5. D˙INAM˙IK YERSEÇ˙IM PROBLEMLER˙I
5.2 Çözüm Yöntemi
5.2.1 Lagranj ayrı¸stırma algoritması
Orijinal formülasyon, P3’te, kısıt kümesinde L fonksiyonunu içeren (5.3), (5.5) ve
(5.6) nolu kısıtlar ρ, ϑ ve ϕ dual de˘gi¸skenleri ile amaç fonksiyonuna ta¸sındı˘gında, ω1,it= (νit− M(ϑit+ ϕit)), ω2,it= (−κit− ρit+ ϑit), ω3,it= (ρit− ϑit− ϕit) ve ω4,it =
(M(ϑit+ ϕit) + ϕitdit), olmak üzere, Lagranj problemi a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlanabilir:
PL3 : enb Xd∈QT ,Z∈Bn×T S,ρ,ϑ ,ϕ∈Rn×T+ ΠL(Xd, Z, S, ρ, ϑ , ϕ) = −υϒ Xd + (1 − υ)
∑
t∈Ti∈I∑
ω1,itzit+ ω2,itsit+ ω3,itL
xdt, yuit+ ω4,it
öyle ki (5.4).
PL3, dual de˘gi¸sken de˘gerleri sabitlendi˘ginde ilki Z ve S de˘gi¸skenleri, ikincisi Xd de˘gi¸skenleri için çözülecek iki ayrı alt probleme dönü¸stürülebilir. Bu alt problemler a¸sa˘gıda PL,13 ve PL,23 formülasyonları ile gösterilmi¸stir.
PL,13 : enb Z∈Bn×T,S∈Rn×T + ΠL,1(Z, S) = (1 − υ)
∑
t∈Ti∈I∑
(ω1,itzit+ ω2,itsit) öyle ki (5.4). PL,23 : enb Xd∈QTΠL,2(X d) = −υϒXd+ (1 − υ)∑
t∈Ti∈I∑
ω3,itL xdt, yuit.PL,13 , gözlem yoluyla çözülebilen nispeten kolay bir problemdir. Amacı enbüyüklemek oldu˘gu için, de˘gi¸skenlerin amaç fonksiyonundaki katsayıları pozitif oldu˘gu sürece ilgili de˘gi¸skenin alabilece˘gi en yüksek de˘geri alması uygun olacaktır. Bu do˘grultuda, parametre de˘gerlerine göre optimal çözüm elde etme yöntemi Çizelge 5.2’de verilmi¸stir. Her iki parametrenin negatif olması durumunda hem z hem de s de˘gi¸skeni 0 de˘gerini alacak ve optimal amaç fonksiyon de˘geri de 0 olacaktır. ω1parametresi negatif olmadı˘gı
sürece z de˘gi¸skeni alabilece˘gi en yüksek de˘ger olan 1 de˘gerini alırken, bu durumda, s de˘gi¸skeni e˘ger ω2 negatif de˘gilse alabilece˘gi en yüksek de˘ger olan M de˘gerini aksi
halde 0 de˘gerini alacaktır. ω1’in negatif, ω2’nin pozitif olması durumunda iki durum
söz konusudur. E˘ger z = 1 ve s = M durumu amaç fonksiyon de˘gerini artırıyorsa, de˘gi¸skenler bu de˘gere, aksi halde iki de˘gi¸sken de 0 de˘gerine atanacaktır.
Çizelge 5.2: Lagranj gev¸setmesi sonrası elde edilen birinci alt problemin, PL,13 , optimal çözümü.
ω1,it ω2,it zit sit Kıstas
≥ 0 ≥ 0 1 M -
≥ 0 < 0 1 0 -
< 0 ≥ 0 1 M ω1,it+ Mω2,it≥ 0
0 0 ω1,it+ Mω2,it< 0
< 0 < 0 0 0 -
PL,23 formülasyonu, PL3’ye göre nispeten daha kolay çözülebilir olsa da problemin konveks olmayan yapısı halen korundu˘gundan yine de zor bir problemdir. Bu sebeple, bu ikinci alt problem için ilave bir gev¸setme stratejisi olarak sinyal kaybı fonksiyonunda bu konveks olmama durumuna sebep olan PLoS fonksiyonu tüm kullanıcılar için 1
varsayılmaktadır. Bu varsayım ile çözümün olursuz olma ihtimali do˘gmasına kar¸sın, bu olursuzluktan kurtulmak adına, Lagranj gev¸setmesinden elde edilen sonuçlar tekrar orijinal problemde de˘gerlendirilerek kontrol edilmektedir. Bu durumda, sinyal kaybı ˙IHAB˙I ile kullanıcı arasındaki mesafenin logaritmik bir fonksiyonu olacaktır, d.d. ˜L(x, y) = A + B + η log10e(x, y). Bu durumda, O = ∑t∈T ∑i∈Iω3,it(A + B) ve ω5,it =
η ω3,it, olmak üzere, gev¸setilmi¸s P L,2
3 a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanabilir:
˜PL,23 : enb Xd∈QT ˜ ΠL,2(Xd) = O − υϒ Xd+ (1 − υ)
∑
t∈Ti∈I∑
ω5,itlog10dit.˜PL,23 ’de, O de˘geri problem çözümünde bir etkisi olmadı˘gından, çözümden sonra amaç fonksiyonuna eklenebilir. Ayrıca, ω5 parametreleri pozitif ya da negatif olabilir. It+
ve It−, sırasıyla, ω5,·t parametresinin negatif olmayan ve negatif oldu˘gu kullanıcıların
kümesi olmak üzere, d.d. It+ = {i : ω5,it ≥ 0} ve It− = {i : ω5,it < 0}, ˜P L,2
3 , a¸sa˘gıdaki
gibi tekrar yazılabilir: ˜PL,23 : enb Xd∈QT ˜ ΠL,2(Xd) = −υϒ Xd+ (1 − υ)
∑
t∈Ti∈I∑
+ t ω5,itlog10dit + (1 − υ)∑
t∈Ti∈I∑
− t ω5,itlog10dit.˜PL,23 ’nin bu yeniden düzenlenmi¸s halinde, amaç fonksiyonunun ilk terimi her biri konveks olan öklid mesafelerinin toplamının negatifi oldu˘gundan konkav bir terimdir. ˙Ikinci terim de logaritmanın konkav bir fonksiyon olmasından dolayı konkav fonksiyonların toplamı olaca˘gından konkav bir fonksiyondur. Dolayısıyla, ilk iki terimin toplamı konkavdır. Son terimde yer alan ω5 de˘gerleri negatiftir.
Dolayısıyla, negatiflik i¸sareti toplamın dı¸sına alındı˘gında, konkav bir fonksiyondan 82
konkav ba¸ska bir fonksiyonun çıkarılması ile hesaplanan bir amaç fonksiyonu elde edilmi¸s olur. Bu durum, literatürde sıklıkla kullanılan “Konveks Fonksiyonların Farkı” programlama yöntemleri ile ele alınmaktadır [100]. ˜PL,23 kapsamında amaç enbüyüklemek oldu˘gundan, bu formülasyon, “Konkav Fonksiyonların Farkı” (KFF), olarak ele alınmı¸stır.
Yukarıda detayları verilen Lagranj ayrı¸stırma tekni˘gi ile orijinal problem nispeten daha kolay çözülebilir hale gelmektedir. Bu tekni˘ge dayanarak geli¸stirilen LAA, Algoritma 8 ile özetlenmi¸stir. Algoritma, belirli sayıda adım boyunca (mak_iter), her bir k adımında PL,13 ve ˜PL,23 formülasyonlarının, de˘gerleri sabitlenmi¸s ρ, ϑ ve ϕ dual de˘gi¸skenleri kullanılarak ardı¸sık ¸sekilde çözülmesini, bu çözümlerden elde edilen ve orijinal probleme bir üst sınır olu¸sturan amaç fonksiyon de˘geri ile bu çözümlerden elde edilen karar de˘gi¸skeni de˘gerlerinin orijinal problemde yerine konmasıyla elde edilen alt sınır de˘gerlerinin takibini gözetmektedir. Algoritma adımları sırasında bu alt ve üst sınır de˘gerleri e¸sitlendi˘gi takdirde optimal sonuç bulunmu¸s olur. Aksi takdirde, dual de˘gi¸skenler alt-gradyan tekni˘gi ile güncellenerek bir sonraki adıma geçilmektedir. Alt-gradyan tekni˘gi, Lagranj gev¸setmesi uygulanan problemlerde sıklıkla kullanılan bir tekniktir. Bu teknik ile, her de˘gi¸sken iki farklı de˘gerin çarpımı kullanılarak güncellenmektedir. Bu çarpımdaki birinci de˘ger, gev¸setilmi¸s problemin amaç fonksiyonuna göre ilgili de˘gi¸skenin gradyan de˘gerinin di˘ger tüm de˘gi¸skenlerin gradyan de˘geri ile normalize edilmi¸s de˘geri, ikinci de˘ger ise sistematik ¸sekilde küçültülen bir Algoritma 8 Lagranj Ayrı¸stırma Algoritması.
Girdi: Q, Yu, D, w, mak_iter.
1: ρ , ϑ , ϕ de ˘gi¸skenlerini rasgele belirle. k ← 0, Πüst← +∞.
2: Geçerliyken k < mak_iter yap
3: ρ , ϑ , ϕ de ˘gerlerini kullanarak, Zk ve Sk de˘gi¸skenlerinin de˘gerlerini belirle (bkz.
Çizelge 5.2) 4: Xdk= arg mak Xd∈QT ˜ ΠL,2(Xd). 5: E˘ger ΠL Xdk, Zk, Sk, ρ, ϑ , ϕ < Πüstise 6: Πüst← ΠL Xdk, Zk, Sk, ρ, ϑ , ϕ 7: Bitir E˘ger 8: E˘ger Πüst= Π (Xk, Zk, Sk) ise 9: B˙IT˙IR 10: De˘gilse
11: ρ , ϑ , ϕ de ˘gerlerini alt-gradyan tekni˘gi ile güncelle
12: Bitir E˘ger
13: k← k + 1.
14: Bitir Geçerliyken 15: Çıktı: Πüst
parametredir. Bu parametre, genellikle 2 de˘geri ile ba¸slayıp, gev¸setilmi¸s problemin çözümünün iyile¸stirilemedi˘gi belirli bir adım sayısı sonrasında yarısına indirilmektedir. LAA için de aynı yöntem uygulanmı¸stır.
LAA’nın çözüm üretmesinin dı¸sında di˘ger bir faydası da algoritma boyunca orijinal problemin amaç fonksiyonu için alt ve üst sınır de˘gerlerinin izlenebilmesidir. Gev¸setilmi¸s problemin amaç fonksiyonu, orijinal probleme bir üst sınır sa˘glarken, bu problemin çözümü ile elde edilen yerseçim planı, orijinal probleme uygulandı˘gında elde edilen amaç fonksiyon de˘geri bir alt sınır vermektedir. Dolayısıyla, LAA’nın her bir adımında alt ve üst sınırlar arasındaki fark izlenerek, orijinal amaç fonksiyon de˘geri için bir aralık da belirlenebilecektir.