Sayılar Çözümlü Sorular no: 3

KAVRAMLAR

YGS

TEMEL MATEMATİK

02

Tek Sayı Çift Sayı Pozitif Sayı Negatif Sayı Ardışık Sayı Terim Sayısı Son Terim İlk Terim • Tek-Çift Sayılar • Tek ve Çift Sayılar Arasında İşlemler • Pozitif ve Negatif Sayılar • Ardışık Sayılar

SAYILAR - II / TEK-ÇİFT SAYILAR, POZİTİF ve NEGATİF SAYILAR, ARDIŞIK SAYILAR

Tek - Çift Sayılar

İkinin katı olan tam sayılara çift sayı, ikinin katı olmayan tam sayılara tek sayı denir.

Çift sayılar = {..., –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, ...} Tek sayılar = {..., –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, ...}

Tek ve Çift Sayılar Arasında Işlemler

T : Tek sayıyı

Ç : Çift sayıyı göstermek üzere,

Tek ve çift sayılar arasında toplama, çıkarma, çarpma ve kuvvet işlemleri hakkında yorum yapabiliriz.

T ± T = Ç T

.

T = T T ± Ç = T T

.

Ç = Ç Ç ± T = T Ç

.

T = Ç Ç ± Ç = Ç Ç

.

Ç = Ç n∈N+ için Tn = T Çn = Ç Özel durumlar

Sayıların pozitif, negatif ve tam sayı olup olmadıkları iyi kontrol edilmelidir.

Çünkü Ç° = 1

Ç— = çift ya da tek değildir. T— = çift ya da tek değildir.

Örnek 1

I. 7917 — 3943 II. 20! — 17!

III. 20162 — 20152 + 20142

Yukarıdaki ifadelerden hangileri çifttir?

Çözüm:

Örnek 2

a, b ve c birer pozitif tam sayıdır. 3a + 4b = c2 + 3c

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğ-rudur?

A) a çift sayıdır. B) a tek sayıdır.

C) b tek sayı ise a çift sayıdır. D) c tek sayı, a çift sayıdır. E) c çift sayı, a tek sayıdır.

I. Tek — Tek = Çift II. Çift — Çift = Çift III. Çift — Tek + Çift = Tek olduğundan cevap I ve II’dir.

Çözüm:

Örnek 3

3x + 7

toplamı bir tek sayı ise, aşağıdakilerden hangisi kesin-likle çift sayıdır?

A) x + 2 B) 2x + 4 C) 4x + 12 D) 9x + 2 E) 15x + 3

Çözüm:

Örnek 4

• a3 çift sayıdır. • b2 + 6b + 1 tek sayıdır.

Yukarıdaki bilgilere göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

I. a + b + 1 II. a3 — 3b + 1 III. a3 + b

Çözüm:

Pozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar, sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir.

• Aynı işaretli iki sayının toplamı, sayıların işareti ile aynıdır.

• Zıt işaretli iki sayının toplamı, mutlak değerce büyük olan sayının işareti ile aynıdır.

• Çıkarma işleminde büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır-sa sonuç pozitif, küçük çıkarılır-sayıdan büyük çıkarılır-sayı çıkarılırçıkarılır-sa sonuç negatiftir.

Örnek 5

a < b < 0 < c olmak üzere, I. a — b + c II. a + b — c III. —a + b + c

ifadelerinden hangileri sıfır olabilir?

Çözüm:

Örnek 6

a < b < 0 < c olmak üzere, I. b — c a II. c — a b + a III. (a — c)3 b2 IV. a + c b 3x + 7 tek ise, 3x çifttir.

A, B, C seçeneklerinde 3x’in katları bulunmadığından kesin yorum yapamayız.

9x + 2 = 3.(3x) + 2 toplamı çifttir. 15x + 3 = 5.(3x) + 3 toplamı tektir.

Cevap D

I. a — b < 0’dır. a — b + c = 0 olabilir. 3 - — + II. a + b — c < 0’dır. Sonuç 0 olamaz. 3 -

— +

III. —a + b + c > 0’dır. Sonuç 0 olamaz.

3

+ +

Yalnız I. ifade sıfır olabilir.

• a3 pozitif çift sayı ise a’yı bilemeyiz. (a = 36 olabilir.) b tam sayı olduğu için 4b çift sayıdır.

c2 + 3c = c(c + 3)

c tek sayı ise c + 3 çift sayıdır. c çift sayı ise c + 3 tek sayıdır. İki durumda da c

.

(c + 3) çift sayıdır.

3a + 4b = c2 + 3c

Ç Ç

olduğu için 3a çift olmalıdır. a çift sayıdır.

Çözüm:

Örnek 7

a3.b5.c7 > 0 a4.b3.c5 < 0 a2.b3.c4 < 0

olduğuna göre, a, b, c sayılarının işaretlerini sırasıyla bulunuz.

Çözüm:

Ardışık Sayılar

Belli bir kurala göre sıralanan tam sayılara ardışık sayı-lar denir.

... —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ... sayıları ardışık tam sayılar, ... —4, —2, —0, 2, 4, 6, ... sayıları ardışık çift tam sayılar, ... —3, —1, 1, 3, 5, ... sayıları ardışık tek tam sayılar, ... —10, —5, 0, 5, 10, 15, ... sayıları ardışık 5’in katı olan tam sayılardır.

Ardışık sayıların terim sayısı;

Terim Sayısı = son terim — ilk terim_{artış miktarı} + 1 kuralı ile bulunur.

Ardışık sayıların toplamı;

Toplam = son terim + ilk terim

2 . terim sayısı kuralı ile bulunur.

Ardışık sayma sayılarının toplamı pratik olarak aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplanabilir.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n.(n + 1)₂ 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n.(n + 1) 1 + 3 + 5 +... + (2n — 1) = n2

Ardışık sayılarda,

Toplam = Ortalama . Terim sayısı olduğundan, Ortalama = Toplam

Terim sayısı ‘dır.

Terim sayısı tek ise ortalama aynı zamanda dizinin ortanca terimidir.

Terim sayısı çift ise ortalama dizinin elemanı değildir.

Örnek 8

2 + 5 + 8 + ... + 104

toplamındaki her bir terim 2 artırılırsa, toplamın değeri kaç artar?

Çözüm:

a2 +.b3. c4 +< 0 ise, b < 0’dır. a4 +. b3 —.c5 < 0 ise, c > 0’dır. a3. b5 —. c7 + > 0 ise, a < 0’dır. İşaretler sırasıyla —, —, + bulunur.

Terim sayısı = 104 — 2 3 + 1 = 35 olduğundan toplamın değeri 35 x 2 = 70 artar. I. b < c _{⇒ b — c < 0 olduğundan —— = +’dır.} II. c > a _{⇒ c — a > 0 olduğundan +— = —’dir.}

a < b < 0 ⇒ a + b < 0

III. a < c ⇒ a — c < 0 olduğundan (—)

3

(—)2 = —+ = —’dir. IV. a ve c sayılarından mutlak değerce hangisinin daha

büyük olduğu bilinmediğiden a + c

b ’nin işareti tes-pit edilemez.

Örnek 9

5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 10

1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + 19 . 20

20 terimli yukarıdaki toplama işleminde, her bir teri-min küçük çarpanı 3 artırılırsa toplamın değeri kaç artar?

Çözüm:

Örnek 11

30 yapraklı bir defterin sayfaları önlü arkalı 1’den 60’a kadar numaralandırılmıştır. Defterde art arda gelen iki yaprak yırtıldığında kalan sayfaların numaraları toplamı 1728 oluyor.

Buna göre, yırtılan yapraklardaki numaraların en küçü-ğü kaçtır?

Çözüm:

Örnek 12

a < b < c < d olmak üzere, a, b, c, d; 3’ün katı olan ardışık dört tek sayı ise,

(a — c).(d — a) c — b

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Örnek 13

Ardışık 4 tek sayının toplamı 144 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm:

Örnek 14

Ardışık 7 çift sayının toplamı 84 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?

Çözüm:

12 + 17 + 22 + ... + 92 + 97 Terim sayısı = 97 — 12 5 + 1 = 18 Toplam =

(

12 + 97 2

)

. 18 = 981

Sayfa numaralarının toplamı; 1 + 2 + 3 +...+ 60 = 60.61

2 = 1830’dur. Yırtılan sayfalar, n, (n + 1), (n + 2) ve (n + 3) olsun. Yırtılan sayfaların toplamı; 4n + 6 olur.

Küçük çarpanlar üçer artırıldığından her bir çarpma işle-minin sonucu büyük çarpanın 3 katı kadar artacaktır. Bu durumda toplam;

2 . 3 + 3 . 3 + 4 . 3 + ... + 20 . 3 kadar artacaktır. 3 [2 + 3 + 4 + ... + 20]

Toplam = (Terim sayısı) .

(

Son terim + İlk terim

2

)

kuralından Terim sayısı = 20 – 2 1 + 1 = 19 Toplam = 19 . 2 + 20 2 = 19 . 11 = 209

Bu durumda toplamın değeri 3 . 209 = 627 artar.

a, b, c, d, 3’ün katı olan ardışık tek sayılar olduğu için aralarındaki fark 6’dır.

a, b, c ve d sırasıyla, 3, 9, 15, 21 seçilerek işlem daha kolay bulunabilir. (3 — 15).(21 — 3) (15 — 9) = (—12).(18) 6 = —36 olur. En küçük sayıya x dersek, x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 144 olur. 4x + 12 = 144 ise x = 33’tür. En büyük sayı (x + 6) olduğundan 39’dur.

Ortanca sayı = 84 7 = 12’dir. 6, 8, 10, 12 , 14, 16, 18 En küçük sayı 6’dır.

Örnek 15

Toplamları 210 olan 30 tane ardışık çift sayıdan kaç tanesi negatiftir?

Çözüm:

Örnek 16

x ve y iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,

x — y = 65

eşitliğini sağlayan kaç tane x sayısı vardır?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

(YGS 2013)

Çözüm:

Örnek 17

a tam sayı olmak üzere,

(7a + 5) ile (5a + 10)

sayıları ardışık iki tam sayı olduğuna göre, a’nın alabi-leceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 18

Bir A kümesi ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.

• 6 ardışık tek doğal sayıdan oluşmaktadır.

• Kümedeki elemanların toplamı, en büyük elemanın 4 katına eşittir.

Buna göre, A kümesinin en büyük elemanı nedir?

A) 21 B) 19 C) 17 D) 15 E) 13

(YGS 2013)

Çözüm:

Sayıların en küçüğünü x seçersek, sayılar sırasıyla; x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8, x + 10 olur.

x + x + 2 + x + 4 + x + 6 + x + 8 + x + 10 = 4x + 40 6x + 30 = 4x + 40

x = 5 bulunur.

En büyük eleman x + 10 olduğundan, = x + 10

= 5 + 10 = 15 bulunur.

Cevap D

(7a + 5) — (5a + 10) = + 1 olmalıdır. 2a — 5 = 1 veya 2a — 5 = —1 a = 3 a = 2 a’nın alabileceği değerler toplamı 5’tir. Toplam = Terim sayısı .

(

Son terim + İlk terim

2

)

Ortanca terimdir. 210 = 30 . Ortanca terim

7 = Ortanca terim

Terim sayısı çift olduğunda bulduğumuz ortanca terim bu dizinin bir elemanı değildir.

..., 0, 2, 4, 6, 7 , 8, 10, 12, 14,...

15 tane terim 15 tane terim

Bu durumda, sayılardan 11 tanesi negatiftir.

x — y = 65 eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulalım. x — y = 65 ise ↓ ↓ 99 — 34 98 — 33 97 — 32 . . . 75 — 10

x değerlerinin terim sayısı = 99 — 75 + 1 = 25’tir.

SINIF İÇİ UYGULAMA :

SAYILAR - II / TEK-ÇİFT SAYILAR, POZİTİF ve NEGATİF SAYILAR, ARDIŞIK SAYILAR

1.

Ardışık üç sayının toplamı, rakamları birbirinden farklı iki basamaklı bir sayıya eşit olduğuna göre, en büyük sayı en çok kaç olabilir?

Çözüm:

2.

2x – 4 tek tam sayıolduğuna göre, aşağıdaki ifade-ler için uygun olan kutucuğu işaretleyiniz.

İfade Tek Çift Bilinemez

2x 6x + 4 4x — 8 10x x + 3

Çözüm:

3.

1.2 + 2.4+ 3.6 + ... +20.40 = A olduğuna göre, 1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + 20.41

toplamının A cinsinden değerini yazınız.

Çözüm:

4.

n doğal sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan (n dahil) doğal sayıların toplamı x ve 5’ten n’ye kadar olan (n dahil) doğal sayıların toplamı y’dir.

x + y = 410 olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

Cevap: 33

ÖDEV TESTİ :

SAYILAR - II / TEK-ÇİFT SAYILAR, POZİTİF ve NEGATİF SAYILAR, ARDIŞIK SAYILAR

1.

a ve b birer tam sayı olmak üzere,

I. a – b tek ise, a.b çifttir. II. a – b çift ise, a + b çifttir. III. a.b tek ise, a – b tektir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) II ve III B) I ve II C) Yalnız III D) Yalnız II E) Yalnız I

2.

a, b ve c reel (gerçek) sayılar olmak üzere,

a.b.c < 0, b.c > 0 ve a_{c < 0}

olduğuna göre, a, b ve c’nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) +, –, + B) –, +, + C) –, +, – D) –, –, + E) +, +, –

3.

x, y, z ardışık çift sayılar ve x < y < z olmak üzere,

(y – z).(y – x) + x – z

işleminin sonucu kaçtır?

A) 8 B) 4 C) 0 D) –4 E) –8

4.

Bir A kümesi ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. • 8 ardışık tek sayıdan oluşmaktadır.

• Kümedeki elemanların toplamı, en küçük ele-manın 16 katına eşittir.

Buna göre, A kümesinin en büyük elemanı kaçtır?

A) 29 B) 27 C) 25 D) 23 E) 21

5.

x + 1 tek sayı ve y – 5 çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayı-dır?

A) 2x + 4 B) (x3+ 1).(y + 2) C) x2004+ 3y D) x2+ 2y E) xy+ 4

6.

Ardışık x, y, z sayıları için x < y < z’dir.

A = x100 + y15.z13.x7

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) z çift ise, A çifttir. B) z tek ise, A çifttir. C) y çift ise, A çifttir. D) y tek ise, A tektir. E) x tek ise, A çifttir.

7.

x, y, z sıfırdan ve birbirinden farklı tam sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu sıfıra eşit olabilir?

A) x2 + z4 B) x2 + y2 + z4 C) x3 – y3 D) (x – y)2 + z3 E) (x – z)2 + y2

8.

a, b ve c ardışık çift sayılar ve a < b < c’dir.

Buna göre, c2 – b2 – a ifadesinin c türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –5c – 8 B) –3c – 4 C) 3c D) 3c + 2 E) 3c – 4

9.

a, b ve c birer çift sayı olduğuna göre, aşağıdakiler-den hangisi daima çift sayıdır?

A) a + b + c 2 B) 2a + b 2 C) 2a + 4b + 3c₂ D) a – b₂ E) 4a + 4b – 4c₂

10.

40 yapraklı bir defterin sayfaları önlü arkalı olmak

üzere, 1’den 80’e kadar numaralandırılmıştır. Defterin art arda gelen iki yaprağı yırtıldığında kalan sayfaların numaları toplamı 3030’dur.

Buna göre, yırtılan sayfalardaki sayfa numaraları-nın en küçüğü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 51 B) 52 C) 43 D) 55 E) 57

11.

Ardışık beş çift sayının toplamı x olduğuna göre, bu sayıların en küçüğünün x türünden değeri aşağı-dakilerden hangisidir?

A) x + 20

5 B) x + 105 C) 5x

D) x – 20_{5 E)} x – 10 5

12.

(2n – 3) ve (4n + 5) sayıları ardışık tek sayılardır. Buna göre, n’nin alabileceği değerler toplamı kaç-tır?

13.

a < 0 < b < c olduğuna göre, aşağıdakilerden han-gisinin değeri sıfır olabilir?

A) a.b – c B) a – b – c C) b – a + c D) b – c + a E) a + b + c

14.

Bir koşuda yarışacak adayların her birine bir numara verilmiştir. • Koşuda yarışacak erkek atletlere 1’den başlana-rak tek sayılar numara olarak verilmiştir. • Koşuda yarışacak bayan atletlere 2’den başla-narak çift sayılar numara olarak verilmiştir. • Koşuda erkek atletlere verilen en son numara

101’dir.

• Koşuda yarışan erkek atlet sayısı bayan atlet sayısının 3 katıdır.

Buna göre, koşuda yarışan bayan atletlere verilen en son numara kaçtır?

A) 42 B) 40 C) 38 D) 36 E) 34

15.

A = 2.5 + 3.6 + 4.7 + .... + 18.21

olduğuna göre, 12 + 20 + 30 + .... + 380 toplamının A cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) A + 32 B) A + 34 C) 2A + 10 D) 2A + 24 E) 4A

16.

x, y ve z pozitif tam sayıları için x + y = 31

z

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

A) x + y + 2z B) x.y.z C) x.y + z D) y + z E) x.z + y.z