Mevsimsel Olmayan Box-Jenkins Modelleri

Mevsimsel olmayan modeller; doğrusal durağan modeller olan “kendiyle bağlanımlı (otoregresif)” (Autoregressive) (AR) ve “hareketli ortalama” (Moving Average) (MA) modelleri ve bunların birleşimi olan “kendiyle bağlanımlı (otoregresif) hareketli ortalama”

(Autoregressive Moving Average) (ARMA) modelleri ile doğrusal durağan olmayan model olan “kendiyle bağlanımlı (otoregresif) entegre hareketli ortalama” (Autoregressive Integrated Moving Average) (ARIMA) modellerinden oluşmaktadır. Mevsimsel olmayan Box-Jenkins modellerinde mevsimsellik dikkate alınmamaktadır.

2.1.1.1. Doğrusal Durağan Olmayan Stokastik Modeller 2.1.1.1.1. Kendiyle Bağlanımlı (Otoregresif) Model [AR(p)]

Literatüre Yule (1927) tarafından kazandırılan AR(p) modellerinde bir zaman serisinin herhangi bir dönemdeki gözlem değeri, aynı serinin ondan önceki belirli sayıda geçmiş dönemin gözlem değerlerine ve saf hata teriminin doğrusal fonksiyonu açıklanmaktadır (Yılancı, 2007: 5). AR modelleri içerdikleri geçmiş dönem gözlem değerleri sayısına göre isimlendirilir. Örneğin

y , t zamanındaki gözlem değerlerini göstermek üzere otoregresif modeli; t

y_t ₁y_t1u_t (1)

olduğu gibi bir tane geçmiş gözlem değeri içeriyorsa birinci dereceden otoregresif modeli AR(1),

y_t ₁y_t1₂y_t2 u_t (2)

modelinde olduğu gibi iki tane geçmiş gözlem değerine yer veriliyorsa ikinci dereceden otoregresif modeli AR(2) ve p tane geçmiş gözlem değeri modelde yer alıyorsa, p’inci dereceden otoregresif AR(p) modeli olarak isimlendirilir.

AR(p) model tipinin, sabit terim eklenmiş, genel yazılımı şu şekildedir;

y_t  ₁y_t1₂y_t2 ₃y_t3...₄y_tp u_t (3)

(3) nolu denklemde p değişkeni otoregresif model tipinin derecesini ifade etmektedir, yani modelin kaçıncı dereceden olduğunu,  stokastik sürecin ortalaması ile ilgili sabit terim,

terimleri bilinmeyen otoregresif paramatrelerini u ortalaması sıfır ve varyansı sabit olan _t ilişkisiz rastsal hata terimidir (Adlığ, 2009: 19- 20). Buna saf hata veya beyaz gürültü süreci olarak atıfra bulunulur (Yılancı, 2007: 5). AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde kısmi otokorelasyondan (PACF) yararlanılabilir. Kısmi otokorelasyon katsayısı zaman serisi

içerisindeki y_t1ve y_tk gibi iki gözlem arasındaki korelasyonu, serinin içerisinde bulunan diğer gözlemlerin bu iki gözlem üzerindeki etkilerinin çıkarılmasıyla hesaplanır (Polat, 2009:

50).

2.1.1.1.2. Hareketli Ortalama Modeli [MA(q)]

Slutsky (1937) tarafından ortaya atılan “Hareketli Ortalama” (MA) modelleri bir zaman serisinin herhangi bir dönemindeki gözlem değerinin aynı dönemdeki şansa bağlı şoklar ve belirli sayıdaki geçmiş döneme ait şansa bağlı etkilerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edildiği modellerdir (Berberoğlu, 2010: 16). Saf hata sürecini doğrudan genelleştiren (Ertaş, 2013b: 1). MA(q) modelleri içerdikleri geçmiş dönem şansa bağlı şokların sayısına göre isimlendirilirler. Örneğin MA(1) modeli bir dönem önceki şansa bağlı şoka bağlıdır (Berberoğlu, 2010: 16).

Y_t _t _t1 (4)

(4) nolu denklem birinci derece hareketli ortalama sürecidir. Genelde bir hareketli ortalama süreci bir veya daha fazla dönem geriye doğru rastsal kalıntıların e ağırlıklı _t ortalaması olarak ekonomik değişken Y ’ye ait zaman serisi gözlemlerini gösterir. _t

Genel MA(q) süreci için istatistiksel model;

y_t _t ₁_t1₂_t2..._q_tq (5)

Burada _t saf hata terimleridir, korelasyonsuz ortalaması sıfır ve sabit bir varyansa sahiptir, _i (i=1,2,…..,q) bilinmeyen parametrelerdir. Denklem 5’e dikkat edilirse AR(p) modelinden farklı olarak kesme parametresi yerine u ile gösterilmiştir (Erdoğan, 2006: 32

; Kırçil, 2013: 25). MA sürecinin q derecesi kendiyle ilgileşim (otokorelasyon) fonksiyonu (ACF) yardımı ile belirlenebilir. Zaman serisindeki y ve _t y_tk gibi iki gözlem arasındaki doğrusal bağımlılığını, diğer bir deyişle bu iki gözlem arasındaki korelasyonu ölçen

otokorelasyon katsayısı 1 ve -1 arasında bir değer alır. Q gecikmeden sonra ACF değerleri aniden azalarak sıfıra yaklaşır (Polat, 2009: 52).

2.1.1.1.3. Kendiyle Bağlanımlı (Otoregresif) Hareketli Ortalama Modeli [ARMA(p,q)]

Zaman serisi verilerinin hem otokorelasyon hem de kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının belirli bir gecikme sonrasında kesilmediği gibi sıfıra doğru çok yavaş hareket ettiği gözlemlenebilir. Buna benzer şekilde zaman serisi hem otoregresif hem de hareketli ortalama bileşenlerini aynı anda içerecek bu iki durumun aynı anda ortaya çıkardığı durumlarda süreç ARMA (p,q) olarak tanımlanabilir. Durağan rastsal sürecin pür otoregresif veya pür hareketli ortalama süreci ile modellenemediği durumlarda zaman serisi AR ve MA özelliklerini birlikte gösterdiğinden süreç ARMA olarak modellenebilir (Polat, 2009: 52).

Literatüre Wold (1938) tarafından kazandırılan “karma kendiyle bağlanımlı (oregresif)- hareketli ortalama” olan ARMA modellerinde bir zaman serisinin herhangi bir ait gözlem değeri, ondan önceki belirli sayıda gözlem değerinin ve hata teriminin doğrusal bir bileşimi olarak ifade edilebilir (Yıldız, 2009: 18). En basit karma otoregresif hareketli ortalama ARMA (1,1) süreci denklem 6’daki gibi yazılabilir (Erdoğan, 2006: 43).

y_t u₁Y_t1_t ₁_t1 (6)

p ve q mertebeden karma otoregresif-hareketli ortalama modelini ARMA (p,q) denklem (6) aracılığı ile aşağıdaki gibi gösterilebilir;

y_t u₁y_t1₂y_t2..._py_tp _t ₁_t1₂_t2 ..._q_tq (6) Bu denklemde yer alan a (i=0,1,2,…..p olmak üzere) bilinmeyen otoregresif _i parametreleri _j (j=1,2,…..q olmak üzere) bilinmeyen hareketli ortalama parametrelerini,

i’ler ise sıfır ortalama ve sabit varyanslı hata terimlerini göstermektedir (Yılancı, 2007: 14).

2.1.1.2. Doğrusal Durağan Olmayan Stokastik Modeller[ARIMA modelleri]

Serilerin durağan olması durumunda AR(p), MA(q) ve ARMA(p,q) modellerinin kullanılmasının uygun olduğuna değinilmişti. Ancak zaman serisinin, çoğunluğunda ortalama veya varyansta zamana bağlı bir eğilim gözlenmektedir. Serilerin sabit bir ortalama etrafında dağılmaması veya stokastik sürecin karakteristiklerinin zamana bağlı olarak değişmesi nedeni ile durağan olmayan seriler ortaya çıkmaktadır. Bu gibi serilerin durağan hale dönüştürülmeleri gerekmektedir ve genellikle bu özelliğe sahip seriler durağan olana kadar farkı alınmaktadır (Kırçil, 2013: 28). Fark alınarak durağan hale getirilmiş zaman serisi için geliştirilmiş ARMA modellerine ARIMA modelleri adı verilmektedir. Burada I zaman serisinin tümleşiklik derecesini belirtmektedir. d kadar fark alındıktan sonra durağan olan seriye “d dereceden fark durağan seri” adı verilir (Bayata, 2010: 22). Fark alma işlemiyle durağanlaştırılan seriye ait modelin otoregresif ve hareketli ortalama derecelerinin belirlenmesi için otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarından yararlanılmaktadır (Can, 2009: 108). Eğer seriler seviye durumunda durağanlık şartını sağlıyorsa ARIMA(p,0,q) şeklinde gösterilmektedir. Ancak seriler seviye halinde durağanlık şartını sağlamıyor ve farkının alınmasına ihtiyaç gösteriyorsa bu durumda süreç, durağanlık şartı sağlandıktan sonra başlamaktadır. Eğer seri birinci farkı alınarak durağan hale geliyorsa ARIMA (p,1,q), ikinci

farkı alınarak durağan hale geliyorsa ARIMA (p,2,q) şeklinde gösterilmektedir (Güvenek, 2009: 144).

ARIMA modellerinde temel yaklaşım incelenen değişkenin bugünkü değerinin, geçmiş değerlerinin ağırlıklı toplamı ve rastsal şokların bileşimine dayandığı şeklinde ifade edilmektedir (Çuhadar, 2006: 85- 86). Durağan olmayan y serisinin d’inci mertebeden farkı _t alınarak durağanlaştırıldığında yeni seri w olarak tanımlanırsa, dönüşüm; _t

^dy_t  (1 L)^dy_t

şeklinde gösterilmektedir. Fark serisi ARMA(p,q) sürecine sahip olması durumunda ise y _t değişkeninin (p,d,q) mertebesi ile bir ARIMA (p,d,q) sürecine sahip olduğu ifade edilmektedir. Yani bir serinin d sayıda farkı alınmışsa ve p dereceden AR ve q dereceden MA modelleri seriye uygun ise bu model (p,d,q) dereceden otoregresif entegre hareketli ortalama modelidir ve ARIMA (p,d,q) olarak ifade edilebilir (Kırçil, 2013: 28).