Já observamos que as orientações dadas por Orsini, ao longo da obra não são explícitas quanto aos conhecimentos matemáticos a serem utilizados na construção e uso do instrumento. Além disso, as imagens fornecidas em seu
Trattato não são esclarecedoras. A ausência de clareza nas informações nos
sugere que o instrumento era dirigido a um público que já possuía os conhecimentos necessários para sua construção. De fato, tentamos reconstruir o instrumento baseando-nos apenas nas imagens e nas poucas orientações fornecidas por Orsini e Danti. Porém, como observa Saito (2014),
[...] a reconstrução exata do instrumento é impossível porque não temos notícias dos conhecimentos e técnicas mobilizados por artesãos na sua construção. A tentativa de reproduzir as condições materiais e históricas é impossível porque vivemos em outra época e, portanto, em outro contexto, em que os conhecimentos matemáticos e extramatemáticos incorporados nos instrumentos nos conduzirão a uma interpretação moderna e anacrônica do processo. (SAITO, 2014, p.28-29)
Embora estivéssemos conscientes da impossibilidade de reconstruir o instrumento da maneira como foi realizada por Orsini, a tentativa de construí-lo propiciou-nos valiosas questões relacionadas ao conhecimento não só matemático, mas também das práticas e técnicas predominantes naquela época. De outra forma, podemos dizer que o sentido dessa reconstrução se encontra no diálogo estabelecido entre o conhecimento que emerge do instrumento e o conhecimento do sujeito que o reconstrói.
Tendo por base o Trattato del Radio Latino, a partir das informações presentes nas imagens, bem como nas orientações de Orsini e Danti sobre sua construção, procuramos reconstruir o instrumento. A descrição desse processo se faz necessária na medida em que permite a compreensão de que grande parte das dificuldades encontradas deve-se, sobretudo em um primeiro momento, à tentativa de procurarmos compreender o instrumento descrito no
Trattato, partindo de um conhecimento empírico sobre o conceito de medida.
Decidimos pela construção do instrumento ainda no início do processo de tradução do documento. Entretanto, diferentemente de outros instrumentos daquele período, entre eles o báculo, o quadrante num quarto de círculo e o quadrante geométrico, que já havíamos construído em outras ocasiões, o Radio
Latino, não é um tipo de artefato que se possa construir com material de fácil
manipulação como cartolina ou papel cartão. Assim, a única possibilidade foi construí-lo com “material bem duro”, que poderia ser madeira ou metal, seguindo as orientações do Trattato.
Escolhemos o alumínio e, depois de muita procura por um local que cortasse esse material nas medidas requeridas, levamos as peças juntamente com a imagem do instrumento, tal como apresentado no Trattato, ao torneiro mecânico. Além disso, para que envássemos um projeto do instrumento a esse profissional, precisávamos decidir as medidas apropriada. Por isso, junto ao material e à imagem do instrumento estava, também, um esboço (Figura 6) com as medidas de suas partes em centímetros e milímetros, todas aproximadas: 22,9 cm; 32,1 cm e 55 cm, para braços, pernas e haste, respectivamente (Figura 6).
Para obtê-las, partimos do comprimento da haste, que conforme orienta o Trattato deveria ser de dois palmos e meio para o instrumento menor. Dessa forma, considerando a medida de um palmo igual a 22 cm, sabendo que um braço mais uma perna devia ter 55 cm (dois palmos e meio) e, ainda, que a parte da haste, correspondente ao segmento 𝐸𝐵̅̅̅̅ (Figura 4), tem medida congruente àquela do braço. Assim, pelo teorema de Pitágoras:
𝑝2 = 𝑏2+ 𝑏2 𝑝2 = 2𝑏2
onde p representa a medida do comprimento das pernas e b a medida do comprimento dos braços. Considerando: 𝑏 + 𝑝 = ℎ, onde h representa a medida do comprimento da haste, temos:
𝑏 + 𝑏√2 = 55 𝑏(1 + √2) = 55 𝑏 = 55 1 + √2 𝑏 ≅ 22,9 Logo, 𝑝 ≅ 32,1 cm
Figura 6. Representação por esboço do instrumento
Fonte: Figura nossa
O instrumento ficou pronto e da forma como havia sido solicitado ao profissional (Figura 7), que se encarregou também de marcar as escalas altimétricas e angulares, não resultando, entretanto, iguais àquelas indicadas no
Trattato. Na escala angular, os noventa graus foram divididos em nove ângulos
iguais cuja medida de cada um deles é de dez graus. Já na indicação do Trattato os noventa graus são divididos em noventa ângulos de um grau cada um. Em relação à escala altimétrica, não foi considerada, a ombra média, ou seja, a
diagonal do quadrado, para, a partir dela, proceder à divisão do braço esquerdo em 12 partes, que deveriam estar antes e depois dessa diagonal. Assim, no instrumento construído pelo torneiro mecânico, a escala altimétrica resultou em uma divisão em 12 partes ao longo do braço esquerdo.
Figura 7. A reconstrução do instrumento
Fonte: Figura nossa
Esse fato confirma que a construção do instrumento não pode ser dissociada de seu uso, ou seja, nesse caso era necessário saber como usar a escala altimétrica a fim de compreender que sua divisão precisaria contemplar a posição do fio de prumo em pelo menos duas posições diferentes, quais sejam: quando atinge a sombra média (ombra média) ou ao atingir a sombra reta (ombra
reta)18.
18 Os termos ombra media e ombra reta utilizados por Orsini referem-se a uma das maneiras de
usar do instrumento que considera, por exemplo, a sombra projetada por uma construção. Assim, caso, durante o processo de medição o fio de prumo cair sobre a sombra reta, significa que o Sol está a uma altura de 45 graus em relação ao horizonte e, nesse caso, a medida da altura dessa construção será igual à medida da sombra por ela projetada.
D
C B
Na tentativa de reconstrução do instrumento também não observamos a divisão da haste, braços e pernas em partes iguais descritas no Tratatto (figura 8); depois, constatamos que tal divisão permite encontrar medidas de altura, largura e profundidade sem o uso da escala altimétrica.
Figura 8. Divisão da haste, pernas e braços do instrumento em partes iguais
Fonte: Orsini (1586, p. 16)
Assim, de posse do instrumento, na primeira tentativa de uso nos deparamos com a falta de unidades de medidas para que pudéssemos encontrar a razão entre os lados do triângulo marcado pelo fio de prumo. Na falta dessas unidades, recorremos a uma fita métrica cujas medidas eram dadas em metros, centímetros e milímetros. A intenção foi encontrar a medida da altura de um muro localizado a 2,46 m de distância do observador.
Posicionamos o instrumento, acertamos as miradas e passamos o fio de prumo por trás de sua perna esquerda, conforme orientações do Trattato (Figura 9).
Figura 9. Uso do Radio Latino para medir a altura de uma torre
Fonte: Orsini (1586, p. 39)
As medidas encontradas com o uso da fita métrica são aproximadas, pois não tínhamos como determinar o início nem o fim da marcação tanto no fio de prumo quanto na haste, já que o instrumento não apresentava as unidades que deveriam dividi-lo em partes iguais. Assim, considerando a medida da distância entre o ponto G e o ponto F, obtivemos:
𝐵𝐷 ̅̅̅̅ 𝐷𝐴 ̅̅̅̅ =𝐺𝐹̅̅̅̅𝑥 18𝑐𝑚 19𝑐𝑚 = 𝑥 246𝑐𝑚 𝑥 = 2,33 𝑚
O muro em questão tem cerca de 3m de altura, portanto, diferentemente do valor encontrado, a medida de sua altura deve ser maior que a medida da distância entre ele e o observador. Para que o resultado fosse próximo a 3m precisaríamos que a medida de comprimento do fio de prumo, indicada no braço BD, fosse igual a 22 cm e aquela indicada na haste AD, fosse 18 cm, ou seja, se a medida da altura do muro é maior que a medida da distância entre ele e o
observador, então a medida do comprimento do fio de prumo, quando passado por trás da perna do instrumento, indicada no braço BD, também deve ser maior que a medida assinalada por ele na haste.
𝐵𝐷 ̅̅̅̅ 𝐷𝐴 ̅̅̅̅ =𝐺𝐹̅̅̅̅𝑥 22𝑐𝑚 18𝑐𝑚 = 𝑥 246𝑐𝑚 𝑥 ≅ 3𝑚
Observamos que a marcação que indica as unidades nas quais a haste, os braços e as pernas foram divididos é fundamental para realizar a maior parte das medições propostas no Trattato.
Apesar das tentativas de uso do instrumento resultarem frustradas consideramos que sua reconstrução nos ofereceu a possibilidade de manuseá- lo, reconhecendo cada uma de suas partes, como, as miradas, o fio de prumo, os braços, as pernas etc. Favoreceu, também, a compreensão da relação entre teoria e prática presente neste e em outros instrumentos da época. Sobre este último aspecto, ressaltamos que mesmo de posse do instrumento não foi possível realizar nenhuma das medições propostas no Trattato. Pudemos constatar, posteriormente, que isso se deve ao fato de que a construção do instrumento, a marcação da escala altimétrica e angular e seu uso são ações indissociáveis. Além disso, não conhecemos o ofício de quem utilizou esse instrumento e, portanto, não temos a compreensão total de seu funcionamento. Apesar de reconhecermos alguns atributos do instrumento, inclusive os conhecimentos matemáticos nele incorporados, isso não foi suficiente para construí-lo e utilizá-lo.
Diante do exposto, procuramos compreender como o instrumento deveria ser construído segundo as orientações do próprio Trattato. Para tanto, procuramos evitar o uso de recursos que não estavam disponíveis a Orsini e Danti naquela época. Assim, constatamos que utilizar o sistema métrico decimal e o teorema de Pitágoras para encontrar as medidas das partes do instrumento foi o primeiro erro cometido.
Vale observar que, no século XVI, o sistema métrico tal como o conhecemos hoje não existia. Naquela época, a unidade de medida ainda não
estava convencionada e cada região utilizava padrões distintos de modo que um palmo, um pé ou uma polegada não correspondiam à mesma medida nas diferentes regiões.
No que diz respeito ao teorema de Pitágoras, notamos que em nenhum momento o Trattato faz referência ao seu uso. Isso, entretanto, não significa que Orsini e Danti não conhecessem o teorema, mas que provavelmente não o consideraram na construção do Radio Latino, pois as dimensões das partes do instrumento podem ser obtidas utilizando-se apenas régua (não graduada) e compasso. Para tanto, bastaria mobilizar adequadamente certos conceitos geométricos como perpendicularismo, paralelismo, mediatriz etc. Além disso, podemos notar que, pelo teorema de Pitágoras a medida do comprimento das pernas do instrumento resulta em um número irracional.
Não consideramos a incomensurabilidade desse número ao calcular as medidas que seriam entregues ao torneiro mecânico para a fabricação do instrumento. Isso demonstra que entre os nexos conceituais presentes no conceito de medida, desconsideramos aquele que dizia respeito à impossibilidade de representação dessa medida e optamos por aproximá-la de forma que fosse possível representá-la com o uso de um número racional.
Foi, portanto, a partir dessas constatações que optamos pela simulação da construção do instrumento por meio de construções geométricas, utilizando apenas o compasso e a régua não graduada. O mesmo procedimento foi utilizado na marcação das escalas, diferentemente dos recursos dos quais que se valeu o torneiro mecânico, que lançou mão do transferidor e da régua graduada.
3.2 A simulação da construção do instrumento no software Geogebra –