1.1. Régime de l’écoulement
Pour de faibles vitesses, des déplacements réguliers et ordonnés des particules fluides, un écoulement est dit laminaire. Par contre, lorsque les déplacements des particules deviennent irréguliers ou chaotiques et que des fluctuations aléatoires de vitesse se superposent au mouvement moyen du fluide, l’écoulement est dit turbulent. Le passage graduel entre ces deux régimes d’écoulement est dit régime de transition [66].
Pour caractériser et distinguer ces différents régimes, on fait usage du nombre adimensionnel de Reynolds (Re) qui donne le rapport entre les forces inertielles et les forces visqueuses qui, dans le cas d’un écoulement interne, s’écrit :
(3.1) avec
- (m/s), la vitesse débitante de l’écoulement
- (m), le diamètre hydraulique de la section d’étude
- (m2/s), la viscosité cinématique du fluide qui dépend de la température [67] [68]
Dans notre application, (veine hydrodynamique de section rectangulaire), le diamètre hydraulique est défini par où est la section du canal et est le périmètre mouillé. Pour nos expériences d’érosion (§2 de ce chapitre), le diamètre hydraulique est = 0,155m pour une section de veine de 15cm 16cm.
Le nombre de Reynolds critique qui caractérise la transition laminaire-turbulent dépend donc des caractéristiques de l’écoulement et en particulier, en conduite, des conditions géométriques (section) et de la rugosité du domaine d’écoulement. Pour des sections géométriques classiques (rectangulaires et circulaires) une valeur moyenne caractéristique du nombre de Reynolds de transition est de l’ordre de 2500 [68].
1.2. Notion de Couche limite
La notion de la couche limite pour les fluides réels a été introduite pour la première fois par Prandtl en 1904 [69]. Dans le cas d’un écoulement au voisinage de paroi, les effets visqueux ne sont pas négligeables. Une couche limite caractérisant l’évolution de la vitesse de la paroi vers le cœur de l’écoulement s’établit au contact de la surface. Ainsi, l’écoulement peut être caractérisé en deux régions : une couche limite adjacente aux surfaces solides dans laquelle les forces de viscosité jouent un rôle important sur les interactions entre les particules fluides et un domaine extérieur à la couche limite dans lequel le fluide en écoulement peut être considéré comme un bloc de fluide homogène. Dans la couche limite, la vitesse varie rapidement d’une valeur nulle à la paroi, à sa valeur nominale dans l’écoulement externe à cette zone « couche limite ». L’épaisseur de la couche limite est généralement faible relativement au domaine de l’écoulement étudié, de l’ordre de quelques millimètres. Dans cette zone, le gradient de vitesse prend donc des valeurs élevées et il en résulte des contraintes
Chapitre 3
visqueuses importantes. Les contraintes visqueuses équilibrent alors les effets d’inertie et de gradient de pression imposé par l’écoulement moyen externe. À l’extérieur de la couche limite, le gradient de vitesse est faible et les contraintes visqueuses réduites. Cette couche limite occupe la région adjacente à la paroi considérée (modélisée par une plaque plane dans notre application) et son épaisseur varie selon la position longitudinale relativement au décollement à l’origine de la plaque. [66]
Dans notre veine d’essai, compte tenu des faibles vitesses mises en jeu et des dimensions de la veine d’essais, les couches limites au niveau des parois sont, contrairement à la généralité, d’épaisseur non-négligeable [70].
1.3. Profils de vitesse dans une canalisation
L’écoulement dans une canalisation est caractérisé par un « écoulement interne » soumis à l’influence de parois. Le phénomène de présence de couche limite se manifeste alors dès l’entrée de la veine au voisinage de la paroi. Au-delà d’une certaine distance , les effets conjugués des parois orthogonales les unes aux autres (section rectangulaire) interférent entre elles pour conduire à : l’écoulement établi. La zone où est nommée Région d’entrée. Il est à noter que cette zone d’entrée sur notre montage expérimental (§5.1.1 de ce chapitre) est celle où se situe la zone sédimentaire érodée. Dans le cas laminaire, la couche limite laminaire s’épaissit régulièrement jusqu’à occuper l’ensemble de la veine fluide et donner naissance au régime établi. Le profil des vitesses est alors parabolique pour conduire à des vitesses qui, pour un débit donné, compensent les ralentissements subis dans la zone de couche limite (fig. 3.1). Dans le cas d’un régime turbulent, la couche limite apparait d’abord laminaire, pour ensuite afficher une couche limite turbulente dont la zone centrale du profil des vitesses (plat du profil) est d’intensité quasi uniforme (fig. 3.2). [68]
Figure 3. 1 : Etablissement du régime laminaire entre deux plans parallèles [68]
Chapitre 3
1.4. Profils de vitesse dans la couche limite [82]
Nous analysons l’écoulement bidimensionnel stationnaire dans le plan (xoy) près d’une plaque plane y=0, pour un écoulement extérieur U(x) qu’on supposera parallèle à la paroi. Tout d’abord, sachant que l’écoulement est bidimensionnel et incompressible, l’équation de conservation de la masse s’écrit :
(3.2) où u et v sont les composantes du vecteur vitesse.
Les équations de Navier-Stokes selon (ox) et (oy) s’écrivent :
(3.3)
(3.4)
Comme v << u, les variations de pression dans la direction y n’ont donc qu’une influence négligeable sur le profil de vitesse par rapport aux variations dans la direction x, ce qui montre que
(3.5) Et (3.6)
À l’extérieur de la couche limite, les effets de la viscosité sont négligeables, et le fluide se comporte comme un fluide parfait, alors on peut appliquer l’équation de Bernoulli :
(3.7) Ou (3.8)
Alors, en combinant l’équation (3.3) avec l’équation (3.8), on obtient :
(3.9)
Maintenant, on cherche à partir de ces équations à déterminer l’équation différentielle vérifiée par le champ de vitesse à l’intérieur de la couche limite, le long d’une plaque plane placée dans un écoulement uniforme de vitesse U, parallèle à son plan.
Pour cela, on exprime la composante de vitesse u(x,y) en fonction d’une variable réduite nommée θ et du module U de la vitesse :
u (x,y) = U f(θ) et θ =
Chapitre 3
(3.10) où est la variable d’intégration entre 0 et .
La résolution approchée de l’équation de Blasius, montre que et
La forme de la variation de la composante de vitesse parallèle à la plaque en fonction de la coordonnée sans dimension (qui correspond à la distance y perpendiculaire à la plaque normalisée par une longueur construite avec la variable x) est le suivant :
Figure 3. 3 : Forme de la variation de la composante de vitesse parallèle à la plaque en fonction de la coordonnée sans dimension θ