Laplasyen Büyümesi (Laplacian Growth)

Laplasyen Büyümesi Modeli’nde genel olarak üç farklı teknik uygulanabilmektedir:

1) Sınırlı Bölgede Yayılma (Diffusion Limited Aggregation)

2) Elektriksel Delinme Modeli (Dielectric Breakdown Model (DBM))

16

Şekil 4.4 : Benzetim İçin Değişik Yük Biçimleri

Günümüzde yıldırım modellemesinde en yaygın olarak kullanılan yöntem bir Laplasyen büyümesi yöntemi olan Elektriksel Delinme Modeli, (Di-electric Breakdown Model (DBM))’dir [14].

Laplasyen büyümesinde kullanılan yukarıdaki yöntemler, hemen hemen aynı görsel sonuçları vermektedir. Nitekim yıldırım olayı, bilindiği üzere atmosferde meydana gelen elektriksel bir olay olduğundan yıldırımın yolu gibi yıldırımla ilgili bir modellemede, içerdiği elektriksel bağıntılardan dolayı Elektriksel Bozulma Modeli (DBM) tercih edilmektedir.

DBM’nin ilk olarak kullanılma alanı yüksek gerilim kablolarında yaşlanma ve elektriksel zorlanma nedeniyle meydana gelen delinmelerin görsel olarak modellenmesi olmuştur. Şekil 1.a’da görüldüğü üzere, DBM’nin orijinal biçimi, merkezde gri renk ile gösterilen bir φ = 0 noktası, sınır koşulları da siyah renk ile gösterilen ve φ = 1 olan bir daireden oluşmaktadır. Merkezde bulunan φ = 0 noktası, akımın aktığı kablo iletkeni, dolayısıyla delinmenin başlangıç noktası olarak kabul edilmektedir. φ = 1 ile gösterilen daire de yalıtkanın bittiği noktaları veya siperi göstermektedir. Dolayısıyla bu modelde DBM yöntemi kullanılarak merkezden, yalıtkan sınırına yani φ = 1 noktasına doğru ilerleyerek adım adım büyüyen bir delinme olayı benzetimi yapılarak, gerçeğiyle benzeşmesi sağlanmaktadır. Aşağıdaki şekilde DBM kullanılarak elde edilen bir delinme yolu ile gerçekte karşımıza çıkan bir delinme yoluna örnekler sunulmuştur [14].

Aşağıda, Şekil 4.5’te DBM kullanılarak elde edilen benzetimlere ait bazı sonuçlar, Şekil 4.5’te ise gerçekte karşımıza çıkan bir delinme yoluna ait bir örnek sunulmuştur [15,16].

17

Şekil 4.5 : DBM ile Elde Edilen Bazı Benzetim Sonuçları

Şekil 4.6 : XLPE Tip Bir Kabloda Gerçek Bir Delinme Örneği

Fark edilebileceği üzere, kabloda delinme esnasında zamanla ortaya çıkan “delinme yolu” görsel olarak aslında atmosfer içersinde yol alan yıldırımın yolu ile benzeşmektedir. İkisi arasındaki en büyük fark ise, kablodaki delinme olayında, yolun merkezden kablo yalıtkanın çeperlerine doğru, yani sipere doğru ilerlemesi, yıldırım olayında ise, bulutun alt kesiminde oluşan öncü uçtan yeryüzüne doğru, yani yukarıdan aşağı doğru yönde gerçekleşiyor olmasıdır. Bir başka fark ise delinme olayında, delinmenin meydana geldiği yol merkezden sınıra doğru her zaman tek bir yol şeklinde değil, birden fazla yol oluşturarak ilerleyebilmektedir. Merkezden yukarı doğru bir delinme yolu başlarken, örneğin merkezden aşağı veya başka yönlere doğru da delinme ve buna bağlı olarak da yeni bir delinme yolu eş zamanlı olarak görülebilir. Yıldırım olayında ise ana tek bir yol vardır ve bu ana kola bağlı olarak ikincil, üçüncül kollar oluşabilmektedir.

Yukarıdaki farklar göz önüne alındığında DBM’de kullanılan orijinal biçim, elde edilen görsel sonuçlar göz önüne alındığında şekil olarak yıldırıma benzemektedir fakat yıldırımın özelliklerini ve oluşum şeklini doğru olarak yansıtmayacaktır. Bu nedenle DBM’nin, Şekil 4.4 (a)’da görülebileceği üzere yıldırım modellemesi için de

18

kullanılabilmesi için, orijinal biçimi üzerinde bazı değişiklikler yapılmış ve yıldırım için daha uygun hale getirilmiştir. DBM’nin ana biçiminin bu şekilde değiştirilerek yıldırım modeli için kullanılması fikri, daha önceden adından söz ettiğimiz L. Niemeyer tarafından ortaya konulmuştur [14].

Günümüzde yıldırım modellemesi konusunda çalışmaları ile öne çıkan iki isimden; L. Niemeyer ve C. Ming Lin’den söz etmiştik. Bu iki araştırmacı da, yıldırımın yolunun modellenmesinde Laplasyen Büyümesi yöntemini ve az önce tanımlamış olduğumuz DBM’nin yıldırım biçimine ilişkin modelini kullanmaktadır.

DBM’nin orijinal biçimin işleyişinden söz etmek gerekirse, içi karelerden oluşan 2D bir ızgara üzerinde, elektriksel potansiyel, φ’nin, her noktada izlenmesi esasına dayanmaktadır. İlk olarak negatif bir yük merkeze yerleştirilerek φ = 0 değeri atanmaktadır. Daha sonra merkezi yükün etrafına dairesel formda φ = 1 olan bir pozitif yük dağılımı yapılmaktadır. Daire içersinde kalan diğer noktalardaki potansiyeller de her bir nokta için Laplace denklemi, (4.1) çözülerek ve iterasyonlar gerçekleştirilerek hesaplanmaktadır. Bu çözüm gerçekleştirilirken merkezi ve dairesel yükler sınır koşulları olarak kabul edilmektedir. Ayrıca ızgara sınırları da φ = 0 olarak tanımlanmaktadır [14,17]:

0

2

=

∇ φ

Laplace denklemi çözüldükten sonra, negatif yüklere komşu olan yani (φ = 0) noktalar işaretlenmektedir. Daha sonra bu noktalardan bir tanesi “büyüme konumu” olacak şekilde tamamen gelişi güzel olarak seçilmektedir (örneğin yüksek gerilim kablosunda delinmenin ilerleyeceği bir sonraki nokta). Seçilen nokta φ = 0 olarak değiştirilmekte ve bundan sonra yapılacak olan iterasyonlarda bu nokta da sanki sınır koşullarından birisiymiş gibi tanımlanmaktadır. Tanımlanacak olan noktanın seçilme olasılığı, potansiyeli ile bağıntılıdır. Seçilme olasılığına ilişkin ağırlık fonksiyonu aşağıda belirtilmiştir [14, 18]:

∑

φ

φ

Burada “i”, komşu hücreler listesindeki bir hücre, n ise listedeki toplam komşu hücre sayısını ifade etmektedir. Kullanılan η terimi ise modellemedeki kilit değişken

19

olmakla birlikte “güç katsayısı” (Bkz. 5. Bölüm) olarak adlandırılmaktadır ve ilerideki kısımda ayrıntılı olarak tanımlanacaktır.

Ardışık iterasyonlar, 2D bölgede Laplace denklemi çözülerek ve tekrar bir büyüme noktası seçilerek (4.2) denklemi kullanılarak tekrarlanmaktadır. İterasyonların kullanıcı arzu ettiği değerlere ulaşana kadar tekrarlanması gerekmektedir [14].

DBM’ye ilişkin orijinal biçim uygulandığında sonuç olarak, aşağıdaki Şekil 4.4 (a)’da belirtildiği üzere radyal bir büyüme göstermektedir. Büyümenin yıldırım şeklinde olması için Şekil 4.4 (b)’de görünen biçim kullanıldığında, benzetim sonuçlarında değişik η’lere ilişkin sonuçlar Şekil 4.5 (a), (b), (c) ve (d)’de gösterilmiştir [4].

Şekil 4.7 : Değişik Yük Biçimlerine Göre Benzetim Sonuçları

Şekil 4.7 (a), Şekil 4.4 (a)’nın sonuçları iken; Şekil 4.7 (b), (c) ve (d), Şekil 4.7 (b)’ye ilişkin değişken η terimleri için sonuçlardır. Görüldüğü üzere, DBM’nin yıldırım biçimi kullanıldığında bir başlangıç ve bitiş noktası olan, yukarıdan aşağı doğru yol alan, görsel olarak yıldırımla benzerlik gösteren bir sonuç ortaya

20

çıkmaktadır. Burada dikkat edilmesi gereken nokta η değerleri, yıldırım biçiminde dallanmanın ve kırıklıkların derecesini etkileyen faktör olarak karşımıza çıkmış olmasıdır.

Yöntemin Üstünlükleri:

• Teknik İçerik: DBM ile yapılan modellemelerde, belirli bir alan içersinde, Laplace denklemi kullanılarak her adımda alana ilişkin potansiyel dağılımı hesabı gerçekleştirilmektedir. Yıldırımın, gerçekte, atmosferde havanın delindiği veya delinmeye en yakın olduğu noktaları izleyerek yeryüzüne ulaştığını biliyoruz. Bu nedenle alan içersinde potansiyel dağılımlarına bağlı olarak elde edilen sonuçlar, Sızma Teorisi veya Rasgele Orta Nokta Kaydırma Algoritması yöntemlerinde olduğu gibi tamamen olasılık hesaplarına ve raslantısal seçimlerine dayalı değildir.

• η katsayısı (kuvvet katsayısı): DBM’de η katsayısı, kendisine değişik değerler atanması ile, modellemede elde edilecek sonuçlara genel olarak müdahale edilmesine olanak tanımaktadır. Yıldırımın daha fazla dallanmasını, daha az kırılmasını, daha karmaşık veya daha yalın olmasını genel anlamda sağlayabilecek bu katsayı ile yıldırım için en optimum değerleri tespit etmek veya istenilen doğrultuda sonuçlar elde edebilmeye fırsat vermektedir. Sızma Teorisi veya Rasgele Orta Nokta Kaydırma Algoritması’nda (RMDA) ise sonuçlar tamamen rasgele şekilde meydana gelmektedir ve bu sonuçlara bir müdahalede bulunması mümkün değildir. Sızma Teorisi’nde seçilecek noktalar için olasılık değeri yüksek veya düşük tutularak dallanmanın azalması veya artması sağlanabilir fakat bu yöntemin de genel olarak yön belirlenmesi konusunda sıkıntıları vardır çünkü ilerleme her doğrultuda gerçekleşebilmektedir.

Yöntemin Eksik Yanları:

• Hız: Yöntem her adımda ve her nokta için Laplace denkleminin hesabını ve iterasyonlarını gerektirdiğinden dolayı, çok küçük ölçekteki (10 × 10 ızgara) modellemelerde dahi oldukça fazla süreye ve yüksek sistem gereksinimlerine gereksinim duymaktadır.

• Olasılık Temelli: Yöntemde her ne kadar her adımda ve her nokta için potansiyel hesabı ve bu dağılıma ilişkin komşu noktalar için olasılık değerleri

21

hesap ediliyor olsa dahi, komşu noktalar tamamen rasgele seçildiğinden dolayı, bir noktada bu potansiyel dağılım hesabı önemini yitiriyor gibi görünmektedir.

• Yalnızca dört yönlü ilerleme: DBM’de de Sızma Teorisi ve Laplasyen Büyümesi’nde olduğu gibi ilerlemeler her bir adımda bir nokta şeklinde gerçekleşmektedir. Seçilen noktalar, kendisine komşu olan noktanın altı, üstü, sağı ve solu şeklinde olabilmekte yani ilerleme sadece eksenel doğrultularda gerçekleşmekte ve dört yön ile sınırlı kalmaktadır.

22