3. ĐDEAL TOPOLOJĐK UZAYLARDA SÜREKLĐLĐĞĐN BAZI AYRIŞIMLAR
3.4. R I C sürekliliğin ve Contra α-*-sürekliliğin Ayrışımı
Tanım 3.4.1. Bir f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Her U∈ϕ kümesi için,(a) f−1(U) kümesi X uzayında *-perfect küme oluyorsa f fonksiyonuna *- perfectly sürekli fonksiyon [17],
(b) f−1(U) kümesi X uzayında regüler-I-kapalı küme oluyorsa f fonksiyonuna RIC-sürekli fonksiyon [15],
(c) f−1(U) kümesi X uzayında t-I-küme oluyorsa f fonksiyonuna tI-sürekli
fonksiyon [17],
(d) f−1(U) kümesi X uzayında
τ
*-kapalı küme oluyorsa f fonksiyonuna contra*-sürekli fonksiyon [15],(e) f−1(U) kümesi X uzayında semi-I-regüler küme oluyorsa f fonksiyonuna semi-I-regüler sürekli fonksiyon [17],
(f) f−1(U) kümesi X uzayında α*-I-open küme oluyorsa f fonksiyonuna α*-I- sürekli fonksiyon,
(g) f−1
(U) kümesi X uzayında semi-I-açık küme oluyorsa f fonksiyonuna semi- I-sürekli fonksiyon [11],
(h) f−1(U) kümesi X uzayında clopen küme oluyorsa f fonksiyonuna perfectly sürekli fonksiyon [25],
(i) f−1(U) kümesi X uzayında α-kapalı küme oluyorsa f fonksiyonuna contra α-sürekli fonksiyon [13],
(j) f−1(U) kümesi X uzayında pre-kapalı küme oluyorsa f fonksiyonuna contra pre-sürekli fonksiyon [13],
denir.
Tanım 3.4.2. Bir f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu verilsin. Her U∈ϕ kümesi için,(a) f−1(U) kümesi X uzayında *-operfect küme oluyorsa f fonksiyonuna *-operfectly sürekli fonksiyon,
(b) f−1(U) kümesi X uzayında τ*-clopen küme oluyorsa f fonksiyonuna perfectly*-sürekli fonksiyon,
(c) f−1(U) kümesi X uzayında strongly α-*-kapalı küme oluyorsa f fonksiyonuna strongly contra α *-sürekli fonksiyon,
(d) f−1(U) kümesi X uzayında α-*-kapalı küme oluyorsa f fonksiyonuna contra α*-fonksiyon,
(e) f−1
(U) kümesi X uzayında pre-*-kapalı küme oluyorsa f fonksiyonuna contra pre*-fonksiyon,
denir.
Önerme 3.4.1. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her *-operfectly sürekli fonksiyon, RIC sürekli fonksiyondur;
(b) Her perfectly*-sürekli fonksiyon, sürekli fonksiyondur;
(c) Her perfectly*-sürekli fonksiyon, contra*-sürekli fonksiyondur. Đspat. Önerme 3.2.1’ den açıktır.
Uyarı 3.4.1. Önerme 3.4.1’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.4.1. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.1’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu RIC-sürekli olmasına karşın *-operfectly sürekli değildir.Örnek 3.4.2. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.2’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Böylece görülür ki f fonksiyonu sürekli olmasına karşın perfectly*-sürekli değildir.Örnek 3.4.3. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.3’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Buradan açıktır ki f fonksiyonu conra*-süreklidir fakat perfectly*-sürekli değildir.Önerme 3.4.2. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her *-operfectly sürekli fonksiyon, perfectly sürekli fonksiyondur; (b) Her perfectly sürekli fonksiyon, perfectly*-sürekli fonksiyondur. Đspat. Önerme 3.2.2’ den ispat açıktır.
Uyarı 3.4.2. Önerme 3.4.2 de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.4.4. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.4’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde görülür ki f fonksiyonu perfectly sürekli olmasına karşın *- operfectly sürekli değildir.Örnek 3.4.5. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.5’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun.Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu perfectly*-sürekli olmasına karşın perfectly sürekli değildir.
Önerme 3.4.3. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her *-perfectly sürekli fonksiyon, strongly contra α*-sürekli fonksiyondur; (b) Her conra*-sürekli fonksiyon, contra α*-sürekli fonksiyondur;
(c) Her contra α*-sürekli fonksiyon, contra pre*-sürekli fonksiyondur; (d) Her contra α*-sürekli fonksiyon, tI-sürekli fonksiyondur,
(e) Her contra pre-sürekli fonksiyon, contra pre*-sürekli fonksiyondur, (f) Her contra pre*-sürekli fonksiyon, α*
-I-sürekli fonksiyondur. Đspat. Önerme 3.2.3’ den ispat açıktır.
Uyarı 3.4.3. Önerme 3.4.3’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.4.6. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.6’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Buradan açıktır ki f fonksiyonu strongly contra α*-sürekli olmasına karşın *- perfectly sürekli değildir.Örnek 3.4.7. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.7’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu contra α*-sürekli olmasına karşın contra*-sürekli değildir.Örnek 3.4.8. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.8’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun.Buradan f fonksiyonun contra pre*-sürekli olmasına karşın ne contra α*-sürekli ne de contra pre-süreklidir.
Örnek 3.4.9. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.9’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu tI-sürekli ve dolayısıyla α*-I-sürekli fakat ne contra pre*-sürekli ne de contra α*-süreklidir.
Önerme 3.4.4. f : (X,
τ
, I) → (Y, ϕ) fonksiyonu için aşağıdaki özellikler sağlanır:(a) Her contra α-sürekli fonksiyon, strongly contra α*-kapalı kümedir;
(b) Her strongly contra α*-sürekli fonksiyon, contra α*-sürekli fonksiyondur. Đspat. Önerme 3.2.4’ den ispat açıktır.
Uyarı 3.4.4. Önerme 3.4.4’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.
Örnek 3.4.10. Örnek 3.4.6’ da verilen f : (X,
τ
, I) → (X, ϕ) fonksiyonu strongly contra α*-sürekli fonksiyon olmasına rağmen contra α-sürekli değildir.Örnek 3.4.11. Örnek 3.4.7’ de verilen f : (X,
τ
, I) → (X, ϕ) fonksiyonu contra α*-sürekli fonksiyon olmasına rağmen strongly contra α*-sürekli değildir.operfectly −
* c. RIC−sürekli semi−I −regüler c.
*−perfectly c. strongly contra
α
*−c..
* c
perfectly − contra* c− . contra
α
*−c. tI −c.contra pre*−c. α* −I −c. Şekil 3.4
Uyarı 3.4.5. Contra pre*-süreklilik ile tI-süreklilik, aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi birbirinden bağımsız kavramlardır.
Örnek 3.4.12. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.12’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {b, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu contra pre*-sürekli olmasına karşın tI-sürekli değildir.Örnek 3.4.13. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.13’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, d}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Buradan görülür ki f fonksiyonu tI-süreklidir ancak contra pre*-sürekli değildir.Teorem 3.4.1. f : (X,
τ
, I)→(Y,ϕ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu contra α*-süreklidir.
(b) f fonksiyonu contra pre*-sürekli ve tI-süreklidir. Đspat. Teorm 3.2.1’ den açıktır.
(a) f fonksiyonu *-operfectly süreklidir.
(b) f fonksiyonu sürekli ve *-perfectly süreklidir. Đspat. Teoerm 3.2.2’ den açıktır.
Teorem 3.4.3. f : (X,
τ
, I)→(Y,ϕ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu perfectly*-süreklidir.
(b) f fonksiyonu sürekli ve contra*-süreklidir. Đspat. Teoerm 3.2.3’ den açıktır.
Uyarı 3.4.6. Semi-I-süreklilik (semi-I-regüler süreklilik) ile contra pre*- süreklilik (contra α*-süreklilik ve strongly contra α*-süreklilik) kavramları aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi birbirlerinden bağımsızdır.
Örnek 3.4.14. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.14’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, b}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. Bu takdirde açıktır ki f fonksiyonu semi-I-regülerdir fakat contra pre*-sürekli değildir.Örnek 3.4.15. (X,
τ
, I) ideal topolojik uzayı olarak Örnek 3.2.15’ de verilen uzayı ele alalım. ϕ = {∅, X, {a, c}} ve f : (X,τ
, I) → (X, ϕ) birim fonksiyon olsun. O halde açıktır ki f fonksiyonu strongly contra- α*-sürekli olmasına karşın semi-I- sürekli değildir.Teorem 3.4.4. (X,
τ
, I) Hayashi Samuels uzayı olmak üzere f : (X,τ
, I)→(Y,ϕ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:(a) f fonksiyonu RIC-süreklidir.
(b) f fonksiyonu semi-I-regüler sürekli ve strongly contra α*-süreklidir. (c) f fonksiyonu semi-I-regüler sürekli ve contra α*-süreklidir.
(d) f fonksiyonu semi-I-sürekli ve contra α*-süreklidir. (e) f fonksiyonu semi-I-sürekli ve contra pre*-süreklidir. Đspat. Teoerm 3.2.4’ den açıktır.