Kesikli 3KYP

˙Ilk olarak ˙IHAB˙I’lerin yerle¸stirilebilece˘gi alternatif konumların bilindi˘gi Kesikli 3KYP (3KYP-K) ele alınmı¸stır. Klasik KYP’lere benzer ¸sekilde bu problem için de Q içerisinde sabit bazı noktaların ˙IHAB˙I yerseçimine uygun oldu˘gu ve bu noktaların problem çözümünden önce bilindi˘gi varsayılmaktadır. Bu alternatif noktalar Q0 = {qj⊆ Q, j = 1, . . . , Q} kümesi ile gösterilmektedir. Bu küme içerisindeki her noktanın

koordinatı bilindi˘ginden problem çözülmeden herhangi bir kullanıcıyı kapsama ihtimali olan alternatif noktaların kümesi olu¸sturulabilir. Bu sayede problemin karar de˘gi¸skenlerinin sayısının azaltılması amaçlanmaktadır. Bu do˘grultuda, her kullanıcı i ∈ I için bu kullanıcıyı kapsayabilecek ˙IHAB˙I konumlarının kümesi Si= { j : f (ri j, hi j) ≤

di} ile belirlenmi¸stir. Bununla birlikte, a¸sa˘gıdaki ikili karar de˘gi¸skenleri tanımlanmı¸stır:

z_{i j}=   

1 ikullanıcısı j noktasındaki bir ˙IHAB˙I tarafından kapsandıysa 0 di˘ger durumlarda

t_j=   

1 jnoktasına bir ˙IHAB˙I yerle¸stirildiyse 0 di˘ger durumlarda

Kullanıcılardan elde edilecek getirinin, kullanıcıya sunulan hizmet seviyesine ba˘glı olarak, daha iyi hizmet verilmesi halinde daha iyi kapsama seviyesi elde edilecek ¸sekilde belirlenece˘gi varsayılmı¸stır. Bu tarz kapsama seviyeleri, KMKYP’de tanımlanmı¸s ve klasik yerseçim problemlerindeki yalnızca kapsanır ya da kapsanmaz kararlarındansa hizmet seviyesine göre de˘gi¸sen kapsama seviyelerinin belirlenmesine olanak sa˘glamaktadır. Bu do˘grultuda, g : R → [0, 1] fonksiyonu hizmet seviyesi f oldu˘gunda elde edilecek kapsama seviyesini, fi j = f (ri j, hi j), i kullanıcısının j

noktasındaki ˙IHAB˙I’den aldı˘gı hizmet seviyesini, wi, i kullanıcısının getiri de˘gerini

göstermek üzere, i kullanıcısından elde edilen getiri ¸su ¸sekilde hesaplanmaktadır:

w_i=    w_ig( fi j) e˘ger fi j ≤ diise, 0 di˘ger durumlarda.

Getiri fonksiyonunda kullanılan g fonksiyonunun klasik yerseçim problemlerinde do˘grusal [21] ya da do˘grusal olmayan [25] fonksiyonlarla ifade edildi˘gi çalı¸smalar mevcuttur. Bu fonksiyonla ilgili önemli husus, bu fonksiyonun de˘gerinin hizmet seviyesindeki azalmaya ba˘glı olarak monoton azalması ve en iyi hizmet seviyesinde 1, en kötü hizmet seviyesinde 0 de˘gerini almasıdır.

Sonuç olarak, yerle¸stirilecek ˙IHAB˙I sayısı, p, bilindi˘ginde 3KYP-K a¸sa˘gıdaki ¸sekilde

ifade edilebilir: 3KYP-K: enb Z∈Bn×Q t∈BQ

∑

∑

∑

∑

3KYP-K’da, amaç fonksiyonu toplam kapsama getirisini enbüyüklerken, (4.1) nolu kısıt kullanıcıların ancak kendilerini kapsayabilecek bir noktaya ˙IHAB˙I yerle¸stirilmesi durumunda kapsanabilece˘gini, (4.2) nolu kısıt her bir kullanıcının en fazla bir ˙IHAB˙I tarafından kapsanabilece˘gini, (4.3) nolu kısıt ise tam olarak p tane ˙IHAB˙I’nin yerle¸stirilmesini sa˘glamaktadır. 3KYP-K’da toplam Q(n + 1) ikili de˘gi¸sken ve n(Q + 1) + 1 kısıt bulunmaktadır.

[90], 2 boyutlu KYP için optimal çözümün, her bir kullanıcının kendisi ile kullanıcıyı kapsayabilecek alternatif tesis noktalarını içeren ve NIPS adını verdi˘gi kesi¸sim kümesinde olaca˘gını göstermi¸stir. Di˘ger bir deyi¸sle, herhangi bir optimal çözümde NIPSiçerisinde yer almayan bir noktaya tesis yerle¸stirilmesi durumunda, mutlaka NIPS içinden alternatif bir nokta bu nokta ile de˘gi¸stirilerek en az bu çözümün amaç fonksiyon de˘geri elde edilebilmektedir. Ancak, 3KYP-K için yükseklik boyutunun da çözüme dahil edilmesi gerekmektedir. Bu amaçla NIPS’e benzer bir yakla¸sımla ˙IHAB˙I yerseçim problemi için bir küme olu¸sturulabilir.

Q0’ın sınırlı bir küme olmasından hareketle, her biri ayrık bir yükseklik de˘gerini içerecek ¸sekilde l tane alt küme olu¸sturulabilir, d.d. Q0_k = {qj ∈ J : hj =

h_k}, ∪_k={1,...,l}Q0_k= Q0. Dolayısıyla her bir kullanıcı için her bir yükseklik seviyesi l’de kapsamayı sa˘glayan noktalardan olu¸san kümeler yalnızca yatay mesafeler baz alınarak olu¸sturulabilir. r−_ik= arg min_r∈Rf(r, h|h = h_k) ve r+_ik= arg mak_r∈Rf(r, h|h = h_k) kullanıcı i’yi hk yüksekli˘ginde kapsayabilecek en küçük ve en büyük yatay mesafeler olmak

üzere, bu küme her bir kullanıcı için Sk_i = { j ∈ Q0_k: r_ik−≤ ri j≤ r_ik+} ile ifade edilebilir. Bu

kümelerin tüm kullanıcı ve yükseklik de˘gerleri üzerinden birle¸simini Ω = ∪i∈I.k=1,...,lSki

ile ifade edebiliriz.

Teorem 4.1. 3KYP-K’nın optimal çözümlerinden en az biri Ω içinden bulunabilir. ˙Ispat. Herhangi bir optimal çözümde Ω içinde olmayan bir noktanın, γ ∈ Q0_{, yer}

Ω kümesinde olmadı ˘gından hiçbir Sk_i kümesinde de yer almamaktadır ve bu γ tarafından hiçbir kullanıcının kapsanamayaca˘gını gösterir. Dolayısıyla, bu noktanın amaç fonksiyonuna katkısı sıfırdır ve γ’nın Ω içerisinde yer alan bir nokta ile de˘gi¸stirilmesi amaç fonksiyonu de˘gerini dü¸sürmeyecektir. Bu do˘grultuda, Ω kümesinde yer almayan bütün noktalar, tüm noktalar Ω kümesinde yer alana kadar bu küme içerisinden bir nokta ile de˘gi¸stirilebilir ve aynı ya da daha iyi amaç fonksiyonu de˘geri elde edilmi¸s olur.

¸Sekil 4.2, I = {(1, 1), (4, 2)}, w1 = w2 = 1, d1 = d2 = 45, Q0 = {(x, y, h) :

x = {0, . . . , 4}, y = {0, . . . , 4}, h = {2, 4}} ve f (r, h) = 45 −360_π arctan(h_r)− 90 verileriyle tanımlanan örnek bir problem için olu¸sturulan Ω kümesini göstermektedir. f fonksiyonuna göre kullanıcıların kapsanması için ˙IHAB˙I ile olan açının en fazla 45◦ olması gerekmektedir. f , kullanıcı ile alternatif nokta arasındaki açı 22, 5◦ oldu˘gunda en dü¸sük de˘gerini almakta di˘ger tüm açılar için monoton artmaktadır. Teorem 4.1’e göre Ω kümesinde yer alan noktalar iki farklı yükseklik de˘geri için gösterilmi¸stir. Daireler sadece 1. kullanıcıyı, üçgenler sadece 2. kullanıcıyı, kareler ise her iki kullanıcıyı da kapsayan noktaları göstermektedir. Bu noktalardaki amaç fonksiyon de˘gerleri incelendi˘ginde (4,0,2) noktası (kırmızı kare) 157,19 amaç fonksiyon de˘geri ile optimal sonucu vermektedir.

Teorem 4.1, tüm alternatif noktaların kombinasyonlarından olu¸san olası bir çözüm kümesindense daha az sayıda olurlu çözümün oldu˘gu bir küme olu¸sturularak optimal çözümün daha hızlı bulunmasına yardımcı olmaktadır. ¸Sekil 4.2’deki örnek için tüm noktaların de˘gerlendirilmesi 50 farklı noktayı içerirken Ω kümesinde 30 nokta

(a) (b)

¸Sekil 4.2: 3KYP-K örnek problemi için olurlu çözümlerin gösterimi. (a) h = 2. (b) h = 4.

bulunmaktadır. En kötü durumda tüm noktalar için kar¸sıla¸stırma yapılırsa, t =_(Q−p)!p!Q! bu noktaların sayısını göstermek üzere, ilk olarak her bir noktanın amaç fonksiyonunun de˘gerlendirilmesi sonrasında da bu de˘gerler arasından en büyü˘günün bulunması için O(t log(t)) sürede optimal çözüm bulunabilir. [90] 2 boyutlu KYP için NIPS kümesinin tüm noktalara göre çok daha az sayıda nokta içerdi˘gini empirik testlerle göstermi¸s olsa da, alternatif nokta sayısının yüksek oldu˘gu durumlarda bu tarz bir çözüm yönteminin uzun sürebilece˘gi unutulmamalıdır.