Ondalık kesirlerin öğretimi, günlük hayatla ilişkilendirmeye gereksinim duyulduğu için sayı sistemlerinin önemli bir parçasıdır. Ondalık kesirler, rasyonel
sayıları yazmanın başka bir yoludur (Reys, Lindquist, Lambdin, Smith, Suydam, 2004; Brousseau, Brousseau & Warfield, 2007; Altun, 2012). Her rasyonel sayının bir ondalık gösterimi bulunmakta ve rasyonel sayıları “,” ile ifade edilmesi basamak kavramı temeli ile açıklanmaktadır. Rasyonel sayıların ondalık kesir olarak ifade etmedeki amaç, kesirlerle işlem yapabilmeyi kolaylaştırmak olarak belirtilmiştir. (Altun, 2012). Fakat kesirler ve ondalık kesirler birbirinden farklı bir şekilde ele alınmaktadır. Kesir kavramı mutlaka ondalık kesirlerle ilişkilendirilmelidir. Öğrenciler ondalık kesir kavramını anlama noktasında kesirlere göre daha büyük zorluklara sahip olduğu belirtilmektedir. Dolayısıyla ondalık kesirlerin kavramsal olarak anlaşılması ve kesirlerle bağlantılarının kurulması gerekmektedir (Dede, 2012).
Ondalık kesirler günlük hayatta sıklıkla karşılaşılan ve yaygın kullanılan bir matematiksel bir sistemdir. Ondalık kesirlerin gösterimlerini anlamlandırmak çok boyutlu bir süreçtir. Öğrenciler tam sayı ve kesirler bilgisi aracılığıyla ondalık kesirlerdeki basamak değeri kavramları arasında bağlantı kurabilirler (Moloney & Stacey, 1997).
Ondalık kesirler matematiksel sistemin aslında karmaşık bir şeklini oluşturmaktadır. Görünüşte, tam sayı sisteminin basit bir uzantısı gibi düşünülmektedir. Birler basamağından sonra yerleştirilen virgül olduğu ve virgülü sağında yer alanların 10’a bölünerek tanımlandığı görülmektedir. Fakat ilkokul 4.sınıf ve daha sonraki sınıfları okutan öğretmenlerin öğrencilerin ondalık kesirleri anlamlandırmakta oldukça zorluk çektiklerini belirtmişlerdir. Ondalık kesirler görünüşte kolay ve anlaşılabilir olarak düşünülse de, öğrencilerin anlamlandırmasında oldukça güçlük çekilen; hatta kavram yanılgılarının ortaya çıktığı konu alanı olarak karşımıza çıkmaktadır (Hiebert, 1992).
Ondalık kesirlerin öğrenilmesi için kesirleri öğrenmek zorunlu değildir. Özellikle metrik sistemi kullanan ülkelerde ondalık kesir sistemi, ölçme konusuyla bağlantılı olarak verilebilir. Ölçme konusu ile ilgili oluşturulan bağlamsal problemler aracılığıyla ondalık kesirlerin öğrenilmesi daha kolay hale gelebilir. Fakat ondalık kesirlerin keşfedilmesi ve anlaşılması adına kesirlerle ilgili hesaplamaların bilinmesi konunun öğrenilmesi açısından daha yararlı olacaktır (Brousseau, Brousseau & Warfield, 2007).
Baturo (2000) ondalık kesirlerin öğrenilmesi sürecinde üç aşamada bilginin yapılandırılabileceğine vurgu yapmaktadır. İlk aşama basamak değerleri adlarına, onluk sayı tabanı sistemine ve basamakların sıralanmasına yönelik bilgiyi içerir. İkinci aşamada, birimlere ayırma bilgisi ve ondalık kesirlerin denkliğine yönelik bilgiyi (10 tane birlik = 1 tane onluk) kapsamaktadır. Üçüncü aşamada ise; toplamsal ifadelerle birlikte çarpımsal ifadeler (0,43 = 4 onda birler + 3 yüzde birler) ve yeniden birimlere ayırma olarak belirtilmiştir.
Yapılan araştırmalarda öğrencilerin ondalık kesirler konusunda kavramsal bilgiden çok işlemsel bilgiye sahip oldukları; öğrencilerin ondalık kesirlerde daha çok kuralları ve stratejileri kullanmaya çalıştıkları; tam sayılar ve kesirlerle bağlantılı olan içerikleri anlamlandıramadıkları sonucuna ulaşılmıştır (Hiebert & Wearne, 1985, 1986; Akt. Lachance & Confrey, 2002). Bunun yanı sıra araştırmacılar öğrencilerin ondalık kesirlerle ilgili daha çok sözel kuralları öğrendiklerini ve bunun nedeninin genel olarak işlemsel bilgiye dayalı bir matematik öğretim programı olduğunu belirtmişlerdir. İşlemsel bilgiyi içeren böylesi bir matematik programının yerini öğrencilerin işlemsel ve kavramsal bilgiyi birlikte anlamlı bir şekilde öğrenebilecekleri problemlerin ve etkinliklerin yer alması gerektiği vurgulanmaktadır (Hiebert & Wearne, 1985, 1986; Akt. Lachance & Confrey, 2002; Hiebert, Wearne & Taber, 1991).
Ondalık kesirlerin gösterimlerinin öğrenciler tarafından anlamlandırılması yönünde son dönemde yapılan araştırmalar özellikle öğrencilerin ondalık kesirleri nasıl anlamlandırdıkları üzerinde durmaktadır (Irwin, 2001; Lachance & Confrey, 2002; Hunter & Anthony, 2003; Pramudiani, 2011). Araştırma sonuçları incelendiğinde öğrencilerin kavramsal bilgi içeren etkinliklerle işlemsel bilgi içeren etkinlik bir arada verildiğinde öğrencilerin konuyu daha anlamlı olarak öğrendikleri görülmektedir. Dolayısıyla işlemsel ve kavramsal bilginin birbiriyle bağlantılı olduğu ve her iki bilgi türünü içeren etkinliklerin yer aldığı öğretim programlarının hazırlanması gerektiği belirtilmektedir. Günümüzde birçok ders kitabı incelendiğinde daha fazla gerçek yaşam durumlarını içeren, kavramsal bilginin ye aldığı etkinliklere yer verildiği görülmektedir. Bunun yanı sıra öğretmenlerin de bu konuda oldukça çaba harcadığı ve kavramsal bilgi içeren gerçek yaşam durumlarına ilişkin bağlamlara yer verdikleri görülmektedir (Lachance & Confrey, 2002).
Matematik öğretim programları incelendiğinde, genel olarak işlemsel bilginin baskın olduğu, programlarda yer alan etkinliklerin kavramsal bilgi içermediği görülmektedir. Birçok 4. ve 5. sınıf matematik ders kitabı incelendiğinde, ondalık kesirlerle ilgili genel olarak onluk taban blokları ve resimlere yer verdikleri, bunlar dışında herhangi bir materyalin ya da bağlamsal içeriğin olmadığı görülmektedir (Lachance & Confrey, 2002; Pramudiani, 2011). Ders kitaplarında yer alan bu gerçek yaşamı temsil eden nesnelerin genellikle konuya giriş anlamında kullanıldığı, öğretim sürecinde daha çok kuralları ve stratejileri içeren işlemsel bilgi içerikli etkinliklere yer verildiği görülmektedir.
Ülkemizde ilkokul 4.sınıf matematik dersi öğretim programı incelendiğinde sayılar öğrenme alanında %7’lik bir orana sahip olup, konuyla dört kazanıma yer verilmektedir (MEB, 2006). İlkokul 4.sınıf matematik öğretim programında ondalık kesirlerle ilgili belirtilen kazanımlar ve etkinlik örnekleri Tablo 2.1’de ifade edilmiştir.
Tablo 2.1. İlkokul 4.sınıf Matematik Dersi Öğretim Programında Ondalık
Kesirler Konusunda İlişkin Kazanımlar, Etkinlik Örnekleri (MEB, 2006)
Kazanımlar Etkinlik Örnekleri
Bir bütün 10 ve 100 eş parçaya bölündüğünde ortaya çıkan kesrin birimlerinin
ondalık kesir olduğunu belirtir.
Ondalık kesirleri virgül kullanarak yazar. Ondalık kesirlerin tam kısmını, kesir kısmını ve basamak adlarını belirtir.
İki ondalık kesri karşılaştırarak aralarındaki ilişkiyi büyük, küçük veya eşit sembolüyle gösterir.
Öğretim programında yer alan kazanımlar ve etkinlik örnekleri incelendiğinde, genel olarak bağlamsal bir içeriğe yer verilmediği; daha çok onluk taban bloklarına yer verildiği görülmektedir. Bunun yanı sıra öğretim programında yer alan açıklamalar bölümü incelendiğinde, yalnızca uzunlukları ölçme ve sıvıları ölçme konularıyla ders içi ilişkilendirmeye yer verildiği; fakat bu ilişkilendirmede yer verilecek etkinlikler hakkında bilgi verilmediği görülmektedir.
Türkiye’de ilkokul 4.sınıfta okutulan ders kitapları incelendiğinde de, ondalık kesirlerle ilgili yalnızca onluk taban blokları, rasyonel sayı çarkı ve resimlere yer verildiği; ondalık kesirlerin sayı doğrusunda gösterimlerinin nasıl olduğu, tam sayı ve kesirlerle olan bağlantılarına da yer verilmediği görülmektedir. Ondalık kesirlerin sayı doğrusunda gösterimlerine yönelik herhangi bir etkinlik olmamasına rağmen ders kitabında bu hususta ölçme ve değerlendirme sorularına yer verildiği görülmektedir.
Ondalık kesirlerin öğretimine yönelik varsayımlar başlangıç etkinliklerinin temel vurgusuna dayanan iki kategoride incelenmektedir. Birinci kategori, ondalık kesirlerle oran, rasyonel sayılar ya da yüzdeler konusunun bütünleştirilmesi üzerine odaklanmıştır. Bu kategoride özellikle odaklanılan oran, rasyonel sayılar, yüzdeler, ölçme gibi ondalık kesirlerle ilgili konularla ilişkilendirme ve bu konuların bağlamsal problemlerle sunulması ile öğretime odaklanılmıştır. Burada temele alınan nokta, ondalık kesirlerin kavramsal olarak anlamlandırılması ve konuyla ilişkili yapılarla bağlantıların kurulmasıdır. İkinci kategori ise; ondalık kesirlerin basamak değerlerine dayalı bir öğretime odaklanmaktadır. Bu kategoride temel nokta ondalık kesirlerin gösterimlerinde anlamlı öğrenmenin gerçekleştirilmesidir. Bu noktada gerçek dünyadaki bir varlığı temsil eden nesnelerin başlangıç etkinliği olarak kullanılması çok önemli bir rol oynamaktadır (Moss & Case, 1999; Irwin, 2001; Lachance & Confrey, 2002; Moss, 2005). Bu kategoride ifade edilen öğretim için Wearne & Hiebert (1998)’in geliştirdiği ondalık kesirlerin gösterimlerinin anlamlı olarak öğrenilmesinde dört aşama vurgulanmaktadır (Akt. Widjaja, 2008):
Ondalık kesirlerin gösterimlerini öğrenci için anlamlı hale getirmek amacıyla benzer ve anlamlı kaynaklar ya da materyallerle bağlantı kurma,
Sembollerin oluşturulması için geliştirilen sembollerin yansıtılmasını sağlayan materyaller ve etkinlikleri içeren yöntemler geliştirme,
Geliştirilen bu yöntemleri ayrıntı olarak belirtme ve rutinleştirme (konuyla ilgili diğer kavramları içeren kuralları hatırlamak ve diğer tüm etkinliklerde uygulayabilmek),
Daha soyut kaynaklarda sembolleri ve kuralları kullanma.
2.2.1. Ondalık Kesirlerin Sayı Doğrusunda Gösterimi
Ondalık kesirlerin öğretiminde, ardışık iki tam sayı arasında bir ondalık kesir olduğunun gösterilmesi için gelişen modellerden biri sayı doğrusu olarak belirtilmektedir (Pramudiani, 2011). Ondalık kesirlerin öğretiminde sayı doğrusunun kullanımı, ondalık kesirlerin kesirlere çevrilmesinde, ondalık kesirlerin sayı doğrusundaki yoğunluğunu belirterek öğrencilere yardım etmesi ve öğrenciler tarafından daha anlamlı hale gelmesinde oldukça önemlidir. Vicki ve diğerlerine (1999) göre sayı doğrusundaki yoğunlukla, ardışık iki tam sayı arasında ondalık kesirler olduğu ve iki farklı ondalık kesir arasında da yine bir ondalık kesrin olduğu belirtilmek istemektedir (Akt. Pramudiani, 2011). Bu araştırmada etkinliklerin geliştirilmesinde ilk olarak ardışık iki tam sayı arasında bir ondalık kesir olduğu fikri göz önüne alınmıştır. Öğrenciler bu doğrultuda tam sayılar ve ondalık kesirler arasındaki bağlantıları kavrayabileceği düşünülmektedir (Şekil 2.2.)
Şekil 2.2. Ondalık Kesirlerin Sayı Doğrusunda Gösterimleri (Pramudiani, 2011)
Yapılan araştırmalarda öğrencilerin genel olarak ardışık iki tam sayı arasında bir ondalık kesir olup olmadığı sorusunu ve 0,7 ile 0,8 sayıları arasında hangi sayının bulunabileceği sorusunu yanıtlayamadıkları görülmektedir. Öğrencilerin ondalık
kesirleri sayı doğrusunda gösterimi ile bu durum daha somut hale gelecek dolayısıyla öğrencilerin sayı doğrusu anlamlı bir şekilde öğrenebilmeleri sağlanabileceği düşünülmektedir.
Ondalık kesirlerin sayı doğrusunda gösterimlerinin öğrenciler tarafından sezgisel olarak anlamlandırılması için 1) farkındalık yaratmak, 2) belirli öğrenme becerileri edinmek için bir yapı oluşturmak, 3)uygulama yapmak olmak üzere üç bileşen kullanılabilir (Hogart, 1992).
2.2.2. Ondalık Kesirlerin Karşılaştırılması
Öğrencilerin ondalık kesirlerin tam olarak anlamlandırılması için, ondalık kesirlerin büyüklüklerini tam olarak anlayabilmeleri gerekmektedir. Bu nedenle ondalık kesirlerin sayı doğrusundaki yerinin öğrenciler tarafından öğrenilmesi, ondalık kesirlerin tam sayılar ve kesirlerle olan bağlantısının anlamlandırılması oldukça önemlidir. Örneğin; öğrencilerin 0,48 ondalık kesrinin ½’e yakın olduğu ve 0 ile 1 tam sayıları olduğunu anlamlandırabilmesi gerekmektedir (Thompson & Walker, 1996).
Ondalık kesirlerin karşılaştırılmasında birçok strateji kullanılmaktadır. Ondalık kesirlerin karşılaştırılmasında yer verilen stratejilerden biri, verilen ondalık kesirlerle ilgili sayı hissini kullanma ve verilen sayıları büyüklük sırası, virgülü fark etme, her iki sayının virgülden sonraki basamaklarını inceleme ve gerekirse sıfırı yerleştirme olarak belirtilmiştir (Markovits & Even, 1999). Başka bir strateji ise; verilen ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamaklarını sıfır koyarak eşitleme ve soldan sağa sıralama olarak belirtilmiştir (Helme & Stacey, 2000).
Yapılan birçok araştırmada özellikle ilkokulda öğrencilerin ondalık kesirler konusunda yeterli bilgiye sahip olmadıkları, özellikle ondalık kesirlerde sıralama ve karşılaştırılması konusunda yeterli bilgiye sahip olmadıkları belirtilmektedir (Grossman, 1983; Nesher & Peled, 1986; Akt. Widjaja, 2008; Helme & Stacey, 2000; Lachance & Confrey, 2002; Yılmaz, 2007; Aykaç, 2008). Helme & Stacey (2000)’e göre, öğrencilerin ondalık kesirlerin karşılaştırılmasında virgülden sonraki basamağı daha çok olan daha büyüktür olarak düşünmektedirler. Öğrenciler bu noktada ondalık kesirlerin basamak değeri olarak ondalık kısmını tam sayı olara düşünmekte olduğu; yani 3,78 sayısının 3,8 sayısından büyük olduğuna 78’in 8’den büyük olmasına bağlı olarak karar verdikleri ifade edilmektedir.
Birçok araştırmada öğrencilerin ondalık kesirlerin basamak değerlerine ilişkin bilgileri, kesirler ve ondalık kesirler arasındaki bağlantıların kurulamaması, ondalık kesirlerin sayı doğrusunda gösterimleri gibi alanlarda ondalık kesirleri anlamlandırmada zorluk çektikleri belirtilmektedir.