T.C.
SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAYLARDA
SÜREKLĐLĐĞĐN BAZI AYRIŞIMLARI ÜZERĐNE
Şükriye KARA YÜKSEK LĐSANS TEZĐ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI
T.C.
SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAYLARDA
SÜREKLĐLĐĞĐN BAZI AYRIŞIMLARI ÜZERĐNE
Şükriye KARA
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI
Bu tez 21.08.2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL (Danışman)
Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Yrd. Doç. Dr. Aynur YALÇINER (Üye) (Üye)
ÖNSÖZ
Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Tez çalışmamı büyük bir titizlik ve sabırla takip ederek çalışmamın her bir safhasında daima bana yol gösteren ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL’ e sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunar, ayrıca beni yüksek lisans eğitimim boyunca destekleyen TÜBĐTAK’ a, yardımlarından ötürü Yrd. Doç. Dr. Ahu AÇIKGÖZ’ e ve her zaman yanımda olan sevgili aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAYLARDA
SÜREKLĐLĐĞĐN BAZI AYRIŞIMLARI ÜZERĐNE
Şükriye KARA
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL 2008, Sayfa: 65
Jüri
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Yrd. Doç. Dr. Aynur YALÇINER
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde [26]’ da verilen sürekliliğin ayrışımı üzerine konulu makaleyi çalışıp örnekleriyle inceledik.
Đkinci bölümde ise, bu çalışma için gerekli olan ideal topolojik uzayların temel kavramalarını verdik. Ayrıca lokal fonksiyon kavramı [18] ve bu fonksiyonun [14]’ de sağladığı özellikleri ayrıntılı bir şekilde yorumladık.
Üçüncü bölümde ise, ideal topolojik uzaylarda *-operfect, τ*-clopen, strongly α-*-kapalı, α-*-kapalı ve pre-*-kapalı küme olarak tanımladığımız yeni küme
kavramlarını verdik ve daha once tanımlanmış kümelerle olan ilişikilerinden bir diagram elde ettik. Yine bu kümelerden faydalanarak oluşturduğumuz ηζ-I-küme, weakly ηζ-I-küme, strongly η-I-küme, η-I-küme ve A7I-küme olarak adlandırdığımız kümeler ile diğer bazı küme çeşitlerinin karşılaştırmasını yaparak başka bir diagram elde ettik. Ayrıca bu kümeleri kullanarak elde ettiğimiz süreklilk çeşitlerini ele aldık, özelliklerini inceledik ve açıklamak adına örnekler verdik. Verdiğimiz bu süreklilik çeşitleri ile sürekliliğin, contra α*-sürekliliğin, RI C-sürekliliğin, η-I-sürekliliğin ve AI-sürekliliğin ayrışımını da elde ettik.
Anahtar Kelimeler: ηζ-I-küme, weakly ηζ-I-küme, strongly küme, η-I-küme, A7I-küme, süreklililik, weakly
ηζ-I-süreklililik, strongly η-I-ηζ-I-süreklililik, η-I-ηζ-I-süreklililik, A7I-süreklilik.
ABSTRACT
MS Thesis
ON SOME DECOMPOSITIONS OF CONTINUITY IN IDEAL TOPOLOGICAL SPACES
Şükriye KARA
Selcuk University
Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL 2008, Page : 65
Jury
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Yrd. Doç. Dr. Aynur YALÇINER
This study consists of four sections. In the first section, we have examined the paper which is related with decomposition of continuity in given [26] with its examples.
In the second section, we have given the basic concepts of ideal topological spaces required for this study. Besides, local function concept [18] and the characteristics of this function provided in [14] and given unproved have been presented in detail in a proved state by us.
In the third section; we have given new set definations that we named as *-operfect, τ*
-clopen, strongly α-*-closed, α-*-closed and pre-*-closed sets in ideal topological spaces and we have formed a diagram by comparing some set types with these sets. Again, we have defined concept of ηζ-I-set, weakly ηζ-I-set, strongly η-I-set, η-I-set and A7I-set by utilizing the given sets and we have obtained another diagram by investigating the ralations of these sets with others. Moreover, we have introduced new continuity types by using the sets, have studied their features and have presented some examples to explain. Besides, we have obtained a decomposition of continuity, contra α*-sürekliliğin, RIC-continuity, η-I-continuity
and AI-continuity with the given continuity types.
Key Words: ηζ-I-set, weakly ηζ-I-set, strongly η-I-set, η-I-set, A7I -set, ηζ-I-continuity, weakly ηζ-I-continuity, strongly η-I-continuity, η-η-I-continuity, A7I-continuity.
ĐÇĐNDEKĐLER ÖNSÖZ ...i ÖZET ...ii ABSTRACT ...iv ĐÇĐNDEKĐLER ...vi GÖSTERĐMLER ...vii GĐRĐŞ ...1 1. SÜREKLĐLĐĞĐN AYRIŞIMI 1.1. Ön Bilgiler ...2 1.2. ηζ-küme ve η-küme...5 1.3. ηζ-süreklilik ve η-süreklilik ...12
2. ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAY 2.1. Đdeal Topolojik Uzay Đçin Temel Kavramlar ...16
2.2. Kümenin Lokal Fonksiyonu ...18
3. ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAYLARDA SÜREKLĐLĐĞĐN BAZI AYRIŞIMLARI 3.1. Ön Bilgiler ...27
3.2. *-operfect ve α-*-kapalı Küme ...28
3.3. ηζ-I-küme ve η-I-küme ...38
3.4. RIC -sürekliliğin ve Contra α-*-sürekliliğin Ayrışımı...48
3.5. Sürekliliğin, AI-sürekliliğin ve η-I-sürekliliğin Ayrışımı ...55
SONUÇ VE ÖNERĐLER ...63
GÖSTERĐMLER ∀ : Her ∈ : Ait ∉ : Ait değil = : Eşit ≠ : Eşit değil ⇒ : Gerek şart ⇐ : Yeter şart ∅ : Boş küme X : Evrensel küme P(X) : Güç kümesi A⊂B : B, A kümesini kapsar A⊄B : B, A kümesini kapsamaz A∩B : A kesişim B A∪B : A birleşim B At : A kümesinin tümleyeni A-B : A fark B
I : X kümesi üzerindeki herhangi bir ideal
Ic : X kümesinin sayılabilir alt kümelerinden oluşan ideal
If : X kümesinin sonlu alt kümelerinden oluşan ideal
τ
: Topolojik yapı(X,
τ
) : Topolojik uzayG(x) : (X,
τ
) topolojik uzayında x noktasının açık komşuluklar ailesiτ
A : A⊂X kümesi üzerindeki alt uzay topolojisi (X,τ
A) : Alt topolojik uzay(X,
τ
,I) : Đdeal topolojik uzayA~ : (X,
τ
) topolojik uzayındaki A⊂X alt kümesinin yığılma noktaları kümesiyoğ(A) : (X,
τ
) topolojik uzayındaki A⊂X alt kümesinin yoğunlaşmaGĐRĐŞ
Đlk defa 1933 yılında Kuratowski [18] bir topolojik uzayda ideal kavramını kullanarak kümenin lokal fonksiyonu kavramını tanımladı ve bu fonksiyonun sağladığı özellikleri inceledi. 12 yıl sonra Vaidyanathaswamy [30] lokal fonksiyon kavramı yardımıyla bir kapanış işlemi tanımladı, bu işlemden yeni bir topoloji oluşturdu ve bu topolojinin tabanını elde etti.
1964 yılında Hayashi [12], kendi adını verdiği Hayashi uzayını tanımladı. Daha sonra 1975 yılında Samuels [27] lokal fonksiyon kavramının ideallerin değiştirilmesiyle genel topolojide de bilinen kapanış noktası, yığılma noktası, yoğunlaşma noktası ve ikinci kategoriden nokta kavramına eşit olduğunu gösterdi. Böylece lokal fonksiyon kavramının bu nokta kavramının bir genellemesi olduğu sonucuna vardı.
Ardından 1990 yılında D. Janković ve T. R. Hamlet [14] lokal fonksiyon kavramı ile ilgili o zamana kadar yapılan tüm çalışmaları ayrıntılı incelediler ve bu kavramla ilgili yeni özellikler elde ettiler.
Đlk defa 1933 yılında tanımlanmış olan lokal fonksiyon kavramı ile ilgili zamanımıza kadar çeşitli araştırmalar yapılmış ve önemli sonuçlar elde edilmiştir. Halen günümüzde de araştırmacılar için önemli bir çalışma konusu olmuştur.
Bu çalışmada; (X,
τ
) topolojik uzayı, üzerinde hiçbir ayırma aksiyonu olmayan uzay olarak alınacaktır. Ayrıca (X,τ
) topolojik uzayında herhangi bir A⊂X alt kümesinin kapanışı Cl(A) ve bu kümenin içi de Int(A) sembolleri ile gösterilecektir.I. BÖLÜM
SÜREKLĐLĐĞĐN AYRIŞIMI
Bu bölümde [26]’ da verilen, ηζ-küme, η-küme, ηζ-süreklilik ve η-süreklilik kavramları ele alınmış ve elde edilmiş olan sürekliliğin ayrışımı incelenmiştir.
1.1. Ön Bilgiler
Bu kısımda, (X,
τ
) ve (Y, ϕ) uzayları, (veya kısaca X ve Y ) belirtilmedikçe üzerinde herhangi bir ayırma aksiyomu olmayan topolojik uzaylar olarak kabul edilecektir. Bir A⊂X alt kümesinin kapanışı, içi, sınırı, α-kapanışı, α-içi sırasıyla, Cl(A), Int(A), Fr(A), Clα(A) ve Intα (A) ile gösterilecektir.Tanım 1.1.1. (X,
τ
) topolojik uzayı ve bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer(a) A ⊂ Int(Cl(A)) ise; A kümesine pre-açık küme [22], (b) A ⊂ Cl(Int(A)) ise; A kümesine semi-açık küme [19], (c) A ⊂ Int(Cl(Int(A))) ise; A kümesine α- açık küme [24], (d) A ⊂ Cl(Int(Cl(A))) ise; A kümesine β-açık küme [1], (e) A = Int(Cl(A)) ise; A kümesine regüler açık küme [7], denir.
Tanım 1.1.2. (X,
τ
) topolojik uzayı ve bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer(b) Int(Cl(A)) ⊂ A ise; A kümesine semi-kapalı küme [19], (c) Cl(Int(Cl(A))) ⊂ A ise; A kümesine α- kapalı küme [24], (d) Int(Cl(Int(A))) ⊂ A ise; A kümesine β-kapalı küme [1], (e) A = Cl(Int(A)) ise; A kümesine regüler kapalı küme [7], denir.
Tanım 1.1.3. (X,
τ
) topolojik uzayı olsun. Eğer A = U ∩ N ⊂ X kümesi için,(a)U∈
τ
ve N semi regüler ( Int(Cl(N)) ⊂ N ⊂ Cl(Int(N)) ) ise; A kümesine AB-küme [4],(b)U∈
τ
ve N β-kapalı ise; A kümesine C-küme [10],(c) U∈
τ
ve N regüler kapalı ise; A kümesine A-küme [28],(d) U∈
τ
ve N semi-kapalı ise; A kümesine B- küme [29],(e) U∈
τ
ve N kapalı ise; A kümesine LC-küme [2],(f) U∈
τ
ve N pre-kapalı ise; A kümesine A7-küme [31],denir.
Tanım 1.1.4. (X,
τ
) topolojik uzayı ve bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer(a) Clα(A) ⊂ U öyle ki A⊂U ve U∈τ ise; A kümesine gα-kapalı [21],
(b) Int(Cl(A)) = ∅ ise; A kümesine hiçbir yerde yoğun olmayan küme [3], (c) A’ nın sınırı hiçbir yerde yoğun olmayan bir küme ise; A kümesine NBD- küme [3],
Tanım 1.1.5. Bir f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Her U∈ϕ kümesi için,(a) f−1(U) kümesi X uzayında α-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna α-sürekli fonksiyon [23],
(b) f−1(U) kümesi X uzayında pre-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna pre-sürekli fonksiyon [22],
(c) f−1(U) kümesi X uzayında semi-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna semi-sürekli fonksiyon [19],
(d) f−1(U) kümesi X uzayında β-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna β-sürekli fonksiyon [1],
denir.
Tanım 1.1.6. Bir f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Her V∈ϕ kümesi için,(a) f−1(U) kümesi X uzayında A-küme oluyorsa f fonksiyonuna A-sürekli fonksiyon [28],
(b) f−1(U) kümesi X uzayında B-küme oluyorsa f fonksiyonuna B-sürekli fonksiyon [29],
(c) f−1(U) kümesi X uzayında C-küme oluyorsa f fonksiyonuna C-sürekli fonksiyon [10],
(d) f−1(U) kümesi X uzayında AB-küme oluyorsa f fonksiyonuna AB-sürekli fonksiyon [4],
(e) f−1
(U) kümesi X uzayında LC-küme oluyorsa f fonksiyonuna LC-sürekli fonksiyon [8],
(f) f−1(U) kümesi X uzayında A7-küme oluyorsa f fonksiyonuna A7-sürekli
fonksiyon [31], denir.
Tanım 1.1.7. Bir f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Y uzayındaki her U α-açık kümesi için, f−1(U) kümesi X uzayında α-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna α-irresolute fonksiyon [20] denir.1.2. ηζ-küme ve η-küme
Tanım 1.2.1 [26]. (X,
τ
) topolojik uzayı olsun. Eğer A = U ∩ N ⊂ X kümesi için,(a) U∈
τ
ve N clopen küme ise; A kümesine ηζ-küme,(b) U∈
τ
ve N α-kapalı küme ise; A kümesine η-küme,denir.
(X,
τ
) topolojik uzayındaki ηζ-kümeler ailesi ηζ(X) ve η-kümeler ailesi ise η(X) ile gösterilecektir.ηζ(X) A(X) LC(X)
η(X) A7(X)
AB(X) B(X) C(X) Şekil 1.1
Şekil 1.1’ deki gerektirmelerin karşıtları, aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi doğru değildir.
Örnek 1.2.1 [26]. X = {a, b, c} ve
τ
= {∅, X, {a}} olsun. Bu takdirde, A = {c} kümesi için A∈η(X) fakat A∉AB(X), A∉LC(X) olduğu kolayca elde edilir.Örnek 1.2.2 [26]. X = {a, b, c, d} ve
τ
= {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} olsun. Bu takdirde, A={b, c} kümesi için A∈AB(X) fakat A∉η(X) olduğu kolayca bulunur. Ayrıca, B = {b, c, d} kümesi için B∈A(X) fakat B∉ηζ(X) olduğu görülür ve C = {a, c} kümesi için ise C∈AB(X) fakat C∉A7(X) olduğu sonucuna varılır.Örnek 1.2.3 [26]. X = {a, b, c, d} ve
τ
= {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, c}} olsun. Bu takdirde, A = {a, b} kümesi için A∈A7(X) fakat A∉B(X) olduğu görülür.Uyarı 1.2.1 [26]. Verilen örneklerden η-küme ile AB-küme kavramlarının birbirinden bağımsız olduğu görülür.
Teorem 1.2.1 [26]. (X,
τ
) topolojik uzayının bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) A kümesi η-kümedir,
Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) A bir η-küme olduğundan, A = U ∩ N olarak yazılabilir öyle ki U∈τ ve N α-kapalı kümedir. Böylece, A ⊂ U ve A ⊂ N dir. Sonuçta, N kümesinin α-kapalı olşundan, Clα(A) ⊂ Clα(N) elde edilir. Buradan, A ⊂ U ∩ Clα(A) ⊂ U ∩ Clα(N) = U ∩ N = A bulunur. Bu da gösterir ki, A = U ∩ Clα(A)’ dır.
(b)⇒⇒⇒⇒(a) Clα(A)’ nın α-kapalı olmasından ispat açıktır.
Teorem 1.2.2 [26]. (X,
τ
) topolojik uzayı ve bir A⊂X alt kümesi verilsin. Eğer A∈η(X) ise Clα(A) - A kümesi α-kapalı, A ∪ (X - Clα(A)) kümesi α-açık ve A ⊆ Intα( A ∪ (X - Clα(A))) dir.Đspat. A∈η(X) ise Teorem 1.2.1 gereği U∈
τ
için A = U ∩ Cl α(A) vardır. Buradan, Cl α(A) – A kümesi,Cl α(A) – A = Clα(A) - (U ∩Clα(A))
= Clα(A) ∩ (X-(U ∩ Clα(A)))
= Clα(A) ∩ ((X - U) ∪ (X - Clα(A)))
= (Clα(A) ∩ (X - U)) ∪ (Clα(A) ∩ (X - Clα(A)))
= (Clα(A) ∩ (X - U)) ∪∅
=Clα(A) ∩ (X - U)
olup, α-kapalıdır.
Clα(A) - A kümesi α-kapalı olduğundan, X - (Clα(A) - A) kümesi α-açıktır. Böylece, X - (Clα(A) - A) = X - (Clα(A) ∩ (X - A)) = A ∪ (X - Clα(A)) kümesi α-açıktır.
A ∪ (X - Clα(A)) kümesi α-açık olduğundan, A ⊆ A ∪ (X - Clα(A)) = Intα( A ∪ (X - Clα(A))) olduğu görülür.
Teorem 1.2.2’ nin karşıtı , aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi doğru değildir.
Örnek 1.2.4 [26]. X = {a, b, c, d} ve
τ
= {∅, X, {b, d}, {b, c, d}} olsun. Bu takdirde, A = {a, b, d} kümesi ele alınırsa, Clα(A) - A = {c} kümesinin α-kapalı ve A ∪ (X - Clα(A)) = A kümesinin ise α-açık olduğu fakat A∉η(X) olduğu kolayca elde edilir.Teorem 1.2.3 [26]. (X,
τ
) topolojik uzayının bir A ⊂ X alt kümesi için, aşağıdakiler eşdeğerdir:a) A kümesi α-kapalıdır,
b) A kümesi η-küme ve gα-kapalıdır. Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) Đspat açıktır.
(b)⇒⇒⇒⇒(a) A∈η(X) olduğundan, U∈
τ
için A = U ∩ Clα(A) yazılabilir. Böylece, A ⊂ U ve A kümesinin gα-kapalı olduğundan, Clα(A) ⊂ U’ dir. Buradan, Clα(A) ⊂ U ∩ Clα(A) = A ve sonuçta A kümesinin α-kapalı olduğu elde edilir.Teorem 1.2.4 [26]. (X,
τ
) topolojik uzayının bir A⊂X alt kümesi için, aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) A kümesi açıktır, (b) A kümesi ηζ-kümedir,
(c) A kümesi α-açık ve A-kümedir [28], (d) A kümesi pre-açık ve A-kümedir, (e) A kümesi α-açık ve η-kümedir,
(f) A kümesi α-açık ve LC-kümedir [9], (g) A kümesi pre-açık ve LC-kümedir [9], (h) A kümesi pre-açık ve η-kümedir, (i) A kümesi pre-açık ve B-kümedir [29].
Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) A kümesi açık olduğundan, A = A ∩ X olarak yazılabilir öyle ki burada X hem açık hem kapalıdır. Böylece A kümesi bir ηζ-kümedir.
(b)⇒⇒⇒⇒(c) ve (c)⇒⇒⇒⇒(d) olduğu açıktır.
(d)⇒⇒⇒⇒(e) A kümesi A-küme olduğundan açıktır [3]. Böylece, A hem semi-açık hem de pre-semi-açık olduğundan α-semi-açıktır [6]. Şekil 1.1 gereği her A-kümenin η-küme olduğu açıktır.
(e)⇒⇒⇒(f) A kümesi η-küme olduğundan, U⇒ ∈
τ
için A = U ∩ Clα(A)’ dir. Böylece, A kümesi β-açık olduğundan,Cl(Clα(A)) = Cl(A∪Cl(Int(Cl(A))))
= Cl(Cl(Int(Cl(A)))) = Cl(Int(Cl(A))) = Clα(A).
Sonuç olarak, Clα(A) kümesi kapalı ve A kümesi LC-kümedir.
(f)⇒⇒⇒⇒(g), (g)⇒⇒⇒(h) ve (h)⇒⇒ ⇒⇒⇒(i) olduğu açıktır.
(i)⇒⇒⇒(a) [29]’ da ispatı verilmiştir. ⇒
Teorem 1.2.5 [26]. (X,
τ
) topolojik uzayının bir A ⊂ X alt kümesi için, aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) A kümesi A-kümedir,
(b) A kümesi semi-açık ve η-kümedir, (c) A kümesi β-açık ve LC-kümedir, (d) A kümesi β-açık ve η-kümedir. Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) Şekil 1.1’ den açıktır.
(b)⇒⇒⇒⇒(c) A kümesi η-küme olduğundan, bazı U∈
τ
için A = U ∩ Clα(A) olarak yazılabilir. Ayrıca, A kümesi semi-açık olduğundan β-açık olduğundan,Cl(Clα(A)) = Cl(A ∪ Cl(Int(Cl(A))))
= Cl(Cl(Int(Cl(A)))) = Cl(Int(Cl(A))) = Clα(A).
Sonuçta, Clα(A) kümesi kapalı ve böylece A kümesi LC-kümedir.
(c)⇒⇒⇒(d) Şekil 1.1’ den açıktır. ⇒
(d)⇒⇒⇒⇒(a) A kümesi η-küme olduğundan, Teorem 1.2.1 gereği U∈
τ
için A = U ∩ Clα(A) olarak yazılabilir. Ayrıca, A kümesi β-açık olduğundan, Clα(A) = Cl(Int(Cl(A)))’ dir. Böylece,Cl(Int(Clα(A))) = Cl(Int(Cl(Int(Cl(A))))) = Cl(Int(Cl(A))) = Clα(A).
Sonuçta, Clα(A) kümesi regüler kapalı ve A kümesi de A-kümedir.
Teorem 1.2.6 [26]. (X,
τ
) topolojik uzayının bir A⊂X alt kümesi için, aşağıdakiler eşdeğerdir:(b) A kümesi pre-kapalı ve η-kümedir, (c) A kümesi pre-kapalı ve B-kümedir, (d) A kümesi pre-kapalı ve NDB-kümedir.
Đspat. (a)⇒⇒⇒(b) Her α-kapalı küme pre-kapalıdır. A = A ⇒ ∩ X öyle ki burada A kümesi α-kapalı ve X kümesinin ise açık olmasından, A kümesi bir η-kümedir.
(b)⇒⇒⇒⇒(c) Şekil 1.1.’ gereği her η-küme B-kümedir.
(c)⇒⇒⇒(d) Her B-küme, NDB-kümedir [3]. ⇒
(d)⇒⇒⇒⇒(a) A bir NDB-küme ve B = X - A olsun. Bu takdirde, Cl(Int(Fr(B))) = ∅ ve Int(Fr(B)) = ∅ olur. Buradan,
Int(Fr(B)) = Int(Cl(B)∩Cl(X-B)) = Int(Cl(B))∩Int(Cl(X-B)) = Int(Cl(B))∩(X-Cl(Int(B))) = ∅.
Böylece, Int(Cl(B)) ⊂ Cl(Int(B)) bulunur. B kümesi pre-açık olduğundan, B ⊂ Int(Cl(B)) ⊂ Cl(Int(B)) elde edilir. Sonuç olarak, B kümesi semi-açık olup, A kümesi α-kapalıdır.
Teorem 1.2.7 [26]. (X,
τ
) uzayı için, aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) X uzayı ayrık değildir,
(b) X uzayındaki η-kümeler sadece trivial olanlardır, (c) X uzayındaki ηζ-kümeler sadece trivial olanlardır.
Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) Eğer A kümesi η-küme ise, A = U ∩ N olarak yazılabilir öyle ki U∈τ ve N α-kapalıdır. Eğer A ≠ ∅ ise U ≠ ∅ ve (a)’ nın hipotezinden U = X dir. böylece, A = N olup,
A ⊃ Cl(Int(Cl(A))) = Cl(Int(X)) = X ifadesinden A=X olduğu sonucuna varılır.
(b)⇒⇒⇒⇒(c) Şekil 1.1 gereği her ηζ-küme η-kümedir.
(c)⇒⇒⇒⇒(d) Her açık kümenin ηζ-küme olmasından ve (c)’ nin hipotezinden, X uzayındaki açıklar sadece trivial olanlardır, yani X uzayı ayrık değildir.
Teorem 1.2.8 [26]. (X,
τ
) uzayı için, aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) X uzayı ayrıktır,
(b) X uzayının her alt kümesi ηζ-kümedir.
Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) X uzayının ayrık olmasından dolayı, X uzayının herhangi bir A alt kümesi hem açık hem de kapalıdır. Bu da A kümesinin ηζ-küme olduğunu gösterir.
(b)⇒⇒⇒⇒(a) X uzayının her alt kümesi ηζ-küme olduğundan, X uzayının her {x} tek elemanlı alt kümesi de ηζ-kümedir ve bu sebepten açık kümedir. Sonuçta, X uzayı ayrıktır.
1.3. ηζ-süreklilik ve η-süreklilik
Tanım 1.3.1 [26]. Bir f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Her U∈ϕ kümesi için,(a) f−1(U) kümesi X uzayında ηζ-küme oluyorsa f fonksiyonuna ηζ-sürekli fonksiyon,
(b) f−1
(U) kümesi X uzayında η-küme oluyorsa f fonksiyonuna η-sürekli fonksiyon,
denir.
Aşağıdaki diagram ηζ-süreklilik ve η-sürekliliğin, diğer süreklilik çeşitleriyle olan ilişkilerini göstermektedir [26]:
ηζ-süreklilik A-süreklilik LC-süreklilik
η-süreklilik A7-süreklilik
AB-süreklilik B-süreklilik C-süreklilik Şekil 1.2
Şekil 1.2’ deki gerektirmelerin karşıtları, aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi doğru değldir.
Örnek 1.3.1 [26]. X = {a, b, c, d},
τ
= {∅, X, {d}, {b, c}, {b, c, d}} ve ϕ = {∅, X, {a, b}} olsun. Bu takdirde, f : (X,τ
) → (X, ϕ) birim fonksiyonu A7-sürekli olmasına karşın B-sürekli değildir.Örnek 1.3.2 [26]. X = {a, b, c},
τ
= {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} ve ϕ = {∅, X, {b, c}} olsun. Bu takdirde, f : (X,τ
) → (X, ϕ) birim fonksiyonu A-sürekli olmasına karşın η-sürekli değildir.Örnek 1.3.3 [26]. X = {a, b, c},
τ
= {∅, X, {a}, {a, b}} ve ϕ={∅, X, {b, c}} olsun. Bu takdirde, f : (X,τ
) → (X, ϕ) birim fonksiyonu LC-süreklidir fakat A-sürekli değildir.Örnek 1.3.4 [26]. X = {a, b, c, d},
τ
= {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} ve ϕ = {∅, X, {a, c}} olsun. Bu takdirde, f : (X,τ
) → (X, ϕ) birim fonksiyonu AB-süreklidir fakat A7-sürekli değildir.Örnek 1.3.5 [26]. X = {a, b, c,d },
τ
= {∅, X, {a}} ve ϕ = {∅, X, {c}} olsun. Bu takdirde, f : (X,τ
) → (X, ϕ) birim fonksiyonu η-sürekli olmasına karşın ne LC-sürekli ne de AB-LC-süreklidir.Uyarı 1.3.1 [26]. Verilmiş olan örneklerden η-süreklilik ile AB-sürekliliğin birbirinden bağımsız olduğu görülmektedir.
Teorem 1.3.1 [26]. f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu sürekli ve α-irresolute olsun. Eğer A kümesi (Y, ϕ) uzayında bir η-küme ise f−1(A) kümesi (X, τ) uzayında bir η-kümedir.Đspat. A kümesi (Y, ϕ) uzayında bir η-küme olsun. O halde A = U ∩ N öyle ki U∈τ ve N kümesi de (Y, ϕ) uzayında α-kapalıdır. Buradan, f−1(A) = f−1(U ∩ N) = f−1(U) ∩ f−1(N). f fonksiyonu sürekli olduğundan f−1(U) kümesi (X, τ) uzayında açıktır. Ayrıca, f fonksiyonu α-irresolute olduğundan, f−1(N) kümesi (X, τ) uzayında α-kapalıdır. Bu da bize f−1(A) kümesinin η-küme olduğunu gösterir.
Tanım 1.3.2. Bir f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Y uzayındaki her U η-açık kümesi için, f−1(U) kümesi X uzayında η-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna η-irresolute fonksiyon denir.Sonuç 1.3.1. f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu sürekli ve α-irresolute ise η-irresolute fonksiyondur.Teorem 1.3.2 [26]. f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu süreklidir, (b) f fonksiyonu ηζ-süreklidir,
(c) f fonksiyonu α-sürekli ve A-süreklidir [28], (d) f fonksiyonu pre-sürekli ve A-süreklidir [9], (e) f fonksiyonu α-sürekli ve η-süreklidir, (f) f fonksiyonu α-sürekli ve LC-süreklidir [9], (g) f fonksiyonu pre-sürekli ve LC-süreklidir [9], (h) f fonksiyonu pre-sürekli ve η-süreklidir, (i) f fonksiyonu pre-sürekli ve B-süreklidir [29]. Đspat. Teorem 1.2.4 gereği ispat açıktır.
Teorem 1.3.3 [26]. f : (X,
τ
) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu A-süreklidir,
(b) f fonksiyonu semi-sürekli ve η-süreklidir, (c) f fonksiyonu β-sürekli ve LC-süreklidir, (d) f fonksiyonu β-sürekli ve η-süreklidir. Đspat. Teorem 1.2.5 gereği ispat açıktır.
II. BÖLÜM
ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAY
Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır.
Birinci bölümde bu çalışma için gerekli olan temel kavramlar verildi.
Đkinci bölümde ise Kuratowski [18] tarafından tanımlanan kümenin lokal fonksiyon kavramı ve [14]’ de ispatsız olarak verilen bu fonksiyon kavramının sağladığı özellikler ispatlarıyla tarafımızdan verilip yorumlandı.
2.1. Đdeal Topolojik Uzay Đçin Temel Kavramlar
Bu bölümde konunun temelini oluşturan, kümenin lokal fonksiyonu tanımına geçmeden önce gerekli olan bazı tanımları verelim.
Tanım 2.1.1 [18]. Boş olmayan bir X kümesinin alt kümelerinin boş olmayan bir I⊂P(X) ailesi verilsin. Eğer I ailesi,
(ı) Her A, B∈I kümeleri için, A∪B∈I (sonlu toplamsallık özelliği) (ıı) Her A∈I kümesi ve B⊆A alt kümesi için, B∈I (kalıtımsallık özelliği) özelliklerini sağlarsa bu taktirde, I ailesine X kümesi üzerinde bir ideal denir.
Tanım 2.1.2 [18]. P(X) kümesi, X kümesinin güç kümesi olmak üzere,
α : P(X) → P(X) fonksiyonu,
(ı) α(∅)=∅
(ııı) A,B∈P(X) ⇒ α(A∪B)=α(A)∪α(B) (ıv) A∈P(X) ⇒ α(α(A))=α(A)
şartlarını sağlarsa bu taktirde, α küme fonksiyonuna Kuratowski Kapanış Đşlemi denir. K={A∈P(X) A=α(A)} ailesine, X kümesi üzerindeki topolojiye göre Kapalılar Ailesi denir.
Uyarı 2.1.1 [14]. P(X) kümesi, X kümesinin güç kümesi olmak üzere, d: P(X) → P(X) fonksiyonu,
(ı) d(∅)=∅
(ıı) d(A∪B) = d(A)∪d(B) (ııı) d(d(A))⊆d(A)
şartlarını sağlasın. Bu takdirde, α(A)=A∪d(A) şeklinde tanımlanan α: P(X) → P(X) fonksiyonu, P(X) güç kümesi üzerinde bir Kuratowski kapanış işlemidir.
Đspat. (ı) α(A)=A∪d(A) ifadesinde A=∅ alırsak α(∅)=∅∪d(∅) olur. Uyarı 2.1.1 (ı) gereği, d(∅)=∅ olup böylece α(∅)=∅ bulunur.
(ıı) Herhangi bir A∈P(X) alt kümesi için, α küme fonksiyonu tanımından
α(A)=A∪d(A) bağıntısı bulunur. Birleşim işlemi gereği, A⊂A∪d(A)=α(A) ifadesi elde edilir. Böylece A⊂α(A) olur.
(ııı) Herhangi bir A, B∈P(X) alt kümeleri için, α küme fonksiyonu tanımı ve Uyarı 2.1.1 (ıı) gereği, α(A∪B)=(A∪B)∪d(A∪B)=(A∪B)∪(d(A)∪d(B))= (A∪d(A))∪ (B∪d(B))= α(A)∪α(B) ifadesi bulunur. Böylece α(A∪B)=α(A)∪α(B) olduğu elde edilir.
(ıv) Herhangi bir A∈P(X) alt kümesi için, α küme fonksiyonu tanımından
α(A)=A∪d(A) olur. Buradan (ııı) ifadesi gereğince, α(α(A))=α(A∪d(A))=α(A)
∪α(d(A))=(A∪d(A))∪(d(A)∪d(d(A))) bağıntısı bulunur. Uyarı 2.1.1 (ııı) gereğince d(d(A))⊂d(A) olur. Böylece α(α(A))=A∪d(A)=α(A) olduğu görülür.
Sonuç olarak, α : P(X) → P(X) küme fonksiyonu Tanım 2.1.2’ de verilen Kuratowski kapanış işlemi şartlarını sağlar.
Tanım 2.1.3 [2]. X kümesi üzerinde
ϕ
={∅,X} şeklinde tanımlananτ
topolojisine ayrık olmayan topoloji, (X,ϕ
) ikilisine de ayrık olmayan uzay denir.Tanım 2.1.4 [2]. X kümesi üzerinde tanımlanan P(X) topolojisine ayrık topoloji, (X,P(X)) ikisine de ayrık uzay denir.
Tanım 2.1.5 [18]. (X,
τ
) topolojik uzayı, A⊆X alt kümesi ve x∈X noktası verilsin. Her V∈υ
(x) komşuluğu için, A∩V≠∅ ise, x∈X noktasına A kümesinin bir kapanış noktası denir.Tanım 2.1.6 [18]. (X,
τ
) topolojik uzayı, A⊆X alt kümesi ve x∈X noktası verilsin. Her V∈υ
(x) komşuluğu için, A∩V kümesinde sayılamayan sonsuz sayıda eleman varsa, x∈X noktasına A kümesinin bir yoğunlaşma noktası denir.Tanım 2.1.7 [18]. (X,
τ
) topolojik uzayı, A⊆X alt kümesi ve bir x∈X noktası verilsin. Her V∈υ
(x) komşuluğu için, A∩(V-{x})≠∅ ise, x∈X noktasına A kümesinin bir yığılma noktası denir.2.2. Kümenin Lokal Fonksiyonu
Tanım 2.2.1 [18]. (X,
τ
) topolojik uzayı ve bir A⊆X alt kümesi verilsin. I ailesi X kümesi üzerinde bir ideal olsun. Bu takdirde,A*(I,
τ
) = {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉I}kümesine A kümesinin I ideali ve
τ
topolojisi ile ilgili lokal fonksiyonu denir. A*(I,τ
) gösterimi için [14]’ de belirtildiği gibi A*(I) veya kısaca A* sembolünü kullanacağız ve buna A kümesinin lokal fonksiyonu diyeceğiz.X≠∅ bir küme olmak üzere X kümesindeki en basit idealler minimal ideal (I={∅}) ve maksimal ideal (I=P(X)) olup A* kümesi bu ideallere göre [14]’ de aşağıdaki gibi elde edilmiştir.
A*({∅},
τ
) = {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉{∅}} ={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)≠∅} =Cl(A) Buradan, A*({∅},τ
)=Cl(A) olarak bulunur. A*(P(X),τ
)={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉P(X)}=∅ Buradan, A*(P(X),τ
)=∅ olarak bulunur.(X,
τ
) uzayında If (sonlu alt kümeler ideali), Ic (sayılabilir alt kümeler ideali) idealleri için [14]’ de A* kümesi aşağıdaki gibi elde edilmiştir.A*(If,
τ
) = {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉If} = {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A) sonsuz}= A~ Buradan,
A*(If,
τ
) = A~ olarak bulunur.A*(Ic,
τ
) = {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉Ic}= {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A) kümesi sayılamaz} = yoğ(A)
Buradan,
A*(Ic,
τ
)=yoğ(A) olarak bulunur.[27]’ de, A kümesinin A*(I,
τ
) lokal fonksiyonunun, A kümesinin kapanış noktası, yığılma noktası ve kapanış noktasının bir genelleştirilmesi olduğu verilmiştir.Şimdi [14]’ de ispatsız olarak verilen, lokal fonksiyonun özellikleriyle ilgili teoremi ispatlarıyla aşağıdaki gibi verelim.
Teorem 2.2.1 [14]. (X,
τ
) uzayı, X kümesi üzerinde I1, I2 idealleri ile birlikte verilen bir topolojik uzay ve A,B⊆X olsun. Bu taktirde,(a) A⊆B ⇒ A*⊆B*
(b) I1⊆I2 ⇒ A*(I2)⊆A*(I1)
(c) A*=Cl(A*)⊆Cl(A) (A* kümesi kapalı bir kümedir) (d) (A*)*⊆A* (e) (A∪B)*=A*∪B* (f) (A∩B)*⊆A*∩B* (g) A*-B*=(A-B)*-B*⊆(A-B)* (h) U∈
τ
⇒ U∩A*=U∩(U∩A)*⊆(U∩A)* (ı) S∈I ⇒ (A∪S)*=A*=(A-S)*Đspat. (a) Herhangi bir x∈A* noktasını alalım. Tanım 2.2.1’den her U∈G(x) açık komşuluğu için, A∩U∉I olur. Eğer A⊂B ise, A∩U⊂B∩U olup B∩U∉I elde edilir. Eğer B∩U∈I olsaydı I idealinin kalıtımsallık özelliğinden A∩U∈I olurdu. Bu ise, bir çelişkidir. O halde her U∈G(x) açık komşuluğu için, B∩U∉I ise Tanım 2.2.1 gereği, x∈B* olur. Böylece alt küme tanımı gereği A*⊂B* bağıntısı bulunur.
(b) I1⊆I2 ise I2t⊂ I1t olur. ……….(1)
A*(I2) = {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉I2}
A*(I2) = {x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∈I2t } ………. (2) (1), (2) ifadeleri ve Tanım 2.2.1 kullanılarak,
A*(I2)⊆{x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∈I1t} ={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉I1} = A*(I1)
elde edilir. Buradan,
olduğu görülür.
(c) Öncelikle A*=Cl(A*) eşitliğini gösterelim. Her A⊂X alt kümesi için, A⊂Cl(A) bağıntısı her zaman sağlanır. Bu ifade A*⊂X alt kümesi için de gerçekleşeceğinden
A*⊆Cl(A*) ………. (3)
A*({∅},
τ
)=Cl(A), A*(P(X),τ
)=∅ olduğu [14]’ de gösterilmiştir. Teorem 2.2.1 (b) gereğince kümenin lokal fonksiyonu en büyük değerini I={∅} minimal ideali için, en küçük değerini de I=P(X) maksimal ideali için alır. O halde (X,τ
) uzayındaki her I ideali için ∅⊆I⊆P(X) ifadesi sağlandığından,∅⊆A*(I,
τ
) ⊆ Cl(A)…………..(4) olur.Şimdi de Cl(A*)⊂A* olduğunu gösterelim. Herhangi bir x∈Cl(A*) noktasını alalım. Varsayalım ki x∉A* olsun. Cl(A*)=∩{F⊂X F kapalı küme ve A*⊂F} ifadesinden ve x∈Cl(A*) olduğundan A*⊂F olan her F kapalı kümesi için, x∈F olur. A*⊂F ve F kapalı küme ise X-F⊂X-A* olup X-F açık kümedir. Buradan (X-F)∩A*=∅ bulunur. x∉A* ifadesinden x∈(X-A*) elde edilir ve x∈F olduğundan F∩(X-A*)≠∅ olur. (X-F)∩A*=∅ ve F∩(X-A*)≠∅ olması F⊂A* olduğunu gösterir. Bu ise bir çelişkidir. O halde,
Cl(A*)⊂A* ………. (5) bulunur.
(3), (4) ve (5) ifadelerinden A*=Cl(A*)⊆Cl(A) bağıntısı elde edilir.
(d) Herhangi bir x∈(A*(I))*(I) noktasını alalım. Varsayalım ki x∉A*(I) olsun. Tanım 2.2.1 gereğince, (A*(I))*(I)={x∈X∀U∈G(x) için, (U∩A*)∉I} olur. Her U∈G(x) açık komşuluğu için, U∩A*∉I ifadesi ve idealin kalıtımsallık özelliği gereğince, U∩A*≠∅ olduğu bulunur. Kapanış noktası tanımından x∈Cl(A*) elde edilir. (e) şıkkı gereğince, Cl(A*)=A* olması x∈A* olduğunu gösterir. Bu ise, bir çelişkidir. O halde x∈(A*)* noktası için, x∈A* olduğundan (A*)*⊆A* bağıntısı elde edilir.
A*(I)={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉I} ……….. (6) B*(I)={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩B)∉I} ……….. (7) olur.
(6) ve (7) ifadelerinde birleşim işlemi alırsak,
A*(I)∪B*(I)={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩A)∉I veya (U∩B)∉I} A*(I)∪B*(I)={x∈X ∀U∈G(x) için, [(U∩A)∪(U∩B)]∉I}
A*(I)∪B*(I)={x∈X ∀U∈G(x) için, [U∩(A∪B)]∉I} elde edilir. Tanım 2.2.1’den,
A*(I)∪B*(I)=(A∪B)*(I) bulunur.
(f) (A∩B)* (I) = {x∈X ∀U∈G(x) için, [(A∩B)∩U]∉I} (A∩B)* (I) = {x∈X ∀U∈G(x) için, [(A∩U)∩(B∩U)]∉I}
(A∩B)* (I) = {x∈X ∀U∈G(x) için, (A∩U)∉I ve (B∩U)∉I} ………. (8) (8) ifadesi gereği,
(A∩B)* (I)⊆{x∈X ∀U∈G(x) için, (A∩U)∉I} …………. (9) (A∩B)* (I)⊆{x∈X ∀U∈G(x) için, (B∩U)∉I} …………. (10) elde edilir. (9) ve (10) ifadelerinin kesişimlerini alırsak,
(A∩B)* (I)⊆A*(I)∩B*(I) olduğu bulunur.
(g) A∪B=(A-B)∪B eşitliği her zaman doğrudur. Bu eşitlikte (*) işlemi uygulanırsa, Teorem 2.2.1 (e) gereğince,
(A∪B)*=[(A-B)∪B]*=(A-B)*∪B*
eşitliğini elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafın B*t kümesi ile kesişim alınırsa, (A∪B)*∩B*t= [(A-B)*∪B* ]∩B*t
(A*∪B*)∩B*t= [(A-B)*∪B* ]∩B*t (A*∪B*t)∪(B*∩B*t)=[(A-B)*∩B*t]∪(B*∩B*t) olur. B*∩B*t=∅ olduğundan,
A*∩B*t=(A-B)*∩B*t
eşitliği elde edilir. Fark işlemi tanımı gereği, A*-B*=(A-B)*-B* eşitliği yazılır. Bu son eşitlikten
A*-B*=(A-B)*-B*⊆(A-B)* bulunur.
(h) Herhangi bir x∈U∩A* noktasını alalım. Kesişim işlemi tanımından x∈U ve x∈A* dır. Tanım 2.2.1 gereği her V∈G(x) açık komşuluğu için, V∩A∉I olur. x∈U ve U∈
τ
olduğundan komşuluk tanımı gereği U∈G(x) olur. Bir noktanın komşuları kesişimi yine o noktanın komşuluğu olduğundan V∩U∈G(x) olur. x∈A* olup, [(V∩U)∩A]=[V∩(U∩A)]∉I ifadesi elde edilir. Tanım 2.2.1 gereği, x∈(U∩A)* bulunur. x∈U∩A* noktası için, x∈(U∩A)* olduğundanU∩A*⊆(U∩A)* ………. (11)
bulunur. (11) ifadesinde her iki tarafın U kümesi ile kesişimini alırsak, [U∩(U∩A*)]⊆[U∩(U∩A)*]
(U∩A*)⊆[U∩(U∩A)*] ………… (12) U∩A⊆A bağıntısı ve Teorem 2.2.1 (a) gereğince
(U∩A)*⊆A* ……… (13) olur. (13) ifadesinin her iki tarafının U kümesi ile kesişimi alınırsa,
[U∩(U∩A)*]⊆U∩A* ……… (14) bulunur. (12) ve (14) ifadelerinden,
U∩A*=U∩(U∩A)* ……… (15) eşitliği yazılır. O halde (11) ve (15) ifadeleri gereği,
U∩A*=U∩(U∩A)*⊆(U∩A)* bulunur.
(ı) A∪S=(A-S)∪S eşitliği her zaman doğrudur. Bu eşitlikte her iki tarafın (*) işlemi alınırsa,
(A∪S)*=[(A-S)∪S]* olur. Teorem 2.2.1 (e) gereğince,
(A∪S)*=A*∪S*=(A-S)*∪S* ………….. (16)
elde edilir. Tanım 2.2.1 ve S∈I olduğundan S*={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩S)∈I}=∅ olur. (16) ifadesinde S*=∅ yazılırsa (A∪S)*=A*=(A-S)* elde edilir.
Uyarı 2.2.1. Teorem 2.2.1’in (d) ve (f) şıklarında verilen özelliklerin terslerinin doğru olmadığı aşağıdaki örnekten açıkça görülür.
Örnek 2.2.1. X={a,b,c,d,e} kümesi üzerinde
τ
={X,∅,{a},{c},{a,b},{a,c}, {a,b,c}} topolojisi ve S={∅,{a,b}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X kümesinin A={a,d,e}, B={b,c} alt kümeleri için, A*={a,b,d,e}, (A*)*={d,e}, B*={b,c,d,e} ve (A∩B)*=∅ olup A*⊄(A*)* ve A*∩B*⊄(A∩B) * olduğu görülür.[14]’ de, bir Cl* işlemi tanımlanmış ve bu işlemin aslında bir Kuratowski kapanış işlemi olduğu aşağıdaki gibi gösterilmiştir.
Lokal fonksiyon olarak tanımlanan (*) : P(X) → P(X) fonksiyonu Teorem 2.2.1’in (d) ve (e) şıkları ile,
∅*
(I)={x∈X ∀U∈G(x) için, (U∩∅)∉I}
∅*
(I)={x∈X ∀U∈G(x) için, ∅∉I}
bulunur. Bu ise, I ideal olduğundan kalıtımsallık özelliği gereği imkansızdır. Dolayısıyla ∅∈I olur. Dolayısıyla ∅*(I)=∅ olup, (*) : P(X) → P(X) lokal fonksiyonu, Uyarı 2.1.1’de verilen d: P(X) → P(X) fonksiyonu ile çakışır. Her A⊆X alt kümesi için, Cl*(A)=A∪A* şeklinde tanımlanan Cl* : P(X) → P(X) fonksiyonu Kuratowski Kapanış işlemidir.
[14]’ de, X kümesindeki minimal ideal olan I={∅} ve maksimal ideal olan I=P(X) idealleri için Cl*(A) kümesi aşağıdaki gibi bulunmuştur.
I={∅} minimal ideali için, A*({∅})=Cl(A) olup bu ifade Cl*(A)=A∪A* eşitliğinde yazılırsa Cl*(A)=A∪Cl(A) olur. Kapanış işleminin A⊂Cl(A) özelliğinden, Cl*(A)=Cl(A) olur.
I=P(X) maksimal ideali için, A*(P(X))=∅ olup Cl*(A)=A∪A* eşitliğinde yazılırsa, Cl*(A)=A olur.
Cl* fonksiyonu yardımıyla üretilen
τ
* topolojisi [14]’ de aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır.Tanım 2.2.2 [14].
τ
topolojisi X kümesindeki ilk topoloji olmak üzere, Cl* fonksiyonu tarafından üretilen topolojiτ
*(I,τ
) ya daτ
*(I) (kısacaτ
*) ile gösterilir. Bu topoloji,τ
*(I)={U⊆X Cl*(X-U)=X-U}
I={∅} minimal ideali için
τ
*(I)=τ
ve I=P(X) maksimal ideali için,τ
*(I)=P(X) olup X kümesi üzerindeki her I ideali için, ∅⊆I⊆P(X) olduğundanτ
⊆τ
*(I)⊆P(X) bağıntısı Teorem 2.2.1’in (b) şıkkından elde edilir.III. BÖLÜM
ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAYLARDA SÜREKLĐLĐĞĐN BAZI AYRIŞIMLARI
Bu bölümde, ideal topolojik uzaylarda ηζ-I-küme ve η-I-küme kavramlarını ve bunların süreklilik çeşitlerini tanımlayıp çeşitli özelliklerini verdik. Ayrıca bu süreklilik çeşitlerinin, daha önce tanımlanmış olan bazı süreklik çeşitleri ile olan ilişkilerini inceleyip sürekliliğin yeni bir ayrışımını elde ettik.
3.1. Ön Bilgiler
Lemma 3.1.1 [14]. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı için aşağıdaki özellikler eşdeğerdir:(a) X = X*,
(b)
τ
∩ I={∅}(c) Eğer S∈I ise; Int(S) = ∅,
(d) Her A∈
τ
için A ⊆ A*.Bu şartları sağlayan (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayına Hayashi-Samuels uzayı denir.Tanım 3.1.1. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer A kümesi için,(a) A* ⊂ A ise; A kümesine
τ
*-kapalı küme [14],(b) A* = A ise; A kümesine *-perfect küme [12],
(d) Int(A) = Int(Cl*
(Int(A))) ise; A kümesine α*
-I-açık küme [11], (e) A ⊂ Int(Cl*(A)) ise; A kümesine pre-I-açık küme [5],
(f) A ⊂ Cl*(Int(A)) ise; A kümesine semi-I-açık küme [11], (g) (Int(A))* = A ise; A kümesine regüler-I-kapalı küme [15], (h) Int(Cl*(A)) = Int(A) ise; A kümesine t-I-küme [11],
(i) A kümesi hem semi-I-açık hem de t-I-küme ise; A kümesine semi-I-regüler küme [17],
denir.
Tanım 3.1.1’ den aşağıdaki diagram elde edilmiştir [17]:
regular −I−kapalı *−perfect
semi−I−regüler τ* −kapalı
semi−I −açıç t−I −küme α*−I−küme
Şekil 3.1
3.2. *-operfect ve α-*-kapalı Küme
Tanım 3.2.1. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer A kümesi için,(b) A kümesi açık ve τ*-kapalı ise; A kümesine
τ
*-clopen küme,(c) Cl*(Int(Cl*(A))) ⊂ A ise; A kümesine strongly α-*-kapalı küme,
(d) Cl(Int(Cl*(A))) ⊂ A ise; A kümesine α-*-kapalı küme, (e) (Int(A))* ⊂ A ise; A kümesine pre-*-kapalı küme, denir.
Önerme 3.2.1. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her *-operfect küme, regüler-I-kapalı kümedir;
(b) Her
τ
*-clopen küme, açıktır;(c) Her
τ
*-clopen küme,τ
*-kapalı kümedir.Đspat. (a) A ⊂ X alt kümesi, X uzayında bir *-operfect küme olsun. O halde, Tanım 3.2.1 (a) gereği A kümesi hem açık hem de *-perfect kümedir. Buradan (Int(A))*
= A*
= A elde edilir. Bu ise A kümesinin regüler-I-kapalı olduğunu gösterir.
(b) ve (c) şıklarının ispatı Tanım 3.2.1 (b) gereği açıktır.
Uyarı 3.2.1. Önerme 3.2.1’ de verdiğimiz ifadelerin karşıtları genelde doğru değildir:
Örnek 3.2.1. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {b}, {c}, {b, c}, {b, d}, {b, c, d}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b, d} kümesi (Int(A))* = {a, b, d} = A olduğundan regüler-I-kapalıdır. Ancak A∉τ
olmasından ötürü A kümesi *-opefect değildir.Örnek 3.2.2. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {a, b}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b} kümesi açık bir kümedir fakat A* = Cl(A) = X ⊄ A olduğundan A kümesiτ
*-clopen değildir.Örnek 3.2.3. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X, τ, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b} kümesi A* = {a} ⊂ A olduğundanτ
*-kapalıdır. Ancak A∉τ
olmasından ötürü A kümesiτ
*-clopen değildir.Önerme 3.2.2. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her *-operfect küme, clopen kümedir;
(b) Her clopen küme,
τ
*-clopen kümedir.Đspat. (a) (X,
τ
, I) uzayında A ⊂ X, *-operfect kümesini alalım. Buradan, Cl(A) = Cl(A*) = A*
= A bulunur. Sonuçta, A kümesi clopen kümedir.
(b) A ⊂ X kümesi clopen olsun. Bu takdirde A* ⊂ Cl(A) = A olup, A kümesi Tanım 3.2.1 (b) gereği
τ
*-clopen kümedir.Uyarı 3.2.2. Önerme 3.2.2’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir:
Örnek 3.2.4. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, c}, {d}, {a, d}, {b, c, d}} topolojisi ve I = {∅, {a}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b, c} kümesi Cl(A) = {a, b, c} = A olup clopen kümedir. Ancak A* = {b, c} ≠ A olduğundan A kümesi *-opefect değildir.Örnek 3.2.5. X = {a, b, c} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}} topolojisi ve I = {∅, {a}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, c} kümesi A* = {c} ⊂ A olduğundan A kümesi τ*-clopen kümedir fakat Cl(A) = X ≠ A olmasından ötürü A kümesi clopen küme değildir.Önerme 3.2.3. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her *-perfect küme, strongly α-*-kapalı kümedir;
(b) Her
τ
*-kapalı küme, α-*-kapalı kümedir; (c) Her α-*-kapalı küme, pre-*-kapalı kümedir; (d) Her α-*-kapalı küme, t-I-kümedir,(e) Her pre-kapalı küme, pre-*-kapalı kümedir, (f) Her pre-*-kapalı küme, α*
-I-kümedir.
Đspat. (a) (X,
τ
, I) uzayında A ⊂ X alt kümesi bir *-perfect küme ise A*= A vardır. Bu takdirde,
Cl(Int(Cl(A))) = Cl(Int(A ∪ A*)) = Cl(Int(A*)) ⊂ Cl(A*) = A*=A olduğunu buluruz. Sonuç olarak, Tanım 3.2.1 (c) gereği A kümesi strongly α-*-kapalı kümedir.
(b) A ⊂ X alt kümesi, X uzayında
τ
*-kapalı küme ise A* ⊂ A vardır. BuradanCl*(Int( Cl*(A))) ⊂ Cl*(Cl*(A)) = Cl*(A) = A elde edilir. Bu da bize A kümesinin α-*-kapalı küme olduğunu gösterir.
(c) A ⊂ X alt kümesi α-*-kapalı küme ise Cl*(Int( Cl*(A))) ⊂ A vardır. Buradan
(Int(A))* ⊂
Cl*
(Int(A)) ⊂ Cl*
(Int( Cl*
(A))) ⊂ A
bulunur. Sonuç olarak, Tanım 3.2.1 (e) gereği A kümesi pre-*-kapalı kümedir. (d) A ⊂ X α-*-kapalı kümesini ele alalım. Buradan
Int(Cl*(A)) = Int(Cl*(Int(Cl*(A)))) ⊂ Int(A) ve A ⊂ Cl*
(A) olmasından Int(A) ⊂ Int(Cl*
(A)) olur ki Int(Cl*
(A)) = Int(A) olduğu bulunur. Bu da bize Tanım 3.1.1 (h) gereği A kümesinin t-I-küme olduğunu gösterir.
(e) X uzayında A⊂ X alt kümesi pre-kapalı olsun. Bu takrirde (Int(A))* ⊂ Cl(Int(A)) ⊂ A olup A kümesi pre-*-kapalı kümedir.
(f) A ⊂ X alt kümesi pre-*-kapalı küme ise (Int(A))* ⊂
A vardır. Đfadenin her iki tarfınıda Int(A) ile birleşim işemi uygularsak
(Int(A))* ∪ Int(A) ⊂ A ∪ Int(A)
olup, Int(Cl*(Int(A))) ⊂ Int(A) bulunur. Diğer tarftan Int(A) ⊂ Int(Cl*(Int(A))) her zaman vardır. Sonuç olarak, Tanım 3.1.1 (d) gereği A kümesi α*-I-kümedir.
Uyarı 3.2.3. Önerme 3.2.3’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir:
Örnek 3.2.6. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b, d} kümesi Cl(Int(Cl*(A))) = {a, d} ⊂ A olduğundan strongly α-*-kapalı kümedir. Ancak A* = {d} ≠ A olmasından ötürü A kümesi *-pefect değildir.
Örnek 3.2.7. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {c}, {a, c}} topolojisi ve I = {∅, {a}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, d} kümesi Cl*(Int(Cl*
Ancak A* = {b, d} ⊄ {a,d} = A olduğundan A kümesi strongly
τ
*-kapalı küme değildir.Örnek 3.2.8. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}} topolojisi ve I = {∅, {a}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, d} kümesi (Int(A))* = ∅ = A olduğundan pre-*-kapalıdır fakat diğer taraftan Cl*(Int(Cl*
(A))) = X ⊄ A olmasından ötürü A kümesi α-*-kapalı küme değildir. Ayrıca Cl(Int(A)) = {a, b} ⊄ {a, d} =A olup A kümesi pre-kapalı da değildir.
Örnek 3.2.9. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {b}, {d}, {b, d}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, d} kümesi Int(Cl*(A)) = {d} = Int(A) olduğundan A kümesi t-I-küme ve böylece α*-I-kümedir fakat (Int(A)) * = {a, c, d} ⊄ A olup A kümesi ne pre-*-kapalı küme ve ne de α-*-kümedir.Önerme 3.2.4. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her α-kapalı küme, strongly α-*-kapalı kümedir; (b) Her strongly α-*-kapalı küme, α-*-kapalı kümedir.
Đspat. (a) X uzayında A ⊂ X alt kümesi α-kapalı küme olsun. Tanım 1.1.2 (c) gereği
Cl(Int(Cl*(A))) ⊂ Cl(Int(Cl(A))) ⊂ A
ifadesine varılır. Böylece A kümesinin Tanım 3.2.1 (c) gereği strongly α-*-küme olduğu görülür.
(b) A ⊂ X alt kümesi, X uzayında strongly α-*-kapalı küme olsun. Bu takdirde
olduğu görülür. O halde Tanım 3.2.1 (d) gereği A kümesi α-*-kapalı kümedir.
Uyarı 3.2.4. Önerme 3.2.4’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir:
Örnek 3.2.10. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı, Örnek 3.2.6’ da verilmiş olan uzay olsun. O halde açıktır ki, Örnek 3.2.6’ da verilmiş A kümesi strongly α-*-kapalı küme olmasına karşın Cl(Int(Cl(A))) = X ⊄ A oldğundan α-kapalı değildir.Örnek 3.2.11. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı, Örnek 3.2.7’ de verilmiş uzay olsun. Böylece Örnek 3.2.7’ de verilmiş olan A kümesi α-*-kapalı olmasına rağmen Cl(Int(Cl*(A))) = {a, b, d} ⊄ A olup strongly α-*-kapalı değildir.Yukarda verilen önermelerden ve Şekil 3.1’ den faydalanarak aşağıdaki diagramı oluşturabiliriz:
operfect −
* regüler−I −kapalı semi−I−regüler
*−perfect s *
α
C clopen − *τ
τ*−kapalıα
*C t−I−kümepre−*−kapalı α*−I−küme
Şekil 3.2
Önerme 3.2.5. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayının bir pre-I-açık A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) A kümesinin strongly α-*-kapalı olması için gerek ve yeter şart A kümesinin kapalı küme olmasıdır,
(b) A kümesinin α-*-kapalı olması için gerek ve yeter şart A kümesinin
τ
* -kapalı küme olmasıdır.Đspat. (a) Yeter şartın ispatı her kapalı kümenin strongly α-*-kapalı küme olmasından açıktır. Gerek şartta ise A kümesini strongly α-*-kapalı küme olarak alırsak, A kümesinin aynı zamanda pre-I-açık küme olması sebebiyle Cl(A) ⊂ Cl(Int(Cl*(A))) ⊂ A olduğu görülür. Bu da A kümesinin kapalı küme olduğunu gösterir.
(b) Yeter şart Şekil 3.2’ den açıktır. Gerek şartta ise A kümesinin α-*-kapalı ve pre-I-açık olduğundan Cl*(A) ⊂ Cl*(Int(Cl*(A))) ⊂ A ifadesi elde edilir. Böylece A kümesinin Tanım 3.2.1 (b) gereği
τ
*-kapalı küme olduğu gösterilmiş olur.Uyarı 3.2.5. Pre-*-kapalı küme ile t-I-küme, aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi birbirinden bağımsız kavramlardır:
Örnek 3.2.12. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {b, d} kümesi Int(A) = ∅ olup (Int(A))* = ∅⊂ A olduğundan pre-*-kapalıdır. Ancak Int(Cl*(A)) = {b, c} ≠ Int(A) olmasından ötürü A kümesi t-I-küme değildir.Örnek 3.2.13. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {c}, {d}, {c, d}} topolojisi ve I = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, d} kümesi Int(Cl*(A)) = {d} = Int(A) olduğundan regüler-I-kapalıdır ancak (Int(A))* = {a, b, d} ⊄ A olup pre-*-kapalı küme değildir.Teorem 3.2.1. (X, τ, I) ideal topolojik uzayının herhangi bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
(a) A kümesi α-*-kapalı kümedir.
(b) A kümesi pre-*-kapalı küme ve t-I-kümedir.
Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) Đspat Şekil 3.2’ de verilmiş olan geçişlerden açıktır.
(b)⇒⇒⇒⇒(a) A ⊂ X alt kümesi hem pre-*-kapalı küme hem de t-I-küme olsun. Böylece
Cl*(Int(Cl*(A))) = Cl*(Int(A)) = Int(A)* ∪ Int(A) ⊂ A
ifadesine ulaşılır. Bu da Tanım 3.2.1 (d) gereği A kümesinin α-*-kapalı küme olduğunu gösterir.
Teorem 3.2.2. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayının herhangi bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:(a) A kümesi *-operfect kümedir. (b) A kümesi açık ve *-perfect kümedir. Đspat. Tanım 3.2.1 gereği ispat açıktır.
Teorem 3.2.3. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayının herhangi bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:(a) A kümesi
τ
*-clopen kümedir.
(b) A kümesi açık ve
τ
*-kapalı kümedir.Đspat. Tanım 3.2.1 gereği ispat açıktır.
Uyarı 3.2.6. Semi-I-açık küme (semi-I-regüler küme) ile pre-*-kapalı küme (α-*-kapalı küme ve strongly α-(α-*-kapalı küme) kavramları aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi birbirlerinden bağımsızdır.
Örnek 3.2.14. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {b}, {c}, {b, c}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b} kümesi Int(Cl*(A)) = {b} = Int(A) ve Cl*(Int(A)) = {a, b, d} ⊃ A olduğundan semi-I-regüler kümedir. Ancak (Int(A))* = {a, b, d} ⊄ A olup A kümesi pre-*-kapalı değildir.Örnek 3.2.15. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a, b}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {a}, {c}, {a, c}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, c} kümesi Cl(Int(Cl*(A))) = ∅ ⊂ A olduğundan strongly α-*-kapalı kümedir. Ancak Cl*(Int(A)) = ∅ ⊂ A olduğundan A kümesi semi-I-açık değildir.Teorem 3.2.4. (X,
τ
, I) Hayashi Samuels uzayının herhangi bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:(a) A kümesi regüler-I-kapalı kümedir.
(b) A kümesi semi-I-regüler küme ve strongly α-*-kapalı kümedir. (c) A kümesi semi-I-regüler küme ve α-*-kapalı kümedir.
(d) A kümesi semi-I açık küme ve α-*-kapalı kümedir. (e) A kümesi semi-I-açık küme ve pre-*-kapalı kümedir.
Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) , (b)⇒⇒⇒⇒(c), (c)⇒⇒⇒(d) ve (d)⇒⇒ ⇒⇒(e) olduğu Şekil 3.2’ den açıktır. ⇒
(e)⇒⇒⇒(a) A ⇒ ⊂ X alt kümesi hem semi-I açık hem de pre-*-kapalı küme olsun. A kümesi pre-*-kapalı küme olduğundan Tanım 3.2.1 (e) gereği (Int(A))* ⊂ A elde edilir. Hipotezden (X, τ, I) ideal topolojik uzayı Hayashi Samuels uzayı olduğundan Lemma 3.1.1 gereği Int(A) ⊂ (Int(A))*
olur. A kümesi semi-I-açık küme olduğundan Tanım 3.1.1 (f) gereği A ⊂ Cl*(Int(A)) ⊂ (Int(A))* elde edilir. Buradan A kümesi regüler-I-kapalı kümedir.
3.3. ηζ-I- küme ve η-I-küme
Tanım 3.3.1. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A = U ∩ N ⊂ X kümesi verilsin. Eğer(a) U∈
τ
ve N kümesi regüler-I-kapalı küme ise; A kümesine AI-küme [15],(b) U∈
τ
ve N kümesi t-I-küme ise; A kümesine BI-küme [11],(c) U∈
τ
ve N kümesi α*-I-küme ise; A kümesine CI-küme [11],(d) U∈
τ
ve N kümesi *-perfect küme ise; A kümesine I-LC küme [5],(e) U∈
τ
ve N kümesiτ
*-kapalı küme ise; A kümesine weakly I-LC küme [16],(f) U∈
τ
ve N kümesi semi-I-regüler küme ise; A kümesine ABI-küme [17],(g) U∈
τ
ve N kümesi clopen küme ise; A kümesine ηζ-küme [26],(h) U∈
τ
ve N α-kapalı küme ise; A kümesine η-küme [26],(i) U∈
τ
ve N kümesi pre-kapalı küme ise; A kümesine A7-küme [31],denir.
Tanım 3.3.2. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A = U ∩ N ⊂ X kümesi verilsin. Eğer(a) U∈
τ
ve N kümesi *-operfect küme ise; A kümesine ηζ-I-küme,(b) U∈
τ
ve N kümesiτ
*(c) U∈
τ
ve N kümesi strongly α-*-küme ise; A kümesine strongly η-I-küme,(d) U∈
τ
ve N kümesi α-*-kapalı küme ise; A kümesine η-I-küme,(e) U∈
τ
ve N kümesi pre-*-kapalı küme ise; A kümesine A7I-küme,denir.
Önerme 3.3.1. (X,
τ,
I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her ηζ-I-küme, AI-kümedir; (b) Her ηζ-I-küme, ηζ-kümedir; (c) Her ηζ-I-küme, açıktır;
(d) Her ηζ-I-küme, weakly ηζ-I-kümedir.
Đspat. (a), (b) ve (d) şıkları Önerme 3.2.1 ve Önerme 3.2.2’ nin bir sonucudur.
(c) Tanım 3.3.2’ den açıktır.
Uyarı 3.3.1. Önerme 3.3.1’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir:
Örnek 3.3.1. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, c, d} kümesi (Int(A))* = {a, c, d} = A olduğundan regüler-I-kapalıdır. A kümesi, A = X ∩ A olarak yazılabildiğinden AI-kümedir. Ancak A∉τ
olmasından ötürü A kümesi ηζ-I-küme değildir.Örnek 3.3.2. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {a,d}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {a}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, d} kümesi hem açık hem de kapalı bir küme olduğundanclopen kümedir. Ayrıca A* = {d} ⊂ A olup A kümesi
τ
*-clopen kümedir. A = X ∩ A şeklinde yazılabilir, bu da A kümesinin ηζ-küme ve weakly ηζ-I-küme olduğunu gösterir. Ancak A* = {d} ≠ A ve X* = {b, c, d} ≠ X olup A kümesi ηζ-I-küme değildir.Önerme 3.3.2. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her weakly ηζ-I-küme, weakly I-LC kümedir; (b) Her weakly ηζ-I-küme, strongly η-I-kümedir; (c) Her weakly ηζ-I-küme, ABI-kümedir.
Đspat. Önerme 3.2.1 ve Tanım 3.3.2’ den ispat açıktır.
Uyarı 3.3.2. Önerme 3.3.2’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.3.3. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {c}, {a, c}, {b, d}, {b, d}, {a, b, d}, {b, c, d}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {b, c} kümesi A* = {c} ⊂ A olup A = X ∩ A şeklinde yazılabilir bu da A kümesinin weakly I-LC küme olduğunu gösterir. Ancak A kümesi açık değildir. Bu yüzden A kümesi weakly ηζ-I-küme değildir.Örnek 3.3.4. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {b}, {c, d}, {b, c, d}} topolojisi ve I = {∅, {b}, {d}, {b, d}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b, d} kümesi Cl(Int(Cl*(A))) = {a, b} ⊂ A olup A kümesi strongly α-*-kapalı kümedir. Böylece A kümesi A = X ∩ A olarak yazılır ki buradan strongly η-I-küme olduğu görülür. Diğer taraftan A kümesi açık olmadığından bir weakly ηζ-I-küme değildir.Örnek 3.3.5. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. Xuzayında A = {b, c} kümesi Int(Cl*
(A)) = {b} = Int(A) ve Cl*
(Int(A)) = {b, c, d} ⊃ A olup A kümesi semi-I-regüler kümedir. Böylece A kümesi A = X ∩ A olarak yazılabilir yani A kümesi ABI-kümedir. Diğer taraftan A kümesi açık olmadığından
weakly ηζ-I-küme değildir.
Önerme 3.3.3. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her I-LC küme, strongly η-I-kümedir; (b) Her weakly I-LC küme, η-I-kümedir; (c) Her η-I-küme, A7I-kümedir;
(d) Her η-I-küme, BI-kümedir;
(e) Her A7-küme, A7I-kümedir;
(f) Her A7I-küme, CI-kümedir.
Đspat. Önerme 3.2.3’ den ispat açıktır.
Uyarı 3.3.3. Önerme 3.3.3’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir:
Örnek 3.3.6. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı Örnek 3.3.4’ de verilen uzay olsun. Örnek 3.3.4’ deki A kümesi strongly η-I-küme olmasına karşın A* = {a} ≠ A ve açık olmamasından I-LC küme değildir.Örnek 3.3.7. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {b}, {d}, {b, d}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {b, c} kümesi Cl*(Int(Cl*
(A))) = {b} ⊂ A olup α-*-kapalı kümedir. Ayrıca A kümesi A = X ∩ A olarak yazılabildiğinden A kümesi η-I-kümedir fakat A
kümesi hem açık küme değildir hem de A*
= {a, c} ⊄ {b, c} = A olduğundan weakly I-LC küme değildir.
Örnek 3.3.8. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b} kümesi Int(A) * = ∅ ⊂ A olup pre-*-kapalıdır. A kümesi A = X ∩ A şeklinde yazılabildiğinden A7I-kümedir. Diğer yandan A kümesinin açık değil, Cl*(Int(A)) = X ⊄ A ve Cl(Int(A)) = {b, d} ⊄ {a, b} = A olduğundan A kümesi ne η-I-küme ne de A7-kümedir.Örnek 3.3.9. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde
τ
= {∅, X, {a}, {c}, {a, c}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,τ
, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {b, c} kümesi Int(Cl*(A)) = {c} = Int(A) olup A kümesi t-I-kümedir. A kümesi A = X ∩ A olarak yazılabilir yani A kümesi bir BI-kümedir ve böylece CI-kümedir. Diğer taraftan A kümesi açık değildir ve (Int(A))* = {b, c, d} ⊄ A olduğundan A kümesi ne A7I-küme ne de η-I-kümedir.Önerme 3.3.4. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her η-küme, strongly η-I-kümedir; (b) Her strongly η-I-küme, η-I-kümedir. Đspat. Önerme 3.2.4’ den açıktır.
Uyarı 3.3.4. Önerme 3.3.4’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.3.10. (X,
