Heterojen durum

Heterojen durumda, homojen durumdan farklı olarak w ve d de˘gerlerinin y ∈ S ve t _{∈ R’ye ba˘glı olarak de˘gi¸sebilece˘gi varsayılmı¸stır. Bu durumda, farklı zamanlarda} farklı talep de˘gerleri olu¸saca˘gı için ˙IHAB˙I hareketlili˘gi de önem kazanacaktır. Heterojen durumun çözümü için, ilk olarak ˙IHAB˙I hareketlili˘ginin göz ardı edildi˘gi bir formülasyon geli¸stirilmi¸s, sonrasında bu formülasyonun iyile¸stirilmesi amacıyla ˙IHAB˙I hareketlili˘ginin modele dahil edildi˘gi bir arama algoritması geli¸stirilmi¸stir.

[107], zaman boyutunun dahil edildi˘gi problemlere SY tekni˘gi uygulandı˘gında, tüm planlama ufkunun sınırlı sayıda periyota bölünerek kesikli hale getirilmesinin ve parametre de˘gerlerinin bu periyotların her birinin tam ortasındaki de˘gerlerle yakınsanmasının problemlerin çözüm kalitesi açısından önemli bir de˘gi¸sikli˘ge yol açmadı˘gını göstermi¸stir. Bu tezde de benzer bir yakla¸sım kullanılmı¸stır.

Bu do˘grultuda, tüm planlama ufku, her biri e¸sit sürelerde olacak T periyoda bölünebilir. ˙IHAB˙I hareketlili˘gi ba¸slangıçta göz ardı edildi˘ginden, ˙IHAB˙I yerseçimi, her bir t ∈ T periyodu özelinde ayrı ayrı yapılabilir. τt, t ∈ T periyodunun orta noktasını, ι, ise her

periyotun uzunlu˘gunu göstermek üzere, y ∈ S noktasının t periyodundaki parametre de˘gerleri w(y, τt) ve d(y, τt) ile yakınsanabilecektir. Bu de˘gerler, her y ∈ S noktası

için her t ∈ T periyodunda farklılık gösterebilecektir. Bununla birlikte, her y ∈ S noktasındaki parametre de˘gerleri farklı olaca˘gından bu noktalar etrafındaki kapsama alanlarının da farklı olması beklenmektedir. Dolayısıyla, homojen durumdan farklı

olarak, heterojen durumdaki kapsama alanı A(h) ile de˘gil, A(y, h) fonksiyonu ile bulunabilir. Bu durumda, t ∈ T periyodu özelindeki optimal ˙IHAB˙I yüksekli˘gi ve kapsama alanı a¸sa˘gıdaki formülasyon ile bulunabilir.

enb

y∈S,h≥0 A(y,h)≥0

Πt(y, h, A(y, h)) = w(y, τt)A(y, h)

d(y, τt) − L(h)(2/3)

p

A(y, h)/π d(y, τt) − L−

. (5.9)

Yukarıdaki formülasyon, her bir y ∈ S özelinde homojen durumda izlenen yol ile kolaylıkla çözülebilir. Buradaki tek fark, homojen durumda her noktada aynı olaca˘gı varsayılan parametrelerin, her nokta için ilgili noktanın kendi parametresi ile de˘gi¸stirilecek olmasıdır. Her y ∈ S için elde edilen optimal çözümün amaç fonksiyon de˘geri Πt(y, h, A∗(y, h)) ile gösterilmek üzere, bu de˘gerlerden en yükse˘gi veren y

noktası h yüksekli˘gi için ˙IHAB˙I kapsama alanının t periyodundaki merkez noktası kabul edilebilir. Bu nokta y∗_t(h) ile gösterilmek üzere, yükseklik özelinde bir çizgi arama algoritması ile en iyi çözümü veren h yüksekli˘gi de bulunabilir. Sonuç olarak, bu yükseklik, h∗_t ile gösterilmek üzere, heterojen durumdaki ˙IHAB˙I konumu x_t∗= (y∗_t, h∗_t), amaç fonksiyon de˘geri ise Π∗_t = ι × Πt(y∗t, ht∗, A∗(y∗t, ht∗)) ile bulunmu¸s olur. Tüm

periyotların amaç fonksiyonun de˘gerlerinin toplamı ile bu periyotlardaki x∗_t konumları SY modelinin heterojen durum için amaç fonksiyon de˘gerini ve ˙IHAB˙I yerseçim stratejisi, X∗verecektir, d.d. Π∗= ∑t∈T Πt∗, X∗= {x∗t}t∈T.

˙IHAB˙I hareketlili˘ginin amaç fonksiyonuna etkisi göz ardı edildi˘ginden yukarıdaki süreç, her bir periyot için birbirinden uzak noktalarda ˙IHAB˙I konumları ile sonuçlanabilir. Bu durumu iyile¸stirmek için, her adımında rasgele ya da birbirine en uzak iki periyot konumu seçilen ve bu iki konum üzerinden de˘gerlendirme yapılan bir arama algoritması geli¸stirilmi¸stir. Algoritma 9, geli¸stirilen algoritmayı özetlemektedir. X∗ ve Π∗, heterojen durum ile ilgili yukarıdaki süreç sonunda elde edilen ˙IHAB˙I yerseçim stratejisi ve bu strateji sonucunda elde edilen amaç fonksiyon de˘geri olmak üzere, arama algoritmasının her bir adımında ilk olarak P olasılıkla rasgele iki periyot, 1 − P olasılıkla birbirine en yakın iki ˙IHAB˙I konumu seçilmekte, daha sonra bu ˙IHAB˙I konumları belirli bir Ψ mesafesi kadar birbirine yakınla¸stırılmaktadır. Bu yakınla¸stırma sonrası, orijinal amaç fonksiyonu de˘geri yükseldiyse {x_t∗} stratejisi bu yeni de˘gerlerle güncellenmekte aksi takdirde yeni bir seçim de˘gerlendirmesi için algoritma bir sonraki adıma geçmektedir. Art arda mak_arama adımında iyile¸stirme olmadı˘gında algoritma sonlandırılmaktadır.

Bu algoritma ile izlenen yolun temsili bir gösterimi ¸Sekil 5.3’te verilmi¸stir. Opak sarı daireler her periyottaki mevcut ˙IHAB˙I kapsama alanını, opak mavi daireler yakınla¸stırma sonrası olu¸san kapsama alanlarını göstermektedir. Kırmız ve ye¸sil çarpım

Algoritma 9 SY Algoritması. Girdi: X∗, Π∗, P, Ψ, ζ , k.

1: X ← X∗, Π ← Π∗, k ← 0, j ← 0, Ψ_k← Ψ.

2: Geçerliyken k < mak_arama yap

3: E˘ger j == k ise 4: Ψ_k← Ψ_k× ζ , j ← 0

5: Bitir E˘ger

6: P olasılıkla rasgele iki periyot ya da (1 − P) olasılıkla birbirine en uzak

iki periyodu seç ve bu periyotlardaki ˙IHAB˙I konumlarını Ψ_k kadar birbirine yakla¸stır. Bu yakınla¸stırma sonrası elde edilen amaç fonksiyon de˘gerini ˜Π’ye ata

7: E˘ger ˜Π > Π ise

8: Π ← ˜Π, k ← 0. X’i yeni konumlara göre güncelle.

9: De˘gilse 10: k← k + 1 11: Bitir E˘ger 12: j← j + 1 13: Bitir Geçerliyken 14: Çıktı: Π, X

i¸saretleri sırasıyla mevcut ve yakınla¸stırma sonrası elde edilen kapsama alanı merkez noktalarını göstermektedir. ˙Iki konum belirlendikten sonra, konumlar arasındaki açının sinüs ve kosinüs de˘geri yatay ve dikey düzlemdeki hareket miktarının belirlenmesi için kullanılmaktadır.

Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan bir tanesi, yakınla¸stırma sonrası yalnızca ˙IHAB˙I konumlarında de˘gil kapsama alanlarında da bir de˘gi¸sim yapıldı˘gıdır. ˙IHAB˙I

¸Sekil 5.3: SY çözümünün iyile¸stirilmesi için geli¸stirilen arama algoritmasının bir adımının temsili gösterimi.

konumu yukarı do˘gru hareket ettirildi˘ginde, kullanıcı alanından uzakla¸sılmasından kaynaklı sinyal kaybı artı¸sının ortalama açının da artırılması ile tolere edilebilmesi amacıyla, kapsama alanı geni¸sletilmekte, a¸sa˘gı hareket ettirildi˘ginde benzer sebeple daraltılmaktadır. Örne˘gin, 200 metreden 205 metreye çıkan bir ˙IHAB˙I’nin kapsama alanı |(205 − 200)|/200 × 100 = %2, 5 oranında geni¸sletilmektedir. Bunların dı¸sında, ˙IHAB˙I konumunun Q dı¸sına çıkması halinde, bu çıkı¸sın oldu˘gu yönün tam tersi yönde yakınla¸stırma mesafesi için kullanılan parametre kadar Q içine ta¸sınması ve algoritmanın ilerleyen adımlarında a¸sırı de˘gi¸simlerden korunmak amacıyla her k adımda bir Ψ’nin ζ oranında küçültülmesi sa˘glanmaktadır. Sonuç olarak elde edilen yerseçim stratejisi, orijinal problemde, P3, yerine konarak SY algoritmasının gerçek amaç

fonksiyon de˘geri bulunmu¸stur.

Klasik iki boyutlu yerseçim problemlerinde genellikle birden fazla tesisin yerseçimi yapıldı˘gından ve kullanıcıların yalnızca bir tesisten hizmet alması esas oldu˘gundan tesislerin kapsama alanlarının birbiri ile kesi¸smemesi amaçlanmaktadır. Ancak, bu tezdeki problemde böyle bir kısıt olmadı˘gından, klasik iki boyutlu problemlere uygulanan SY tekniklerinden farklı olarak ˙IHAB˙I izdü¸sümlerinin birbiri ile kesi¸simine izin vermektedir.