61
Figura 52 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 3 da viga em função da frequência de excitação e diferentes tamanhos do segundo elemento.
100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 4 - Vários comprimentos do atuador
Frequência [Hz] M ob ili da de [m /s. N ] 7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
Viga sem atuador
Viga com atuador de comprimento L2=0.05 de L=0.38 e L1=0.15 Viga com atuador de comprimento L2=0.1 de L=0.38 e L1=0.15 Viga com atuador de comprimento L2=0.15 de L=0.38 e L1=0.15 Viga com atuador de comprimento L2=0.2 de L=0.38 e L1=0.15
Figura 53 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 4 da viga em função da frequência de excitação e diferentes tamanhos do segundo elemento.
Os índices de atenuação para posicionamentos variados do segundo elemento estão demonstrados na Figura 54, Figura 55 e Figura 56.
100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 Frequência [Hz] M ob ili da de [m /s. N ] 7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
Viga sem atuador
Viga com atuador de comprimento L2=0.05 de L=0.38 e L1=0.15 Viga com atuador de comprimento L2=0.1 de L=0.38 e L1=0.15 Viga com atuador de comprimento L2=0.15 de L=0.38 e L1=0.15 Viga com atuador de comprimento L2=0.2 de L=0.38 e L1=0.15
62 100 101 102 103 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Índice de atenuação instantâneo para o ponto 2 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã o
Índice de atenuação para o ponto 2, Atuador em L1 =0.05 =>19.2% Índice de atenuação para o ponto 2, Atuador em L1 =0.10 =>34.3% Índice de atenuação para o ponto 2, Atuador em L1 =0.15 =>29.9% Índice de atenuação para o ponto 2, Atuador em L1 =0.20 =>17.2%
Figura 54 - Índice de atenuação para a posição 2 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação
da posição do segundo elemento.
100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Índice de atenuação instantâneo para o ponto 3 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã o
Índice de atenuação para o ponto 3, Atuador em L1 =0.05 =>22.9% Índice de atenuação para o ponto 3, Atuador em L1 =0.10 =>31.2% Índice de atenuação para o ponto 3, Atuador em L1 =0.15 =>21.1% Índice de atenuação para o ponto 3, Atuador em L1 =0.20 =>18.5%
Figura 55 - Índice de atenuação para a posição 3 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação
63 100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102
103 Índice de atenuação instantâneo para o ponto 4 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã o
Índice de atenuação para o ponto 4, Atuador em L1 =0.05 =>15.2% Índice de atenuação para o ponto 4, Atuador em L1 =0.10 =>19.4% Índice de atenuação para o ponto 4, Atuador em L1 =0.15 =>16.0% Índice de atenuação para o ponto 4, Atuador em L1 =0.20 =>10.6%
Figura 56 - Índice de atenuação para a posição 4 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação
da posição do segundo elemento.
Os índices de atenuação para tamanhos variados do segundo elemento estão demonstrados na Figura 57, Figura 58 e Figura 59.
100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Índice de atenuação instantâneo para o ponto 2 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã o
Índice de atenuação para o ponto 2, Tamanho do atuador =0.05 =>36.6% Índice de atenuação para o ponto 2, Tamanho do atuador =0.10 =>24.3% Índice de atenuação para o ponto 2, Tamanho do atuador =0.15 =>29.9% Índice de atenuação para o ponto 2, Tamanho do atuador =0.20 =>9.0%
Figura 57 - Índice de atenuação para a posição 2 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação
64 100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102
103 Índice de atenuação instantâneo para o ponto 3 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã o
Índice de atenuação para o ponto 3, Tamanho do atuador =0.05 =>34.2% Índice de atenuação para o ponto 3, Tamanho do atuador =0.10 =>16.9% Índice de atenuação para o ponto 3, Tamanho do atuador =0.15 =>21.1% Índice de atenuação para o ponto 3, Tamanho do atuador =0.20 =>17.7%
Figura 58 - Índice de atenuação para a posição 3 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação
do tamanho do segundo elemento.
100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102
103 Índice de atenuação instantâneo para o ponto 4 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã o
Índice de atenuação para o ponto 4, Tamanho do atuador =0.05 =>18.6% Índice de atenuação para o ponto 4, Tamanho do atuador =0.10 =>18.8% Índice de atenuação para o ponto 4, Tamanho do atuador =0.15 =>16.0% Índice de atenuação para o ponto 4, Tamanho do atuador =0.20 =>6.7%
Figura 59 - Índice de atenuação para a posição 4 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação
do tamanho do segundo elemento.
Com os índices calculados, observa-se na Tabela 12 que quanto maior o tamanho do segundo elemento maior o controle conseguido ao longo de toda a viga, possivelmente pelo fato de um elemento maior abranger maior número de pontos nodais.
65
Tabela 12 – Resumo dos Índices de atenuação da viga
Índice de atenuação da viga em diferentes condições Tamanho do primeiro elemento 2 Elementos e 1 Sensor 2 Elementos e 2 Sensores 3 Elementos e 3 Sensores Segundo elemento de tamanho fixo e variação de
sua posição
Posição fixa do segundo elemento e variação de seu
tamanho 0,05m - - 0,05m 19% 0,05m 30% 0,10m 124% 30,80% 0,10m 22% 0,10m 20% 0,15m 120% 26,70% 0,15m 28% 0,15m 22% 0,20m 111% 27,50% 0,20m 15% 0,20m 11% 0,30m 109% 37,60% - - - -
66 Conforme demonstrado na Tabela 6, o modelo dinâmico idealizado utilizando elementos espectrais teve precisão acima de 99,95% na determinação das frequências naturais da viga. O mesmo modelo dinâmico idealizado utilizando elementos finitos (aproximadamente 2.000 elementos sólidos) obteve precisão acima de 99,5%. Esses resultados demonstram a validade e equivalência dos modelos de elementos espectrais e elementos finitos dentro das margens de erros consideradas. O modelo experimental obteve erro de 8,8% na primeira frequência natural, sendo que os erros foram reduzidos nas frequências subsequentes. O fato que provavelmente explica esses erros no modelo experimental foi a massa do acelerômetro (5,8 gramas) localizado na extremidade da viga. No entanto, não foi estudado a fundo esse aspecto por não ser o objetivo desse trabalho.
Para o modelo de uma viga engastada-livre, como mostrado na Figura 26, confirmou-se que o controle feedforward é eficaz para controlar a velocidade no ponto em que o sensor está localizado, reduzindo a velocidade a valores aproximadamente nulos. No entanto, como demonstrado na Figura 28, os pontos de extremidade da viga, bem como outros pontos não são adequadamente controlados. Nota-se, inclusive, no ponto onde não há sensor (extremidade) um deslocamento das frequências naturais. Esse fenômeno, tal como mostrado na Figura 30, é explicado porque a força de controle atuando nesse único sensor localizado nesse ponto reduz a velocidade no ponto até praticamente ser anulado, simulando o comportamento de um pino e modificando o modelo dinâmico da viga, alterando as frequências naturais e modos de vibrar da viga.
Conclui-se também que num modelo de força pontual e apenas um sensor, o posicionamento da força de controle é importante em relação aos pontos nodais da viga ao longo dos diferentes modos de vibrar, conforme demonstrado na Figura 32 no segundo modo de vibrar e a força posicionada em L=0,3 m do início da viga.
Para um modelo de viga utilizando força pontual e mais de um sensor, observa- se que não ocorrem mais os deslocamentos das frequências naturais nos pontos onde não atuam forças, conforme demonstrado na Figura 36 e Figura 37. Nota-se também
67 maior equilíbrio no controle dos pontos, mas sem que ocorresse redução das velocidades a valores praticamente nulos como no modelo com um sensor.
Conclui-se nesse modelo que, independente do número de sensores, o controle não é eficaz quando a força é posicionada nos pontos nodais das vigas, conforme demonstrados na Figura 38 e Figura 39.
A proximidade da posição da força ao ponto nodal foi estudada e os resultados demonstrados na Tabela 9, onde demonstrou-se que para cada 5% de afastamento relativo do ponto nodal obtém-se um ganho de 15% no índice de atenuação em torno desse ponto.
Obteve-se no modelo com 3 elementos espectrais e consequentemente 3 sensores observa-se o mesmo equilíbrio entre os pontos, conforme mencionado anteriormente e demonstrados nas Figura 43, Figura 44 e Figura 45.
Nesse mesmo modelo, ao estudar a posição do segundo elemento, não foi possível encontrar uma correlação satisfatória entre o índice de atenuação e a posição do elemento. No entanto, em qualquer das posições arbitradas o controle teve boa eficiência, conforme demonstrado nas Figura 47, Figura 48 e Figura 49.
Em relação ao tamanho do segundo elemento, conclui-se que quanto maior o elemento melhor os índices de atenuação, conforme demonstrado nas Figura 51, Figura 52 e Figura 53 e na Tabela 12.
Conclui-se também que utilizando mais sensores obtêm-se índices de atenuação melhores, conforme demonstrado na Tabela 12.
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71 A empresa PTC® fornece soluções de criação, operação e serviços para empresas de engenharia.
Entre os produtos disponíveis, na área de CAD e CAE, existe o software CREO®, abrangendo modelamento paramétrico 2D, 3D, simulações dinâmicas, análise de resistência por elementos finitos, entre outras (http://www.ptc.com/product/creo).
A versão utilizada nas análises está apresentada na figura abaixo.
Os limites utilizados na construção do modelo no software CREO® estão representados na figura abaixo.
Limites utilizados para geração automática dos elementos tetraédricos