Matematiksel model

3KYP-S için 3KYP-K’ye benzer ¸sekilde kapsama kararları f fonksiyonu yardımı ile verilmektedir. Bu do˘grultuda, klasik KYP’lerde iki boyutlu düzlem için tanımlanan kapsanan kullanıcılar kümesi, C(Xd), üç boyutlu uzaya uygun ¸sekilde C(Xd) = {i ∈ I : ∃ j | f (ri j, hi j) ≤ di, j ∈ J } gösterilebilir. ˙IHAB˙I sayısı, p, bilindi˘ginde, 3KYP-S ¸su

¸sekilde formüle edilebilir:

3KYP-S: enb

Xd_∈Qp

∑

i∈C(Xd₎

w_i(Xd)

Bu formülasyonda, fi = minj=1,...,pf(ri j, hi j), i kullanıcısına ˙IHAB˙I’ler tarafından

sunulan en iyi hizmet seviyesini göstermek üzere, amaç fonksiyonunda her bir kullanıcıya ait getiri ¸su ¸sekilde hesaplanmaktadır:

wi(Xd) =    wig( fi) , fi≤ di 0 , di˘ger durumlarda

Drezner [91], iki boyutlu düzlemdeki klasik sürekli KYP için optimal çözümün, klasik kesikli KYP için geli¸stirilen NIPS kümesine benzer bir kesi¸sim kümesinde bulunabilece˘gini göstermi¸stir. NIPS’ten farklı olarak, kesi¸sim kümesi, her bir kullanıcının kapsanabilece˘gi en uzun mesafeyi yarıçap kabul eden dairelerin kesi¸sim noktalarından olu¸smaktadır. Herhangi bir kullanıcı etrafına çizilen daire ba¸ska bir daire ile kesi¸smiyorsa noktanın kendisi kesi¸sim kümesine eklenmektedir. Ancak, bu teorem

f’nin mesafeye göre monoton azalan oldu˘gu modeller için geçerli olmakta, dolayısıyla 3KYP-S için uygulanamamaktadır. Örne˘gin, bir kullanıcı için bir ˙IHAB˙I’nin yerseçim problemi dü¸sünüldü˘günde, bu teoreme göre, kullanıcının bulundu˘gu noktaya tesisin yerle¸stirildi˘gi çözüm optimal çözüm olacaktır. Ancak, 3KYP-S’de ˙IHAB˙I yüksekli˘gi sabitlense dahi ˙IHAB˙I ile kullanıcı arasındaki yatay mesafenin r∗ > 0 oldu˘gu nokta optimal çözümü vermektedir. Bu nedenle, 3KYP-S’nin optimal çözümü için yeni bir yakla¸sım gerekmektedir.

Her kullanıcı için kendisini kapsayabilecek tüm noktalar, Φi= {(r, h ∈ R+) : f (r, h) ≤

d_i} kümesi ile gösterilebilir. Bu küme vasıtasıyla a¸sa˘gıdaki sonuç optimal çözümün bulunması için kullanılacaktır.

Önerme 4.2. di’nin bilindi˘gi ve f(r, h)’nin tek modlu oldu˘gu varsayımı altında, Φi

kapalı ve sınırlı kümelerin kombinasyonu ile ifade edilebilir.

˙Ispat. ˙Ispat için geometrik gösterimlerden yola çıkılabilir. f (r, h)’nin tek bir ekstrem noktası oldu˘gu bilindi˘ginden, kontur grafi˘ginde hiçbir konturun birbiri ile kesi¸smemesi gerekmektedir. Aksi halde ikinci bir ekstrem nokta olması gerekir ki bu da tek modlu varsayımına aykırılık olu¸sturmaktadır. Bununla birlikte fonksiyonun en küçük de˘gerini aldı˘gı noktadan uzakla¸stıkça kontur de˘gerleri de monoton artacaktır. Aksi halde ba¸ska bir noktada daha tepe noktası olması gerekir ki bu da yine tek mod varsayımına kar¸sı olacaktır. Bir kontur üzerindeki tüm noktalar sürekli bir e˘gri ile ifade edildi˘ginden belirli bir di için f (r, h) = di olan yalnızca bir kontur e˘grisi bulunacaktır. Φi, tanımı gere˘gi

f(r, h) ≤ di¸sartını sa˘glayan tüm bu konturları içerece˘ginden, kapalı kümelerin birle¸simi

de kapalı bir küme olacaktır.

¸Sekil 4.3, f (r, h) = 1 − (r − 0, 5)2+ (h − 0, 5)2fonksiyonunun (r, h) ∈ [0, 1] için kontur grafi˘gini göstermektedir. Bu fonksiyon, (r, h) = (0.5, 0.5) için maksimum de˘geri 1’e ula¸smakta di˘ger tüm de˘gerler için monoton azalmaktadır. Örne˘gin di = 0.9 olan bir

kullanıcı için de˘geri 0.9 olan kontur dahil konturun içinde kalan herhangi bir r ve h de˘gerine sahip noktaya yerle¸stirilen ˙IHAB˙I bu kullanıcıyı kapsayabilir. Dolayısıyla, bu kullanıcının kapsama kümesi bu kontur da dahil olmak üzere bu konturun çevreledi˘gi alan ile tanımlanabilir. Bu alan da kapalı bir kümedir.

Önerme 4.3. h bilindi˘ginde, Φi’nin iz dü¸sümü bir çember ya da bir halka ile

gösterilebilir.

˙Ispat. Lemma 4.2 kullanılarak Φi’nin alanının tek bir kontur ( f (r, h) = di) ile

maksimum yapılaca˘gı görülebilir. Performans göstergesinin d’ye e¸sit oldu˘gu kontur, C_d= {(r, h) : f (r, h) = d} ile, her kullanıcı için kendisini kapsayabilecek tüm konturları

0.6 0.7 0.7 0.7 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 h

¸Sekil 4.3: Tek modlu bir fonksiyon için örnek kontur grafi˘gi.

içeren küme, Ci= {Cd: i ∈ I, d ≤ di} ile gösterilebilir. h bilindi˘ginde, Φi’nin izdü¸sümü

R_{i(h) = { ¯r ∈ R : ¯r = (Ci})−1

h} de˘gerleri kullanılarak ifade edilebilir. ¯r de˘gerleri

aslında, h de˘gerine ba˘glı olarak kontur grafi˘ginde r eksenine paralel çizilen çizginin ilgili konturla kesi¸sti˘gi noktalardaki de˘gerleri ifade etmektedir. Bu durumda üç farklı durum ortaya çıkabilir:

1. Kesi¸smeme: Bu durumda kullanıcı, ˙IHAB˙I’nin bu yüksekli˘ginde kapsanamaz, d.d. Ri(h) = /0.

2. Tek noktada kesi¸sme: Bu durumda tek bir ¯r de˘geri mevcuttur ve bu yükseklikte yarıçapı ¯r olan çember üzerindeki herhangi bir noktaya yerle¸stirilen ˙IHAB˙I kullanıcıyı kapsayabilir.

3. ˙Iki noktada kesi¸sim: Bir çizgi ile bir elips en fazla iki noktada kesi¸sebilece˘ginden R_i(h) en fazla iki farklı yatay mesafe de˘geri içerebilir. δ1ve δ2, (δ1< δ2), bu iki

mesafe de˘gerini göstermek üzere, bu yükseklikte iç yarıçapı δ1, dı¸s yarıçapı δ2

olan halka içine yerle¸stirilen ˙IHAB˙I kullanıcıyı kapsayabilir.

¸Sekil 4.4, Lemma 4.3’te belirtilen farklı durumları temsili olarak göstermektedir. Örnek kontur grafi˘ginde iki farklı yükseklik için kesi¸sim olan farklı yatay mesafe de˘gerleri gösterilmi¸stir. h1yüksekli˘ginde Lemma 4.3’te belirtilen ikinci durum, h2yüksekli˘ginde

(a)

(b) (c)

¸Sekil 4.4: Sabit ˙IHAB˙I yüksekli˘ginde gerçekle¸sebilecek kapsama alanı izdü¸sümleri. (a) Örnek kontur grafi˘gi. (b) h = h1. (c) h = h2.

ise üçüncü durum gerçekle¸smektedir. Tüm bu çıkarımlar ı¸sı˘gında 3KYP-S’nin optimal çözümü için a¸sa˘gıdaki teorem verilmi¸stir.

Teorem 4.4. Γi j= Φi∩ Φj,∀i, j ∈ I noktaları için kapsama alanlarının kesi¸sim kümesi

ve P= {Φi: Γi j= /0, i ∈ I, j ∈ I − {i}}, kapsama alanı ba¸ska hiçbir noktanın kapsama

alanı ile kesi¸smeyen noktaların kümesini göstermek üzere, 3KYP-S’nin en az bir optimal çözümü Φ = P ∪ [∪i, j∈IΓi j] kümesi içindedir.

˙Ispat. Teorem 4.1 ile benzer ¸sekilde ispat yapılabilir. Herhangi bir optimal çözümde Φ kümesinde olmayan bir ˙IHAB˙I hiçbir kullanıcıyı kapsamamaktadır. Dolayısıyla, bu tesisi Φ kümesinden bir nokta ile de˘gi¸stirmek amaç fonksiyonu de˘gerini dü¸sürmeyecektir. Sonuç olarak, tüm tesisler Φ kümesi içinde olana dek bu de˘gi¸simler yapılarak tüm tesislerin Φ kümesi içinde oldu˘gu bir optimal çözüm bulunabilir.

Her ne kadar Teorem 4.4 3KYP-S’nin optimal çözümünü garanti etse de özellikle Γi j

kümelerini tanımlamak konveks ve monoton olmayan f fonksiyonları için oldukça zor olabilecektir. Sonraki bölümde f ’nin bazı özel durumlarına göre bu kümelerin nasıl olu¸sturulabilece˘gi gösterilmi¸stir.