ηζ-I-küme ve η-I-küme

Tanım 3.3.1. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A = U ∩ N ⊂ X kümesi verilsin. Eğer

(a) U∈

τ

ve N kümesi regüler-I-kapalı küme ise; A kümesine A_I-küme [15],

(b) U∈

τ

ve N kümesi t-I-küme ise; A kümesine B_I-küme [11],

(c) U∈

τ

ve N kümesi α*-I-küme ise; A kümesine C_I-küme [11],

(d) U∈

τ

ve N kümesi *-perfect küme ise; A kümesine I-LC küme [5],

(e) U∈

τ

ve N kümesi

τ

*-kapalı küme ise; A kümesine weakly I-LC küme [16],

(f) U∈

τ

ve N kümesi semi-I-regüler küme ise; A kümesine AB_I-küme [17],

(g) U∈

τ

ve N kümesi clopen küme ise; A kümesine ηζ-küme [26],

(h) U∈

τ

ve N α-kapalı küme ise; A kümesine η-küme [26],

(i) U∈

τ

ve N kümesi pre-kapalı küme ise; A kümesine A₇-küme [31],

denir.

Tanım 3.3.2. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A = U ∩ N ⊂ X kümesi verilsin. Eğer

(a) U∈

τ

ve N kümesi *-operfect küme ise; A kümesine ηζ-I-küme,

(b) U∈

τ

ve N kümesi

τ

*

(c) U∈

τ

ve N kümesi strongly α-*-küme ise; A kümesine strongly η-I-küme,

(d) U∈

τ

ve N kümesi α-*-kapalı küme ise; A kümesine η-I-küme,

(e) U∈

τ

ve N kümesi pre-*-kapalı küme ise; A kümesine A7I-küme,

denir.

Önerme 3.3.1. (X,

τ,

I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:

(a) Her ηζ-I-küme, A_I-kümedir; (b) Her ηζ-I-küme, ηζ-kümedir; (c) Her ηζ-I-küme, açıktır;

(d) Her ηζ-I-küme, weakly ηζ-I-kümedir.

Đspat. (a), (b) ve (d) şıkları Önerme 3.2.1 ve Önerme 3.2.2’ nin bir sonucudur.

(c) Tanım 3.3.2’ den açıktır.

Uyarı 3.3.1. Önerme 3.3.1’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir:

Örnek 3.3.1. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, c, d} kümesi (Int(A))* = {a, c, d} = A olduğundan regüler-I-kapalıdır. A kümesi, A = X ∩ A olarak yazılabildiğinden A_I-kümedir. Ancak A∉

τ

olmasından ötürü A kümesi ηζ-I-küme değildir.

Örnek 3.3.2. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a}, {a,d}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {a}} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, d} kümesi hem açık hem de kapalı bir küme olduğundan

clopen kümedir. Ayrıca A* = {d} ⊂ A olup A kümesi

τ

*-clopen kümedir. A = X ∩ A şeklinde yazılabilir, bu da A kümesinin ηζ-küme ve weakly ηζ-I-küme olduğunu gösterir. Ancak A* = {d} ≠ A ve X* = {b, c, d} ≠ X olup A kümesi ηζ-I-küme değildir.

Önerme 3.3.2. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:

(a) Her weakly ηζ-I-küme, weakly I-LC kümedir; (b) Her weakly ηζ-I-küme, strongly η-I-kümedir; (c) Her weakly ηζ-I-küme, AB_I-kümedir.

Đspat. Önerme 3.2.1 ve Tanım 3.3.2’ den ispat açıktır.

Uyarı 3.3.2. Önerme 3.3.2’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.

Örnek 3.3.3. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a}, {c}, {a, c}, {b, d}, {b, d}, {a, b, d}, {b, c, d}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {b, c} kümesi A* = {c} ⊂ A olup A = X ∩ A şeklinde yazılabilir bu da A kümesinin weakly I-LC küme olduğunu gösterir. Ancak A kümesi açık değildir. Bu yüzden A kümesi weakly ηζ-I-küme değildir.

Örnek 3.3.4. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {b}, {c, d}, {b, c, d}} topolojisi ve I = {∅, {b}, {d}, {b, d}} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b, d} kümesi Cl(Int(Cl*(A))) = {a, b} ⊂ A olup A kümesi strongly α-*-kapalı kümedir. Böylece A kümesi A = X ∩ A olarak yazılır ki buradan strongly η-I-küme olduğu görülür. Diğer taraftan A kümesi açık olmadığından bir weakly ηζ-I-küme değildir.

Örnek 3.3.5. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X

uzayında A = {b, c} kümesi Int(Cl*

(A)) = {b} = Int(A) ve Cl*

(Int(A)) = {b, c, d} ⊃ A olup A kümesi semi-I-regüler kümedir. Böylece A kümesi A = X ∩ A olarak yazılabilir yani A kümesi ABI-kümedir. Diğer taraftan A kümesi açık olmadığından

weakly ηζ-I-küme değildir.

Önerme 3.3.3. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:

(a) Her I-LC küme, strongly η-I-kümedir; (b) Her weakly I-LC küme, η-I-kümedir; (c) Her η-I-küme, A7I-kümedir;

(d) Her η-I-küme, B_I-kümedir;

(e) Her A7-küme, A7I-kümedir;

(f) Her A7I-küme, CI-kümedir.

Đspat. Önerme 3.2.3’ den ispat açıktır.

Uyarı 3.3.3. Önerme 3.3.3’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir:

Örnek 3.3.6. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı Örnek 3.3.4’ de verilen uzay olsun. Örnek 3.3.4’ deki A kümesi strongly η-I-küme olmasına karşın A* = {a} ≠ A ve açık olmamasından I-LC küme değildir.

Örnek 3.3.7. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {b}, {d}, {b, d}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {b, c} kümesi Cl*

(Int(Cl*

(A))) = {b} ⊂ A olup α-*-kapalı kümedir. Ayrıca A kümesi A = X ∩ A olarak yazılabildiğinden A kümesi η-I-kümedir fakat A

kümesi hem açık küme değildir hem de A*

= {a, c} ⊄ {b, c} = A olduğundan weakly I-LC küme değildir.

Örnek 3.3.8. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {b}} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b} kümesi Int(A) * = ∅ ⊂ A olup pre-*-kapalıdır. A kümesi A = X ∩ A şeklinde yazılabildiğinden A_7I-kümedir. Diğer yandan A kümesinin açık değil, Cl*(Int(A)) = X ⊄ A ve Cl(Int(A)) = {b, d} ⊄ {a, b} = A olduğundan A kümesi ne η-I-küme ne de A7-kümedir.

Örnek 3.3.9. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a}, {c}, {a, c}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {b, c} kümesi Int(Cl*(A)) = {c} = Int(A) olup A kümesi t-I-kümedir. A kümesi A = X ∩ A olarak yazılabilir yani A kümesi bir B_I-kümedir ve böylece C_I-kümedir. Diğer taraftan A kümesi açık değildir ve (Int(A))* = {b, c, d} ⊄ A olduğundan A kümesi ne A_7I-küme ne de η-I-kümedir.

Önerme 3.3.4. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:

(a) Her η-küme, strongly η-I-kümedir; (b) Her strongly η-I-küme, η-I-kümedir. Đspat. Önerme 3.2.4’ den açıktır.

Uyarı 3.3.4. Önerme 3.3.4’ de verdiğimiz geçişlerin karşıtları genelde doğru değildir.

Örnek 3.3.10. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı Örnek 3.3.4’ de verilen uzay olsun. Buradan kolayca görülür ki sorudaki A kümesi strongly η-I-küme olmasına karşın açık olmadığından ve Cl(Int(Cl(A))) = X ⊄ A olduğundan η-küme değildir.

Örnek 3.3.11. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı Örnek 3.3.7’ de verilen uzay olsun. O halde açıktır ki Örnek 3.3.7’ de verilen A kümesi η-I-kümedir fakat açık olmadığından ve Cl(Int(Cl*(A))) = X ⊄ A olduğundan strongly η-I-küme değildir.

Yukarıda verilen önermelerdeki geçişlerden aşağıdaki diagram elde edilir:

wης −I −küme ης −I −küme

AB_I −küme

w−I −LC I−LC A_I −küme

sη−I −küme B_I −küme C_I −küme

η−I−küme A_7I −küme

Şekil 3.3

Uyarı 3.3.5. A7I-küme ve BI-küme kavramları aşağıdaki örneklerden de

görüldüğü gibi birbirinden bağımsızdır.

Örnek 3.3.12. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı Örnek 3.3.8’ de verilen uzay olsun. Buradan açıktır ki örnekte verilen A kümesi A7I-kümedir fakat açık

olmadığından ve Int(Cl*(A)) = X ≠ Int(A) olduğundan BI-küme değildir.

Örnek 3.3.13. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı Örnek 3.3.9’ da verilen uzay olsun, örnekte verilen A kümesi B_I-kümedir fakat A7I-küme değildir.

Teorem 3.3.1. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayının herhangi bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

(b) A kümesi A7I-küme ve BI-kümedir.

Đspat. Teorem 3.2.1’ den açıktır.

Uyarı 3.3.6. Pre-I-açık küme (α-I-açık küme) ve η-I-küme (strongly η-I-küme) aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi birbirinden bağımsız kavramlardır.

Örnek 3.3.14. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a}, {a, c}, {a, c, d}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b, d} kümesi Int(Cl*(Int(A))) = X ⊃ A olduğundan α-I-açık kümedir. Ancak Cl*

(Int(Cl*

(A))) = X ⊄ A olduğundan A kümesi η-I-küme değildir.

Örnek 3.3.15. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi ve I = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, b} kümesi Cl(Int(Cl*

(A))) = ∅⊂ A olup strongly α-*- kapalıdir. Ayrıca A kümesi A = X ∩ A olarak yazılabildiğinden A kümesi strongly η-I-kümedir. Diğer yandan Int(Cl*(A)) = ∅ ⊂ A olduğundan A kümesi pre-I-açık değildir.

Teorem 3.3.2. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayının herhangi bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

(a) A kümesi açık kümedir.

(b) A kümesi weakly ηζ-I-kümedir.

(c) A kümesi α-I-açık küme ve strongly η-I-kümedir. (d) A kümesi α-I-açık küme ve η-I-kümedir.

(e) A kümesi pre-I-açık küme ve η-I-kümedir.

Đspat. (a)⇒⇒⇒⇒(b) A ⊂ X kümesi açık küme olup, A = A ∩ X şeklinde yazılabilir öyle ki burada X hem açık hem de τ *-kapalı kümedir. Bu da A kümesinin weakly ηζ-I-küme olduğunu gösterir.

(b) ⇒⇒⇒⇒ (c), (c) ⇒⇒⇒⇒ (d) ve (d) ⇒⇒⇒⇒ (e) olduğu Şekl 3.3 gereği açıktır..

(e) ⇒⇒⇒⇒ (a) A ⊂ X kümesi hipotez gereği η-I-küme olduğundan A = U ∩ N şeklinde yazılabilir öyle ki burada U∈

τ

ve N kümesi ise α-*-kapalı kümedir. Aynı zamanda A kümesi pre-I-açık olduğundan,

A ⊂ Int(Cl*

(A)) = Int(Cl*

(U ∩ N)) ⊂ Int(Cl*

(U)) ∩ Int(Cl*

(N)) ifadesine varılır. A ⊂ U olup,

A = A ∩ U ⊂ [Int(Cl*(U)) ∩ Int(Cl*(N))] = [U ∩ Int(Cl*

(U))] ∩ Int(Cl*

(N)) = U ∩ Int(Cl*

(N))

= U ∩ Int(Cl*(Int(Cl*(N)))) ⊂ U ∩ Int(N)

bulunur. Böylece U açık bir küme olduğundan A ⊂ U ∩ Int(N) = Int(U ∩ N) = Int(A) elde edilir. Sonuç olarak A∈

τ

olduğu görülür.

Uyarı 3.3.7. Semi-I-açık küme (AB_I-küme) ve A_7I-küme (η-I-küme ve strongly η-I-küme) aşağıdaki örneklerde de gösterildiği gibi birbirinden bağımsız kavramlardır.

Örnek 3.3.16. X = {a, b, c, d} kümesi üzerinde

τ

= {∅, X, {a}, {d}, {a, d}} topolojisi ve I = {∅} ideali ile birlikte (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı verilsin. X uzayında A = {a, c} kümesi Int(Cl*(A)) = {a} = Int(A) ve Cl*(Int(A)) = {a, b, c} olup semi-I-regülerdir. Böylece A kümesi A = X ∩ A şeklinde yazılabilir yani A kümesi ABI-kümedir. Diğer taraftan A kümesi açık olmadığından ve (Int(A))

*

= {a, b, c} ⊄ A olduğundan A_7I-küme değildir.

Örnek 3.3.17. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı Örnek 3.3.15’ de verilen uzay olsun. Örnek 3.3.15’ de verilen A kümesi strongly η-I-küme olmasına karşın açık olmadığından ve Cl*

Teorem 3.3.3. (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayının herhangi bir A ⊂ X alt kümesi için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

(a) A kümesi A_I-kümedir.

(b) A kümesi AB_I-küme ve strongly η-I-kümedir.

(c) A kümesi AB_I-küme ve η-I-kümedir. (d) A kümesi semi-I-açık ve η-I-kümedir. (e) A kümesi semi-I-açık ve A7I-kümedir.

Đspat. Teorem 3.2.4’ den ispat açıktır.

Teorem 3.3.4. (X,

τ

, I) bir Hayashi Samuels uzayı olsun. Bu takdirde A ⊂ X alt kümesinin ηζ-I-küme olması için gerek ve yeter şart A kümesinin açık olmasıdır. Đspat. Gerek şart Önerme 3.3.1 (c) gereği açıktır. Yeter şartta ise A kümesi açık olup A = A ∩ X şeklinde yazılabildiğinden ve (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı bir Hayashi Samuels uzayı olduğundan X kümesi *-perfect küme olur. Böylece Tanım 3.2.1 (a) ve Tanım 3.3.2 (a) gereği A kümesi bir ηζ-I-kümedir.

Teorem 3.3.5. (X,

τ

, I) bir Hayashi Samuels uzayı olsun. Bu takdirde A ⊂ X alt kümesinin strongly η-I-küme olması için gerek ve yeter şart A kümesinin η-I-küme olmasıdır.

Đspat. Gerek şart Önerme 3.3.4 (b) gereği açıktır. Yeter şartta ise A kümesini η-I- küme olsun, A = U ∩ N olarak yazılabilir ki burada U∈

τ

ve N ise α-*-kapalı kümedir. Ayrıca (X,

τ

, I) ideal topolojik uzayı bir Hayashi Samuels uzayı olduğundan Int(Cl*(N)) ⊂ Int(Cl*(N))* ifadesi vardır. Buradan,

Cl(Int(Cl*(N))) ⊂ Cl(Int(Cl*(N))*) = Int(Cl*(N))* ⊂ Cl*(Int(Cl*(N))) ⊂ N ifadesine ulaşılır. Bu da A kümesinin strongly η-I-küme olduğunu gösterir.

Teorem 3.3.6. (X,

τ

, I={∅}) ideal topolojik uzayı için aşağıdakiler eşdeğerdir: (a) X uzayı ayrık uzay değildir.

(b) X uzayındaki η-I-kümeler sadece trivial olanlardır.

(c) X uzayındaki weakly ηζ-I-kümeler sadece trivial olanlardır.

Đspat. (a) ⇒⇒⇒ (b) A ⇒ ⊂ X bir η-I-küme olduğundan, A = U ∩ N olarak yazılabilir, öyle ki burada U∈

τ

ve N ise α-*-kapalı kümedir. Eğer A≠∅ ise U≠∅ ve böylece U = X dir. O halde A = N olup I = {∅} olduğundan,

A ⊃ Cl*(Int(Cl*(A))) = Cl(Int(Cl(A))) = Cl(Int(X)) = X elde edilir. Sonuç olarak A = X olduğu görülür.

(b) ⇒⇒⇒⇒ (c) Her weakly ηζ-I-kümenin η-I-küme olmasından açıktır.

(c) ⇒⇒⇒ (a) Her açık kümenin weakly ηζ-I-küme olmasından X uzayındaki açık ⇒ kümeler (c)’ nin hipotezi gereği sadece trivial olanlardır yani X uzayı ayrık uzay değildir.

Teorem 3.3.7. (X,

τ

, I={∅}) ideal topolojik uzayı için aşağıdakiler eşdeğerdir:

(a) X uzayı ayrık uzaydır.

(b) X uzayındaki her küme ηζ-I-kümedir.

Đspat. (a) ⇒⇒⇒⇒ (b) X uzayı ayrık olduğundan her A ⊂ X alt kümesi clopen kümedir. Böylece, I = {∅} olduğundan A* = Cl(A) = A bulunur. Bu da A kümesinin ηζ-I-küme olduğunu gösterir.

(b) ⇒⇒⇒ (a) X uzayının her {x} tek elemanlı alt kümesi (b)’ nin hipotezi gereği ⇒ ηζ-I-kümedir ve dolayısıyla açıktır yani X uzayı ayrık uzaydır.

Belgede İdeal topolojik uzaylarda sürekliliğin bazı ayrışımları üzerine (sayfa 48-58)