Bir süreksiz sturm-liouville probleminin green fonksiyonu

FEN EDEBYAT FAKÜLTES

BR SÜREKSZ STURM-LIOUVILLE PROBLEMNN GREEN FONKSYONU

OSMAN DEMR Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal Yrd. Doç. Dr. Zülgar AKDO‡AN

2010

FEN EDEBYAT FAKÜLTES MATEMATK ANABLM DALI

YÜKSEK LSANS TEZ

BR SÜREKSZ STURM-LIOUVILLE PROBLEMNN GREEN

FONKSYONU

OSMAN DEMR

TOKAT 2010

ile Matematik Anabilim Dal'nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmi³tir.

Ba³kan: Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU

Üye: Doç. Dr. E³ref ORUCOV

Üye: Doç. Dr.Mehmet ATÇEKEN

Üye : Yrd. Doç. Dr. Zülgar AKDO‡AN

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ercan TUNÇ

mza:

mza:

mza:

mza:

mza:

Yukardaki sonucu onaylarm (mza)

Prof. Dr. Metin YILDIRIM Enstitü Müdürü

kurallarna uyuldu§unu, ba³kalarnn eserlerinden yararlanlmas durumunda bilimsel normlara uygun olarak atfta bulunuldu§unu, tezin içerdi§i yenilik ve sonuçlarn ba³ka bir yerden alnmad§n, kullanlan verilerde herhangi bir tahrifat yaplmad§n, tezin herhangi bir ksmnn bu üniversite veya ba³ka bir üniversitedeki ba³ka bir tez çal³mas olarak sunulmad§n beyan ederim.

mza

Yüksek Lisans Tezi

BR SÜREKSZ STURM-LIOUVILLE PROBLEMNN GREEN FONKSYONU OSMAN DEMR

Gaziosmanpa³a Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dal

Dan³man : Yrd. Doç. Dr. Zülgar AKDO‡AN

Bu tez çal³masnda geçi³ ³artlar ile verilmi³ süreksiz Sturm-Liouville problemi incelenmi³tir. Operatör-teorik yorum verilerek, özde§er ve özfonksiyonlarn asimptotik formülleri elde edilmi³tir. Bu çal³madaki farkllk, denklemin katsaylarnn süreksiz olmas ve snr ³artlarna süreksizlik noktasnda çözümün sa§ ve sol de§erleri arasndaki ba§nty belirten geçi³ ³artlarnn eklenmesidir. Bu tez çal³mas alt bölümden olu³maktadr. Birinci bölümünde yaplan çal³mann teorik ve pratik önemi belirtilmi³tir. kinci bölümünde, konuyla ilgili çal³malar hakknda genel bilgiler verilmi³tir. Üçüncü bölümünde problemin çözümünde kullanlan temel kavramlar verilmi³tir. Dördüncü bölümünde, yaralanlan materyal ve metotlara yer verilmi³tir. Be³inci bölümünde, süreksiz Sturm-Liouville probleminin özde§erleri incelenip asimptotik ifadeler elde edilip, problemin Green fonksiyonu bulunmu³tur. Son bölümünde ise, çal³mada elde edilen sonuçlar ve bu sonuçlarn önemine de§inilmi³tir.

2010, 81 sayfa

Anahtar kelimeler: Özde§erler, Özfonksiyonlar, Snr de§er problemleri, Asimptotik davran³, Geçi³ ³artlar , Snr ³artlar, Sturm-Liouville problemleri, Green Fonksiyonu.

Undergreduate Thesis

GREEN FUNCTION OF ONE DISCONTINUOUS STURM-LIOUVILLE PROBLEM OSMAN DEMR

Gaziosmanpasa University Faculty of Arts and Sciences

Department of Mathematics

Supervisor : Yrd. Doç. Dr. Zülgar AKDO‡AN

In this thesis, discontinuous Sturm-Liouville problem with transmission conditions are investigated. An operator-theoretic interpretation is given and asymptotic formulas for eigenvalues and corresponding eigenfunctions are obtained. The main different of this study is the discontinuity of coefcients of the boundary value transmission problem. The conditions, which expressed the correlation between left and right limit values of solution, are added to the boundary condition at the point of discontinuity. This thesis has consisted of six chapters. In the rst chapter, theoretical and practical importance of the problem are determined. In the second chapter, a brief knowledge related to the thesis are given. The third chapter deals with the fundamental concepts obtained result for solution of problem. Materials and methods are used for the solution of the problem stated in the fourth section. In the fth section, eigenvalues of the discontinuous Sturm-Liouville problem is investigated and obtained asymptotic representations and Green function of the problem is found. In the last section, the results implications of obtained in the present study are discussed.

2010, 81 pages

Key words: Eigenvalue, Eigenfunction, Asymptotic, Behavior, Boundary - Value problems, Transmission Conditions, Boundary Conditions, Sturm Liouville Problems, Green Function.

Dr. Zülgar AKDO‡AN'na, Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU' na, Yrd. Doç. Dr. Ercan TUNÇ'a ve her zaman manevi desteklerini hissetti§im Matematik Anabilim dal ö§retim üyelerine ³ükranlarm sunarm. Ayrca çal³mann tamamlanmasnda ve düzeltmelerinde eme§i geçen Ar³. Gör. Serdar ENGNO‡LU' na, yardmlarndan dolay Ar³. Gör. Serkan DEMRZ'e Ar³. Gör. Hayati OL‡AR'a ve Ar³. Gör. Kadriye AYDEMR'e te³ekkür ederim.

Beni bu tarz çal³malara te³vik eden sevgili aileme te³ekkür ederim.

ÖZET . . . i ABSTRACT . . . ii TE“EKKÜR . . . iii 1. GR“ . . . 1 2. LTERATÜR ÖZET . . . 7 3. GENEL BLGLER . . . 9

3.1 Lineer Diferansiyel fade ve Snr “artlar . . . 9

3.2 Diferansiyel Operatörlerin Özde§erleri ve Özfonksiyonlar . . . 10

3.3 Sturm-Liouville Problemleri . . . 10

3.4 Kompleks Fonksiyonlar ve Diziler çin Asimptotik Davran³lar . . . 12

3.5 Kompleks Fonksiyonlarn Sfr Yerlerinin SaysHakknda Teorem . . . . 13

3.6 SnrlVaryasyonlu Ve Mutlak De§erli Fonksiyonlar . . . 13

3.7 Hilbert Uzaynda Simetrik Operatörler . . . 14

3.8 Parametreye Ba§lSnr-De§er Probleminin Çözümünün Varl§, Tekli§i ve Parametreye Göre Tamlk Teoremi . . . 15

3.9 Green Fonksiyonu . . . 15

4. METOTLAR . . . 17

5. BULGULAR . . . 18

5.1 Snr De§er Probleminin fadesi . . . 18

5.2 Uygun Hilbert Uzayve Operatör-Teorik Yorum . . . 19

5.3 A Operatörünün Simetrikli§i . . . 20

5.4 Temel çözümler ve Karakteristik Fonksiyon . . . 24

5.5 BazBa³langç De§er Problemlerinin ntegral Denklemlere ndirgenmesi . 31 5.6 Karakteristik Fonksiyonun Asimptoti§i . . . 60

5.7 Özde§erler çin Asimptotik Formüller . . . 62

5.8 Özfonksiyonlar çin Asimptotik Formüller . . . 65

5.9 Snr De§er Probleminin Green Fonksiyonu . . . 70 iv

KAYNAKLAR . . . 79 ÖZGEÇM“ . . . 81

Matematiksel zikteki problemlerin ço§u, ksmi türevli lineer diferansiyel denklemler için ba³langç- snr de§er problemine indirgenebilmektedir. Bu problemlerin önemlilerinden biri Sturm-Liouville problemidir. Özde§er parametresi içeren bu snr de§er probleminin çözümünde kullanlan yöntemlerden biri özfonksiyon yöntemidir. Yöntemin temel özelli§i, ba³langç ya da snr ³artlarna göre çözülebilen adi diferansiyel bir denklem kümesiyle, ksmi diferansiyel denklemin yer de§i³imidir.

Örnek olarak u(x, 0) = f(x) ba³langç ss bilinen, termal difüzyonitesi α2_{ve uzunlu§u}

Lolan bir bakr çubu§un s iletim problemi dü³ünülsün. t > 0 için çubu§un iki ucu sabit 00 _{C oldu§unda, çubu§un ss x ve t fonksiyonuna göre bulunsun. Matematiksel zik}

problemi,

ut = α2uxx, 0 < x < L, t > 0 (1.1)

ksmi diferansiyel denklemi için

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0 (1.2)

biçimindeki snr ³artn ve

u(x, 0) = f (x), 0 < x < L _(1.3)

biçimindeki ba³langç ³artlarn sa§layan çözümün bulunmas problemine indirgenebilir. Yani diferansiyel denklem t annda x noktasndaki scakl§ gösteren u(x, t) iki de§i³kenli fonksiyonun sa§lad§ denklemdir.

Adm 1: lk önce 1.1 denkleminin çözümü

u(x, t) = T (t)X(x) (1.4)

Adm 2: 1.4 ifadesi 1.1 de yerine yazlrsa,

d

dtT (t)X(x) = α

2_{T (t)} d2

dx2X

elde edilir. Her iki taraf α2_{T (t)X(x)ile bölünürse,}

d dtT (t) α2_{T (t)} = d2 dx2X(t) X(t) (1.5)

e³itli§i elde edilir.

Adm 3: 1.5 denkleminde, sol tarafn yalnz t nin ve sa§ tarafn yalnz x in fonksiyonu oldu§undan dolay bir K ayrma sabitine e³ittir. Dolaysyla 1.5 denkleminden

d dtT (t) α2_{T (t)} = d2 dx2X(t) X(t) = K (1.6)

elde edilir. Buradan

d2

dx2X(t) = KX(x), (1.7)

d

dtT (t) = α

2_{KT (t) (1.8)}

e³itlikleri yazlabilir. Bu denklemler 1.2 ve 1.3 ba³langç ve snr ³artlar ile verilen Sturm-Liouville problemidir.

Adm 4: K = −λ2 _{< 0oldu§unda 1.7 denkleminden}

d2

dx2X(t) + λ

2_{X(x) = 0 (1.9)}

denkleminin çözümü

X(x) = A sin λx + B cos λx (1.10)

olacaktr. Ba³langç ³artlarndan 1.2 ve 1.4'ten

Ave B sabitleri bulunur. 1.10'dan

X(0) = B,

dolaysyla ilk snr ³artndan B = 0 dr. Böylece

X(x) = A sin λx (1.12)

X(L) = A sin λL

bulunur.

kinci snr ³art X(L) = 0 dan ya A = 0 yada sin λL = 0 dr. lk A = 0 durumu

X(x) ≡ 0 a³ikar çözümü verir. A³ikar olmayan çözümler için

λ = nπ

L ≡ λn, n = 1, 2, 3, ... (1.13)

özde§erini sa§layan sin λL = 0 durumu kullanlacaktr. 1.12 ve 1.13 ten özde§ere kar³lk gelen özfonksiyon

X(x) = sin λnx ≡ Xn(x) (1.14)

dir. K > 0 ve K = 0 için problemin a³ikar çözümü oldu§u kolayca gösterilebilir. Böylece a³ikar olmayan çözümler için K nn yalnz negatif durumunda mümkündür. Buradan K = −λ2_n= −(nπ L ) 2_{, n = 1, 2, 3, ...} yazlabilir. Adm 5: 1.8 denkleminden d dtT = −α 2_λ2 nT (t) (1.15)

elde edilir. Her bir n de§eri için çözüm

T (t) = Tn(t) = Tn(0)e−α

2_λ2

nt (1.16)

Adm 6: Burada 1.1 denkleminin 1.2 snr ³artlarn sa§layan herbir n = 1, 2, 3, ... de§erine kar³lk gelen sonsuz sayda

un(x, t) = Tn(t)Xn(x) = Tn(0)e−α

2₍nπ

L)2tsinnπx

L , (1.17)

çözümleri bulunmu³tur. 1.17 de Tn(0) lar 1.3 ba³langç ³artndan belirlenen key

sabitlerdir. Ama bu, 1.3 ba³langç ³art bir sinüs fonksiyonu ise mümkündür. Örnek olarak ba³langç ³art

u(x, 0) = sin πx L , un(x, t) = Tn(t)Xn(x) = Tn(0)e−α 2₍nπ L)2tsinnπx L , (1.18)

ise n = 1 alarak T1(0) = 1dir. Bu

u(x, t) = e−α2(nπL)2tsinnπx

L (1.19)

çözümü oldu§unu gösterir.

Adm 7: Daha genel ba³langç ³artlarn sa§lamas için, daha genel çözüm kurulmaldr. 1.1 denklemi 1.2 snr ³artlar homojen olduklarndan onlarn sonlu saydaki toplam da 1.1 denklemini ve 1.2 snr ³artlarn sa§lar (süperpozisyon gere§i). Ayrca baz ek ³artlar altnda (serilerin yaknsakl§n ve terim terim diferansiyellenebilirli§ini sa§layacak ³artlar altnda)

u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t) + ... = ∞ X n=1 un(x, t) (1.20) = ∞ X n=1 Tn(0)e−α 2₍nπ L)2tsinnπx L (1.21)

serisinin toplam da 1.1 denklemini ve 1.2 snr ³artlarn sa§lar.

Adm 8: “imdi 1.3 ba³langç ³artn sa§lamas için daha genel 1.21 çözümü kullanlr. Yani 1.21 ifadesi 1.3 ba³langç ³artnda yerine yazlrsa,

f (x) = ∞ X n=1 Tn(0) sin nπx L , 0 < x < L (1.22)

elde edilir. Verilen f(x) için Tn(0)hesaplanacaktr.

Adm 9: E§er f(x) fonksiyonu bir

f (x) = ∞ X n=1 ansin nπx L , 0 < x < L (1.23)

Fourier sinüs serisi olarak bilinen cinsten ifade edilirse, 1.22 ve 1.23 denklemlerinden

Tn(0) = an, n = 1, 2, 3, ...tür.

1.23 denkleminin her iki taraf herhangi m tamsays için sinmπx

L ile çarplr ve tanm

bölgesi üzerinde integrali alnrsa: Z _L 0 f (x) sinmπx L dx = ∞ X n=1 an Z _L 0 sinnπx L sin mπx L dx (1.24) elde edilir.

1.24'de integral ve toplamn sras de§i³tirilirse (Seri düzgün yaknsak ise bu mümkündür),

2 L Z _L 0 sinnπx L sin mπx L dx = δmn ≡    1 m = n ise 0 m 6= n ise (1.25) sinüsün diklik ba§ntsndan 1.25'i 1.24'de yerine yazlrsa,

∞ X n=1 anL 2δmn = L 2am (1.26)

elde edilir. 1.26, 1.24'ün sol tarafna e³itlenirse,

am = 2 L Z _L 0 f (x) sinmπx L dx, m = 1, 2, 3, ... (1.27)

elde edilir. m key bir indis oldu§u için 1.27'den

an = 2 L Z _L 0 f (x) sinnπx L dx (1.28)

elde edilir.

Adm 10: Sonunda snr ³artlarn ve ba³langç ³artn sa§layan 1.1 ksmi diferansiyel denklemi an = 2 L Z _L 0 f (x) sinnπx L dx için u(x, t) = ∞ X n=1 ane−(α nπ L)2tsinnπx L , 0 < x < L

serisi biçiminde bulunur.

Bu örnekten de görüldü§ü gibi matematik zik problemleri özfonksiyon yöntem ile çözerken verilmi³ f(x) fonksiyonunu özfonksiyonlarnn serisine açabilmek gerekir. Yani, aslnda adi diferansiyel denklemler için snr-de§er probleminin özfonksiyonlar sisteminin hangi fonksiyonel uzayda baz olu³turdu§unu ara³trmak gerekir.

Bunun için özde§erlerinin ve özfonksiyonlarnn bulunmas gerekmektedir. Ancak, baz özel durumlar hariç özde§er özfonksiyonlarn tam olarak bulunmas imkanszdr. Böyle durumlarda matematik zik problemlerinin yakla³k çözümleri veya çözüme yaknsayan fonksiyonlar dizisinin in³aas problemi incelenir. Bu problemi ara³trmak için genelde özde§er ve özfonksiyonlarn asimptotik davran³lar ara³trlr.

Özde§er parametresine ba§l adi diferansiyel denklemler için snr-de§er problemleri ilk defa s iletimi problemi ile olarak C.Sturm-J.Liouville tarafndan 19. yüzyln ilk yarsnda matematiksel zik alannda, Fourier yöntemi ele alnm³tr. Yakla³k 50 yl sonra bu konuda ilk ciddi sonuçlar Birkhoof (1908), tarafndan bulunmu³tur. Bu tip problemlerde Birkhoff (1908), özde§er parametresine ba§l adi diferansiyel denklemlerin temel çözüm sistemindeki çözümler için asimptotik e³itlikler elde etmi³, regüler snr ³artlarn tanmlam³ ve bu regüler snr de§er problemleminde özfonksiyonlara ba§l fonksiyonlar sisteminin taml§ ile ilgili teorem ispatlanm³tr.

Bundan sonra Tamarkin (1907), snr ³artlarnda güçlü regülerlik kavramn bulmu³ ve bu durumda özde§erler için asimptotik formüller elde etmi³, regülerlik durumda ise Green fonksiyonu de§erlendirmi³ ve özfonksiyonlar ile özfonksiyonlara ba§lanm³ fonksiyonlar sistemi için seri açlm teoremleri ispatlanm³tr.

Bu alandaki çal³malarla ilgili olarak kaynaklar ksmndaki kitap ve makalelerde yeteri kadar bilgi verildi§inden sadece tez konumuzla alakal baz çal³malarn ksa bir özetini verilecek.

Walter (1973), özde§er parametresini hem denkleminde hem de snr ³artlarnda bulunduran ikinci mertebeden adi diferansiyel denklem için snr de§er probleminin uygun Hilbert uzaylarnda kendine e³lenik operatörle ba§lantsn kurmu³ ve bu ³ekildeki problemler için operatör-teorik yorumunu vermi³tir. Bunlarla birlikte bu çal³mada Hilbert uzaylarnda kendine e³lenik operatör teorisinden yararlanarak özfonksiyonlar üzerine açlm teoremi ispatlanm³tr.

Ancak Schneider (1974), snr ³artlarnn bir tanesinde özde§er parametresi içeren uygun problem için açlm teoremini farkl bir yöntemle, S-hermityen yöntemiyle ara³trm³tr. Fakat Schneider bu çal³masnda açlm teoremini sadece düzgün fonksiyonlar için ispatlam³tr.

Fulton (1977), çal³malarnda bu tipten problemlerin ara³trlmasnda Titchmarsh (1962)'n klasik yöntemlerin snr ³artlarnda özde§er parametresi içeren problemlere de uygulanabilece§ini (özellikle özde§er ve özfonksiyonlar için asimptotik formüllerin bulunmasnda) göstermi³tir. Fulton bu çal³masnda klasik yöntemlerle Walter (1973)'in operatör-teorik yöntemini organik bir ³ekilde birbiri ile ba§layarak yeni bir yöntem geli³mi³tir. Bu çal³mada özde§er parametresinin snr ³artlarnn sadece bir tanesinde lineer olarak bulundu§u durum için özde§er ve özfonksiyonlarn asimptoti§i bulunmu³ ve farkl açlm teoremleri ispatlanm³tr. Russakovskiy (1975), bu çal³malardan farkl olarak snr ³artlarnda polinom biçiminde özde§er parametresi içeren problemler için operatör-teorik yorumu vermi³tir. Daha sonraki yllarda bu konularla ilgili en önemli çal³malar Kerimov ve Memodov (1999), Yakubov (1999), tarafndan yaplm³tr.

Son yllara kadar ki çal³malarda sürekli problemler incelenmi³ ve geçi³ ³artlarn içeren çok az sayda ara³trma yaplm³tr. Bunlardan tez konumuza en yakn olanlar Titeux ve Yakubov (1997), Mukhtarov ve Yakubov (2002), Altn³k (2004), Mukhtarov ve ark. (2004), Tunç ve Mukhtarov (2004)'un çal³malardr. Bu çal³malarda snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran ve geçi³ ³artlar ile verilen süreksiz Sturm-Liouville problemi incelenmi³tir. Mukhtarov ve ark. nn birlikte yapt§ özde§erli parametreye ba§l snr de§er ³artlar ve özde§er parametresine ba§l geçi³ ³artlar olan çal³malarnda ise problemin operatör-teorik yorumu, özfonksiyonlarn ve özde§erlerin asimptotikli§i, Green fonksiyonu, rezolvent operatörünün de§erlendiilmesi self-adjointli§i incelenmi³tir. Bu seminer çal³masnda ele ald§mz problem de süreksiz Sturm-Liouville problemidir.

3.1 Lineer Diferansiyel fade ve Snr “artlar

Pi(x) : R −→ R (i = 0, 1, 2, ..., n), sürekli fonksiyonlar olmak üzere

l(y) := p0(x)y(n)+ p1(x)y(n−1)+ ... + pn(x)y, x ∈ (a, b) (3.1.1)

biçimindeki ifadeye n−mertebeden lineer diferansiyel ifade denir. Genel olarak her x için p0(x) 6= 0 oldu§u kabul edilir.

u(y) := α0y(a) + α1y0(a) + ... + αn−1y(n−1)(a)

+β0y(b) + β1y0(b) + ... + βn−1y(n−1)(b) (3.1.2)

biçimindeki ifadeye ise snr de§er ifadesi denir. Ui(y), i = 1, 2, ..., mifadeleri snr de§er

ifadeleri oldu§unda

Ui(y) = 0, i = 1, 2, ..., m (3.1.3) biçimindeki e³itlikler snr ³artlar olarak adlandrlr.

Bilindi§i gibi C[a, b] ile, [a, b] aral§nda tanml ve sürekli olan fonksiyonlarn lineer uzay gösterilir.

{f ∈ C[a, b] |f0_{, f}00_{, ..., f}(n)_{∈ C[a, b]}}

lineer uzay ise C(n)_{[a, b]biçiminde gösterilir. L : C[a, b] −→ C[a, b]}

D(L) = D{y ∈ C[a, b], y ∈ C(n)_{[a, b], U}

i(y) = 0, i = 1, 2, ..., m} L(y) = l(y) = p0(x)y(n)+ p1(x)y(n−1)+ ... + pn(x)y

e³itlikleri ile tanmlanan L−lineer operatörüne lineer diferansiyel operatör veya l(y) diferansiyel ifadesi ile

snr ³artlarnn üretti§i lineer diferansiyel operatör denir (Naimark, 1967).

Not: Literatürde C[a, b] uzayndan tanml olan operatörle birlikte Lq[a, b], q < 1

tipinde uzayda tanml olan lineer diferansiyel operatörler de incelenmektedir.

3.2 Diferansiyel Operatörlerin Özde§erleri ve Özfonksiyonlar

Ly = λoy (3.2.1)

operatör denkleminin yo 6= 0 çözümü varsa, bu çözüme L operatörünün özelementi

(özfonksiyonu), λo saysna ise özde§eri denir. Bir ba³ka deyi³le

P0(x)y(n)+ P1(x)y(n−1)+ ... + Pn(x)y = λoy (3.2.2)

lineer diferansiyel denkleminin 3.1.3 snr ³artlarnn her birini sa§layan y0  0 çözümü

varsa, λo de§erine snr de§er probleminin özde§eri, y0  0 çözümüne ise bu özde§ere

uygun özfonksiyon denir (Naimark, 1967).

3.3 Sturm-Liouville Problemleri

Hher hangi Hilbert uzay L : H −→ H ise bu uzayda tanml olan lineer operatör olsun. E§er her hangi λ0 skaleri için (H uzaynn cisminden alnm³ Ly0 = λ0y0 olacak

biçimde y0 ∈ H, y0 6= 0 eleman bulunursa, λ0 saysna L operatörünün özde§eri, y0

elemanna ise bu özde§er uygun olan özeleman (veya özvektör) denir. Uygulamalarda sk sk rastlanan diferansiyel operatörlerden biri de

L ≡ − d

biçiminde ifade edilen operatördür (bu operatör genelde H = L2(a, b) biçimindeki

Hilbert uzaylarnda incelenmektedir.) L−operatörü için en önemli snr ³artlar

y(a) cos α + y0_{(a) sin α = 0}

y(b) cos β + y0_{(b) sin β = 0 (3.3.1)}

(α, β ∈ [0, π)) biçiminde veya

y(a) = y(b)

y0_{(a) = y}0_{(b) (3.3.2)}

biçiminde verilmi³ snr ³artlardr.

Ly(x) = −y00_{+ q(x)y = λy (3.3.3)}

denkleminin 3.3.1 veya 3.3.2 tipindeki snr ³artlarn sa§layan çözümlerinin bulunmas problemi klasik Sturm-Liouville problemleri olarak adlandrlr.

E§er [a, b] aral§ snrl , q(x) fonksiyonu integrallenebilir ise o halde böyle problemler regüler Sturm-Liouville problemleri denir. Daha genel olan

y00_{+ p(x)y}0_{+ {l(x) + λr(x)}y = 0 (3.3.4)}

biçimindeki diferansiyel denklemlerde (x, y) de§i³kenlerinden (t, u) de§i³kenlerine

t = R_x a p r(s)ds R_b a p r(s)ds u(t) =p4 _r(x)e1₂R_axp(s)ds_y(x)

Laplace dönü³ümü ile geçersek, 3.3.4 denklemi

u00_{+ q(t)u = −λu}

kronik denklemine dönü³ür. Burada r(x) > 0 olmak üzere, ikinci mertebeden sürekli diferansiyellenebilir bir fonksiyon; p(x) ise 1.mertebeden sürekli diferansiyellenebilir

fonksiyondur. Ayrca bu durumda [a, b] aral§ da [0, 1] aral§na dönü³mü³ olur (Levitan, Sarqsyan, 1988).

3.4 Kompleks Fonksiyonlar ve Diziler çin Asimptotik Davran³lar

G ⊂ C snrsz bir bölge ve f, g : G −→ C kompleks fonksiyonlar için

|f (z)| ≤ M |g(z)| , z ∈ G ∩ {z : |z| > R}

e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde R > 0, M > 0 saylar mevcutsa

f (z) = O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞

³eklinde yazlr. Bu ifadeye asimptotik e³itlik denir. E§er,

f (z) − h(z) = O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞

ise o halde

f (z) = h(z) + O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞

yazlr.

ki tane {an} ve {bn} reel veya kompleks say dizileri verilsin. E§er

|an| ≤ M |bn| , n ≥ N

olacak ³ekilde M > 0 reel says ve N do§al says varsa, bu durumda

an= O(bn)

yazlr. E§er

ise

an = cn+ O(bn)

biçiminde gösterilir.

3.5 Kompleks Fonksiyonlarn Sfr Yerlerinin Says Hakknda Teorem

Tanm 3.5.1. f : C −→ C fonksiyonu ve z0 ∈ C noktas verilsin. E§er her hangi bir

K do§al says için f(z0) = f0(z0) = ... = f(k−1)(z0) = 0, f(k)(z0) 6= 0ise bu durumda

z = z0 noktasna f(z) fonksiyonunun k katl sfr yeri denir.

Teorem (Rouche Teoremi) 3.5.2. Kompleks düzlemdeki kapal düzlenebilir Γ e§risinin içinde ve üzerinde analitik olan f(z) ve ϕ(z) kompleks fonksiyonlar verilsin. E§er her z ∈ Γ için,

|f (z)| > |ϕ(z)|

ise, o halde Γ e§risinin içinde f + ϕ fonksiyonunun sfr yerlerinin says f fonksiyonunun sfr yerlerinin saysna e³ittit; burada her sfr yeri kat sayda hesaplanr (Ulucay, 1971).

3.6 Snrl Varyasyonlu Ve Mutlak De§erli Fonksiyonlar

Tanm 3.6.1. f : [a, b] −→ R fonksiyonu verilsin. [a, b] aral§nn bütün mümkün olan

p = {x0, x1, ..., xn : a = x0 < x1 < ... < xn = b n ∈ N}

parçalan³larnn kümesini P ile gösterelim. Her P parçalan³ için

Vp(f ) = n

X

k=1

toplamn olu³turalm. E§er

sup

p∈PVp(f ) < +∞

ise, f(x) fonksiyonuna [a, b] aral§nda snrl varyansyonludur denir ve

Va(f ) = sup p∈P

Vp(f )

saysna f fonksiyonunun [a, b] aral§nda tam varyansyonu denir.

Teorem 3.6.2. Snrl varyansyonlu ve f(x) fonksiyonunun [a, b] aral§nda hemen-hemen her yerde sonlu f(x) türevi var, bu türev fonksiyonu [a, b] aral§nda Lebesgue anlamnda integrallenebilir.

Tanm 3.6.3. Her ε > 0 için

n X k=1 (bk− ak) < δ ⇒ X k |f (bk) − f (ak)| < ε

olacak biçimde δ > 0 says varsa, o zaman bu f fonksiyonuna [a, b] aral§nda mutlak süreklidir denir (Burada n ∈ N; (ak, bk) ⊂ [a, b], k = 1, 2, ...aralklar ile sonlu sayda

key ayrk aralklardr).

Her mutlak sürekli fonksiyon hemen-hemen her yerde sonlu f(x) türevi var, bu türev fonksiyonu [a, b] aral§nda Lebesgue anlamnda integrallenebilir (Lang, 1983).

3.7 Hilbert Uzaynda Simetrik Operatörler

Tanm 3.7.1. H−Hilbert uzay ve A : D(A) ⊂ H −→ H lineer operatörü verilsin.

hAx, yi_H = hx, Ayi_H

e³itli§i her x, y ∈ D(A) için sa§lanyorsa A operatörüne simetrik operatör denir. Simetrik operatörlerin bütün özde§erleri reel ve farkl özde§erlere uygun özfonksiyonlar ortogonaldr (Smirnov, 1964).

3.8 Parametreye Ba§l Snr-De§er Probleminin Çözümünün Varl§ , Tekli§i ve Parametreye Göre Tamlk Teoremi

q : [a, b] −→ R sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

−u00_{+ q(x)u = λu, x ∈ [a, b]}

u(a) = sin α, u0_{(a) = − cos α α ∈ [0, π)}

ba³langç de§er probleminin bir tek u(x, λ) çözümü bulunur ve bu çözüm her x ∈ [a, b] için λ ∈ C parametresinin tam fonksiyonudur (Titchmarsh, 1939).

3.9 Green Fonksiyonu

Tanm 3.9.1. `(y) diferansiyel ifadesinin ve Ui(y) = 0, i = 1, 2, 3, ..., nsnr ³artlarnn

üretti§i L lineer operatörü için Ly = 0 denkleminin tek y = 0 a³ikar çözümünün bulundu§unu kabul edelim. Bu halde `(y) = 0 denkleminin her bir y1, y2, ..., yn lineer

ba§msz çözüm sistemi için

det kUi(yj)k_{i,j=1,2,...,n} 6= 0

olaca§ndan L operatörünün L−1 _{ters operatörü olacak ve bu ters operatörün}

L−1_{f =}

Z _b

a

G(x, t)f (t)dt (3.9.1)

biçiminde ifade edilebilece§i bilinmektedir. Bu durumda 3.9.1 integral operatörünün

G(x, t)çekirde§ine L lineer operatörünün Green fonksiyonu denir. Green fonksiyonun bulunmas için a³a§daki Teorem yaygn bir ³ekilde uygulanmaktadr.

Teorem 3.9.2. E§er Ly = 0 snr-de§er probleminin sadece y = 0 a³ikar çözümü varsa, o halde L lineer diferansiyel operatörünün bir tek G(x, t) Green fonksiyonu var ve bu fonksiyon a³a§daki ³artlar sa§lar:

1. G(x, t) fonskiyonu süreklidir ve her t ∈ [a, b] için x-de§i³kenine göre bütün [a, b] aral§nda (n − 2). mertebeden sürekli diferansiyellenebilir.

2. G(x, t) fonskiyonu her t ∈ [a, b] için [a, t) ve (t, b] aralklarnn her birinde x-de§i³kenine göre (n − 1). mertebeden sürekli diferansiyellenebilir ve (n − 1). mertebeden türev fonsiyonu x = t noktasnda 1

p0(t) sçramasna sahiptir, yani

∂n−1 ∂x∂n−1G(t + 0, t) − ∂n−1 ∂x∂n−1G(t − 0, t) = 1 p0(t)

3. [a, t) ve (t, b] aralklarnn her birinde G(x, t) fonskiyonu x-de§i³kenine göre `(y) = 0 diferansiyel denklemini ve Ui(y) = 0, i = 1, 2, 3, ..., nsnr ³artlarn sa§lyor.

Bunun tersi de do§rudur. Yani, teoremin ³artlar altnda (1.)-(3.) snr ³artlarn sa§layan bir tek G(x, t) fonskiyonu var ve bu fonksiyon L operatörü için Green fonksiyonudur (Naimark, 1967).

Tez çal³mamzda kaynaklar bölümünde verilmi³ olan kitap ve makalelerden materyal olarak yararlanld. Bunlara ek olarak regüler Sturm-Liouville teorisi ve yöntemleri fonksiyonel, reel ve kompleks analizden bilinen baz temel tanmlar kullanlm³tr. Sürekli katsayl problemler için kullanlan materyal metotlar, süreksiz katsayl problemlere uygulanm³tr. Ayrca opeatörlerin baz temel özellikleri, rouche teoremi, lineer integral denklemlerin çözümlerinin asimptoti§ini bulma yöntemleri kullanlm³tr.

5.1 Snr De§er Probleminin fadesi

Bu bölümde L2(a, c) ⊕ L2(c, b)Hilbert uzaynda süreksiz katsayl

τ u := −p(x)u00_{+ q(x)u = λu, x ∈ [a, c) ∪ (c, b] (5.1.1)}

denkleminden;

l1(u) := u(a) = 0 (5.1.2)

l2(u) := u(b) = 0 (5.1.3)

snr ³artlarndan ve de x = c noktasndaki

T1(u) := γ1u(c − 0) − γ2u(c + 0) = 0 (5.1.4)

T2(u) := δ1u0(c − 0) − δ2u0(c + 0) = 0 (5.1.5)

geçi³ ³artlarndan olu³an snr-de§er-geçi³ probleminin özde§erleri, özfonksiyonlar ara³trlacak, özde§erlerin reel oldu§u ispat edilecek.

Buradan p1, p2 ∈ Rve p1 > 0, p2 > 0olmak üzere

p(x) =    p2 1, x ∈ [a, c) p2 2, x ∈ (c, b]

parçal sabit ve reel de§erli fonksiyon, q(x); x ∈ [a, c) ve x ∈ (c, b] aralklarnda sürekli olan, x = c noktasnda ise sonlu q(±0) limit de§erlerine sahip olan fonksiyondur. Snr ³artlarnda bulunan γ1, γ2, δ1, δ2 sfrdan farkl ve γ1γ2δ1δ2 > 0 ³artn sa§layan reel

5.2 Uygun Hilbert Uzay ve Operatör-Teorik Yorum

Önce verilmi³ probleme uygun olan özel bir Hilbert uzay , sonra da bu uzayda verilmi³ snr-de§er-geçi³ problemi ile ayn özde§erlere sahip olan lineer operatör kurulacaktr.

L2(a, c) ⊕ L2(c, b) Hilbert uzaynda; u, v ∈ L2(a, c) ⊕ L2(c, b)elemanlarnn iç çarpm

hu, vi = 1 p2 1γ2δ2 Z _c a u(x)v(x)dx + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c u(x)v(x)dx (5.2.1)

e³itli§i ile tanmlansn. L2(a, c) ⊕ L2(c, b)uzaynn bu iç çarpm altnda bir Hilbert uzay

oldu§u açktr. Bu Hilbert uzay Hp ³eklinde gösterilecektir. Herhangi aralklarda

diferansiyellenebilir iki u(x) ve v(x) fonksiyonlarnn Wronskiyen'ini ise

W (u, v; x) = u(x)v0_{(x) − v(x)u}0_(x)

³eklinde gösterilecektir.

Verilmi³ 5.1.1-5.1.5 snr-de§er problemine uygun olan A : Hp −→ Hplineer operatörünü

D(A) = { u(x) | u(x) ve u0_{(x) f onksiyonları [a, c) ve (c, b] aralıklarında mutlak} s¨ureklidirler ve sonlu u(c ± 0) ve u0_{(c ± 0) limit de˘gerleri mevcuttur.} −p(x)u00_{+ q(x)u ∈ L}

2(a, c) ⊕ L2(c, b), li(u) = 0,

Ti(u) = 0, (i = 1, 2) } (5.2.2)

(5.2.2) tanm bölgesinde

Au := −p(x)u00+ q(x)u (5.2.3)

formülü ile tanmlanrsa, 5.1.1-5.1.5 snr-de§er problemi Hp uzaynda

Au = λu _(5.2.4)

operatör denklem ³eklinde yazlabilir. A operatörünün özde§erleri ve özfonksiyonlarna 5.1.1-5.1.5 snr-de§er probleminin özde§eri ve özfonksiyonlar denecektir.

5.3 A Operatörünün Simetrikli§i

Teorem 5.3.1: 5.2.2-5.2.4 e³itlikleri ile tanml A operatörü simetriktir.

spat: ∀u, v ∈ D(A) için hAu, viHp iç çarpm a³a§daki gibi ifade edilir.

hAu, vi_Hp = 1 p2 1γ2δ2 Z _c a Au(x)v(x)dx + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c Au(x)v(x)dx (5.3.1) 1 p2 1γ2δ2 Z _c a {−p(x)u00+ q(x)u}v(x)dx = − 1 γ2δ2 Z _c a u00(x)v(x)dx + 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)v(x)dx

iki kere ksmi integrasyon uygulanrsa,

= − 1 γ2δ2 {u0(x)v(x) |c_a − Z _c a u0(x)v0_{(x)dx} +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)v(x)dx = 1 γ2δ2 Z _c a u0_(x)v0_{(x)dx +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)uvdx − 1 γ2δ2 (u0_{(x)v(x) |}c a) = 1 γ2δ2 {u(x)v0_{(x) |}c a− Z _c a u(x)v00_{(x)dx} +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)vdx − 1 γ2δ2 (u0_{(x)v(x) |}c a) = 1 γ2δ2 Z _c a u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)vdx + 1 γ2δ2

{u(c − 0)v0_{(c − 0) − u(a)v}0_{(a)} −} 1 γ2δ2 {u0_{(c − 0)v(c − 0) − u}0_(a)v(a)} = − 1 γ2δ2 Z _c a u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)vdx + 1 γ2δ2 W (u, v; c − 0) − 1 γ2δ2 W (u, v; a) (5.3.2)

Benzer ³ekilde 1 p2 2γ1δ1 Z _b c Auvdx = 1 p2 2γ1δ1 Z _b c {−p(x)u00_{+ q(x)u}vdx} = 1 p2 2γ1δ1 Z _b c −p(x)u00_{vdx +} 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)uvdx = − 1 γ1δ1 Z _b c u00(x)v(x)dx + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)u(x)v(x)dx = − 1 γ1δ1 {u0_{(x)v(x) |}b c− Z _b c u0_(x)v0_(x)dx} + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)u(x)v(x)dx = 1 γ1δ1 Z _b c u0_(x)v0_{(x)dx +} 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)uvdx − 1 γ1δ1 (u0_{(x)v(x) |}b c) = 1 γ1δ1 {u(x)v0_{(x) |}b c− Z _b c u(x)v00_(x)dx} + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)uvdx − 1 γ1δ1 (u0_{(x)v(x) |}b c) = − 1 γ1δ1 Z _b c u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)uvdx + 1 γ1δ1 {u(b)v0_{(b) − u(c + 0)v}0_{(c + 0)}} − 1 γ1δ1 {u0(b)v(b) − u0(c + 0)v(c + 0)} = − 1 γ1δ1 Z _b c u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)uvdx + 1 γ1δ1 W (u, v; b) − 1 γ1δ1 W (u, v; c + 0) (5.3.3)

bulunur. 5.3.2 ve 5.3.3'ü 5.3.1'de yerine yazlrsa,

hAu, vi_Hp = − 1 γ2δ2 Z _c a u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)uvdx + 1 γ2δ2 W (u, v; c − 0) − 1 γ2δ2 W (u, v; a) − 1 γ1δ1 Z _b c u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)uvdx + 1 γ1δ1 W (u, v; b) − 1 γ1δ1 W (u, v; c + 0) (5.3.4)

bulunur. Di§er taraftan hu, Avi_Hp = 1 p2 1γ2δ2 Z _c a uAvdx + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c uAvdx (5.3.5) 1 p2 1γ2δ2 Z _c a uAvdx = 1 p2 1γ2δ2 Z _c a u(x){−p(x)v00_{+ q(x)v}dx} = 1 p2 1γ2δ2 Z _c a −p(x)u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)v(x)dx = − 1 γ2δ2 Z _c a u(x)v00_(x)dx + 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)v(x)dx (5.3.6) 1 p2 2γ1δ1 Z _b c u(x){−p(x)v00_{+ q(x)v}dx =} 1 p2 2γ1δ1 Z _b c −p(x)u(x)v00_(x)dx + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)u(x)v(x)dx = − 1 γ1δ1 Z _b c u(x)v00_(x)dx + 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)u(x)v(x)dx (5.3.7)

5.3.6 ve 5.3.7'yi 5.3.5'de yerine yazlrsa,

hu, Avi_Hp = − 1 γ2δ2 Z _c a u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 1γ2δ2 Z _c a q(x)u(x)v(x)dx − 1 γ1δ1 Z _b c u(x)v00_{(x)dx +} 1 p2 2γ1δ1 Z _b c q(x)u(x)v(x)dx _(5.3.8)

hAu, vi − hu, Avi = 1 γ2δ2 W (u, v; c − 0) − 1 γ2δ2 W (u, v; a) + 1 γ1δ1 W (u, v; b) − 1 γ1δ1 W (u, v; c + 0) (5.3.9)

e³itli§i elde edilir. “imdi bu son e³itli§in sa§ tarafn sfra e³it oldu§u gösterilsin. u, v ∈

D(A)oldu§u için

v(a) = v(b) = 0

e³itlikleri sa§lanr. u ve v, 5.1.2-5.1.3 snr ³artlarn sa§lad§ndan

W (u, v; a) = u(a)v0_{(a) − u}0_{(a)v(a) = 0 (5.3.10)}

W (u, v; b) = u(b)v0_{(b) − u}0_{(b)v(b) = 0 (5.3.11)}

elde edilir. Ayrca u, v ∈ D(A) oldu§u için u(x) ve v(x) fonksiyonlar 5.1.4-5.1.5 geçi³ ³artlarn sa§lyor. Bu durumda

1 γ2δ2 W (u, v; c − 0) = 1 γ2δ2 {u(c − 0)v0_{(c − 0) − u}0_{(c − 0)v(c − 0)}} = 1 γ2δ2 {γ2 γ1 u(c + 0)δ2 δ1 v0_{(c + 0) −}δ2 δ1 u0_{(c + 0)}γ2 γ1 v(c + 0)} = 1 γ2δ2 (γ2δ2 γ1δ1 )W (u, v; c + 0) = 1 γ1δ1 W (u, v; c + 0) = 1 γ1δ1 W (u, v; c + 0) (5.3.12)

5.3.10, 5.3.11 ve 5.3.12 e³itlikleri 5.3.9'da yerine yazlrsa, ∀u, v ∈ D(A) için aranan

hAu, vi_Hp = hu, Avi_Hp

e³itli§i bulunmu³ olur.

5.4 Temel çözümler ve Karakteristik Fonksiyon

τ u := −p(x)u00+ q(x)u = λu, x ∈ [a, c) ∪ (c, b] (5.4.1)

l1(u) := u(a) = 0 (5.4.2)

l2(u) := u(b) = 0 (5.4.3)

T1(u) := γ1u(c − 0) − γ2u(c + 0) = 0 (5.4.4)

T2(u) := δ1u0(c − 0) − δ2u0(c + 0) = 0 (5.4.5)

snr de§er probleminin özde§er ve özfonksiyonlar arasndaki baz temel ba§ntlar incelenecektir. Bunun için baz yardmc ba³langç de§er problemlerini ara³trlacaktr. Önce a³a§daki ba³langç de§er problemi gözönüne alnsn.

−p2

1u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [a, c] (5.4.6)

u(a) = 0 _(5.4.7)

u0_{(a) = −1 (5.4.8)}

Teorem 3.8 gere§i her λ ∈ C için 5.4.6-5.4.8 ba³langç de§er probleminin bir tek u =

φ1(x) ≡ φ1(x, λ) çözümü bulunur ve ayrca φ1(x, λ) fonksiyonu her x ∈ [a, c] için λ

kompleks parametresinin tam fonksiyonudur. Ayn teoreme göre

−p2

2u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [c, b] (5.4.9)

u(b) = 0 (5.4.10)

u0_{(b) = 1 (5.4.11)}

ba³langç ³artlarn sa§layan bir tek u = χ2(x) ≡ χ2(x, λ) çözümü vardr ve ayrca

χ2(x, λ)fonksiyonu her [c, b] için λ kompleks parametresinin tam fonksiyonudur. φ1(x, λ)

parametresi bulunduran −p2 2u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [c, b] (5.4.12) u(c) = γ1 γ2 φ1(c, λ) (5.4.13) u0_{(c) =} δ1 δ2 φ0 1(c, λ) (5.4.14)

ba³langç de§er probleminin her λ ∈ C için bir tek u = φ2(x) ≡ φ2(x, λ)çözümü vardr.

Benzer ³ekilde

−p2

1u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [a, c] (5.4.15)

diferansiyel denkleminin λ parametresine ba§l

u(c) = γ2 γ1 χ2(c, λ) (5.4.16) u0_{(c) =} δ2 δ1 χ0 2(c, λ) (5.4.17)

ba³langç ³artlarn sa§layan bir tek u = χ1(x) ≡ χ1(x, λ) çözümü vardr. Bu

fonksiyonlar [a, b] aral§na c ile devamlarn uygun olarak eφi(x, λ) ve eχi(x, λ) ile

gösterilirse, yani e φ1 =    φ1, x ∈ [a, c) 0, x ∈ (c, b] e φ2 =    0, x ∈ [a, c) φ2, x ∈ (c, b] e χ1 =    χ1, x ∈ [a, c) 0, x ∈ (c, b] e χ2 =    0, x ∈ [a, c) χ2, x ∈ (c, b]

Ayrca W (φ1(x, λ), χ1(x, λ)) ve W (φ2(x, λ), χ2(x, λ)) wronskiyenleri uygun olarak

(i = 1, 2)her bir x için λ parametresinin tam fonksiyonu olduklarndan

ω1(λ) := W (φ1(x, λ), χ1(x, λ))

ω2(λ) := W (φ2(x, λ), χ2(x, λ))

fonksiyonlar λ parametresinin tam fonksiyonlardr.

Lemma 5.4.1: Her λ ∈ C için

γ1δ1ω1(λ) = γ2δ2ω2(λ)

e³itli§i sa§lanr.

spat: 5.4.13, 5.4.14, 5.4.16, 5.4.17 e³itlikleri gere§i

ω1(λ) : = W (φ1(x, λ), χ1(x, λ)) = φ1(c, λ)χ01(c, λ) − φ01(c, λ)χ1(c, λ) = γ2 γ1 φ2(c, λ) δ2 δ1 χ0 2(c, λ) − δ2 δ1 φ0 2(c, λ) γ2 γ1 χ2(c, λ) = γ2δ2 γ1δ1 (φ2(c, λ)χ02(c, λ) − φ02(c, λ)χ2(c, λ)) = γ2δ2 γ1δ1 W (φ2(x, λ), χ2(x, λ)) |x=c ω(λ) := γ1δ1ω1(λ) = γ2δ2ω2(λ)

e³itli§i ile tanml ω(λ) fonksiyonuna snr-geçi³ karakteristik fonksiyonu denilecektir.

Sonuç 5.4.2: ω1(λ)ve ω2(λ)tam fonksiyonlarnn sfr yerleri çak³ktr.

“imdi [a, c) ∪ (c, b] de tanml olan φ(x, λ) ve χ(x, λ) fonksiyonlar

φ(x, λ) =    φ1(x, λ), x ∈ [a, c) φ2(x, λ), x ∈ (c, b]

χ(x, λ) =

 

χ1(x, λ), x ∈ [a, c)

χ2(x, λ), x ∈ (c, b]

e³itlikleri ile tanmlanrsa, a³a§daki sonuç elde edilir.

Sonuç 5.4.3: φ(x, λ) ve χ(x, λ) fonksiyonlarnn wronskiyeni [a, c) ∪ (c, b] aralklarnn her birinde x de§i³keninden ba§mszdr ve x de§i³kenin her bir x ∈ [a, c) ∪ (c, b] de§erinde, λ parametresinin tam fonksiyonudur.

Teorem 5.4.4: 5.4.1-5.4.5 snr de§er probleminin özde§erleri ancak ve ancak ω(λ) fonksiyonun sfr yerlerinden ibarettir.

spat: (⇒) : ω(λ0) = 0 olsun. O halde

γ1δ1ω1(λ) = ω(λ0) = 0 ⇒ W (φ1(x, λ0), χ1(x, λ0)) = 0

olacaktr. O halde φ1 ve χ1 lineer ba§ml olaca§ndan

φ1(x, λ0) = kχ1(x, λ0) (5.4.18)

olacak ³ekilde k1 6= 0 says bulunur. χ(x, λ0) fonksiyonu 5.4.1 denklemi ve üç tane

5.4.3, 5.4.4 ve 5.4.5 ³artlarn sa§lad§ açktr. 5.4.18 e³itli§i gere§i χ(x, λ0) fonksiyonu

5.4.2 snr ³artn da sa§lar. Dolaysyla χ(x, λ0) fonksiyonu 5.4.1-5.4.5 snr-de§er

probleminin çözümü olur. Bu ise λ = λ0 saysnn özde§er oldu§unu gösterir.

(⇐) : “imdi ise λ = λ0 kompleks saysnn özde§er oldu§unu kabul edilerek ω(λ0) = 0

e³itli§in do§rulu§u ispat edilsin. Herhangi λ = λ0 özde§eri için ω(λ0) 6= 0 oldu§u

kabul edilsin. O halde φ1(x, λ0) ile χ1(x, λ0) ve φ2(x, λ0) ve χ2(x, λ0) fonksiyonlar

lineer ba§msz olacaktr. 5.4.1 denkleminin genel çözümünü

³eklinde ifade edebilebilece§i kolayca anla³labilir. Dolaysyla λ0özde§erine uygun olan

her bir u0(x)özfonksiyonu için

u0(x) = k1φe1(x, λ0) + k2χe1(x, λ0) + k3φe2(x, λ0) + k4χe2(x, λ0) (5.4.19)

olacak ³ekilde en az biri sfrdan farkl olan k1, k2, k3, k4 saylar bulunur. 5.4.19 e³itli§i

ile verilen u0(x) özfonksiyonu 5.4.2-5.4.5 snr ve geçi³ ³artlarn sa§lad§ndan

l1(eφ1(x, λ0))k1+ l1(eχ1(x, λ0))k2+ l1(eφ2(x, λ0))k3+ l1(eχ2(x, λ0))k4 = 0

l2(eφ1(x, λ0))k1+ l2(eχ1(x, λ0))k2+ l2(eφ2(x, λ0))k3+ l2(eχ2(x, λ0))k4 = 0

T1(eφ1(x, λ0))k1+ T1(eχ1(x, λ0))k2+ T1(eφ2(x, λ0))k3+ T1(eχ2(x, λ0))k4 = 0

T2(eφ1(x, λ0))k1+ T2(eχ1(x, λ0))k2+ T2(eφ2(x, λ0))k3+ T2(eχ2(x, λ0))k4 = 0

e³itlikleri geçerlidir. kikatsaylarnn en az biri sfrdan farkl oldu§u için buradan

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ l1(eφ1(x, λ0)) l1(eχ1(x, λ0)) l1(eφ2(x, λ0)) l1(eχ2(x, λ0)) l2(eφ1(x, λ0)) l2(eχ1(x, λ0)) l2(eφ2(x, λ0)) l2(eχ2(x, λ0)) T1(eφ1(x, λ0)) T1(eχ1(x, λ0)) T1(eφ2(x, λ0)) T1(eχ2(x, λ0)) T2(eφ1(x, λ0)) T2(eχ1(x, λ0)) T2(eφ2(x, λ0)) T2(eχ2(x, λ0)) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 (5.4.20)

elde edilir. “imdi bu determinantn elemanlar hesaplanrsa: eφi(x, λ) ve eχi(x, λ)

fonksiyonlarnn tanm gere§i

l1(eφ1(x, λ0)) = eφ1(a, λ0) = φ1(a, λ0) = 0 (5.4.21)

l1(eχ1(x, λ0)) = eχ1(a, λ0) = χ1(a, λ0)

di§er taraftan

oldu§u ve bu wronskiyen x ∈ [a, c) dan ba§msz oldu§u için x = a yazlrsa,

W (φ1(a, λ0), χ1(a, λ0)) = φ1(a, λ0)χ01(a, λ0) − φ01(a, λ0)χ1(a, λ0)

= 0.χ0

1(a, λ0) − (−1)χ1(a, λ0)

= χ1(a, λ0)

= ω1(λ0)

elde edilir. Dolaysyla

l1(eχ1(x, λ0)) = ω1(λ0) (5.4.22) l1(eφ2(x, λ0)) = eφ2(a, λ0) = 0 (5.4.23) l1(eχ2(x, λ0)) = eχ2(a, λ0) = 0 (5.4.24) l2(eφ1(x, λ0)) = eφ1(b, λ0) = 0 (5.4.25) l2(eχ1(x, λ0)) = eχ1(b, λ0) = 0 (5.4.26) l2(eφ2(x, λ0)) = eφ2(b, λ0) = φ2(b, λ0) Di§er taraftan W (φ2(x, λ0), χ2(x, λ0), , ) = φ2(x, λ0)χ02(x, λ0) − φ02(x, λ0)χ2(x, λ0)

özel olarak x = b de§erinde hesaplarsak (x 'ten ba§msz),

W (φ2(b, λ0), χ2(b, λ0)) = φ2(b, λ0)χ02(b, λ0) − φ02(b, λ0)χ2(b, λ0)

= φ2(b, λ0).1 − φ02(b, λ0).0

= φ2(b, λ0)

= ω2(λ0)

oldu§undan sonuç olarak,

l2(eφ2(x, λ0)) = ω2(λ0) (5.4.27)

elde edilir.

l2(eχ2(x, λ0)) = eχ2(b, λ0) = χ2(b, λ0) = 0 (5.4.28)

T1(eχ1(x, λ0)) = γ1χ1(c − 0, λ0) − γ2χ1(c + 0, λ0) = γ1χ1(c − 0, λ0) (5.4.30) T1(eφ2(x, λ0)) = γ1φ2(c − 0, λ0) − γ2φ2(c + 0, λ0) = −γ2φ2(c + 0, λ0) (5.4.31) T1(eχ2(x, λ0)) = γ1χ2(c − 0, λ0) − γ2χ2(c + 0, λ0) = −γ2χ2(c + 0, λ0) (5.4.32) T2(eφ1(x, λ0)) = δ1φ01(c − 0, λ0) − δ2φ01(c + 0, λ0) = δ1φ01(c − 0, λ0) (5.4.33) T2(eχ1(x, λ0)) = δ1χ01(c − 0, λ0) − δ2χ01(c + 0, λ0) = δ1χ01(c − 0, λ0) (5.4.34) T2(eφ2(x, λ0)) = δ1φ02(c − 0, λ0) − δ2φ02(c + 0, λ0) = −δ2φ02(c + 0, λ0) (5.4.35) T2(eχ2(x, λ0)) = δ1χ02(c − 0, λ0) − δ2χ02(c + 0, λ0) = −δ2χ02(c + 0, λ0) (5.4.36)

“imdi bulunmu³ olan 5.4.21-5.4.36 e³itlikleri 5.4.20 determinantnda yerine yazlrsa, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ω1(λ0) 0 0 0 0 ω2(λ0) 0 γ1φ1(c − 0, λ0) γ1χ1(c − 0, λ0) −γ2φ2(c + 0, λ0) −γ2χ2(c + 0, λ0) δ1φ01(c − 0, λ0) δ1χ01(c − 0, λ0) −δ2φ02(c + 0, λ0) −δ2χ02(c + 0, λ0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 (5.4.37) = ω1(λ0)ω2(λ0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ γ1φ1(c − 0, λ0) −γ2χ2(c + 0, λ0) δ1φ01(c − 0, λ0) −δ2χ02(c + 0, λ0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0 (5.4.38) elde edilir. ω(λ) = γ1δ1ω1(λ) = γ2δ2ω2(λ)φ2(c + 0, λ0) = γ1 γ2 φ1(c − 0, λ0) ⇒ γ2φ2(c + 0, λ0) = γ1φ1(c − 0, λ0)φ02(c + 0, λ0) = δ1 δ2 φ0₁(c − 0, λ0) ⇒ δ2φ02(c + 0, λ0) = δ1φ01(c − 0, λ0)

e³itlikleri 5.4.38'da yerine yazlrsa,

= γ2δ2 γ1δ1 ω2(λ0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ γ2φ2(c + 0, λ0) −γ2χ2(c + 0, λ0) δ2φ02(c + 0, λ0) −δ2χ02(c + 0, λ0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0

= −(γ2δ2)2 γ1δ1 ω2 2(λ0)ω2(φ2(c + 0, λ0), χ2(c + 0, λ0)) = 0 = −(γ2δ2)2 γ1δ1 ω3 2(λ0) = − 1 γ1δ1γ2δ2 ω3_(λ 0) = 0

bulunur. Bu ise ω(λ0) 6= 0 kabulüyle çeli³ir.

5.5 Baz Ba³langç De§er Problemlerinin ntegral Denklemlere ndirgenmesi

Lemma 5.5.1: λ = s2 _{olmak üzere}

−p2

1u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [a, c]

u(a) = 0 u0_{(a) = −1}

ba³langç de§er problemi

u(x) = −p1 s sin s(x − a) p1 + 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy (5.5.1)

integral denklemi ile e³de§erdir.

spat: −p2 1u00(x) + q(x)u(x) = λu(x) denklemi u00(x) + λ p2 1 u(x) = q(x)u(x) p2 1 (5.5.2) ³eklinde yazlsn.

Bu denklem homojen olmayan lineer diferansiyel denklem gibi kabul edilirse bunu çözmek için önce baz yardmc denklemler olu³turulup bunlar çözülsün. Önce λ = s2

olmak üzere

u00_{(x) +} λ p2 1

denkleminin çözümü ara³trlsn. Yukardaki sabit katsayl lineer diferansiyel denkleme uygun karakteristik denklem

r2₊ s2

p2 1

= 0

biçiminde oldu§undan 5.5.3 denkleminin temel çözümleri

y1 = cos s p1 x ve y2 = sin s p1 x

olacaktr. Dolaysyla 5.5.3 denkleminin genel çözümü

y = c1cos s p1 x + c2sin s p1 x

biçiminde yazlabilir, burada c1, c2 key sabitlerdir.

“imdi 5.5.2 denkleminin u(x) ≡ u(x, s) çözümü

u(x) = c1(x) cos s p1 x + c2(x) sin s p1 x (5.5.4)

³eklinde bulunmaya çal³lacak. Burada c1(x)ve c2(x)yeni bilinmeyen fonksiyonlardr.

Bu yeni fonksiyonlar bulmak için iki tane denklem kurulacaktr. u(x) , 5.5.2 denkleminin çözümü oldu§undan denklemde yerine koyabilmek için u00_(x)'in

bulunmas gereklidir. u(x)'in önce birinci türevi alnsn.

u0(x) = c0₁(x) cos s p1 x + c0₂(x) sin s p1 x − s p1 c1(x) sin s p1 x + s p1 c2(x) cos s p1 x c1(x)ve c2(x)fonksiyonlar öyle seçilsin ki,

c0 1(x) cos s p1 x + c0 2(x) sin s p1 x = 0 (5.5.5)

e³itli§i sa§lansn. Bu durumda

u0_{(x) = −} s p1 c1(x) sin s p1 x + s p1 c2(x) cos s p1 x

e³itli§i sa§lanacak. “imdi de ikinci türevi alnsn. u00_{(x) = −} s p1 c0 1(x) sin s p1 x + s p1 c0 2(x) cos s p1 x −s2 p2 1 c1(x) cos s p1 x − s2 p2 1 c2(x) sin s p1 x (5.5.6)

olur. 5.5.4 ve 5.5.6, 5.5.2'de yerine yazlrsa,

−s p1 c0₁(x) sin s p1 x + s p1 c0₂(x) cos s p1 x − s 2 p2 1 c1(x) + cos s p1 x −s 2 p2 1 c2(x) sin s p1 x +s 2 p2 1 c1(x) + cos s p1 x +s 2 p2 1 c2(x) sin s p1 x = q(x)u(x) p2 1 (5.5.7)

sonucu ortaya çkar. 5.5.5 ve 5.5.7 denklemleri beraber dü³ünülüp, c0

1(x) ve c02(x)

de§i³kenlerine göre lineer denklem sistemi gibi çözülsün. (s 6= 0 kabul edilir.)

c0 1(x) = − 1 sp1 sinsx p1 q(x)u(x) (5.5.8) c0₂(x) = 1 sp1 cossx p1 q(x)u(x) (5.5.9)

bulunur. Bu e³itliklerin integralleri alnrsa,

c1(x) = Z _x a − 1 sp1 sinsy p1 q(y)u(y)dy + c1 (5.5.10) c2(x) = Z _x a 1 sp1 cossy p1 q(y)u(y)dy + c2 (5.5.11)

bulunur. Buradan c1 ve c2 key sabitlerdir. c1(x) ve c2(x) fonksiyonlar 5.5.4

denkleminde yazlrsa, u(x) = ( Z _x a − 1 sp1 sinsy p1 q(y)u(y)dy + c1) cos sx p1 +( Z _x a 1 sp1 cossy p1 q(y)u(y)dy + c2) sin sx p1 = Z _x a − 1 sp1 sinsy p1 cossx p1 q(y)u(y)dy + c1cos sx p1 + Z _x a 1 sp1 cossy p1 sinsx p1 q(y)u(y)dy + c2sin sx p1

= c1cos sx p1 + c2sin sx p1 + 1 sp1 ( x a cossy p1 sinsx p1 − sinsy p1 cossx p1 )q(y)u(y)dy u(x) = c1cos sx p1 + c2sin sx p1 + 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy (5.5.12)

e³itli§i elde edilir. Bu ifade

u(a) = 0 u0_{(a) = −1}

ba³langç ³artlarnda yerine yazlrsa, c1 ve c2'ye ba§l lineer denklem sistemi elde edilir.

lk e³itlikten c1cossa p1 + c2sinsa p1 = 0 (5.5.13) elde edilir.

u0_{(a)bulmak için önce u}0_{(x)bulunsun. Kolaylk için}

f (x, y) = sins(x − y) p1 q(y)u(y) gösteriminden yararlanlacaktr. u0(x) = −s p1 c1sin sx p1 + s p1 c2cos sx p1 + d dx( 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy) d dx( 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy) = 1 sp1 ( Z _x a ∂f (x, y) ∂x dy + f (x, x)x 0 _{− f (x, a)a}0₎ = 1 sp1 ( Z _x a s p1 coss(x − y) p1 q(y)u(y)dy + sins(x − x) p1 q(x)u(x).1 − sins(x − a) p1 .0 = 1 p2 1 Z _x a coss(x − y) p1 q(y)u(y)dy oldu§u için u0_{(x) = −}s p1 c1sin sx p1 + s p1 c2cos sx p1 + 1 p2 1 Z _x a coss(x − y) p1 q(y)u(y)dy (5.5.14)

elde edilir. Buradan − s p1 c1sinsa p1 + s p1 c2cossa p1 = −1 (5.5.15) bulunur. 5.5.13, 5.5.15 denklemlerinden c2 = − p1 s cos sa p1 (5.5.16) c1 = p1 s sin sa p1 (5.5.17) ifadeleri bulunur.

5.5.12 denkleminde 5.5.16 ve 5.5.17 de§erleri yazlrsa,

u(x) = p1 s sin sa p1 cossx p1 −p1 s cos sa p1 sinsx p1 + 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy düzenlenirse, u(x) = −p1 s sin s(x − a) p1 + 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy (5.5.18)

elde edilir. Böylece

−p2

1u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [a, c]

u(a) = 0 u0_{(a) = −1}

ba³langç de§er probleminin her bir çözümünün ayn zamanda bulunan 5.5.18 integral denkleminin çözümü oldu§u ispatland.

5.5.18 integral denkleminin her bir çözümünün ayn zamanda 5.4.6-5.4.8 snr de§er probleminin çözümü oldu§u gösterilsin.

5.5.18 integral denkleminin her bir çözümünün 5.4.7 ve 5.4.8 snr ³artlarn sa§lad§ açk oldu§u için 5.4.6 diferansiyel denklemini sa§lad§ gösterilsin.

5.5.18'in sa§ tarafndaki ilk terimin

p2

1u00(x) + λu(x) = 0

denklemini sa§lad§ kolayca gösterilebilir. U(x) = F + ϕ olmak üzere

p2₁F00+ λF = 0 (5.5.19)

olur. u(x), 5.5.18 integral denkleminin herhangi çözümü olmak üzere,

ϕ(x) = 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy ile gösterilirse, ϕ0_{(x) =} 1 p2 1 Z _x a coss(x − y) p1 q(y)u(y)dy ve ϕ00_{(x) = −} s p3 1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)u(y)dy + 1 p2 1 q(x)u(x) bulunur. Bu e³itliklerden p2 1ϕ00(x) + s2ϕ(x) = q(x)u(x) yani p2 1ϕ00+ λϕ = q(F + ϕ) (5.5.20)

oldu§u kolayca görülür. 5.5.19 ve 5.5.20 e³itlikleri taraf tarafa toplanrsa,

p2₁(F00+ ϕ00) + λ(F + ϕ) = q(F + ϕ)

yani

p2₁(F + ϕ)00+ λ(F + ϕ) = q(F + ϕ)

Sonuç 5.5.2: φ1λ(x) çözüm fonksiyonu φ1λ(x) = −p1 s sin s(x − a) p1 + 1 sp1 Z _x a sins(x − y) p1 q(y)φ1λ(y)dy

integral denklemini sa§lar.

Lemma 5.5.3:

λ = s2 _{olmak üzere 5.4.6-5.4.8 ba³langç de§er probleminin her bir çözümü}

u0_{(x) = − cos}s(x − a) p1 + 1 p2 1 Z _x a coss(x − y) p1 q(y)φ1λ(y)dy

integro-diferansiyel denklemini sa§lar.

spat:

5.5.18'den kolayca elde edilir.

Sonuç 5.5.4: φ1λ(x) çözüm fonksiyonu φ0 1λ(x) = − cos s(x − a) p1 + 1 p2 1 Z _x a coss(x − y) p1 q(y)φ1λ(y)dy

Teorem 5.5.5:

φ1λ(x) ve φ2λ(x) ççözüm fonksiyonlar için a³a§daki integral denklemler sa§lanr.

φ2λ(x) = γ1 γ2 coss(x − c) p2 φ1λ(c) +p2δ1 sδ2 sins(x − c) p2 φ0_1λ(c) + 1 sp2 Z _x c sins(x − y) p2 q(y)φ2λ(y)dy φ0 2λ(x) = − γ1s γ2p2 sins(x − c) p2 φ1λ(c) + δ1 δ2 coss(x − c) p2 φ0 1λ(c) +1 p2 2 Z _x c coss(x − y) p2 q(y)φ2λ(y)dy spat: −p2 2u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [c, b] u(c) = γ1 γ2 φ1(c, λ) u0_{(c) =} δ1 δ2 φ0 1(c, λ)

ba³langç de§er problemi için Lemma 5.5.1'in ispatna benzer

u(x) = c1cos sx p2 + c2sin sx p2 + 1 sp2 Z _x c sins(x − y) p2 q(y)u(y)dy (5.5.21) γ1 γ2 φ1(c, λ) = c1cos sc p2 + c2sin sc p2 (5.5.22) u0(x) = −s p2 c1sinsx p2 + s p2 c2cossx p2 + 1 p2 2 Z _x c coss(x − y) p2 q(y)u(y)dy (5.5.23) δ1 δ2 φ0 1(c, λ) = − s p2 c1sin sc p2 + s p2 c2cos sc p2 (5.5.24) (5.5.22) ve (5.5.24)'den c1 = γ1 γ2 φ1(c, λ) cos sc p2 − p2δ1 sδ2 φ0 1(c, λ) sin sc p2 c2 = γ1 γ2 φ1(c, λ) sin sc p2 + p2δ1 sδ2 φ0 1(c, λ) cos sc p2

u(x) = (γ1 γ2 φ1(c, λ) cos sc p2 − p2δ1 sδ2 φ0₁(c, λ) sinsc p2 ) cossx p2 +(p2δ1 sδ2 φ0 1(c, λ) cos sc p2 + γ1 γ2 φ1(c, λ) sin sc p2 ) sinsx p2 + 1 sp2 Z _x c sins(x − y) p2 q(y)u(y)dy u(x) = γ1 γ2 φ1(c, λ) cos s(x − c) p2 +p2δ1 sδ2 φ0 1(c, λ) sin s(x − c) p2 + 1 sp2 Z _x c sins(x − y) p2 q(y)u(y)dy (5.5.25)

elde edilir. Böylece 5.4.12 - 5.4.14 snr de§er probleminin her bir çözümünün ayn zamanda bulunan 5.4.24 integral denkleminin çözümü oldu§u ispatland.

5.5.25 integral denkleminin her bir çözümünün ayn zamanda 5.4.6-5.4.8 snr de§er probleminin çözümü oldu§u gösterilsin.

5.5.25 integral denkleminin her bir çözümünün 5.4.13 ve 5.4.14 snr ³artlarn sa§lad§ açk oldu§u için 5.4.12 diferansiyel denklemini sa§lad§ gösterilsin. 5.5.25'in sa§ tarafndaki ilk iki toplamn her birinin

p2

2u00(x) + λu(x) = 0

denklemini sa§lad§ kolayca gösterilebilir.

U(x) = G1+ G2+ θ

olmak üzere

p2

2G001 + λG1 = 0 p22G002+ λG2 = 0 (5.5.26)

olur. u(x), (5.5.25) integral denkleminin her hangi çözümü olmak üzere,

θ = 1 sp2 Z _x c sins(x − y) p2 q(y)u(y)dy ile gösterilirse, θ0 = 1 p2 2 Z _x c coss(x − y) p2 q(y)u(y)dy

ve θ00 = −s p3 2 Z _x c sins(x − y) p2 q(y)u(y)dy + 1 p2 2 q(x)u(x) bulunur. Bu e³itliklerden p2₂θ00(x) + s2θ(x) = q(x)u(x) yani p2₂θ00(x) + λθ(x) = q(G1+ G2+ θ) (5.5.27)

5.5.26 ve 5.5.27 e³itlikleri taraf tarafa toplanrsa,

p2

2(G001 + G002 + θ00) + λ(G1+ G2+ θ) = q(G1+ G2+ θ)

yani

p2

2(G1+ G2+ θ)00+ λ(G1+ G2+ θ) = q(G1+ G2+ θ)

olur. Dolaysyla 5.5.25'in her bir çözümü

−p2

1u00(x) + q(x)u(x) = λu(x)

in de bir çözümü olur. Dolaysyla φ1λ(x) ve φ2λ(x) çözüm fonksiyonlar için

φ2λ(x) = γ1 γ2 coss(x − c) p2 φ1λ(c) + p2δ1 sδ2 sins(x − c) p2 φ0 1λ(c) + 1 sp2 Z _x c sins(x − y) p2 q(y)φ2λ(y)dy φ0_2λ(x) = − γ1s γ2p2 sins(x − c) p2 φ1λ(c) +δ1 δ2 coss(x − c) p2 φ0_1λ(c) +1 p2 2 Z _x c coss(x − y) p2 q(y)φ2λ(y)dy

Teorem 5.5.6:

χ2λ(x) çözüm fonksiyonu için a³a§daki integral ve integro-diferansiyel denklemleri

sa§lanr. χ2λ(x) = p2 s sin s(x − b) p2 − 1 sp2 Z _b x sins(x − y) p2 q(y)χ2λ(y)dy χ0 2λ(x) = cos s(x − b) p2 − 1 p2 2 Z _b x coss(x − y) p2 q(y)χ2λ(y)dy spat: −p2 2u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [c, b] u(b) = 0 u0_{(b) = 1}

ba³langç de§er problemi için Lemma 5.5.1'in ispatna benzer

u(x) = c1cos sx p2 + c2sin sx p2 − 1 sp2 Z _b x sins(x − y) p2 q(y)u(y)dy (5.5.28) 5.4.10 snr ³atlar 5.5.28 de yazlrsa, c1cos sb p2 + c2sin sb p2 = 0 (5.5.29) u0(x) = − s p2 c1sin sx p2 + s p2 c2cos sx p2 − 1 p2 Z _b x coss(x − y) p2 q(y)u(y)dy (5.5.30) 5.4.11 snr ³artlar 5.5.28'de yazlrsa,

−s p2 c1sin sb p2 + s p2 c2cos sb p2 = 1 (5.5.31) 5.5.29 ve 5.5.31'den c2 = p2 s cos sb p2 , c1 = − p2 s sin sb p2