1. Aúım (ya da Tepe De÷eri) (%ÜA) : Birim basamak giriúine iliúkin çıkıúın, bunun son de÷erinden olan en büyük ayrılmasıdır. ùekil 3.4’te bu de÷er “En Büyük Aúım” (%ÜA) olarak gösterilmiútir. Yüzde olarak, aúım;
Ψoܣ ൌ ͳͲͲܥ௫ܥ௦െ ܥ௦ൌ ͳͲͲܥ௫ͳെ ͳൌ ሺoܣሻͳͲͲ (3.16)
dır. Aúıma eriúmek için, kontrol sisteminin harcadı÷ı zaman tmax dır.
Sönüm oranı ile aúım arasındaki iliúki, (3.11) denkleminin t’ye göre türevi alınıp elde edilen sonuç sıfıra eúitlenerek, türetilebilir. Buna göre
݀ݕሺݐሻ
݀ݐ ൌඥͳ െ ߞ߱ ଶ݁ିఠݏ݅݊߱ඥͳ െ ߞଶݐǡ ݐ Ͳ (3.17) dy(t)/dt sıfıra eúitlenirse çözüm olarak t = ve
߱ඥͳ െ ߞଶݐ ൌ ݊ߨǡ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ ǥ (3.18)
Elde edilir, sonuncu iliúki
ݐ ൌ ݊ߨ
߱ඥͳ െ ߞଶݐǡ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ ǥ (3.19)
De÷erlerini verir. t= çözümü, y(t)’nin sadece ȗ 1 için maksimumdur. ùekil 3.3’te verilen birim basamak yanıtlarından en büyük aúımın ilk aúım oldu÷u görülür. Bu (3.19) iliúkisinde n=1‘e karúı düúer. Buna göre en büyük üst aúım oldu÷u zaman,
ݐ௫ ൌ ߨ
ɘ୬ඥͳ െ ߞଶ
(3.20)
Olarak elde edilir.
En büyük aúım, n = 1 için,
òòçÇ ൌ ݕ௫െ ͳ ൌ ݁ିగȀඥଵିమ
(3.21)
Ve yüzde en büyük aúım
òòòçÇ ൌ ͳͲͲ݁ିగȀඥଵିమ
(3.22)
Olarak hesaplanır.
2. Gecikme Zamanı (td) : Birim basamak giriúine iliúkin çıkıúın son de÷erinin %50
sine ulaúıncaya kadar geçen zamandır.
ݐௗ ؆ͳ ͲǤߞ߱ ǡ Ͳ ൏ ߞ ൏ ͳ (3.23)
ùeklinde yaklaúık ifade edilmiútir. E÷er td için, ikinci mertebeden bir e÷riden
yararlanılırsa, daha iyi bir yaklaúık ifade
ୢ؆ͳǤͳ ͲǤͳʹͷɃ ͲǤͶͻɃɘ୬ ଶǡ Ͳ ൏ Ƀ ൏ ͳ (3.24)
Olarak verilebilir.
3.Yerleúme (Oturma) Zamanı (ts) : Birim basamak fonksiyonuna iliúkin çıkıúın son
de÷erinin belli bir yüzdesine gelmesi ve o de÷er içinde kalması için geçen zamandır. Bu de÷er ço÷u zaman %95 olarak alınır.
Yerleúme zamanı ts’nin tam analitik ifadesini bulmak zordur. 0 < ȗ < 0.69 için
y(t)’nin üst zarfı 1.05 de÷erine ulaútı÷ı zaman ts’ye karúı düúürülürse
ͳ ͳ
ඥͳ െ Ƀଶିன୲౩ ൌ ͳǤͲͷ (3.25)
Benzer úekilde, için y(t)’nin alt zarfı 0.95 de÷erine ulaútı÷ı zaman ts’ye karúı
ͳ െ ͳ
ඥͳ െ Ƀଶିன୲౩ ൌ ͲǤͻͷ (3.26)
E÷er (3.25) denklemi Ȧnts’ye göre çözülürse
߱ݐ௦ ൌ െͳߞ ሺͲǤͲͷඥͳ െ Ƀଶሻ (3.27)
Bulunur. ȗ ‘nın de÷eri 0 ile 0.69 arasındaki (3.27) ifadesinin sa÷ tarafı 3.0 ile 3.32 arasında yer alır. Buna göre ikinci mertebeden örnek sistemde yerleúme zamanı yaklaúık
ݐ௦ ؆ ߞ߱͵Ǥʹ
ǡͲ ൏ Ƀ ൏ ͲǤͻ (3.28)
Olarak ifade edilebilir. Küçük ȗ de÷erleri için (<0.3) zayıf bir yaklaúıklık söz konusudur.
Sönüm oranı ȗ’nın 0.69’dan büyük olması halinde birim basamak yanıtı her zaman 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye alttan giriú yapar. Özellikle ȗ > 0.69 için aúa÷ıdaki yaklaúık ts ifadesi kullanılabilir.
ݐ௦ ؆ସǤହఠ ǡɃ ͲǤͻ (3.29)
Olarak ifade edilir.
4.Yükselme Zamanı (tr) : Birim basamak fonksiyonuna iliúkin çıkıúın son de÷erinin
%10‘undan %90‘nına yükselmesi için geçen zamandır.
ȗ’nın belirli sınır bir bölgesi için bir do÷rusal yaklaúık ifade verilebilir;
ݐ ؆ ͲǤͺ ʹǤͷߞ߱
ǡ Ͳ ൏ ߞ ൏ ͳ (3.30)
ùeklinde yaklaúık ifade edilmiútir. økinci mertebeden daha iyi bir yaklaúık ifade ise úu úekilde ifade edilebilir
୰ ؆ͳ െ ͲǤͶͳɃ ʹǤͻͳɃ ଶ
ɘ୬ ǡ Ͳ ൏ Ƀ ൏ ͳ (3.31)
Bu tartıúmalarda ikinci mertebeden örnek bir sistemin yükselme ve gecikme zamanı ile ilgili aúa÷ıdaki sonuçlara varılabilir:
• En büyük üst aúım sadece ȗ‘nın bir fonksiyonudur. • tmax, ȗ ve Ȧn‘nın bir fonksiyonudur.
• ȗ < 0.69 için yerleúme zamanı ȗ ve Ȧn ile ters orantılıdır. ȗ sabit tutuldu÷unda yerleúme zamanının azaltmanın kolay bir yolu Ȧn‘i arttırmaktır. Her ne kadar
yanıt daha salınımlı olsa da en büyük aúım sadece ȗ ‘ya ba÷lıdır ve ba÷ımsız kontrol edilebilir.
• ȗ > 0.69 için yerleúme zamanı ȗ ile do÷ru, Ȧn ile ters orantılıdır. Burada Ȧn arttırılarak ts azaltılabilir.
• tr ve td zamanları ȗ ile do÷ru, Ȧn ile ters orantılıdır.
• Ȧn do÷al frekansının artması (azalması) tr ve td’nin artması (azalması) neden olur.
ȗ>0.69 için yerleúme zamanı, basamak yanıtının son de÷erine ne kadar hızlı yaklaútı÷ını belirleyen bir ölçüdür. Bu durumda yükselme ve gecikme zamanı sistem davranıúını ifade etmek için yeterlidir. øsminden de anlaúılaca÷ı gibi yerleúme zamanı basamak yanıtının son de÷ere ne kadar hızlı yerleúti÷ini de÷erlendirmede kullanılır. Son olarak, ymax, tmax, ts, td ve tr tanımları her mertebeden sisteme uygulanabildi÷i
halde, ȗ sönüm oranı ve Ȧn do÷al frekansı tanımları, sadece kapalı çevrim transfer
fonksiyonu (3.9) ile verilen, ikinci mertebeden örnek sistemler için geçerli oldu÷unu unutmamak gerekir [12].
3.3 Yüksek Dereceli Sistemlerin Zaman Tanım Bölgesi Davranıúı
Yüksek dereceli sistemler birinci ve ikinci dereceden sistemlerin kaskat ba÷lantıları ile oluúturulmuú sistem tipleridir denilebilir. Bu tip sistemlerin fazla belirgin özellikleri olmamasına karúın, kararlı davranıú gösterebilmeleri için kontrolör yapılarına ihtiyaçları vardır.
3.4 Yüksek Dereceli Sistemlerin Mertebesinin øndirgenmesi
Yüksek mertebeden sistemlerin transfer fonksiyonu üzerinden yorumlanması güç oldu÷u için bilinen birinci ya da ikinci dereceden transfer fonksiyonuna indirgenebilir Yüksek mertebeli sistemleri birinci dereceden ölü zamanlı sisteme benzetmek amacıyla Sigurd Skogestad [13] tarafından önerilen bir indirgeme yöntemi kullanılabilir.
Kullanılan bu indirgeme yöntemi;
Orijinal modeli aúa÷ıdaki gibi olan bir sistemin, ς ሺെ୧୬୴ ͳሻ
୨
ς ߬ ݏ ͳ ݁
ିఏబ௦ (3.32)
Birinci mertebeden model elde etmek için
ܩଵ ൌሺ߬ ݇ ଵݏ ͳሻ ݁ ିఏ௦ (3.33) ߬ଵ ൌ ߬ଵ߬ʹଶ (3.34a) ߠ ൌ ߠ߬ʹ ߬ଶ ܶ௩ࣺʹ ஹଷ (3.34b) k : Kazanç
IJ1: Baskın zaman gecikme sabiti
IJ2: økinci mertebe zaman gecikme sabiti
ș : Ölü zaman
h: Örnekleme periyodu
økinci Mertebeden Bir Sistemin Mertebesini Düúürme:
Sigurd Skogestad’a göre sistemlerin 1. Mertebeden yaklaúık transfer fonksiyonu,
ൌ ሺ߬ ݇
ଵݏ ͳሻሺ߬ଶݏ ͳሻ ݁
ିఏ௦ (3.35)
k : Kazanç
IJ1: Baskın zaman gecikme sabiti
ș : Ölü zaman
IJ2: økinci mertebe zaman gecikme sabiti
olmak üzere transfer fonksiyonu aúa÷ıdaki gibi ifade edilirse,
ܩଵ ൌሺ߬ ݇ ଵݏ ͳሻ ݁ ିఏ௦ (3.36) ɒଵ ൌ ɒଵɒʹ ଶ (3.37a) ߠ ൌ ߠ߬ʹ ଶ (3.37b) Olarak bulunur.
Böylece yüksek mertebeden sistemlerde kabul edilebilir bir hatayla birinci mertebeden sistemler gibi kabul edilebilir [13].
Yukarıdaki sistemlere uygulanacak giriúlere karúı istenilen çıkıúı vermeleri için kontrol iúareti uygulanmalıdır. Bu kontrol sistemlerinin, zaman tanım bölgesinde, birim basamak fonksiyonu giriú için elde olunacak y(t) çıkıúının úu özellikleri sa÷laması istenir:
a. Küçük aúım de÷eri b. Küçük yükselme zamanı c. Küçük gecikme zamanı d. Küçük yerleúme zamanı
e. r(t) - y(t) = e(t) ile tanımlanan sapma ya da hata’nın küçük kalması
Bunun için günümüzde birçok kontrol yöntemi ileri sürülmüútür. Tezde ise bu kontrol yöntemlerinin en popülerlerinden olan PID kontrolör iúlenmiútir. Bir sonraki bölümde bu kontrolör üzerinde daha detaylı durulacaktır.
4. PID KONTROLÖR TASARIMI
4.1 PID Kontrolör Yapısı
PID kontrolörden bahsetmeden önce PID kontrolörü oluúturan P, PD ve PI kontrolörü genel olarak incelersek, P kontrolör, belli bir de÷ere kadar sistemi hızlandırmakta ancak kararlı hal davranıúını etkilemedi÷ini, PD kontrolör sisteme zayıflama getirmekte ancak sistemin kararlı hal davranıúını etkilemedi÷ini, PI kontrolörü ise, göreli kararlılı÷ı ve aynı zamanda kararlı hal hatalarını düzeltti÷ini, ancak yükselme zamanını iyileútirmedi÷ini görürüz. Bu sonuçlar bizi, PI ve PD kontrolörlerinin iyi yönlerinden yararlanmayı sa÷layan, PID kontrolörünü kullanmaya yöneltmektedir.
Kontrolör ve sistemden oluúmuú geri beslemeli bir yapının blok diyagramı ùekil 4.1’ deki gibidir. Kontrol sistemlerinin varoluú gerekçesi: sistemlerin giriúte verilen sinyali aynı anda olmasa da en kısa sürede yakalaması; yani hızlı yanıt vermesi ve bu yanıt sinyali olan çıkıúın da mümkün oldu÷u kadar az bozulmaya u÷ramasıdır. ødealde hatanın sıfır yapılmak istenmesine karúın gerçek hayatta sistemlere etki eden birçok durumun etkisini minimuma indirmek kontrolün amaçları arasındadır. øúte bu durumda P – I – D kontrolör yapıları [14-15,3-5] bize sistemin en iyi çalıúma koúullarını yaratmada büyük kolaylıklar sunmaktadır. PID kontrolör yapısı oluúturulurken bazı kontrol algoritmaları gibi fazla iúlem içermemesi ve parametrelerinin hem analitik hem de deneysel yöntemlerle bulunabilmesi; onu yaygın kullanım alanına sahip kılmıútır.