2.4. Enflasyon ve Ekonomik Büyüme İlişkisi Üzerine Türkiye’de Yapılan
3.2.2.1. Yapısal Kırılmanın Dikkate Alınmadığı Birim Kök Testleri
İlgili zaman serisindeki yapısal kırılmayı dikkate almadan seri içerisindeki birim kökün varlığını araştıran testlerden en sık kullanılanlar olarak Dickey-Fuller (DF) ve Genişletilmiş Dickey-Fuller (Augmented Dickey-Fuller, ADF) testleri
gösterilmektedir. Bunun dışında, serideki birim kökün araştırılmasında Phillips- Perron (PP), Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS), Dickey-Fuller Genelleştirilmiş En Küçük Kareler (Generalized Least Squares, GLS) ve Ng-Perron (NP) gibi testler bulunmaktadır. Söz konusu birim kök testlerinden ise ADF ve PP testlerinin çalışmada benimsenmesi nedeniyle sadece bu testler hakkında bilgi verilmiştir.
3.2.2.1.1. Genişletilmiş Dickey-Fuller Birim Kök Testi
t
Y değişkeninin bu dönemde aldığı değerin geçen dönemdeki değeri olan Yt1
ile ilişkisi (3.3) no.lu denklemde şu şekilde belirtilmektedir;
t t t PY u
Y 1 (3.3)
(3.3) no.lu denklemde, u stokastik bir hata terimidir ve söz konusu model t
birinci dereceden otoregresif AR(1) modeli olarak tanımlanmaktadır. Bu regresyonda
P katsayısı bire eşit
P1
bulunursa, birim kök sorunu ortaya çıkmaktadır ve ilişkisi (3.4) no.lu denklemle ifade edilmektedir.t t t Y u
Y 1 (3.4)
(3.4) no.lu denklem ise, bir önceki dönemde iktisadi değişkenin değerinin ve dolayısıyla o dönemde maruz kaldığı şokun olduğu gibi sistemde kalması anlamına gelmektedir. Bu durum, bütün bir dönem boyunca düşünüldüğünde, yukarıda ortaya çıkan sonuç bütün dönemler için geçerli olduğundan, bu daha önceki dönemlerde ortaya çıkan şokların da değişkenin bu dönemdeki değerine etkisinin sürdüğünü ve dolayısıyla geçmişteki bütün şokların bir toplamından oluştuğu anlamına gelmektedir. Bu şokların kalıcı nitelikte olması, serinin durağan olmaması ve zaman içinde gösterdiği trendin stokastik olmasını göstermektedir. Eğer P katsayısı birden küçük çıkarsa, geçmiş dönemlerdeki şoklar belli bir dönem etkilerini sürdürseler bile, bu etki giderek azalacak ve kısa bir dönem sonra ortadan kalkacaktır (Tarı, 2006: 393, 394; Gujarati, 2001: 719).
Bununla birlikte, (3.3) no.lu denklemin sağ ve sol tarafından Yt1 çıkartılarak (3.5) no.lu denklem elde edilmekedir.
t t t P Y u
Y
( 1) 1 (3.5)
Burada, Yt Yt Yt1 ilgili değerin birinci farkının alındığını göstermektedir. Ayrıca (P1) değeri de, olarak ifade edilirse ilişki (3.6) no.lu
denkleme dönüşmektedir. t t t Y u Y 1 (3.6) 1
P olduğunda 0olmaktadır. 0olduğunda da, (3.7) no.lu denklem elde edilmektedir. t t t t Y Y u Y ( 1) (3.7)
(3.7) no.lu denklemin elde edilmesi neticesinde de Y (birinci fark) durağan t
olmaktadır. Çünkü varsayım gereği u bütünüyle rassal kabul edilmektedir. Böylece t
farkı alınmamış bir serinin birinci farkı alındıktan sonra seri durağan hale geliyorsa başlangıçtaki seriye birinci dereceden entegre olmuş seri denilmekte ve I(1) olarak tanımlanmaktadır. Eğer seriyi durağan yapmak için iki defa fark almak gerekirse
) 2 (
I ve ddefa fark almak gerekirse I(d)olarak yazılmaktadır (Tarı, 2006: 393, 394; Gujarati, 2001: 719).
Bu bağlamda, Y gibi bir zaman serisinin durağan olup olmadığını anlamak t
için (3.6) no.lu denklem hesaplanmakta ve P’nin istatistik bakımından 1’e eşit olup olmadığına ya da bunun eşdeğeri olan ’nın istatistik bakımından 0’a eşit olup
olmadığına bakılmaktadır. Fakat bu yöntemle bulunan t değeri, büyük örneklemlerde bile Student-t dağılımına uymamaktadır. Bu nedenle, Dickey ve Fuller tarafından τ (tau) istatistiği geliştirilmiş ve Monte Carlo benzetimleriyle de çizelgeleştirilmiştir. Tau sınaması aynı zamanda Dickey-Fuller sınaması olarak da tanımlanmakla beraber eğer P1 sıfır önsavı reddedilirse (yani zaman serisi durağan ise), alışıldık (Student) t sınamasının kullanılması gerektiğine işaret edilmektedir. Böylelikle, bir serinin durağanlık durumunu araştırmak için öncelikle (3.6) no.lu denklem tahmin edilmekte, Dickey-Fuller τ istatistiğini hesaplamak için tahmin edilen P katsayısı kendi standart hatasına bölünmekte ve P1 sıfır önsavının reddedilip reddedilmediğini görmek amacıyla ise Dickey-Fuller
çizelgelerine başvurulmaktadır. Ancak bu çizelgelerin yeterli olmaması nedeniyle, MacKinnon tarafından Monte Carlo benzetimleriyle büyük ölçüde genişletilmişlerdir. Buna göre, eğer τ istatistiğinin mutlak değeri (yani │τ│) DF’nin ya da MacKinnon mutlak eşik τ değerinden büyükse, verilmiş zaman serisinin durağan olduğunu ileri süren önsav reddedilmemektedir. Diğer taraftan │τ│, eşik değerinin altında ise serinin durağan olmadığı anlaşılmaktadır (Gujarati, 2001: 719, 720).
Gerek kuramsal gerek uygulama nedenleriyle Dickey-Fuller sınaması şu biçimlerdeki regresyonlara uygulanmaktadır;
t t t Y u Y 1 (3.8) t t t Y u Y 1 1 (3.9) t t t t Y u Y 1 2 1 3.10)
Burada t , zaman ya da genel eğilim değişkenlerini ifade etmektedir. Her iki durumda sıfır önsavı 0yani seride birim kök vardır biçimdedir. (3.8) no.lu denklem ile diğer iki regresyon modeli arasındaki fark ise, sabit terimin eğilim değişkeninin denkleme katılmasıyla oluşmaktadır.
Bununla birlikte, eğer u hata terimi ardışık bağımlıysa, (3.11) no.lu t
regresyon modeli şu şekilde düzeltilmektedir.
m i t i t i t t t Y Y u Y 1 1 2 1 (3.11)Bu denklemde ise, Yt1 (Yt1 Yt2),Yt2 (Yt2 Yt3),vb. gecikmeli fark denklemleri olarak tanımlanmaktadır. Gecikmeli fark denklemlerinin sayısı, genellikle görgül olarak belirlenmekle birlikte buradaki ana düşünce (3.11) no.lu regresyon modeli hata teriminin ardışık bağımsız olmasını sağlayacak kadar terimi modele dahil etmektir. Sıfır önsavı (3.11) no.lu denklemde de 0ya da P1, yani
Y ’de birim kök vardır diğer bir deyişle Y durağan değildir şeklinde kurulmaktadır. Buna göre, (3.11) no.lu regresyon modeli biçimindeki modellere Dickey-Fuller sınaması uygulanırsa, bu sınamaya Genişletilmiş Dickey-Fuller (Augmented
Dickey–Fuller, ADF) sınaması denilmektedir. Genişletilmiş Dickey-Fuller sınaması ile Dickey-Fuller sınaması aynı dağılım özelliklerini taşıdıklarından eşik değerleri de aynı olmaktadır (Enders, 1995: 221, 222; Gujarati, 2001: 720).
Serilerdeki birim kökün araştırılmasında oldukça önemli bir yere sahip olan ADF testinin varsayımlarından biri; hata terimlerinin istatistiki olarak birbirlerinden bağımsız ve sabit varyansa sahip olduğu şeklindedir. Ancak birçok zaman serisinin zayıf bağımlı ve heterojen dağılımlı hata terimlerine sahip oldukları gözlenmektedir. Phillips (1987) ve Phillips ve Perron (1988), bu gerçekten yola çıkarak, hata terimleri arasında otokorelasyon olabileceği düşüncesinden hareketle yeni bir birim kök testi geliştirmişlerdir (Bozkurt, 2007: 41).
3.2.2.1.2. Phillips-Perron Birim Kök Testi
Hata terimi ’nin aynı ve bağımsız dağıldığının kabul edildiği ADF birim t
kök testine karşı serilerdeki birim kökün varlığının, ’nin bağımlı ve değişen t
varyanslı iken incelendiği Phillips ve Perron (1988) birim kök testinde ise (3.12) ve (3.13) no.lu denklemlerde şu şekilde belirtilmektedir (Balkaya, 2006: 23; Sevüktekin ve Nargeleçekenler, 2007: 363); t t t u Y Y 1 1 (3.12) t t u Y L ) 1 ( (3.13)
Burada, t1,2,....,T, ve model için birim kök 1/ ile bulunmaktadır. 1
1 1
olduğunda ise seride birim kökün olduğu kabul edilmektedir. Fuller (1976) ^
1
,
1
’in T 1 serbestlik derecesinde basit en küçük kareler tahmicisi iken, ( 1) ^
1
T bir
dağılıma sahip olduğunu göstermektedir. ( 1) ^
1
T dağılımı PP testi için temel oluşturmaktadır. PP testi için yine ADF testinde olduğu gibi yardımcı regresyon modelleri, sabitsiz ve trendsiz, sabitli ve trendsiz ve sabitli ve trendli olmasına göre yeniden düzenlenmektedir. Kritik tablo değerleri de yine sabitsiz ve trendsiz, sabitli ve trendsiz ve sabitli ve trendli modeller için farklı olmaktadır. PP testinde ise ADF testi için kullanılan testler (Z ile gösterilmektedir. Örneğin, ADF testlerinden )
sabitsiz ve trendsiz bir modelin testi için τ (tau) istatistiği kullanırken, bu testin karşılığı PP testinde Z olmaktadır (Sevüktekin ve Nargeleçekenler, 2007: 363;
Zivot ve Wang, 2006: 127).
Özetle, ADF birim kök testine göre göre düşük frekanslı serilerde daha etkili sonuçlar verdiği ileri sürülen PP testinin, negatif hareketli ortalama olduğunda, birim kök hipotezini red etme eğiliminde olduğu ancak pozitif hareketli ortalama söz konusu olduğunda ise daha iyi sonuçlar verdiği belirtilmektedir. Bununla birlikte, bazı durumlarda iktisadi teorinin, söz edilen ayrım konusunda yardımcı olabileceğine fakat böyle bir bilginin olmadığı durumlarda ise her iki testin de birbirini destekler nitelikte yapılmasının uygun olacağı da vurgulanmaktadır (Bozkurt, 2007: 41; Maddala ve Kim, 1998; 130).