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Na Tabela 1 temos as respostas apresentadas por toda a amostra (2012 alunos). Observando-na podemos constatar que apenas 28,75% das questões

foram respondidas corretamente, 46,94% apresentaram respostas erradas, 13,09% responderam não sei ou não entendi (codificação -1) e 11,22% das questões foram deixadas em branco (codificação -2). Se considerarmos as repostas em branco e as que os alunos responderam não sei ou não entendi, como erradas, teremos um percentual de erro de 71,25%, o que é um índice muito alto.

Respostas Apresentadas pela Amostra

Respostas Corretas(1) Erradas(0) Não Sei(-1) Branco(-2)

Questões Quant. _% Quant. _% Quant. _% Quant. _{% Total}

A5(a) 1069 53,13% 782 38,87% 74 3,68% 87 4,32% 2012 A5(b) 967 48,06% 772 38,37% 139 6,91% 134 6,66% 2012 A5(c) 330 16,40% 1254 62,33% 252 12,52% 176 8,75% 2012 A5(d) 216 10,74% 1132 56,26% 377 18,74% 287 14,26% 2012 A5(e) 310 15,41% 782 38,87% 475 23,61% 445 22,12% 2012 Total 2892 28,75% 4722 46,94% 1317 13,09% 1129 11,22% 10060 Tabela 1

Na Figura 12, apresentamos um gráfico com a visão geral dos acertos e erros das cinco questões que envolvem o fatorial. Consideraremos as repostas em branco e as que apresentaram respostas do tipo não sei ou não entendi como repostas erradas, nesse gráfico bem como em todas as nossas análises e tabelas a partir deste ponto do trabalho.

Na Figura 13 apresentamos o percentual de acertos de cada uma das questões.

Percentual das Respostas Corretas das Questões 48,06% 15,41% 10,74% 16,40% 53,13% 0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00%

A5(a) A5(b) A5(c) A5(d) A5(e)

Questões P o rc en ta g em Corretas

Figura 13. Percentual de acertos e erros nas questões que abordam o fatorial

Respostas Apresentadas nas Questões 1796 1702 310 330 216 967 1069 1682 1045 943 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

A5(a) A5(b) A5(c) A5(d) A5(e) Questões Q u an tid ad e Corretas Erradas

Figura 12: Número de acertos e erros nas questões que abordam o fatorial

QUESTÃO A5(a)

Verificamos, nas Figuras 12 e 13, o maior número de acertos na questão A5(a) – 1069 alunos acertaram-na, o equivalente a 53,13% da amostra. O único percentual maior que 50% de acertos obtidos nas respostas das cinco questões. Com a ajuda da Tabela 2, que apresenta as justificativas dadas à questão pelos alunos que a acertaram. Verificamos que o bom desempenho na questão foi possível devido à possibilidade de ser respondida pela via do cálculo, já que 70,72% dos alunos que acertaram utilizaram-no para justificar sua resposta. Observe que são poucas as justificativas destacando propriedades.

Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questão A5(a)

Justificativas da Questão A5(a) Quantidade %

0 - (Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso).

154 14,41%

1 - (Justificativas com alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por exemplo, justificativas que são completamente empíricas).

101 9,45%

2a - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem, contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta muito para chegar à prova).

19 1,78%

2b - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem, contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta pouco para chegar à prova).

9 0,84%

3C - ( Justificada por meio de cálculos). 756 70,72%

3P- (Justificada com referência a propriedades pertinentes). 30 2,81%

Total 1069 100,00%

Tabela 2

QUESTÂO A5(b)

Em A5(b), 967 alunos (48,06%) acertaram, Figura 12. Nesta questão percebemos mais nitidamente se o significado dado ao fatorial foi compreendido. Se considerarmos que da nossa amostra apenas 48,06% entendeu com clareza a definição que apresentamos para o fatorial, teríamos que ter um outro olhar para

o percentual dos acertos das demais questões, já que podemos imaginar que alguns dos 1045-(51,94%) alunos não acertaram as demais questões exatamente pela falta desse entendimento, ou 46,87%, visto os 53,13% terem acertado a primeira questão.

Em uma análise preliminar dos questionários verificamos que apenas dois alunos que não acertaram a questão A5(b), acertaram as três questões que se seguiram no questionário, enquanto dos que acertaram a questão, apenas dezenove conseguiram acertar as três questões que se seguiram, e foram os únicos de toda a amostra a darem respostas corretas para todas as cinco questões apresentadas na amostra de 2012 alunos.

Dentre os alunos que não acertaram a questão A5(b), é interessante citar que 358, mais de um terço (34,26%), destes, responderam corretamente a questão A5(a), sendo que 210 deles justificaram suas respostas por meio de cálculos. Parece que esses alunos não conseguiram generalizar o cálculo efetuado na questão A(a) para a questão A5(b).

Como na questão A5(b) não se pediu justificativa, passemos a análise da questão A5(c).

QUESTÂO A5(c)

Apenas 330 alunos (16,40%) acertaram a questão. Tivemos aqui uma grande diminuição no número de acertos, no entanto notamos que a via do cálculo ainda foi possível nesta questão e essa foi a principal justificativa utilizada por 38,48% dos alunos que a acertaram, conforme podemos constatar na Tabela 3. O índice de justificativas com o uso de propriedades foi um pouco maior que na questão A5(a). A tabela também mostra que 46,97% dos alunos que acertaram não justificaram sua resposta, talvez seja uma indicação da falta de familiaridade com argumentação matemática.

Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questão A5(c)

Justificativas da Questão A5(c) Quantidade %

0 - (Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso).

155 46,97%

1 - (Justificativas com alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por exemplo, justificativas que são completamente empíricas).

28 8,48%

2a - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta muito para chegar à prova).

3 0,91%

2b - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta pouco para chegar à prova).

1 0,30%

3C - (Justificada por meio de cálculos). 127 38,48% 3P- (Justificada com referência a propriedades

pertinentes).

16 4,85%

Total 330 100,00%

Tabela 3

QUESTÂO A5(d)

Apenas 216 alunos (10,74%) acertaram a questão. O mais baixo índice de acerto nas questões. Nesta questão a abordagem ao problema pela via do cálculo foi inviável e pelo baixo índice de acertos percebemos a dificuldade que os alunos encontraram nela. Observando a Tabela 4, percebemos que mesmo os poucos que acertaram a questão, não apresentaram ou não souberam justificar suas respostas (72,22%).

O índice de justificativas utilizando propriedades aumenta um pouco em relação à questão A5(c), o que era esperado, visto a impossibilidade do cálculo na questão.

Levando em conta o percentual dos alunos que apresentaram acertos nas questões anteriores e que acertaram a questão seguinte, em ordem crescente de questões, a questão A5(d) foi a que apresentou o menor percentual de acerto 27,36%, dado obtido pela filtragem na planilha de dados.

Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questão A5(d)

Justificativas da Questão A5(d) Quantidade %

0 - (Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente

repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso). 156 72,22% 1 - (Justificativas com alguma informação pertinente, mas

sem deduções ou inferências – por exemplo, justificativas que são completamente empíricas).

18 8,33%

2a - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta muito para chegar à prova).

17 7,87%

2b - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta pouco para chegar à prova).

3 1,39%

3- (Totalmente justificada). 22 10,19%

Total 216 100,00%

Tabela 4

QUESTÂO A5(e)

Apenas 310 alunos (15,41%) acertaram a questão, Tabela 5. Assim como na questão A5(d) achávamos que a abordagem pela via do cálculo seria inviável. Esta questão foi a que apresentou o maior índice em falta de justificativa para as respostas apresentadas de todas as cinco questões (74,52%). Dos 55 alunos que vinham acertando as quatro questões anteriores, apenas 19, ou seja, 34,55% acertaram-na. Observamos que o número de justificativas com o uso de propriedades é menor que na questão anterior.

Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questão A5(e)

Justificativas da Questão A5(e) Quantidade %

0 - (Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso).

231 74,52%

1 - (Justificativas com alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por exemplo, justificativas que são completamente empíricas).

30 9,68%

2a - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta muito para chegar à prova).

18 5,81%

2b - (Justificativa com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova - Falta pouco para chegar à prova).

6 1,94%

3 - (Totalmente justificada). 25 8,06%

Total 310 100,00%

Tabela 5

Podemos verificar, até aqui, o fraco desempenho da amostra na resolução das questões que envolvem o fatorial. Poucos alunos usaram propriedades como justificativas e a tendência de justificativas por meios de cálculos foi predominante. A única questão, A5(d), na qual o uso do cálculo seria completamente inviável, e os alunos teriam que apresentar uma outra abordagem para resolvê-la foi a que apresentou o menor número de acertos. Provavelmente por falta de uma outra abordagem ao problema que não seja o uso do cálculo.