KiĢisel ve Siyasal Haklar SözleĢmesi (KSHS)

demonstrac~ao necessaria utilizando-se das denic~oes aritmeticas intervalares e das propriedades de corpo dos reais.

5.2 Denic~oes Basicas

Denic~ao 27

Seja R o conjunto dos numeros Reais, e x 1 x 2 2R, ent~ao o conjunto fx2R=x 1 xx 2

g e um

intervalo real

e sera denotado por X = x 1

x

2].

Denic~ao 28

Sejam I(R) o conjunto dos intervalos reais, a= a 1 a 2] e b= b 1 b 2]

dois intervalos de I(R). Dizemos que os dois intervalos s~ao

iguais

se e somente se a 1 = b 1 e a 2 = b 2.

Denic~ao 29

Sejam AB 2 I(R) dois intervalos. As operac~oes de

soma, sub-

trac~ao, multiplicac~ao e divis~ao

em I(R) s~ao denidas por AB =fab=a 2 Ab 2 Bg, onde  2 f+;=g e quaisquer uma das quatro

operac~oes aritmeticas.

E importante observar que para a operac~ao de divis~ao, precisamos assumir que 062B, pois, caso contrario, a operac~ao n~ao estara bem denida.

Em decorr^encia desta denic~ao as operac~oes aritmeticas com intervalos s~ao de- nidas como segue. E possvel caracterizar estas operac~oes intervalares em func~ao dos seus extremos.

Teorema 7 (Moo66)

(Operac~oes Aritmeticas Intervalares) Sejam ab]cd]2I(R) dois intervalos reais.

5.2. DEFINIC ~

OES BASICAS 97

 ab] + cd] = a+cb+d]  ab];cd] = a;db;c]

 ab]cd] = MinfacbcadbdgMaxfacbcadbdg]  ab]=cd] = ab] 1 d 1 c] se 0 62cd]

Este teorema nos permite visualizar um intervalo como sendo uma natureza dual: como um conjunto e como um par de numeros reais.

Teorema 8

(Propriedades Algebricas deI(R)

Sejamabc2I(R) intervalos reais. Ent~ao, valem:  A+B =B+A  AB =BA  A+ (B+C) = (A+B) +C  A(BC) = (AB)C  9!0 =00]2I(R) tal que A+ 0 = 0 +A=A  9!1 =11]2I(R) tal que A1 = 1A=A  a(B+C)(AB) + (AC)  82R vale que (B+C) = (B) + (C)

Em I(R) n~ao valem as seguintes propriedades:  8A2I(R) 9;A2I(R)=A+ (;A) = 0  8A2I(R) com 062 A 9A ;1 2I(R)=AA ;1 = 1  A(B+C) = (AB) + (AC)

Outras operac~oes que podemos denir sobre o conjunto I(R) s~ao a intersec~ao e

a uni~ao de intervalos, A\B =fx=x2A e x2Bg eAB =fx=x2A ou x2Bg

(a uni~ao de intervalos so e um intervalo quando A\B 6= ).

Proposic~ao 5

(Intersec~ao de Dois Intervalos)

Sejam A = a1a2] e B = b1b2] dois intervalos. Ent~ao a

intersec~ao

dos

intervalos Ae B e o intervalo A\B = maxfa 1b1 gminfa 2b2 g], se maxfa 1b1 g minfa 2b2 g. Seminfa 2b2 g< maxfa 1b1 g ent~ao A\B = .

Teorema 9

(Propriedades da intersec~ao )

Sejam ABCD2I(R). Se AC e B D, ent~ao, A\B C\D.

Proposic~ao 6

(Uni~ao de Dois Intervalos)

Sejam A = a1a2] e B = b1b2] dois intervalos tais que A

\B 6= . Ent~ao a

Uni~ao

dos intervalos A e B e o intervalo AB = minfa 1b1

gmaxfa 2b2

g].

Nas duas denic~oes a seguir observaremos os intervalos como estando imersos na retal real, ou seja, n~ao teremos mais pontos xos, teremos seguimentos de reta que ter~ao como extremos os valores dos intervalos. Essas denic~oes ser~ao trabalhadas adiante com o conceito de dist^ancia de dois intervalos.

Denic~ao 30

(Di^ametro) Seja A = a1a2]

2 I(R) um intervalo. Ent~ao o

di^ametro

do intervalo A e o

numero real n~ao negativo d=a2 ;a

1.

representaremos o di^ametro por Dia.

Denic~ao 31

(Ponto Medio de Um Intervalo) Seja A= a1a2]

2 I(R) um intervalo. Ent~ao o

ponto medio

do intervalo A e

o numero real m= a 1

+a

2

2 . Denotamos por med(A):

Podemos observar que os I(R), o conjunto de todos os intervalos sobre os reais,

estabelece um estrutura algebrica que generaliza a estrutura dos numeros reais. A aritmetica intervalar satisfaz a propriedade da monotonicidade Moo66], isto e, se

IJKL2I(R), I K and J L, ent~ao  I+J K+L

 I;J K;L  IJ KL

 I=J K=L (se 062JL)

5.2.1 Func~oes Intervalares

Nesta sec~ao veremos como se pode denir as principais func~oes intervalares. Inicia- remos denindo informalmente a func~ao intervalar:

Denic~ao 32

(Func~ao Intervalar) Seja

f(x) =

X

!

Y

X 7!f(X)

uma func~ao. Se X=Dom(f) I(R) e Y=Cod(f)I(R), ent~ao nos dizemos que

5.2. DEFINIC ~

OES BASICAS 99

Denic~ao 33

(Inclus~ao Intervalar)

Dado x2R, dizemos queX 2I(R) e uma

inclus~ao intervalar

de x se x2X.

Exemplo 22

O intervalo 3,4] e uma inclus~ao intervalar para o numero real .

Teorema 10

(Princ pio da Inclus~ao da Aritmetica Intervalar)

Sejam AB 2 I(R) dois intervalos reais e  2 R dois numeros reais. Ent~ao

2AB, sempre que 2A e 2B para 2f+;=g.

Exemplo 23

Tem-se que 2 2 13] e 5 2 46]. Assim 10 = 2  5 2 418] =

13]46].

Imagem e Avaliac~ao Intervalares

Daremos, agora, uma breve descric~ao de como as func~oes intervalares podem ser denidas a partir de func~oes reais. Depois, veremos alguns teoremas que garantem as propriedades basicas da avaliac~ao e da imagem intervalar de func~oes reais.

Denic~ao 34

(Imagem Intervalar de uma Func~ao Real)

Sejamf uma func~ao real de variavel real e X um intervalo tal que X Dom(f)

e f e cont nua em X. Denimos a

imagem intervalar

da func~ao f em X (ou simplesmente a

imagem

de f em X) como sendo o intervalo denido por:

Im(fX) =ff(x)=x2Xg= minff(x)jx2Xgmaxff(x)jx2 Xg].

Note que esta e uma maneira natural de se denir func~oes intervalares a partir de func~oes reais, ou seja, denimos Y = f(X) = Im(fX), onde f e uma func~ao real e X e um intervalo contido no domnio da func~ao f.

Observe, tambem, que se X = xx] e um intervalo pontual (ou degenerado), ent~ao Y =f(X) tambem e um intervalo pontual, dado porY = f(x)f(x)].

Assim a func~ao real esta contida nesta extens~ao intervalar. Se X = x1x2] e

um intervalo com Dia(X)>0, ent~ao Im(fX) e o intervalo de menor di^ametro que contem todos os valores reais de f(x), quando x2X.

Denic~ao 35

(Avaliac~ao Intervalar de uma func~ao real)

Sejam f uma func~ao real de variavel real x e X um intervalo. Denimos a

avaliac~ao intervalar

de f em X (ou extens~ao intervalar de f) como sendo a func~ao intervalar F(X), denida da seguinte maneira: cada ocorr^encia da variavel real x e substitu da pela variavel intervalar X e cada operac~ao real (+;=) e

substitu da pela respectiva operac~ao intervalar de tal modo que, quando X = xx] for um intervalo pontual, ent~ao F(X) =f(x).

Veremos a seguir alguns teoremas e corolarios que estabelecem as proprieda- des basicas das func~oes intervalares Im(fX) e F(X). As demonstrac~oes cabveis encontram-se em Bra95].

Teorema 11

Seja f uma func~ao real de variavel real e XY dois intervalos. Se

X Y Dom(f), ent~ao Im(fX)Im(fY) Cut97]

Teorema 12

Seja f uma func~ao real cont nua de variavel real x e F(X) a sua respectiva extens~ao intervalar. Ent~ao, vale que Im(fX)  F(X) para todo X 

Dom(f)

Corolario 3

Se X = xx] ent~ao Im(fX) =F(X).

Corolario 4

Se x2X, ent~ao Im(fx)2Im(fX) e f(x)2F(X).

A imagem de uma func~ao real f : D  R ;! R, sobre o conjunto X  D, e

Im(fX) = ff(x)jx2Xg. QuandoX = ab] e um intervalo fechado, limitado ef

uma func~ao contnua,Im(fX) sera tambem um intervalo da mesma natureza. Um problema fundamental e tpico da analise intervalar e o calculo de Im(fX) ou ao menos uma boa aproximac~ao para ele. Se f esta denida em termos das operac~oes aritmeticas e func~oes com extenc~oes intervalares, ent~ao o uso de computac~oes inter- valares Moo66] nos fornece uma extenc~ao intervalar F tal que Im(fX)  F(X),

paraX D. Este calculo tem a vantagem de ser completamente automatico e n~ao

requerer conhecimento especial das propriedades def .

Func~oes Intervalares Basicas

Denic~ao 36

(Func~ao exponencial)

Denimos uma func~ao exponencial intervalar

Exp:

I

(R) !

I

(R)

X 7!Exp(X)

por: Exp(x1x2]) =exp(x1)exp(x2)].

Denic~ao 37

(Func~ao Logaritmo)

Denimos a func~ao logaritmo intervalar

Ln:

I

(R +) !

I

(R) X7!Ln(X) por: Ln(x1x2]) =ln(x1)ln(x2)], onde I( R +) = fx 1x2] 2I(R)=x 1 >0 g.

5.2. DEFINICOES BASICAS 101

Denic~ao 38 (Func~ao Seno)

Denimos a func~ao seno intervalar

Sen:

I(R) !I(R)

X 7!Sen(X)

por: Sen(X)=Im(sen(x)X).

Denic~ao 39 (Func~ao Cosseno)

Denimos a func~ao cosseno intervalar

Cos:

I(R) !I(R)

X 7!Cos(X)

por: Cos(X)=Im(cos(x)X)=Sen(X+ 

2 

2 ]). Denic~ao 40 (Func~ao Raiz Quadrada)

Denimos a func~ao intervalar

Y = p X por: p X = q x 1x2 ]= p x1 p x2 ]=Im( p xX). Denic~ao 41 (Func~ao X 2)

Seja f uma func~ao real de variavel real x. Denimos a func~ao

X2 : I(R) !I(R) X 7!X 2 por: X2 =Im(f 2X )= 8 > < > : x 2 1x 2 2 ] , se x 1 > 0 x 2 2x 2 1 ] , se x 2 < 0 0jXj 2 ] , se 02X Denic~ao 42 (Func~ao Pot^encia Intervalar)

Denimos a func~ao Xn : I(R) !I(R) X 7!X n por: X n ]=Im(f nX )eX 0 =11]

Exemplo 24

Seja X =;23]. Ent~ao, X 3

=;23] 3

Denic~ao 43 (Func~ao Arco-tangente Intervalar)

Denimos a func~ao arco-tangente intervalar

Arctan: I(R) !I(R) X 7!Arctan(X) por: Arctan(x 1 x 2]) = arctan(x 1) arctan(x 2)]

Como a Analise Intervalar e uma teoria matematica cujo principal objetivo e responder a quest~oes de exatid~ao e eci^encia que surgem na pratica da computac~ao cientca, e razoavel se esperar que tecnicas intervalares fornecam a garantia do controle de erros e possam ser aplicadas quase que automaticamente. Considerando tecnicas intervalares o di^ametro de um intervalo soluc~ao e um indicativo da inu^encia do erro no resultado nal. Entretanto, respostas intervalares n~ao garantem que estejam includos algo do nosso interesse. Para isso e preciso uma fundamentac~ao matematica acurada em cada estagio do projeto e implementac~ao do algoritmo. Para tirarmos partido das vantagens das tecnicas intervalares, os algoritmos devem ser intervalares, isto e, eles n~ao devem ser uma vers~ao intervalar de um algoritmo pontual.

5.2.2 A Teoria dos Domnios de Scott

Acioly Aci91] introduziu a ideia da utilizac~ao da Teoria dos Domnios de Scott e o

-calculo como uma fundamentac~ao para a Analise Intervalar alterando a noc~ao de

Domnios de Scott. O conjunto dos numeros reaisR com sua topologia usual (Haus-

dor) e um subespaco topologico do espaco dos intervalos de Moore, ordenado pela relac~ao de inclus~ao, com a topologia de Scott, identicando-se os numeros reais x

e os intervalos degenerados xx]. Ent~ao, como func~oes contnuas para a topologia

de Scott s~ao monot^onicas para a inclus~ao, Aci91] sugeriu que se descartasse a to- pologia de Moore e que fosse adotada a topologia de Scott. Ha tambem uma teoria de computabilidade para os Domnios de Scott. Considera o Domnio Intervalar de Moore, constitudo pelo conjunto dos intervalos ordenado pela relac~ao de inclus~ao. Este domnio e um Domnio de Scott Contnuo. Alem disso, as func~oes contnuas para a Topologia de Scott no Domnio Intervalar de Moore s~ao justamente aquelas que s~ao monot^onicas coma relac~ao a inclus~ao para a topologia de Moore Moo79].

A noc~ao de monotonicidade com a relac~ao a inclus~ao e continuidade segundo a topologia de Moore s~ao compatveis pela introduc~ao de uma topologia auxiliar no Domnio Intervalar de Moore, denominada Topologia de Inclus~ao Esc93]. A topolo- gia de Inclus~ao e denida de tal forma que uma func~ao intervalar e contnua para a topologia de inclus~ao se e somente se for monot^onica para a inclus~ao. Considera-se a intersec~ao entre a topologia da inclus~ao e a topologia de Moore, originando uma topologia denominada de Topologia de Moore-Inclus~ao. Uma func~ao intervalar e

5.2. DEFINIC ~

OES BASICAS 103

contnua para a Topologia de Moore-inclus~ao se e somente se ela for monot^onica pa- ra a inclus~ao e contnua para a topologia de Moore. Alem disso, conclui-se que a To- pologia de Moore-inclus~ao na verdade e Topologia de Scott. Isto mostra, a princpio que, neste sentido, as noc~oes de monotonicidade para a inclus~ao e continuidade para a Topologia de Moore n~ao s~ao compatveis, e que, portanto, a Topologia de Scott e a mais apropriada para a Analise Intervalar. A Topologia de Scott e quasi-metrizavel segundo uma ordem, no sentido que os conjuntos abertos da topologia s~ao gerados por uma quasi-metrica com o acrescimo de uma relac~ao de ordem.

Esc93] apresentam uma fundamentac~ao para a Computac~ao Cientca clara e precisa. Pode-se aplicar a Teoria dos domnios de Scott para a Analise Intervalar. Pode-se concluir que a Analise Intervalar e uma fundamentac~ao natural para a Analise Numerica e que a Teoria dos domnios de Scott e uma fundamentac~ao natural para a Analise Intervalar.

5.2.3 Teoria dos Domnios Contnuos Intervalares

Em Aci91] foi proposta uma topologia (Topologia de Scott) que procurou superar as deci^encias e incompatibilidades da teoria classica dos domnios contnuos traba- lhando a ideia de aproximac~ao que induz uma ordem de informac~ao, ou seja, para quaisquer intervalosXeY seX Y, ent~ao, sobre um numero realr,Y fornece mais

(no mnimo igual) informac~oes que X. Desta forma um numero real e aproximado

por intervalos de extremos racionais e n~ao mais por intervalos de extremos reais. O real r e o supremo de uma cadeia de intervalos com extremos racionais encaixados,

constituindo, ent~ao, um espaco denotado por I(Q).

Uma das principais diferencas, entre esta abordagem e a classica, esta no fato de que nesta a analise de intervalos n~ao e uma extens~ao da analise real, mas uma linguagem sobre aproximac~oes em analise real. Este ponto de vista tem a vantagem de ser de \logica construtiva" e \computacional", alem de unicar as teorias das sem^anticas de linguagens de programac~ao e a Matematica Computacional (Analise Numerica). Ela prov^e uma logica (logica de Scott) para raciocinar sobre programas em Matematica Computacional.

Considerando pq]rs] 2 I(R) tal que pq]  rs] se e somente se p < r < s < q, onde \" e chamado de relac~ao auxiliar ou ordem forte, tem-se que a

completac~ao por cortes de Dedekind Aci91] Dim91] de =hI(Q)v;1+1]i

constitui um cpo (conjunto completo parcialmente ordenado) contnuoR = (I(R)v ;1+1]), onde \v" e a ordem parcial tal que pq] v rs] se e somente

se rs]  pq] (pq]rs] s~ao considerados como conjunto e \" e a relac~ao de

inclus~ao). O conjunto I(R) e isomorfo a I(R) da teoria classica. Os numeros Reais

s~ao os objetos totais do domnio R , cuja base e .

A Teoria dos domnios tem sido amplamente empregada como modelos para sem^anticas de linguagens de programac~ao, desde o estudo desenvolvido por Scott

e Stratchey. Salienta-se o uso de noc~oes topologicas subjacentes e da topologia de Scott como uma topologia ordem-consistente. A topologia de Scott permite abstrair o conjunto de propriedades dos objetos, independentemente de como eles s~ao computados, ou seja, ela isola um certo conjunto enumeravel de propriedades sucientemente nas para separar objetos distintos.

Existe uma relac~ao direta entre topologias de Scoot e Espacos quasi-metricos E possvel introduzir uma topologiasobre o conjuntoI(R), que torna as operac~oes

aritmeticas contnuas Moo66].

Denic~ao 44 (Dist^ancia entre dois intervalos)

Sejam X = ab], Y = cd] intervalos. Chama-se de dist^ancia entre X e Y a

express~ao dada por:

dist(XY) =max(ja;cjjb;dj)

Facilmente observa-se que dist(XY) satisfaz as propriedades de uma metrica.

8XYZ 2I(R). Portanto (I(R)dist) e um espaco metrico e consequentemente

a topologia induzida dessa metrica e de Hausdor.

Nota-se que a Teoria dos Intervalos baseia-se na ideia de que um intervalo e uma aproximac~ao dos Reais que ele contem. Entretanto, a topologia que esta sendo proposta (Hausdor) e incompatvel com essa ideia. Nos espacos topologicos de Hausdor (como o espaco dos intervalos segundo a teoria classica) todos os objetos s~ao totais, signicando que cada objeto do espaco somente aproxima ele mesmo. Verica-se tambem que existe uma incompatibilidade entre a inclus~ao monot^onica e a metrica proposta. A inclus~ao monot^onica como esta denida em Moo66] sugere distinc~oes qualitativas em func~ao de uma ordem intuitiva de aproximac~ao. Ora, esta ordem (de informac~ao ) induz uma topologia que n~ao compatibiliza com a topologia (Hausdor) induzida pela metrica de Moo66].

5.3 O Quasi-Anel dos Intervalos Reais

Diante do exposto teorico sobre Intervalos e necessario fazermos uma analise quanto a estrutura algebrica que o conjunto dos Intervalos Reais formam. Se este formasse um anel, uma maquina BSS poderia trabalhar sob ele, porem como n~ao satisfaz as condic~oes de distributividade e associatividade dos aneis provaremos que satisfaz as condic~oes de quasi-anel ordenado. Pretenderemos denir que uma maquina BSS extendida para trabalhar sobre quasi-aneis ordenados e sendo o Conjunto dos In- tervalos Reais um quasi-anel ordenado, essa maquina BSS sera capaz de trabalhar sobre ele.

Sendo assim, faz-se necessario a seguinte demonstrac~ao :

5.3. O QUASI-ANEL DOSINTERVALOS REAIS 105

Demonstrac~ao:

Para demonstrarmos a citac~ao acima temos que satisfazer as condic~oes de quasi- anel ordenado. Seja I(R)+] uma estrutura algebrica binaria denida as operac~oes

+ e  onde I(R) e o conjunto dos intervalos em R e abcd2R.

Observac~ao Nas demonstrac~oes a seguir ser~ao usadas as propriedades de corpo

dos reais e as denic~oes das operac~oes aritmeticas dos intervalos reais. i.

ab] + cd] = a+cb+d] = c+ad+b] = cd] + ab]

aqui demonstramos ser verdadeira a propriedade da comutatividade nos inter- valos reais

ii. Seja x = ab] e O = 00] onde x 2 I(R) e 0 e o elemento neutro dos reais.

Precisamos demonstrar que x+ 0 = 0 +x=x.

x+O = ab] + 00] = a+ 0b+ 0] =0 +a0 +b] =O +x =0 +a0 +b] = ab] =x

Assim demonstramos a exist^encia de um zero nos intervalos reais.

iii. Demonstraremos agora a exist^encia de um { 2 I(R) tal que x{ = {x = x.

Seja {=11] onde 1 e a unidade (elemento neutro da multiplicac~ao em R):

x{ = ab]11] = minfa1b1a1b1gmaxfa1b1a1b1g] = minf1a1b1a1bgmaxf1a1b1a1bg] =11]ab] ={ x = minf1a1b1a1bgmaxf1a1b1a1bg]

= minfabgmaxfabg]

= ab] =x

x O = ab]00] = minfa0b0a0b0gmaxfa0b0a0b0g] = minf0a0b0a0bgmaxf0a0b0a0bg] =00]ab] =O  x = minf0a0b0a0bgmaxf0a0b0a0bg] =00] = O

Atraves das demonstrac~oes anteriores, provamos que I(R)+] e um quasi-

anel provaremos agora que e ordenado, para que seja e necessario primeira- mente ser uma ordem e ser fracamente ordenado.

SejaI(N) =fab]=ab 2Na bgI(R)

Sendo xyz 2 I(N) e x = ab], y = cd] e z = ef] onde abcdef 2 N

temos que:

v. Precisamos demonstrar que xx, ora

a a eb b ! ab]ab] ! xx vi. xy eyx !x=y ab]cd]!acbd cd]ab]!cadb como ac eca ! a=c da mesma forma, b d edb !b =d sendo assim: ab] = cd] =x=y

5.3. O QUASI-ANEL DOSINTERVALOS REAIS 107 vii. xy e yz !xz sendo xy e y z temos: ab]cd] a cbd cd]ef] ced f

por transitividade em R podemos armar que

a e eb f ! ab]ef]! x z

Provamos assim que I(R) e uma ordem, o proximo passo da nossa demons-

trac~ao sera provar ser fracamente ordenado. viii. x y !x +z =y +z ora, sexy temos:

ab]cd] !acbd sabemos que

a+ec+eb+ f d+ f !a+eb+f]c+ed+f] !x+z y+z ix. x y !kxky, ondek 2I(R) e k = gh] xy !ab]cd] kx =kab] = gh]ab]

= minfgagbhahbgmaxfgagbhahbg] e,

ky =kcd] = gh]cd]

= minfgcgdhchdgmaxfgcgdhchdg]

como acbd e, evidentemente, abcd, podemos arma que:

minfgagbhahbgfgcgdhchdg, e

maxfgagbhahbgmaxfgcgdhchdg

minfgagbhahbgmaxfgagbhahbg

minfgcgdhchdgmaxfgcgdhchdg]

kab]kcd]

kxky

Finalmente, provaremos agora que I(R) e quasi-anel ordenado demonstrando

que:

x. SeO x y e z >O )xz yz e zxzy, ondeO =00]

Ora, partindo da hipotese que O l  x  y e z > O, provamos anteriormente

que para xyk 2 R e que sendo x  y (como de fato e neste caso) vale que

kxky, para qualquer k fazendo k=z temos zxzy, desta forma:

zxzy

ef]ab]ef]cd]

minfeaebfafbgmaxfeaebfafbg] minfecedfcfdg maxfeced

minfeabeafbfgmaxfaebeafbfg] fminfcedecfdfg maxfcede

ab]ef]cd]ef]

xz yz

desta forma:

kxky exk yk

O Modelo BSS-Intervalar

6.1 Introduc~ao

Considerando que as operac~oes + es~ao computaveis emR, pois BSS ja provou isso

para os aneis, pretendemos demonstrar que as operac~oes aritmeticas sob os I(R)

tambem s~ao computaveis em maquinas BSS como uma respectiva extens~ao natural da computabilidade em R. Vejamos a seguinte demonstrac~ao:

Seja, abcd2R e ab] e cd]2I(R)

ab] + cd] = a+cb+d]

a+c eb+cs~ao numeros reais logo computaveis.

ab];cd] = a;cb;d]

= a+;(c)b+ (;d)]

= ab] + ;c;d]

Provamos anteriormente que a soma entre intervalos reais e computavel.

Necessitamos apenas demonstrar que as operac~oes Max e Min da operac~ao de multiplicac~ao s~ao computaveis, sendo assim, nosso problema se reduz a contruc~ao de uma maquina BSS classica que computa as operac~oes em quest~ao.

i < 4 MIN x < i = i+1 i = i+1 x x x x i = 1 MIN x 1 2 3 4 i i+1 F V V F MIN i < 4 MAX x > i = i+1 i = i+1 x x x x i = 1 MAX x 1 2 3 4 i i+1 F V V F MAX

Figura 6.1: A esquerda temos a Maquina BSS que computa o mnimo entre quatro Numeros Reais e a direita a que computa o maximo

E nalmente, no caso da ultima operac~ao ab]=cd] = ab] 1 d  1 c] se 0 62 cd]

nota-se que a operac~ao se reduz ao produto de dois intervalos reais que s~ao com- putaveis como vimos na demonstrac~ao anterior. De fato, qualquer modelo X de

computabilidade nos R podem ser transformado em um modelo de computabilida-

de, digamosX-intervalar paraI(R), da seguinte forma: uma func~aof :I(R) !I(R)

e computavel no modelo X-intervalar se 9f 1 :

R R ! R e f 2 :

R R ! R com-

putaveis no modeloX tais que

f(ab]) =f 1(

ab)f 2(

ab)]:

Como a noc~ao de computabilidade sobre os reais e complexa, a computabilida- de assim obtida resultara ser mais complexa, uma vez que n~ao e interna (direta). Assim analises de computabilidade de uma func~ao tal como a integrac~ao interva- lar sera \nebulosa". O problema com esta abordagem e que ela n~ao e uma noc~ao interna de computabilidade intervalar e, portanto, a analise de func~oes intervalares intuitivamente computaveis dependera da computabilidade de duas func~oes reais,

6.2. EXTENDENDOMAQUINASBSSPARACOMPUTAC ~

OESINTERVALARES111

provavelmente, menos intuitivas. Assim, neste captulo desenvolveremos uma teoria da computabilidade interna, baseada no modelo BSS, sobre os intervalos reais.

6.2 Extendendo Maquinas BSS Para Computac~oes

Belgede İnsan haklarının uluslararası düzeyde korunması ve Birleşmiş Milletler sistemi (sayfa 108-113)