaklaúık ifade edilmiútir. økinci mertebeden daha iyi bir yaklaúık ifade ise úu úekilde ifade edilebilir
୰ ؆ͳ െ ͲǤͶͳɃ ʹǤͻͳɃ ଶ
ɘ୬ ǡ Ͳ ൏ Ƀ ൏ ͳ (3.31)
Bu tartıúmalarda ikinci mertebeden örnek bir sistemin yükselme ve gecikme zamanı ile ilgili aúa÷ıdaki sonuçlara varılabilir:
• En büyük üst aúım sadece ȗ‘nın bir fonksiyonudur. • tmax, ȗ ve Ȧn‘nın bir fonksiyonudur.
• ȗ < 0.69 için yerleúme zamanı ȗ ve Ȧn ile ters orantılıdır. ȗ sabit tutuldu÷unda yerleúme zamanının azaltmanın kolay bir yolu Ȧn‘i arttırmaktır. Her ne kadar
yanıt daha salınımlı olsa da en büyük aúım sadece ȗ ‘ya ba÷lıdır ve ba÷ımsız kontrol edilebilir.
• ȗ > 0.69 için yerleúme zamanı ȗ ile do÷ru, Ȧn ile ters orantılıdır. Burada Ȧn arttırılarak ts azaltılabilir.
• tr ve td zamanları ȗ ile do÷ru, Ȧn ile ters orantılıdır.
• Ȧn do÷al frekansının artması (azalması) tr ve td’nin artması (azalması) neden olur.
ȗ>0.69 için yerleúme zamanı, basamak yanıtının son de÷erine ne kadar hızlı yaklaútı÷ını belirleyen bir ölçüdür. Bu durumda yükselme ve gecikme zamanı sistem davranıúını ifade etmek için yeterlidir. øsminden de anlaúılaca÷ı gibi yerleúme zamanı basamak yanıtının son de÷ere ne kadar hızlı yerleúti÷ini de÷erlendirmede kullanılır. Son olarak, ymax, tmax, ts, td ve tr tanımları her mertebeden sisteme uygulanabildi÷i
halde, ȗ sönüm oranı ve Ȧn do÷al frekansı tanımları, sadece kapalı çevrim transfer
fonksiyonu (3.9) ile verilen, ikinci mertebeden örnek sistemler için geçerli oldu÷unu unutmamak gerekir [12].
3.3 Yüksek Dereceli Sistemlerin Zaman Tanım Bölgesi Davranıúı
Yüksek dereceli sistemler birinci ve ikinci dereceden sistemlerin kaskat ba÷lantıları ile oluúturulmuú sistem tipleridir denilebilir. Bu tip sistemlerin fazla belirgin özellikleri olmamasına karúın, kararlı davranıú gösterebilmeleri için kontrolör yapılarına ihtiyaçları vardır.
3.4 Yüksek Dereceli Sistemlerin Mertebesinin øndirgenmesi
Yüksek mertebeden sistemlerin transfer fonksiyonu üzerinden yorumlanması güç oldu÷u için bilinen birinci ya da ikinci dereceden transfer fonksiyonuna indirgenebilir Yüksek mertebeli sistemleri birinci dereceden ölü zamanlı sisteme benzetmek amacıyla Sigurd Skogestad [13] tarafından önerilen bir indirgeme yöntemi kullanılabilir.
Kullanılan bu indirgeme yöntemi;
Orijinal modeli aúa÷ıdaki gibi olan bir sistemin, ς ሺെ୧୬୴ ͳሻ
୨
ς ߬ ݏ ͳ ݁
ିఏబ௦ (3.32)
Birinci mertebeden model elde etmek için
ܩଵ ൌሺ߬ ݇ ଵݏ ͳሻ ݁ ିఏ௦ (3.33) ߬ଵ ൌ ߬ଵ߬ʹଶ (3.34a) ߠ ൌ ߠ߬ʹ ߬ଶ ܶ௩ࣺʹ ஹଷ (3.34b) k : Kazanç
IJ1: Baskın zaman gecikme sabiti
IJ2: økinci mertebe zaman gecikme sabiti
ș : Ölü zaman
h: Örnekleme periyodu
økinci Mertebeden Bir Sistemin Mertebesini Düúürme:
Sigurd Skogestad’a göre sistemlerin 1. Mertebeden yaklaúık transfer fonksiyonu,
ൌ ሺ߬ ݇
ଵݏ ͳሻሺ߬ଶݏ ͳሻ ݁
ିఏ௦ (3.35)
k : Kazanç
IJ1: Baskın zaman gecikme sabiti
ș : Ölü zaman
IJ2: økinci mertebe zaman gecikme sabiti
olmak üzere transfer fonksiyonu aúa÷ıdaki gibi ifade edilirse,
ܩଵ ൌሺ߬ ݇ ଵݏ ͳሻ ݁ ିఏ௦ (3.36) ɒଵ ൌ ɒଵɒʹ ଶ (3.37a) ߠ ൌ ߠ߬ʹ ଶ (3.37b) Olarak bulunur.
Böylece yüksek mertebeden sistemlerde kabul edilebilir bir hatayla birinci mertebeden sistemler gibi kabul edilebilir [13].
Yukarıdaki sistemlere uygulanacak giriúlere karúı istenilen çıkıúı vermeleri için kontrol iúareti uygulanmalıdır. Bu kontrol sistemlerinin, zaman tanım bölgesinde, birim basamak fonksiyonu giriú için elde olunacak y(t) çıkıúının úu özellikleri sa÷laması istenir:
a. Küçük aúım de÷eri b. Küçük yükselme zamanı c. Küçük gecikme zamanı d. Küçük yerleúme zamanı
e. r(t) - y(t) = e(t) ile tanımlanan sapma ya da hata’nın küçük kalması
Bunun için günümüzde birçok kontrol yöntemi ileri sürülmüútür. Tezde ise bu kontrol yöntemlerinin en popülerlerinden olan PID kontrolör iúlenmiútir. Bir sonraki bölümde bu kontrolör üzerinde daha detaylı durulacaktır.
4. PID KONTROLÖR TASARIMI
4.1 PID Kontrolör Yapısı
PID kontrolörden bahsetmeden önce PID kontrolörü oluúturan P, PD ve PI kontrolörü genel olarak incelersek, P kontrolör, belli bir de÷ere kadar sistemi hızlandırmakta ancak kararlı hal davranıúını etkilemedi÷ini, PD kontrolör sisteme zayıflama getirmekte ancak sistemin kararlı hal davranıúını etkilemedi÷ini, PI kontrolörü ise, göreli kararlılı÷ı ve aynı zamanda kararlı hal hatalarını düzeltti÷ini, ancak yükselme zamanını iyileútirmedi÷ini görürüz. Bu sonuçlar bizi, PI ve PD kontrolörlerinin iyi yönlerinden yararlanmayı sa÷layan, PID kontrolörünü kullanmaya yöneltmektedir.
Kontrolör ve sistemden oluúmuú geri beslemeli bir yapının blok diyagramı ùekil 4.1’ deki gibidir. Kontrol sistemlerinin varoluú gerekçesi: sistemlerin giriúte verilen sinyali aynı anda olmasa da en kısa sürede yakalaması; yani hızlı yanıt vermesi ve bu yanıt sinyali olan çıkıúın da mümkün oldu÷u kadar az bozulmaya u÷ramasıdır. ødealde hatanın sıfır yapılmak istenmesine karúın gerçek hayatta sistemlere etki eden birçok durumun etkisini minimuma indirmek kontrolün amaçları arasındadır. øúte bu durumda P – I – D kontrolör yapıları [14-15,3-5] bize sistemin en iyi çalıúma koúullarını yaratmada büyük kolaylıklar sunmaktadır. PID kontrolör yapısı oluúturulurken bazı kontrol algoritmaları gibi fazla iúlem içermemesi ve parametrelerinin hem analitik hem de deneysel yöntemlerle bulunabilmesi; onu yaygın kullanım alanına sahip kılmıútır.
PID kontrolörü seri ba÷lı bir PI ve PD kısımlarından oluúur. PID kontrolör, denklemde gösterildi÷i gibi, P – Proportional (Orantı), I – Integral (øntegral) ve D – Derivative (Türev) olmak üzere üç temel etkinin birleúiminden meydana gelmektedir. PID kontrolör aúa÷ıdaki temel biçime sahiptir.
ݑሺݐሻ ൌ ܭ݁ሺݐሻ ܭܭ න ݁ሺݐሻ݀ݐ ௧ ܭௗ ܭ ݀݁ ݀ݐ (4.1) ݑሺݐሻ ൌ ܭቈ݁ሺݐሻ ܶͳ න ݁ሺݐሻ݀ݐ ௧ ܶௗ ݀݁ ݀ݐ (4.2) Burada; u : Kontrol de÷iúkeni
e : Etkin hata (e(t) = r(t) – y(t))
dır.
Yukarıdaki (4.1) ve (4.2) nolu denklemlerden anlaúılaca÷ı gibi, PID kontrol oransal, hata ile orantılı bölüm, integral, hatanın integrali ile orantılı bölümü ve türev hatanın türevi ile orantılı bölüm, terimlerinin toplanmasından oluúmaktadır.
Kontrolör parametreleri:
Kp : Oransal Kazanç Ti : øntegral Zaman Sabiti Td : Türev Zaman Sabiti Buradan
Ki : øntegral Kazancı ൌ ் Kd : Türev Kazancı ൌ ܭǤ ܶௗ Elde edilir.
Aúa÷ıda verilen PID kontrolörün transfer fonksiyonunda bu durum açıkça görülmektedir.
ሺሻ ൌ ୮ ୧ ୢ (4.3)
ሺሻ
ሺሻ ൌ ୮ͳ ͳ୧ ୢ൨ (4.4)
úeklindedir ve PID kontrolörün transfer fonksiyonunun blok diyagramı ùekil 4.2’de gösterildi÷i gibidir.
ùekil 4.2 : ødeal yapıdaki PID kontrolörün blok diyagramı.
PID kontrolörü oluúturan oransal-integral-türev kontrolörleri oransal kontrolör olmadan incelemek mümkün olmadı÷ı için, P (oransal), PI (oransal-integral) ve PID (oransal-integral-türev) olarak üç ana baúlık altında incelenerek, bu kontrolörlerin sisteme etkisi gösterilmiútir.
4.1.1 Oransal kontrolör (P kontrolör)
Ti‘nin sonsuza ve Td‘nin sıfıra gitmesi halinde kontrolör yalnızca oransal etki ile
çalıúır. Bu durumda oransal kazanç Kp'nin ayarı ile kontrolör duyarlılı÷ı arttırılabilir.
Pratikte genellikle oransal etki orantı bandı (PB) cinsinden ayarlanır.
ሺሻ ൌ ୮ሺሻ (4.5)
Kontrol iúareti kontrol iúaretiyle orantılıdır. Oransal kontrolör uygulanmıú bir sistemde her zaman bir kalıcı hal hatasının bulunaca÷ı aúikârdır. Bu sonuca (4.5) eúitli÷inde bir kontrol olabilmesi için bir hatanın var olması gerekti÷i görülerek varılabilir. Oransal kontrolörler bu hatayı engellemek için genelde bir sıfırlama terimi ile birlikte kullanılırlar. u0 sıfırlama teriminin eklenmesi ile (4.5) eúitlik aúa÷ıdaki gibi elde edilir
ሺሻ ൌ ୮ሺሻ (4.6)
Oransal kontrolün amacı e hata iúaretinin küçük oldu÷u durumlarda küçük, büyük oldu÷u durumlarda büyük kontrolör kazancı kullanmaktır.
P kontrol ile kontrol edilen bir sistemin kararlı olabilmesi için kontrol hatasının (kalıcı hal hatasının) ess = 0 olması için ya kazanç çok büyük olmalı ya da kararlı hal kontrol iúareti ile u0‘ın eúit olması gereklidir. Kp’nin çok büyük olması durumunda kontrol iúareti de aynı oranda büyük olacak bu durumda da sistemin kendi dinami÷inden kaynaklanan bir salınıma sebep olacaktır. Bir di÷eri için de u0 referans giriúe göre ayarlansa bile, ayar yapılmadan önce kontrol edilen sistemin kazancı bilinmelidir. Bu yüzden oransal kontrolörde yüksek kontrolör kazancı, kapalı çevrim kararlılı÷ı olmaması durumunda kullanılmamalıdır.
4.1.2 Oransal-Integral Kontrolör (PI Kontrolör)
Oransal etkiye integral etkisinin ilavesi ile elde edilen PI kontrolörün yapısı nispeten basit olup, özellikle süreç kontrolör sistemlerinin %75 - %90 arasında kullanılır. En yaygın kullanım alanları; basınç, seviye ve akıú kontrol sistemleridir.
ܷሺݏሻ
ܧሺݏሻ ൌ ܭͳ ܶͳݏ൨ (4.7)
øntegral etki, denetlenen çıkıú büyüklü÷ünde meydana gelebilecek kalıcı - durum hatalarını ortadan kaldırır. øntegral etkinin kullanım amacı sistemin de÷iúen talepleri üzerinde yeterli bir kontrolör etkisi sa÷lamaktır. E÷er sistemden gelen bir talep yalnız baúına P etkisi ile karúılanabiliyorsa I etkisinin kullanılması gereksizdir. Buna karúılık, sistemden oldukça sık aralıklarda yüksek miktarda talepler ortaya çıkıyorsa, yalnızca P etkisine sahip bir kontrolör bu talepleri karúılayamaz. Böyle bir kontrolörün karakteristiklerine ve talebin (bozucu giriú) büyüklü÷üne ba÷lı olarak sistemde kalıcı – durum hatası ortaya çıkar. E÷er P etkisine I etkisi ilave edilecek olursa, kontrolör çıkıúından sürekli artan (entegre olan) kontrolör etkisi elde edilir. Bu iúlem sonucunda, denetlenen çıkıú büyüklü÷ünde ortaya çıkan sapma sıfırlanmıú olur.
Kontrolör hata sıfır olmadı÷ı halde artan bir iúaret üretirse, sistemin kararlı hal hatalarını yok edebilir. Kontrolörün integral elemanı kontrolör giriúinin zamana göre integrali ile orantılı bir iúaret üretir.
Ti, integral teriminin oransal terime ulaúması için geçen zamandır. Oransal kazanç integral terimi kullanıldı÷ından azaltılmalıdır. Bu azalım sistemde oluúabilecek büyük salınımları engeller. øntegral terimi kararlı hal hatasını hemen etkilemez, ancak salınarak hatayı sıfıra indirir.
4.1.3 Oransal-Türev Kontrolör (PD Kontrolör)
Oransal etkiye türev etki ilavesi ile elde edilen kontrolördür. ሺሻ
ሺሻ ൌ ୮ሾͳ ୢሿ (4.8)
Kalıcı – durum hatasını sıfırlayamamakla beraber, bozucu giriúten do÷an kalıcı – durum hatasının fazla önemsenmedi÷i, fakat buna karúılık orantı etkiye göre geçici – durum davranıúının iyileútirilmesi istenen konum servo mekanizmalarında tercih edilir. Türev etki ilavesi, e(t)’nin ani de÷iúimini ölçer ve büyük aúımı önceden öngörerek aúırı aúım veya azalma oluúmadan zamanında gerekli düzeltme iúlemini baúlatır. Bu sayede sisteme sönüm ilave ederek kararsız veya kararsızlı÷a yatkın sistemi daha kararlı hale getirebilir. Salınım yapan kararsız bir sistemi kararlı hale getirebilmek için, kontrolör hatanın sıfıra yaklaútı÷ını anlamalıdır bu da hatanın türevi alınarak yapılabilir. Bu úekilde türevi alma kısmını yapan türev kontrolör parçası hatanın türevini alarak hata tahmini yaparak sistemi kararlı hale getirmektedir. Kontrol iúaretini hata iúaretindeki de÷iúime göre üretti÷inden teorik olarak mümkün olsa bile pratik olarak türev katsayısının tek baúına kullanılması mümkün de÷ildir. Çünkü e÷er hata büyükse ve de÷iúmiyorsa kontrolör çıkıúı sıfır olacaktır. Bu nedenle en azından oransal kontrolörle birlikte kullanılmalıdır. Türev etki ilavesinin en önemli sakıncası, kontrolör iúaretleri yanında sistemde ortaya çıkan gürültü (parazit) sinyallerini de kuvvetlendirmesidir. Bunun sonucu olarak son kontrolör (düzeltme elemanı) çıkıúında salınımlı bir hareket meydana gelebilir.
4.1.4 Oransal—øntegral--Türev Kontrolör PID Kontrolör
Neden PID kontrolör sorusunun cevabı için yukarıdaki kontrolörleri genel olarak özetlemek gerekir. Yalnızca P kontrolü halinde, yanıt e÷risi bir kaç salınım yaptıktan
