Sistem Modeli

Dinamik problem kapsamında, tek ˙IHAB˙I’nin yerseçimine karar verilecek bir KHA ele alınmaktadır. Hizmet verilen kullanıcılar sınırlı bir zaman içinde farklı anlarda hem konumlarını hem de taleplerini de˘gi¸stirebilmektedir. ˙IHAB˙I’nin, gelen taleplerin tamamını kar¸sılayabildi˘gi kapasitesiz durum irdelenmekte, kapasiteli durumun gelecek

Çizelge 5.1: Dinamik tek ˙IHAB˙I’li KHA formülasyonunda kullanılan semboller ve tanımları.

Sembol Açıklama

I = {1, . . . , n} Kullanıcı kümesi T = {1, . . . , T } Periyot kümesi Q_{⊆ R}3 ˙IHAB˙I hizmet alanı S⊆ Q Kullanıcı alanı

yu_it ⊆ S i∈ I kullanıcısının t ∈ T periyodundaki konumu

d_itu_{∈ R} i∈ I kullanıcısının t ∈ T periyodundaki maksimum sinyal kaybı tolerans de˘geri (talebi)

w_i∈ [0, 1] i∈ I kullanıcısının getirisi

υ ∈ [0, 1] ˙IHAB˙I hareketlili˘ginin maliyeti ile kullanıcı getirisinin amaç fonksiyonundaki a˘gırlı˘gını ayarlayan parametre

νit, κit ∈ R Kesikli orijinal problemin yeniden düzenlenmesinde kullanılan

yardımcı parametreler

M_{∈ R} Kesikli orijinal problemde kullanılan yeterince büyük bir de˘ger ∆w∈ R Test problemlerinin türetilmesinde kullanıcı getirisinin co˘grafi

konuma göre de˘gi¸simini kontrol eden parametre

∆d∈ R Test problemlerinin türetilmesinde kullanıcı talebininin co˘grafi

konuma göre de˘gi¸simini kontrol eden parametre

∆t∈ R Test problemlerinin türetilmesinde parametrelerin zaman içindeki

de˘gi¸simini kontrol eden parametre

∆υ ∈ R Test problemlerinin türetilmesinde ˙IHAB˙I hareketlili˘ginin

maliyetinin de˘gi¸simini kontrol eden parametre

z_{it ∈ B} i∈ I kullanıcısının t ∈ T periyodunda kapsanıp kapsanamadı˘gını gösteren ikili de˘gi¸sken

sit ∈ R Kesikli orijinal problemin yeniden düzenlenmesinde i ∈ I

kullanıcısının t ∈ T periyodundaki sinyal kaybı de˘gerinin bulunması için kullanılan yardımcı de˘gi¸sken

xd_t ∈ Q ˙IHAB˙I’nin t ∈ T periyodundaki konumu

ρ , ϑ , ϕ ∈ R+ Kesikli orijinal problemin Lagranj gev¸setmesinde kullanılan

Lagranj de˘gi¸skenleri

ω·,it∈ R+ Kesikli orijinal problemin Lagranj gev¸setmesinde kullanılan

yardımcı de˘gi¸skenler

çalı¸smalarda ele alınması planlanmaktadır. Kapasite kısıtının gev¸setilmesi her ne kadar gerçekçili˘gi azaltsa da bu sistemin karakteristiklerinin incelenmesi kapasiteli sistemlere de ı¸sık tutması açısından önem arz etmektedir.

5.1.1 ˙Ileti¸sim modeli

I = {1, . . . , n} ve T = {1, . . . , T } sırasıyla kullanıcı ve kullanıcıların hem konum hem de taleplerini güncelleyebildi˘gi zaman aralıklarını gösteren kümeler olmak üzere,

t periyodundaki ˙IHAB˙I konumu x_td ∈ Q ile gösterilmektedir. Xd, KHA tasarımının yapıldı˘gı toplam süre boyunca ˙IHAB˙I’nin her bir t periyodundaki konumunu gösteren t× 3 boyutlu matrisi ifade etmektedir. Kullanıcı i’nin t ∈ T periyodundaki konumu yu_it ∈ S, talebi ise d_{it ∈ R ile gösterilmi¸stir. Kullanıcı talepleri, her bir kullanıcının} tahammül edebilece˘gi maksimum sinyal kaybı olarak modele dahil edilmi¸stir. Her kullanıcının kendine özgü bir tolerans de˘geri oldu˘gu, bu de˘gerin üzerindeki sinyal kaybını kabul etmeyece˘gi ve bu de˘gerin her periyotta de˘gi¸sebilece˘gi varsayılmı¸stır. Dolayısıyla, ˙IHAB˙I ile kullanıcı arasındaki sinyal kaybı de˘geri bu toleranstan dü¸sük oldu˘gu sürece kullanıcının kapsanabildi˘gi, aksi halde kapsanamadı˘gı dü¸sünülmektedir. Tasarlanan KHA’nın temsili bir gösterimi ¸Sekil 5.1’de verilmi¸stir.

¸Sekle göre kullanıcıların t1anındaki yerle¸sim planı do˘grultusunda kırmızı ile gösterilen

kullanıcılar kapsanamazken, mavi ile gösterilen kullanıcılar kapsanmaktadır. Bir sonraki periyotta kullanıcıların bazılarının konumları de˘gi¸smi¸s ve t1 periyodunda

kapsanabilen bazı kullanıcılar t2 periyodunda kapsanamamamı¸s, t1 periyodunda

kapsanamayan bazı kullanıcılar ise t2 periyodunda kapsanmaya ba¸slanmı¸stır. Bu

de˘gi¸simler, kullanıcıların ve ˙IHAB˙I’nin konum de˘gi¸sikli˘ginden kaynaklı sinyal kaybı de˘gerindeki de˘gi¸simlerden kaynaklanabilirken, kullanıcı tolerans de˘gerlerinin de˘gi¸siminden de kaynaklanabilmektedir. Bu model kapsamında, kullanıcı konumlarının

(a)

(b)

¸Sekil 5.1: Dinamik tek ˙IHAB˙I’li KHA için farklı periyotlardaki kullanıcı ve ˙IHAB˙I yerle¸siminin temsili gösterimi. (a) t = t1. (b) t = t2.

ve tolerans de˘gerlerinin periyotlar özelinde birbirinden ba˘gımsız oldu˘gu varsayılmı¸stır. Kullanıcılardan elde edilen getiri, kullanıcıların bireysel önem derecesi wi ∈ [0, 1]

ile gerçekle¸sen sinyal kaybı de˘gerine göre belirlenmektedir. µ : Q × S × R ← [0, 1], x ∈ Q konumundaki ˙IHAB˙I ile y ∈ S konumunda ve d toleransına sahip kullanıcı arasındaki getiriyi belirten fonksiyon olmak üzere, bu fonksiyon a¸sa˘gıdaki formül ile hesaplanmaktadır: µ (x, y, d) = mak  0,d− L(x, y) d− L−  . (5.1)

µ fonksiyonu ile hem kullanıcıların ancak tolerans de ˘gerlerinin altında bir sinyal kaybı sa˘glandı˘gında kapsanması, hem de daha az sinyal kaybı sa˘glandıkça getirinin artması sa˘glanmı¸stır. Bu yakla¸sım, daha önce iki boyutlu yerseçim problemlerinde KMKYP olarak adlandırılmı¸s ve farklı uygulama alanlarında gerçek hayatta kar¸sılı˘gı bulundu˘gu gösterilmi¸stir [26]. KHA’lar da bu yakla¸sıma oldukça uygun bir uygulama alanı olarak gösterilmi¸stir. Sinyal kaybı azaldıkça, kullanıcıların daha yüksek ba˘glantı hızlarına ula¸sması sa˘glandı˘gından, kullanıcı getirisinin de daha yüksek olaca˘gı varsayılmaktadır. Literatürde farklı getiri modelleri ele alınmakla birlikte, bu model kapsamında do˘grusal getiri oldu˘gu varsayılmı¸stır. ˙Iki farklı tolerans de˘geri için elde edilen getiri temsili olarak

¸Sekil 5.2’de gösterilmektedir.

˙IHAB˙I servis alanı ve kullanıcıların konumlandırıldı˘gı alanlar sınırlı kabul edildi˘ginden, sinyal kaybı de˘geri de sınırlı olacaktır. Dolayısıyla, gerçek sinyal kaybı de˘gerlerinin olabilecek en küçük ve en büyük sinyal kayıp de˘gerleri, L− ile L+, arasında olabilece˘gi varsayılmı¸stır. Bu do˘grultuda, sinyal kaybı de˘geri, kullanıcının tolerans de˘gerinden az

¸Sekil 5.2: ˙Iki farklı tolerans de˘geri için kullanıcı getirisinin sinyal kaybı de˘gerine göre de˘gi¸simi.

oldu˘gu anda kullanıcıdan getiri elde edilmeye ba¸slanacak ve bu getiri olabilecek en dü¸sük sinyal kaybı de˘gerine dek do˘grusal olarak artacaktır.

5.1.2 Matematiksel model

Bu bölümde, bir önceki bölümde çalı¸sma prensipleri verilen KHA için karma tamsayılı do˘grusal olmayan programlama formülasyonu geli¸stirilmi¸stir. Formülasyona geçmeden, dinamik KHA’larda ˙IHAB˙I’lerin hareket yetene˘gi ile ilgili olarak literatürde ve bu tezde ele alınan teknikler açıklanmaktadır.

˙IHAB˙I’ler hareket kabiliyeti açısından oldukça esnek olmakla birlikte, günümüz batarya ve güç ünitesi teknolojileri ˙IHAB˙I’lerin havada kalma sürelerinin sınırlı kalmasına sebep olmaktadır. KHA tasarımlarında kullanılan ve alçak irtifada (500 m’ye kadar) uçabilen ˙IHA’ların ortalama uçu¸s süreleri 1,5 - 2 saat ile sınırlı kalmaktadır. ˙IHAB˙I’lerde bu süre içerisinde hem ˙IHA hareketi hem de sinyal iletimi, ˙IHA üzerine yerle¸stirilen bataryalarla sa˘glanmaktadır. Bu sınırlı sürede ˙IHAB˙I performansının artırılması amacıyla, ˙IHA hareketinin sinyal iletimine nazaran daha az enerji tüketmesi hedeflenmekte, bu amaçla da farklı metrikler kullanılmaktadır. Ortalama hız, ortalama kat edilen mesafe gibi farklı metrikler kullanılmakla birlikte, bu tezde literatürde de sıklıkla kullanılan toplam kat edilen mesafe kriteri kullanılmı¸stır.

ϒ : QT → R, verilen bir yerle¸sim planına göre kat edilen toplam mesafeyi hesaplayan fonksiyon olmak üzere, ba¸slangıç ve biti¸s konumu, xd₀ ve xd_T+1, bilindi˘gi varsayılan bir ˙IHAB˙I’nin, Xd, yerle¸sim planı için toplam kat edilen mesafe a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bulunabilir: ϒ  Xd= T+1

∑

t=1 ||xd_t − xd_t−1||. (5.2)

˙IHAB˙I’nin hareketi ile kapsama performansı arasındaki denge, υ ∈ [0,1], parametresi ile kontrol edilecektir. Sonuç olarak, a¸sa˘gıdaki P3 karma tamsayılı do˘grusal olmayan

programlama formülasyonu a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanabilir: P3: enb Xd_∈QTΠ(X d_{) = −υϒ}_Xd_{+ (1 − υ)}

∑

t∈Ti∈I

∑

wiµ  xd_t, yit, dit  .

P3 ile ˙IHAB˙I’nin hizmet verdi˘gi süre boyunca toplam getirinin enbüyüklenmesi

amaçlanırken, ˙IHAB˙I hareketlili˘ginin de azaltılması hedeflenmi¸stir. υ = 0 iken, ˙IHAB˙I hareketlili˘gi herhangi bir maliyet olu¸sturmazken, bu de˘gerin 1’e yakla¸sması ˙IHAB˙I’nin daha stabil kullanılmasına neden olacaktır. Nümerik analizlerde, bu de˘gerin çözüm üzerindeki etkisi incelenmi¸stir (bkz. Bölüm 5.3).

µ fonksiyonu içinde yer alan mak operatörünü bertaraf etmek için, i kullanıcısının t periyodunda kapsanıp kapsanmadı˘gını gösteren zit ∈ {0, 1} ikili de˘gi¸skenleri

formülasyona ilave edilebilir. Bu durumda, νit= widit/(dit− L−) ve κit= 1/(dit− L−),

parametreler ve M yeterince büyük bir sabit olmak üzere, P3, a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tekrar

tanımlanabilir: P3: enb Xd_∈QT Z∈Bn×T Π  Xd, Z= −υϒXd+ (1 − υ)

_∑

i∈It∈T

∑

 νitzit− κitzitL  xd_t, yu_it öyle ki Lxd_t, yu_it− dit ≤ M(1 − zit), i∈ I,t ∈ T . (5.3)

Yukarıdaki formülasyonun amaç fonksiyonunda z ve L de˘gi¸skenlerinin çarpımı bulunmaktadır. Bu çarpımı do˘grusalla¸stırmak için, sit ≥ 0 yardımcı de˘gi¸skenleri

formülasyona dahil edilmi¸s ve P3’ün son hali a¸sa˘gıda verilmi¸stir:

P3: enb Xd∈QT_,Z∈Bn×T S∈Rn×T+ Π  Xd, Z, S= −υϒXd+ (1 − υ)

_∑

i∈It∈T

∑

(νitzit− κitsit) öyle ki (5.3), sit ≤ Mzit, i∈ I,t ∈ T (5.4) s_it ≤ Lx_td, yu_it, i ∈ I,t ∈ T (5.5) L  xd_t, yu_it− M(1 − zit) ≤ sit, i ∈ I,t ∈ T . (5.6)

Yukarıdaki formülasyon ile z de˘gi¸skeni 0 oldu˘gunda (5.4) kısıtı aktif hale gelecek ve s de˘gi¸skeni de 0 de˘gerini alacaktır. z de˘gi¸skeni 1 oldu˘gunda ise (5.5) ve (5.6) kısıtları aktif hale gelecek s de˘gi¸skeni L fonksiyonunun de˘gerine e¸sit olacaktır. Bu formülasyon, L fonksiyonunun konveks ve do˘grusal olmaması nedeniyle çözümü zor problemler ailesine aittir. Bir sonraki bölümde, daha kısa sürede etkin çözümler üretilmesi amacıyla, ilk olarak Lagranj gev¸setmesi yoluyla bir ayrı¸stırma algoritması sonrasında SY tekni˘gi ile yeni bir çözüm yakla¸sımı geli¸stirilmi¸stir.

Belgede İnsansız hava aracı baz istasyonlarının 3 boyutlu yerseçim ve kaynak atama problemlerinin optimizasyonu (sayfa 97-102)