Matematiksel Düşünme Becerileri İle İlgili Çalışmalar

Ginsburg ve Russell (1981), sosyal sınıfların ve ırkın erken matematiksel düşünme üzerine etkilerini araştırdığı iki boyutlu araştırmasında; birinci boyutta siyah ilkokul öğrencileri ile siyah ve beyaz orta sınıf öğrencileri, ikinci boyutta siyah ve beyaz öğrenciler, düşük ve orta sınıf hem okul öncesi hem de ilkokul düzeyinde karşılaştırılmıştır. Her iki çalışma boyutunda da bireysel olarak öğrencilere matematiksel düşünmenin temel durumlarını ölçen sorular verilmiştir. Araştırma sonuçlarına göre; sosyal sınıflar ve ırk çok az bir anlamlı farklılığa neden olmaktadır. Sonuçlar aile durumunun karmaşık derecede, ilişkili olduğunu göstermektedir. Orta sınıflarda ailenin tek çocuğu olan öğrenciler bazı görevleri başarısızlıkla yerine getirirken düşük sınıflarda öğrenci performansları aile durumları yönünden etkili değildir. Bu durum öğrencilerin gelişme sevilerinin temel farklılıkları oluşturduğunu göstermektedir. Sonuçta; sosyal sınıflar ve ırk faktörü ne olursa olsun çocuklarda güçlü bir biçimde erken matematiksel düşünme gelişimi vardır.

De Corde ve Verschaffer (1985), üzerinde düşünme, işlem yapma ve sonucu doğrulama aşamalarında ilkokul birinci ve ikinci sınıftaki başarılı ve başarısız öğrenciler üzerinde yaptığı araştırmada, başarılı problem çözen öğrencilerin, düşünmeden ve hazır çözüm yolları kullanarak problemi çözdüklerini, işlemlerin yapılmasında ve buldukları sonuçları doğrulamada başarılı olduklarını saptamıştır. Başarısız grubun ise sadece işlem yapma aşamasına yer verdiklerini ortaya koymuştur (akt. Yıldızlar, tarihsiz).

Song ve Ginsburg (1987) araştırmalarında; (a) okul matematiğinde yüksek düzeyde performans sergileyen Koreli öğrenciler, (b) resmi olmayan matematiksel düşünmenin erken yaşlardaki avantajları ve (3) üstün başarılı Amerikan öğrencilerin farklı nitelik özellikleri araştırılmıştır. 4, 5, 6, 7 ve 8 yaşındaki Koreli ve Amerikalı öğrencilere erken matematiksel yetenek testi (TEMA) verilerek resmi ve resmi olmayan matematiksel düşünmeleri ölçülmeye çalışılmıştır. Araştırma sonuçlarında 7 ve 8 yaşlarda Koreli öğrenciler resmi matematikte üstün performans sergilemişlerdir. Koreli okulöncesi öğrencilerin resmi olmayan matematikteki performansları Amerikalı öğrencilerden daha düşük düzeydedir. Bunun nedeni olarak ta çeşitli

çevresel faktörlerin, Koreli okul öncesi öğrencilerinin düşük matematiksel düşünme performansları ile ilişkili olabileceğidir. Buna karşın Koreli öğrenciler okula girişteki dezavantajlarını daha başlangıçtaki yetersizliklerini gidererek okul matematiğine geçiş yapar. Koreli öğrencilerin performansları Amerikalı öğrencilerin performanslarından kavramsal ve işlemsel olarak daha üst düzeyde olmasına rağmen, matematik testlerinde Koreli öğrenciler Amerikalı öğrencilere göre başarılı değildir. Çünkü onlara belirli bir iş sırasında öğrenirler. Koreli öğrencilerinin başarıları ve Amerikalı öğrencilerin başarısızlıkları öncelikle sınıf uygulamaları, öğretmen tutumları ve becerileri, beklentiler, değerler gibi çevresel-kültürel faktörlerle ilişkilidir.

Umay (1992), matematiksel düşünmede süreci ve sonucu yoklayan testler arasında bir karşılaştırma yapmak amacıyla 81 lise öğrencisi üzerinde çalışma yürütmüştür. Araştırma sonucunda; süreci ve sonucu yoklayan testler arasında test geliştirme açısından manidar farklar bulunmamasına rağmen güçlük açısından ise manidar farklar bulunmuştur. Matematiksel düşünmede, problemi çözüp sonucu bulmanın, aynı problemin çözüm sürecini izlemekten daha kolay bulunduğu anlaşılmaktadır. Ayrıca sonucu doğru olarak bulabilen pek çok kişinin süreci aynı doğrulukla izleyemedikleri ve matematiksel düşünme sürecinin çoktan seçmeli testlerle de ölçülebileceği sonuçlarına ulaşılmıştır.

Tertemiz (1994) problem çözmede öğrencilerin gösterdikleri özelliklerin belirlenmesi amacıyla yaptığı çalışmasında; problem çözmede düşük başarı gösteren grupta “dört işlem becerisi” etkili tek faktör; orta düzeyde başarı gösteren grupta “problemi kavrama” birinci, “dört işlem becerisi” ikinci ve “doğal sayılar” üçüncü derecede etkili faktör ve yüksek düzeyde başarı gösteren grupta “problemi kavrama” birinci, “doğal sayılar” ikinci, “dört işlem becerisi”nin ise üçüncü derecede etkili oldukları görülmüştür.

Altun (1995) ilkokul 3., 4.,ve 5. sınıf öğrencilerinin matematik problemlerini çözerken gösterdikleri davranışların neler olduğu ve bu davranışları gösterme bakımından problem çözmede başarılı olan öğrenciler ile başarısız olanlar arasında ne gibi farklılıkların olduğunu belirlemek amacıyla yaptığı çalışmasında, öğrencilerin problem çözmedeki davranışlardan olan “verilenleri ve istenenleri yazma”,

“probleme uygun şekil ve şema çizme”, “yapılacak işlemleri sırasıyla yazma”, “işlemleri yapma ve problemi çözme” davranışlarının yüksek, “problemin sonucunu tahmin etme”, “çözümün doğruluğunu kontrol etme” “benzer bir problemi yazma” davranışlarının düşük, “problemi özet olarak yazma”, “problemi bir başka yolla çözme” davranışlarının çok düşük düzeyde gösterdikleri saptanmıştır. Ortaya çıkan bu veriler sonucunda yukarıda verilen davranışlardan “problemi bir başka yolla çözme” hariç diğer hepsinin öğrenciler tarafından öğrenilebildiği ortaya koyulmuştur.

Malloy ve Jones (1998) öğrencilerin problem çözme özelliklerini incelemişler ve öğrencilerin genellikle problem çözerken sözel ifade, ilgili çözümlerle ilişkilendirme ve alan özeliklerini kullandıkları sonucuna varmışlardır. Başarılı öğrenciler ise matematik problemlerini çözmede; problemi çözdükten sonra kontrol ettiklerini, problem çözme ile ilgili kendi planlarını tekrar kontrol ettiklerini ve ayrıca probleme ait grafik ve şema kullandıklarını tespit etmişlerdir.

Lutfiyya (1998), yüksek okul öğrencilerinin matematiksel düşünmelerinin belirlenmesi amacıyla yaptıkları çalışmalarında (a)Yüksek okul öğrencilerinde matematiksel düşünmenin ölçülmesi için bir araç geliştirmeyi ve (b) yüksek okuldaki öğrencilerde matematiksel düşünme üzerine sınıf düzeylerinin ve öğrenci cinsiyetlerinin etkilerini incelemişleridir. Araştırma sonucunda sınıf seviyesi yükseldikçe anlamlı farklılıkların oluşturduğu görülürken, hiçbir sınıf düzeyinde cinsiyet açısından matematiksel düşünme ortalamalarının farklaşmadığı belirlenmiştir.

Kaytancı (1998) ve Özsoy (2005) çalışmalarında, öğrencilerin problem çözme ile ilgili kritik davranışları gerçekleştirme düzeylerini incelemiş, öğrencilerin şekil veya şema çizme ve problemin doğruluğunu kontrol etme davranışlarını gösteremedikleri sonucuna ulaşmıştır. Bunun yanında, metnin anlaşılamamasından kaynaklanan hatalarda öğrencilerin Türkçe’yi kullanma becerisi de işin içine girmektedir. Bu konuda basınç ünitesinin öğretiminde fen bilgisi öğretmenleri, öğrencilerin okuma ve okuduğunu anlama becerilerini de göz önünde bulundurup öğretimi bu şekilde tasarlamalıdır.

Stenger (1999), üniversite öğrencilerinin matematiksel düşünme karakterlerinin belirlenmesi amacıyla, üniversite öğrencilerinin görüşleri ve matematiksel düşünme becerilenine bakışlar açısından incelenmiştir. Çalışmada, yüksek beceriler ve görüşleri, düşük beceriler ve görüşleri ve bu gruplara arasındaki farklılıklar tanımlanmıştır. Araştırma sonucunda, üniversitede tüm sınıf düzelerindeki matematik öğrencileri arasında matematiksel düşünen nadir öğrencinin olduğu saptanmıştır. Matematiksel olgunluk gösteren öğrencilerin, düşünme süreçleri kadar matematik hakkında görüşlere de sahiptirler. Matematiksel düşünme de ise önemli deneyimlerin Grekli olmadığı belirlenmiştir. Matematiksel olgunluk gösteren ve olgunluk gösteremeyen öğrenciler arasında çok büyük görüş farklarının olduğu görülmüştür. Bunlar;

(a) matematiğin önemini anlama

(b) matematikle uğraşırken karar verme, sorumluluk alma ve sabırlı olmayı anlamadır.

Cai (2000), Amerika ve Çin’deki 6.sınıf öğrencilerin matematiksel düşünme ve akıl yürütmelerini incelemek üzere süreç boyunca 6 zorlayıcı 6 açık uçlu soru yöneltilmiştir. Zorlayıcı sorularda Çin’deki öğrenciler lehine anlamlı fark oluşurken, açık uçlu sorularda Amerika öğrenciler lehine fark oluşmuştur. Bu problemlerin çözümünde matematiksel düşünme ve akıl yürütmenin incelenmesinde nitel araştırma verileri ile öğrencilerin problem çözme durumları incelenmiştir. Nitel araştırma sonuçları; Çin’deki öğrencilerin rutin algoritmaları ve sembolik ifadeleri kullanmayı, Amerika’da öğrenim gören öğrencilerin ise görsel planlamayı kullanmayı tercih ettikleri göstermiştir. Öğrencilerin cevaplarının nitel analizini Amerika ve Çinli öğrencilerin matematiksel düşünme anlayışları sağlamıştır.

Jordan ve Hanich (2000), standart başarı testi ile 49 ikinci sınıf öğrencilerini performansları dikkate alınarak; matematik farklılıkları ile normal okuma başarısı (yalnız MD), hem matematik ve hem de okuma farklılıkları (MD/RD), okuma farklılıkları ile normal matematik başarısı (yalnız RD) ve normal matematik ve okuma başarısı (NA) olan öğrenciler şeklinde sınıflandırmışlardır. Her bir düzeyde farklı yeterliliklere sahip öğrenciler Matematiğin 4 bölümünde (sayılar, problemler, değer ve hesaplamalar) düşünme çabaları değerlendirilerek bir iş sırası verilmiştir.

Araştırma sonucunda; hem matematik ve hem de okuma farklılıkları olan öğrenciler(MD/RD), normal matematik ve okuma başarısı (NA) olan öğrencilere göre performansları matematiksel düşünmenin bir çok alanında anlamlı daha kötüdür. Matematik farklılıkları ile Normal okuma başarısı (yalnız MD) olan öğrenciler normal matematik ve okuma başarısı (NA) olan öğrencilerden yalnızca kompleks problemlerde daha düşük performans göstermişlerdir. Okuma zorlukları ile normal matematik başarısı (yalnız RD) ve normal matematik ve okuma başarısı (NA)olan öğrenciler arasında ise hiçbir anlamlı farklılık bulunamamıştır. Matematik farklılıkları olan öğrenciler arasında hem matematik ve hem de okuma farklılıkları (MD/RD) olan öğrenciler ile matematik farklılıkları ile normal okuma başarısı (yalnız MD)olan öğrenciler, Matematiksel düşünmede eksiklikler ve problem çözmede çok fazla eksiklikler ile net olarak ayrıldıkları belirlenmiştir.

Altun ve diğ. (2001) 6 yaş grubu öğrencilerinin problem çözme stratejileri ve problem çözmedeki başarı düzeyleri, sınıf öğretmenlerinin ve ilköğretim müfettişlerinin 6 yaş grubu öğrencilerinin problem çözme başarı düzeyleri hakkındaki kanıları incelenmiştir. Anaokullarında bulunan 6 yaş grubuna mensup toplam 70 öğrenciye dört işlem becerileri ile çözülebilen, rutin olan ve olmayan türden 9 sözel problem yöneltilmiştir. Öğrencilerin 16’sı tüm soruları doğru çözmüş, 2 öğrenci hiçbir soruyu doğru çözememiş, 15 öğrenci 7 ve daha fazla soruyu doğru çözmeyi başarmıştır. Öğrenciler problemleri çözerken, çoğunlukla hazır materyal kullanmak suretiyle modelleme yapmayı denemiş ve bunda başarılı olmuşlardır. Bunun dışında az sayıda öğrenci işlem yapma ve sayma yöntemini kullanmak suretiyle, bazıları da sezgisel olarak doğru cevabı yakalamıştır. Bu çalışmanın sonuçlarına bakılarak 6 yaş grubunda problem çözme için modelleme stratejisinin uygun bir yol olduğu ve geliştirilmesi gerektiği, öğretmen ve müfettişlerin öğrencilerin problem çözme strateji ve başarı düzeylerini daha yakından tanımalarının problem çözme öğretiminin kalitesini yükselteceği söylenebilir.

Gökçek Bal (2002), ilköğretim beşinci sınıf öğrencilerinin matematik dersindeki doğal sayılar ve kesirlerde dört işlem, doğal sayılar ve kesirlerle ilgili problemler konusundaki matematiksel kavrama ve işlem becerileri arasındaki fark inceleyip; bu farkın öğrencinin genel akademik başarısı, cinsiyeti ve okuduğunu

anlama becerisi değişkenleri açısından anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemeyi amaçlamıştır. Sonuç olarak, ilköğretim beşinci sınıf öğrencilerinin işlemle ilgili başarı testinde kavrama ile ilgili başarı testine göre daha başarılıdır. Örnekleme katılan öğrencilerin kavrama ve işlem testlerinden aldıkları puanlar arasındaki farkın genel akademik başarı, cinsiyet ve okuduğunu anlama değişkenleri açısından anlamlı bir fark yaratmadığı saptanmıştır.

Karataş (2002) 8. sınıf öğrencilerinin problem çözme sürecinde kullanılan bilgi türlerini kullanma düzeyleri üzerine yaptığı çalışmasında seçmiş olduğu beş öğrenciye sorduğu problemlerle uygulamış olduğu klinik mülakat sonucunda su sonuçları elde etmiştir: Sözel problemlerin çözümünde problemi ifade eden eşitliğin oluşturulması veya modelin tanımlanması ve bu modelin etkili şekilde kullanılması doğru sonuca ulaşmada önemli faktörlerdir. Çalışmada alan bilgisini problemlerin çözümünde etkili bir şekilde kullanan öğrenciler, gerek problemi ifade eden denklemin oluşturulmasında gerekse doğru sonuca ulaşılmasında başarılı olmuştur. Bulunan sonucun doğru olup olmadığını değerlendirmede uygun strateji kullanan öğrenciler, problemi çözmede yapmış oldukları hataların farkına varmıştır.

Özer ve Arıkan (2002), lise 2 öğrencilerinin matematik derslerinde ispat yapabilme becerileri tespit etmişler ve öğrencilerin ispat düzeyleri incelemiştir. Bu amaçla 2000-2001 eğitim öğretim yılında toplam 110 öğrenci üzerinde araştırma yapılmıştır. Ayrıca 3 öğrenci ile görüşme yapılmıştır. Açık uçlu sorulara öğrenciler tarafından verilen yanıtlar sonucunda aldıkları puanlar gruplandırılarak tablolar oluşturulmuştur. Araştırma sonucunda lise 2 öğrencilerinin istenilen düzeyde ya da materyal kullanarak ispat yapamadıkları gözlenmiştir. Öğrencilerin ispat yapma yöntem ve tekniklerini yeterince kullanmadıkları saptanmıştır.

Berberoğlu ve diğ. (2002) MEB, Ortaöğretim Kurumları Öğrenci Seçme ve Yerleştirme Sınavının 2001 yılında uygulanan test formu kullanıldığı çalışmada, fen bilgisi ile ilgili zihinsel süreçlerin neler olduğu belirlenmiş ve Türkçe ve Matematik alt testlerindeki boyutların Fen Bilgisinde belirlenen boyutlarla ilişkisi kurulmuştur. Genel olarak fen bilgisi alt boyutları problem çözme, bilimsel yöntem süreci ve biyoloji olarak tanımlanmış, özellikle Türkçe alt testlerindeki başarının, fen bilgisi alt testlerindeki başarıyı en az matematik kadar yordadığı gözlenmiştir. Dil gelişimi ve

yeterliği en az matematiksel düşünme becerileri kadar fen bilgisindeki başarıyı etkiler gözükmektedir. Özellikle okuduğunu anlama becerileri fen bilgisinde başarıyı belirleyen önemli bir faktör olarak ortaya çıkmaktadır. Yalnızca Türkçe derslerinde değil, fen bilgisi derslerinde de ana dilde okuduğunu anlama, ifade etme, dili etkin kullanma becerilerinin geliştirilmesi gerekmektedir. Türkçe testinin ‘Anlam’ ve ‘İlişki Kurma’ alt boyutlarının fen bilgisi alt test boyutları ile birlikte etkileri dikkate alındığında fen bilgisi öğrenci başarıları daha çok açıklanmaktadır. Bu da okul programlarında zihinsel süreçlerin çeşitliliğinin dikkate alınmasının, her ders içerisinde dil becerilerinin geliştirilmesi gerektiğinin kaçınılmaz olduğunu destekler niteliktedir.

Cai (2003) araştırmasında dördüncü, beşinci ve altıncı sınıflardaki öğrencilerin problem çözme ve problem durumlarındaki matematiksel düşünmeleri incelenmiştir. Araştırmanın sonuçlarında 4., 5. ve 6. sınıf öğrencilerinin problem çözümlerinde, çözüm stratejilerini seçebildikleri ve seçilmiş olan çözümleri temsil edecek şekilde çözüm sürecinde açık bir biçimde iletişim de kullanabildiklerini göstermiştir. Birçok öğrenci problem durumunda modelleri resmedebilmişlerdir. İstatistikler arasındaki anlamlı farklılıklar üç sınıf düzeyinde 4. ve 5. sınıf öğrencileri arasında anlamlı farklılıktan kaynaklanmaktadır. Beşinci ve altıncı sınıf öğrencileri arasında ise anlamlı farklılık oluşmamıştır.

Pape, Bell ve Yetkin (2003), araştırmalarında ortaokul matematik sınıfında matematiksel düşünme ve kendi kendine öğrenmenin gelişimini destekleyen bağlamları tanımlayabilmek amaçlanmıştır. Kendi kendine öğrenenler kendi öğrenmelerine aktif olarak katılan, bir dizi strateji arasından seçim yapabilen ve bu stratejileri hedeflerine giden yolda kullanırken ilerlemelerini izleyen kişilerdir. Ulusal matematik Öğretmenleri konseyi (NCTM) standartları (1989, 2000) ile uyumlu bir matematik öğretimi yapılmasının kendi kendine öğrenme gelişimini mümkün kıldığını ve aynı zamanda bu gelişimin pratik yapmaya bağlı olduğunu belirtmişlerdir. Bu amaçla yedinci sınıf matematik sınıflarında bir matematik öğretmeninin ve üniversitede bir akademisyenin bir ortaokul sınıfındaki öğrencilerin matematiksel düşünmelerini ve kendi kendine öğrenmelerini geliştirme yönündeki işbirliği yapılmıştır. Bu gelişimde; çoklu ifade etme ve zengin matematik ödevleri,

sınıf içi söylemler, stratejik davranış platformu ve anlaşılırlık ve destek ihtiyacı gibi bazı faktörlerin hayati öneme sahip olduğu belirlenmiştir.

Aydoğdu ve diğ. (2003)’nin ilköğretim 6, 7 ve 8. sınıflardaki öğrencilerin matematik problemlerine buldukları sonuçlardan nasıl emin olduklarını araştırdıkları çalışmalarında ilköğretim 6, 7 ve 8. sınıflardan 4'er tane öğrenci ile klinik görüşmeler yapılmıştır. Araştırma sonucunda, öğrencilerin genellikle dışsal şemalardan otoriteyi kullandıkları görülmüştür. Bu da öğrencilerin matematiği öğrenirken kendi zihinsel yapılarını oluşturmaktan ziyade ezberleme yoluna gittiklerini göstermektedir.

Duran (2005), 15 yaş grubu öğrencilere PISA (Uluslar arası Öğrenci Değerlendirme Programı) kapsamında uygulanan matematiksel düşünme ile ilişkili bazı değişkenlerin matematiksel düşünme becerileri başarısını yordama gücüne etkilerini incelemiştir. Araştırmada matematiksel düşünme becerilerine ilişkin Türk öğrencilerin başarı durumları her bir beceri düzeyi için katılımcı diğer ülkelerle karşılaştırılmıştır. Okul türlerine göre başarı arasındaki farklılık durumu ortaya koyulmuştur. Okul öncesi eğitime katılım durumu ve cinsiyete göre matematiksel düşünme becerilerine ilişkin başarının farklılık gösterip göstermediği incelenmiş; diğer matematiksel başarı ile ilişkili olduğu düşünülen değişkenlerin PISA matematik başarısını açıklama gücü araştırılmıştır. Araştırma sonucunda, okul öncesi eğitim alan öğrencilerin okul öncesi eğitim almayan öğrencilere göre daha başarılı olduğu görülmektedir. Ayrıca erkek öğrencilerin matematiksel düşünme becerilerinin kız öğrencilerden daha iyi olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Bununla birlikte, öğrencilerin matematiğe ilişkin kaygılarının matematiksel düşünmeye ilişkin başarıyı en çok yordayan değişken olduğu görülmektedir. Matematik başarısını yordayan en önemli değişkenlerden biri olan ders dışı ayrılan haftalık çalışma süresi ise denkleme girememiştir.

Ma’Moon (2005) çalışmasında matematiksel düşünmenin boyutlarını tanımlamış ve matematiksel düşünme ve matematik başarı arasındaki ilişkiyi incelenmiştir. Ayrıca cinsiyet ve okulun bulunduğu yerleşim birimi açısından matematiksel düşünme ve matematik başarı arasındaki ilişki araştırılmıştır. Geliştirilen iki değerlendirme aracı ile veriler toplanmış ilaveten 13 öğretmen ile bireysel görüşülmüş ve dört grup öğrenci ile onların görüşleri ve matematikteki

düşünmenin farklı metotları hakkında bilgi elde etmek amacıyla odak grup görüşmesi yapılmıştır. Öğretmen görüşleri, test sonuçları ve cevap verenlerin görüşleri arasında tutarlılık ve tutarsızlıkların tanımlanması için kullanılmıştır. Matematiksel düşünme altı boyutta tanımlanmıştır: genelleme, tümevarım, tümdengelim, sembolleri kullanma, mantıksal düşünme ve matematiksel ispat. Toplam test skorlarında ve matematiksel düşünmenin altı boyutunun üçünde kız öğrenciler erkek öğrencilere göre anlamlı derecede yüksek ortalamaya ulaşmışlardır. Şehir çevresindeki yerleşim yerlerinden katılan öğrenciler kırsal ve şehir merkezinde bulunan öğrencilere göre 4 boyutta ve toplam test ortalamaları daha anlamlıdır. Kullanılan çoklu regresyon analizlerinde matematiksel düşünmenin altı boyutu öğrencilerin matematik başarılarında önemli olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Matematiksel düşünmenin altı boyutu, cinsiyet ve okulun bulunduğu yerleşim birimi Matematik başarısındaki yaklaşık varyansın yüzde 70’ini oluşturmaktadır. Matematiksel düşünmenin boyutları ve test skorları ile öğretmen görüşleri arasında yüksek düzeyde tutarlılık vardır.

Altıparmak ve Öziş (2005), okul öncesi, ilköğretim ve lise yıllarında matematiksel ispat ve matematiksel muhakemenin gelişimini inceledikleri çalışmalarında, konuyla ilgili olarak NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) standartları doğrultusunda, okulöncesi, ilköğretim ve lise seviyelerinde matematiksel ispat kavramı ile ilgili bilgiler ve örnekler vermişlerdir. Okul öncesi dönemde sınıflama, eşleştirme, karşılaştırma, sıralama kavramları çocuklarda muhakemenin oluşumu için temel kavramlardır. İlköğretim döneminin birinci kademesinde, birey somut düşünme dönemdedir. Bu doğrultuda parça-bütün ilişkileri ele alınarak, tümevarım ilkeleri için örnekler verilmiştir. İkinci kademede ise muhakeme ve ispat standartlarında öğrencilerden genellemeler hakkında varsayım oluşturmaları ve varsayımları değerlendirmeleri istenmektedir. Lise yılları soyut düşünebilme evresinin geliştiği yıllardır bu yıllarda tümdengelim ve tümevarım oluşmuştur. Bu doğrultuda ispat çeşitleri incelenerek, örnekler verilmiştir. Ancak her aşamada ispat ve muhakeme kavramlarının öğretiminin kolay bir yapıda olmadığı ve bunun nedeni olarak ta bu aşamaların uygulanmasını sağlayan öğretmenlerin çok önemli bir yere sahip olduğu belirtilmiştir. Öğrenciye ispat ve muhakeme becerisinin öğretimi ve gelişimi öğretmene bağlıdır. Eğer öğretmenler öğrencileri için geniş

öğrenme yelpazesi sunarlar ve değişik ispat yöntemlerini verirlerse, öğrencilere matematiği ve mantıksal düşünceyi daha iyi anlayıp yaratıcılıklarını artıracaklardır. Öğretmenler öğrencilerine konular üzerindeki fikirlerini açıklama ve tartışma fırsatı vermeli ve onları cesaretlendirmelidirler.

Yeşildere (2006), farklı matematiksel güce sahip ilköğretim altı, yedi ve sekizinci sınıf öğrencilerinin matematiksel düşünme ve bilgi oluşturma süreçlerini incelediği çalışmasında; matematiksel gücü yüksek ve düşük olan öğrencilerin