3. ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAYLARDA SÜREKLĐLĐĞĐN BAZI AYRIŞIMLAR
3.5. Sürekliliğin, A I sürekliliğin ve η-I-sürekliliğin Ayrışımı
Tanım 3.5.1. Bir f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Her U∈ϕ kümesi için,(a) f−1(U) kümesi X uzayında AI-küme oluyorsa f fonksiyonuna AI-sürekli fonksiyon [15],
(b) f−1
(U) kümesi X uzayında BI-küme oluyorsa f fonksiyonuna BI-sürekli fonksiyon [11],
(c) f−1(U) kümesi X uzayında CI-küme oluyorsa f fonksiyonuna CI-sürekli fonksiyon [11],
(d) f−1(U) kümesi X uzayında I-LC küme oluyorsa f fonksiyonuna I-LC sürekli fonksiyon [5],
(e) f−1(U) kümesi X uzayında weakly I-LC küme oluyorsa f fonksiyonuna weakly I-LC sürekli fonksiyon [16],
(f) f−1(U) kümesi X uzayında ABI-küme oluyorsa f fonksiyonuna ABI- fonksiyon [17],
(g) f−1(U) kümesi X uzayında ηζ-küme oluyorsa f fonksiyonuna ηζ-sürekli fonksiyon [26],
(h) f−1(U) kümesi X uzayında η-küme oluyorsa f fonksiyonuna η-sürekli fonksiyon [26],
(i) f−1(U) kümesi X uzayında A7-küme oluyorsa f fonksiyonuna A7-sürekli
fonksiyon [31],
(j) f−1(U) kümesi X uzayında α-I-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna α-I- sürekli fonksiyon [11],
(k) f−1(U) kümesi X uzayında pre-I-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna pre-I- sürekli fonksiyon [5],
denir.
Tanım 3.5.1. Bir f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Her U∈ϕ kümesi için,(a) f−1(U) kümesi X uzayında ηζ-I-küme oluyorsa f fonksiyonuna ηζ-I-sürekli fonksiyon,
(b) f−1
(U) kümesi X uzayında weakly ηζ-I-küme oluyorsa f fonksiyonuna weakly ηζ-I-sürekli fonksiyon,
(c) f−1(U) kümesi X uzayında strongly η-I-küme oluyorsa f fonksiyonuna strongly η-I-sürekli fonksiyon,
(d) f−1(U) kümesi X uzayında η-I-küme oluyorsa f fonksiyonuna η-I-sürekli fonksiyon,
(e) f−1(U) kümesi X uzayında A7I-küme oluyorsa f fonksiyonuna A7I-sürekli fonksiyon,
denir.
Önerme 3.5.1. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(b) Her ηζ-I-sürekli fonksiyon, ηζ-sürekli fonksiyondur; (c) Her ηζ-I-sürekli fonksiyon, sürekli fonksiyondur;
(d) Her ηζ-I-sürekli fonksiyon, weakly ηζ-I-sürekli fonksiyondur. Đspat. Önerme 3.3.1’ den açıktır.
Uyarı 3.5.1. Önerme 3.5.1’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.5.1. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.1’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, c, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu AI-süreklidir fakat ηζ-I-sürekli değildir.Örnek 3.5.2. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.2’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu sürekli, ηζ-sürekli ve weakly ηζ-I-sürekli fonksiyondur ancak ηζ-I-sürekli değildir.Önerme 3.5.2. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her weakly ηζ-I-sürekli fonksiyon, weakly I-LC sürekli fonksiyondur; (b) Her weakly ηζ-I-sürekli fonksiyon, strongly η-I-sürekli fonksiyondur; (c) Her weakly ηζ-I-sürekli fonksiyon, ABI-süreklidir.
Đspat. Önerme 3.3.2’ den açıktır.
Uyarı 3.5.2. Önerme 3.5.2’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.5.3. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.3’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {b, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun.Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu strongly η-I-süreklidir fakat weakly ηζ-I-sürekli değildir.
Örnek 3.5.4. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.4’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu strongly η-I-sürekli olup weakly ηζ-I- sürekli değildir.Örnek 3.5.5. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.5’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {b, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f ABI-sürekli olmasına karşın weakly ηζ-I-sürekli değildir.Önerme 3.5.3. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her I-LC sürekli fonksiyon, strongly η-I-sürekli fonksiyondur; (b) Her weakly I-LC sürekli fonksiyon, η-I-sürekli fonksiyondur; (c) Her η-I-sürekli fonksiyon, A7I-sürekli fonksiyondur;
(d) Her η-I-sürekli fonksiyon, BI-sürekli fonksiyondur;
(e) Her A7-sürekli fonksiyon, A7I-sürekli fonksiyondur;
(f) Her A7I-sürekli fonksiyon, CI-sürekli fonksiyondur.
Đspat. Önerme 3.3.3’ den açıktır.
Uyarı 3.5.3. Önerme 3.5.3’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.5.6. f : (X,
τ
, I) → (X, ϕ) fonksiyonu, Örnek 3.5.4’ de strongly η-I- sürekli olmasına rağmen I-LC sürekli değildir.Örnek 3.5.7. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.7’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {b, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu η-I-süreklidir fakat weakly I-LC sürekli değildir.Örnek 3.5.8. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.8’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu A7I-sürekli olmasına karşın ne η-I-sürekli ne deA7-süreklidir.
Örnek 3.5.9. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.9’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {b, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu BI-sürekli ve dolayısıyla CI-süreklidir fakat ne A7I-sürekli ne de η-I-süreklidir.Önerme 3.5.4. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her η-sürekli fonksiyon, strongly η-I-sürekli fonksiyondur; (b) Her strongly η-I-sürekli fonksiyon, η-I-sürekli fonksiyondur. Đspat. Önerme 3.3.4’ den açıktır.
Uyarı 3.5.4. Önerme 3.5.4’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.5.10. f : (X,
τ
, I) → (X, ϕ) fonksiyonu, Örnek 3.5.4’ de strongly η-I- sürekli olmasına rağmen η-sürekli değildir.Örnek 3.5.11. f : (X,
τ
, I) → (X, ϕ) fonksiyonu, Örnek 3.5.7’ de η-I-sürekli olmasına karşın strongly η-I-sürekli değildir.wης −I−c. ης −I −c. ABI −c. w−I−LC−c. I−LC−c. AI −c. kη−I −c. BI −c. CI −c. η−I −c. A7I −c. Şekil 3.4
Uyarı 3.5.5. A7I-süreklilik ile BI-süreklilik, aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi birbirinden bağımsız kavramlardır.
Örnek 3.5.12. f : (X,
τ
, I) → (X, ϕ) fonksiyonu, Örnek 3.5.8’ de fonksiyon A7I-sürekli fakat BI-sürekli değildir, Örnek 3.5.9’ da fonksiyon BI-sürekli olmasına karşın A7I-sürekli değildir.Teorem 3.5.1. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu η-I-süreklidir.
(b) f fonksiyonu A7I-sürekli ve BI-süreklidir.
Đspat. Teoremin ispatı Teorem 3.3.1’ den açıktır.
Uyarı 3.5.6. Pre-I-süreklilik (α-I-süreklilik) ve η-I-süreklilik (strongly η-I- süreklilik) aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi birbirinden bağımsız kavramlardır.
Örnek 3.5.13. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.14’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyonolsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu α-I-sürekli olmasına karşın η-I-sürekli değildir.
Örnek 3.5.14. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.3.15’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu strongly η-I-süreklidir fakat pre-I-sürekli değildir.Teorem 3.5.2. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu süreklidir.
(b) f fonksiyonu weakly ηζ-I-süreklidir.
(c) f fonksiyonu α-I-sürekli ve strongly η-I-süreklidir. (d) f fonksiyonu α-I-sürekli ve η-I-süreklidir.
(e) f fonksiyonu pre-I-sürekli ve η-I-süreklidir. Đspat. Teorem 3.3.2’ den açıktır.
Uyarı 3.5.7. Semi-I-sürelilik (ABI-süreklilik) ile A7I-süreklilik (η-I-süreklilik
ve strongly η-I-süreklilik) kavramları aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi birbirinden bağımsızdır.
Örnek 3.5.15. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.14’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu ABI-sürekli olmasına karşın A7I-süreklideğildir.
Örnek 3.5.16. f : (X,
τ
, I) → (X, ϕ) fonksiyonu, Örnek 3.5.14’ de strongly η-I- sürekli olmasına rağmen semi-I-sürekli değildir.Teorem 3.5.3. (X,
τ
, I) bir Hayashi Samuels uzayı olsun. Bu takdirde f : (X,τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu AI-süreklidir.
(b) f fonksiyonu ABI-sürekli ve strongly η-I-süreklidir.
(c) f fonksiyonu ABI-sürekli ve η-I-süreklidir. (d) f fonksiyonu semi-I-sürekli ve η-I-süreklidir. (e) f fonksiyonu semi-I-sürekli ve A7I-süreklidir.
Đspat. Teorem 3.3.3’ den açıktır.
Teorem 3.5.4. (X,
τ
, I) bir Hayashi Samuels uzayı olsun. Bu takdirde f : (X,τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonun ηζ-I-sürekli olması için gerek ve yeter şartfonksiyonun açık olmasıdır.
Đspat. Teorem 3.3.4’ den açıktır.
Teorem 3.5.5. (X,
τ
, I) bir Hayashi Samuels uzayı olsun. Bu takdirde f : (X,τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonun strongly η-I-sürekli olması için gerek ve yeter şartfonksiyonun η-I-sürekli olmasıdır. Đspat. Teorem 3.3.5’ den açıktır.
SONUÇ VE ÖNERĐLER
(X,
τ
) topolojik uzayında [26]’ de verilmiş olan küme ve süreklilik çeşitlerini ele aldık. (X,τ,I
) ideal topolojik uzayında tanımladığımız küme çeşitlerinin birbiriyle olan ilişkisini inceledik ve bazı süreklilik kavramları verdik. Ayrıca bu süreklilik çeşitleri ile sürekliliğin yeni bir ayrışımını elde ettik.Yapmış olduğumuz bu çalışma üzerinde araştırmalar yapılıp yeni kavramlar bulunabilir.
KAYNAKLAR
[1] Abd El Monsef M.E., 1983, El-Deeb S. N. and Mahmoud R. A., β-open sets and β-continuous mapping, Bull. Fac. Sci. Assiut Univ., Vol. 12, 77-90.
[2] Bourbaki N., 1966, General topology, Part 1, Addison-Wesley, Reading, Mass. [3] Dontchev J., 1995, Characterization of some peculiar topological spaces via A-
and B-sets, Acta Math. Hungar., Vol. 69, 67-71.
[4] Dontchev J., 1996, Between A- and B-sets, Math. Balkanica, Vol. 70, 145-150. [5] Dontchev J., 1996, On pre-I-open sets and a decompositon of I-continuity,
Banyan Math. J., Vol. 2.
[6] Dontchev J., 1997, Strong B-sets and another decomposition of continuity, Acta Math. Hungar., Vol. 75, 259-265.
[7] Dugunji J., 1966, Topology, Ally and Bacon, Inc., Boston, Mass.
[8] Ganster M. and Reilly I. L., 1989, Locally closed sets and LC-continuous functions, Internat. J. Math. Sci., Vol. 12, 417-424.
[9] Ganster M. and Reilly I. L., 1990, A decomposition of continuity, Acta Math. Hungar., Vol. 56, 299-301.
[10] Hatır E., Noiri T. and Yüksel Ş., 1996, A decomposition of continuity, Acta Math. Hungar., Vol. 70, 145-150.
[11] Hatır E. and Noiri T., 2002, On decompositions of continuity via idealization, Acta Math. Hungar., 96, 341-349.
[12] Hayashi E., 1964, Topologies defined by local properties, Math . Ann., Vol. 156, 205-215.
[13] Jafari S. and Noiri T., 2001, Contra α-continuous functions between topological spaces, Iran Int. J. Sci. Vol. 2 (2), 153-167.
[14] Janković D. and Hamlet T. R., 1990, New topologies from old via ideals, Amer. Math. Monthly, Vol. 97, 295-310.
[15] Keskin A., Noiri T. and Yüksel Ş., 2004, Idealization of a decomposition theorem, Acta Math. Hungar., Vol. 102, 453-465.
[16] Keskin A., Noiri T. and Yüksel Ş., 2004, Decompositions of I-continuity and continuity, Commun. Fac. Sci. Univ. Ankara Series A1, Vol. 53, 67-75.
[17] Keskin A. and Yüksel Ş., 2006, On semi-I-regüler sets, ABI-sets and decompositions of continuity, RIC-continuity, AI-continuity, Acta Math.
Hungar., Vol. 113 (3), 227-241.
[18] Kuratowski K., 1933, Topologie I, Warszawa.
[19] Levine N., 1961, Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces, Amer. Math. Monthly, Vol. 68, 44-46.
[20] Maheshwari S. N. and Thakur S. S., 1980, On α-irresolute mapping, Tamkang J. Math., Vol. 11, 209-214.
[21] Maki M., Devi R. and Balachandran K., 1993, Generalized α-closed sets in topology, Bull. Fukuoka Univ. Ed. III, Vol. 42, 13-21.
[22] Mashhour A. S., Abd El-Monsef M. E. and El-Deeb S. N., 1982, On precontinuous and weak precontinuous mappings, Proc. Math. Phys. Soc. Egypt, Vol. 53, 47-53.
[23] Mashhour A. S., Hasanein I. A. and El-Deeb S. N., 1983, α-continuous and α- open mappings, Acta Math. Hungar., Vol. 41, 213-218.
[24] Njåstad O., 1965, On some classes of nearly open sets, Pacific J. Math., Vol. 15, 961-970.
[25] Noiri T., 1984, Super continuity and some strong forms of continuity, Indian J. Pure Appl. Math., Vol. 15, 241-250.
[26] Noiri T. and Sayed O. R., 2006, On decomposition of continuity, Acta Math. Hungar., Vol. 111 (1-2), 1-8.
[27] Samuels P., 1975, A topology formed from a given topology and ideal, J. London Math. Soc. (2), Vol. 10, 409-416.
[28] Tong J., 1986, A decomposition of continuity, Acta Math. Hungar., Vol. 48, 11- 15.
[29] Tong J., 1989, On decomposition of continuity in topological spaces, Acta Math. Hungar., Vol. 54, 51-55.
[30] Vaidyanathaswamy R., 1960, Set topology, Chelsea Publishing Company, New York.
[31] Yalvac T. H., 1994, Decomposition of continuity, Acta Math. Hungar., Vol. 64, 309-313.