4. BULGULAR VE YORUM
4.11 Onuncu Soruya Yönelik Öğrenci Cevaplarının Analiz
Bu soruda 12 öğrencinin sayı duyusu kullandığı söylenebilir. Bu öğrencilerin çözümleri denk gösterimler, sayı büyüklüğü ve işlemlerin etkileri sayı duyusu bileşenleri ile ilişkilendirilebilir. Sayı duyusu kullanmayan 8 öğrenciden 6‟sının negatif kuvvete sahip üslü sayılara yönelik yanlış bilgisi vardır. 1 öğrenci çarpma
işleminin sonucunun her zaman çarpanlardan daha büyük olduğunu, bölme işlemin de ise bölümün her zaman bölünen ve bölenden daha küçük olduğunu düşünmektedir. 1 öğrenci ise rasyonel sayılarla bölme ve çarpma işleminin anlamını doğru ifade edememiştir.
Aşağıda sayı duyusunu kullanan ve kullanmayan öğrencilerin çözümleri ayrı başlıklar altında incelenecektir.
4.11.1 Onuncu soruyu yanıtlarken sayı duyusu kullanan öğrencilerin cevapları Bu soruda 12 öğrencinin sayı duyusu kullandığı söylenebilir. Sayı duyusu kullanan 8 öğrenci soruda tanımlanan ifadeleri bölme ve çarpma işlemleri şeklinde yazdıktan sonra yorum yapabilecekleri denk ifadelere dönüştürmüştür.
Bu öğrencilerden 2‟si oluşturduğu denk ifadelerde “işlemlerin” aynı olmasına dikkat etmiştir. Bu öğrenciler 21
12
1254 ifadesini 1254 1221 şeklinde yazdıktan sonra 21
12
1254 ile karşılaştırmıştır. Bu aşamadan sonra cevaba ulaşmak için 21 12 ile 21
12 ifadelerin değerlerini karşılaştırması yeterli olmuştur. Bu şekilde düşünen öğrencilerin 21
12 ifadesinin 1‟den küçük bir değer olduğunu ve çarpma işlemine olan etkisini düşündüğünü söylemek güçtür. Bu sebeple bu şekilde düşünen öğrencinin cevabını işlemlerin etkileri sayı duyusu bileşeni ile ilişkilendirmenin de güç olduğu söylenebilir.
6‟sı ise verilen “sayıların” aynı şekilde ifade edilmesine dikkat etmiştir. Bu şekilde daha kolay düşünebilmiştir. Bu öğrenciler 21
12 1254 ifadesini 1254 1221 ve 21 12 1254 ifadesini de 21 12 1254
şeklinde yazmıştır. Daha sonra 1254 1221 ve 21 12 1254 ifadelerini karşılaştırarak ilk ifadenin daha büyük bir değere eşit olduğunu belirtmiştir. Bu şekilde düşünen öğrencilerin pozitif tam sayıların yer aldığı ifadeler ile daha rahat düşünebildikleri söylenebilir. Soruda verilen ifadeleri işlemleri veya sayıları aynı olacak şekilde denk ifadelere dönüştüren her iki öğrenci grubunun denk gösterimler sayı duyusu bileşenini kullandığı söylenebilir.
1 öğrenci 21
12 ‟in 1‟den küçük olduğunu belirterek “bir bölü iki ile çarpmak aynı zamanda ikiye bölmek demek miydi? İşte o zaman çarpma daha küçük oluyor” açıklaması ile doğru cevaba yönelmiştir. Bu öğrencinin işlemlerin etkileri sayı duyusu bileşenini kullandığı söylenebilir.
2 öğrenci ise 1254 sayısının bir üslü sayı halindeki ifadesini düşünerek karar vermiştir. Bu öğrencilerden Meriç isimli öğrencinin ifadelerine aşağıda yer verilmiştir.
Meriç: Ya bu sayı [1254] iki üssü bir şeyler olabilir bence. Bölü on iki de bir şey olmaz. Eksi yirmi bir bu üslü sayılarda bölmelerde, ya alt taraf eksi olduğunda zaten çıkarırdık. Artı yirmi bir olarak çıkardı. Daha büyük bir sonuç olarak çıkar diye düşündüm.
İfadelerinden görüldüğü gibi Meriç 1254 sayısını bir üslü ifadeye dönüştürülebileceğini fark etmektedir. Öğrenci paydadaki üssün +21 şeklinde paya çıkartılabileceğini belirtmesi sebebiyle bölmenin daha büyük bir sayı vereceğini belirtmiştir. Öğrencinin bu aşamadan sonra zihninden üslü sayılarla standart bir şekilde bölme ve çarpma işlemi kuralını uyguladığında sonucun neler çıkacağını öngörmeye çalıştığı söylenebilir. 1254 sayısının bir üslü ifadeye dönüşümünü düşünen öğrencilerin denk gösterimler sayı duyusu bileşenini kullandığı söylenebilir. 1 öğrenci verilen değerleri daha küçük bir değere eşitleyerek düşünmüştür. Melis isimli bu öğrencinin ifadelerine aşağıda yer verilmiştir.
Melis: Bu da iki üssü eksi bir yine aynı şekilde çarpalım di mi? Evet doğru. Mesela onu iki üssü eksi bir ile böleceğim. On bölü bir bölü iki diyorum Çarpıyorum iki diyorum. Bir çıkıyor, yirmi çıkıyor. Bunu çarptığımda on ile bir bölü iki, beş çıkıyor yani. Şunun [bölme işlemini kast ederek] sonucu daha büyük.
Görüldüğü gibi Melis isimli öğrenci 1254 için 10 ve 21
12 için 2 değerini 1 kullanmıştır. Öğrencinin 21
12 için 1‟den küçük bir değer seçmeye dikkat ettiği için sayı büyüklüğünün farkında olduğu söylenebilir. Ama bu aşamadan sonra ifadelerinde de anlaşıldığı gibi standart işlemleri uygulamadan karar veremediği söylenebilir.
4.11.2 Onuncu soruyu yanıtlarken sayı duyusu kullanmayan öğrencilerin cevapları
1 öğrenci rasyonel sayılarla bölme ve çarpma işleminin anlamını bilmemektedir. Bu öğrencinin ifadelerine aşağıda yer verilmiştir.
Buğra: Bunda kesirli sayılarda bölme de çarpma da aynı olduğu için ikisi de eşit olur. Mesela bir bölü dört olsa. Bir bölü dört ikisi de çarpmada dörde bölüp birisini alırız. Bölmede de dörde bölüp birisini alırız.
Buğra isimli öğrenci kesirli sayılarla bölme işleminin çarpma işlemi ile aynı anlama geldiğini düşünmektedir. Bir doğal sayıyı
4 1
ile bölmenin ve çarpmanın “4‟e bölüp 1 parçasını almak” şeklinde düşünmetedir. Bu öğrencinin çarpma işlemi için öğrendiği anlamın bölme işlemi için de geçerli olduğunu düşündüğü söylenebilir.
1 öğrenci çarpma işleminin sonucunun her zaman çarpanlardan daha büyük olduğunu, bölme işleminde ise bölümün her zaman bölünen ve bölenden daha küçük olduğunu düşünmektedir. Şeyda isimli öğrencinin ifadelerine aşağıda yer verilmiştir. Şeyda: Çarpmada daha çok, bölmede hani paylaştırdığımız için daha küçük bir sayı kalır. Çarpmada ise bu sayıyı katlayarak büyültürüz.
Şeyda isimli öğrencinin çarpmayı her zaman “katlama” ve bölmeyi ise “paylaştırma” olarak ifade etmesinin dikkat çekici olduğu söylenebilir. Öğrenci için katlama fikrinin arttırmayı, paylaştırma fikrinin ise azaltmayı çağrıştırdığı söylenebilir. Bu sebeple öğrencinin 1‟den küçük sayılar ile bölme ve çarpma işlemini yorumlarken yanılgıya düştüğü söylenebilir. Bir başka ifade ile öğrencinin işlemlerin etkileri konusunda yetersiz olduğu ifade edilebilir.
6 öğrencinin negatif kuvvete sahip üslü sayıların anlamı ile ilgili doğru bir bilgiye sahip olmadığı görülmüştür.